欧拉函数公式及其证明

欧拉函数公式及其证明 Prepared on 22 November 2020

欧拉函数：

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n)。

完全余数集合：

定义小于n且和n互质的数构成的集合为Zn，称呼这个集合为n的完全余数集合。显然|Zn|＝φ(n)。

有关性质：

对于素数p，φ(p)=p-1。

对于两个不同素数p，q，它们的乘积n=p*q满足φ(n)=(p-1)*(q-1)。

这是因为Zn={1,2,3,...,n-1}-{p,2p,...,(q-1)*p}-{q,2q,...,(p-1)*q}，则φ(n)=(n-1)-(q-1)-(p-1)=(p-1)*(q-1)＝φ(p)*φ(q)。

欧拉定理：

对于互质的正整数a和n，有aφ(n)≡1modn。

证明：

(1)令Zn={x1,x2,...,xφ(n)}，S={a*x1modn,a*x2modn,...,a*xφ(n)modn}，

则Zn=S。

①因为a与n互质，x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以a*x i与n互质，所以a*x i modn∈Zn。

②若i≠j，那么x i≠x j，且由a,n互质可得a*x i modn≠a*x j modn（消去律）。

(2)aφ(n)*x1*x2*...*xφ(n)modn

≡(a*x1)*(a*x2)*...*(a*xφ(n))modn

≡(a*x1modn)*(a*x2modn)*...*(a*xφ(n)modn)modn

≡x1*x2*...*xφ(n)modn

对比等式的左右两端，因为x i(1≤i≤φ(n))与n互质，所以aφ(n)≡1modn（消去律）。

注：

消去律：如果gcd(c,p)=1，则ac≡bcmodpa≡bmodp。

费马定理：

若正整数a与素数p互质，则有a p-1≡1modp。

证明这个定理非常简单，由于φ(p)=p-1，代入欧拉定理即可证明。

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补充：欧拉函数公式

(1)p k的欧拉函数

对于给定的一个素数p，φ(p)=p-1。则对于正整数n=p k，

φ(n)=p k-p k-1

证明：

小于p k的正整数个数为p k-1个，其中

和p k不互质的正整数有{p*1,p*2,...,p*(p k-1-1)}共计p k-1-1个

所以φ(n)=p k-1-(p k-1-1)=p k-p k-1。

(2)p*q的欧拉函数

假设p,q是两个互质的正整数，则p*q的欧拉函数为

φ(p*q)=φ(p)*φ(q)，gcd(p,q)=1。

证明：

令n=p*q，gcd(p,q)=1

根据中国余数定理，有

Zn和Zp×Zq之间存在一一映射

（我的想法是：a∈Zp，b∈Zqb*p+a*q∈Zn。）

所以n的完全余数集合的元素个数等于集合Zp×Zq的元素个数。而后者的元素个数为φ(p)*φ(q)，所以有

φ(p*q)=φ(p)*φ(q)。

(3)任意正整数的欧拉函数

任意一个整数n都可以表示为其素因子的乘积为：

I

n=∏p i k i(I为n的素因子的个数)

i=1

根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为：

II

Φ(n)=∏p i k i-1(p i-1)=n∏(1-1/p i)

i=1i=1

对于任意n>2，2|Φ(n),因为必存在p i-1是偶数。