2015届高考数学总复习第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值课件 理
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
(广东专用)高考数学一轮复习 第二章第二节函数的单调性与最大(小)值配套课件 文
和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的
原则．
(1) 函 数 f(x) ＝ log5(2x ＋ 1) 的 单 调 增 区 间 是 ________． (2)用定义法判断函数 y＝ x2－1在定义域上的 单调性．
1 【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(－ ， ＋∞)， 2 令 t＝2x＋1， 因为 y＝log5t 在 t∈(0，＋∞)上是增函数，t＝ 1 2x＋1 在 x∈(－ ，＋∞)上为增函数，所以函数 f(x) 2 1 ＝log5(2x＋1)的单调递增区间为(－ ，＋∞)． 2 1 【答案】 (－ ，＋∞) 2
(2)函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 设 x1＜x2，则
2 f(x1)－f(x2)＝ x2 1－1－ x2－1 2 x2 － x 1 2 ＝ 2 2 x1－1＋ x2 －1
（x1－x2）（ x1＋x2） ＝ . 2 2 x1－1＋ x2－1 ∵x1－x2＜0, x2 1－1＞0, x2 2－1＞0， ∴当 x1，x2∈(－∞，－1]时， x1＋x2＜0，
第二节
函数的单调性与最大(小)值
1．增函域为I，区间DI，如果对于
任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有： f(x1)＜f(x2) ； (1)f(x)在区间D上是增函数_____________ f(x1)＞f(x2) (2)f(x)在区间D上是减函数______________ ． 2．单调性、单调区间的定义 增函数 若函数 f(x) 在区间 D 上是 __________ 或减函数 __________ ，则 称函数 f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 单调区间 f(x)的 _____________．
1
【解析】 3 3 ＋ ≥ ， 4 4
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
2015年高考数学一轮总复习精品课件：第二章+函数 2.2 函数的单调性与最值(共26张PPT)
函数的单调性与最值
第一页，编辑于星期五：十一点 十一分。
考纲要求
考纲要求
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.会研究某些简单复合函数及分段函数的单调性、最大(小)值.
第二页，编辑于星期五：十一点 十一分。
3
梳理自测
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,
求出最值.
(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求
解.
(4)换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的
方法求值域或最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件
后,再用基本不等式求出最值.
复合函数 y=f(g(x))的单调性应根据外层函数 y=f(t)和内层函数 t=g(x)
的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,
依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较
求参.
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十一页，编辑于星期五：十一点 十一分。
当 0<x≤1 时,1-x2≥0,2x>0,原不等式化为(1-x2)2+1>(2x)2+1,即(x+1)2<2,
所以 0<x< 2-1.
当 x>1 时,1-x2<0,无解.综上知:-1<x< 2-1.
答案:(-1, 2-1)
考点一
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第二章+函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最大(小)
变 式 训 练 2 设 f(x) ＝ x2 － 2ax(0≤x≤1) 的 最 大 值 为 M(a)，最小值为 m(a)．试求 M(a)及 m(a)的表达式．
【解】 f(x)＝x2－2ax＝(x－a)2－a2，x∈[0,1]． 当 a≤0 时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝f(0)＝0； 当 0＜a≤12时，M(a)＝f(1)＝1－2a，m(a)＝－a2； 当12＜a≤1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝－a2； 当 a＞1 时，M(a)＝f(0)＝0，m(a)＝f(1)＝1－2a.
两点注意 1.单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优
先． 2．函数的单调区间要分开写，两个(或两个以上)同一类
单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”连接，如函数 y ＝1x单调减区间为：(－∞，0)，(0，＋∞)．
第二十八页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
三个结论 1.奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区 间上的单调性相反． 2．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函 数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． 3．开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
①对于任意的 x∈I，都 有 f(x)≤M ； 条件 ②存在 x0∈I，使 得 f(x0)＝M .
①对于任意的 x∈I，都 有 f(x)≥M ； ②存在 x0∈I，使 得 f(x0)＝M .
结论 M 是 y＝f(x)的最大值 M 是 y＝f(x)的最小值
第四页，编辑于星期五：十一点 五十五分。
1．(固基升华)判断下列结论的正误．(正确的打“√”， 错误的打“×”)
第十页，辑于星期五：十一点 五十五分。
【尝试解答】 (1)由 x2－1＞0 得 x＞1 或 x＜－1，即函 数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
高考理科数学一轮总复习第二章函数的单调性与最值
第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的递增区间为________，递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的递减区间为(－∞，－3]，递增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是减少的；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上是增加的． 法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是________． 解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上是增加的．求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________．【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.【答案】 (1)3 (2)26－6求函数最值的5种常用方法及其思路1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.答案：1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)【解析】 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0(x ＞1)，可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数f (x )在[－2，2]上是增加的，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.[综合题组练]1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，所以当x ＞2时，f (x ) 是增加的，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x ) 是增加的，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。
2015高考总复习数学(文)课件：2.4函数的单调性与最值
3x＋2 1 12x＋8 解：(1)y＝ ＝ × 5－4x 4 5－4x 1 3(4x－5)＋23 3 23 ＝4× ＝－4＋ . 5－4x 4(5－4x)
3 ∴值域为yy≠－4
.
(2)y＝－x
2
12 9 ＋x＋2＝－x－2 ＋4.
9 ∴值域是－∞，4.
4 f′(x)＝m(x－1)x－m.
4 ∵m<0，∴m<1. 则 增， ∴f(x)在[2,3]上单调递减. 又 g(x)在[2,3]单调递减， 2 ∴f(x)max＝f(2)＝3m＋1，g(x)min＝g(3)＝3m＋5. 因此，对任意 x1，x2∈[2,3]，f(x1)－g(x2)≤1 恒成立， 即[f(x1)－g(x2)]max≤1，
4.(2013 年北京)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)
上单调递减的是( C )
1 A.y＝x
B.y＝e－x D.y＝lg|x|
C.y＝－x2＋1
－6 ＋∞)，则 a＝__________.
5.(2012 年安徽)若函数 f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，
考点 1 利用定义判断函数的单调性
请说明理由.
解：(1)f′(x)＝mx2－(4＋m)x＋4＝(x－1)(mx－4). 当 m＝4 时，f′(x)＝4(x－1)2≥0， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 4 当 m>4 时，m<1，
4 ∴f(x)的递增区间为－∞，m，(1，＋∞).
(2)假设存在 m<0，使得命题成立， 此时
4 x· x ＝4，
当 x＜0 时，y≤－4，当且仅当 x＝－2 时取得等号. 综上所述，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞). 4 方法二，函数 y＝x＋ x的定义域为 x≠0. 4 ∵y′＝1－x2， 令 y′≥0， 解得 x≤－2 或 x≥2； y′<0 时， 解得－2<x<0 或 0<x<2， ∴当 x≤－2 或 x≥2 时，f(x)单调递增.
高考数学一轮复习 第2章第2节 函数的单调性与最大(小)值课件 文 新课标
• (2)若x∈[－2,1]时，函数f(x)的最小值为－ 7，求a及函数f(x)的最大值．
• 关键提示：由条件可得已知函数为关于ax 的一元二次函数，故其为复合函数，而内 函数为y＝ax，所以在解题时要注意指数函 数y＝ax的性质特征．
• 解：(1)f(x)＝2－(1＋ax)2. • 因为ax＞0，所以f(x)＜2－1＝1， • 所以函数f(x)的值域为(－∞，1)． • (2)因为a＞1， • 所以当x∈[－2,1]时，a－2≤ax≤a， • 所以2－(a＋1)2≤f(x)≤2－(a－2＋1)2， • 所以2－(a＋1)2＝－7，即a＝2.
• (即时巩固详解为教师用书独有)
• 考点一 用定义证明函数的单调性
• 【案例1】 判断函数f(x)＝x3＋b在R上的 单调性．
• 关键提示：由函数单调性的定义入手，关 键在于分析f(x1)与f(x2)的大小关系．
解：设 x1、x2∈R，且 x1＜x2， 则 f(x1)＝x13＋b，f(x2)＝x32＋b， 所以 f(x1)－f(x2)＝(x31＋b)－(x32＋b) ＝x13－x32＝(x1－x2)(x21＋x1x2＋x22)
B．y＝－x D．y＝x2＋2x＋1
解析：对选项逐一判断即可．
答案：D
2．若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，
则 y＝ax2＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析：因为 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函 数，所以 a<0，b<0，所以 y＝ax2＋bx 的对称轴方程 x＝
此时，f(x)的最大值为 2－(2－2＋1)2＝176.
2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值
2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值基础巩固强化一、选择题1．(文)下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝ln 1|x |B ．y ＝x 3C ．y ＝2|x |D ．y ＝cos x[答案] A[解析] 排除法：B 、C 在(0，＋∞)上单调递增，D 在(0，＋∞)上不单调，故选A. (理)(2013·宣城月考)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝x 13C ．y ＝－(12)xD ．y ＝1x[答案] D[解析] y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13 在(0，＋∞)上是增函数；∵y ＝(12)x 在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝－(12)x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x 在(0,1)上是减函数．故选D.2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1)，(4－a2)x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[4,8) C ．(4,8) D ．(1,8)[答案] B[解析] 由y ＝a x (x >1)单调增知a >1；由y ＝(4－a 2)x ＋2(x ≤1)单调增知，4－a2>0，∴a <8；又f (x )在R 上单调增，∴a ≥(4－a2)＋2，∴a ≥4，综上知，4≤a <8.[点评] 可用筛选法求解，a ＝2时，有f (1)＝5>4＝f (2)，排除A 、D.a ＝4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x (x >1)，2x ＋2 (x ≤1).在R 上单调递增，排除C ，故选B.3．(2013·北京海淀期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] f (x )在R 上单调递增的充要条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1，a <0，－12a ≥1，12＋a ×1＋1≥a ×12＋1＋1，解得－12≤a <0.由此可知“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要而不充分条件，故选B. 4．(文)若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2][答案] A[解析] 由h ′(x )＝2＋kx 2≥0，得k ≥－2x 2，由于φ(x )＝－2x 2在[1，＋∞)内的最大值为－2， 于是，实数k 的取值范围是[－2，＋∞)．(理)若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－2,2] C ．{2} D ．[2，＋∞)[答案] C[解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2， ∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．本例亦可用x ＝±2是方程f ′(x )＝3x 2－6a ＝0的两根解得a ＝2.5．(文)(2012·天津文)已知a ＝21.2，b ＝(12)－0.8，c ＝2log 52，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a[答案] A[解析] 本题考查指数、对数值的大小比较．a ＝21.2>21＝2，b ＝(12)－0.8＝20.8<21＝2，b ＝20.8>20＝1，c ＝2log 52＝log 522＝log 54<log 55＝1，所以c <b <a .(理)(2012·大纲全国理)已知x ＝lnπ，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x[答案] D[解析]∵y ＝log 52＝1log 25，z ＝e －12 ＝1e 且e<2<log 25，∴y <z <1，又lnπ>1，∴y <z <x ，故选D.[点评] 比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单调性求解．解题时，应注意观察判断数的正负，正数区分大于1还是小于1，再找出同底数的、同指数的、同真数的，区别不同情况采用不同函数的单调性或图象与性质进行比较，有时需要先进行变形再比较．6．(2013·阜阳月考)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝log 12f (x )的图象大致是( )[答案] A[解析] 由f (x )的图象知f (x )≥1， ∴y ＝log 12 f (x )≤0，故选A.二、填空题7．(文)(2013·柳州月考)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，则满足f (log 19x )>0的x 的集合为________．[答案] {x |0<x <13，或1<x <3}[解析] 由奇函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递增，且f (12)＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f (－12)＝0.由f (log 19 x )>0，得log 19 x >12或－12<log 19x <0，解得0<x <13或1<x <3.所以满足条件的x 的取值集合为{x |0<x <13，或1<x <3}．(理)(2013·黄山月考)若定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (12)＝0，则不等式f (log 4x )>0的解集是________．[答案] (0，12)∪(2，＋∞)[解析] 由f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，可得f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (log 4x )>0⇔f (log 4x )>f (12)⇔log 4x <－12或log 4x >12，解得0<x <12或x >2.8．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x x ≤0，log 2(x ＋2) x ＞0.若f (x 0)≥2，则x 0的取值范围是____________．[答案] (－∞，－1]∪[2，＋∞)． [解析](理)(2012·湖北八校联考)若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1、x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 2)－f (x 1)<0，则实数a 的取值范围为________．[答案] 1<a <2 5[解析] 由题意知函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋5)在(－∞，a2]上递减，又因为函数y ＝x 2－ax ＋5在(－∞，a2]上递减，由对数函数的性质可知a >1.又真数大于零，所以函数y ＝x 2－ax ＋5的最小值大于零，即(a 2)2－a ×a2＋5>0，所以－25<a <25，综上1<a <2 5. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，x ≤0，2ax －1，x >0，(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)． [答案] ①③④ [解析](数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则2a ×12－1>0，a >1，故③正确；由图象可知对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．三、解答题10．(2012·南通市调研)经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．[解析] 当1≤t ≤40，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋25003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝112×223＋12＝25003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83，所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝14912. 所以，S (t )的最大值为25003，最小值为8.能力拓展提升一、选择题11．(文)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大， 故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小，C 图中f ′(x )为常数，D 图中切线斜率先增大后减小． (理)如果函数y ＝a －x (a >0，且a ≠1)是减函数，那么函数f (x )＝log a1x ＋1的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法一：由函数y ＝a －x (a >0，且a ≠1)是减函数知a >1，∴0<1a <1，f (x )＝log a1x ＋1＝－log a (x ＋1)＝log 1a (x ＋1)．函数f (x )的图象可以看作由函数y ＝log 1a x 的图象向左平移1个单位长度得到，又y ＝log 1ax 是减函数，∴f (x )为减函数，故选C.解法二：由于f (0)＝0，故排除A 、B ；由y ＝a －x ，即y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数知a >1，∴x >0时，f (x )<0，排除D ，选C.12．(文)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则该函数在区间( )上是增函数．( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，－π4B.⎝⎛⎭⎫－π4，π4C.⎝⎛⎭⎫0，π2D.⎝⎛⎭⎫π4，3π4[答案] A[解析] ∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，0<θ<π，∴θ＝π2，∴y ＝2cos ωx ，由条件知，此函数的周期为π，∴ω＝2，∴y ＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，(k ∈Z )得，k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )，令k ＝0知，函数在⎣⎡⎦⎤－π2，0上是增函数，故A 正确．(理)(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[答案] D[解析] ∵x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数， 又f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴a ＝f (－12)＝f (52)，∴f (2)>f (52)>f (3)，即b >a >c .13．(2012·新课标全国文)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)[答案] B[解析] ∵0<x ≤12时，log a x >4x>0，∴0<a <1，排除C 、D ；当x ＝12时，log a 12>4 12 ＝2＝log a a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a 2<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 2>12，∴a >22，排除A ，选B.二、填空题14．(文)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (0,1][解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1， 又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0， 综上a 的取值范围为(0,1]．(理)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． [答案] a ≤－4[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋ax ＝2x 2＋2x ＋ax≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立， ∵g (x )的对称轴x ＝－12，x ∈(0,1)，∴g (1)≤0，即a ≤－4.15．函数y ＝log 13 (x 2－3x )的单调递减区间为________．[答案] (3，＋∞)[解析] 设t ＝x 2－3x ，由t >0，得x <0或x >3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)． 函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在(－∞，0)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增．而函数y ＝log 13 t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13 (x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．三、解答题16．(文)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值范围．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0.解得－1<x <1.故所求定义域为{x |－1<x <1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数． (3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}．(理)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为实数，且a ≠0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0，－f (x ) x <0.(1)若f (－1)＝0，曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,1]时，g (x )＝kx －f (x )是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设mn <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，证明F (m )＋F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，所以f ′(x )＝2ax ＋b .又曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴，故f ′(－1)＝0， 即－2a ＋b ＝0，因此b ＝2a .① 因为f (－1)＝0，所以b ＝a ＋c .② 又因为曲线y ＝f (x )通过点(0,2a ＋3)， 所以c ＝2a ＋3.③解由①，②，③组成的方程组得，a ＝－3，b ＝－6，c ＝－3. 从而f (x )＝－3x 2－6x －3.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3(x ＋1)2x >0，3(x ＋1)2x <0. (2)由(1)知f (x )＝－3x 2－6x －3， 所以g (x )＝kx －f (x )＝3x 2＋(k ＋6)x ＋3. 由g (x )在[－1,1]上是单调函数知：－k ＋66≤－1或－k ＋66≥1，得k ≤－12或k ≥0.(3)因为f (x )是偶函数，可知b ＝0. 因此f (x )＝ax 2＋c .又因为mn <0，m ＋n >0，可知m 、n 异号． 若m >0，则n <0.则F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝am 2＋c －an 2－c ＝a (m ＋n )(m －n )>0. 若m <0，则n >0. 同理可得F (m )＋F (n )>0. 综上可知F (m )＋F (n )>0.考纲要求理解函数的单调性，会求函数的单调区间，能用定义证明函数在给定区间上的单调性，会利用单调性比较函数值的大小，能利用单调性求参数的取值范围．补充说明1．把握判断单调性的三法：定义、图象、导数，掌握单调性的四点应用：求单调区间及最值，比较数的大小，解函数不等式，利用单调性求参数的取值范围．了解求最值的基本方法与思路：单调性法，图象法，基本不等式法，换元法，导数法，判别式法等．2．牢记．．讨论函数性质要先考虑函数的定义域，注意．．奇偶函数及图象关于直线x ＝a 对称的函数的单调性特征．防范．．函数f (x )的多个单调增(或减)区间不可用“∪”表示，了解．．f (x )单调增(或减)的各种不同表达方式．3．闭区间上连续的函数f (x )一定有最大值与最小值，闭区间上单调函数最值必在区间端点． 备选习题1．已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a[答案] D [解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)，即c >b >a .2．函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )＝f (log 12x )的单调减区间是( )A ．[1，2]B ．[22，1] C ．(0,1]和[2，＋∞)D ．(－∞，1]和[2，＋∞)[答案] C[解析] 令t ＝log 12x ，则此函数为减函数，由图知y ＝f (t )在⎝⎛⎦⎤－∞，－12和[0，＋∞)上都是增函数，当t ∈－∞，－12时，x ∈[2，＋∞)，当t ∈[0，＋∞)时，x ∈(0,1]，∴函数g (x )＝f (log 12x )在(0,1]和[2，＋∞)上都是减函数，故选C.[答案] C[解析]4．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A ．(－∞，32] B ．[32，＋∞) C ．(－1，32] D ．[32，4) [答案] D[解析] 由4＋3x －x 2>0得，函数f (x )的定义域是(－1，4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e>1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)． [点评] 可用筛选法求解，显然x ＝±100时，f (x )无意义，排除A 、B ；f (0)＝ln4，f (1)＝ln6，f (0)<f (1)，排除C ，故选D.。
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第2节 函数的单调性与最大(小)值
第二节 函数的单调性与最大(小)值[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．(对应学生用书第9页) [基础知识填充]1．函数的单调性 (1)单调函数的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间． 2．函数的最大(小)值函数单调性的常用结论(1)对任意x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋a x(a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增加的．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |在R 上是增加的．( )(4)函数y ＝x 2－2x 在区间[3，＋∞)上是增加的，则函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间为[3，＋∞)．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝xC ．y ＝1xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC [选项A ，B 中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D 为在定义域内为单调递减函数，选项C 中，设x 1＜x 2(x 1，x 2≠0)，则y 2－y 1＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1－x 2＜0，当x 1，x 2同号时x 1x 2＞0，1x 2－1x 1＜0，当x 1，x 2异号时x 1x 2＜0，1x 2－1x 1＞0，所以函数y ＝1x在定义域上不是单调函数，故选C ．] 3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )max ＝________.[1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )max ＝f (－2)＝8.](对应学生用书第10页)(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)(2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．【导学号：00090017】(1)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D ．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)·x 1x 2－kx 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上是增加的． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上是减少的．考虑到函数f (x )＝x ＋kx(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上是增加的，在(－k ，0)上是减少的．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上是增加的，在(－k ，0)和(0，k )上是减少的． 法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上是增加的，在(－k ，0)和(0，k )上是减少的．[规律方法] 1.函数y ＝f (g (x ))的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．2．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底． 3．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] (1)(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)(1)D (2)D [(1)选项A 中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增加的，故y ＝11－x 在(－1,1)上是增加的；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上是增加的，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上是增加的；选项D 中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减少的，故y ＝2－x在(－1,1)上是减少的．(2)由x 2－4＞0得x ＞2或x ＜－2，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]已知f (x )＝x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的范围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增加的，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.4分(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)上是增加的．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.7分②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上是增加的，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]. 12分 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，8分∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值范围为(－3,1].12分[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增加的，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )． 请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减少的呢？ [变式训练2] (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．(2)(2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.【导学号：00090018】(1)2 (2)2 [(1)当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2. (2)法一：∵f ′(x )＝－1x －2，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立， ∴f (x )在[2，＋∞)上是减少的，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图像是将y ＝1x的图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[1，＋∞)上是减少的，∴f (x )在[2，＋∞)上是减少的，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]角度1(2017·河南百校联盟质检)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( ) A ．f (b )＜f (a )＜f (c ) B ．f (c )＜f (b )＜f (a ) C ．f (c )＜f (a )＜f (b )D ．f (b )＜f (c )＜f (a )B [易知f (x )＝2x－2－x为单调递增函数，而a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714＞⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b ＞0，c ＝log 279＜0，所以f (c )＜f (b )＜f (a )，故选B ．] 角度2 解不等式(2017·湖北重点高中联合协作体联考)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，则满足f (a 2－1)＋f (a －1)＞0的a 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．(1，2) C ．(1,2)D ．(0，2)B [由题意知f (－x )＝(－x )3＋sin(－x )＝－x 3－sin x ＝－(x 3＋sin x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)，∴f (x )在区间(－1,1)上是奇函数； 又f ′(x )＝3x 2＋cos x ＞0， ∴f (x )在区间(－1,1)上是增加的， ∵f (a 2－1)＋f (a －1)＞0， ∴－f (a －1)＜f (a 2－1)，∴f (1－a )＜f (a 2－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜1，1－a ＜a 2－1，解得1＜a ＜2，故选B ．]角度3 求参数的取值范围(1)若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上是增加的，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.2 函数的单调性与最大(小)值
递增区间为
.
由题图可知函数的单调递增区间为[-1,1]和[5,7].
1
5.若函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,则k的取值范围是 (-∞,-2)
1
因为函数y=(2k+1)x+b在R上是减函数,所以2k+1<0,即 k<- .
2
6.若函数f(x)满足“对任意的x1,x2∈R,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”,则满足
D.f(x)= √
3
对于A,函数单调递减,不合题意;对于B,根据指数函数的性质可知函数单调
递减,不合题意;对于C,函数在定义域内不具有单调性,不合题意;对于D,根
据幂函数的性质可知,函数在其定义域内为增函数,符合题意.故选D.
4.设定义在区间[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调
(1 )-(2 )
<0.
1 -2
2.基本初等函数的单调区间
函数
正比例函数(y=kx,k≠0)与一
次函数(y=kx+b,k≠0)
反比例函数 =
,
≠0
二次函数(y=ax2+bx+c,a≠0)
条件
k>0
k<0
单调递增区间
R
无
k>0
无
k<0
(-∞,0)和(0,+∞)
a>0
a<0
- 2
“函数的单调递增区间是M”与“函数在区间N上单调递增”,两种说法的含
义相同吗?
不相同,这是两个不同的概念,显然N⊆M.
2015届高考数学总复习 第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值课时精练试题 文(含解析)
A ．y ＝log 12xB ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x3解析：由所求函数在(－1,1)内是增函数，故排除C ，D ，又选项A 中对数函数的真数x >0，排除A.故选B.答案：B2．(2013·吉林实验中学三模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ＜0，a x ，x ≥0(a ＞0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23解析：由f (x )在R 上是减函数得，0＜a ＜1，且－0＋3a ≥a 0，由此得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.答案：B 3．(2013·郑州第一次质检)已知定义在R 上的函数f (x )是增函数，则满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：依题意得，不等式f (x )＜f (2x －3)等价于x ＜2x －3，由此解得x ＞3，即满足f (x )＜f (2x －3)的x 的取值范围是(3，＋∞)．答案：D4．函数f ()x ＝log 2()3x＋1的值域为( )A.()0，＋∞B.[ 0， )＋∞C.()1，＋∞D.[ 1， )＋∞答案：A5．(2013·浙江嘉兴测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1x ，x ≥0，f 2x ，x ＜0，下列命题正确的是( )A ．若f 1(x )是增函数，f 2(x )是减函数，则f (x )存在最大值B ．若f (x )存在最大值，则f 1(x )是增函数，f 2(x )是减函数C ．若f 1(x )，f 2(x )均为减函数，则f (x )是减函数D ．若f (x )是减函数，则f 1(x )，f 2(x )均为减函数解析：可举反例说明选项A 、B 、C 错误．故选D. 答案：D6．若f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是____________________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.答案：f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫347．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254 ，－4，则m 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254.又f (0)＝－4， 故由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧32≤m ，m －32≤32－0.解得32≤m ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，38．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调递增区间为________．解析：因为x 2－2x －3≥0，所以x ≤－1或x ≥3，所以函数的递增区间为[3，＋∞)． 答案：[3，＋∞)9．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0, x ＞0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．答案：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵fx 2－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)解析：∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2.∴易得a ＝25.10．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝ f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．答案：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2＝1x 2 －1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＜0.∴f (x 1)＜f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意知，a －1x＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 所以a ≤h (1)，即a ≤3.所以a 的取值范围为(－∞，3]．。
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a>1或a<－1， 即 5 <0， a＞3或a<－1.
5 ∴a<－1或a>3. 又a＝－1时，有1＞0，对一切x∈R恒成立，满足题意． 5 ∴a≤－1或a>3.
5 ∴实数a的取值范围是(－∞，－1]∪3，＋∞.
(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上 的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解得 5 1<a≤ 3 ，又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意；a＝－1 5 时不合题意，∴1≤a≤3.
fK(x)＝2－|x|＝ 函数．
，在(1，＋∞)上为减函数．
当 x∈( － ∞ ，－ 1) 时， fK(x) ＝ 2x ，在 ( － ∞ ，－ 1) 上为增 答案：(－∞，－1)
求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋5，x∈[－1,2]； (2)f(x)＝2＋ (3)y＝ ； ；
第二章
第二节 函数的单调性与最 大（小）值
函数单调性的讨论与证明 【例1】 证明：函数f(x)＝ 自主解答： －x在R上是单调减函数．
点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调
性的一般步骤：
(1)任取x1，x2∈D，且x1<x2； (2)作差； (3)变形(通常是因式分解和配方)； (4)判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)； (5) 下结论 ( 即指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调 性)．
(4)y＝x＋
(5)y＝x＋4 (6)y＝x＋
；
； ；
(7)y＝|x＋1|＋|x－2|.
解析：(1)∵y＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1. 又∵1∈ ，∴ymin＝4，ymax＝8.∴值域是[4,8]． .
(2)易知函数定义域为 ∵∈[0，＋∞)， ∴f(x)∈[2，＋∞)， 即函数f(x)＝2＋
变式探究
3．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
解析：(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，对一切x∈R恒
成立，当a2－1≠0时，其充要条件是
2 a －1>0， 2 2 Δ＝a＋1 －4a －1
变式探究 2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数
K，定义函数fK(x)＝ 当K＝
取函数f(x)＝2－|x|，
时，函数fK(x)的单调递增区间为______．
解析： 由f(x)＝2－|x|≤
∴|x|≥1.∴x≥1或x≤－1. ∴fK(x)＝
得－|x|≤－1，
当x∈ (1，＋∞)时，
当a＞1时，y＝logat在(0，＋∞)上是增函数，
此时，y＝loga(4x－x2)的单调增区间是(0,2]，单调减区
间是[2,4)；
当0＜a＜1时，y＝logat在(0，＋∞)上是减函数， 此时，y＝loga 间是[2,4)． 的单调减区间是(0,2]，单调增区
点评：(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法： ①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或 复合函数，求单调区间； ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义； ③导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间； ④图象法：如果函数是以图象形式给出的，或者函数的图 象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
0<x<1时，y′<0，∴ 函数 y 单调递减． ∴ 函数 y 在 x ＝－ 1和 x ＝1处分别取得极大值和极小值，分别为－2和2.∴函数的值
域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(5)(代数换元法)设t＝
≥0，则x＝1－t2.
∴原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)． ∴y≤5.∴原函数值域为(－∞，5]． (6)(三角换元法)∵1－x2≥0⇒－1≤x≤1， ∴设x＝cos α，α∈[0，π]，
求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y＝－x2＋2|x|＋3； (2)y＝loga(4x－x2)(a＞0且a≠1)． 自主解答：
解析：(1) 原函数等价于 y＝ 作出如下函数图象：
由函数图象可知，
函数 y ＝－x2 ＋ 2|x| ＋ 3在 ( － ∞ ，－ 1] ， [0,1] 上是增函数， 在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． (2)由4x－x2＞0，得函数的定义域是(0,4)． 令t＝4x－x2， ∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4， ∴t＝4x－x2的递减区间是[2,4)，递增区间是(0,2]．
变式探究
1．判断并证明函数f(x)＝x3＋a(a∈R，a是常数)的单调性． 解析：f(x)＝x3＋a在R上是增函数． 证明如下：
设x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) .
∵x1<x2，∴x1－x2<0 ，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴f(x)＝x3＋a在R上是增函数．
(2)求复合函数y＝f[g(x)]的单调区间的步骤：
①确定函数定义域； ②将复合函数分解成两个基本初等函数；
③分别确定两基本初等函数的单调性； ④按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间． (3) 函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或 不等式的形式表示；一个函数如果有多个单调区间应分别 写，分开表示，不能用并集符号“∪”连接，也不能用 “或”连接．
则y＝cos α＋sin α＝
∵α∈[0，π]，
(7)(数形结合法)将函数化为分段函数形式，即
画出它的图象 ( 如右图所示 ) ，由图象可知，函数的值域是
{y|y≥3}．
(几何法)∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点 －1,2的距离之和，∴易得y的最小值是3.∴函数的值域是 [3， 如下图所示．
的值域是[2，＋∞)．
(3)(分离常数法)
∵
≠0，∴y≠1.
即函数的值域是 {y|y∈R且y≠1}．
(4)(配方法)当x>0时，
当x<0时，y =
＋2≥2，
∴值域是(－∞，－2]∪[20)∪(0，＋∞)，
令y′＝0，即
＝0，解得x＝±1.
当x<－1或x>1时，y′>0，∴函数y单调递增；当－ 1<x<0或