欧拉函数公式及其证明

欧拉公式

欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。

其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。

拓扑学中的欧拉多面体公式。

初等数论中的欧拉函数公式。

欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。

常用的欧拉公式有复数函数e^ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ，物理学公式F=fe^ka 等。

复变函数e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

欧拉公式e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x 取作π就得到：恒等式e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。

初数数学中的数论公式解析

初数数学中的数论公式解析数论作为数学的一个重要分支，研究整数的性质和相互关系。

在初等数论中，有许多重要的数论公式，它们能够帮助我们解决一些关于整数的问题。

本文将对一些常见的数论公式进行解析，帮助读者更好地理解和掌握数论知识。

一、欧拉函数公式欧拉函数是一个十分重要的数论函数，通常表示为φ(n)，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。

欧拉函数有一个重要的性质，即对于任意的正整数n，都有以下公式成立：φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × ... × (1 - 1/pₙ)其中p₁, p₂, ..., pₙ是n的所有不同的素因子。

这个公式的解析非常简单明了：首先我们将n进行素因数分解，得到n的所有不同的素因子。

然后，对于每个素因子p，将1减去1/p的值，再将这些结果相乘，最后再乘以n，即可得到欧拉函数的值φ(n)。

二、费马小定理费马小定理是一个重要的数论定理，它表明如果p是一个素数，a 是一个整数且不被p整除，那么a的p-1次方除以p的余数等于1：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)这个公式的解析也比较简单：根据费马小定理，我们可以利用这个公式来进行模幂运算。

首先，将指数p-1进行二进制拆分，然后利用模运算的性质求取每一位的幂运算结果，最后再将这些结果相乘，再进行一次模运算，即可得到最终结果。

三、威尔逊定理威尔逊定理是另一个与素数相关的重要数论定理，它表明如果p是一个素数，那么(p-1)!除以p的余数等于p-1：(p-1)! ≡ -1 (mod p)这个公式的解析稍微复杂一些。

首先，我们可以利用质数的定义以及基本的数论知识来证明威尔逊定理。

然后，我们可以通过数学归纳法来证明(p-1)! ≡ -1 (mod p)成立。

最后，利用模运算的性质，我们可以证明(p-1)!除以p的余数等于p-1。

四、高斯二项式定理高斯二项式定理是一个经典的数论定理，它可以用于计算组合数的模运算结果。

欧拉函数证明过程

欧拉函数证明过程
欧拉函数是一个重要的数论函数,用来计算小于或等于某个正整数n 的所有与n互质的正整数的个数。

欧拉函数记作φ(n),其定义为:
φ(n) = |{k∈N|1≤k≤n且gcd(k,n)=1}|
其中,gcd(k,n)表示k和n的最大公约数。

欧拉函数的证明过程如下:
1. 先证明当n是质数时,φ(n)=n-1。

证明:对于任意一个质数n,小于或等于n的正整数中,只有1和n本身与n不互质。

其余的n-1个数(2,3,...,n-1)都与n互质。

因此,φ(n)=n-1。

2. 再证明当n=p^k(p为质数,k为正整数)时,φ(n)=p^k-p^(k-1)。

证明:根据算术基本定理,n=p^k可以唯一分解为p的k次幂的形式。

那么小于或等于n的正整数中,与n不互质的数就是p的所有非零次幂,共有p^(k-1)个。

其余的p^k-p^(k-1)个数都与n互质。

因此,φ(n)=p^k-p^(k-1)。

3. 对于一般的正整数n,利用算术基本定理,将n分解为不同质数的幂的乘积:n=p_1^(k_1)*p_2^(k_2)*...*p_r^(k_r)。

根据乘法函数的性质,有:
φ(n)=φ(p_1^(k_1))*φ(p_2^(k_2))*...*φ(p_r^(k_r))
=(p_1^(k_1)-p_1^(k_1-1))*(p_2^(k_2)-p_2^(k_2-1))*...*(p_r^(k_r)-p_r^(k_r-1))
这就是著名的欧拉函数计算公式。

通过上述三步,我们就完整地证明了欧拉函数的计算方法。

欧拉公式的证明及应用举例

高中数学120·同步辅导·选修2-2高中数学·北师大版2016年11月1欧拉公式的证明与应用【欧拉公式】公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 之间有关系：2=-+E F V 。

【欧拉公式的证明】方法1：（利用几何画板）逐步减少多面体的棱数，分析E F V -+先以简单的四面体ABCD 为例：（分析法）去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V 、棱数E 与剩下的面数1F 变形后都没有变。

因此，要研究2=-+E F V ，只需去掉一个面变为平面图形，证11=-+E F V ；（1）去掉一条棱，就减少一个面，E F V -+1不变。

依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，E F V -+1不变，直至只剩下一条棱。

以上过程E F V -+1不变，则11=-+E F V ，所以加上去掉的一个面，2=-+E F V 。

对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

因此公式对任意简单多面体都是正确的。

方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V ，面数F ，棱数E 。

剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和α∑；一方面，在原图中利用各面求内角总和。

设有F 个面，各面的边数为1n ,2n ，…，F n ，各面内角总和为：]180)2(180)2(180)2[(21︒⋅-++︒⋅-+︒⋅-=∑F n n n α︒⋅-+++=180)2(21F n n n F ︒⋅-=︒⋅-=360)(180)22(F E F E （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

设剪去的一个面为n 边形，其内角和为︒⋅-180)2(n ，则所有V 个顶点中，有n 个顶点在边上，n V -个顶点在中间。

中间n V -个顶点处内角和为︒⋅-360)(n V ，边上的n 个顶点处的内角和︒⋅-180)2(n 。

则多面体各面的内角总和：︒⋅-=︒⋅-+︒⋅-+︒⋅-=∑360)2(180)2(180)2(360)(V n n n V α（2）由(1)(2)得：︒⋅-=︒⋅-360)2(360)(V F E ，所以2=-+E F V .【欧拉公式的意义】（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

欧拉公式简介

欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。

那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0这个公式实际上是前面公式的一个应用[1]欧拉公式欧拉公式有4条（1）分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

欧拉函数及其证明

欧拉函数及其证明欧拉函数定义：phi(n) = 1到n中与n互质的数的个数有公式：　phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi ) 其中p为n的所有质因⼦,每个质因⼦只算⼀次下⾯是证明：1. 当n为质数，显然phi(n) = n-12. 当n=p^k ，其中p为素数与n不互质的数必定有p因⼦，把p提出来于是不互质的数有{ p*1, p*2, p*3, ......, p*p^(k-1) } 于是互质的数即phi(n) = p^k - p^(k-1) = p^k * ( 1 - 1/p )3. 当n= (x^a)*(y^a), 其中x和y为不相同的素数有phi(n*m)=phi(m)*phi(n) , 当m和n互质证明这个之前先证明 ( {1, 2, 3, 4, ....n } , {1, 2, 3, 4, ...... m }) 与 {1, 2, 3, 4, ...... m*n } ⼀⼀对应 (m,n互质) ①从m*n到（m,n）的唯⼀性 m*n中的x， x%m和x%n有唯⼀值 ②从(m,n)到 m*n的唯⼀性设从m中取x，x%m=r 则x对应m*n中的f可能值为 {r, m+r, 2m+r, 3m+r, .... (n-1)*m+r } 这n个数组成了n的完全剩余系因为这n个数两两之间的差值可表⽰为 k* m (k<n) 则（k*m）%n=0不成⽴（ k<n , ⽽gcd(m,n)=1 即 m不提供n的因⼦）即每个数对n取模两两不同，则组成n的完全剩余系因此假设再从n中取y，（x，y）可唯⼀确定⼀个m*n中的值（似乎适⽤于中国剩余定理）可拓展到多维，即多个互质量再看，（当m和n互质）只要x与m互质且x与n互质则x与m*n互质任何与m互质的数x除以m的余数即（x%m）也必然与m互质，反之也如此所以从（1...n）和（1...m）分别取x与n互质，y与m互质，则会唯⼀对应⼀个m*n中的值f 与m*n互质⽽每个与（1...m*n）互质的值 f 都会唯⼀对应⼀个（1...n）中与n互质的x和⼀个（1...m）中与m互质的y 所以phi(m*n) = phi(m) * phi(n) ， (m，n互质) 证明完毕那么这样，对于要求欧拉值的n，将他因数分解成 pi^ai, ⽽ phi(pi^ai )= pi^ai ( 1 - 1/pi )再将pi相乘得到n，就可以得出公式 phi(n) = n* ∏ ( 1 - 1/pi )代码：long long eular(long long n) {long long ans = n;for(int i = 2; i*i <= n; i++) {if(n % i == 0) {ans −= ans/i;while(n % i == 0)n /= i;}}if(n > 1)ans −= ans/n;return ans;}从证明可以看出，欧拉函数是⾮完全积性函数所以可以⽤线性筛来O(n) 预处理值bool check[maxn];int phi[maxn];int prime[maxn];int tot;//素数的个数void phi_and_prime_table(int n) {memset(check,false,sizeof(check));phi[1] = 1;tot = 0;for(int i = 2; i <= n; i++) {if( !check[i] ) {prime[tot++] = i;phi[i] = i-1;}for(int j = 0; j < tot; j++) {if(i * prime[j] > n)break;check[i * prime[j]] = true;if( i % prime[j] == 0) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;} else {phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}}}性质：考虑gcd，假设i与n的gcd为g，那么有g|n , gcd(n/g,i/g)=1。

欧拉公式19种证明

欧拉公式19种证明欧拉公式是数学中的一个重要公式，它的表达式为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中e表示自然对数的底数2.71828…，i表示虚数单位。

欧拉公式有多种证明方法，下面我们将介绍其中19种常见的证明方法。

1. 泰勒级数证明法：利用泰勒级数展开式展开e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)，然后将它们相等的系数进行比较，即可得出欧拉公式。

2. 复合函数证明法：将e^(ix)看作复数函数f(x)=e^x，将cos(x)和sin(x)看作f(x)的实部和虚部，则有f(ix)=cos(x)+i*sin(x)，即e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。

3. 微积分证明法：将欧拉公式两边分别对x求导，得到ie^(ix)=-sin(x)+i*cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。

4. 积分证明法：将欧拉公式两边同时积分，得到e^(ix)/i=-sin(x)/i+cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。

5. 欧拉级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的泰勒级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。

6. 幂级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的幂级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。

7. 矩阵证明法：构造一个2x2矩阵，使其特征值为e^(ix)和e^(-ix)，然后求解该矩阵的本征向量，即可得到欧拉公式。

8. 矩阵幂证明法：将e^(ix)表示为矩阵的形式，然后对该矩阵进行幂运算，即可得到欧拉公式。

9. 极限证明法：将e^(ix)表示为极限的形式，然后通过极限的性质推导出欧拉公式。

10. 解微分方程证明法：将e^(ix)看作微分方程y'=iy的解，并利用欧拉公式将其转化为y=cos(x)+i*sin(x)，即可得到欧拉公式。

11. 解偏微分方程证明法：将e^(ix)看作偏微分方程u_t+iu_x=0的解，并利用欧拉公式将其转化为u=cos(x-t)+i*sin(x-t)，即可得到欧拉公式。

欧拉公式简介

欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。

那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0这个公式实际上是前面公式的一个应用[1]欧拉公式欧拉公式有4条（1）分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。

欧拉公式的证明(整理)

欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。

原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。

特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i,e,π,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：???设z=x+iy这样e^z=e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x=e^(iy)把e^(iy)由于所以即方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinzcosz而后根据关系推导出了欧拉公式。

着个才是根基。

由来缘于此。

方法一是不严格的。

再请看这2个积分∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;上式左边相当于下式左边乘以i于是上式右边相当于下式右边乘以i然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设atθЄR,ρЄR+,a^(it)Єz有:a^(it)=ρ(cosθ+isinθ)1因共轭解适合方程,用-i替换i有:a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ)2由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为:设4取积分有θ→0a^(iΨ)=1Ψ=066代入5有7代入3有。

欧拉函数公式及其证明

欧拉函数公式及其证明 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

完全余数集合：定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。

显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：对于素数 p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数 p ， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ，则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理：对于互质的正整数 a 和 n ，有 a φ(n) ≡ 1 mod n 。

证明：( 1 ) 令 Zn = {x 1, x 2, ..., x φ(n)} ， S = {a * x 1 mod n, a * x 2 mod n, ... , a * x φ(n) mod n} ，则 Zn = S 。

① 因为 a 与 n 互质， xi(1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * ximod n ∈ Zn 。

② 若i ≠ j ，那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 a * ximod n ≠ a * xjmod n （消去律）。

( 2 ) aφ(n) * x1 * x2*... * xφ(n)mod n≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n≡ (a * x1 mod n) * (a * x2mod n) * ... * (a * xφ(n)mod n)mod n≡ x1 * x2* ... * xφ(n)mod n对比等式的左右两端，因为xi(1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以aφ(n)≡ 1 mod n （消去律）。

欧拉函数证明

欧拉函数证明欧拉函数的定义为φ(n)，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。

我们要证明欧拉函数的性质。

性质1：如果n为质数，则φ(n) = n - 1。

证明：质数n没有除1和n本身之外的因子，因此与n互质的正整数个数为n - 1。

所以当n为质数时，φ(n) = n - 1成立。

性质2：如果p为质数，a为正整数并且a与p互质，则φ(p^a) = p^a - p^(a-1)。

证明：考虑p^a的正整数范围内，只有p的倍数不与之互质。

与p^a互质的正整数个数等于p^a的总个数减去p的倍数的个数，即p^a - p^(a-1)。

性质3：如果m和n互质，则φ(mn) = φ(m) * φ(n)。

证明：假设m和n互质，设A为m的正整数中与n不互质的数的个数，B为n的正整数中与m不互质的数的个数。

可以将正整数1到mn分为四个部分：与m和n都不互质的数的个数为A，与m互质但与n不互质的数的个数为φ(m) - A，与m不互质但与n互质的数的个数为φ(n) - B，与m和n都互质的数的个数为mn - φ(m) - φ(n) + A + B。

所以与mn互质的正整数个数为φ(m) * φ(n)。

性质4：对于任意正整数n，n = ∏(p^a) (p为n的质因数，a为其指数)。

则φ(n) = n * ∏(1 - 1/p)。

证明：根据性质3，我们可以将n表示成其质因数的乘积。

对于p^a这个质因子，根据性质2可知，φ(p^a) = p^a - p^(a-1) = p^a * (1 - 1/p)。

依次对所有的质因子求和，得到φ(n) = n * ∏(1 - 1/p)。

这即证明了性质4。

通过以上性质的证明，我们可以得到欧拉函数的一些性质和计算方法。

这些性质和计算方法在数论和密码学等领域中有着广泛的应用。

欧拉公式的证明

欧拉公式的证明
1欧拉公式
欧拉公式是18世纪数学家著名的欧拉提出的一条著名公式，公式如下：
$$\scr{V}-\scr{E}+\scr{F}=2$$
这公式定义的是`多边形的顶点数`减去`边数`加上`面数`等于2的公式。

它的意义是，如果一个平面图形的顶点数-边数+面数=2，那么这个图形将是一个封闭的封闭多边形图形。

2欧拉公式的证明
对于欧拉公式的证明，就是要证明一个封闭多边形图形，即一个环状图形，它的顶点数减去边数加上面数等于2。

给定一个封闭多边形图形，假设它包含v顶点，e边，f面，则按照绘图准则，有:
v-e+f=2
为了证明这个公式，先来看一下一个特殊情况，如果我们有一个三角形，则它有3个顶点，3条边和1个面，这时候，注意这个三角形是封闭的一个环，那么令v=3，e=3，f=1，原式如下:
V-E+F=3-3+1=2
根据上述特殊情况，说明了如果我们有一个封闭多边形，那么它的顶点数减去边数加上面数，等于2。

而当多边形更大一些时，比如四边形，有4个顶点，4条边，1个面，类似的，令v=4，e=4，f=1，原式如下：
V-E+F=4-4+1=2
所以，按照上述演示，当任何一个封闭多边形的顶点数减去边数加上面数，都等于2，就证明了欧拉公式有效。

结论
从上述演示来看，欧拉公式在封闭多边形的情况下是有效的，即多边形的顶点数减去边数加上面数等于2。

欧拉函数公式及其证明

欧拉函数：欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数n ，小于n 且和n 互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

完全余数集合：定义小于n 且和n 互质的数构成的集合为Zn ，称呼这个集合为n 的完全余数集合。

显然|Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：对于素数p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数p，q ，它们的乘积n = p * q 满足φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ，则φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理：对于互质的正整数a 和n ，有aφ(n)≡ 1 mod n。

证明：( 1 ) 令Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ，S= {a * x1mod n, a * x2mod n, ... , a * xφ(n)mod n} ，则Zn = S 。

①因为a 与n 互质，x i (1 ≤ i ≤φ(n)) 与n 互质，所以a * x i与n 互质，所以a * x i mod n ∈ Zn 。

②若i ≠ j ，那么x i≠x j，且由a, n互质可得a * x i mod n ≠a * x j mod n （消去律）。

( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n)mod n≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n≡ (a * x1mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n)mod n) mod n≡x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n对比等式的左右两端，因为x i(1 ≤ i ≤φ(n)) 与n 互质，所以aφ(n)≡ 1 mod n （消去律）。

欧拉公式(总结)

在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。

（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。

将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P 同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。

n是一个正整数。

欧拉证明了下面这个式子：如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm*am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。

欧拉方程证明

欧拉方程证明欧拉方程是由莱昂哈德·欧拉于1736年提出的，它是一种特殊的数学方程式，描述了一个复杂的函数与自身导数之间的关系。

欧拉方程的形式为：f(x)+f'(x)=0，其中f'(x)表示f(x)的导数。

欧拉方程的证明过程并不复杂，可以通过将欧拉方程代入欧拉公式(e^{ix}=cos(x)+isin(x))中得到。

具体证明过程如下：首先，将欧拉方程代入欧拉公式中，得到：e^{ix}=cos(x)+isin(x)将这个式子对x求导，得到：ie^{ix}=-sin(x)+icos(x)然后，将上面这个式子乘以i，并将欧拉方程代入其中，得到： if(x)=-f'(x)将上面这个式子两边同时乘以e^{ix}，得到：ie^{ix}f(x)=-ie^{ix}f'(x)左边的式子可以化简为：ie^{ix}f(x)=if(x)e^{ix}将这个式子两边同时积分，得到：∫ie^{ix}f(x)dx=∫if(x)e^{ix}dx左边的式子可以用分部积分法进行求解，得到：ie^{ix}f(x)-∫e^{ix}f'(x)dx=if(x)e^{ix}-∫f'(x)ie^{ix}dx由于欧拉方程表明f(x)+f'(x)=0，所以上面这个式子可以继续化简为：ie^{ix}f(x)=-if(x)e^{ix}将上面这个式子代入右边积分中，得到：ie^{ix}f(x)-∫e^{ix}f'(x)dx=-ie^{ix}f(x) 移项化简后得到：∫e^{ix}f'(x)dx=2ie^{ix}f(x)再将这个式子代回到左边积分中，得到：ie^{ix}f(x)-2ie^{ix}f(x)=C化简后得到：f(x)=Ce^{-ix}其中C为任意常数。

因此，欧拉方程的解为f(x)=Ce^{-ix}。

欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数与欧拉定理欧拉函数（Euler's Totient Function）欧拉函数，又称欧拉Φ函数，是数论中的一个重要函数，它表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

形式化地来说，对于任意正整数n，欧拉函数Φ(n)的定义如下：Φ(n) = #{1<=a<=n | gcd(a,n)=1}其中gcd(a,n)表示a和n的最大公约数，#{1<=a<=n | gcd(a,n)=1}表示满足条件的a的个数。

欧拉函数的定义实际上是对欧拉定理的一个重要应用，它可以帮助我们计算小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数。

例如，欧拉函数Φ(8)表示小于或等于8的正整数中与8互质的数的个数，显然有Φ(8) = 4，因为与8互质的数为1、3、5、7。

欧拉函数的性质欧拉函数有许多重要的性质，它们在数论中有着重要的应用。

以下是欧拉函数的一些常见性质：1. 如果n是一个质数，那么Φ(n) = n-1。

这是因为对于质数n来说，小于或等于n的正整数中除了本身之外都与n互质，因此有Φ(n) = n-1。

2. 如果n和m互质，那么Φ(nm) = Φ(n) * Φ(m)。

这是因为互质的两个数的最大公约数是1，所以小于或等于nm的正整数中与nm互质的数可以分解为与n互质的数和与m互质的数的乘积。

3. 如果p是一个质数，k是一个正整数，那么Φ(p^k) = p^k - p^(k-1)。

这是因为对于p^k来说，与p^k互质的数可以分解为与p互质的数和不与p互质但与p^2互质的数的和，而不与p互质但与p^2互质的数的个数正好是p^(k-1)。

4. 如果n可以分解为质因数分解形式n = p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km，那么Φ(n) = n * (1-1/p1) * (1-1/p2) * ... * (1-1/pm)。

这是欧拉函数的一个重要性质，它可以帮助我们计算任意正整数的欧拉函数值。

欧拉公式的证明(整理)

欧拉公式的证明著名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。

原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。

特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起方法一：用幂级数展开形式证明，但这只是形式证明（严格的说，在实函数域带着i只是形式上的）再抄一遍：设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy)用牛顿幂级数展开式e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......把 e^(iy) 展开，就得到e^z/e^x = e^(iy)=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)+i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)由于 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....所以 e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)即 e^(iy) = (cosy+isiny)方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinz cosz而后根据关系推导出了欧拉公式。

着个才是根基。

由来缘于此。

方法一是不严格的。

再请看这2个积分∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;上式左边相当于下式左边乘以i于是上式右边相当于下式右边乘以i然后化简就得到欧拉公式这个证明方法不太严密但很有启发性历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式设a t θЄR,ρЄR+,a^(it)Єz有:a^(it)=ρ(cosθ+isinθ) 1因共轭解适合方程,用-i替换i有:a^(-it)=ρ(cosθ-isinθ) 2由1,2得ρ=1,点P[a^(it)]在单位圆上,a^(it)可表达为:a^(it)=cosθ+isinθ 3设t=u(θ),对3微商有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=-sinθ+icosθ整理有:[a^(it)]*(lna)*u'(θ)*i=(cosθ+isinθ)(cosπ/2+isinπ/2)约去a^(it)有: u'(θ)=logae 44取积分有:T=(logae)*θ+Ψ 5θ→0时,t=limt=Ψ,带入3有:a^(iΨ)=1 即:Ψ=0 66代入5有:T=(logae)*θ 77代入3有:[a^(logae)]^(iθ)=cosθ+isinθ化简得欧拉公式:e^(iθ)=cosθ+isinθ（后两者才是真正让我震惊的）欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。

欧拉函数（总结）

欧拉函数（总结）定义欧拉函数ϕ(n)是不超过n且和n互质的正整数的个数。

欧拉函数φ(n)的作⽤就是转化，从⽽简化运算（⼩性质：n的所有质因⼦之和=eular(n)*n/2);下⾯直观地看看欧拉函数：n123456789101112131415φ(n)11224264641041268定理定理1 算术函数f如果满⾜对于任意两个互质的正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称f为积性函数（或乘性函数）。

如果对于任意两个正整数m和n，均有f(mn)=f(m)f(n)，就称为完全积性函数。

定理2 若m、n互质，ϕ(mn)=ϕ(m)ϕ(n)，所以欧拉函数是积性函数。

因为mn互质，和m互质的数乘上和n互质的数就会和mn互质。

定理3欧拉函数的两种求法#include<iostream>using namespace std;int phi[100011];int eular(int n){//求⼀个数的欧拉值int res=n;if(n==1)return 1;for(int i=2;i<=n;i++){if(n%i==0){res=res/i*(i-1);while(n%i==0)n/=i;}}return n>1?res/n*(n-1):res;}void eularplus(int n){//求多个数的欧拉值for(int i=1;i<=n;i++)phi[i]=i;for(int i=2;i<=n;i++){if(phi[i]==i){for(int j=i;j<=n;j+=i)phi[j]=phi[j]/i*(i-1);}}}int main(){int n;scanf("%d",&n);printf("%d\n",eular(n));eularplus(n);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",phi[i]); printf("\n");return 0;}// 15// 8// 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6 8。

欧拉函数证明及其性质

欧拉函数证明及其性质欧拉函数证明欧拉函数定义：定义⼀个数n，φ(n)为不⼤于n的，与n互质的数的个数。

证明⽅法⽤到容斥定理：容斥定理的原理如图：A∪B∪C=A+B+C - A∩B - B∩C - A∩C + A∩B∩C;欧拉函数证明：⼩于等于n的基数有n个，讨论所有n的素因⼦，只要是素因⼦的倍数的是都不是n的互质数。

⾸先如果如果n为素数那么，φ(n)=n-1；如果n不是素数，只要除去n的质因⼦和n的质因⼦的倍数就可以了，①因为任意⼀个数都能表⽰成若⼲个素数的乘积，所以只要除去质因⼦的以及倍数就够可以了，因为如果除去的不是质因⼦，那么这个因⼦还能继续被分解成若⼲个质因⼦的乘积⼜能被n整除，综上那么就有基数n减去所有是质因⼦倍数的个数，然后加上任意两个，减三个，加四个…质因⼦积的倍数（容斥定理），②φ(n)=n - (n/p1 + n/p2 + n/p3 + n/p4 …. + n / pn - n / (p1 * p2) - n / (p1 * p3) ) …（容斥定理pn为质因⼦），所以②式得出的就是所有的互质数的个数。

可化简为φ(n)=n*(1-1/p1) *(1-1/p2) *(1-1/p3)…*(1-1/pk);①式证明：当n=2时，显然成⽴；假设当n=k时成⽴；那么当n=k+1时，如果n是素数那么显然成⽴，如果不是素数那么n⼀定能分解成两个数的乘积，⼜因为n=k时是成⽴的，所有综上所述结论成⽴另外欧拉函数还有两条重要的性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a; 若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);。