恒定电场和磁场

D

0
U
J

0
静电场
恒定电场
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比拟方法的应用（Contrast Method Application)
当满足比拟条件时，用比拟法由电容计算电导。
C Q U G I U
D dS E d l J dS E d l
S l S l
人体的安全电压U0≤40V
r0
Ib 2 πU 0
为危险区半径（radius） 接地器接地电阻
r0 abIR U0
1 R 2πa
半球形接地器的危 险区
表明：工程上为减小危险区半径，应通过改变接地器 结构，修正电位的变化率，即减小接地器的接地电阻 值，或减小短路电流等方面，采取相应的工程对策。
恒定磁场的基本方程表示为
B dS 0 （磁通连续原理）
S
l
B 0
（安培环路定律） H J c H d l I
构成方程
B H
恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡 旋源(eddy source)。 返 回 上 页 下 页
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4 边值问题（Boundary Value Problem)
由基本方程出发
E 0
E
常数
Jc 0
得
( E ) 0
拉普拉斯方程
2 0
思考 恒定电场中是否存在泊松方程？
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例3-1 已知导电片厚度为 h，当
1). 思路 设
电导与接地电阻
Conductance and Ground Resistor 通过电流场计算电导
I
或设
J
E J/
U E dl
l
G I /U
U
E
J E
I J dS
S
G I /U
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2 接地电阻 (Ground Resistor) 由接地器电阻、接地器与土壤 接地电阻： 之间的接触电阻、土壤电阻构成。 1). 深埋球形接地器 解法一 通过电流场计算电阻
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恒定电场知识结构 基本物理量 J、 E 欧姆定律 J 的散度 基本方程 E 的旋度 电 位
边界条件
边值问题
一般解法
电导与接地电阻
特殊解(静电比拟)
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同轴电缆
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屏蔽室接地电阻（深度 20 m）
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3.3 恒定磁场基本方程、分界面衔接条件
Basic Equations and Boundary Condition 3.3.1 基本方程 (Basic Equations)
E dS S E dS
S
G 即 C 多导体电极系统的部分电导可与静电系统的部
分电容比拟。
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例3-3 求图示同轴电缆的绝缘电阻。 解 设 I
I J 2 πl
2
1
I E 2 πl
U l E dl
同轴电缆横截面
D2n D1n 2 E 2n
表明 2 导体与理想介质分界面上必有面电荷。
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E1t E2t J1t / 1 0 表明 3 电场切向分量不为零，导体非等位体，导体 表面非等位面。 若 1 （理想导体），导体内部电场为零，电 流分布在导体表面，导体不损耗能量（energy）。
两种场各物理量满足相同的定解问题，则解也相 3.2 恒定电场与静电场的比拟.接地系统
同。那么，通过对一个场的求解或实验研究，利用对 3.2.1 比拟方法 (Contrast Method) 应量关系便可得到另一个场的解。
静电场 ( 0 ) 恒定电场（电源外）静电场 恒定电场
E 0 D 0
V c
故
Jc 0
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恒定电场是一个无源场，电流线是连续的。
2.
E的旋度（rotation）
所取积分路径不经过电源，则
E dl 0
l
斯托克斯定理
( E ) dS 0
S
得 E 0 恒定电场是无旋场。 3. 导电媒质的本构关系
J E
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3. 非深埋的球形接地器 解 用镜像法
I I 4πa 4π (2h)
1 1 1 R ( ) I 4π a 2h
4. 浅埋半球形接地器 解 设 I
图3-10 非深埋的球形接地器
I
I J 2 2 πr
u
a
I E 2πr 2
接地器接地电阻
例如，钢的电导率 1 = 5106
S/m，周围土壤电导率2 = 10-2
S/m，1 = 89，可知，2 8。 良导体表面可近似看作为等位面 在工程应用场合中,常会遇到电流从金属体流向周围不 良导电媒质的情况,如各类电气设备的接地系统;同轴电 缆（coaxial cable）中因绝缘层不完善引发的泄漏电
图3-1 弧形导电片

电场强度 E e U 0 e
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电场强度 电流密度
U0 E e e
电流
U 0 J c E e
b
x
U 0 I J c dS (e ) hd (e ) S a U 0 h b ln a
l
1t
2t

S
J c dS 0
J1n J 2n
说明 分界面上 E 切向分量连 续，J 的法向分量连续。 折射定律
tan 1 1 tan 2 2
电流线的折射
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(2) 良导体与不良导体分界面上的边界条件
1 2 1 90o
2 0o
x y
载流导体表面的电场
导体周围介质中的电场：
E2 E2t e x E2n e y
E2t E2n
可以略去切向分量的影响,使得导体表面的边界 条件可等同于静电场中导体的边界条件.
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(4) 两种有损电介质分界面上的边界条件
J1n J 2n
D2n D1n
1E1n 2 E2n 2 E2n 1E1n
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J E 欧姆定律 微分形式。
在线性媒质中
U RI 欧姆定律 积分形式。
4. 恒定电场（电源外）的基本方程
积分形式
微分形式 构成方程
J dS 0
S c
E dl 0
l
Jc 0
E 0
J E
结论： 恒定电场是无源无旋场。
流（leakage current）等.
0 (3) 导体与理想介质 2 分界面上的衔接条件。
在理想介质中
2 0， J 2 0 故 J 2n J1n 0
表明 1 分界面导体侧的电流一定与导体表面平行。
空气中
E2n
0 ＝ 0 2 0
J 2n
导体中 E1n 0
导体与理想介质分界面
dW dP dUdI ( E dl )( J dS ) EJdV dt
p
dP EJ E 2 dV
焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule’s Law) 导体有电流时，必伴随功率损耗（loss），其功率 体密度为
p J E
W/m3
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3.1
3.1.1
恒定电场的基本方程与场的特性
恒定电场的基本方程 (Basic Equations)
1. Jc 的散度
q 电荷守恒原理 I S J c dS t
q 0 在恒定电场中 t
J
S
c
dS 0
散度定理
J dV 0
0 时， 0;
时 , U 0 试求电导片的电导。
( ) 解 取圆柱坐标系 ，边值问题
1 2 2 0
2 2
x
0 0 , U 0
通解 C1 ，代入边界条件，得 C2 U0 ( ) 电位函数
I 2 I ln d 2π l 1 2π l
用静电比拟法求解 由静电场 C
I 2 πl 电导 G 2 U ln
电导
I 2 π l G U ln 2
2 ln 1

2 πl
1
,
根据
C 关系式，得 G
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3.2.2
1 电导 (Conductance)
I h b 电导 G ln U0 a (S m)
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d
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3.1.2
1 电源
(Source)
电源电动势与局外场强
Source EMF and 0ther Field Intensity 提供非静电力将其它形式的 能转为电能的装臵称为电源。 2 电源电动势 (Source EMF)
第3章
恒定电场和磁场
通有直流电流的导电媒质中同时存在着电流场和 恒定电场。恒定电场是动态平衡下的电荷产生的，它 与静电场有相似之处。 导体中通有直流电流时，在导体内部和它周 围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。
I E dl 2 πa 1 R 2πa
图3-11 浅埋半球形 接地器
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接地电阻值 3.2.3 跨步电压 (Step Voltage)
以浅埋半球接地器为例
I J , 2 2πr
U AB
r
J I E 2πr 2
bI 2πr 2
I dr r b 2 πr 2
E 0
E D
E
D E
2 0
q D dS
S
J 0 J E
2 0
ε


J

I
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I J dS
S
q
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两种场可以比拟的条件 微分方程相同；
1 1 媒质分界面满足 2 2
U
场域几何形状及边界条件相同；
2 1 1 2 J 2n 1 2
只有当该两种媒质参数满足 1122 条件时 ,0; 否 则分界面上必存在的面分布形态的自由电荷(charge).
在高压大容量的电气设备中 , 由于绝缘介质的不完 善性(imperfection),往往在不同介质的分界面处积累有 上述的自由电荷面密度分布.
—焦耳定律微分形式
P J c EdV (J c dS )( Edl ) UI I R W
2 V
—焦耳定律积分形式
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3.1.3
分界面的衔接条件（Boundary Conditions)
(1) 两种不同导电媒质分界面上的边界条件 由 得 E E
E dl 0
欧姆定律 微分形式。
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设J 与 E 共存，且方向一致
J c E
J 与 E 之关系 同×Δ S
J c S E S
左边 右边 所以
J c S I U S U U E S = l l R S U RI
对整个导体有 U RI （欧姆定理）
恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。
f e －局外力:在电源中能将正负电荷分离开来的
fe 局外场强： Ee 单位正电荷上的局外力。 返 回 上 q
非静电力。
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总场强
E Ec Ee
J ( Ec Ee )
电源电动势 e

电源正
电源负
Ee dl
电源电动势与局外场强
因此，对包含电源闭合环路 积分
l E dl

l( Ec Ee ) dl l Ec dl l Ee dl
0e e
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局外场 Ee 是非保守场。
3.电功率
dt时间内有dq电荷自元电
流管的左端面移至右端面，
则电场力作功为dW = dUdq
I I IJ E 2 2 4πr 4πr
图3-9 深埋球形接地器
U

a
I I dr 2 4πr 4πa
U 1 R I 4πa
解法二 比拟法 1 C R C 4πa, G 4πa , 4πa G 思考 接地电阻越大越好吗？如何改变R?