(精品)导数与函数的单调性公开课课件
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函数的单调性与导数 课件
【典型例题】
1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取
值范围为( )
A.a≥1
B.a=1
C.a≤1
D.0<a<1
2.已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3，-1)上不单调，则实数k的
取值范围是______.
3.(2013·天津高二检测)设函数f(x)=ax3+ 3 (2a-1)x2-6x
【解析】1.选A.因为f′(x)=3x2-2ax-1，f(x)在(0,1)内单调 递减，所以f′(0)≤0,f′(1)≤0,所以a≥1. 2.因为f′(x)=3x2-k.当k≤0时，f′(x)≥0，不合题意，舍 去，所以k>0. 令f′(x)=0,则 x k .
3
因为在(-3,-1)上函数不单调，
________，单调递增区间为_______.
3.讨论函数f(x)=x2－aln x(a≥0)的单调性.
【解题探究】1.解含有对数函数的问题，应注意什么？利用 导数求函数的单调区间,其实质是什么? 2.如何求多项式乘积形式函数的导数？ 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是什么?
探究提示： 1.(1)要注意对数函数的定义域,即真数大于零.(2)求函数的单 调区间就是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集. 2.求多项式乘积式的导数,可以利用积的导数法则求解,也可以 把乘积式展开,利用和与差的导数法则求解. 3.当函数的解析式中含有参数时,一般的处理思路是对参数进 行分类讨论,然后在参数的不同情况下,分别求出结果.
x2
1 a
,
因为f(x)在(-∞,-3)上是增函数，即x<-3时，f′(x)>0恒成
(完整版)导数与函数的单调性公开课课件
二、解题方法
2020/2/8
13
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3：函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一： f '(x) 2x 2a 0
方法二：二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、导函数与原函数的图象； 3、求函数的单调区间； 4、求参数的取值范围.
当a 0时,增区间(, )，无减区间；
当a 0时,增区间(, a), (1, )，减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3：已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增，
x
求a的取值范围.
解：
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
导数与函数的单调性
教师：段茂森
知识梳理
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， 1．若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_； 2．若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_；
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
二、求函数的单调区间
2020/2/8
13
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3：函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一： f '(x) 2x 2a 0
方法二：二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、导函数与原函数的图象； 3、求函数的单调区间； 4、求参数的取值范围.
当a 0时,增区间(, )，无减区间；
当a 0时,增区间(, a), (1, )，减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3：已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增，
x
求a的取值范围.
解：
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
导数与函数的单调性
教师：段茂森
知识梳理
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， 1．若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_； 2．若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_；
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
二、求函数的单调区间
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
函数的单调性与导数--公开课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
假如函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有单调性。区间D叫做函数旳单调区间。
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
2.怎样用定义判断函数旳单调性？
（1）取值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论
二、讲授新课------导入新课
下图(1)表达高台跳水运动员旳高度 h 随时间 t 变化旳函 数h(t)= -4.9 t 2+6.5t+10 旳图象, 图(2)表达高台跳水运动 员旳速度 v 随时间 t 变化旳函数 v(t)= -9.8t+6.5 旳图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时 间旳运动状态有什么区别?
二、讲授新课-----问题探究
观察下面某些函数旳图象, 探讨函数旳单调性与其导函数正负
旳关系.
y
（1）
y y=x （2）
y=x2o （3ຫໍສະໝຸດ yxoy=x3
y
（4）
x
y1 x
ox
o
x
二、讲授新课-----问题探究
y
一般地，函数旳单调性与其导
函数旳正负有如下关系：
(x1，f(x1))
y=f(x)
在某个区间(a,b)内,
解：（1）f '(x)=x3+3x= 3(x2+1)>0
所以函数f(x)=x3+3x在R上单调递增。 所以函数f(x)=x3+3x旳单调增区间为R。
二、讲授新课-----典例精讲
例 3. 判断下列函数旳单调性, 并求出单调区间:
(1) f(x)=x2-2x-3,
(2) f(x)=x2－2lnx
解 (2) 函数f(x)=x2－2lnx定义域为0,
h
(1)
导数与函数的单调性课件
答案:A
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
.
)
2.若函数f(x)= 1 x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(
2
A.(-∞,-1)∪[3,+∞)
B.[-1,3] C.[0,3]
1 2
解析:函数 f(x)=2x -2x-3ln x 的定义域为{x|x>0},
3
2 -2-3
(-3)(+1)
因为 f'(x)=x-2- = =
人教2019 B版 选择性必修三
第六章 导数及其应用
6.2.1 导数与函数的单调性
学习目标
1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，
体会数形结合思想，发展直观想象素养。
2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数
学运算素养。
导语
导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递____
增
f ′(x)＜0
单调递____
减
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f ′(x)＜0，则函数 f (x)在这个区间上单调递
减． (
)
(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (
＋∞)．]
当堂达标
1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(
A.
C.
1
-1, 3
1
-1,- 3
B.
D.
1
- 3 ,1
1
,1
3
解析:f'(x)=-3x2-2x+1,
函数的单调性与导数-图课件
单调减函数的性质
03
04
05
函数图像从左至右下降 。
若$f(x)$在区间$I$上单 调递减，且$a, b in I$， 且$a < b$，则有$f(a) geq f(b)$。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其反函 数在相应的区间上单调 递增。
单调性与导数的关系
01
导数与单调性的关系
如果函数在某区间的导数大于0，则该函数在此区间单调递增；如果导
数小于0，则函数在此区间单调递减。
02
导数不存在的点
对于使导数不存在的点，需要单独判断其单调性。
03
高阶导数与单调性的关系
高阶导数的符号可以提供关于函数单调性更精细的信息。例如，二阶导
数大于0表示函数在相应点处有拐点，即由单调递增变为单调递减或反
之。
02 导数在判断函数单调性中 的应用
导数大于0与函数单调性的关系
定义法判断单调性
• 定义法判断单调性是指通过比较函数在某区间内任意两点x1和x2的函数值f(x1)和f(x2)，来判断函数在该区间内的单调性。 如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则函数在该区间内单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则函数在该 区间内单调递减。
03 导数在实际问题中的应用
导数在经济学中的应用
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益等，帮助企业做出更好的经济
决策。
最优化问题
导数可以用来解决最优化问题，例 如最大利润、最小成本等，为企业 提供最优的资源配置方案。
需求弹性
导数可以用来分析需求弹性，例如 价格敏感度、需求变化等，帮助企 业制定更加精准的市场策略。
函数的单调性与导数优秀ppt课件
①当1<x<4时，f’(x)>0; ②当x>4,或x<1时，f’(x)<0; ③当x=4,或x=1时，f’(x) =0. 试画出函数f(x)图象的大致形状。
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
y y=f(x)
O1
4
x
7/20/2024
例2 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 1 的单调区间
解： f '(x) 6x2 6x 12
7/20/2024
例1
设 f '( x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '( x)的图象如
c 右图所示,则 y f ( x) 的图象最有可能的是( )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '( x)
o 1 2x o 1 2x
(A)
y y f (x)
(B)
o
2x
y y f (x)
G=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上有单调性。
G 称为单调增（减少）区间
新授 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间
y x2
y x3
y1 x
y
y
y
ox
ox
o
x
（-∞，0） （0，+∞）
（- ∞ ，+∞） （-∞，0） （0，,+∞）
为增区间； （4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分
为减区间．
7/20/2024
课堂练习 求下列函数的单调区间。
(1) f (x) x2 2x 3 (2) f (x) x3 3x
《导数与函数的单调性》示范公开课教学课件
点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
（1）
（2）
O
x
（3）
（3）函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数； 而y′＝3x2，若x≠0，其导数y′＝3x2＞0，当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0．
Ox （4）
新知探究
导入新课
问题 5．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的 增与减、增减的快慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数 的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解． 函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的 导数是否有着某种内在的联系呢？
问题2 通过观察图像，小物体从起点到最高点，以及从最高点到2 s这段时间的运动
状态有什么区别？ y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
Ox
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）函数y＝ 1 的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在（－∞，0）上单调递减，在 x
（0，＋∞）上单调递减；
而y′＝
1 x2
，因为x≠0，所以y′＜0．
典例分析
小结：如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，在表 示这些区间时不能用“∪”连接，只能用“，”或“和”字 隔开．
典例分析
例3 求函数f（x）＝xex的单调区间．
解：根据题意有 f′（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex．
令f′（x）＞0，可得（x＋1）ex＞0，因为ex＞0恒成立， 所以x＋1＞0，因此x＞－1， 令f′（x）＜0，可得（x＋1）ex＞0，解不等式可得x＜－1． 因此，可知函数f（x）的单调递增区间为［－1，＋∞），单调递减区间为（－∞，－1］．
函数的单调性与导数PPT教学课件
A1型最密堆积（配位数为12）（例如铜）
2.离子晶体属非等径圆球的密堆积方式：
大球先按一 定的方式做 等径圆球密 堆积
小球再填充 到大球所形 成的空隙中
配位数：一个原子或离子周围所邻接的原子 或离子数目。
NaCl：Cl－ 离 子密先堆以积，AN1a型＋ 离紧 子再填充到空 隙中。
ZnS： S2－离子 先以A1型紧密 堆积，Zn2＋ 离 子再填充到空 隙中。
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
1. 等径圆球的密堆积
把乒乓球装入盒中，盒中 的乒乓球怎样排列才能使 装入的乒乓球数目最多？
《函数单调性与导数》课件
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
在运动学中，导数可以用来描述 物体的速度和加速度。例如，自 由落体运动中，物体的速度和加
速度可以通过求导得到。
热传导
在热力学中，导数可以用来描述 热量传递的过程。例如，通过求 导得到温度场的变化率，可以帮
助我们理解热传导的规律。
弹性力学
在弹性力学中，导数可以用来描 述物体的应力应变关系。例如， 通过求导得到物体的应力分布和 应变状态，可以帮助我们理解物
调性
利用导数的符号变化，确定函数 在某区间内的增减性
通过求解一阶导数的不等式，判 断函数的单调性
利用导数判断函数单调性的方法
直接求导
对于已知函数，直接求导并分 析导数的符号变化
利用导数的几何意义
通过导数的几何意义，绘制函 数图像，直观判断函数的单调 性
构造新函数
通过构造函数并求导，利用导 数判断新函数的单调性来研究 原函数的单调性
成本效益分析
导数可以用来分析企业的成本效益，从而制定最优的经营策略。例如，通过求导找到最小 化成本或最大化的利润点，可以帮助企业制定合理的价格和产量策略。
投资组合优化
在金融领域，导数可以用来优化投资组合，以实现最大的收益或最小的风险。例如，通过 求导找到最优的投资组合比例，可以帮助投资者实现资产配置的目标。
详细描述：导数的计算方法包括定义法、求导公式和法则、复合函数求导、隐函数求导、参数方程确定的函数求导等。
03
利用导数判断函数单调性
导数与函数单调性的关系
导数大于零，函数单 调递增
导数等于零，函数可 能为极值点或拐点
导数小于零，函数单 调递减
单调性判定定理的推导
基于极限的导数定义，通过分析 函数在某区间的变化率来判断单
函数的单调性与导数-图课件
函数的单调性与导数-图 课件
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
通过图示方式深入探讨函数的单调性单调性
定义
函数单调性是指函数在 定义域内逐渐增大或逐 渐减小的趋势。
单调递增的函数图像
函数图像由左下向右上 倾斜。
单调递减的函数图像
函数图像由左上向右下 倾斜。
如何判断函数的单调性
一阶导数与函数单调性的关系
当函数的一阶导数永远大于零时，函数递增； 当一阶导数永远小于零时，函数递减。
二阶导数与函数凹凸性的关系
当函数的二阶导数大于零时，函数凹；当二 阶导数小于零时，函数凸。
导数与函数单调性的应用
1 极值问题
利用导数找出函数的 极值点，从而解决实 际问题。
2 函数最大值最小
值问题
导数能够帮助我们判断函数的单调性和凹凸 性。
如何应用导数解决实际问题
导数不仅仅是理论工具，还可以解决许多实 际问题。
学习建议
1 深入理解导数的概念
掌握导数的定义和性质，加深对导数与函数关系的理解。
2 多做练习题
通过大量的练习题巩固导数与函数单调性的知识。
通过导数的性质，求 出函数的最大值和最 小值。
3 拐点问题
使用导数的变化来确 定函数的拐点。
实例分析
对给定函数F(x)进行单调性分析
通过分析函数F(x)的导数，确定函数F(x)在不同 区间的单调性。
利用导数求函数的最值
运用导数的概念和性质，求出函数的最大值和 最小值。
总结与思考
函数单调性与导数的关系
函数的单调性(公开课课件)
VS
单调性与极值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的极值大 小。
单调性与最值的关系
单调性与最值点的关系
单调性可以用来判断函数在某点是否为最值 点。
单调性与最值大小的关系
单调性可以用来比较不同区间上的最值大小 。
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函数单调性的应用
利用单调性求参数范围
通过函数的单调性，我们可以确定参数的取值范围，进而解决一些数学问题。
在函数中，如果函数在某区间内单调递增或递减，那么我们可以根据函数值的变化趋势，确定参数的取值范围。例如，如果 函数$f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增，且$f(x_0) = 0$，那么对于任意$x in (a, b)$，都有$f(x) > 0$，从而可以得出参数的 取值范围。
单调性可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数大于等于0，则函数在该区 间内单调递增；如果函数的导数小于等于0，则函数在该区间内单调递减。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而增加。
02
单调减函数是指函数在某个区间 内随着自变量的增加而减少。
函数单调性的几何意义
导数与函数单调性
总结词
导数可以判断函数的单调性，当导数大于0时，函数单调递增；当导数小于0时 ，函数单调递减。
详细描述
导数表示函数在某一点的切线斜率。如果导数大于0，说明切线斜率为正，函数 在该区间内单调递增；如果导数小于0，说明切线斜率为负，函数在该区间内单 调递减。
复合函数的单调性
总结词
复合函数的单调性取决于内外层 函数的单调性以及复合方式。
《函数的单调性与导数》人教版高中数学选修PPT精品课件
;
③解不等式 f ( x) 解不等式f ( x)
>0得f(x)的单调递增区间; <0得f(x)的单调递减区间.
人教版高中数学选修2-2
讲解人： 时间：
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第1章 导数及其应用
h(t) = -4.9t2 + 6.5t + 10
的图像.运动员从起跳到最高点，以及从最
高点到入水这两段时间内，随着时间的变化，运动员离水面的高度发生什么变化？
h
M
h f (t)
o
m
t
新知探究
通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起跳到最高点，离水面高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数.相应的，
）
A.a 1 3
B.a 1
C.a 0
D.a 0
课堂练习
D 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f’(x)的图象可能是（
(A)
(B)
(C)
(D)
课堂练习
已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若f(x)的单调减区间为(0,4)，1则k=____.
新知探究
例4 如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器 中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.
1 h
2 h
3 h
o A t
o B t
o C t
图1.3 6
4 h
o D t
新知探究
解 1 → B, 2 → A, 3 → D, 4 → C.
课前导入
单调函数的图象特征
G=(a,
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如下图(左)所示，则 f(x)的图象可能是( D )
+
--
一、原函数与导函数的图象
练习(3)：已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 y＝f′(x)的图象如
B 下图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
二、求函数的单调区间
例2：已知函数f (x) 1 x3 ax2 8a2x，讨论f (x)的单调区间. 3
A 断中正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3,1)上是增函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(1,3)上是单调函数
一、原函数与导函数的图象
练习(2)：已知函数 f(x)的导函数 f′(x)＝ax2＋bx＋c 的图象
-
增区间(, 2), (0, )，减区间(2，0).
二、求函数的单调区间
练习2：求下列函数的单调区间.
(2) f (x) ln x+ 1 x
解：f '(x) 1 1 x 1 0(x 0) x 1 x x2 x2
x (0,1) 1 (1, +)
f (x) - 0 +
1. 若 f(x)在这个区间内是单调增函数，则__f _'(_x_)____0_; 2. 若 f(x)在这个区间内是单调减函数，则__f _'(_x_)____0_;
一、原函数与导函数的图象
例1 设 f '(是x)函数 的f (导x)函数， y的 图f '象( x如)
右图所示,则 y 教师：段茂森
知识梳理
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， 1．若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_； 2．若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_；
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
)
y
C
y
y f (x)
y
y f (x)
y f '(x)
o1
2x
(A)
y y f (x)
o
1
2x
+
(B)
o
+
2x
-
y y f (x) 原函数看增减
2
o1
x
(C)
o 12
导函数看正负
x
(D)
一、原函数与导函数的图象
练习 1．(1)如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3：函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一： f '(x) 2x 2a 0
方法二：二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、导函数与原函数的图象； 3、求函数的单调区间； 4、求参数的取值范围.
二、解题方法
2020/3/3
13
二、求函数的单调区间
练习2：求下列函数的单调区间.
(1) f (x) x2ex
解：f '(x) 2xex x2ex (2x x2 )ex 0
x1 2或x2 0
x (, 2) 2 (2,0) 0 (0,+)
f (x) +
0 - 0 ++
+
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f (x) ↘ 极小值 ↗
增区间(1, )，减区间(0,1).
二、求函数的单调区间
练习2：求下列函数的单调区间.
(3) f (x) 1 x3 1 (1 a)x2 ax
解：f
'( x)
3
x2
2
(1 a)x
a
(x 1)(x a) 0
x 1或x a
当a 1时,增区间(,1), (a, )，减区间(1, a)；
当a 0时,增区间(, )，无减区间；
当a 0时,增区间(, a), (1, )，减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3：已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增，
x
求a的取值范围.
解：
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).
+
--
一、原函数与导函数的图象
练习(3)：已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，若 y＝f′(x)的图象如
B 下图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( )
二、求函数的单调区间
例2：已知函数f (x) 1 x3 ax2 8a2x，讨论f (x)的单调区间. 3
A 断中正确的是( )
A．函数 f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数 f(x)在区间(－3,1)上是增函数 C．函数 f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数 f(x)在区间(1,3)上是单调函数
一、原函数与导函数的图象
练习(2)：已知函数 f(x)的导函数 f′(x)＝ax2＋bx＋c 的图象
-
增区间(, 2), (0, )，减区间(2，0).
二、求函数的单调区间
练习2：求下列函数的单调区间.
(2) f (x) ln x+ 1 x
解：f '(x) 1 1 x 1 0(x 0) x 1 x x2 x2
x (0,1) 1 (1, +)
f (x) - 0 +
1. 若 f(x)在这个区间内是单调增函数，则__f _'(_x_)____0_; 2. 若 f(x)在这个区间内是单调减函数，则__f _'(_x_)____0_;
一、原函数与导函数的图象
例1 设 f '(是x)函数 的f (导x)函数， y的 图f '象( x如)
右图所示,则 y 教师：段茂森
知识梳理
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， 1．若 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__增__函__数_； 2．若 f′(x)<0，则 f(x)在这个区间内是_单__调__递__减__函__数_；
函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
)
y
C
y
y f (x)
y
y f (x)
y f '(x)
o1
2x
(A)
y y f (x)
o
1
2x
+
(B)
o
+
2x
-
y y f (x) 原函数看增减
2
o1
x
(C)
o 12
导函数看正负
x
(D)
一、原函数与导函数的图象
练习 1．(1)如图所示是函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象，则下列判
分离参数
三、求参数的取值范围
练习3：函数f (x) x2 2ax 1在区间(-,1]单调递减.
求a的取值范围. 方法一： f '(x) 2x 2a 0
方法二：二次函数
a x在(,1]恒成立
令g(x) x
a gmax (x) a 1
课堂小结
一、本节课所学知识 1、导数与函数单调性的关系； 2、导函数与原函数的图象； 3、求函数的单调区间； 4、求参数的取值范围.
二、解题方法
2020/3/3
13
二、求函数的单调区间
练习2：求下列函数的单调区间.
(1) f (x) x2ex
解：f '(x) 2xex x2ex (2x x2 )ex 0
x1 2或x2 0
x (, 2) 2 (2,0) 0 (0,+)
f (x) +
0 - 0 ++
+
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f (x) ↘ 极小值 ↗
增区间(1, )，减区间(0,1).
二、求函数的单调区间
练习2：求下列函数的单调区间.
(3) f (x) 1 x3 1 (1 a)x2 ax
解：f
'( x)
3
x2
2
(1 a)x
a
(x 1)(x a) 0
x 1或x a
当a 1时,增区间(,1), (a, )，减区间(1, a)；
当a 0时,增区间(, )，无减区间；
当a 0时,增区间(, a), (1, )，减区间(a,1).
三、求参数的取值范围
例3：已知函数f (x) x a ln x,若f (x)在区间(1, 2)单调递增，
x
求a的取值范围.
解：
则a gmin (x)
令g(x) x2 x,
解：f '(x) x2 2ax 8a2 0
(x 2a)(x 4a) 0 x 2a或x 4a 当a 0时,增区间(, 2a), (4a, )，减区间(2a, 4a)； 当a 0时,增区间(, )，无减区间； 当a 0时,增区间(, 4a), (2a, )，减区间(4a, 2a).