《菱形的性质》专题训练

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菱形的性质训练题

1、底乘以高
面 2、S 1 ab （a，b表示两条对角线的长度）
积
2
D
A
O
C
B
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O
（1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？（2）有哪些特殊的三角形？
已知四边形ABCD是菱形
A
D
12
7 8
相等的线段：AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
5 6
O
34
B
C
相等的角：∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形： △ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
Rt△DOA
全等三角形：Rt△AOB ≌ Rt△COB≌ Rt△COD ≌ Rt△AOD
义行四边形
四边形
性 1、具有平行四边形的 1、具有平行四边形的
一切性质
一切性质
质 2、四个角都是直角 2、菱形的四条边都相 3、矩形的对角线相等等 3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
三、课堂练习（复习巩固）
1、菱形的两条对角线长分别是6cm和
8cm，则菱形的周长，面积Байду номын сангаас
△ABD≌△CBD
△ABC≌△ADC
四边形集合平行四边形集合菱形集合矩形集合
例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长；
A
⑵求菱形ABCD的面积．B

菱形的性质和判定经典试题综合训练(含解析)

菱形的性质和判定经典试题综合训练（含解析）一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC2．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm5．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD6．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于（）A．6 B．3 C．1.5 D．0.757．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（）A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm8．如图，作菱形ABCD的高AE，E为CD的中点．AE=cm，则菱形ABCD的周长是（）A．4cm B．4cm C．4cm D．8cm9．如图，菱形ABCD中，过A作BD的平行线交CD的延长线于点E，下列结论：（1）∠EAC=90°，（2）DA=DE，（3）∠ABC=2∠E，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（）A．AB=AC B．∠BAC=90°C．∠BAC=120°D．∠BAC=150°11．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．412．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（）A．DF⊥AB B．CG=2GA C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣114．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称△EOD图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC 翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2 C． D．3二．填空题（共9小题）16．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为cm．17．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件．19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．20．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于．21．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．22．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．23．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足条件时，四边形EFGH是菱形．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为．三．解答题（共9小题）25．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．26．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．27．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE，连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：四边形ABFE是菱形．28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．29．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．30．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，若BE⊥CD，试证明∠EFD=∠BCD．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．32．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．33．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．菱形的性质和判定经典试题综合训练参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（）A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC【分析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【解答】解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBEF是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBEF是菱形．其余选项均无法判断四边形DBEF是菱形，故选D．2．求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．以下是排乱的证明过程：①又BO=DO；②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；③∵四边形ABCD是菱形；④∴AB=AD．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②【分析】根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，故选B．3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【分析】根据菱形的性质解答即可得．【解答】解：A、菱形的对角线互相平分，此选项正确；B、菱形的对角线互相垂直，此选项正确；C、菱形的对角线不一定相等，此选项错误；D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，此选项正确；故选：C．4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别是6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）A．cm B．cm C．cm D．5cm【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2，∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE=cm．故选：B．5．如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（）A．AB=AD B．AC=BD C．AD=BC D．AB=CD【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF=GH=AB，EH=FG=CD，又由当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．【解答】解：∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，∴EF=GH=AB，EH=FG=CD，∵当EF=FG=GH=EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB=CD时，四边形EFGH是菱形．故选：D．6．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于（）A．6 B．3 C．1.5 D．0.75【分析】连AP，由菱形ABCD的周长为16，根据了菱形的性质得AB=AD=4，并且S菱形ABCD=2S△ABD，则S△=×12=6，由于S△ABD=S△APB+S△APD，再根据三角形的面积公式得到•PE•AB+•PF•AD=6，即可得到ABDPE+PF的值．【解答】解：连AP，如图，∵菱形ABCD的周长为16，∴AB=AD=4，∴S菱形ABCD=2S△ABD，∴S△ABD=×12=6，而S△ABD=S△APB+S△APD，PE⊥AB，PF⊥AD，∴•PE•AB+•PF•AD=6，∴2PE+2PF=6，∴PE+PF=3．故选B．7．若菱形的周长为52cm，面积为120cm2，则它的对角线之和为（）A．14cm B．17cm C．28cm D．34cm【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式整理可得AO•BO=60，根据菱形的周长求出AB=13，再利用勾股定理可得AO2+BO2=169，然后利用完全平方公式整理并求出AO+BO，再求解即可．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，∵菱形的面积为120cm2，∴AC•BD=120，即×2AO•2BO=120，所以，AO•BO=60，∵菱形的周长为52cm，∴AB=13cm，在Rt△AOB中，由勾股定理得，AO2+BO2=AB2=132=169，所以，（AO+BO）2=AO2+2AO•BO+BO2=169+60×2=289，所以，AO+BO=17，所以，AC+BD=2（AO+BO）=2×17=34cm．故选D．8．如图，作菱形ABCD的高AE，E为CD的中点．AE=cm，则菱形ABCD的周长是（）A．4cm B．4cm C．4cm D．8cm【分析】通过解直角三角形ADE得到边AD的长度，然后由菱形的周长公式进行解答．【解答】解：在菱形ABCD中，AD=CD．∵E为CD的中点，AE⊥CD，∴ED=CD=AD，∴∠DAE=30°，∵AE=cm，∴AD===2（cm），∴菱形ABCD的周长=4AD=8cm．故选：D．9．如图，菱形ABCD中，过A作BD的平行线交CD的延长线于点E，下列结论：（1）∠EAC=90°，（2）DA=DE，（3）∠ABC=2∠E，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据菱形的性质、平行线的性质、平行四边形的判定和性质等知识一一判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=2∠ABD，∵AE∥BD，∴AE⊥AC，∴∠EAC=90°，故①正确，∵AB∥DE，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE，∠E=∠ABD，∴AD=DE，故②正确，∴∠ABC=2∠E，故③正确，故选D．10．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？（）A．AB=AC B．∠BAC=90°C．∠BAC=120°D．∠BAC=150°【分析】根据等边三角形性质得出BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，求出∠DBE，证△DBE≌△ABC，推出DE=AC=AF，同理AD=EF得出平行四边形ADEF，根据菱形的判定判断即可．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBE=∠CBA=60°﹣∠EBA，在△DBE和△ABC中，，∴△DBE≌△ABC（SAS），∴DE=AC，∵△AFC是等边三角形，∴AF=AC，∴AF=DE，同理AD=EF，∴四边形ADEF是平行四边形，当AB=AC时，∵AD=AB，AC=AF，∴AD=AF，∴四边形ADEF是菱形，故选A．11．已知菱形的周长为4，两条对角线的和为6，则菱形的面积为（）A．2 B．C．3 D．4【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可得出答案．【解答】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD，∴AO+BO=3，∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9，∴2AO•BO=4，∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4；故选：D．12．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【分析】由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种，即可得出结论．【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴①②③能使四边形ABCD是菱形；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形；∵AD=BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形；∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；∴②③④能使四边形ABCD是菱形；∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种．故选：D．13．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论不正确的是（）A．DF⊥AB B．CG=2GA C．CG=DF+GE D．S四边形BFGC=﹣1【分析】A、由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出A正确；B、由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2AB•cos∠BAC，AG=，求出AC，AG，即可得出B正确；C、由勾股定理求出DF=，由GE=tan∠2•ED求出GE，即可得出C正确；D、由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出D不正确．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，∵∠1=∠2，∴∠GAD=∠2，∴AG=GD，∵GE⊥AD，∴GE垂直平分AD，∴AE=ED，∵F为边AB的中点，∴AF=AE，在△AFG和△AEG中，，∴△AFG≌△AEG（SAS），∴∠AFG=∠AEG=90°，∴DF⊥AB，∴A正确；∵DF⊥AB，F为边AB的中点，∴AF=AB=1，AD=BD，∵AB=AD，∴AD=BD=AB，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=∠BCD=60°，∴∠BAC=∠1=∠2=30°，∴AC=2AB•cos∠BAC=2×2×=2，AG===，∴CG=AC﹣AG=2﹣=，∴CG=2GA，∴B正确；∵GE垂直平分AD，∴ED=AD=1，由勾股定理得：DF===，GE=tan∠2•ED=tan30°×1=，∴DF+GE=+==CG，∴C正确；∵∠BAC=∠1=30°，∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，FG=AG=，S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF=×2×1﹣×1×=﹣=，∴D不正确；故选：D．14．如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称△EOD图形．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．【解答】解：①正确∵E、F分别是OA、OC的中点．∴AE=OE．∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．∴EF⊥OD，OE=OF．∵OD=OD．∴DE=DF．同理：BE=BF∴四边形BFDE是菱形．③正确∵菱形ABCD的面积=AC×BD．E、F分别是OA、OC的中点．∴EF=AC．∴菱形ABCD的面积=EF×BD．④不正确，由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．⑤正确∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．∴△DEO≌△DFO．∴△DEF是轴对称图形．∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC 翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间为t秒，若四边形QP′CP为菱形，则t的值为（）A．B．2 C． D．3【分析】首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得=，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．【解答】解：连接PP′交BC于O，∵若四边形QPCP′为菱形，∴PP′⊥QC，∴∠POQ=90°，∵∠ACB=90°，∴PO∥AC，∴=，∵设点Q运动的时间为t秒，∴AP=t，QB=t，∴QC=6﹣t，∴CO=3﹣，∵AC=CB=6，∠ACB=90°，∴AB=6，∴=，解得：t=2，故选：B．二．填空题（共9小题）16．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2．则OC的长为4cm．【分析】根据作法判定出四边形OACB是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．【解答】解：根据作图，AC=BC=OA，∵OA=OB，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC=×2×OC=4，解得OC=4cm．故答案为：4．17．如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD ∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是①②③④（只填写序号）【分析】根据轴对称图形的性质，结合菱形的判定方法以及全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】解：因为l是四边形ABCD的对称轴，AB∥CD，则AD=AB，∠1=∠2，∠1=∠4，则∠2=∠4，∴AD=DC，同理可得：AB=AD=BC=DC，所以四边形ABCD是菱形．根据菱形的性质，可以得出以下结论：所以①AC⊥BD，正确；②AD∥BC，正确；③四边形ABCD是菱形，正确；④在△ABD和△CDB中∵∴△ABD≌△CDB（SSS），正确．故答案为：①②③④．18．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件AC=BD．【分析】添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．【解答】解：添加的条件应为：AC=BD．证明：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故答案为：AC=BD19．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．【解答】解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形EBFC是矩形，②BF∥CE，根据EBFC是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF是菱形．故答案为：③．20．如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 2.5．【分析】直接利用菱形的性质得出AB=AD=10，S△ABD=12.5，进而利用三角形面积求法得出答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB=AD=10，S△ABD=12.5，∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，∴×AB×PE+×PF×AD=12.5，∴×10（PE+PF）=12.5，∴PE+PF=2.5．故答案为：2.5．21．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75度．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．22．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为3和4，∠A=120°，则图中阴影部分的面积．【分析】作BM⊥FG于M，交EC于N，如图，根据菱形的性质得BC=CD=3，CG=GF=4，AB∥CE∥GF，∠ABC=∠BCD=∠CGF=120°，则∠BCN=∠BGM=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△BCN中可计算出BN=CN=，在Rt△BMG中可计算出BM=GM=，则MN=BM﹣BN=﹣=2，然后根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S△BCD+S梯形CDFG﹣S△BGF进行计算即可．另一种解法为把阴影部分的面积转化为△BCD的面积进行计算．【解答】解：连接CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE为菱形，∠A=120°，∴∠DBC=∠FCG=30°，∴BD∥CF，∴S△FDB=S△CDB=S菱形ABCD=•2••32=．故答案为．23．如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，当四边形ABCD的边至少满足AB=CD条件时，四边形EFGH是菱形．【分析】首先利用三角形的中位线定理证出EF∥AB，EF=AB，HG∥AB，HG=AB，可得四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，添加条件AB=CD后，证明EF=EH即可．【解答】解：需添加条件AB=CD．∵E，F是AD，DB中点，∴EF∥AB，EF=AB，∵H，G是AC，BC中点，∴HG∥AB，HG=AB，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵E，H是AD，AC中点，∴EH=CD，∵AB=CD，∴EF=EH，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：AB=CD．24．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点B出发，沿BA方向以每秒cm的速度向终点A运动；同时，动点Q从点C出发沿CB方向以每秒1cm的速度向终点B运动，将△BPQ沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设Q点运动的时间t秒，若四边形QPBP′为正方形，则t的值为2．【分析】根据正方形的判定定理得到BQ=BP时，四边形QPBP′为正方形进行解答即可．【解答】解：由题意得，当△BPQ为等腰直角三角形时，四边形QPBP′为正方形，则BQ=BP，即6﹣t=×t，解得t=2．故答案为：2．三．解答题（共9小题）25．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形；【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形．26．如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF=BC，求∠ADC的度数．【分析】（1）连结DB 、DF ．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA ，再利用SAS 证明△BAD ≌△FAD ，得出DB=DF ，那么D 在线段BF 的垂直平分线上，又AB=AF ，即A 在线段BF 的垂直平分线上，进而证明AD ⊥BF ；（2）设AD ⊥BF 于H ，作DG ⊥BC 于G ，证明DG=CD ．在直角△CDG 中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．【解答】（1）证明：如图，连结DB 、DF ．∵四边形ABCD ，ADEF 都是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，AD=DE=EF=FA ．在△BAD 与△FAD 中，，∴△BAD ≌△FAD ，∴DB=DF ，∴D 在线段BF 的垂直平分线上， ∵AB=AF ，∴A 在线段BF 的垂直平分线上，∴AD 是线段BF 的垂直平分线，∴AD ⊥BF ；（2）如图，设AD ⊥BF 于H ，作DG ⊥BC 于G ，则四边形BGDH 是矩形，∴DG=BH=BF ．∵BF=BC ，BC=CD ，∴DG=CD ．在直角△CDG 中，∵∠CGD=90°，DG=CD ，∴∠C=30°，∵BC ∥AD ，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．27．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）求证：四边形ABFE 是菱形．【分析】（1）根据旋转角求出∠BAD=∠CAE ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等．（2）根据对角相等的四边形是平行四边形，可证得四边形ABFE 是平行四边形，然后依据邻边相等的平行四边形是菱形，即可证得．【解答】（1）证明：∵ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，∴∠BAC=∠DAE=40°，∴∠BAD=∠CAE=100°，又∵AB=AC，∴AB=AC=AD=AE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）证明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE，∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°．∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°，∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°，∴∠BAE=∠BFE，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AB=AE，∴平行四边形ABFE是菱形．28．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB==，∴AD==2．29．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE=AB=AE，DF=AC=AF，再根据AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE=AF=DE=DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF=x，AD=y，则x+y=7，进而得到x2+2xy+y2=49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，得到x2+y2=36，据此可得xy=，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE=AB=AE，Rt△ACD中，DF=AC=AF，又∵AB=AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE=3，设EF=x，AD=y，则x+y=7，∴x2+2xy+y2=49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2=AE2，∴（y）2+（x）2=32，即x2+y2=36，②把②代入①，可得2xy=13，∴xy=，∴菱形AEDF的面积S=xy=．30．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，若BE⊥CD，试证明∠EFD=∠BCD．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中．∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD，∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD．31．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．32．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：四边形BDFG是菱形；（2）若AF=8，CF=6，求四边形BDFG的面积．【分析】（1）首先可判断四边形BDFG是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可证明四边形BDFG是菱形；（2）首先过点B作BH⊥AG于点H，由AF=8，CF=6，可利用勾股定理求得AC的长，即可求得DF的长，然后由菱形的性质求得BG=GF=DF=5，再求出EF的长即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CE⊥BD，∴CE⊥AG，又∵BD为AC的中线，∴BD=DF=AC，∴四边形BDFG是菱形，（2）∵AF=8，CF=6，CF⊥AG，∴AC==10，∴DF=AC=5，∵四边形BDFG是菱形，∴BD=GF=DF=5，∵DE∥AG，CD=AD，∴CE=EF=3∴S菱形BDFG=GF•EF=15．33．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠4=60°，AC=AB进而求证△ABE ≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根据S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可解题；当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又根据S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则△CEF的面积就会最大．【解答】（1）证明：连接AC，如下图所示，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化．理由：由（1）得△ABE≌△ACF，则S△ABE=S△ACF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值，作AH⊥BC于H点，则BH=2，S四边形AECF=S△ABC=BC•AH=BC•=4，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF，则此时△CEF的面积就会最大．∴S△CEF=S四边形AECF﹣S△AEF=4﹣×2×=．答：最大值是．。

《菱形的性质》拓展训练

《菱形的性质》拓展训练一、选择题（本大题共10小题，共分）1．（4分）若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（）A．48B．24C．14D．122．（4分）菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．243．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠AOE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．18C．9D．65．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD于点E，则AE的长是（）A．4B．C．5D．6．（4分）如图，菱形中ABCD，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°7．（4分）菱形ABCD的面积为120，对角线BD＝24，则这个菱形的周长是（）A．64B．60C．52D．508．（4分）菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长是（）A．4 cm B．cm C．2 cm D．2Cm9．（4分）如图，点O是AC的中点，将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则图中阴影部分的面积是（）A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm210．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°二、填空题（本大题共5小题，共分）11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若AB＝5，AC＝6．则AE的长为．12．（4分）菱形的两邻角之比为1：2，一条较短的对角线长为6cm，则另一条对角线长为，这个菱形的面积为．13．（4分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是．14．（4分）如图所示，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A．C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．15．（4分）如图，平行四边形ABCD的周长是20cm，点E、F分别是平行四边形ABCD对边BC和AD上的点，连接BF和DE，若四边形BEDF是菱形，则△CDE的周长为．三、解答题（本大题共5小题，共分）16．（8分）如图，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形．（2）若AD＝10，EC＝3，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．17．（8分）如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．（1）求证：BC＝DE；（2）若四边形ADBE是菱形，求∠ABC的度数．18．（8分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．（1）求证：△DCE≌△BCE；（2）求证：∠AFD＝∠EBC；（3）若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．19．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．20．（8分）在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE．（Ⅰ）如图①，求证四边形AECF是平行四边形；（Ⅱ）如图②，若∠BAC＝90°，且四边形AECF是边长为6的菱形，求BE的长．《菱形的性质》拓展训练参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，共分）1．（4分）若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为（）A．48B．24C．14D．12【分析】由菱形的面积公式可求解．【解答】解：∵菱形的两条对角线分别长8、6，∴S＝×8×6＝24故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）是本题的关键．2．（4分）菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（）A．5B．10C．20D．24【分析】根据菱形的性质即可求出答案．【解答】解：由于菱形的两条对角线的长为6和8，∴菱形的边长为：＝5，∴菱形的周长为：4×5＝20，故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．3．（4分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠AOE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，DO＝BO，由勾股定理可得BD＝2，由直角三角形的性质可得EO＝DO＝BO＝1，可证△BEO是等边三角形，可得∠BOE＝60°，即可求∠AOE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，DO＝BO，∵DE⊥AB，DE＝，BE＝1，∴BD＝＝2∴DO＝BO＝1∵DE⊥BA，DO＝BO，∴EO＝DO＝BO＝1，∴BE＝BO＝EO＝1，∴△BEO是等边三角形∴∠BOE＝60°∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝90°﹣60°＝30°故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定，熟练运用菱形的性质是本题的关键．4．（4分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，AC＝6，则菱形ABCD的面积是（）A．18B．18C．9D．6【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，然后求出AB＝AD＝BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据直角三角形30度角的性质得OB的长，则得对角线BD的长，根据菱形面积公式：两条对角线乘积一半可得结论．【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，∴AD＝DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴AD＝DB＝AB，∴△ABD为等边三角形．∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC于O，AO＝AC＝×6＝3，Rt△AOB中，∠OAB＝30°，∴OB＝，∴BD＝2OB＝2，∴菱形ABCD的面积＝＝＝6，故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．5．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC：BD＝3：4，AE⊥CD于点E，则AE的长是（）A．4B．C．5D．【分析】根据AC：BD＝3：4和菱形对角线的性质得：AO：OB＝3：4，设AO＝3x，OB ＝4x，则AB＝5x，由S菱形ABCD＝，可得AE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC，OB＝BD，AC⊥BD，∵AC：BD＝3：4，∴AO：OB＝3：4，设AO＝3x，OB＝4x，则AB＝5x，∵AB＝5，∴5x＝5，x＝1，∴AC＝6，BD＝8，S菱形ABCD＝，∴，AE＝，故选：B．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确利用菱形的面积求出AE的长是解题关键．6．（4分）如图，菱形中ABCD，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCD＝25°，∵EF垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝25°，∴∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故选：D．【点评】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）菱形ABCD的面积为120，对角线BD＝24，则这个菱形的周长是（）A．64B．60C．52D．50【分析】菱形的面积可以根据对角线的长计算，已知菱形的面积，对角线BD的长即可计算AC的长，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝120，∵BD＝24，∴AC＝＝10，∴AB＝，∴这个菱形的周长＝13×4＝52，故选：C．【点评】本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法，本题中正确计算是解题的关键．8．（4分）菱形的边长是2cm，一条对角线的长是2cm，则另一条对角线的长是（）A．4 cm B．cm C．2 cm D．2Cm【分析】根据菱形对角线互相平分，可得BO＝OD＝cm，且AB2＝AO2+BO2，已知AB，BO即可求AO的值，即可解题．【解答】解：已知AB＝2cm，∵菱形对角线互相平分，∴BO＝OD＝cm在Rt△ABO中，AB2＝AO2+BO2AB＝2cm，BO＝cm，∴AO＝1cm，故菱形的另一条对角线AC长为2AO＝2cm，故选：C．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的长是解题的关键．9．（4分）如图，点O是AC的中点，将面积为4cm2的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则图中阴影部分的面积是（）A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2【分析】根据题意得，▱ABCD∽▱OECF，且AO＝OC＝AC，故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的．【解答】解：由平移的性质得，▱ABCD∽▱OECF，且AO＝OC＝AC，故四边形OECF的面积是▱ABCD面积的．，即图中阴影部分的面积为lcm2．故选：A．【点评】此题主要考查学生对菱形的性质及平移的性质的综合运用．关键是得出四边形OECF的面积是▱ABCD面积的．10．（4分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．40°【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH ⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠1＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，∵BD⊥AC，∴∠2+∠DCO＝90°，∴∠1＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故选：A．【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共5小题，共分）11．（4分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若AB＝5，AC＝6．则AE的长为．【分析】连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE＝AC•BD可得答案．【解答】解：连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝5，OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD．在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝4，∴BD＝2OB＝8．∵S菱形ABCD＝BC•AE＝AC•BD＝24，∴5AE＝24，∴AE＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．12．（4分）菱形的两邻角之比为1：2，一条较短的对角线长为6cm，则另一条对角线长为6cm，这个菱形的面积为18cm2．【分析】作出图形，根据菱形的邻角互补求出较小的内角为60°，从而判断出△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OB，然后根据菱形对角线互相平分可得BD ＝2OB，菱形的面积＝×两对角线的乘积．【解答】解：如图，∵菱形的两邻角之比为1：2，∴较小的内角∠ABC＝180°×＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴OB＝×6＝3cm，∴较长的对角线BD＝2OB＝2×3＝6cm．∴菱形的面积＝AC•BD＝×6×6＝18（cm2）．故答案是：6cm；18cm2．【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC是等边三角形是解题的关键，作出图形更形象直观．13．（4分）如图，菱形ABCD中，∠BCD＝50°，BC的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接BF、DF，则∠DFC的度数是130°．【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根据对称性可知∠CFD＝∠CFB即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝25°，∵EF垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝25°，∴∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根据对称性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故答案为：130°．【点评】本题考查菱形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（4分）如图所示，菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，P是对角线AC上任一点（点P不与点A．C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是．【分析】由题意可得：S△ABC＝，四边形AEPF是平行四边形，可得S△AEP＝S▱ABCD＝S△EFP，即可得S阴影＝S△ABC．【解答】解：∵菱形ABCD的对角线的长分别为3和6，∴S菱形ABCD＝×3×6＝9∴S△ABC＝∵PE∥BC∥AD，PF∥CD∥AB∴四边形AEPF平行四边形∴S△AEP＝S▱ABCD，S△EFP＝S▱ABCD∴S△EFP＝S△AEP∵S阴影＝S四边形BCPE+S△EFP＝S四边形BCPE+S△AEP＝S△ABC∴S阴影＝故答案为：【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．15．（4分）如图，平行四边形ABCD的周长是20cm，点E、F分别是平行四边形ABCD对边BC和AD上的点，连接BF和DE，若四边形BEDF是菱形，则△CDE的周长为10cm．【分析】根据平行四边形的性质和周长是20cm，得邻边的和BC+CD＝10cm，由菱形的四边相等可知：BE＝DE，所以三角形周长得BC+CD，可得结论．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长是20cm，∴BC+CD＝10cm，∵四边形BEDF是菱形，∴BE＝DE，∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝BE+EC+DC＝BC+CD＝10cm，故答案为：10cm．【点评】此题考查的知识点是平行四边形的性质与菱形的性质，关键是由菱形的性质得BE＝DE是本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共分）16．（8分）如图，点A，B，C，D依次在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，已知BE∥CF，∠A＝∠D，AE＝DF．（1）求证：四边形BFCE是平行四边形．（2）若AD＝10，EC＝3，∠EBD＝60°，当四边形BFCE是菱形时，求AB的长．【分析】（1）想办法证明BE＝CF即可解决问题．（2）利用全等三角形的性质证明AB＝CD即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB，∴∠EBA＝∠FCD，∵∠A＝∠D，AE＝DF，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴BE＝CF，AB＝CD，∴四边形BFCE是平行四边形．（2）解：∵四边形BFCE是菱形，∠EBD＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BC＝EC＝3，∵AD＝10，AB＝DC，∴AB＝（10﹣3）＝．【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（8分）如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．（1）求证：BC＝DE；（2）若四边形ADBE是菱形，求∠ABC的度数．【分析】（1）由题意可得四边形DBCE是平行四边形，则结论可得（2）由四边形ADBE是菱形可得BA⊥DE，且DE∥BC可得AB⊥BC可求∠ABC的度数【解答】证明：（1）∵DB＝AC，E是AC的中点∴DE＝CE，且DB∥AC∴四边形DBCE是平行四边形∴BC＝DE（2）∵四边形ADBE是菱形∴AB⊥DE∵DE∥BC∴AB⊥BC∴∠ABC＝90°【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．18．（8分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．（1）求证：△DCE≌△BCE；（2）求证：∠AFD＝∠EBC；（3）若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS）；（2）利用全等三角形平行线的性质即可解决问题；（3）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F 在线段AB上时；分别求出即可．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB，∠ACD＝∠ACB，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），（2）∵△DCE≌△BCE，∴∠CDE＝∠CBE，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠AFD，∴∠EBC＝∠AFD，即∠F＝∠EBC；（3）解：分两种情况：①如图1，当F在AB延长线上时，∵∠EBF为钝角，∴只能是BE＝BF，设∠BEF＝∠BFE＝x°，可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x＝180，解得：x＝30，∴∠EFB＝30°；②如图2，当F在线段AB上时，∵∠EFB为钝角，∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°，可证得：∠AFD＝∠FDC＝∠CBE，得x+2x＝90，解得：x＝30，∴∠EFB＝120°．综上：∠F＝30°或120°．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．19．（8分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】利用SAS只要证明DE＝DF，DA＝DC即可解决问题；【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD＝2DF，CD＝2DE，∴DE＝DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）．【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．（8分）在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF＝CE．（Ⅰ）如图①，求证四边形AECF是平行四边形；（Ⅱ）如图②，若∠BAC＝90°，且四边形AECF是边长为6的菱形，求BE的长．【分析】（I）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，根据平行四边形的判定推出即可；（II）根据菱形的性质求出AE＝6，AE＝EC，求出AE＝BE即可．【解答】解：（I）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形；（II）如图：∵四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2，∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°∠1+∠B＝90°，∴∠3＝∠B，∴AE＝BE，∵AE＝6，∴BE＝6．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．。

菱形的性质专项练习30题(有答案)ok

菱形的性质专项练习30题（有答案)1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．2．如图，菱形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求菱形ABCD的周长．3．如图，菱形对角线AC，BD相交于一点O，且AC=12cm，BD=16cm．求这个菱形的周长和面积．4．如图，已知菱形ABCD的边长是2cm，BAD=120°．（1）试说明：△ABC是等边三角形；（2）求菱形两条对角线的长．5．如图，菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=3．（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积．6．如图，菱形ABCD的周长为200cm，对角AC与BD交于点O，且AC=60cm，试求菱形ABCD的面积．7．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．试判断四边形AODE的形状，并说明理由．9．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．10．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；（3）在没有辅助线的前提下，图中共有_________对相似三角形．11．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．12．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．13．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、AD上，且AF=CE，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AFC的度数．14．如图，平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG：（2）若四边形ABFG是菱形，且AB：BC=2：3，求∠B的度数．15．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，BE=CE，求∠BAD的度数．16．如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF 为等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求菱形ABCD的面积．17．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC 与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．18．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．20．已知：菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．21．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．22．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．求证：（1）AE=AF；（2）△AEF为等边三角形．23．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，求DE和AF的长．24．如图，边长为a的菱形ABCD中，∠A=60°，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF 交于M，若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2，求证：R1•R2为定值，并求这个定值．25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，6），D（﹣8，0）．（1）求点C的坐标；（2）设菱形ABCD对角线AC、BD相交于点E，求经过点E的反比例函数解析式．26．如图，菱形ABCD中，点P是AB的中点，延长DP交CB的延长线于E点．求证：BE=CD．27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．28．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．29．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．30．如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．（1）求证：OB=OD；（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）参考答案:1．（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC﹣CH=x﹣4，在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，∴82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，∴菱形周长为40．（2）∵AH=8，CH=4，∴AC==4，∴CO=AO=AC=2，∵BC=10，CO=2，∴BO==4∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，∴△BHE∽△BOC，∴，∴，∴EH=3，∴AE=AH﹣EH=8﹣3=5，∴OE==2．（1）菱形的对角线为AC=6cm，BD=8cm，则菱形的面积为AC•BD=×6×8=24cm2；（2）菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=4cm，AO=OC=3cm，∴AB==5cm，故菱形的周长为20cm，答：菱形的周长为20cm，面积为24cm2．3．∵在菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，∴S菱形ABCD =×AC×BD=×12×16=96（cm2）．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10cm，∴菱形ABCD的周长为：4×10=40（cm）．故这个菱形的周长为40cm，面积为96cm24．（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠BAC=∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BAC=60°，AB=2cm，∴∠ABO=30°，∴OA AB=1（cm），∴OD==（cm），∴AC=2OA=2cm，BD=2OD=2cm．5．（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=5，∴菱形ABCD的周长等于5×4=20；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB=，==4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8，∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=246．菱形周长为200cm，则AB=50cm，∵AC=60cm，∴AO=30cm，菱形对角线互相垂直，∴△AOB为直角三角形，在Rt△AOB中，BO==40cm，∴BD=2BO=80cm，∴菱形ABCD的面积为S=×60cm×80cm=2400cm2，答：菱形ABCD的面积为2400cm2．7．由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20；∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S=AC×BD=24．综上可得菱形的周长为20、面积为24．8．四边形AODE是矩形．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形9．（1）四边形OCED是矩形．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，∴CD===5，在矩形OCED中，OE=CD=510．1）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EM⊥AC，∴EM∥BD，∵E为AB的中点，∴M为AD的中点，∴AM=DM；（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，∴四边形FDBE是平行四边形，∴FD=BD，∵DF=2，∴BE=2，∴AB=2BE=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．11．（1）∵菱形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．（2）∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形；（3）∵EC+CF=BE+EC=BC=2，△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周长=2+AE，由“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE最短，AE=，∴△CEF的周长=2+12．（1）∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，∵AC，BD为菱形的对角线，∴AC⊥BD，即∠COD=90°，∴平行四边形OCED为矩形．（2）菱形ABCD的周长为20，则菱形的边长为5，即=5，矩形OCED的周长为14，则OC+OD=7，解题OC=3，OD=4，∴AC=6，BD=8，∴菱形的面积为×6×8=24．答：菱形ABCD的面积为2413．由菱形ABCD，得∠BAD=∠BCD=130°，∠BAE=25°，∴∠EAF=105°，又∵AF=CE，AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，则∠AFC=180°﹣∠EAF=180°﹣105°=75°．14．（1）∵∠ABE=∠CDG，∠AEB=∠CGD，AE=CG，∴△ABE≌△CDG，∴BE=DG，（2）四边形ABFG是菱形，则BF=AB，∵AB：BC=2：3∴FC=AB，∵AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．∴BE=FC，∴AB=2BE，∴直角△ABE中，∠BAE=30°，∴∠ABE=60°15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°16．（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．∵AD∥CB，∴△BGE∽△AHE，∵AB=AD=6，∴AE=BF=5，CF﹣BE=1，令BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，在△FGE 中，，在△DEH 中，，根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2，即有，解得，，∴tan∠A=，∴∠A=60°；（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=，，故．17．连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴，．∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．18．∵菱形ABCD的周长为20，∴菱形的边长AB=5，由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m﹣1，AO•BO=4（m﹣1），∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（2m﹣1）2﹣2×4（m﹣1）=25，整理得：4m2﹣12m+9=25，解得：m=4或﹣1（舍去）．故m=419．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CD﹣CE=CB﹣CF，即DE=BF．∴△ADE≌△ABF．∴AE=AF20．菱形ABCD的面积S=×16×12=96，∵AC⊥BD，∴AB=10，∴CD=AB=10，∴×CD×BE=48，∴BE=cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE 的长为cm21．（1）DE=BF．理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∵EF⊥AC，∴EG∥BD，∵E是AD中点，∴EG是△ABD的中位线，∴AG=BG，又∵AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，在△AEG和△BFG 中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AE=BF，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴DE=BF；（2）四边形AFBE是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，又∵AE=BF，∴四边形AFBE是平行四边形22．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．∴AB=AC=AD，∴AB=AD=BC=CD=AC，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，∴∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形．23．（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠C=∠AFD．∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．∵AD=DC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，∴BE=2，AE=，DE=．∵△ADF∽△DEC，∴．∴AF=．24．△BEC∽△DCF，∴．∴△BED∽△DBF．∴∠BED=∠DBM．∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD= 60°．∴由正弦定理得：2R1=，2R2=．∴R1•R2=•==．25．（1）∵A（0，6），D（﹣8，0），∴OA=6，OD=8，∴由勾股定理可得AD=10，∵四边形ABCD为菱形∴CD=AD=10，∴OC=2，∴C（2，0），（2）∵A（0，6）C（2，0），∴E（1，3），设经过点E 的反比例函数解析式为，将E（1，3）代入求得k=3∴反比例函数解析式为：26．∵点P是AB的中点，∴AP=BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，AD∥BC，∴∠A=∠PBE，∵在△ADP和△BEP中，，∴△ADP≌△BEP（ASA），∴BE=AD，∵AD=CD，∴BE=CD27．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD．∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°又∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形．28．∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AC平分∠BCD，在△BCE和△DCE 中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠EBC=∠EDC，又AB∥DC，∴∠APD=∠EDC，∴∠EBC=∠APD29．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH30．（1）证明：连接OA、AC、BD，∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，∴∠BAO=∠DAO，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，∴O在AC上，∴OB=OD．（2）解：矩形和平行四边形时，结论不成立，等腰三角形时，结论成立，因为：矩形和平行四边形的对角线不一定平分对角，而等腰三角形的三线合一性质，能得出结论成立菱形的性质--11。

菱形性质习题精选（含答案）

菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。

菱形的性质练习题及其详解

菱形的性质01 基础题知识点1 菱形的性质1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是(B )A ．∠ADB ＝∠CDB B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．AB ＝AD第2题图第3题图3．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为(C ) A ．1 B .3 C ．2 D ．234．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D )A ．10B ．8C ．6D ．55．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是16．6．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF.AE 和AF 有什么样的数量关系？说明理由．解：AE ＝AF.理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BC ＝CD. 又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ∴BE ＝12BC ，DF ＝12CD.∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△ADF(SAS )． ∴AE ＝AF.知识点2 菱形的面积7. (2016·宁夏)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为(A)A ．2 2 B. 2 C ．6 2 D ．82第7题图第8题图8．(2017·宜宾)如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝6，BD ＝8，则菱形ABCD 的面积是24． 9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠ACD ＝30°，BD ＝4，求菱形ABCD 的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝2，AC ⊥BD.∵在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴CD ＝2OD ＝4，OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3. ∴AC ＝2OC ＝4 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×43×4＝8 3.02 中档题10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A )A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米第10题图第11题图11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于(A )A ．3.5B ．4C ．7D ．1412．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为(C )习题解析A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°13．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)A ．2 B.5 C ．3 D ．4 14．(2017·东营)如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为15．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E.(1)求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．解：(1)∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4，又∵O 为BD 的中点，∴OB ＝2. 又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.16．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.又∵AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.03综合题17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．证明：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°.∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.又∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.(2)连接AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝12∠BCD＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．。

22.3菱形的性质常考题(含详细的解析)

22.3菱形的性质常考题一、选择题（共18小题）1、（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（）A、（，1）B、（1，）C、（+1，1）D、（1，+1）2、（2010•盐城）如图：在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为（）A、5B、10C、6D、83、（2010•南通）如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于（）A、20B、15C、10D、54、（2010•北京）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A、24B、20C、10D、55、（2009•河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（）A、3cm2B、4cm2C、cm2D、2cm26、（2009•杭州）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A、35°B、45°C、50°D、55°7、（2008•台州）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）A、16aB、12aC、8aD、4a8、（2008•江汉区）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E，则下列式子不成立的是（）A、DA=DEB、BD=CEC、∠EAC=90°D、∠ABC=2∠E9、（2007•嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（）A、四边形ABCD是平行四边形B、AC⊥BDC、△ABD是等边三角形D、∠CAB=∠CAD10、（2005•扬州）如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架．已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则∠1等于（）A、90°B、60°C、45°D、30°11、（2005•济宁）已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A、6cmB、cmC、3cmD、cm12、（2004•重庆）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A、80°B、70°C、65°D、60°13、在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为（）A、75°B、60°C、45°D、30°14、菱形的周长等于高的8倍，则此菱形的较大内角是（）A、60°B、90°C、120°D、150°15、在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是（）A、AO⊥BOB、∠ABD=∠CBDC、AO=BOD、AD=CD16、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）A、4.5cmB、4cmC、5cmD、4cm17、已知菱形的两条对角线长分别为4cm和10cm，则菱形的边长为（）A、116cmB、29cmC、cmD、cm18、菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：3，则菱形的面积为（）A、25cm2B、16cm2C、cm2D、cm2二、填空题（共12小题）19、（2006•泉州）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为_________．20、（2008•陕西）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为_________．21、（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．22、（2008•肇庆）边长为5cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是_________cm．23、（2003•盐城）已知菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=8cm，则菱形的边长是_________cm．24、如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长_________．25、（2011•长沙）已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则周长是_________cm．26、（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．27、（2009•本溪）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于_________．28、（2008•镇江）如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在_________点．29、（2008•温州）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=8，则菱形ABCD的周长等于_________．30、（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为_________cm2．答案与评分标准一、选择题（共18小题）1、（2009•长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（）A、（，1）B、（1，）C、（+1，1）D、（1，+1）考点：坐标与图形性质；菱形的性质。

菱形的性质与判定之八大考点(原卷版)--初中数学专题训练

菱形的性质与判定之八大考点【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】【考点二利用菱形的性质求线段长】【考点三利用菱形的性质求面积】【考点四利用菱形的性质证明】【考点五添一个条件使四边形是菱形】【考点六证明四边形是菱形】【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】【考点八根据菱形的性质与判定求面积】【过关检测】【典型例题】【考点一利用菱形的性质求角度】1(2023秋·陕西汉中·九年级统考期末)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD =110°，则∠OBC的度数为________．【变式训练】1(2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习)如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若∠BCD=50°，则∠DHO的度数为．2(2023春·八年级单元测试)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=40°，点E为对角线BD上一点，F为AD边上一点，连接AE、CE、FE，若AE=FE，∠BEC=58°，则∠AFE的度数为．【考点二利用菱形的性质求线段长】1例题：(2023·辽宁鞍山·统考一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为8和6，DE⊥AB，垂足为E，则DE的长为______．【变式训练】1(2023·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模)如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为．2(2022秋·陕西榆林·九年级校考期末)如图，已知四边形ABCD是菱形，且AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．(1)求证：AE=AF；(2)若AB=10，CE=4，求菱形ABCD的面积．【考点三利用菱形的性质求面积】1(2023春·广东韶关·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=7，BD=4，则菱形ABCD的面积为_______．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习)菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．2(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB= 25cm，AC=4cm，则BD的长为__cm，菱形ABCD的面积为cm2．【考点四利用菱形的性质证明】1(2023春·湖北襄阳·八年级统考阶段练习)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边AB，AD的延长线上，且BE=DF，连接CE，CF．求证：CE=CF．【变式训练】1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求∠AEF的度数．2(2023春·广东肇庆·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠BAD=70°，求∠FDC的度数．【考点五添一个条件使四边形是菱形】1(2023·黑龙江牡丹江·统考二模)如图，四边形ABCD是平行四边形．请添加一个条件_______，使平行四边形ABCD为菱形．(只填一种情况即可)【变式训练】1(2023·安徽·校联考一模)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB∥CD，AO= CO，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是．2(2023春·湖南永州·八年级统考期中)如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC 的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．【考点六证明四边形是菱形】1(2023·吉林长春·统考一模)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．过点D分别作DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．【变式训练】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)▱ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E，F，求证：四边形AFCE是菱形？2(2023·吉林长春·统考二模)如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，AE= AF，连接EF交AC于点G．若AC⊥EF，求证．四边形ABCD是菱形．【考点七根据菱形的性质与判定求角度、线段长】1(2023春·全国·八年级专题练习)如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⎳BC交AB于点E，DF⎳AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)如果∠A=80°，∠C=30°，求∠BDE的度数．【变式训练】1(2023春·广东惠州·九年级校考开学考试)如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD 的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长．2(2023·广东广州·校考二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=10，BD=2，求OE的长度．3(2023春·全国·八年级专题练习)如图，平行四边形ABCD中，AD=BD，过点C作CE∥BD，交AD的延长线于点E．(1)求证：四边形BDEC是菱形；(2)连接BE，若AB=6，AD=9，则BE的长为．【考点八根据菱形的性质与判定求面积】1(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，AF ⊥DC于点F，且BE=DF．(1)求证：平行四边形ABCD是菱形(2)若∠EAF=60°，CF=2，求菱形ABCD的面积．【变式训练】1(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF．(1)求证：四边形DFCE是菱形；(2)若∠A=75°，AC=8，求菱形DFCE的面积．2(2023春·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中)如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于点O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AD=3，CD=2，且∠ADC=60°，求菱形AECF的面积．3(2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测)如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AB=5，BC=12，EF=6，求：①BO的长；②菱形AFCE的面积．【过关检测】一、选择题1(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，BD 为菱形ABCD 的对角线，已知∠A =50°，则∠BDC 的度数为()A.130°B.50°C.55°D.65°2(2023·浙江·统考中考真题)如图，在菱形ABCD 中，AB =1，∠DAB =60°，则AC 的长为()A.12B.1C.32D.33(2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习)如图，在菨形ABCD 中，过顶点C 作CE ⊥BC 交对角线BD 于E 点，已知∠A =134°，则∠BEC 的大小为()A.67°B.57°C.33°D.23°4(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD 中，对角线BD =43，∠BAD =120°，则菱形ABCD 的面积是()A.83B.8C.163D.435(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是边AB，AD的中点，DE，BF相交于G，连接CG，以下结论正确的有( )个①∠BGD=120°；②SΔADE:SΔGBC=2:3；③BG+DG=CG；④S菱形ABCD=32AB2A.1B.2C.3D.4二、填空题6(2023春·天津滨海新·八年级校考期中)如图，已知菱形ABCD，AC=6，面积等于24，则菱形ABCD的周长等于．7(2023春·北京海淀·八年级校考期中)如图，菱形ABCD中，AB=10，AC，BD交于点O，若E是边AD的中点，∠ABO=32°，则OE的长等于，∠ADO的度数为．8(2023·全国·八年级假期作业)如图，已知菱形ABCD的顶点A和B的坐标分别为-2，0、3，0，点C在y轴的正半轴上．则点D的坐标是．9(2023·河南新乡·统考三模)如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=2，点E是AB的中点，点F 在AC上．若∠BEF=45°，则线段FG的长为．10(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．三、解答题11(2023春·湖南郴州·八年级校考期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6，求菱形的边长和对角线AC的长．12(2023·福建泉州·统考二模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，CE⊥AB，已知OC =2，BE=7．(1)求菱形ABCD的面积．(2)求BD的长．13(2023·江苏镇江·统考二模)如图，在平行四边形ABCD中，点F是CD的中点，连接BF并延长，交AD的延长线于点E，连接CE．(1)求证：△DFE≌△CFB；(2)当BD、BC满足关系时，四边形BCED是菱形．14(2023春·江西上饶·八年级统考阶段练习)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，且OA=OC，OB=OD，过点C作CE⊥AD于点E，过点A作AF⊥CD于点F，且AF=CE．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若OB=8，OC=6，求AF的长．15(2023·浙江温州·校考三模)如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF=BE，连接AE，DF，EF，ED平分∠AEF．(1)求证：四边形AEFD是菱形．(2)若∠BDC=45°，DE=2CF，AB=102，求▱ABCD的面积．16(2023春·浙江·八年级专题练习)已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．(1)求证：四边形ABGE是菱形；(2)若∠ABC=60°，AB=4，AD=5，求CF的长．17(2023春·浙江·八年级专题练习)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．18(2023·全国·模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E，F在直线AD上，且DE=DF．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若DF=BC=8，AB=AF，求AB的长．。

菱形的性质与判定专项训练卷(基础)

菱形的性质与判定专项训练卷（基础）一．选择题（共10小题）1．下列说法中，正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线相等的平行四边形是菱形2．如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E在AC上，CE＝CD，AC＝16，CD ＝10，则DE的长为（）A．2√10B．4√2C．√38D．4√33．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．24B．18C．12D．94．如图，菱形ABCD对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形高DE长为（）A．5cm B．10cm C．4.8cm D．9.6cm5．如图，已知菱形ABCD的周长为20，对角线AC、BD交于点O，且AC+BD＝14，则该菱形的面积等于（）A ．8B ．14C ．24D ．286．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝12，BD ＝16，AH ⊥BC 于H ，则AH 等于（）A ．245B ．485C ．4D ．57．如图，菱形ABCD 中，过点C 作CE ⊥BC 交BD 于点E ，若∠BAD ＝118°，则∠CEB ＝（）A ．59°B ．62°C ．69°D ．72°8．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD 是菱形的是（）A ．AB ＝ADB ．AO 2+BO 2＝AB 2C ．AC ＝BD D ．∠BAC ＝∠ACB9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上．若点A 的坐标是（3，4），则点B 的坐标为（）A ．（5，4）B ．（8，4）C ．（5，3）D ．（8，3）10．如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，过点B 作BE ⊥AB 交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，连接FH 和CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为（）A ．3B ．√5C ．2√3D ．√192二．填空题（共2小题）11．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，E ，F 两点分别从A ，B 两点同时出发，以相同的速度分别向终点B ，C 移动，连接EF ，在移动的过程中，EF 的最小值为．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC ＝6，BD ＝8，EF 为过点O 的一条直线，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共3小题）13．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求证：AE＝AF．14．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC＝2AB，BE∥AC，OE∥AB．（1）求证：四边形ABEO是菱形．（2）若AC＝4√5，BD＝8，求四边形ABEO的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．。

菱形性质经典练习题(详细答案)

菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。

菱形性质测试题及答案

菱形性质测试题及答案
一、选择题
1. 下列哪个选项不是菱形的性质？
A. 对角线互相垂直
B. 四边相等
C. 对角线平分每一组对角
D. 内角和为180°
2. 菱形的对角线将菱形分成几个全等的三角形？
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 如果菱形的一条对角线长为10，另一条对角线长为8，那么菱形的边长是多少？
A. 4√2
B. 6√2
C. 8√2
D. 10√2
二、填空题
4. 菱形的对角线互相________。

5. 菱形的面积可以通过________来计算。

三、简答题
6. 请简述菱形的判定定理。

四、计算题
7. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形ABCD的边长。

五、证明题
8. 已知菱形ABCD中，E、F分别是边AB和CD上的点，且AE=CF，证明：△AED≅△CFB。

答案：
一、选择题
1. D
2. D
3. A
二、填空题
4. 垂直且平分
5. 对角线乘积的一半
三、简答题
6. 菱形的判定定理包括：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

四、计算题
7. 根据菱形的性质，对角线互相平分，所以AO=CO=4cm，BO=DO=3cm。

根据勾股定理，边长AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5cm。

五、证明题
8. 证明：由于AE=CF，且AD=CD（菱形的四边相等），根据SAS（边角边）相似定理，我们可以得出△AED≅△CFB。

菱形的性质-北京习题集-教师版

菱形的性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共2小题）1．（2020•海淀区校级模拟）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，16BD =，3tan 4ABD ∠=，则线段AB 的长为( )A ．7B ．10C ．5D ．272．（2019春•怀柔区期末）如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点．若5EF =，则菱形ABCD 的周长为( )A ．15B ．20C ．30D ．40二．填空题（共4小题）3．（2019春•西城区校级期中）已知菱形的一条对角线长为6，面积是12，则这个菱形的另一条对角线长是． 4．（2019春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x ，y 轴分别交于点A ，B ，若将该直线向右平移5单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则k 的值为．5．（2019•西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，(1,0)B -，菱形ABCD 的顶点C 在x 轴的正半轴上，其对角线BD 的长为．6．（2019春•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点3)A ，(1,0)B -，菱形ABCD 的顶点C 在x 轴的正半轴上，则点D 的坐标为．三．解答题（共8小题）7．（2020春•海淀区校级月考）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE AF=，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若30FGB∠=︒，2GB AE==，求AG的长．8．（2020春•海淀区校级月考）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE DF=，连接EF．（1）求证：AC EF⊥；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若6BD=，1tan2G=，求AO的长．9．（2019•北京）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE DF=，连接EF．（1）求证：AC EF⊥；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O．若4BD=，1tan2G=，求AO的长．10．（2019春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD中，30B∠=︒，点E在CD边上，若AE AC=，6DE=，求AC 的长11．（2019春•石景山区期末）如图，菱形ABCD中，过点D作DE BA⊥交BA的延长线于点E，DF BC⊥交BC的延长线于点F．求证：DE DF=．12．（2019春•门头沟区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，BE AD=，连接⊥于点E，延长AD至F，使DF AECF．（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；（2）若9CF=，求CD的长．AF=，313．（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE CF=；（2）若2AB=，点E是AB中点，求EF的长．14．（2018春•怀柔区期末）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别为DC，BC上一点且DE BF=．求证：AEF AFE∠=∠．菱形的性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2020•海淀区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，16BD=，3tan4ABD∠=，则线段AB的长为()A．7B．10C．5D．27【分析】由菱形的性质可得AC BD⊥，8BO DO==，由锐角三角函数可求6AO=，由勾股定理可求解．【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC BD∴⊥，8BO DO==，3 tan4AOABDBO∠==，6AO∴=，22366410AB AO BO∴=+=+=，故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．2．（2019春•怀柔区期末）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若5EF=，则菱形ABCD的周长为()A．15B．20C．30D．40【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：E、F分别是AC、DC的中点，EF∴是ADC∆的中位线，22510AD EF∴==⨯=，∴菱形ABCD 的周长441040AD ==⨯=．故选：D ．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．二．填空题（共4小题）3．（2019春•西城区校级期中）已知菱形的一条对角线长为6，面积是12，则这个菱形的另一条对角线长是 4 ．【分析】设另一条对角线长为x ，然后根据菱形的面积计算公式列方程求解即可．【解答】解：设另一条对角线长为x ，则 16122x ⨯=，解得：4x =．故答案为：4．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质、菱形面积的计算方法，熟记菱形的面积公式是解题的关键． 4．（2019春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x ，y 轴分别交于点A ，B ，若将该直线向右平移5单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则k 的值为 34± ．【分析】根据菱形的性质知5AB =，由一次函数图象的性质和两点间的距离公式解答．【解答】解：令0y =，则3x k =-，即3(A k-，0)．令0x =，则3y =，即(0,3)B ．将该直线向右平移5单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形， 5AB ∴=，则225AB =． 223()325k ∴-+=．解得34k =±．故答案是：34±．【点评】考查了菱形的性质和一次函数图象与几何变换，解题的关键是根据菱形的性质得到5AB =．5．（2019•西城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，(1,0)B -，菱形ABCD 的顶点C 在x 轴的正半轴上，其对角线BD 的长为 23 ．【分析】由已知得出3DE OA ==，1OB =，由菱形的性质得出30DBE ∠=︒，连接BD ，作DE BC ⊥于E ，则90DEB ∠=︒，3DE OA ==，由直角三角形的性质得出223BD DE ==即可．【解答】解：点(0,3)A ，(1,0)B -， 3OA ∴=，1OB =，222AB OA OB ∴=+=， 12OB AB ∴=， 30OAB ∴∠=︒，60OBA ∠=︒，四边形ABCD 是菱形， 1302DBE OBA ∴∠=∠=︒，连接BD ，作DE BC ⊥于E ，如图所示：则90DEB ∠=︒，3DE OA ==， 90DEB ∠=︒， 223BD DE ∴==；故答案为：23．【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，求出60OBA ∠=︒是解题的关键．6．（2019春•房山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，(1,0)B -，菱形ABCD 的顶点C 在x 轴的正半轴上，则点D 的坐标为 (2,3) ．【分析】由勾股定理可求AB 的长，由菱形的性质可得2AB AD ==，//AD BC ，即可求点D 坐标．【解答】解：点(0,3)A ，(1,0)B -， 3AO ∴=，1BO =222AB AO BO ∴=+= 四边形ABCD 是菱形2AB AD ∴==，//AD BC∴点D 坐标(2,3)故答案为：(2,3)【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，求AB 的长是本题的关键．三．解答题（共8小题）7．（2020春•海淀区校级月考）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，AB 上的点，且AE AF =，连接并延长EF ，与CB 的延长线交于点G ，连接BD ．（1）求证：四边形EGBD 是平行四边形；（2）连接AG ，若30FGB ∠=︒，2GB AE ==，求AG 的长．【分析】（1）连接AC ，再根据菱形的性质得出//EG BD ，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A 作AH BC ⊥，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【解答】证明：（1）连接AC ，如图1:四边形ABCD 是菱形， AC ∴平分DAB ∠，且AC BD ⊥，AF AE =，AC EF ∴⊥， //EG BD ∴．又菱形ABCD 中，//ED BG ，∴四边形EGBD 是平行四边形．（2）过点A 作AH BC ⊥于H ．30FGB ∠=︒， 30DBC ∴∠=︒，260ABH DBC ∴∠=∠=︒， 2GB AE ==，4AB AD ∴==，在Rt ABH ∆中，90AHB ∠=︒， 23AH ∴=，2BH =．4GH ∴=，22161227AG AH GH ∴=+=+=．【点评】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．8．（2020春•海淀区校级月考）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE DF =，连接EF ．（1）求证：AC EF ⊥；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若6BD =，1tan 2G =，求AO 的长．【分析】（1）由菱形的性质得出AB AD =，AC BD ⊥，OB OD =，OA OC =，得出::AB BE AD DF =，证出//EF BD 即可得出结论；（2）由平行线的性质得出G ADO ∠=∠，由三角函数得出1tan tan 2OC G CDO OD =∠==，得出OC OD =，由6BD =，得出3OD =，得出32OC =，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，如图1所示：四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，AC BD ⊥，OB OD =，OA OC =， BE DF =，::AB BE AD DF ∴=， //EF BD ∴， AC EF ∴⊥；（2）解：如图2所示：由（1）得：//EF BD ， G CDO ∴∠=∠，1tan tan 2OC G CDO OD ∴=∠==， 12OC OD ∴=，6BD =， 3OD ∴=，32OC ∴=， 32OA OC ∴==．【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 9．（2019•北京）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE DF =，连接EF ．（1）求证：AC EF ⊥；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ．若4BD =，1tan 2G =，求AO 的长．【分析】（1）由菱形的性质得出AB AD =，AC BD ⊥，OB OD =，OA OC =，得出::AB BE AD DF =，证出//EF BD 即可得出结论；（2）由平行线的性质得出G ADO ∠=∠，由三角函数得出1tan tan 2OC G CDO OD =∠==，得出12OC OD =，由4BD =，得出2OD =，得出1OC =，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接BD ，交AC 于O ，如图1所示：四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，AC BD ⊥，OB OD =，OA OC =， BE DF =，::AB BE AD DF ∴=， //EF BD ∴， AC EF ∴⊥；（2）解：如图2所示：由（1）得：//EF BD ， G CDO ∴∠=∠，1tan tan 2OC G CDO OD ∴=∠==， 12OC OD ∴=，4BD =，2OD ∴=， 1OC ∴=， 1OA OC ∴==．【点评】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．10．（2019春•海淀区校级期中）如图，在菱形ABCD 中，30B ∠=︒，点E 在CD 边上，若AE AC =，6DE =，求AC 的长【分析】过点E 作EF AD ⊥于F ，由菱形的性质和等腰三角形的性质可求45DAE ∠=︒，由直角三角形的性质可求EF 的长，AC 的长．【解答】解：如图，过点E 作EF AD ⊥于F ，四边形ABCD 是菱形，30B ∠=︒，30D ∴∠=︒，AB AC AD ==，BCA DCA ∠=∠，75BAC ACB ACD ∴∠=∠=︒=∠，且AE AC =，75AEC ACE ∴∠=∠=︒，且AEC D DAE ∠=∠+∠，45DAE ∴∠=︒，EF AD ⊥，30D ∠=︒，6DE =3EF ∴=，且EF AD ⊥，45DAE ∠=︒， 232AE EF ∴==【点评】本题考查了菱形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．11．（2019春•石景山区期末）如图，菱形ABCD 中，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，DF BC ⊥交BC 的延长线于点F ．求证：DE DF =．【分析】解法一：根据角平分线上的点到角两边距离相等；解法二：根据面积公式求解；解法三：根据三角形全等来证明边相等．【解答】证法一：连接BD ，如图1．四边形ABCD 是菱形，12∴∠=∠，DE BA ⊥，DF BC ⊥，DE DF ∴=．证法二：如图2，四边形ABCD 是菱形，AB BC ∴=．DE BA ⊥，DF BC ⊥，ABCD S AB DE ∴=⨯菱形，ABCD S CB DF =⨯菱形，DE DF ∴=．证法三：如图2，四边形ABCD 是菱形，DA DC ∴=，12∠=∠，34∴∠=∠，DE BA ⊥，DF BC ⊥，90E F ∴∠=∠=︒，在AED ∆和CFD ∆中，34,90E F AD CD∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩ ()AED CFD AAS ∴∆≅∆，DE DF ∴=．【点评】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是菱形的对角线平分对角以及菱形四边相等，此题解题方法不唯一．12．（2019春•门头沟区期末）已知：如图，在菱形ABCD中，BE AD=，连接⊥于点E，延长AD至F，使DF AECF．（1）判断四边形EBCF的形状，并证明；（2）若9CF=，求CD的长．AF=，3【分析】（1）根据菱形的性质得出AD BCAD BC，求出EF BC=，根据平行四边形的判定得出四边形EBCF=，//是平行四边形，根据矩形的判定得出即可；（2）根据勾股定理求出AB，根据菱形的性质得出即可．【解答】（1）四边形EBCF是矩形，证明：四边形ABCD菱形，AD BC，AD BC∴=，//又DF AE=，∴+=+，DF DE AE DE即：EF AD=，∴=，EF BC∴四边形EBCF是平行四边形，又BE AD⊥，BEF∴∠=︒．90∴四边形EBCF是矩形；（2）四边形ABCD菱形，AD CD∴=．四边形EBCF是矩形，90F ∴∠=︒，9AF =，3CF =，∴设CD x =，则9DF x =-，222(9)3x x ∴=-+，解得：5x =，5CD ∴=．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．13．（2018•朝阳区模拟）如图，在菱形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，过点O 的线段EF 与一组对边AB ，CD 分别相交于点E ，F ．（1）求证：AE CF =；（2）若2AB =，点E 是AB 中点，求EF 的长．【分析】（1）由四边形ABCD 是菱形，可得//AB CD ，OA OC =，继而证得AOE COF ∆≅∆，则可证得结论．（2）利用平行四边形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，AO CO ∴=，//AB CD ，EAO FCO ∴∠=∠，AEO CFO ∠=∠．在OAE ∆和OCF ∆中，EAO FCO AO COAEO CFO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， AOE COF ∴∆≅∆，AE CF ∴=；（2）E 是AB 中点，BE AE CF ∴==．//BE CF ，∴四边形BEFC 是平行四边形，2AB=，∴===．2EF BC AB【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2018春•怀柔区期末）已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别为DC，BC上一点且DE BF=．求证：AEF AFE∠=∠．【分析】在菱形中，由SAS求得ADE ABF∠=∠．∆≅∆，再由等边对等角得到AEF AFE【解答】证明：四边形ABCD为菱形，∠=∠，∴=，B DAB AD=，E、F分别为DC、BC上一点且DE BF∴∆≅∆()ADE ABF SAS∴=．AE AF∴∠=∠．AEF AFE【点评】本题考查了菱形的性质，关键是利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．。

(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)

菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是( ）A．M（5，0)，N(8,4）B．M（4,0），N(8，4）C．M(5，0），N（7,4）D．M（4，0），N（7，4）2．(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳)菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为( ）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中,AB=15,∠ADC=120°,则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7。

5 D．二．填空题（共15小题)5．（2011•铜仁地区)已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________ cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8,BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．7．(2011•南京）如图,菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点,且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图 7题图 8题图 9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________ ．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O,点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________ 度．10．(2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1=_________ 度．10题图12题 13题图 14题图11．（2009•朝阳)已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________ ．12．（2009•安顺）如图所示,两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D ﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________ 点．13．（2008•长沙）如图,P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________ cm．14．(2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________ ．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm,则它的面积是_________ cm2．17．（2004•贵阳)如图,菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C 重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________ ．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ．19．如图:点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点,且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________ 度．三．解答题(共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B(﹣3，0）．(1）求点D的坐标；(2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示,在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB,垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县)如图，四边形ABCD是菱形,BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1)求证:BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳)如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合)，连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明:∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．(2006•大连)已知：如图,四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可)．（1）连接_________ ；（2)猜想：_________ = _________ ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示,在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3,4）,则顶点M、N的坐标分别是（)A．M(5，0），N（8，4） B．M(4，0），N(8，4）C．M（5,0），N（7,4）D．M（4，0），N(7，4）考点：菱形的性质;坐标与图形性质.专题：数形结合。

(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)

专题01菱形的性质与判定(四大类型)(题型专练)(原卷版)

专题01 菱形的性质与判定（四大类型）【题型1 菱形的性质】【题型2 菱形的判定】【题型3 菱形的性质与判定综合运用】【题型4 菱形中最小值问题】【题型1 菱形的性质】1．（2023•新郑市模拟）关于菱形，下列说法错误的是（）A．对角线垂直B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相平分2．（2023春•鹤山市校级期中）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．24C．20D．16 3．（2023•邗江区一模）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°4.（2023•河西区一模）如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是，（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的面积等于（）A．B．C．D．5．（2023春•通州区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O 为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（）A．（﹣5，4）B．（﹣6，3）C．（﹣8，4）D．（2，4）6．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC 的中点，若EF＝2，则菱形ABCD的周长是（）A．12B．16C．20D．247．（2023春•江阴市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S＝24，则OH的长菱形ABCD为（）A．6B．5C．3D．2.5 8．（2023春•金坛区期中）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则菱形ABCD的面积是（）A．B．C．D．9．（2023春•鄞州区期中）如图，菱形ABCD的顶点A，B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x 轴，则菱形ABCD的边长值为（）A．9B．C．6D．3 10．（2023春•朝阳区校级期中）把一个平面图形分成面积相等的两部分的线段称作这个图形的等积线段，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，则菱形ABCD 的等积线段长度a取值范围是（）A．B．C．D．11．（2023•川汇区一模）如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，AH⊥BC，垂足为点H，则AH的长为（）A．3B．4C．4.8D．5【题型2 菱形的判定】12．（2023•西安二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（）A．AB⊥BC B．AC＝BD C．AB＝BC D．AB＝AC 13．（2023•张家口二模）依据所标数据（度为所在角的度数，数字为所在边的长度），下列平行四边形不一定是菱形的是（）A．B．C．D．14．（2023•新城区校级一模）在平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AB＝CD 15．（2023春•长寿区校级月考）下列说法错误的是（）A．角平分线上的点到角两边的距离相等B．同旁内角互补C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形16．（2023春•秦皇岛月考）已知如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移，得到△A′B′C′，连接AB′和C′D，若使四边形AB′C′D是菱形，需添加一个条件，现有三种添加方案，甲方案：AB′＝DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′＝∠A′C′D；其中正确的方案是（）A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲17．（2022秋•兴平市期末）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A．对角线垂直B．两对角线相等C．两对线互相平分D．两对角线互相垂直平分18．（2023春•海珠区期中）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC 的中点，G、H分别是BD、AC的中点，依次连接E、G、F、H得到四边形EGFH，要使四边形EGFH是菱形，可添如条件．19．（2023春•通州区期中）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE交BF于点C，CD ∥AB交AE于点D．求证：四边形ABCD是菱形．20．（2023春•天河区校级期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC 至E，使点C是BE的中点，连接AD，AC，CE，DE，AG与DE相交于点O．（1）求证：AC＝DE；（2）当∠BAE＝90°时，求证：四边形ACED是菱形．21．（2023•崂山区一模）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．（1）证明四边形BPCO为平行四边形；（2）给▱ABCD添加一个条件，使得四边形BPCO为菱形，并说明理由．22．（2023春•栖霞区校级期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，点M、N在对角线AC上，且AM＝CN．（1）求证：四边形EMFN是平行四边形；（2）当△ABC满足条件时，▱EMFN是菱形．23．（2023春•青秀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，连接AF，BE．（1）求证：△AGE≌△BGF；（2）求证：四边形AFBE是菱形．【题型3 菱形的性质与判定综合运用】24．（2023•西山区一模）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使∠ABC ＝60°，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．25．（2022春•高邑县期末）如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4．则四边形AOBC的面积是（）A．4B．8C．4D．26．（2022秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C、B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D．连接BD、AD．若∠ABD＝130°，则∠CAD＝．27．（2022春•互助县期中）如图，线段AB＝10，分别以A、B两点为圆心，以6长为半径画弧，两弧交于点C、点D，连接CD，则CD＝．28．（2023春•长沙期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若，BD＝2，求OE的长．29．（2023春•璧山区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若菱形BNDM的周长为68，MN＝16，求菱形BNDM的面积．30．（2023•安岳县一模）如图，在▱ABCD中，O为BD的中点，过点O作EF ⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．（2）若AB＝2，AD＝4，∠BAD＝120°，求DE的长．31．（2023•市一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6，BD＝4，求OE的长．32．（2023•九台区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC 的角平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积．33．（2023春•天津期中）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（2）若∠BAC＝90°，且，求四边形AFDE的面积．34．（2023•长沙模拟）如图，在Rt△ABF中，∠F＝30°，E，D分别是AF，BF的中点，延长ED到点C，使得CD＝2DE，连接CB．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DE＝，求菱形ABCD的面积．【题型4 菱形中最小值问题】35．（2022春•铜山区期中）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一动点，且点P不与点B、C重合．作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，取EF的中点M，则PM的最小值为（）A．2B．2.4C．3D．2.5 36．（2022春•东营区期末）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列命题中正确的是（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③△ECF的边长最小值为3；④若AF＝2，则S△FGC ＝S△EGC．A．①②B．①③C．①②④D．①②③37．（2022春•孝感期末）如图，菱形ABCD的两条对角线长AC＝6，BD＝8，点E是BC边上的动点，则AE长的最小值为（）A．4B．C．5D．38．（2022春•余姚市期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC 上的动点，连结AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连结GH．若∠B ＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（）A．B．C．2D．339．（2023•泰山区一模）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝6，BD ＝8，点P为边BC上一点，且P不与B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于．40．（2023春•溧阳市期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是．41．（2022春•东城区期末）如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E是AD边上一动点（不与A，D重合），点F是CD边上一动点，DE+DF ＝2，则∠EBF＝°，△BEF面积的最小值为．42．（2022春•泗阳县期中）如图，在菱形ABCD中，∠A＝2∠B，AB＝2，点E 和点F分别在边AB和边BC上运动，且满足AE＝CF，则DF+CE的最小值为4．【答案】4．43．（2022春•民勤县校级期中）如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB（提＝60°，点E为AB中点，点F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为．示：根据轴对称的性质）44．（2022春•桥西区校级期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB＝8，∠BAD ＝120°，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE＝CF．（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．。

菱形的性质练习题

菱形的性质练习题菱形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质。

在这篇文章中，我们将通过练习题来深入探讨菱形的性质。

练习题1：证明一个四边形是菱形的条件是什么？解答：一个四边形是菱形的条件有两个：首先，它的四条边都相等；其次，其中的两条对角线相互垂直。

练习题2：如果ABCD是一个菱形，证明ABCD的对角线相互平分。

解答：已知ABCD是一个菱形，即AB=BC=CD=DA。

我们需要证明对角线AC和BD相互平分。

根据菱形的性质，对角线AC和BD相互垂直，所以它们交于一点O。

我们需要证明AO=CO和BO=DO。

由于ABCD是一个菱形，所以AB=BC，结合直角三角形AOC，可以得出AO=CO。

同理，由于ABCD是一个菱形，所以AD=CD，结合直角三角形BOD，可以得出BO=DO。

因此，对角线AC和BD相互平分。

练习题3：如果ABCD是一个菱形，证明菱形内角的度数是多少？解答：已知ABCD是一个菱形，我们需要证明菱形的内角的度数。

由于菱形的性质，对角线AC和BD相互垂直，所以它们所夹的角是直角。

又因为菱形的四条边相等，我们可以得知菱形的四个内角都是90度。

练习题4：如果ABCD是一个菱形，证明菱形的内角和外角的关系。

解答：已知ABCD是一个菱形，我们需要证明菱形的内角和外角的关系。

菱形的四个内角都是90度，而外角则等于相邻的内角的补角。

所以，每个外角都等于90度减去相邻的内角的度数。

练习题5：如果E是菱形ABCD的一个顶点，证明AE、BE、CE和DE都是相等的。

解答：已知菱形ABCD，我们需要证明AE、BE、CE和DE都是相等的。

根据菱形的性质，AB=BC=CD=DA。

又因为AE是菱形的边，所以AE=AB。

同理，可以得出BE=BC、CE=CD和DE=DA。

因此，AE、BE、CE和DE都是相等的。

通过以上练习题的解答，我们深入了解了菱形的性质。

菱形具有四条相等的边和相互垂直的对角线，内角都是90度，外角等于相邻内角的补角，并且以任意一个顶点为中心的线段都相等。

《菱形的性质》练习及答案

《菱形的性质》练习满分100分 80分过关限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．菱形的两条对角线的分别为60cm 和80cm ，那么边长是( )A ．60cmB ．50cmC ．40cmD ．80cm2．若菱形的一条边长为5cm ，则这个菱形的周长为( )A ．20cmB ．18cmC ．16cmD ．12cm3．菱形的对角线不一定具有的性质是( )A ．互相平分B ．互相垂直C ．每一条对角线平分一组对角D ．相等4．如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE BC ⊥于点E ，则AE 的长是( )A ．53B ．25C ．245D ．485二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的面积为．6．已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，23BAE ∠=︒．则FEC ∠= 度．7．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3,4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数(0)k y x x=>的图象经过顶点B ，则k 的值为．8．如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．MN 为衣架的墙体固定端，A 为固定支点，B 为滑动支点，四边形DFGI 和四边形EIJH 是菱形，且AF BF CH DF EH ====．点B 在AN 上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A 和点C 间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm ．当点B 向点A 移动8cm 时，外延长度为90cm ．如图3，当外延长度为120cm 时，则BD 和GE 的间距PQ 长为 cm ．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，10AB =，60ABC ∠=︒，求AC 和BD 的长．10．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线分别交AD ．BC 于点E ．F ．若平行四边形ABCD 的面积是8，则四边形CDEF 的面积是．【探究】如图2，在菱形ABCD 中，对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，若5AC =，10BD =，求四边形ABFE 的面积．【应用】如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BC 到点D ，使DC BC =，连结AD ，若3AC =，210AD =ABD ∆的面积是．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：Q 菱形的两条对角线长分别为60cm 和80cm ，∴22304050+=，故选：B ．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．【分析】根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为5cm，即可求出菱形的周长．【解答】解：Q菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm，∴菱形的周长4520cm=⨯=．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．【分析】根据菱形的对角线性质，即可得出答案．【解答】解：Q菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的对角线性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．【解答】解：Q四边形ABCD是菱形，6AC cm=，8BD cm=，3AO CO cm∴==，4BO DO cm==，90BOC∠=︒，5()BC cm∴==，AE BC BO AC∴⨯=⨯故524AE=，解得：245AE=．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．二．填空题（共4小题）【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：Q四边形ABCD是菱形，AC BD∴⊥，8AC=Q，6BD=，∴菱形ABCD的面积为118624 22AC BD⨯=⨯⨯=；故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．【分析】先连接AC ，证明ABE ACF ∆≅∆，然后推出AE AF =，证明AEF ∆是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出CEF ∠的度数．【解答】解：连接AC ，Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC CD AD ∴===，60B EAF ∠=∠=︒Q ，ABC ∴∆是等边三角形，120BCD ∠=︒，AB AC ∴=，60B ACF ∠=∠=︒，BAE EAC FAC EAC ∠+∠=∠+∠Q ，BAE FAC ∴∠=∠，且AB AC =，B ACF ∠=∠()ABE ACF ASA ∴∆≅∆，AE AF ∴=，又60EAF D ∠=∠=︒Q ，AEF ∴∆是等边三角形，60AEF ∴∠=︒，又83AEC B BAE ∠=∠+∠=︒，836023CEF ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：23【点评】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．【分析】根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值．【解答】解：(3,4)C Q ，22345OC ∴=+=，5CB OC ∴==，则点B 的横坐标为358+=，故B 的坐标为：(8,4)，将点B 的坐标代入k y x =得， 48k =，解得：32k =．故答案为：32．【点评】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B 的坐标．【分析】三节段式伸缩晾衣架，相当于三个菱形构成，前半个和后半个组成一个整体，中间共有两个．本题需用到菱形的性质和勾股定理，根据横向对角线的长度等先计算出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式容易求出结果．【解答】解：如图，作FK AB ⊥于K ，设2AB xcm =，由题意，7FK cm =，当(28)AB x cm =-时，15FK cm =．则有222227(4)15AF x x =+=-+，24()x cm ∴=，2272425()AF cm ∴=+=，如图，当20OF =时，在Rt DFO ∆中，22252015()OD cm =-=，PQ GI ⊥Q ，∴12FI DG DF PQ =g g g ， 14030224()25PQ cm ⨯⨯∴==．故答案为：24．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共2小题）【分析】依据菱形的性质可得Rt ABO ∆中30ABO ∠=︒，则可得AO 和BO 长，根据2AC AO =和2BD BO =可得结果．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，1302ABD ABC ∠=∠=︒．………………………………………………4分在Rt ABO ∆中，10AB =，5AO ∴=，BO =6分210AC AO ∴==，2BD BO ==10分【点评】本题主要考查了菱形的性质，解决菱形中线段的长度问题一般转化为在直角三角形中利用勾股定理求解．【分析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得//AD BC ，OA OC =．根据平行线的性质可得EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠，进而可根据AAS 定理证明AEO CFO ∆≅∆，再根据全等三角形的性质可得结论；探究：根据菱形的性质得到//AD BC ，1 2.52AO CO AC ===，152BO BD ==，根据全等三角形的判定定理得到AOE COF ∆≅∆，由于AC BD ⊥，于是得到结果；应用：延长AC 到E 使3CE AC ==，根据全等三角形的判定定理得到ABC CDE ∆≅∆，由全等三角形的性质得到90E BAC ∠=∠=︒，根据勾股定理得到DE =，即可得到结论．【解答】解：猜想：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，OA OC =．EAO FCO ∴∠=∠，AEO CFO ∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，∴四边形CDEF 的面积12ACD S ABCD ∆==Y 的面积4=；故答案为：4；…………………………………………………………………………2分探究：Q四边形ABCD是菱形，//AD BC ∴，12.52AO CO AC==，152BO BD==，90AOD∠=︒，……………………4分2255AB AC BO OA∴==+=，OAE OCF∠=∠，OEA OFC∠=∠，…………………6分在AOE∆于COF∆中，OAE OCFAEO CFOAO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS∴∆≅∆，……………………………………………………………………7分AC BD⊥Q，5525511522ABCABFES S AC BO∆∴==⋅=⨯⨯=四边形．…………………………………8分应用：延长AC到E使3CE AC==，在ABC∆与CDE∆中，AC CEACB DCEBC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDE SAS∴∆≅∆，90E BAC∴∠=∠=︒，222DE AD AE∴=-=，1162622ABD ADES S AE DE∆∆∴===⨯⨯=g．故答案为：6 ………………………………………………………………………10分【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，图形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

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《菱形的性质》专题
班级姓名
征有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。

1、如图，在菱形ABCD 中，AB=5cm ，∠A=40°，则BC= cm ，CD= cm ，AD= cm ，∠B= °，∠C= °，∠D= °
2、如图菱形ABCD 中，AC=8cm ，BD=12cm ，则AO= = cm ， BO= = cm ， ∠AOB= °
3、如图在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，则∠ADC= °，∠DCA= °, ∠BAC= °,∠ADB= °,∠CBD= °
4、如图，在菱形ABCD 中，∠ADO ＝50°，则∠DAO ＝ °，∠DAB ＝ °， ∠ABC ＝ °。

第1题第2、3题5、如图，在菱形ABCD 中，10AB cm =，两条对角线相交于点O ，若8OA c m =， 6OB cm =，AB= 对角线________AC =，________BD =则菱形的周长是，面积是。

第5题第6题
6、如图，已知菱形ABCD ，AB ＝5cm ，AC ＝8 cm ，BO ＝3 cm ，则AO ＝，BD ＝，∠BOC ＝，周长是，面积是。

7、下面性质中，菱形不一定具有的是（）
A ．对角线相等
B ．是中心对称图形
C ．是轴对称图形
D ．对角线互相平分 8、菱形的周长为20 cm ，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长是_____________；一组对边的距离是____________．
9、以菱形ABCD 的钝角顶点A 引BC 边的垂线，恰好平分BC ，则此菱形各角是____________．
10、若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．
B
1、已知菱形ABCD 的边长为2cm ，120BAD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点O ，求这个菱形的两条对角线AC 与BD 的长。

解：∵菱形ABCD
∴AC ⊥BD ，∠ = ∠ =
1
2
∠ = ° AB= = = = 在Rt ∆ABO 中，∠ =90°，∠ =30° ∴ =
1
2
AB= 在Rt ∆ABO 中，根据勾股定理，得 ∴B0= ∴AC=2 = ，BD=2 = 2、如图，四边形ABCD 是菱形，∠ACD=30°，BD=6cm,（1）∠BAD,∠ABC 的度数。

（2）边AB 及对角线AC 的长
3
、如图，菱形花坛ABCD 的边长为20cm ，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积。

4、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝2∠B ，试说明△ABC 是等边三角形。

解：在菱形ABCD 中，∠B ＋∠BAD ＝，（两直线平行，互补）
又∵∠BAD ＝2∠B ∴
5、如右图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF. 求证：①△ABE ≌△ADF ； ②∠AEF=∠AFE.
6、已知：如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是CB CD ，上的点，且BE DF =．（1）求证：AE AF =．
（2）若60B ∠=，点E F ，分别为BC 和CD 的中点．
求证：AEF △为等边三角形．
7、菱形ABCD 中，∠D ∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm ，求菱形的高．
A
B D
C E
F
8、如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．
求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．
9、四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．
如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC 的延长线于F．请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想
10、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；。