北京中考专项--代几综合

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北京中考代数综合解题技巧

北京中考代数综合解题技巧1. 理解题意，首先要仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。

明确所给的信息和需要求解的未知数，搞清楚问题的背景和意义。

2. 建立方程，根据题目中的条件和要求，可以通过代数表达式建立方程。

常见的代数表达式包括线性方程、二次方程、不等式等。

在建立方程时，要注意将问题中的信息转化为代数表达式，并确定未知数的含义。

3. 运用代数解题方法，根据所建立的方程，运用代数解题方法进行求解。

常见的代数解题方法包括消元法、代入法、配方法、因式分解、求根公式等。

根据具体题目的特点和要求，选择合适的方法进行解题。

4. 检查和解释答案，在得到解答之后，要进行检查，确保解答符合题目要求和条件。

同时，还要对解答进行解释，将代数解题的过程和思路进行清晰的表述，以展示解题的逻辑和思维。

此外，还有一些常见的技巧可以帮助解决代数综合题：1. 利用图表，对于与图表相关的代数综合题，可以通过绘制图表来帮助理解问题和建立方程。

图表可以直观地展示问题的关系和规律，有助于解题思路的形成。

2. 分析选项，对于选择题，可以通过分析选项的特点和条件，来缩小解答的范围。

有时候，选项中的某些特点可以提供线索，帮助解题。

3. 使用辅助线，对于几何代数综合题，可以通过引入辅助线来简化问题，建立更易解的几何关系。

辅助线可以将复杂的几何图形转化为简单的几何形状，从而更容易进行代数求解。

综上所述，北京中考代数综合解题技巧包括理解题意、建立方程、运用代数解题方法、检查和解释答案等方面。

同时，还可以运用图表、分析选项和使用辅助线等技巧来辅助解题。

通过不断的练习和积累，可以提高代数综合解题的能力。

中考压轴题代几综合题

❖ 当函数与几何图形相结合时，关键是要做好点的坐标与线段长的互相转化，同时还要考虑分类讨论．
❖ 分类讨论是要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简.
分类常见的依据是：
❖ 一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是对应角；
在中考试卷中，代成.
► 热考一坐标系中的几何问题
❖ 本类题通常先给定函数解析式和几何图形，由几何图形的性质或解析法确定待定系数所需的条件，求出函数解析式，然后根据所求的函数关系进行探索研究．探索研究的一般类型有：①在什么条件下三角形是等腰三角形、直角三角形；②四边形是菱形、梯形等；③探索两个三角形满足什么条件相似；④ 探究线段之间的位置关系等．
❖ 二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等；
❖ 三是依据图形间的位置关系，如点在线段上(不与端点重合)、点与端点重合、点在线段延长线上等．
► 热考二动点问题
❖ 解决动态几何问题我们需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系；在求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型来求解；求图形之间的特殊数量关系和一些特殊值时，通常建立方程模型求解
二、应用举例 [2012·北京]
在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝－m－4 1x2＋54mx＋m2－3m ＋2 与 x 轴的交点分别为原点 O 和点 A，点 B(2，n)在这条抛物线上.
(1) 求 B 点的坐标；(2) 点 P 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交于点 E，延长 PE 到点 D，

北京市中考数学压轴题梳理

北京市2019年中考数学压轴题梳理
1.23题代数综合:
常考一元二次方程根的问题, 其中最常见的是已知含参数
方程有相同根、相反根、有理根或整数根等的情况下, 求参数的值以及该方程的根, 题目解题核心就是方程思想, 此
时要求同学们从相应的条件中提炼出可列方程的等量关系。

另一个常考的内容是二次函数与方程不等式的结合, 这里
考到的就是数形结合思想的应用, 其中西城区近年常考代
数式的整体代换, 西城的考生要特别注意。

2、24题几何综合:
考查初中阶段的三大几何变换-平移、旋转、轴对称。

平移: 多用于将零散的条件集中在一起, 可平移条件、平移结论、平移线段、平移图形, 平移线段既出平行四边形, 这里同学们需要注意平移后即可用平行四边形的各项性质。

旋转：旋转中模型较多, 而且较好辨别一道题是否属于旋转, 此类题需要同学们总结记忆, 会大大提高考场答题效率。

轴对称：条件给出已知角平分线时, 较容易用到轴对称, 目的是构造角平分线所在直线两侧的全等三角形, 继而转换
边角条件。

3.25题代几综合:
题目问法常见：求图形面积最大值、求线段长之和的最值、动点问题构造等腰三角形或直角三角形或平行四边形或与
已知三角形相似的三角形。

这类问题的解题核心在于先要根据题目问题找到所需图形;挖掘图形性质并根据性质列出方
程(比如构造等腰三角形, 等腰三角形的性质就是两腰相等, 故根据两腰相等列出方程便可解得满足这种情况的未知数
的值), 一般情况下根据线段关系列方程时需要注意, 表示
线段是关键, 这里的通法是设出点坐标, 再根据点坐标表
示出线段长, 接下来就可以列方程求解了。

北京中考27题解题思路

北京中考27题解题思路
北京中考数学27题解题思路
一、题目概述
北京中考数学27题通常是一道综合题，考察学生的数学综合能力，包括代数、几何、函数等多个方面。

题目难度较大，需要学生具备扎实的基础知识和灵活的思维。

二、解题思路
1. 仔细审题：在开始解题之前，一定要仔细审题，弄清楚题目要求和条件。

对于题目中给出的信息，要进行整理和分析，以便更好地解决问题。

2. 寻找突破口：在解题过程中，要善于寻找突破口。

对于一些复杂的问题，可以从简单的问题入手，逐步深入，最终解决问题。

同时，要注意利用已知条件和结论，寻找它们之间的关系，从而找到解题的方法。

3. 运用数学思想：在解题过程中，要善于运用数学思想。

例如，数形结合思想、函数思想、分类讨论思想等。

这些思想可以帮助我们更好地理解问题，简化问题，最终解决问题。

4. 练习和反思：要想在中考中取得好成绩，平时的练习和反思非常重要。

对于一些经典的题目，可以进行反复练习，总结解题方法和技巧。

同时，也要注意反思自己的解题思路和方法，发现自己的不足之处，以便更好地提高自己的数学能力。

三、注意事项
1. 不要轻视题目：虽然题目难度较大，但是不要轻视它。

要认真对待每一个细节，尽可能地找到所有的已知条件和结论，以便更好地解决问题。

2. 不要盲目猜测：在解题过程中，不要盲目猜测答案。

要根据已知条件和结论，运用数学思想和方法，逐步推导和证明答案。

同时，也要注意检查和验证自己的答案是否正确。

中考数学-几何与代数综合专题(含答案)

题型：反比例函数专题题型说明：自从2010年北京中考第23题考查了反比例函数的知识以来，各区县模拟考试题中就开始出现了很多反比例函数的类型题，但是不管如何考查，都基本上会涉及几何变换，数形结合，方程与不等式，整体思想等。

【例1】已知:反比例函数()0ky k x=≠经过点(11)B ，． ⑴求该反比例函数解析式；⑵联结OB ，再把点(20)A ，与点B 连结,将OAB ∆绕点O 按顺时针方向旋转135︒得到''OA B ∆，写出''A B 的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此双曲线上，并说明理由；⑶若该反比例函数图象上有一点(1)F m -（其中0m >），在线段OF 上任取一点E ,设E 点的纵坐标为n ,过F 点作FM x ⊥轴于点M ，连结EM ，使OEM ∆的面积是2，求代数式2n +-【答案】⑴反比例函数解析式：1y x=⑵∵已知(11)B ，,(20)A ， ∴OAB ∆是等腰直角三角形∵顺时针方向旋转135°，∴'(0B,'(A - ∴中点P为(2． ∵((1⋅= ∴点P 在此双曲线上． ⑶∵EH n = ,OM m =例题精讲代数综合(二)∴OEM S ∆=EH OM ⋅21=mn 21=2，∴m = 又∵(1)F m -在函数图象上∴)123(-m m =1．将m21=∴2n =∴2n +-【例2】如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ． ⑴求直线DE 的解析式和点M 的坐标； ⑵若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上； ⑶若反比例函数y ＝xm（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围．【答案】⑴设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0）， ∴⎩⎨⎧b k b＋＝＝ 603 解得⎪⎩⎪⎨⎧321 ＝＝b k －∴直线DE 的解析式为y ＝－21x ＋3 ∵点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴点M 的纵坐标为2 又∵点M 在直线y ＝－21x ＋3上，∴2＝－21x ＋3，∴x ＝2,∴M （2，2） ⑵∵y ＝xm （x ＞0）经过点M （2，2），∴m ＝4，∴y ＝x 4又∵点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4 ∵点N 在直线y ＝－21x ＋3上，∴y ＝1 ∴ N （4，1） ∵当x ＝4时，y ＝x 4＝1，∴点N 在函数y ＝x4的图象上 ⑶48m ≤≤【例3】如图，已知直线y ＝－2x ＋b 与双曲线y ＝xk（k ＞0且2k ≠）相交于第一象限内的两点P （1，k ）、Q （22-b ，y 2） ⑴求点Q 的坐标（用含k 的代数式表示）⑵过P 、Q 分别作坐标轴的垂线，垂足为A 、C ，两垂线相交于点B ．是否存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由（P 、Q 两点请自己在图中标明）【答案】⑴∵P （1，k ）在直线y ＝－2x ＋b 上，∴k ＝－2＋b∴b －2＝k ∵Q （22-b ，y 2）在双曲线y ＝x k上，∴y 2＝22-b k ＝2∴22-b ＝2k∴点Q 的坐标为（2k，2）⑵由P （1，k ）、Q （2k，2）可知P 为AB 与双曲线的交点，Q 为BC 与双曲线的交点 S △OPQ＝S 矩形OABC－S △AOP －S △COQ －S △BPQ ＝1×2－21×1×k －21×2k ×2－21×(1－2k )(2－k ) ＝1－41k2 假设存在这样的k 值，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍，则有 1－41k2＝2×21×(1－2k)(2－k ) 整理得：3k2－8k ＋4＝0解得：k ＝2（不合题意，舍去）或23k =，故存在k ＝32，使得△OPQ 的面积等于△BPQ 面积的二倍【例4】如图，直线y ＝21x ＋b 分别与x 轴、y 轴相交于A 、B ，与双曲线y ＝xk（其中x ＞0）相交于第一象限内的点P （2，y 1），作PC ⊥x 轴于C ，已知△APC 的面积为9． ⑴求双曲线所对应的函数关系式；⑵在⑴中所求的双曲线上是否存在点Q （m ，n ）（其中m ＞0），作QH ⊥x 轴于H ，当QH＞CH时，使得△QCH 与△AOB 相似？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴y ＝0代入y ＝21x ＋b ，得x ＝－2b ∴A （－2b ，0）把x ＝2代入y ＝21x ＋b ，得y 1＝1＋b ，∴P 由题意得：S △APC＝21AC ·PC ＝21(2＋2b )(1＋b )＝9 整理得：(1＋b )2＝9，解得b ＝－4（舍去）或b ＝2 ∴P （2，3），把P （2，3）代入y ＝x k，得k ＝6 ∴双曲线所对应的函数关系式为y ＝x6 ⑵由⑴知AO ＝4，BO ＝2,设Q （m ，m6）当点Q 在点P 左侧时，CH ＝2－m ，QH ＝m 6若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22m -＝46m整理得：m2－2m ＋3＝0，此方程无实数解当点Q 在点P 右侧时，CH ＝m －2，QH ＝m6 若△QCH ∽△ABO ，则有BO CH ＝AO QH ，即22-m ＝46mm2－2m －3＝0，解得m ＝－1（负值，舍去）或m ＝3当m ＝3时，CH ＝1，QH ＝2，QH＞CH ，符合题意∴Q （3，2）综上所述，存在点Q （3，2），使得△QCH 与△AOB 相似【例5】如图，直线1y k x b =+与反比例函数y ＝xk 2（x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点．（1）求k 1、k 2的值；（2）直接写出k 1x ＋b －xk 2＞0时x 的取值范围；0 （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB ＝CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）由题意知：k 2＝1×6＝6∴反比例函数的解析式为y ＝x6 又B （a ，3）在y ＝x6的图象上，∴a ＝2，∴B （2，3） ∵直线y ＝k 1x ＋b 过A （1，6），B （2，3）两点 ∴⎩⎨⎧32611 ＝＋＝＋b k b k 解得⎩⎨⎧93 1 ＝＝－b k（2）x 的取值范围为1＜x＜2（3）当S 梯形OBCD＝12时，PC ＝PE设点P 的坐标为（m ，n ），∵BC ∥OD ，CE ⊥OD ，OB ＝CD ，B （2，3） ∴C （m ，3），CE ＝3，BC ＝m －2，OD ＝m ＋2 ∴S 梯形OBCD＝21(BC ＋OD )·CE ，即12＝21×(m －2＋m ＋2)×3∴m ＝4，mn ＝6，∴n ＝23，即PE ＝21CE∴PC ＝PE【例6】在平面直角坐标系中，函数y ＝xm（x ＞0，m 是常数）的图象经过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB ． ⑴求m 的值； ⑵求证：DC ∥AB ；⑶当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式【答案】⑴∵点A （1，4）在函数y ＝xm图像上 ∴4＝1m，∴m ＝4 ⑵∵点B （a ，b ）在函数y ＝x4图像上 ∴B （a ，a 4），∴D （0，a4）又∵A （1，4），∴C （1，0），M （1，a4） ∴DM ＝1，MB ＝a －1，AM ＝4－a 4，MC ＝a4 ∴MC DM ＝a 4，AM MB ＝aa 441--＝a 4 ∴MC DM ＝AMMB∵∠DMC ＝∠BMA∴△CDM ∽△ABM ∴∠DCA ＝∠BAC ∴DC ∥AB ⑶设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b∵DC ∥AB ，AD ＝BC∴四边形ABCD 为平行四边形或等腰梯形情况①：四边形ABCD 为平行四边形则DM ＝MB ，∴1＝a －1，∴a ＝2 ∴B （2，2）∵点A （1，4）、B （2，2）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝42k ＋b ＝2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝6 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6情况②：四边形ABCD 为等腰梯形则AC ＝BD ，∴a ＝4∴B （4，1）∵点A （1，4）、B （4，1）在直线AB 上∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝44k ＋b ＝1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝5 ∴直线AB 的函数解析式为y ＝－x ＋5综上所述，直线AB 的函数解析式为y ＝－2x ＋6或y ＝－x ＋5【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，1），E 、F 是线段AB 上的两个动点，且∠EOF＝45°，过点E 、F 分别作x 轴和y 轴的垂线CE 、DF 相交于点P ，垂足分别为C 、D ．设P 点的坐标为（x ，y ），令x y ＝k ． ⑴求证：△AOF ∽△BEO ； ⑵当OC ＝OD 时，求k 的值；⑶在点E 、F 运动过程中，点P 也随之运动，探索：k 是否为定值？请证明你的结论．【答案】⑴证明：由已知得OA ＝OB ＝1，∠AOB ＝90°∴∠OAF ＝∠OBE ＝45°，又∵∠OF A ＝∠ABO ＋∠BOF ＝∠EOF ＋∠BOF ＝∠EOB ∴△AOF ∽△BEO⑵解：如图，过O 作OM ⊥AB 于M ，则OM ＝21AB ＝22∵OA ＝OB ＝1，OC ＝OD ，∴AC ＝BD ，∴CE ＝DF 又∠OCE ＝∠ODF ＝90°，∴△OCE ≌△ODF ∴OE ＝OF ，∴△EOF 是等腰三角形，∠EOM ＝21∠EOF ＝22.5° 而∠COE ＝∠AOM －∠EOM ＝45°－22.5°＝22.5°＝∠EOM ∠OCE ＝∠OME ＝90°，OE ＝OE ，∴△OCE ≌△OME∴OC ＝OM ＝22，∴PC ＝PD ＝OC ＝22 ∴k ＝x y ＝PD ·PC ＝21（3）k 为定值如图，过E 作EH ⊥OB 于H ，过F 作FK ⊥OA 于K 由△AOF ∽△BEO 得OB AF ＝BEOA，∴AF ·BE ＝OA ·OB ＝1 又AF ＝2FK ，BE ＝2HE ，∴2HE ·2FK ＝1 ∴HE ·FK ＝21，∴PD ·PC ＝HE ·FK ＝21，∴k 为定值21【例8】如图，点P （a ，b ）和点Q （c ，d ）是反比例函数y ＝x1在第一象限内图象上的两个动点（a b <，a c ≠），且OP ＝OQ ．P 1是点P 关于y 轴的对称点，Q 1是点Q 关于x 轴的对称点，连接P 1Q 1分别交OP 、OQ 于点M 、N ． ⑴求证：a ＝d ，b ＝c ； ⑵求证：11PQ PQ ∥；⑶设四边形PQNM 的面积为S ．①求S 关于a 的函数关系式； ②是否存在这样的点P ，使得S ＝58？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∵P （a ，b ），Q （c ，d ），OP ＝OQ ，∴a2＋b2＝c2＋d2又∵b ＝a 1，d ＝c 1，∴a2＋(a 1)2＝c2＋(c1)2整理得(ac ＋1)(ac －1)(a ＋c )(a －c )＝0 ∵a ＞0，c ＞0，且a ≠c ，∴ac ＝1 从而可得a ＝d ，b ＝c（2）证明：分别延长P 1P 、Q 1Q 相交于点A ，过点P 1、Q 1分别作x 轴、y 轴的垂线相交于点B 由（1）知AP ＝AQ ＝b －a ，AP 1＝AQ 1＝b ＋a ∴∠APQ ＝∠AP 1Q 1＝45° ∴PQ ∥P 1Q 1（3）解：①易得P 1、Q 1的坐标分别为（－a ，b ）、（b ，－a ） ∴S 梯形PP 1Q 1Q＝S △AP 1Q 1－S △APQ ＝21(b ＋a )2－21(b －a )2＝2ab ＝2 设直线P 1Q 1的解析式为y ＝kx ＋n则⎩⎪⎨⎪⎧－ak ＋n ＝b bk ＋n ＝－a 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1n ＝b －a ∴直线P 1Q 1的解析式为y ＝－x ＋b －a 由已知可得直线OP 的解析式为y ＝abx 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋b －a y ＝abx 得x ＝b a a b a +-)( ，y ＝b a a b b +-)( 即点M 的坐标为（b a a b a +-)( ，ba ab b +-)( ） ∴S △PP 1M＝21×2a ×[b －b a a b b +-)( ]＝b a b a +22＝ba a+2 由对称性可知S △QQ 1M＝S △PP 1M＝ba a +2 ∴S 四边形PQNM＝S 梯形PP 1Q 1Q－2S △PP 1M＝2－2×b a a+2＝12222+-a a②假设存在这样的点P ，则12222+-a a ＝58，解得a ＝±31∵a ＞0，∴a ＝31，∴b ＝3∴存在满足条件的点P ，点P 的坐标为（31，3）【例9】如图，矩形ABCD （点A 在第一象限）与x 轴的正半轴相交于M ，与y 的负半轴相交于N ，AB ∥x轴，反比例函数y ＝xk的图象过A 、C 两点，直线AC 与x 轴相交于点E 、与y 轴相交于点F ．（1）若B （－3，3），直线AC 的解析式为y ＝ax ＋b①求a 的值；②连结OA 、OC ，若△OAC 的面积记为S △OAC，△ABC 的面积记为S △ABC，记S ＝S △ABC－S △OAC，问S 是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由；（2）AE 与CF 是否相等？请证明你的结论．【答案】（1）①方法一：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k） ∵y ＝ax ＋b 经过A 、C 两点∴⎩⎪⎨⎪⎧3ka ＋b ＝3－3a ＋b ＝－3k ∴(3k ＋3)a ＝3k ＋3∵k ＞0，∴3k＋3≠0，∴a ＝1 方法二：∵四边形ABCD 是矩形，AB ∥x 轴，B （－3，3） ∴A （3k ，3），C （－3，－3k ），D （3k ，－3k） ∴AB ＝3k ＋3，AD ＝3k＋3，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是正方形 ∴∠AEO ＝∠ACD ＝45°，∴OE ＝OF ＝b ∴E （－b ，0），∴－ab ＋b ＝0 ∵b ≠0，∴a ＝1②∵S ＝S △ABC－S △OAC＝S △ACD－S △OAC＝S △AOM＋S △CON＋S 矩形ONDM＝21×3k ×3＋21×3×3k ＋3k ×3k ＝91k2＋k ＝91(k ＋29)2－49∴当k ＞－29时，S 随着k 的增大而增大又∵k ＞0，k 没有最小值，∴S 没有最小值（2）答：AE ＝CF ，理由如下：方法一：如图，连接MN ，设AB 交y 轴于点P ，BC 交x 轴于点Q∵S 矩形APOM＝S 矩形CQON＝3k ×3＝k ，∴DN ·AD ＝DM ·CD ∴CD DN ＝ADDM，又∵∠D ＝∠D ，∴△DNM ∽△DCA ∴∠DNM ＝∠DCA ，∴MN ∥AF又∵AM ∥FN ，∴四边形AFNM 是平行四边形，∴AF ＝MN 同理CE ＝MN ，∴AF ＝CE ∴AE ＝CF 方法二：设A （m ，m k ），C （n ，n k ），则AM ＝m k ，AD ＝m k －nk，CN ＝－n ，CD ＝m －n∵EM ∥CD ，∴△AEM ∽△ACD ，∴AC AE ＝AD AM ＝n k m k mk -＝nk m k mk -＝m n n- ∵FN ∥AD ，∴△CFN ∽△CAD ，∴AC CF ＝CDCN ＝n m n --＝m n n- ∴AC AE ＝ACCF，∴AE ＝CF 方法三：设A （m ，mk ），C （n ，n k ），则M （m ，0）、N （0，n k）从而⎩⎪⎨⎪⎧ma ＋b ＝m kna ＋b ＝nk ∴(m －n )a ＝m k －nk∴a ＝－mn k ，∴b ＝mn k n m )(+，∴直线AC 的解析式为y ＝－mn k x ＋mnkn m )(+ ∴E （m ＋n ，0），∴EM ＝m －(m ＋n )＝－n ，∵CN ＝－n ，∴EM ＝CN ∵EM ∥BA ∥CN ，∴∠AEM ＝∠FCN又∵∠AME ＝∠FNC ＝90°，∴△AEM ≌△FCN ∴AE ＝CF【例10】已知二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象经过点(10)，和(30)-，，反比例函数1ky x=（0x >）的图象经过点（1，2）．（1）求这两个函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象；（2）若反比例函数1k y x =（0x >）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一象限内交于点00()A x y ，，0x 落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数；（3）若反比例函数2k y x=（00k x >>，）的图象与二次函数23(0)2y ax bx a =+-≠的图象在第一初中数学.中考冲刺.第06讲.教师版 Page 11 of 11 象限内的交点为A ，点A 的横坐标0x 满足023x <<，试求实数k 的取值范围．【答案】（1）把(10)，和(30)-，分别代入23(0)2y ax bx a =+-≠解方程组，得 12a =，1b = ∴ 抛物线解析式为23212-+=x x y ∵ 反比例函数1k y x =的图象经过点（1，2），∴ k =2. ∴ 12y x= （2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2.（3）由函数图象或函数性质可知：当23x <<时，对23212-+=x x y ，y 随着x 的增大而增大，对2(0)k y k x=>，2y 随着x 的增大而减小.因为00()A x y ，为二次函数图象与反比例函数图象的交点，所以当02x =时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，得2y y > 即2k ＞2322212-+⨯，解得5k >. 同理，当03x =时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，得2y y >，即2333212-+⨯＞3k ，解得18k <. 所以k 的取值范围为518k <<.。

2023北京中考数学重难题型专题04二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)练习版

2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题04二次函数的推理计算与证明综合问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。

在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．(可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)． 3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】典例精讲，方法2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12c x x a⋅=提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；①若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；①当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；①若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；①直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；①若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2-m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a的取值范围．217．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；①若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2①若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；①当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；①当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；①若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+ bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n<1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；①若y1=y2=0，求x1的值（用含a的式子表示）；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．。

中考代几综合题解题策略的交流与分享

2015北京
点P的存在范围：半径为2与半径为1之间的圆环 P’在⊙C内部外实内虚
2015北京
点P既在线段AB上，又在圆环上
线段AB与圆环有交点
2015北京
怎么能又快又好地让学生理解圆环C是如何运动，并观察相交情况呢？怎么求出点C的坐标呢？题目中说的是点C在x轴上运动，圆环的移动如何体现呢？
2015北京
根据“曲定直动”
将圆环C固定下来，让线段AB进行左右平移运动.
2015北京
我们可以观察出线段AB的临界位置
2015北京
既然是相对运动，无论怎么对线段AB进行平移，点A的横坐标永远为6.
线段A1B1与⊙C相切，发现点C位于点A1左侧4个单位，
此时点C横坐标为2；
线段A2B2与⊙C相交，发现点C位于点A2右侧2个单位，
方法1：以点N为研究重心
问：直线l究竟会扫过哪里呢？答：直线l过点N，点N在⊙O上，因此直线l和⊙O一定有交点.
因此临界情况就是直线l为⊙O切线.
方法1：以点N为研究重心
问：最后这道题怎么做？答：点M既在红色区域内，又符合坐标（m，3）
方法2：以点M为研究重心
M，N为“相关矩形”的对角线顶点，说明两个点地位一样；问：点M在哪里？答：坐标为（m，3），点M在直线y=3上.
①理解问题阶段：将问题转化成“充气膨胀，何时接触”问题； ②分析探究问题阶段： 2. 找规律；6. 画图（视觉表达）； 7.聪明地猜想或测试； ③解答问题阶段：完成直线的联立； ④检验问题阶段：怎么算又快又好？
①理解问题阶段：一个动点→“找两个点看看规律”； ②分析探究问题阶段：将“非常距离”与“点到直线的距离”联系，发现相关性； ③解答问题阶段：找到最短距离；解直角三角形；完成直线的联立； ④检验问题阶段：怎么算又快又好？（参数比例，待定系数法）（曲定直动）

2020年北京市中考数学专题复习专题八几何综合题

拓展2题解图
专题八几何综合题
而∠DAH＋∠BAH＝90°，
∴∠BAG＋∠BAH＝90°，
即∠GAH＝90°，
∴∠GAE＝90°－∠EAF＝45°， ∴∠GAE＝∠HAE，
拓展2题解图
在△AEG和△AEH中，AG＝AH ，∠EAG＝∠EAH ，AE＝AE ，
∴△AEG≌△AEH(SAS)，
∴EG＝EH，即BE＋BG＝EH，
专题八几何综合题
证明：如解图，连接BD， ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC， ∵∠ECA＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，CE＝CD ， ∠ACE＝∠BCD ，AC＝BC ， ∴△ACE≌△BCD(SAS).
拓展1题解图
专题八几何综合题
∴BD＝AE，∠BDC＝∠E， ∵∠E＋∠CDE＝90°， ∴∠BDC＋∠CDE＝90°，即∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，BD2＋AD2＝AB2， ∵AB2＝2AC2，BD＝AE， ∴AE2＋AD2＝2AC2.
拓展1题解图
专题八几何综合题
教材母题3
(人教八下P62习题18.2第15题)
拓展3题解图②
专题八几何综合题
W
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专题八几何综合题
专题八几何综合题
【专题解读】几何综合题通常结合“平移、对称、旋转”三种变换方式，通过构造全等三角形及构造直角三角形证明线段之间的数量关系. 常见解题思路如下：两条线段之间的数量关系：当问题中出现45°角时，线段之间的数量关系往往与 2 有关，当问题中出现30°或60°角时，线段之间的数量关系往往与 3 有关.尤其是要证明的结论与 2 或 3 有关时，就要想方设法构造含 30°，45°或60°角的直角三角形，从而通过等量代换证明结论. 三条线段之间的数量关系：通常通过构造全等三角形将三条线段进行等量转换得出结论，或者将三条线段通过等量代换放入同一个直角三角形通过勾股定理得出结论.

2023北京市中考数学二模试卷分类汇编——几何综合

2023北京市中考数学二模试卷分类汇编——几何综合1．（2023•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α（45°＜α＜90°）D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE．将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F．（1）①依题意补全图形；②求证：∠B＝∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示线段CF，DF之间的数量关系，并证明．2．（2023•西城区二模）如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段BD，边AC绕点C逆时针旋转180°﹣α得到线段CE，连接DE，点F是DE 的中点．（1）以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接BG，DG．①依题意补全图形，并证明AC＝DG；②求证：∠DGB＝∠ACB；（2）若α＝60°，且FH⊥BC于H，直接写出用等式表示的FH与BC的数量关系．3．（2023•东城区二模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E是AB边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线DE对称，连接DF．作射线CF，交直线DE于点P，设∠ADP＝α．（1）用含α的代数式表示∠DCP；（2）连接AP，AF．求证：△APF是等边三角形；（3）过点B作BG⊥DP于点G，过点G作CD的平行线，交CP于点H．补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明．4．（2023•朝阳区二模）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90度，得到线段AE，连接DE．（1）根据题意补全图形，并证明：∠EAC＝∠ADC；（2）过点C作AB的平行线，交DE于点F，用等式表示线段EF与DF之间的数量关系，并证明．5．（2023•丰台区二模）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在CB，AC的延长线上，且BD＝CE，EB的延长线交AD于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）延长EF至点G，使FG＝AF，连接CG交AD于点H．依题意补全图形，猜想线段CH与GH的数量关系，并证明．6．（2023•石景山区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝2α，BD平分∠ABC交AC于点E，点F是ED上一点且∠EAF＝α，（1）求∠AFB的大小（用含α的式子表示）；（2）连接FC．用等式表示线段FC与FA的数量关系，并证明．7．（2023•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将线段AC绕点A逆时针旋转得到线段AD，且点D落在BC的延长线上，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE交AB于点F．（1）依题意补全图形，求证：∠BDF＝∠CAD；（2）用等式表示线段CD与BF之间的数量关系，并证明．8．（2023•房山区二模）如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BA延长线上一点，连接DC，点E和点B关于直线DC对称，连接BE交AC于点F，连接EC，ED，DF．（1）依题意补全图形，并求∠DEC的度数；（2）用等式表示线段EC，ED和CF之间的数量关系，并证明．9．（2023•门头沟区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC延长线上，且DC ＝AC，将△ABC延BC方向平移，使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到△EFD，连接CE，过点F作FG⊥CE于G．（1）依题意补全图形；（2）求证：CG＝FG；（3）连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．10．（2023•昌平区二模）在等边△ABC中，点D是AB中点，点E是线段BC上一点，连接DE，∠DEB＝α（30°≤α＜60°），将射线DA绕点D顺时针旋转α，得到射线DQ，点F是射线DQ上一点，且DF＝DE，连接FE，FC．（1）补全图形；（2）求∠EDF度数；（3）用等式表示FE，FC的数量关系，并证明．11．（2023•平谷区二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC边上一点，E为AC延长线上的一点，CE＝CD，F为CB边上一点，EF⊥射线AD于点K，过点D作直线DG⊥AB于G，交EF于点H，作∠AGD的角平分线交AD于M，过点M作AB的平行线，交DG于点O，交BC于点Q，交EF于点N，MO＝NO．（1）找出图中和∠DHK相等的一个角，并证明；（2）判断EH、FN、MD的数量关系，并证明．12．（2023•顺义区二模）已知：∠ABC＝120°，D，E分别是射线BA，BC上的点，连接DE，以点D为旋转中心，将线段DE绕着点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接EF，BF．（1）如图1，当BD＝BE时，求证：BF＝2BD；（2）当BD≠BE时，依题意补全图2，用等式表示线段BD，BF，BE之间的数量关系，并证明．13．（2023•以上二模）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为边AB的中点，点E在线段CD上，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF，连接CF．（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：CF＝AE；（2）当点E在线段CD上（与点C，D不重合）时，依题意补全图2；用等式表示线段CF，ED，AD之间的数量关系，并证明．。

(王云松)北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇2

北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇编整理北京市二十中学王云松2012-6-7代几综合题，往往是在二次函数背景下的对动点、动直线的位置及数量关系以及常见几何图形的存在性的研究，对学生的思维水平提出了更高的要求，要求学生具有较强的运算能力、作图能力、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等综合能力。

其掌握程度的高低直接决定学生能否达优。

【海淀】24. 如图, 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A , 顶点为B , 且对称轴与x 轴交于点C .（1）求点B 的坐标 (用含m 的代数式表示)；（2）D 为BO 中点，直线AD 交y 轴于E ，若点E 的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M 在直线BO 上，且使得△AMC 的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标.备用图【参考答案】24.解：（1）∵22222221212112()()4422y x x x mx m m x m m m m m m =-=-+-⋅=--，∴抛物线的顶点B 的坐标为11(,)22m m -. ……………………………1分（2）令2220x x m-=，解得10x =, 2x m =. ∵ 抛物线x x my 222-=与x 轴负半轴交于点A ，∴ A (m , 0), 且m <0. …………………………………………………2分过点D 作DF ⊥x 轴于F .由 D 为BO 中点，DF //BC , 可得CF =FO =1.2CO∴ DF =1.2BC由抛物线的对称性得 AC = OC . ∴ AF : AO =3 : 4. ∵ DF //EO , ∴ △AFD ∽△AOE . ∴.FD AFOE AO= 由E (0, 2)，B 11(,)22m m -，得OE =2, DF =14m -.∴134.24m-=∴ m = -6.∴ 抛物线的解析式为2123y x x =--. ………………………………………3分（3）依题意，得A （-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB 的解析式为x y -=,直线BC 为3x =-. 作点C 关于直线BO 的对称点C '(0，3)，连接AC '交BO 于M ，则M 即为所求. 由A （-6，0），C ' (0, 3)，可得直线AC '的解析式为321+=x y . 由13,2y x y x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ ∴ 点M 的坐标为(-2, 2). ……………4分由点P 在抛物线2123y x x =--上，设P (t ，213t - (ⅰ)当AM 为所求平行四边形的一边时. 如右图，过M 作MG ⊥ x 轴于G , 过P 1作P1H ⊥ BC 于H , 则x G = x M =-2, x H = x B =-3.由四边形AM P 1Q 1为平行四边形，可证△AMG ≌△P 1Q 1H . 可得P 1H = AG =4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t =1.∴17(1,)3P -. ……………………5分如右图，同方法可得 P 2H=AG =4. ∴ -3- t =4. ∴ t =-7.∴27(7,)3P --. ……………………6分 (ⅱ)当AM 为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M 作MH ⊥BC 于H , 过P 3作P 3G ⊥ x 轴于G , 则x H = x B =-3，x G =3P x =t . 由四边形AP 3MQ 3为平行四边形，可证△A P 3G ≌△MQ 3H . 可得AG = MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t =-5. ∴35(5,)3P -. ……………………………………………………7分综上，点P 的坐标为17(1,)3P -、27(7,)3P --、35(5,)3P-.[注]在确定平行四边形时，如果知一边的两点坐标，可以用平移的方法，得到其对边的点的坐标，可使解答简捷。

2019北京市中考数学专题突破九：几何综合(含答案)

专题突破(九) 几何综合在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．1．[2019·北京] 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上(与点C ，D 不重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH .(1)若点P 在线段CD 上，如图Z9－1(a )． ①依题意补全图(a )；②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路．(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)图Z9－12．[2019·北京]在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°<∠P AB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．图Z9－23．[2019·北京]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图Z9－34．[2019·北京]在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z9－45．[2011·北京]在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－51．[2019·怀柔一模]在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠P AB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠P AB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．图Z9－62．[2019·朝阳一模]在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z9－73．[2019·海淀一模]在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．图Z9－84．[2019·海淀二模]如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z9－95．[2019·西城一模] 在△ABC 中，AB ＝AC ，取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H .(1)如图Z9－10①，如果∠BAC ＝90°，那么∠AHB ＝________°，AFBE ＝________；(2)如图②，如果∠BAC ＝60°，猜想∠AHB 的度数和AFBE 的值，并证明你的结论；(3)如果∠BAC ＝α，那么AFBE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－106．[2019·丰台一模] 在△ABC 中，CA ＝CB ，CD 为AB 边上的中线，点P 是线段AC 上任意一点(不与点C 重合)，过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE ＝12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G .(1)如果∠ACB ＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形；②如图(b)，当点P 不与点A 重合时，求CFPE的值．(2)如果∠CAB ＝a ，如图(c )，请直接写出CFPE的值．(用含a 的式子表示)图Z9－117．[2019·海淀]将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED ＝90°，求α的值．图Z9－128．[2019·西城二模]正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9－13参考答案1.解：(1)①如图(a)所示．②AH ＝PH ，AH ⊥PH . 证明：连接CH ，由条件易得：△DHQ 为等腰直角三角形，又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC ， ∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP . ∵BD 为正方形ABCD 的对称轴， ∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ， ∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ， ∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°， ∴AH ＝PH 且AH ⊥PH.(2)如图(b)，过点H 作HR ⊥PC 于点R ， ∵∠AHQ ＝152°， ∴∠AHB ＝62°， ∴∠DAH ＝17°， ∴∠DCH ＝17°.设DP ＝x ，则DR ＝HR ＝RQ ＝1－x2.由tan17°＝HRCR 得1－x 21＋x2＝tan17°，∴x ＝1－tan17°1＋tan17°.2．解：(1)补全图形如图①所示：(2)如图①，连接AE ，则∠P AB ＝∠P AE ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠EAD ＝130°，AE ＝AD. ∴∠ADF ＝25°.(3)如图②，连接AE ，BF ，BD.由轴对称的性质可得EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ， ∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°. ∴BF 2＋FD 2＝BD 2. ∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α.∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°， ∴∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 是等边三角形．证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°. ∴△BCD 为等边三角形． ∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 与△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ， ∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ， ∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．(3)∵∠BCD ＝60°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC ＝CE ＝BC. ∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠EBC ＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ， ∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ ＝60°， ∴∠CDB ＝30°. (2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC. 在△APD 与△CPD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，P A ＝PC ， ∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠P AD ＝∠PCD ， ∴∠ADC ＝2∠CDB. 又∵PQ ＝P A ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠P AD ， ∴∠P AD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ ＋∠ADC ＝360°－(∠P AD ＋∠PQD )＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠APQ ＝180°－2α， ∴2∠CDB ＝180°－2α， ∴∠CDB ＝90°－α.(3)∵∠CDB ＝90°－α，且PQ ＝QD ，∴∠P AD ＝∠PCQ ＝∠PQC ＝2∠CDB ＝180°－2α. ∵点P 不与点B ，M 重合， ∴∠BAD ＞∠P AD ＞∠MAD ， ∴2α＞180°－2α＞α， ∴45°＜α＜60°.5．解：(1)∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F . ∴∠CEF ＝∠F . ∴CE ＝CF .(2)∠BDG ＝45°.(3)如图，分别连接GB ，GE ，GC ，∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝120°， ∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°. ∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形．由(1)得CE ＝CF .∴四边形CEGF 是菱形， ∴GE ＝EC ，①∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°，∴△ECG 与△FCG 是等边三角形， ∴∠GEC ＝∠FCG ，∴∠BEG ＝∠DCG ，②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ， ∴BE ＝D C.③由①②③得△BEG ≌△DCG ， ∴BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°， ∴∠BDG ＝180°－∠BGD2＝60°.1.解：(2)连接AD ，如图①.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°， ∴2∠ACE ＋120°＝180°.∴∠ACE ＝30°.(3)线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD ，EB ，如图②.∵点D 与点B 关于直线AP 对称， ∴AD ＝AB ，DE ＝BE ，可证得∠EDA ＝∠EB A. ∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ， ∴∠ABE ＝∠ACE . 设AC ，BE 交于点F ，∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形． 2．解：(1)①补全图形，如图(a )所示．②如图(b )，由题意可知AD ＝DE ，∠ADE ＝90°. ∵DF ⊥BC ，∴∠FDB ＝90°. ∴∠ADF ＝∠ED B.∵∠C ＝90°，AC ＝BC ， ∴∠ABC ＝∠DFB ＝45°. ∴DB ＝DF .∴△ADF ≌△EDB. ∴AF ＝EB.在△ABC 和△DFB 中，∵AC ＝8，DF ＝3，∴AB ＝8 2，BF ＝3 2. AF ＝AB －BF ＝5 2，即BE ＝5 2， (2)2BD ＝BE ＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)方法一：证明：连接BE ，如图②. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°， ∴∠DCB ＝60°.∵AC ]是菱形ABCD 的对角线， ∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°.∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∴∠GEB ＝∠DEC ＋∠BEC ＝100°. ∴∠GEB ＝∠CBE . ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°. ∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE . ∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°， ∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°.∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC . ∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ， ∴△GEH ≌△CBH . ∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF .∴∠EDC ＝∠ABC ＝α. 由(1)知∠ADE ＝90°－α，∴∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝90°. ∴AD ⊥BC. ∵AB ＝AC ， ∴BD ＝CD.②证明：∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠C ＝α.∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AE ∥BF ，AE ＝BF . ∴∠EAC ＝∠C ＝α.由(1)知∠DAE ＝180°－2∠ADE ＝180°－2(90°－α)＝2α， ∴∠DAC ＝α. ∴∠DAC ＝∠C. ∴AD ＝CD .∵AD ＝AE ＝BF ， ∴BF ＝CD. ∴BD ＝CF .5．解：(1)90 12(2)结论：∠AHB ＝90°，AF BE ＝32.证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∵D 为BC 的中点， ∴AD ⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°. 又∵DE ⊥AC ， ∴∠DEC ＝90°. ∴∠2＋∠C ＝90°. ∴∠1＝∠C ＝60°. 设AB ＝BC ＝k (k >0)，则CE ＝12CD ＝k 4，DE ＝34k .∵F 为DE 的中点，∴DF ＝12DE ＝38k ，AD ＝32AB ＝32k .∴AD BC ＝32，DF CE ＝32. ∴AD BC ＝DF CE. 又∵∠1＝∠C ， ∴△ADF ∽△BCE . ∴AF BE ＝AD BC ＝32， ∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＋∠6＝90°. ∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)． 6．解：(1)①作图．△ADE (或△PDE )．②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，∴∠CPM ＝∠CAB. ∵∠CPE ＝12∠CAB ，∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN .∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°. ∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN . 由①得：△PME ≌△CMN . ∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12.(2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°. 方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D.∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°.方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D. ∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α.∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－()60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α.∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°.(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .∴∠AMC ＝90°.在△AEB 与△AMC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°. ∴△AEM 是等边三角形． ∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ， ∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°， ∴EM ＝CM ＝DM . ∴AM ＝CM ＝DM .∴点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上． ∴α＝∠CAD ＝90°. 8．解：(1)CH ＝AB (2)结论成立．证明：如图，连接BE .在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠BCD ＝∠ABC ＝90°. ∵DE ＝DF ， ∴AF ＝CE .在△ABF 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE . ∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴∠3＝∠2. ∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°， ∴∠4＝∠HB C. ∴CH ＝CB. ∴CH ＝AB. (3)3 2＋3.。

北京中考知识点归纳数学

北京中考知识点归纳数学北京中考数学知识点归纳主要包括以下几个方面：1. 数与代数：- 有理数：包括正数、负数、零的概念，有理数的四则运算。

- 代数式：涉及代数式的加减乘除，以及代数式的简化和变形。

- 一元一次方程：解法，包括移项、合并同类项、系数化为1等步骤。

- 一元二次方程：包括因式分解法、配方法、公式法等解法。

- 不等式：不等式的基本性质和解不等式的方法。

2. 几何：- 平面图形：包括线段、角、三角形、四边形、圆等基本几何图形的性质和计算。

- 相似与全等：相似三角形和全等三角形的判定和性质。

- 圆的性质：圆周角、切线的性质，以及圆与直线、圆与圆的位置关系。

- 空间图形：包括立体图形的表面积和体积的计算。

3. 统计与概率：- 数据的收集与处理：包括数据的收集、整理和描述。

- 统计图表：条形图、折线图、饼图的绘制和解读。

- 概率：事件的概率计算，包括古典概型和几何概型。

4. 函数与图象：- 函数的概念：自变量、因变量、函数值、函数关系式。

- 一次函数：一次函数的图象和性质，包括斜率和截距的计算。

- 二次函数：顶点式、交点式等不同形式的表达，以及图象的对称轴和顶点。

5. 综合应用：- 应用题：将数学知识应用到实际问题中，包括行程问题、工程问题、经济问题等。

- 综合题：涉及多个知识点的综合运用，考查学生的综合分析能力和解决问题的能力。

结束语：北京中考数学知识点的归纳不仅要求学生掌握基础的数学概念和运算技能，还要求能够灵活运用所学知识解决实际问题。

通过系统地复习和练习，学生可以更好地准备中考，提高解题能力和数学思维。

数学中考冲刺：代数综合问题--知识讲解(提高)

中考冲刺：代数综合问题—知识讲解（提高）【中考展望】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键．在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口．通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力．【方法点拨】(1)对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；(2)认识综合题的结构是解综合题的前提；(3)灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；(4)帮助学生建立思维程序是解综合题的核心．* 审题(读题、断句、找关键)；* 先宏观(题型、知识块、方法)；后微观(具体条件，具体定理、公式)* 由已知，想可知(联想知识)；由未知，想须知(应具备的条件)，注意知识的结合；* 观察——挖掘题目结构特征；联想——联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破；寻求——学会寻求解题思路．(5)准确计算，严密推理是解综合题的保证．【典型例题】类型一、函数综合1．已知函数2yx=和y＝kx+1(k≠0)．(1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点?【思路点拨】本题是一次函数，反比例函数的综合题．本题考查了函数解析式的求法和利用判别式判断函数图象交点个数．【答案与解析】解：(1)∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴2,11.aa k⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得2,1.ak=⎧⎨=⎩(2)将2yx=代入y＝kx+1，消去y，得220kx x+-=．∵k ≠0，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可．∵△＝1+8k ．∴1+8k ≥0，解得k ≥18-． ∴k ≥18-且k ≠0时这两个函数的图象总有公共点．【总结升华】两图象交点的个数常常通过建立方程组，进而转化为一元二次方程，利用根的判别式来判断．若△＞0，两图象有两个公共点；若△＝0，两图象有一个公共点；若△＜0，两图象没有公共点．举一反三：【变式】如图，一元二次方程0322=-+x x 的两根1x ，2x （1x ＜2x ）是抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的两个交点B ，C 的横坐标，且此抛物线过点A （3，6）．(1)求此二次函数的解析式；(2)设此抛物线的顶点为P ，对称轴与线段AC 相交于点Q ，求点P 和点Q 的坐标； (3)在x 轴上有一动点M ，当MQ+MA 取得最小值时，求M 点的坐标．【答案】解：(1)解方程0322=-+x x ，得1x =-3，2x =1.∴抛物线与x 轴的两个交点坐标为：C （-3，0），B （1，0）.将 A （3，6），B （1，0），C （-3，0）代入抛物线的解析式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++.039,0,639c b a c b a c b a 解这个方程组，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===.23,1,21c b a∴抛物线解析式为23212-+=x x y . (2)由2)1(21232122-+=-+=x x x y ，得抛物线顶点P 的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1. 设直线AC 的函数关系式为y=kx+b,将A （3，6），C （-3，0）代入,得⎩⎨⎧=+-=+.03,63b k b k 解这个方程组，得 ⎩⎨⎧==.1,3k b∴直线AC 的函数关系式为y=x+3.由于Q 点是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，故解方程组⎩⎨⎧+=-=.3,1x y x 得⎩⎨⎧=-=.2,1y x ∴点Q 坐标为（-1，2）.(3)作A 点关于x 轴的对称点)6,3(/-A ，连接Q A /，Q A /与x 轴交点M 即为所求的点.设直线Q A /的函数关系式为y=kx+b.∴⎩⎨⎧=+--=+.2,63b k b k 解这个方程组，得⎩⎨⎧-==.2,0k b ∴直线Q A /的函数关系式为y=-2x.令x=0，则y=0.∴点M 的坐标为（0，0）.类型二、函数与方程综合2．已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数的图象中的一条与x 轴交于A ，B 两个不同的点．(1)试判断哪个二次函数的图象经过A ，B 两点；(2)若A 点坐标为(-1，0)，试求B 点坐标；(3)在(2)的条件下，对于经过A ，B 两点的二次函数，当x 取何值时，y 的值随x 值的增大而减小?【思路点拨】本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x 轴的交点个数及二次函数的性质．【答案与解析】解：(1)对于关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+，由于△＝(-m)2－4×1×221202m m ⎛⎫+=--< ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴没有交点．对于关于x 的二次函数2222m y x mx +=--，由于△＝2222()413402m m m ⎛⎫+--⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭，所以此函数的图象与x 轴有两个不同的交点．故图象经过A ，B 两点的二次函数为22202m y x mx +=--=． (2)将A(-1，0)代入2222m y x mx +=--，得22102m m ++-=．整理，得220m m -=．解之，得m ＝0，或m ＝2．①当m ＝0时，21y x =-．令y ＝0，得210x -=．解这个方程，得11x =-，21x =．此时，B 点的坐标是B(1，0)．②当m ＝2时，223y x x =--．令y ＝0，得2230x x --=．解这个方程，得x 3＝-1，x 4＝3．此时，B 点的坐标是B(3，0)．(3)当m ＝0时，二次函数为21y x =-，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝0，所以当x ＜0时，函数值y 随x 的增大而减小．当m ＝2时，二次函数为2223(1)4y x x x =--=--，此函数的图象开口向上，对称轴为x ＝1，所以当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而减小．【总结升华】从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解．举一反三：【高清课堂:代数综合问题例3】【变式】（2016·门头沟一模）已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0．（1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B 两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设xy O 此抛物线在－3≤x ≤12-之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【答案】（1）证明：∵ △= (3m +1)2－4×m ×3 =(3m －1)2.∵ (3m －1)2≥0，∴ △≥0，∴ 原方程有两个实数根．（2）解：令y =0，那么 mx 2+(3m +1)x +3=0.解得 13x =-，21x m=-. ∵抛物线与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，∴m =1.∴抛物线的表达式为243y x x =++.（3）解：∵当x =0时，y =3，∴C （0，3）.∵当y =0时，x 1=－3，x 2=－1.又∵点A 在点B 左侧，∴A （－3，0），B （－1，0）.∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）.设直线CD 的表达式为y =kx +b .∴03k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得33.k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线CD 的表达式为y =－3x +3. 又∵当12x =-时，211543224y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （12-，54）， ∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（12n -+，54）. 当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时，∴－3(－3+n )+3=0，∴n =4.当直线y =－3x +3过点E'（12n -+，54）时，∴153324n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭， ∴n =1312. ∴n 的取值范围是1312≤n ≤4. 类型三、以代数为主的综合题3．如图所示，在直角坐标系中，点A 的坐标为(-2，0)，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°得到线段OB ．(1)求点B 的坐标；(2)求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．【思路点拨】(1)由∠AOB ＝120°可得OB 与x 轴正半轴的夹角为60°，利用OB ＝2及三角函数可求得点B 的坐标；(2)利用待定系数法可求出解析式；(3)OB 为定值，即求BC+CO 最小．利用二次函数的对称性可知点C 为直线AB 与对称轴的交点；(4)利用转化的方法列出PAB S △关于点P 的横坐标x 的函数关系式求解．【答案与解析】解：(1)B(1，3)．(2)设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，代入点B(1，3)，得33a =．所以232333y x x =+． (3)如图所示，抛物线的对称轴是直线x ＝-1，因为A ，O 关于抛物线的对称轴对称，所以当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠，则 3,20.k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得3,323.k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此直线AB 的解析式为323y x =+．当1x =-时，33y =．因此点C 的坐标为31,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． (4)如图所示，过P 作y 轴的平行线交AB 于D ，设其交x 轴于E ，交过点B 与x 轴平行的直线于F ．设点P 的横坐标为x ．则PAB PAD PBD S S S =+△△△ 1122PD AE PD BF =⨯+⨯ 1()2PD AE BF =⨯⨯+ 1()()2D P B A y y x x =-- 2132332332x x ⎡⎤⎫=-+⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2233319332x x ⎫==+⎪⎝⎭ 当12x =-时，△PAB 的面积的最大值为938，此时13,24⎛-- ⎝⎭．【总结升华】本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD 的长为D P y y -就是利用了这一规律．4．（2015.北京东城一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线()210y ax bx a =++≠的函数表达式；（2）若点D 在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上，当ACD △的周长最小时，求点D 的坐标;（3）在抛物线()210y ax bx a =++≠的对称轴上是否存在点P ,使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.【思路点拨】（1）已知点坐标代入函数解析式即可求得解析式；（2）利用轴对称知识求三角形周长最小值；（3）注意分类讨论满足条件的直角三角形，不要漏解.【答案与解析】解：（1）∵抛物线()210y ax bx a =++≠过点()1,0A -，()1,1B ，∴10,1 1.a b a b -+=⎧⎨++=⎩∴1,21.2a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的函数关系式为211122y x x =-++. （2）∵122b x a =-=，()0,1C ∴抛物线211122y x x =-++的对称轴为直线12x =. 设点E 为点A 关于直线12x =的对称点，则点E 的坐标为()2,0. 连接EC 交直线12x =于点D ，此时ACD △的周长最小. 设直线EC 的函数表达式为y kx m =+，代入,E C 的坐标，则2m 0,1.k m +=⎧⎨=⎩解得1,21.k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩所以，直线EC 的函数表达式为112y x =-+. 当12x =时，34y =. ∴ 点D 的坐标为13,24⎛⎫⎪⎝⎭. （3）存在.①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点1P . ∵AO OC ⊥，1AC AP ⊥，∴90AOM CAM ∠=∠=︒.∵()0,1C ，()1,0A -，∴1OA OC ==.∴45CAO ∠=︒.∴45OAM OMA ∠=∠=︒.∴1OA OM ==.∴点M 的坐标为()0,1-.设直线AM 对应的一次函数的表达式为11y k x b =+，代入,A M 的坐标，则1110,1.k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得111,1.k b =-⎧⎨=-⎩ 所以，直线AM 的函数表达式为1y x =--. 令12x =，则32y =-. ∴点1P 的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭. ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点2P ，交x 轴于点N . 与①同理可得Rt CON △是等腰直角三角形，∴1OC ON ==.∴点N 的坐标为()1,0.∵2CP AC ⊥，1AP AC ⊥，∴21CP AP ∥.∴直线2CP 的函数表达式为1y x =-+. 令12x =，则12y =. ∴点2P 的坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上，在对称轴上存在点1P 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，2P 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，使ACP △成为以AC 为直角边的直角三角形．【总结升华】求最值问题，在几何和函数类题目中经常考查，通常利用轴对称知识来解答此类题型；点的存在性也是常考点，注意解的多样性，从而分类讨论，不要出现漏解情况.举一反三：【变式】如图所示，抛物线23y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，1tan 3OCA ∠=，6ABC S =△．(1)求点B 的坐标；(2)求抛物线的解析式及顶点坐标；(3)若E 点在x 轴上，F 点在抛物线上，如果A ，C ，E ，F 构成平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】解：(1)∵23y ax bx =++，∴C(0，3)．又∵1tan 3OCA ∠=，∴A(1，0)．又∵6ABC S =△，∴1362AB ⨯⨯=， ∴AB ＝4。

北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总

北京中考数学----二次函数综合题24、（2007•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过P（，5），A（0，2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标．考点：二次函数综合题。

专题：代数综合题。

分析：（1）把P，A坐标代入抛物线解析式即可．（2）先设出平移后的直线l的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式．（3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在△OBC的内角平分线上（△OBC外有3个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标．解答：解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为：．（2）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），依题意，可得C（，﹣1），且直线过原点，设直线的解析式为y=kx，则，解得，所以直线l的解析式为．（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形．易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点，作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点，反向延长线交x轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点．可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：①OM1==×2=，所以点M1的坐标为（，0）．②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2），③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，﹣2），④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，M4N=，且ON=M4N，所以点M4的坐标为（，0）综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：M1（，0）、M2（0，2）、M3（0，﹣2）、M4（，0）．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法24、（2008•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．考点：二次函数综合题。

北京市2018年中考数学二模试题汇编代几综合题(无答案)

代几综合题2018昌平二模28.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、B 、C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点.（1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是；（2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形； ②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．y xxy yx2018朝阳二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点．（1）当直线m 的表达式为y =x 时， ①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标. （2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．2018东城二模28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)C t +， ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.2018房山二模28. 已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（－12，32），M（0，－1）中，⊙O的“关联点”为；（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为 5 ，求n的值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线443y x=-+与x轴，y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.2018丰台二模28．在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q ，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ -+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=. 已知点A (1，0)、点B (-1，4).（1）则_______=AO D ，_______=BO D ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标；（3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.2018海淀二模28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．2018平谷二模28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，○1点()120P-，，()211P，，()322P，中，⊙O的“美好点”是；○2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．2018石景山二模28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意点P ，给出如下定义：若⊙P 的半径为1，则称⊙P 为点P 的“伴随圆”．（1）已知，点()1,0P ，①点1,2A ⎛⎝⎭在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； ②点()1,0B -在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；（2）若点P 在x 轴上，且点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切，求点P 的坐标；（3）已知直线2+=x y 与x 、y 轴分别交于点A ，B ，直线2-=x y 与x 、y 轴分别交于点C ，D ，点P 在四边形ABCD 的边上并沿DA CD BC AB →→→的方向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．2018西城二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q ，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）2018怀柔二模28. A 为⊙C 上一点，过点A 作弦AB ，取弦AB 上一点P ，若满足131<≤ABAP ，则称P 为点A 关于⊙C 的黄金点．已知⊙C 的半径为3，点A 的坐标为（1，0）． (1)当点C 的坐标为（4，0）时，①在点D （3，0），E （4，1），F （7，0）中，点A 关于⊙C 的黄金点是； ②直线3333-=x y 上存在点A 关于⊙C 的黄金点P ，求点P 的横坐标的取值范围； (2)若y 轴上存在．．点A 关于⊙C 的黄金点，直接写出点C 横坐标的取值范围．2018门头沟二模28.在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直”表示.线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中以(3,0)W-为圆心，半径为2的圆上.（1）已知弦MN长度为2.①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d的长度；中的取值范围.②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d中（2）已知点(5,0)y x=-，求到直线2=-的dy xM-,点N为⊙W上的一动点，有直线2中备用图2018顺义二模28．已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果a ≤PQ ，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”．在平面直角坐标系xOy 中，若A (-1，1)，B (-1，-1)，C (1，-1)，D (1，1) ．（1）在11(,0)2-P ，21(2P ，3P 中，正方形ABCD 的“关联点”有；（2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线y 上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线1+y 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点．如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围．。

2020年北京中考数学几综解法

2020年北京中考数学试卷在综合题的设计上体现了数学综合运用能力的要求，考察了学生的计算、分析和推理能力。

下面将就2020年北京中考数学试卷中的数学综合题进行综合解答，并通过具体的题目展开讨论。

一、第一道题目题目内容：计算方程$x^2-2x-15=0$的两个根之和和两个根之积的和，并求$x^2+4x$的最小值。

解析：首先可以用求根公式解出方程$x^2-2x-15=0$的两个根，设为$x_1$和$x_2$，分别为5和-3。

两个根之和为2，两个根之积为-15，两者之和为-13。

然后对$x^2+4x$进行配方得到$(x+2)^2-4$，由此可得到最小值为-4。

二、第二道题目题目内容：已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，对于任意实数$x$，都有$f(x) \geq 0$，求$a+b+c$的取值范围。

解析：根据题目要求得$f(x)$是一个开口向上的抛物线，因此判别式$D=b^2-4ac \leq 0$，另外抛物线的最低点为$x=-\frac{b}{2a}$，所以当$x=-\frac{b}{2a}$时$f(x)$取得最小值为0。

因此可以得出结论：$b^2-4ac \leq 0$ 且$c=-\frac{b^2}{4a}$，所以$a+b+c=\frac{b^2}{4a}$，由此可得$a+b+c≥4\sqrt{ac}$。

三、第三道题目题目内容：已知函数$f(x)=2x^2-2x+3$，求证：对于任意实数$x$，都有$f(x) \geq 2$。

解析：首先可以对$2x^2-2x+3$进行配方得到$f(x)=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{2}$，由此可以得到最小值为$\frac{11}{2}$。

在这个过程中，当$x=\frac{1}{2}$时，$f(x)$取得最小值为$\frac{11}{2}$。

因此可以得出结论：对于任意实数$x$，都有$f(x)\geq 2$。

以上便是2020年北京中考数学试卷中的数学综合题的解答，通过对题目进行分析和解答，不仅可以帮助考生更好地理解题目，还可以加深对数学知识的理解和运用。

北京中考数学试卷分析

北京中考数学试卷分析火红的六月，北京中正如火如荼的进行中。

针对今早新奇出炉数学试卷，高思教育第一时刻为大伙儿分析：一、试题构成①试卷知识板块构成：概率统计、平面几何、代数的分值比，这一点与往年北京中考试卷结构差不多一致。

②试卷难度构成：纵观整套试卷，难度较为平缓，易、中、难的分值比差不多上是，仅有最后两题(第28题几何综合7分题，第29题代几综合8分题)难度较大。

今年试题较往年而言，考察知识点广度变化不大：增加的考点有：1.圆内接四边形对角互补(第28题第(2)问)。

2.利用相对位置探求点的坐标(第8题，“紫禁城宫殿坐标”)。

3.尺规作图原理(第16题，给定线段中垂线的尺规作图之理论依据)。

删除的考点有：1.梯形。

2.圆和圆的位置关系。

3.频数和频率。

今年试题较往年而言，题量增加4题，难度有所下降。

要紧考察考生对差不多知识点的把握程度。

难度降了，可不代表容易得高分，试题出的专门灵活。

总体上讲，要拿115以上高分实属不易。

二、要紧试题具体分析：1.选择题第8题：此题考察利用相对位置探求点的坐标。

此题将紫禁城内各大宫殿置于正方形网格中，以此为背景建立平面直角坐标系。

但只给定x、y轴正方向，并未直截了当给定原点位置和单位长度。

而是通过给定太和门、九龙壁两点坐标间接给出以上信息，考查方式专门灵活。

2.选择题第10题：连续往年选择题最后一题的一贯作风，给定数学模型考查函数大致图像，结合图像特点通过排除法得出正确选项。

3.填空题第15题：严格上讲，此题属于线性拟合问题，考查考生的归纳能力。

此题以北京市2009~2021年轨道交通日均客运量为题材，给出一条由6个点连接而成的折线图。

假如考生注意到这6个点大致在同一条直线上，那么问题迎刃而解：2021年相关于2021年客运增长量大致是2009~2021五年间年均增长量，是108万人次，那么2021年日均客运量约为1 038万人次。

图示 6.解答题第28题：几何综合大题，此题以正方形为大环境，考察旋转、平移、四点共圆、解三角形等知识点。

2014-2023北京中考真题数学汇编：几何综合

2014-2023北京中考真题数学汇编几何综合一、解答题1．（2023·北京·统考中考真题）在ABC 中、()045B C αα∠=∠=°<<°，AM BC ⊥于点M ，D 是线段MC 上的动点（不与点M ，C 重合），将线段DM 绕点D 顺时针旋转2α得到线段DE ．(1)如图1，当点E 在线段AC 上时，求证：D 是MC 的中点；(2)如图2，若在线段BM 上存在点F （不与点B ，M 重合）满足DF DC =，连接AE ，EF ，直接写出AEF ∠的大小，并证明．2．（2022·北京·统考中考真题）在ABC 中，90ACB ∠= ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．3．（2021·北京·统考中考真题）如图，在ABC 中，,,AB AC BAC M α=∠=为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接,BE DE ．（1）比较BAE ∠与CAD ∠的大小；用等式表示线段,,BE BM MD 之间的数量关系，并证明；（2）过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明． 4．（2020·北京·统考中考真题）在ABC 中，∠C=90°，AC ＞BC ，D 是AB 的中点．E 为直线上一动点，连接DE ，过点D 作DF ⊥DE ，交直线BC 于点F ，连接EF ．7．（2017·北京·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M.（1）若∠P AC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）.（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明.8．（2016·北京·中考真题）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有P A=PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明P A=PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN=BP，要证明P A=PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证P A=PM，只需证P A=CK，PM=CK．请你参考上面的想法，帮助小茹证明P A=PM（一种方法即可）．9．（2015·北京·统考中考真题）在正方形ABCD中，BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路.（可以不写出计算结果）参考答案1．(1)见解析(2)90AEF ∠=°，证明见解析【分析】（1）由旋转的性质得DM DE =，2MDE α∠=，利用三角形外角的性质求出C DEC α∠=∠=，可得DE DC =，等量代换得到DM DC =即可；（2）延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，可得DE 是FCH V 的中位线，然后求出B ACH ∠∠=，设DMDE m ==，CD n =，求出2BF m CH ==，证明()SAS ABF ACH ≅ ，得到AF AH =，再根据等腰三角形三线合一证明AE FH ⊥即可．【详解】（1）证明：由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∵C α∠=， ∴D DEC M E C α∠−∠∠==， ∴C DEC ∠=∠， ∴DE DC =，∴DM DC =，即D 是MC 的中点；（2）90AEF ∠=°；证明：如图2，延长FE 到H 使FE EH =，连接CH ，AH ，∵DF DC =，∴DE 是FCH V 的中位线，∴DE CH ∥，2CH DE =，由旋转的性质得：DM DE =，2MDE α∠=， ∴2FCH α∠=， ∵B C α∠=∠=， ∴ACH α∠=，ABC 是等腰三角形， ∴B ACH ∠∠=，AB AC =，设DMDE m ==，CD n =，则2CH m =，CM m n =+， ∴DFCD n ==， ∴FM DF DM n m =−=−， ∵AM BC ⊥，∴BM CM m n ==+，∴()2BF BM FM m n n m m =−=+−−=，∴CH BF =，在ABF △和ACH 中，AB AC B ACH BF CH = ∠=∠ =，∴()SAS ABF ACH ≅ ，∴AF AH=，∵FE EH =，∴AE FH ⊥，即90AEF ∠=°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．2．(1)见解析(2)CD CH =；证明见解析【分析】（1）先利用已知条件证明()SAS FCE BCD ≅ ，得出CFE CBD ??，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证()SAS MEC BDC ≅ ，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM ???，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．【详解】（1）证明：在FCE △和BCD △中，CE CD FCE BCD CF CB = ∠=∠ =， ∴ ()SAS FCE BCD ≅ ，∴ CFE CBD ??，∴ EF BD ∥，∵AF EF ⊥，∴BD AF ⊥．（2）解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，∵90ACB ∠= ，CM ＝CB ，【点睛】本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．5．（1）如图所示见解析；（2）见解析；（3）OP=2.证明见解析.【分析】（1）根据题意画出图形即可．（2）由旋转可得∠MPN=150°，故∠OPN=150°-∠OPM；由∠AOB=30°和三角形内角和180°可得∠OMP=180°-30°-∠OPM=150°-∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON=QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP=∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM=PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD=NC，DM=CP．此时加上ON=QP，则易证得△OCN ≌△QDP，所以OC=QD．再设DM=CP=x，所以OC=OP+PC=2+x，MH=MD+DH=x+1，由于点M、Q关于点H对称，得出DQ=DH+HQ=1+x+1=2+x，得出OC=DQ，再利用SAS得出△OCN≌△QDP即可【详解】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM=α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN=150°，PM=PN∴∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-α∵∠AOB=30°∴∠OMP=180°-∠AOB-∠OPM=180°-30°-α=150°-α∴∠OMP=∠OPN8．（1）80°；（2）①补图见解析；②证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；四点共圆。

2013届北京市中考数学二轮专题突破复习课件代几综合题

图28－1
专题八┃ 京考解读
m－1 2 5m 解： (1)∵抛物线 y＝－ x ＋ x＋m2－3m＋2 经过原点， 4 4 ∴m2－3m＋2＝0.解得 m1＝1，m2＝2. 由题意知 m≠1，∴m＝2. 1 2 5 ∴抛物线的解析式为 y＝－ x ＋ x. 4 2 1 2 5 ∵点 B(2，n)在抛物线 y＝－ x ＋ x 上， 4 2 ∴n＝4. ∴B 点的坐标为 (2，4).
专题八┃ 京考解读
解： (1)①∵B 为 y 轴上的一个动点， ∴设点 B 的坐标为(0，y)． 1 1 ∵－－0 ＝ ≠2， 2 2 ∴|0－y|＝2，解得 y＝2 或 y＝－2. ∴点 B 的坐标是(0，2)或(0，－2)． 1 ②点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 . 2
专题八┃ 京考解读
②依题意作等腰直角三角形 QMN. 设直线 AB 的解析式为 y＝k2x＋b. 由点 A(10，0)，点 B(2，4)，求得直线 AB 的解析式为 1 y＝－ x＋5.当 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别 2 有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上，如图②.可证△DPQ 为等腰直角三角形．此时 OP、DP、AQ 的长可依次表示为 t、4t、2t 个单位． ∴PQ＝DP＝4t. 10 ∴t＋4t＋2t＝10.∴t＝ . 7
专题八┃ 京考解读
(2)由(1)可得点 M 的坐标为(0，6 3)．由 DE∥AB，EM＝MD，可得 y 轴所在直线是线段 ED 的垂直平分线． ∴点 C 关于直线 DE 的对称点 F 在 y 轴上． ∴ED 与 CF 互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC. ∴四边形 CDFE 为菱形，且点 M 为其对称中心．作直线 BM.设 BM 与 CD、EF 分别交于点 S、点 T. 可证△FTM≌△CSM. ∴FT＝CS.∵FE＝CD，∴TE＝SD. ∵EC＝DF，∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS. ∴直线 BM 将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形． ∵点 B(6，0)，点 M(0，6 3)在直线 y＝kx＋b 上， ∴直线 BM 的解析式为 y＝－ 3x＋6 3.