第十八章勾股定理全章教案

第十八章勾股定理

18．1 勾股定理（一）

一、教学目标

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．

二、重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明．

2．难点：勾股定理的证明．

3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．

三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．进一步让学生确信勾股定理的正确性．

四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长．

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5．再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长．

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？

例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、

∠C的对边为a、b、c．

求证：a2＋b2=c2．

分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹

塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．

A B

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正，则 4×

2

1

ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证． ⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ． 求证：a 2＋b 2=c 2． 分析：左右两边的正方形边长相

等，则两个正方形的面积相等． 左边S=4×2

1

ab ＋c 2

右边S=（a+b ）2

左边和右边面积相等，即 4×

2

1

ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证．

六、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： ． 2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ；

⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；

⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： ．

3．△ABC 的三边a 、b 、c ，若满足b 2= a 2＋c 2，则 =90°； 若满足b 2＞c 2＋a 2，则∠B 是 角； 若满足b 2＜c 2＋a 2，则∠B 是 角． 4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理．

七、课后练习

1．已知在Rt △ABC 中，∠B=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= ．（已知a 、b ，求c ） ⑵a= ．（已知b 、c ，求a ） ⑶b= ．（已知a 、c ，求b ）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b ，c 的值，并把b 、c 用含a 的代数式表示出来．

b

b

b

b

a

a A

B b

E

B

3．在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=310cm ，一动点P 从B 向C 以每秒2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直．

4．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上． 求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD

⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论．

八、参考答案

课堂练习 1．略；

2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=21AB ；⑶AC=2

1

AB ；⑷AC 2+BC 2=AB 2． 3．∠B ，钝角，锐角；

4．提示：因为S 梯形ABCD = S △ABE + S △BCE + S △EDA ，又因为S 梯形ACDG =2

1

（a+b ）2， S △BCE = S △EDA =21 ab ，S △ABE =21c 2, 21（a+b ）2=2×21 ab ＋2

1

c 2． 课后练习

1．⑴c=2

2

a b -；⑵a=2

2

c b -；⑶b=2

2

a c +

2．⎩⎨⎧+==+1

222b c c b a ；则b=212-a ，c=21

2+a ；当a=19时，b=180，c=181．

3．5秒或10秒．

4．提示：过A 作AE ⊥BC 于E ．

18．1 勾股定理（二）

一、教学目标

1．会用勾股定理进行简单的计算．

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想． 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算．

D

C

B