专题12 平面向量(原卷版)

专题12 平面向量
命题规律
内 容
典 型
１ 以平面图形为背景考查平面向量的线性运算 2018年高考全国I 卷 ２ 平面向量的垂直与平行 2020年高考全国Ⅱ卷理数13 ３ 平面向量向量数量积 2020年高考山东卷7 ４ 平面向量夹角计算 2020年高考全国Ⅱ卷理数6 ５ 平面向量模的计算 2020年高考全国Ⅱ卷理数14 6
平面向量综合问题
2019年高考江苏卷
命题规律一 以平面图形为背景考查平面向量线性运算
【解决之道】结合平面图形，以所求向量为边构造三角形或平行四边形，利用向量加法或减法的三角形法则将所求向量表示出来，再将所用到的向量利用相同的方法用临近的向量表示出来，直到用已知向量表示出来，注意利用用实数与平面向量的积、中点公式得向量形式、三点共线的充要条件,可以简化计算. 【三年高考】
1.【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）
A ．
31
44AB AC - B ．
13
44AB AC - C ．31
44
AB AC +
D ．13
44
AB AC +
命题规律二 平面向量的垂直与平行
【解决之道】平面向量平行问题，利用向量平行的充要条件进行处理；平面向量垂直问题，利用向量数量积等于0求解. 【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅱ卷理数13】已知单位向量b a ,的夹角为45°，k b a -与a 垂直，则=k __________．
2.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.【2018年高考全国III 卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．
命题规律三 平面向量数量积
【解决之道】对平面向量的数量积，若不能向量不能用坐标表示，利用平行向量数量积的定义、几何意义
求解，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用数量积的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值. 【三年高考】
1.【2019年高考全国II 卷理数】已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，||BC =1，则AB BC ⋅=（ ） A ．−3 B ．−2 C ．2
D ．3
2.【2018年高考全国II 卷理数】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2
D ．0
3.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E
在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=___________．
4.【2020年高考山东卷7】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是
（ ）
A ．(2,6)-
B ．(6,2)-
C ．(2,4)-
D ．(4,6)-
5.【2018年高考天津卷理数】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,
AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）
A ．
21
16 B ．
3
2
C ．2516
D ．3
6.【2020年高考天津卷15】如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且
3
,2
AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，
则DM DN ⋅的最小值为_________．
7.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________．
命题规律四 平面向量的夹角计算
【解决之道】对平面向量的夹角问题，若不能向量不能用坐标表示，先求出相关向量的数量积及向量模，再利用平行向量夹角公式求解，利用向量的夹角公式计算，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用向量夹角公式的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值. 【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅲ卷理数6】已知向量,a b 满足5,6,6==⋅=-a b a b ，则cos ,+=a a b （ ） A ．3531-
B ．3519-
C ．3517
D ．35
19
2.【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
π6 B ．
π3
C ．2π3
D ．5π6
3.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________.
5.【2020年高考浙江卷17】设1e ，2e 为单位向量，满足122||-e e ，12=+a e e ，123=+b e e ，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为 ．
命题规律五 平面向量模的计算
【解决之道】对平面向量模的计算问题，若不能向量不能用坐标表示，利用向量的模的平方等于向量的平方，利用向量数量积的运算性质求解，若给出向量的坐标或给出的平面图形易建立坐标系，对平面图形建立坐标系，求出相关向量的坐标，在利用向量模公式的坐标形式求解，若是最值问题，将其化为某个量的函数问题，在利用相关方法求其最值. 【三年高考】
1.【2020年高考全国Ⅰ卷理数14】设,a b 为单位向量，且1+=a b ，则-=a b ．
2.【2020年高考江苏卷13】在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到
P ，使得9AP =，若3
()2
PA mPB m PC =+-（m 为常数）
，则CD 的长度是 ．
3.【2020年高考北京卷13】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足()
1
2
AP AB AC =+，则PD = ________；PB PD ⋅=__________．
4.（2018年高考浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π
3
，向量b
满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）
A 1
B C
．2
D ．2命题规律六 平面向量综合问题
【解决之道】平面向量中综合问题的2种解题思路
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【三年高考】
1.【2020年高考上海卷12】已知(
)*
1212,,,,,k a a b b b k ⋯∈N 是平面内两两互不相等的向量，
满足1
2
||1
a a -=且||{1,2}i j a
b -∈（其中1,2,
1,2,,i j k ==），则k 的最大值为 ．
2.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点
O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则
AB
AC
的值是___________．
3.【2019年高考浙江卷】已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，
123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是___________；最大值是___________． 4.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，
以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________．。