《偏微分方程数值解》课程大纲
偏微分方程课程大纲
《偏微分方程》课程大纲一、课程简介教学目标：“偏微分方程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分支和自然科学与工程技术中的广泛应用是众所周知的。
本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对几类典型方程数学结构、求解方法、解的性质以及物理意义进行详细阐述，为学生日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具，并为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容提供重要帮助。
主要内容：1. 了解几类典型方程及其定解条件的物理背景2．掌握方程的分类及其化简方法3. 熟练掌握各类方程的求解方法（包括具有普适性的方法，如分离变量法,Fourier变换法和Green函数法等，以及针对某类方程的特定方法，如特征线法）4. 会用一些基本方法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质二、教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)第一章引论主要内容：1、偏微分方程简介a)偏微分方程的历史、现状和用途b)什么是偏微分方程？介绍有关偏微分方程基本概念和研究内容c)例子：简单而多样的例子帮助学生初步了解偏微分方程2、二阶线性偏微分方程的分类和特征理论a)两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的标准形式与典型例子，混合型方程b)多个自变量的二阶线性偏微分方程方程的分类及其例子c)二阶线性方程的特征理论*3、四类典型方程的数学模型：包括波动方程、热传导方程、调和方程、和一阶方程4、其他预备知识：线性方程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*重点与难点：通过化标准型将二阶方程进行分类、特征的概念（这是偏微分方程中最基本也是最重要的概念）、各类方程及其定解条件的物理意义第二章波动方程主要内容：1、弦振动方程Cauchy问题的存在性：D’Alembert求解公式，传播波，依赖区域、决定区域和影响区域，特征线法（行波法）的其他应用和例子，Duhamel齐次化原理及其物理解释2、弦振动方程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例子，非齐次方程的情形，非齐次边界条件的情形，高维波动方程分离变量法的例子3、高维波动方程Cauchy问题的求解：三维波动方程的球平均法，二维波动方程的降维法4、波的传播与衰减：依赖区域、决定区域和影响区域，Huygens原理与波的弥散，波动方程解的长时间性态5、能量不等式与唯一性和稳定性：初边值问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的唯一性和稳定性重点与难点：针对于波动方程：特征线与特征锥、特征线方法、波的有限传播速度；适用于各种方程的普遍方法：能量积分方法、分离变量法第三章热传导方程主要内容：1、求解初边值问题的分离变量法：一维情形，高维的例子2、Cauchy问题解的存在性：Fourier变换及其基本性质，用Fourier变换法求解Cauchy问题及解的存在性讨论，Fourier变换法的其他应用3、极值原理与唯一性和稳定性：有界区域的极值原理，无界区域的极值原理，初边值问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的唯一性和稳定性4、解的渐近性态：初边值问题解的渐近性态，Cauchy问题解的渐近性态重点与难点：Fourier变换方法、极值原理、关注与波动方程的区别第四章调和方程主要内容：1、调和函数的基本性质：Green公式，Neumann问题解的自由度与可解性条件，调和方程的基本解，变分原理、基本积分公式，平均值定理，极值原理、边值问题解的唯一性和稳定性2、Green函数：定义和性质，用静电源像法求一些特殊区域的Green函数，一般单连通区域的Green函数，用Green函数法求解调和方程与Poisson方程3、调和函数的进一步性质―――Harnack定理，可去奇点定律，解析性定理、强极值原理、Neumann边值问题解的唯一性。
《偏微分方程数值解》课件
未来发展方向
展望偏微分方程数值解领域的未来发展，如高性能 计算、机器学习等的应用。
结束语
感谢各位的聆听！偏微分方程数值解是一个充满挑战和发展机遇的领域。如果有任何问题，请随时提问交流。
将二维泊松方程转化为离散的网格形式，
通过迭代计算得到数值解。
3
对流-扩散方程的数值解
结合对流和扩散项，通过数值方法求解 对流-扩散方程。
有限元法
一维泊松方程的数值解
将一维泊松方程离散化为一系列局部子区域，并通过插值方法来求解。
二维泊松方程的数值解
将二维泊松方程转化为离散的网格形式，利用变分法求解。
对流-扩散方程的数值解
通过离散化和插值方法，求解对流-扩散方程的数值解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
迭代法
1
雅可比迭代法的实现
利用矩阵分块对称的性质，通过迭代更
高斯-赛德尔迭代法的实现
2
新猜测值来求解偏微分方程。
进一步改进雅可比迭代法，通过利用最 新的更新结果来加速迭代收敛。
总结与展望
各种数值方法的比较
总结离散化方法、迭代法在不同情况下的优缺点， 帮助选择合适的数值方法。
《偏微分方程数值解》 PPT课件
本课程将介绍偏微分方程数值解的基本概念和常见的数值解方法，包括离散 化方法、迭代法等，以及这些方法在泊松方程和对流-扩散方程中的应用。欢 迎加入我们的学习旅程！
课件大纲
1 简介
介绍偏微分方程及数值解的重要性和应用领 域。
2 常见的数值解方法
探索离散化方法和迭代法，并介绍有限差分 法、有限元法、雅可比迭代法和高斯-赛德尔 迭代法。
常见的数值解方法
离散化方法
通过将连续的偏微分方程转化为离散形式，如有限 差分法和有限元法，从而进行数值计算和求解。
《偏微分方程》课程大纲
《偏微分⽅程》课程⼤纲《偏微分⽅程》课程⼤纲⼀、课程简介教学⽬标：“偏微分⽅程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分⽀和⾃然科学与⼯程技术中的⼴泛应⽤是众所周知的。
本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对⼏类典型⽅程数学结构、求解⽅法、解的性质以及物理意义进⾏详细阐述，为学⽣⽇后的学习和⼯作打下坚实的基础，提供强有⼒的⼯具，并为进⼀步了解和应⽤现代偏微分⽅程的有关内容提供重要帮助。
主要内容：1. 了解⼏类典型⽅程及其定解条件的物理背景2．掌握⽅程的分类及其化简⽅法3. 熟练掌握各类⽅程的求解⽅法（包括具有普适性的⽅法，如分离变量法,Fourier变换法和Green函数法等，以及针对某类⽅程的特定⽅法，如特征线法）4. 会⽤⼀些基本⽅法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质⼆、教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)第⼀章引论主要内容：1、偏微分⽅程简介a)偏微分⽅程的历史、现状和⽤途b)什么是偏微分⽅程？介绍有关偏微分⽅程基本概念和研究内容c)例⼦：简单⽽多样的例⼦帮助学⽣初步了解偏微分⽅程2、⼆阶线性偏微分⽅程的分类和特征理论a)两个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的标准形式与典型例⼦，混合型⽅程b)多个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程⽅程的分类及其例⼦c)⼆阶线性⽅程的特征理论*3、四类典型⽅程的数学模型：包括波动⽅程、热传导⽅程、调和⽅程、和⼀阶⽅程4、其他预备知识：线性⽅程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*重点与难点：通过化标准型将⼆阶⽅程进⾏分类、特征的概念（这是偏微分⽅程中最基本也是最重要的概念）、各类⽅程及其定解条件的物理意义第⼆章波动⽅程主要内容：1、弦振动⽅程Cauchy问题的存在性：D’Alembert求解公式，传播波，依赖区域、决定区域和影响区域，特征线法（⾏波法）的其他应⽤和例⼦，Duhamel齐次化原理及其物理解释2、弦振动⽅程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例⼦，⾮齐次⽅程的情形，⾮齐次边界条件的情形，⾼维波动⽅程分离变量法的例⼦3、⾼维波动⽅程Cauchy问题的求解：三维波动⽅程的球平均法，⼆维波动⽅程的降维法4、波的传播与衰减：依赖区域、决定区域和影响区域，Huygens原理与波的弥散，波动⽅程解的长时间性态5、能量不等式与唯⼀性和稳定性：初边值问题解的唯⼀性和稳定性，Cauchy问题解的唯⼀性和稳定性重点与难点：针对于波动⽅程：特征线与特征锥、特征线⽅法、波的有限传播速度；适⽤于各种⽅程的普遍⽅法：能量积分⽅法、分离变量法第三章热传导⽅程主要内容：1、求解初边值问题的分离变量法：⼀维情形，⾼维的例⼦2、Cauchy问题解的存在性：Fourier变换及其基本性质，⽤Fourier变换法求解Cauchy 问题及解的存在性讨论，Fourier变换法的其他应⽤3、极值原理与唯⼀性和稳定性：有界区域的极值原理，⽆界区域的极值原理，初边值问题解的唯⼀性和稳定性，Cauchy问题解的唯⼀性和稳定性4、解的渐近性态：初边值问题解的渐近性态，Cauchy问题解的渐近性态重点与难点：Fourier变换⽅法、极值原理、关注与波动⽅程的区别第四章调和⽅程主要内容：1、调和函数的基本性质：Green公式，Neumann问题解的⾃由度与可解性条件，调和⽅程的基本解，变分原理、基本积分公式，平均值定理，极值原理、边值问题解的唯⼀性和稳定性2、Green函数：定义和性质，⽤静电源像法求⼀些特殊区域的Green函数，⼀般单连通区域的Green函数，⽤Green函数法求解调和⽅程与Poisson⽅程3、调和函数的进⼀步性质―――Harnack定理，可去奇点定律，解析性定理、强极值原理、Neumann边值问题解的唯⼀性。
(完整版)偏微分方程课程教学大纲
4
上课
作业
掌握思想
测验一
波动方程的有限传播速度
2
上课
作业
掌握波动方程的特性
一维波动方程初边值问题
4
上课
作业
掌握分离变量法
波动方程的能量方法
4
上课
作业
掌握PDE能量方法
期中考试
热方程的Cauchy问题
4
上课
作业
掌握Fourier变换及基本解思想
热ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的初边值问题
2
上课
作业
掌握分离变量法
在该课程中，我们将重点讲解刻画粒子输运、波的传播、温度变化及物理场论的输运方程、波动方程、热方程及Laplace方程的理论与方法，从而了解双曲型、抛物型及椭圆型三类偏微分方程的特性及基本分析思路,为进一步学习与研究打下一定的基础。
＊课程简介(Description)
In this course，we shall teach students how to formulate the partial differential equation models based on certain elementary laws in physics and mechanics, then purpose some analytic methods for studying qualitative and quantitative properties of solutions to several important kinds of partial differential equations,which could inspire students to understand some basic idea of modern methods and theories of partial differential equations。 By solving the explicit solutions of PDEs， it can explain some important phenomena in physics and mechanics, which could inspire the students to study further。
2016-偏微分方程数值解法-课程大纲-谢树森
中国海洋大学本科生课程大纲课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述：本课程介绍数值求解偏微分方程的基本方法及相关的理论基础。
本课程针对数学类专业高年级（三年级）本科生开设。
课程基本内容包括：有限差分方法、差分格式的稳定性、收敛性分析；变分原理，Galerkin有限元方法等。
通过对模型问题的基本数值方法进行分析，阐明构造数值方法的基本思想和技巧。
通过本课程学习，使学生了解并掌握数值求解偏微分方程的基本思想、基本概念和基本理论（数值格式的相容性、稳定性、收敛性及误差估计等），能够运用算法语言对所学数值方法编制程序在计算机上运行实施并对数值结果进行分析。
培养学生理论联系实际，解决实际问题的能力和兴趣。
2.设计思路：偏微分方程是应用数学的核心内容，在其他科学、技术领域具有广泛深入的应用。
掌握偏微分方程的基础理论及求解方法是数学类专业本科生培养的基本要求。
本课程是在数学物理方程课程基础上开设的延展应用型课程，是一门数值分析理论与实践应用高度融合的专业课。
课程引导学生通过数值方法探讨和理解应用数学工具解决实际- 6 -问题的途径及理论分析框架。
学习本课程需要学生掌握了“数学分析”、“数学物理方程”、“数值分析”及“泛函分析”的核心基本内容。
课程内容安排分为有限差分方法和有限元方法两个单元模块，这是目前应用最广泛、理论发展最完善的两类数值方法，两者既有关联又有本质区别，能够体现偏微分方程数值解法的基本特征。
首先介绍有限差分方法。
有限差分方法是近似求解偏微分方程的应用最广泛的数值方法，以对连续的“导数（微分）”进行离散的“差分”近似为基本出发点，利用Fourier 分析及数值分析的基本理论，讨论椭圆、抛物、双曲等三类典型偏微分方程近似求解方法及近似方法的数学理论分析。
有限元方法是20世纪中期发展起来的基于变分原理的数值方法，具有更直接的物理背景含义，因而受到力学、工程等应用领域广泛的关注和应用。
偏微分方程数值解教学大纲
《偏微分方程数值解》教学大纲
一．课程的性质、教育目标及任务：
偏微分方程数值解法在数值分析中占有重要地位，在各个科技领域的应用日渐广泛。
通过本课程的学习，使学生能了解偏微分方程数值解的最基础的知识和方法，确切地理解基本概念，掌握和正确使用两类主要方法。
二．教学内容及基本要求：
（1）弄清有限差分法的基本概念和各种差分格式。
（2）掌握双曲型，抛物型、椭圆型方程的差分方法。
（3）理解数理方程的变分原理，掌握变分问题的近似计算法。
（4）掌握有限元离散方法的原理及应用。
三．作业、辅导答疑等教学环节要求：
1．作业量：每章5--6大题，共30--40题。
2．辅导答疑：1/3总课时。
四．学时分配及说明：。
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
维情形的直接推广； 交替方向隐式格式； 分数步方法。第六章 变分原理 几个变分 问题；变分问题的
Euler-Lagrange方
程；一个守恒定律； 二次函数极值问题。
一维问题变分原理及 8 学时
其价性； 二维问题变 分原理及等价性；变 分问题的近似计算。 第七章 有限元离散 方法 一维问题的有 限元方法；子结构方 法。
√√ √
√√√ √
√√ √√
二、课程教学内容及学时分配（含实践、自学、作业、讨论等的内容及要求）
教学内容
学时
第一章 总论 微分方 4 学时
程数学模型及举例；
微分方程数值解的重
要意义和基本问题。
第二章 椭圆型方程
的差分方法 从一个
简单的例子谈起。
第 二 章 求 解 矩 形 域 6 学时
上 Poisson 方程的五
《偏微分方程数值解》课程教学大纲
课程名称：偏微分方程数值解 课程代码：MA309 学 分 / 学 时：4 学分 / 64 学时 适用专业：数学系和与科学计算相关的专业 先修课程：偏微分方程，科学计算（I） 后续课程：科学计算（II），科学计算选讲 开课单位：理学院数学系
一、课程性质和教学目标（需明确各教学环节对人才培养目标的贡献） 课程性质：本课程是理学院数学系的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过理论学习和上机实算，
数值实验 4：求解稳态热传导 问题的有限元方法。
三、教学方法
以课堂教学为主，结合自学、数学实验大作业。 1. 课堂教学主要讲解偏微分方程数值解的基本概念，基本方法和基本原理，含有限差分法、变分原理和有限元方
法等，培养学生利用计算机为工具，通过数学建模、理论分析与数值求解等步骤定量化解决实际问题的能力。 2. 数值实验大作业是本课程的重要内容。共安排 4 个数值实验大作业，包括：求解五点差分格式的快速 Fourier 方
偏微分方程数值解-上海交通大学数学系
1．椭圆型方程的差分方法：从一个简单例子谈起; 求解矩形域上 Poisson 方程
的五点差分方法的构造；二维情形离散极值原理和最大模估计；五点差分方 法的收敛性分析；求解五点差分方法的迭代方法和快速方法；矩形域上 Poisson 方程九点差分格式构造方法；Matlab 介绍。 （A5，B2，B3，C4）
2．发展方程有限差分法的基本概念和理论：发展方程差分方法的构造；差分格
式的抽象描述；差分格式研究的基本概念：相容性，截断误差，收敛性和稳 定性；稳定性判别的 Fourier 方法，Von-Neumann 条件；两层和多层差分 格式的稳定性分析； 差分格式稳定性的其它研究方法和差分格式构造的其它 方法。（A5，B2，B3）
偏微分方程数值解课程教学大纲
课程基本信息（Course Information） 课程代码 （Course Code） *课程名称 （Course Name） 课程性质 (Course Type) 授课对象 （Audience） 授课语言 (Language of Instruction) *开课院系 （School） 先修课程 （Prerequisite） 授课教师 （Instructor） MA3152 /MA309 *学时 （Credit Hours） 64 *学分 （Credits） 4
6．有限元离散方法： 一维问题的有限元方法；子结构方法编程；理论分析（误
差估计与有限元线性代数方程组性质）； 二维问题有限元方法简介。（A5， B2，B3，C4）
elliptic problems in arbitrary domains. The numerical performance of the core algorithms mentioned will be exhibited in class to illustrate their intuitive effect and practicability. With the practice as a highlight of the course, the students must accomplish several project reports. 课程教学大纲（course syllabus）
偏微分方程数值解讲义教学设计
偏微分方程数值解讲义教学设计1. 课程简介本课程是针对大学数学及计算机专业的高年级本科生或研究生开设的，旨在介绍偏微分方程数值解方法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
本课程的学习目标是掌握偏微分方程数值解的基础理论和常用方法，以及了解数值解的数学原理和应用场景，并能够扩展应用所学知识解决相关实际问题。
2. 教学内容2.1 引言•偏微分方程的概念、分类和基本理论；•数值解的概念和分类，数值解的误差理论。
2.2 有限差分法•一维抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限差分格式；•非线性偏微分方程的数值求解；•高维问题的数值求解。
2.3 有限元法•一维线性抛物方程、波动方程、椭圆方程的有限元求解方法；•二维和三维问题的有限元求解方法；•有限元法的加权残差方法和变分原理。
2.4 谱方法•调和方程的分离变量方法和Fourier级数解法；•Laplace方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法；•泊松方程的Fourier级数解法和离散正交函数解法。
3. 教学手段3.1 讲课本课程采用讲课和练习相结合的方式，通过讲解理论知识和数值计算实例，并基于MATLAB或Python等数值计算软件进行演示。
3.2 练习结合课程中的实例，进行数值计算作业和课程项目的设计，以提高学生的理论知识和计算能力。
4. 教材教材推荐：•Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods by G. D. Smith •Finite Element Method: A Practical Course by C. S.Chen5. 教学评估学生的教学成绩考核由以下三部分组成：•期中考试（占成绩的30%）；•期末考试（占成绩的50%）；•课程设计作业（占成绩的20%）。
6. 教学进度内容讲课时间引言2课时有限差分法（一）6课时有限差分法（二）6课时有限差分法（三）4课时有限元法（一）6课时有限元法（二）6课时有限元法（三）4课时谱方法6课时课程设计作业4课时或更多7. 总结本文介绍了一个偏微分方程数值解讲义的教学设计，包括课程简介、教学内容、教学手段、教材、教学评估和教学进度等方面的内容。
偏微分方程数值解法教学大纲
《偏微分方程数值解》课程教学大纲Numerical Solution of Partial Differential Equation课程代码： 课程性质：专业基础理论课/选修适用专业：信息计算开课学期：7总学时数：48总学分数：3编写年月：2003年3月修订年月：2007年7月执笔：王琦一、课程的性质和目的《偏微分方程数值解法》是计算数学专业的一门重要专业基础课。
它不仅对学生今后从事科研具有居高临下的指导作用，而且对于学习其它后继课程和解决一些实际问题都是一门重要的工具，同时对于训练思维能力起着很大作用。
本大纲是根据教育改革发展和面向二十一世纪高等数学专业课程设置和教学内容改革的要求，针对培养目标的需要进行设计的。
二、课程教学内容及学时分配第一章常微分方程初值问题10学时第二章变分原理8学时第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法10学时第四章离散方程的解法8学时第五章抛物型方程和双曲型方程12学时第一章常微分方程初值问题1.1 引论1.2 Euler方法和线形多步方法1.3 稳定性，收敛性和误差估计1.4 预估—校正算法1.5 Runge—Kutta方法第二章常微分方程初值问题2.1 二次函数的极值2.2 二阶椭圆边值问题2.3 Ritz方法第三章椭圆型方程----有限差分法和有限元法3.1 差分逼近的基本概念3.2 一维差分格式，矩形网和三角网差分格式3.3 极值定理3.4 解一维问题的线形元及误差估计3.5 解二维问题的矩形元和三角形元3.6 有限元方程3.7 收敛阶的估计第四章离散方程的解法4.1 离散方程的基本特征4.2 追赶法与迭代法4.3 超松弛法4.4 共轭斜量法第五章抛物型方程和双曲型方程5.1 稳定性与收敛性5.2 分离变量法5.3 差分格式的应用5.4 交替方向隐格式5.5 线形双曲型方程的差分逼近5.6 拟线形双曲型方程组5.7 基本定解问题和特征线法5.8 特征差分格式四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程。
(完整word版)偏微分方程数值解课程设计
课程设计报告课程：偏微分方程数值解学号：姓名：班级：教师：《偏微分方程数值解》课程设计指导书一.课程设计的目的1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。
2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。
3.锻炼编写程序代码的能力。
二.设计名称差分法求自由振动问题的周期解。
三.设计要求1.要求写出差分隐格式的理论方法。
2.要求编写matlab 程序，画出函数图形。
3.要求写出实验总结及心得体会。
四.设计题目用差分法求自由振动问题的周期解：2222000,,0|0,|sin (0,)(2,)t t u ux t t x u u x t u t u t π==⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎪∂⎪==⎨∂⎪=⎪⎪⎩要求用差分隐格式求解，其中14θ=。
五.设计细则 1.区域剖分：构造上式的差分逼近，取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线⎩⎨⎧===±±===,2,1,0,,,2,1,0,n n t t j jh x x n j τ 作矩形网格。
2.离散格式：显格式：于网点),(n j t x 用Taylor 展式，并整理方程得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--++=+-++==-+-++-12112110210102100)1(2)(),()()1()]()([2),(n j n j n j n j n j j j j j j j j u u r u u r u x x r x x r u x u τϕϕϕϕϕ隐格式：上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第1-n 层、n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ，得到下列差分格式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2),()()1()]()([2),(211111211211111221110210102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττϕϕϕϕϕ其中10≤≤θ是参数。
《偏微分方程》课程教学大纲
《偏微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16002102课程名称：偏微分方程英文名称：Partial Differential Equations课程类别：专业课学时：32学分： 2适用对象: 数学与应用数学、信息与计算科学考核方式：考查先修课程：数学分析、常微分方程、高等代数二、课程简介偏微分方程是以建立数学模型、进行理论分析和解释客观现象并进而解决实际问题为内容的一门数学分支学科，是现代数学的一个重要分支。
它在微分几何、物理学、计算数学和计算机图形学、金融数学等学科中都有许多重要应用。
本课程主要内容包括：偏微分方程的基本概念，二阶方程的特征理论和分类，分离变量法，双曲型、抛物型及椭圆型方程的求解方法及基本理论。
通过本课程的学习使学生初步认识如何从实际问题出发建立微分方程模型，培养学生分析问题和解决某些实际问题的能力，为日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具。
Partial differential equation is a branch of mathematics that establishes mathematical models, analyzes and interprets objective phenomena and then solves practical problems, is an important branch of modern mathematics. It also has many important applications in differential geometry, physics, computational mathematics and computer graphics, financial mathematics and other disciplines. The main contents of this course include: the basic concept of partial differential equation, the characteristic theory and classification of the second order equations, the method of separation of variables, the methods of solving hyperbolic，parabolic and elliptic equations and the basic theory of them. Through learning of this course makes students to know how to establish a differential equation model starting from the practical problems, to cultivate students' ability to analyze problems and solve some practical problems, lay a solid foundation for future study and work and provide a powerful tool.三、课程性质与教学目的课程性质：专业选修教学目的：偏微分方程是数学专业的一门重要专业课程。
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4.抛物型方程的差分方法：常系数抛物型方程差分格式； 初边值问题第一类边值问题；第三类边值问题；对流扩散方程数学模型与差分格式；扩散方程差分格式的Richardson外推法；二维抛物方程问题一维情形的直接推广；交替方向隐式格式；分数步方法。（A5，B2，B3，C4）
*教材或参考资料(Textbooks& Other Materials)
教材：陆金甫、关治，偏微分方程数值解法(第二版)，清华大学出版社，2004。参考书：
1.李治平，偏微分方程数值解讲义，北京大学出版社，北京，2010
2.R.J．LeVeque，Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-state and Time-dependent Problems, SIAM, Philadelphia, 2007。
课
习题与
Matlab编程
完成要求
书面作业
和大作业
抛物型方程的差
分方法
10
面授
习题
完成要求
书面作业
变分原理
8
面授
习题
完成要求
书面作业
有限元离散方法
10
面授
习题与
Matlab编程
完成要求
书面作业
和大作业
*考核方式(Grading)
20%（平时成绩和随堂练习）+30%（课程大作业）+50%（期终考试）20%（Homework and Quizzes）+30%（Projects）+50%（Final examination）
课程性质
(Course Type)
专业选修课B组
授课对象
（Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of Instruction)
中文
*开课院系
（School）
数学系
先修课程
（Prerequisite）
偏微分方程，科学计算（I）
授课教师
（Instructor）
黄建国
课程网址
(Course Webpage)
*课程简介（Description）
Throughstudyingthecourse,thestudentsmustbeabletounderstandthe basicmethods,basicprinciplesandbasictheoriesaboutnumericalmethods forpartialdifferentialequations.Theteachingguidelineemphasizesthe combination of mathematical modeling, algorithm design, theoretical analysisandnumericalsimulation,inordertostrengthenthestudents’ abilitytoworkoutreal-worldproblemsbyvirtueofcomputers.Thecourse mainly covers the following knowledge points: the construction of difference methods for elliptic, parabolic and hyperbolic problems; fundamentaltheoriesofconvergenceandstabilityanalysisfordifference methods;introductiontovariationalprincipleswithapplications;
课程教学大纲（course syllabus）
学习目标
1.椭圆型方程的差分方法：从一个简单例子谈起; 求解矩形域上Poisson方程的五点差分方法的构造；二维情形离散极值原理和最大模估计；五点差分方法的收敛性分析；求解五点差分方法的迭代方法和快速方法；矩形域上Poisson方程九点差分格式构造方法；Matlab介绍。（A5，B2，B3，C4）
3.S.C. Brenner and L.R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods (ThirdEdition),Springer,NewYork,2008。
其它
（More）
备注
（Notes）
备注说明：
1.带*内容为必填项。
5.变分原理：几个变分问题；变分问题的Euler-Lagrange方程与守恒定律；二次函数极值问题；一维问题变分原理及其价性； 二维问题变分原理及等价性；变分问题的近似计算。（A5，B2，B3，C4）
6.有限元离散方法： 一维问题的有限元方法；子结构方法编程；理论分析（误差估计与有限元线性代数方程组性质）； 二维问题有限元方法简介。（A5，B2，B3，C4）
2.发展方程有限差分法的基本概念和理论：发展方程差分方法的构造；差分格式的抽象描述；差分格式研究的基本概念：相容性，截断误差，收敛性和稳定性；稳定性判别的Fourier方法，Von-Neumann条件；两层和多层差分格式的稳定性分析；差分格式稳定性的其它研究方法和差分格式构造的其它方法。（A5，B2，B3）
variationalprinciplesforellipticproblems;finiteelementmethodsfor
ellipticproblemsinarbitrarydomains.Thenumericalperformanceofthe corealgorithmsmentionedwillbeexhibitedinclasstoillustratetheir intuitiveeffectandpracticability.Withthepracticeasahighlightof the course, the students must accomplish several projectreports.
*教学内容、进度安排及要求
(Class Schedule
&Requirements)
教学内容
学
时
教学方式
作业及要求
基本要求
考查方式
椭圆型方程的差
分方法
10
面授与实验
课
习题和
Matlab编程
完成要求
书面作业
和大作业
发展方程有限差
分法的基本概念和理论
16
面授
习题
完成要求
书面作业
双曲型方程的差
分方法
10
面授与实验
邮箱：jghuang@
*课程简介（Description）
通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。本课程将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程差分方法的构造方法，以及相应的收敛性分析和稳定性分析理论。介绍变分法基础并给出椭圆型方程边值问题的变分原理，在此基础上介绍求解任意区域上椭圆型方程的有限元方法。将在课堂上演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。
偏微分方程数值解课程教学大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码
（CourMA309
*学时
（Credit Hours）
64
*学分
（Credits）
4
*课程名称
（Course Name）
（中文）偏微分方程数值解
（英文）Numerical Methods for Partial Differential Equations
2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限。