极坐标系与平面直角坐标系的区别
平面直角坐标系和极坐标
第二节平面直角坐标系和极坐标为了需要，温习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一平面直角坐标系1．平面直角坐标系的成立为了确信平面上点的位置：（1）在平面上选定两条相互垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；如此，咱们就说在平面上成立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条相互垂直的直线叫做坐标轴，适应上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。
2. 平面上点的坐标成立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就能够够确信了，方式是如此的：由P 点别离作y轴和x轴的平行线，交点别离是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，咱们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），如此的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。
反过来，易知任意一对实数（a，b），都能够确信平面上的一个点.由上面的分析，能够取得下面的结论：在给定的直角坐标系下，关于平面上的任意一点P，咱们能够取得唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，关于任何有序实数对，在平面上就能够确信唯一的点，那个点的坐标是（a，b）。
确实是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间成立了一一对应得关系。
咱们在代数里已经明白坐标轴把平面分成了四个部份，每一部份是一个象限。
依照数轴上有向线段的数量，能够明白得第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（—，+），第III象限内的是（—，—），第IV象限内的是（+，—）。
坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。
同理，在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。
平面直角坐标系
02
点在平面直角坐标系中的表示
点在平面直角坐标系中的表示方法
直角坐标法
在平面内选定一个原点O和x、y轴，对于平面内的任意一点P ，通过原点O作一直角与x轴正方向夹角为α，再作一直角与y 轴正方向夹角为β，两直角的交点即为点P的坐标。
极坐标法
以原点O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系。对于平 面内的任意一点P，通过原点O作一直线与极轴夹角为θ，再 作一直线与极轴夹角为α，两直线的交点即为点P的极坐标。
点的坐标与位置关系
点的横坐标
表示点在x轴上的投影距离 。
点的纵坐标
表示点在y轴上的投影距离 。
点的位置关系
通过比较点的坐标值，可 以确定点在平面直角坐标 系中的位置关系，如平行 、垂直、相交等。
点在平面直角坐标系中的变换
平移变换
将点沿着x轴或y轴方向移动一定的距离，点的坐 标值会相应地增加或减少。
几何图形的性质研究
利用平面直角坐标系，可以研究几何图形的性质和特点，例如对称性、中心对 称等。
04
平面直角坐标系与极坐标系的 关系
极坐标系的基本概念
1 2
极坐标系
在平面内，以一个固定点为极点，一个固定射线 为极轴，用来研究点的位置的一种坐标系。
极坐标表示
在极坐标系中，一个点的位置由一个实数r和一 个角度θ来确定，记作(r, θ)。
旋转变换
将点绕原点旋转一定的角度，点的坐标值会发生 变化。
缩放变换
将点在x轴或y轴方向上放大或缩小一定的倍数， 点的坐标值会相应地增加或减少。
03
平面直角坐标系的应用
解析几何问题
直线方程的求解
通过平面直角坐标系，可以确定 直线上任意两点的坐标，从而求 出直线的方程。
极坐标系的基本概念
极坐标系的基本概念极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它以点到原点的距离和点与正半轴的夹角来表示点的位置。
相比于直角坐标系，极坐标系更适用于描述圆形或球形的几何问题。
本文将介绍极坐标系的基本概念及其在数学和物理中的应用。
一、极坐标系的定义极坐标系用两个数表示点的位置，分别是极径和极角。
极径表示点到原点的距离，用正实数表示；极角表示点与正半轴的夹角，以弧度为单位。
在极坐标系中，原点表示极径为0的点，也是极角为任意值的点。
在直角坐标系中，一个点的位置由X坐标和Y坐标确定，即(x,y)。
而在极坐标系中，一个点的位置由极径r和极角θ确定，即(r,θ)。
二、极坐标系与直角坐标系的转换公式在极坐标系和直角坐标系之间，可以通过一些公式进行坐标的转换。
1. 从直角坐标系到极坐标系的转换：极径r可以通过以下公式计算：r = √(x² + y²)极角θ可以通过以下公式计算：θ = arctan(y/x)，其中arctan为反正切函数。
2. 从极坐标系到直角坐标系的转换：X坐标可以通过以下公式计算：x = r * cos(θ)，其中cos为余弦函数。
Y坐标可以通过以下公式计算：y = r * sin(θ)，其中sin为正弦函数。
三、极坐标系的应用极坐标系在数学和物理中有着广泛的应用。
1. 极坐标方程一些图形在直角坐标系中难以描述，而在极坐标系中可以用较简单的方程表示。
例如，圆的方程在极坐标系中可以表示为 r = a，其中a为圆的半径。
其他曲线如椭圆、双曲线等也可以用极坐标方程表示。
2. 极坐标系中的积分在计算一些特殊曲线的弧长、曲面积分和体积等问题时，极坐标系更加方便。
利用极坐标系进行积分计算可以简化问题并提高计算效率。
3. 物理中的应用极坐标系在力学、电磁学、流体力学等领域都有广泛应用。
例如，在描述质点的运动轨迹时，如果运动轨迹呈现出旋转或对称性，极坐标系更适用于描述和分析。
结语极坐标系作为一种描述平面上点位置的坐标系，具有简洁、直观的特点，被广泛应用于数学和物理学科中。
坐标系与平面直角坐标系
坐标系与平面直角坐标系坐标系是数学中用来表示和描述点和线的工具。
它由坐标轴和原点组成，并利用数值组合来确定点的位置。
坐标系被广泛应用于几何学、物理学、经济学等领域，特别是在平面直角坐标系中，它的重要性更加突出。
一、坐标系简介坐标系是由一个或多个坐标轴组成，坐标轴可以是直线、圆、球或其他几何形状。
通常情况下，坐标轴是直线，用来表示一个维度上的数值变化。
一个坐标系可以是一维、二维或多维的，取决于坐标轴的数量。
在平面直角坐标系中，坐标系由水平的x轴和垂直的y轴组成，它们相交于原点O。
二、平面直角坐标系平面直角坐标系是二维坐标系中最基本和最常用的一种。
x轴和y轴分别垂直于彼此，并且固定在平面上。
这一坐标系被广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
在平面直角坐标系中，每个点的位置可以由一对有序数值(x, y)来表示，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。
三、确定坐标点的方法在平面直角坐标系中，确定一个点的位置可以使用两种方法：绝对坐标和相对坐标。
1. 绝对坐标：绝对坐标是指将点的位置与坐标轴上的数值直接对应。
例如，点A的绝对坐标为(3, 4)，表示它在x轴上的位置为3，y轴上的位置为4。
这种方法适用于直接给出点的坐标。
2. 相对坐标：相对坐标是指将点的位置与其他已知点或线段的关系来确定。
例如，点B相对于点A的位置为(-2, 1)，表示它在x轴上的位置比点A小2个单位，在y轴上的位置比点A大1个单位。
这种方法适用于推导和计算点的位置。
使用绝对坐标和相对坐标，我们可以在平面直角坐标系中准确地定位和描述任意点。
四、坐标系的应用平面直角坐标系在许多学科和行业中都起着重要作用。
1. 几何学：平面直角坐标系可以用来研究和解决几何形状的性质和问题。
例如，通过确定点的坐标，我们可以计算两点之间的距离或计算线段的长度。
2. 物理学：平面直角坐标系在物理学中广泛应用于描述和分析物体的运动。
通过在坐标系中绘制物体的位置随时间的变化，我们可以得到物体的速度、加速度等重要信息。
极坐标系
4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).图4-1-3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx (x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________≤θ＜2π)．图4-1-4【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________． 【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝－26＝－33， 又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，2π3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)． ∵AB ＝(32＋12)2＋(－332－32)2＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋(－2)2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)． 【答案】 (22，3π4)2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2， 故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】 由余弦定理得 AB ＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cos (θ1－θ2) ＝ 32＋(－3)2－2×3×(－3)cos (π4－π12) ＝9＋9＋93＝18＋9 3＝36＋322.【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
极坐标系的概念
【作业表单3：单元学习目标与活动设计及检验提示单】单元学习主题极坐标系的概念单元学习目标1.认识极坐标，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；2.体会极坐标系与平面直角坐标系的区别，能进行极坐标和直角坐标间的互化。
单元学习活动一、导入1.平面直角坐标系是最常用的一种坐标系，但不是唯一的一种坐标系。
有时用别的坐标系比较方便。
还有什么坐标系呢？我们先看下面的问题：（投影图片,让学生直观感受引进极坐标的必要性。
）2.在以上问题中，位置是用什么方法确定的？3.在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置：如台风预报、地震预报、测量、航空、航海等。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
二、探究新知问题：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立极坐标系？（学生思考，抽生回答，并补充，最后教师总结。
）1.极坐标系的概念(1)概念:在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常用弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
(2)点的极坐标的规定:如图：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为 ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边5海里（1）距离：5 海里（2）方向：东偏北30º.O x拯救船30º发现走私走私船在拯救船的什么位置呢？距离40 kmxO方向：4π敌机敌机在坦克的什么位置?。
平面直角坐标系平面直角坐标系
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性质
平面直角坐标系是一个正交坐标系，它具有唯一性和可数性 。
平面直角坐标系的建系的中心点 。
确定x轴与y轴
根据定义，x轴是一条与y轴垂直的数轴，y轴是 一条与x轴垂直的数轴。
确定单位长度
选择一个单位长度，通常选择一个合适的长度单 位，如毫米或厘米。
坐标系中的点与坐标
方向向量的计算
方向向量的计算可以通过两个点的坐标进行计算，得到一个向量，该向量的模等于两点之间的距离，方向与连 接两点的线段一致。
三维空间中的坐标系
三维空间中的坐标系定义
三维空间中的坐标系使用三个参数，x、y 、z，来定义空间中的任意一点。
VS
三维空间中的坐标系扩展
三维空间中的坐标系可以扩展到更高维度 的空间中，例如四维空间、五维空间等。
计算机图形学中的应用
像素坐标
在计算机图形学中，每个像素点都有其在平面直角坐标系中的位 置，通过坐标可以方便地对像素点进行操作。
渲染算法
通过平面直角坐标系可以设计各种渲染算法，如阴影算法、反射 算法等。
三维建模
在三维建模中，平面直角坐标系是基础，可以通过它来建立三维模 型的空间关系。
05
平面直角坐标系的扩展
平移平面直角坐标系中的点，其坐标值会相应地发生变化。平移过程中，点 的坐标值沿横轴或纵轴方向移动，移动距离等于平移方向上的坐标增量。
点的旋转
旋转平面直角坐标系中的点，其坐标值不会发生变化，但会围绕旋转中心转 动。旋转过程中，点的坐标值相对于旋转中心转动，旋转角度等于旋转角度 的弧度值。
距离与角度的计算
平面直角坐标系
2023-11-04
目 录
• 平面直角坐标系的基本概念 • 平面直角坐标系中的基本运算 • 平面直角坐标系中的图形变换 • 平面直角坐标系的应用 • 平面直角坐标系的扩展
3大常用坐标系
3大常用坐标系摘要：一、坐标系简介1.坐标系的定义2.坐标系的作用二、3大常用坐标系1.笛卡尔坐标系（直角坐标系）a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域2.极坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域3.球坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域三、坐标系的转换1.不同坐标系之间的转换方法2.转换过程中的注意事项四、总结1.各种坐标系的优缺点2.选择合适的坐标系进行问题分析正文：坐标系是数学中用来表示位置的一种工具，它有助于将复杂的空间关系简化为有序的数值关系，便于研究和计算。
在众多坐标系中，有3大常用坐标系，分别是笛卡尔坐标系（直角坐标系）、极坐标系和球坐标系。
首先，我们来了解一下笛卡尔坐标系。
它是一种平面直角坐标系，由两条互相垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y轴表示。
在笛卡尔坐标系中，一个点的位置可以通过其横坐标和纵坐标来表示。
这种坐标系在平面几何、解析几何等领域有着广泛的应用。
其次，我们来介绍一下极坐标系。
极坐标系是一种基于极点的坐标系，由一个极径和一个极角组成。
极径表示点到原点（极点）的距离，极角表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标系在行星运动、电磁学等领域具有较高的实用价值。
最后，我们来探讨一下球坐标系。
球坐标系是一种三维坐标系，由一个径向坐标和一个球面坐标组成。
径向坐标表示点到原点（球心）的距离，球面坐标表示从球心到该点的球面弧所对应的圆心角。
球坐标系在地球物理学、天文学等领域应用广泛。
在实际问题分析中，我们需要根据问题的性质和需要解决的问题类型来选择合适的坐标系。
例如，在平面几何问题中，我们通常会选择笛卡尔坐标系；而在研究行星运动时，极坐标系则更为方便。
当然，在某些情况下，可能需要将一种坐标系转换为另一种坐标系，以便于问题的分析和解决。
在进行坐标系转换时，需要注意坐标系的转换公式及其适用范围，避免出现错误。
总之，这3大常用坐标系各有优缺点，适用于不同的领域和问题。
极坐标和直角坐标的互化
极坐标和直角坐标的互化1．极坐标系的概念(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示：2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).1．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6相同的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π6解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________．解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确．答案：①③⑤3．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3.答案：3由极坐标确定点的位置在极坐标系中，画出点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π4，再在射线θ＝π4上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 同样可作出点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π可写成D ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，如图位置．(1)由极坐标确定点的位置的方法建立极坐标系―→作出极角的终边―→以极点为圆心，以极径为半径分别画弧―→确定点的位置．(2)由极坐标确定点的位置应注意的问题由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0，2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2k π(k ∈Z)确定出θ0∈[0，2π)的值再确定方向．1.在极坐标系中，下列各点中与⎝⎛⎭⎪⎫2，π6不表示同一个点的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，－116π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，136π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－236π 解析：选C.与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k π(k ∈Z)，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，116π不合适．2．如图，在极坐标系中， (1)作出以下各点：A (5，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－3π2.(2)求点E ，F 的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)．解：(1)如图，在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．(2)由于点E 的极径为4，在θ∈[0，2π)内，极角θ＝7π6，又点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)，所以点E 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2k π＋7π6(k ∈Z)． 同理，点F 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2k π＋2π3(k ∈Z)． 点的极坐标与直角坐标的互化(1)分别将下列点的极坐标化为直角坐标．①⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4；②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.(2)分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． ①(－1，1)；②(4，－43)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；④(－6，－2)． [解] (1)①ρ＝4，θ＝π4，所以x ＝ρcos θ＝4cos π4＝22，y ＝ρsin θ＝4sin π4＝22，所以点(4，π4)的直角坐标为(22，22)．②因为x ＝2cos 5π3＝1，y ＝2sin 5π3＝－ 3.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3的直角坐标为(1，－3)．(2)①ρ＝(－1)2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0，2π)， 由于点(－1，1)在第二象限，所以θ＝3π4，所以点(－1，1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. ②ρ＝42＋(－43)2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，由于点(4，－43)在第四象限，所以θ＝5π3，所以点(4，－43)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.③ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0，2π)，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4. ④ρ＝(－6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0，2π)，由于点(－6，－2)在第三象限，所以θ＝7π6，所以点(－6，－6)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6.(1)点的极坐标化为直角坐标的方法将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)点的直角坐标化为极坐标的方法将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B.点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：(1)因为x ＝ρcos θ＝4·cos5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. 所以A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)因为ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内，所以θ＝7π4，所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又因为x ＝0，y ＜0，所以ρ＝15，θ＝32π.所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 极坐标系中的对称问题和距离问题(1)A ，B 两点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6，则A ，B 两点的距离为|AB |＝________．(2)设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[解] (1)如图所示，|OA |＝5，|OB |＝2，∠AOB ＝π3－(－π6)＝π2.所以|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝5＋4＝3.故填3.(2)如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．(1)极坐标系中点的对称问题点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．(2)极坐标系中两点间的距离问题求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)求解，其中A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，注意当θ1＋θ2＝2k π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1－ρ2|.当θ1＋θ2＝2k π＋π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1＋ρ2|.1.点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B.因为ρ＝－2<0，所以找点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是(－2，－π6)，如图，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.2．已知M ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π6，N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6，则|MN |＝________． 解析：因为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6也可写为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6，所以|MN |＝82＋52－2×8×5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－5π6＝64＋25－80cos π3＝7.答案：73．极坐标系中，分别求下列条件下点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标： (1)ρ≥0，θ∈[0，2π)；(2)ρ≥0，θ∈R.解：因为M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3与M ′(ρ，θ)关于极轴对称， 所以ρ＝3，θ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．(1)当θ∈[0，2π)时，θ＝5π3， 所以M ′(3，5π3)． (2)当θ∈R 时，M ′(3，2k π－π3)(k ∈Z)．1．对极坐标系的理解(1)在平面上建立一个极坐标系时，四个要素(极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向)缺一不可．(2)一般地，不作特别说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．其中极点的极径ρ＝0，极角θ可取任意值．(3)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系，一个点可以有多个极坐标．可统一表示为(ρ，θ＋2k π)，其中ρ≥0，k ∈Z.2．极坐标与直角坐标的区别与联系(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件是①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)由ρ2＝x 2＋y 2确定ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值； ②当x ＝0，y >0时，θ＝π2；③当x ＝0，y <0时，θ＝32π.1．极坐标系中，点A (2 016，2 017π)的直角坐标为( )A ．(2 016，π)B ．(2 016，0)C ．(0，2 016)D ．(－2 016，0)解析：选D.因为ρ＝2 016，θ＝2 017π，所以x ＝ρcos θ＝2 016cos π＝－2 016，y ＝ρsin θ＝2 016sin 2 017π＝2 016sin π ＝2 016×0＝0，所以A 点的直角坐标为A (－2 016，0)．2．极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，－π)；④(2，2k π)(k ∈Z)．其中，正确表示的序号为____________． 解析：因为|OM |＝2，即ρ＝2， 又M 点在极轴反向延长线上，所以θ＝π＋2k π(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝π，当k ＝－1时，θ＝－π. 所以M 点的极坐标为(2，π)或(2，－π)． 答案：②③3．(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝2cos7π6＝－3， y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. 4．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标．解：点A ，B 的直角坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由△ABC 为等边三角形，故|BC |＝|AC |＝|AB |，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(x －2)2＋(y －2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2.即⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.点C 的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)， 故ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－1， 故θ＝7π4或3π4.故点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.[A 基础达标]1．点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6解析：选A.ρ＝ x 2＋y 2＝3＋1＝2，tan θ＝y x ＝－13＝－33.又因为点(3，－1)在第四象限，且0≤θ<2π. 所以θ＝11π6，所以M 点的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6.2．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3 D ．5π6解析：选C.OA 与OB 的夹角∠AOB ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3，故选C.3．在极坐标系中，已知点P 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π4，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9 B ．10 C ．14 D ．2 解析：选B.因为∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，所以△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得 |P 1P 2|＝OP 21＋OP 22＝62＋82＝10，故选B.4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心的距离为( )A. 3 B ．2 C.1＋π29D ．4＋π29解析：选A.法一：因为(x －1)2＋y 2＝1的圆心坐标为(1，0)，化为极坐标是(1，0)， 所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)＝22＋12－2×2×1×cos π3＝4＋1－2＝ 3.法二：将点(2，π3)化为直角坐标是(1，3)又(x －1)2＋y 2＝1的圆心的坐标是(1，0)，所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝ 3.5．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π12关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点的一个极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，7π12解析：选C.如图所示，设点M 关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点为N ，则|ON |＝|OM |，∠xON ＝π4＋π4－π12＝5π12，所以点N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π12.6．已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为____________．解析：因为A ，B 两点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3， 所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)， 所以线段AB 中点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－327．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0，2π))解析：(1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于极轴的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，7π6； (3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π68．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin7π6＝3. 答案：39．在极坐标系中，O 为极点，已知两点M ，N 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，求△MON 的面积．解：sin ∠MON ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝sin 2π3cos π4－cos 2π3·sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 故S △MON ＝12×4×2×6＋24＝3＋1.10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标． 解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，所以∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，所以ρ＝2. 又因为sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，所以∠OPO ′＝π3. 所以∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，所以∠PP ′x ＝2π3.所以∠PO ′x ′＝2π3. 所以P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.所以P 点的新坐标为(4，π2)．[B 能力提升]11．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫23，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋3π4(k ∈Z)解析：选C.因为点P 对应的复数为－3＋3i ，所以点P 的直角坐标为(－3，3)，点P 到原点的距离为32，且点P 在第二象限的角平分线上，故极角等于3π4，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4，选C. 12．已知两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．解析：在极坐标系Ox 中作出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2和B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，如图所示，则|OA |＝|OB |＝3，∠AOx ＝π2，∠BOx ＝π6， 所以∠AOB ＝π3.所以△AOB 为正三角形，从而|AB |＝3，直线AB 的倾斜角为π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝5π6.答案：35π613．如果对点的极坐标定义如下：当已知M (ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)． 例如，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极点O 的对称点M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3，就是说⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3＋π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3表示的就是同一点．已知A 点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标： (1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0.解：如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3， 即点A 与A ′关于极点O 对称． 由极坐标的定义知(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3.(2)当ρ<0，0≤θ<2π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，2π3. (3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，－4π3.14．(选做题)某大学校园的部分平面示意图为如图所示的矩形．其中|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出点C 与点F 的极坐标并求点C 到点F 的直线距离．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OC |＝600，∠AOC ＝π6，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，由图形得|OF |＝|OD |＝|AC |＝600×sin π6＝300(m)． 所以点F 的极坐标为(300，π)． 在△COF 中，∠COF ＝π－π6＝56π.根据余弦定理，得 |CF |＝|OC |2＋|OF |2－2|OC |·|OF |·cos 56π＝6002＋3002－2×600×300×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝3005＋23(m)．所以点C 到点F 的直线距离为3005＋2 3 m.。
平面直角坐标系与极坐标系
极坐标系在某些特定领域如物理学 和工程学中更常见，而直角坐标系 在数学和科学研究中更为通用。
汇报人：XX
极坐标系中的极径可以与平面直角坐标系中的距离概念相对应。
通过适当的变量转换，可以将平面直角坐标系中的函数表示为极坐标系中的函数。
区别
定义不同：平面直角 坐标系是二维坐标系， 而极坐标系是二维或 三维坐标系
变量不同：平面直 角坐标系的变量是x 和y，而极坐标系的 变量是r和θ
单位不同：平面直角坐 标系的单位是长度单位 ，而极坐标系的单位是 角度和长度单位
特点：平面直角坐标系是一种绝对位置描述方法，它可以用来描述平面内任意一点的准确位置。 通过坐标系的伸缩、平移和旋转等变换，可以描述物体的运动和变化。
应用：平面直角坐标系广泛应用于数学、物理、工程技术和地理等领域，是描述二维平面内物 体位置和运动的基础工具。
坐标表示方法
定义：平面直角坐标系由两条垂直相交的数轴构成，横轴为x轴，纵轴为y轴
极坐标的性质
极坐标系中，点用极角和极径 表示
极角是点在极坐标系中的角度， 范围是0到2π
极径是点在极坐标系中的距离， 范围是0到正无穷
在极坐标系中，线用极角表示， 面用极角和极径表示
联系
平面直角坐标系与极坐标系都是用来描述平面内点的位置的数学工具。
平面直角坐标系与极坐标系都由两个数来确定一个点的位置，这两个数被称为坐标。
坐标表示：任意一点P在平面上的位置可以用有序实数对(x, y)表示，其中x为点P到x轴的距离，y为点P到y轴的 距离
坐标原点：平面直角坐标系的原点O是两条数轴的交点，其坐标为(0,0)
象限划分：平面直角坐标系将平面分为四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限
平面直角坐标系与极坐标系的探索与联系
平面平面直角坐标系与极坐标系的探索与联系初2015级6班杜晨喆张昊晗参考书目：《微积分（翻译版·原书第9版）》机械工业出版社（2011年8月第1版）《数学·选修4-4》北京师范大学出版社（2007年5月第2版）《八年级数学上册第三章》北师大版北京师范大学出版集团，（2013年6月印制）《九年级数学下第一章》北师大版北京师范大学出版集团在学习完《位置与坐标》一章后，我们认识了平面直角坐标系，学会了利用平面直角坐标系来确定平面上点的位置。
而我和张昊晗同学在课下讨论时，萌生了一个想法：我们学过的在平面内表示点的位置不是还有一种“极坐标定位法”吗？能否顺着“极坐标定位法”的想法来创造一种坐标系呢？在好奇心的驱使下，我们开始了进一步创新与探究。
一、建立极坐标系及点的坐标表示：首先我们观察图1：图1 点的位置如图1所示，B点在A点的北偏东45º方向上，距点A为1.6千米；点C在点A的北偏西75º方向上，距点A为2千米。
如此看来，利用方位角和距离也可确定平面上点的坐标。
所以，我们产生了如下想法：如图2，在平面内取一个定点O，叫做原点，从点O引一条射线Ox，规定右边为正方向，选定一个单位长度，以逆时针为角的正方向，这样建立起了一个坐标系。
我们称之为极坐标系。
既然坐标系建立了，那么极坐标系內的点的坐标如何表示呢？根据极坐标定位法的思想，我们规定：对于平面内任意一点M，用a 表示M到原点的距离（即线段OM的长），用θ表示∠MOx的角度，那么点M的坐标即可表示为（a，θ）。
当点M在原点上时，它的坐标为（0，θ）（θ为任意角度数）。
例如，在图3中，点A的坐标为（2,60º），点B的坐标为（1，180º），点C的坐标为（3,300º）。
图3 极坐标系内点的坐标在用极坐标表示平面内点的位置时，我们惊奇的发现：对于极坐标系内任何一个点，都有无数组坐标与它对应；但对于每一个坐标而言，有且只有一个点与它对应！例如，在图3中，由于我们规定了逆时针为角的正方向，即角的终边逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。
常用的坐标系
常用的坐标系
常用的坐标系有：
1. 直角坐标系：也叫笛卡尔坐标系，是使用两个垂直的坐标轴来确定一个点的位置，常用于平面直角坐标系和三维直角坐标系。
2. 极坐标系：使用极径和极角来确定一个点在平面上的位置，常用于圆形区域的描述，如极坐标图。
3. 球坐标系：使用半径、极角和方位角来描述三维空间中的点，常用于对球体上的位置进行描述。
4. 柱坐标系：使用半径、极角和高度来描述三维空间中的点，常用于对圆柱形或柱体上的位置进行描述。
第1讲-极坐标系
，x 轴的
当 堂 双 基 达 标
正半轴作为 极轴 ， 并在两种坐标系中取相同的 长度单位 ， 如图 1－2－1 所示．
课 堂 互 动 探 究
课 时 作 业
图 1－2－1
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
(2)互化公式：设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是
课 前 自 主 导 学
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
课 前 自 主 导 学
1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件： ①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2．将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用 到求角 θ 的正弦值和余弦值， 熟练掌握特殊角的三角函数值， 灵活运用三角恒等变换公式是关键．
欲写出点的极坐标，首先应确定 ρ 和 θ
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-4
π 【自主解答】 如图所示， 关于极轴的对称点为 B(2， －3)．
课 前 自 主 导 学 当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
2 关于直线 l 的对称点为 C(2，3π)． 2 关于极点 O 的对称点为 D(2，－ π)． 3 四个点 A，B，C，D 都在以极点为圆心，2 为半径的圆 上．
(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式 如表： 点M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) ρ2＝ x2＋y2 y tan θ＝ (x≠0) x
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
直角坐标与极坐标的区别
直角坐标系中点的坐标(a,b)，其中横坐标a表示点的水平位置、纵坐标b表示点的垂直高度。
例如，点(3,-2)可以这样来画：从原点开始向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到的位置就是点(3,-2)所对应的位置。
极坐标系中点的坐标(r,θ)，其中r表示该点到原点的距离，而θ表示从x轴正半轴开始逆时针旋转的角度。
例如，点(2,π/3)可以这样来画：先以原点为圆心、2为半径作一个圆，然后从x轴正半轴与这个圆的交点处开始，逆时针旋转60度得到的位置就是点(2,π/3)所对应的位置。
平面上的点既可以建立直角坐标平面来表示，也可以建立极坐标平面来表示。
从某种意义上，可以把直角坐标平面理解成“方”的，把极坐标平面理解成“圆”的。
（当然它们都是可以向四周无限延伸的）用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者有哪些明显的区别？（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ，θ）只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应。
例如（ρ，2nπ＋θ）与（－ρ，(2n＋1)π＋θ）（n为整数）表示的是同一个点，所以点对有序实数对即坐标（ρ，θ）不是一一对应的。
（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）。
可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应。
例如方程ρ＝1，ρ2＝1，ρ3＝1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的。
（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。
例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一对极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了。
所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标（ρ，θ）适合曲线C的方程。
直角坐标与极坐标的区别
直角坐标系中点的坐标(a,b)，其中横坐标a表示点的水平位置、纵坐标b表示点的垂直高度。
例如，点(3,-2)可以这样来画：从原点开始向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到的位置就是点(3,-2)所对应的位置。
极坐标系中点的坐标(r,θ)，其中r表示该点到原点的距离，而θ表示从x轴正半轴开始逆时针旋转的角度。
例如，点(2,π/3)可以这样来画：先以原点为圆心、2为半径作一个圆，然后从x轴正半轴与这个圆的交点处开始，逆时针旋转60度得到的位置就是点(2,π/3)所对应的位置。
平面上的点既可以建立直角坐标平面来表示，也可以建立极坐标平面来表示。
从某种意义上，可以把直角坐标平面理解成“方”的，把极坐标平面理解成“圆”的。
（当然它们都是可以向四周无限延伸的）用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者有哪些明显的区别？（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ，θ）只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应。
例如（ρ，2nπ＋θ）与（－ρ，(2n＋1)π＋θ）（n为整数）表示的是同一个点，所以点对有序实数对即坐标（ρ，θ）不是一一对应的。
（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）。
可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应。
例如方程ρ＝1，ρ2＝1，ρ3＝1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的。
（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。
例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一对极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了。
所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标（ρ，θ）适合曲线C的方程。
1.2.2极坐标与直角坐标的互化
2019年（）月（）日班级姓名
1.2.2极坐标与直角坐标的互化
学习
目标
1．理解极坐标的概念．
2．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．
重点
难点
理解极坐标的意义.
能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
10．以直角坐标系Oxy的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)，正六边形ABCDEF的顶点极径 都是ρ＝2，且A、B、C、D、E、F依逆时针次序排列．若点A的极坐标为 ，则点B的直角 坐标为________．
11．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面上任意一点M，用 表示，用 表示， 叫做点M的， 叫做点M的，有序数对就叫做点M的极坐标，记作 ．
2．极坐标和直角坐标的互化
（1）互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
（2）互化公式，
{ {
说明：1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 ≥0， ≤ ≤ 。
3互化公式的三个前提条件
1.极点与直角坐标系的原点重合;
2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3.两种坐标系的单位长度相同.
例1．（1）把点M的极坐标 化成直角坐标
（2）把点P的直角坐标 化成极坐标
（1）( ，3)；（2）(－ 1，－1)；（3）(－3,0)．
12．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出P的极坐标．
平面直角坐标系与数学坐标系的区别
平面直角坐标系与数学坐标系的区别平面直角坐标系和数学坐标系都是由水平轴和垂直轴组成的坐标系统，但它们有很多不同点。
这就是它们的区别。
首先，在平面直角坐标系中，原点位于原平面上，并沿水平轴和垂直轴分别向右和向上延伸。
坐标轴按顺时针方向排列，水平轴被称为X轴，垂直轴被称为Y轴，原点被称为原点（0，0）。
任何点都可以由它与它的距离表示，例如，（-1，3）表示原点向左延伸1个单位并向上延伸3个单位的点。
另一方面，数学坐标系是一种更加复杂的坐标系。
它以原点为中心，水平轴延伸到正的一方，称为X轴，垂直轴延伸到正的一方，称为Y轴。
两个轴定义了一空间中的每一点。
数学坐标系中，轴不一定在水平方向或垂直方向，除原点外，轴上的点具有正值和负值，正值表示从原点沿轴方向延伸，负值表示从原点沿轴反方向延伸。
例如，（-2，4）表示一个点，此点的X轴的值为-2，表明它沿X轴方向向左延伸2个单位，Y轴的值为4，表明它沿Y轴方向向上延伸4个单位。
另外，平面直角坐标系通常用于二维图形的绘制，而数学坐标系则可以用于三维图形的绘制。
平面直角坐标系主要用于分析平面图形，如直线、圆等，而数学坐标系可以用于分析立体图形，如平面图形的平行平面等。
此外，平面直角坐标系中，坐标轴按顺时针方向排列，而数学坐标系中的轴可以按逆时针排列。
除此之外，在数学坐标系中，原点不再使用，而是使用P（0，0），其它点使用与每个坐标轴相关的变量表示，比如点（a，b）可以写成P（a，b）。
总之，平面直角坐标系和数学坐标系都是由水平轴和垂直轴组成的坐标系统，但它们有很多不同点，例如原点的位置，坐标轴的排列方式以及表示坐标的方法等。
极坐标系与平面直角坐标系的区别
x cos, y sin
2 x2 y2 , tan y (x 0)
x
研究:如左图 ,假
设当距离台风中
心700公里时应
福州
当发布台风蓝色
警报，问福州
(200, 4 )
3
是否已发布台风
蓝色警报?
推导
已知极坐标系中,点A(1,1), B(2,2 )
极点O的极坐标呢?
思考:如果给出一
个极坐标(2, ),那
它对应的点是否唯 一?
三、极坐标系与平面直角坐标系的区别?
如果规定 0, 0 2
除极点外,平面内的点可用唯一的极坐
标( , )表示;同时,极坐标( , )表
示的点是唯一的
笛卡尔(法国)
1596-1650
笛卡尔于1637年《几何学》--平面 直角坐标系
第一个提出极坐标系是谁？ 他为什么要提出极坐标系?
四、极坐标系的历史
伯努利.于1691年《教师学报》最 先发表了上述有关极坐标系的理论.
伯努利(瑞士)
1654-1705
牛顿.完成于1671年，发表于1736年 《流数法与无穷级数》---把极坐标 看成是确定平面上的点的位置的方 法,并与其他9种坐标系的进行转换
⑴设M是平面内一点,极点O
与点M的距离|OM|叫做点M的
极径,记为
⑵以极轴Ox为始边,射
线OM为终边的角xOM叫
做点M的极角,记为
o
M (,)
x
⑶有序实数对( , )叫做点M的
极坐标,记为 M (, )
一般地,不做特殊说明时,我们认为 0, R
o
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思考:如果给出一
个极坐标(2, ),那
它对应的点是否唯 一?
三、极坐标系与平面直角坐标系的区别?
如果规定 0, 0 2
除极点外,平面内的点可用唯一的极坐
标( , )表示;同时,极坐标( , )表
示的点是唯一的
笛卡尔(法国)
1596-1650
笛卡尔于1637年《几何学》--平面 直角坐标系
牛 顿(英国)
1642-1727
五、极坐标与直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点; x轴的正半轴作为极轴; 取相同的单位长度
把直角坐标系的原点作为极点;
x轴的正半轴作为极轴;
o
取相同的单位长度 试一试
试将刚才所描述的
台风中心的极坐标
(800, 5 )
角坐标3
化成直
设M是平面内任意一点，它的直角
则 | AB | 12 22 212 cos(1 2 )
理想化条件下：台风中心不动,
物体绕台风中心逆时针旋转，角速度 12 弧度/小时，离台风中心的距离以5公里/小 时速度减小，求 t 个小时后物体的位移
100公里
六、课堂总结
1.极坐标系 0, R
M (,)
第一个提出极坐标系是谁？ 他为什么要提出极坐标系?
四、极坐标系的历史
伯努利.于1691年《教师学报》最 先发表了上述有关极坐标系的理论.
伯努利(瑞士)
1654-1705
牛顿.完成于1671年，发表于1736年 《流数法与无穷级数》---把极坐标 看成是确定平面上的点的位置的方 法,并与其他9种坐标系的进行转换
一、描述台风中心位置
温州 800公里
今年第8号台风“凤 凰”，今天下午4时 中心位置已经到达温 州东南偏南方向大约 800公里附近的洋面 上，也就是在北纬 22.3度，东经123.8度
哪些条件刻画了台 风中心的位置?
笛卡尔(法国)
1596-1650
1637年笛卡尔受天文地理的经 度、纬度启发,创建了平面直 角坐标系,用横坐标和纵坐标 确定平面中点的位置
⑴设M是平面内一点,极点O
与点M的距离|OM|叫做点M的
极径,记为
⑵以极轴Ox为始边,射
线OM为终边的角xOM叫
做点M的极角,记为
o
M (,)
x
⑶有序实数对( , )叫做点M的
极坐标,记为 M (, )
一般地,不做特殊说明时,我们认为 0, R
o
3
如图在平面地图上 建立极坐标系，试 写出台风中心的极 坐标
坐标是 (x, y) ，极坐标是 (, )
x cos, y sin
2 x2 y2 , tan y (x 0)
x
研究:如左图 ,假
设当距离台风中
心700公里时应
福州
当发布台风蓝色
警报，问福州
(200, 4 )
3
是否已发布台风
蓝色警报?
推导
已知极坐标系中,点A(1,1), B(2,2 )
今年第南偏南方向大约 800公里附近的洋面 上，也就是在北纬 22.3度，东经123.8度
为什么台风预报时 两个都会提及?
二、极坐标系的概念
在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴; 再选定一个长度单位,一个角度单位 (通常用弧度)及其正方向(通常取逆 时针方向), 这样就建立了一个极坐标系.
o
x
2.极坐标与直角坐标的互化
x cos, y sin
2 x2 y2 , tan y (x 0)
x