八年级数学下册-平面几何综合复习-人教新课标版

平面几何综合复习

【典型例题】：

例3、已知：如图在∆ABC 中，AB =AC 。延长AB 到D ，使BD =AB ，取AB 的中点E ，连结CD 和CE 求证：CD =2CE

分析：（1）要证长线段CD 是某小量的2倍，可在长线段上截取一半，这种方法，叫“截取法”或（折半法），要证CD =2CE ，可考虑在CD 上截取一半，再证明CE 等于CD 的一半即可。 证明： 过B 点作BF //AC 交CD 于F ， AB =BD

∴=DF CF ,且BF AC =1

2

AB AC ACB //,∴∠=∠2

BF AC ACB //,,∴∠=∠∴∠=∠112

又 BE AB BF AC BE BF ==∴=121

2

.,

在∆∆CEB CFB 和中

BE BF BC BC =∠=∠=⎧⎨⎪

⎩

⎪12 ∴≅∴==∆∆CEB CFB EC CF CD ,1

2

即CE =2EC

分析：（2）这类题目还可以将短线延长，或说加倍法，证它等于长线段的方法，也称“拼加法”。 提示： 将CE 延长到G ，使EG =CE ， 连结AG ，BG ，可证明∆ACG ≅∆BDC ，从而得到CG =CD ，因而有CD =2CE 。

例4、已知：如图，在∆ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，BD=CE ，BE 、CD 的中点分别是M ，N ，直线MN 分别交AB ，AC 于点P 、Q

求证：AP=AQ

分析：这是一道已知中点求证线段相等的问题，往往可以通过中位线，将条件、结论分别转移到可以建立直接联系的图形上，此题要证AP =AQ ，就要证

∠=∠APQ AQP M N ， ,分别是BE 、CD 中点，且BD =CE ，又

BC 是∆BDC 和∆BCE 的公共边，∴取BC 的中点F ，再连MF 、NF ，

就可以通过三角形中位线定理将已知条件以及要证明的

∠=∠APQ AQP 等量代换到∆FMN 中，从而可证得AP =AQ 。 证明： 取BC 的中点F ，连结FM ，FN ∵M ，N 分别是 BE CD ,的中点

∴=

=FM CE FN BD 121

2

，

并且MF //CE ，FN //BD ，∵CE =BD ，∴FM =FN

∴∠FMQ =∠FNP

∠FMQ=∠AQM （两直线平行，内错角相等） ∴∠FNP =∠APN ，∴∠APN =∠AQM ∴AP =AQ

例5、已知：∆ ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，BD =CE ，DE 交BC 于F 求证：DE =EF

分析：DF 和EF 分别在∆DBF 和∆ECF 中，但这两个三角形并不全等，如何构造全等形呢？只需作DG //AC 交BC 于G 点，易证∆DGF ≅∆ECF ，所以DF =EF ，这种添加辅助线的方法属于中心对称型。

例6、已知Rt ∆ACB 中，∠ACB =90︒，CD ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ，交CD 于E ，EF //AB 交AC 于F 求证：CE =AF

分析：要证线段CE =AF ，我们可以将它们转化到两个三角形中，过E 点作EG ⊥BC 于G ，所以EG =DE ，这种填加辅助线的方法属于转对称型，再作FH ⊥AB 于H ，利用平行线间距离相等，可易证得∆HAF ≅∆GCE ，从而证得CE =AF ，另解还可以过E 点作KM //AC 交AB 于K ，交BC 于M ，证∆MCE ≅∆DKE 即可

例7、已知：∆ABC 中，∠ACB =90︒，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，CE 的延长线交AB 于F ，FG /AC 交AD 于G 求证：FB =2CG

分析：要证FB =2CG ，只要证CG =

1

2

BF ，由于CG 和BF 分别在两个三角形中没有直接的关系，所以寻求另解一条线段作为中介量，建立起CG 和FB 之间的联系，分析题目条件可知

∆CEG ≅∆AEF ，所以AF =CG ，只要证AF =1

2

FB 即可

证明： 作DH //CF 交AB 于H ，Rt ∆ADC 中，ACD =90︒， E 是斜边AD 中点，∴CE =AE ，∴∠1=∠2 ∵AC //FG ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠3=∠4 ∴EG =EF 在∆AEF 中和∆CEG 中，有 CE AE

EG EF ==∠=∠⎧⎨⎪

⎩

⎪56

∴∆AEF ≅∆ CEG 中，∴AF =CG

DH //CF ，E 为AD 中点，∴AF =FH

DH //CF ，D 为BC 中点，∴FH =HB

∴AF =FH =HB ，∴AF

=1

2FB

CG =AF ，∴CG =1

2

FB ，即FB =2CG

例8、设∆ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB 、AC 边上的

点，且DE ⊥DF ，若BE =12，CF =5，求：线段EF 的长？

分析：这是一道几何中的计算题要求EF 的长，首先发现它在Rt 它在Rt ∆EAF 中，这时利用勾股定理可求出，连结AD 后可证∆ADE ≅∆CDF 解； 连结AD ，则在∆ADE 和∆CDF 中， ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∠=∠=︒ADE ADF CDF ADF ADE CDF DAE DCF 909045，，又

AD =CD ，∴≅∴==∆∆ADE CDF AE CF 5

又AF +FC =AC =AB =AE +BE =5+12=17

∴=-=-==

+=AF AC FC EAF EF AE AF 1751213

2

2

在中Rt ∆,

即EF 的长为13

例9、已知：如图，过正方形ABCD 的顶点A 作直线交BD 于E ，交CD 于F ，交BC 的延长线于G ，若H 是FG 的中点 求证：EC ⊥CH

分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠ECH 是90︒即可，此题可先间接证出∠4+∠5=90︒，从而推出∠ECH =90︒，通过∆∠

ABE ≅∆CBE ，及Rt ∆FCG 的斜边中线CH 可证得

证明： 简述：在正方形ABCD 中，∠=∠=︒1245 ∵AB =BC ，BE =BE ∴∆ABE ≅∆CBE ∴∠3=∠4，又H 是Rt FCG 斜边上的中点

∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=︒∴⊥CH HG G

G EC CH

534690 例10、已知：如图在平行四边形ABCD 中，AE =CF ，BM =DN 求证：四边形EMFN 是平行四边形

分析：本题主要是考查平行四边形的判定方法，下面简述两种证法。 证法一： ABCD 是平行四边形 ∴AD //BC ，AD =BC

∴∠=∠==12,, AE FC DN BM ∴ DE =BF ,DM =BN ∴≅∆∆DEM BFN

∠=∠=34,MB NF ∴ME //NF

∴EMFN 是平行四边形