高数概述

《高等数学复习》教程

第一讲 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限

极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续

函数连续（左、右连续）与间断

理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法

（1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor 级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

三、补充习题（作业）

第二讲 导数、微分及其应用

一、理论要求 1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程

2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题

3.应用

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

二、题型与解法

A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

1.⎩⎨

⎧=+-==5

2arctan )(2t

e ty y t x x y y 由决定，求dx dy

2.x y x y x x y y sin )ln()(3

2

+=+=由决定，求

1|0==x dx

dy

解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy

+==2

)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==

B.曲线切法线问题

4.求对数螺线)2/,2

/πθρρπθ

e e （），在（==处切线的直角坐标方程。

解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2

/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθ

θ

θ

θy e y x e y e x x e y -=-2/π

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0

)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(lim

0sin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f t f t f t f t f x x f x f t t x x C.导数应用问题

6.已知x

e x

f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2

满足对一切，

)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。

解：令⎩⎨⎧<>>>===-0,00

,0)(''0001000

0x x x e e x f x x x x 代入，，故为极小值点。 7.2

3

)1(-=x x y ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x

：斜

：铅垂；；拐点及驻点2100''3

00'+===⇒===⇒=x y x x y x x y

8.求函数x

e

x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。

解：101'arctan 2/2

2-==⇒++=+x x e x

x x y x

与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：π D.幂级数展开问题

9.

⎰=-x x dt t x dx d 0

2

2sin )sin( ⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-x n n n n

x

n n n n x n x x x dt t x dx d n n x x x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02

)

12(26221

4730

2141

732

)

12(262

2

sin )!

12()1(!31)sin()!

12)(14()1(7!3131)sin()!

12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!

12()()1()(!31)()sin(

或：2

0202sin sin )(sin x du u dx

d du u dx d u t x x x ==-⇒

=-⎰⎰

10.求)0(0)1ln()()

(2n f

n x x x x f 阶导数处的在=+=

解：)(2

)1(32()1ln(22

1322

2

---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n x o n x x x x x x x =)(2)1(321543

n n

n x o n x x x x +--+⋅⋅⋅-+-- 2

!

)1()0(1

)

(--=∴-n n f n n E.不等式的证明

11.设)1,0(∈x ，2

1

1)1ln(112ln 1)1(ln )12

2

<-+<-<++x x x x x ，

求证（ 证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g

；得证。

单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0

)0('')0(',0)1()

1ln(2)('''),(''),('2

<<<∈∴==<++-

=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g

2）令单调下降，得证。,0)('),1,0(,1

)1ln(1)(<∈-+=

x h x x

x x h

F.中值定理问题

12.设函数]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，

0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使

证：32)('''!

31

)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η++

+= 其中]1,1[),,0(-∈∈x x η

将x=1，x=-1代入有)

('''6

1

)0(''21)0()1(1)('''6

1

)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+

=-=

两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f

3)](''')('''[2

1

)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，

13.2

e b a e <<<，求证：)(4ln ln 222a b e

a b ->-

证：)(')

()(:

ξf a

b a f b f Lagrange =-- 令ξ

ξ

ln 2ln ln ,ln )(222

=

--=a b a b x x f 令22

22ln )()(0ln 1)(',ln )(e

e t t t t t t >∴>∴<-==

ξξϕξϕϕϕ )(4

ln ln 222a b e

a b ->

- （关键：构造函数）