最优化线性规划 (1)(1)

引 言
任何一项工程设计都要进行定量分析，选取 合适的参数，从原则上讲，其中都有相应的 优化问题，由此可见最优化方法应用研究的 广泛性。在近代工程设计中，优化设计是一 个新的方向。就是以快速电子计算机为工 具，使用现代最优化进行的设计。 在实际工程上，常有“上机5分钟，节约千万 元”的事例。

引 言
1、LP的标准形式
min f cx Ax b （1） x 0
c-价值系数 b-资源约束向量 A-资源消耗矩阵 x-决策变量向量 注：一般线性规划问
题的标准化
解的概念：
1）任何一组满足约束条件的解称为可
1.3两个变量线性规划问题的图解法
例1 max
线性规划问题的图解法

图解法的一些结论
x2
例4 max z 3 x1 x 2
x1 x 2 1 x1 x 2 1 x1 , x 2 0
0
x1

这组约束条件所决定的 4个半平面的交集是 空集，没有可行解
由以上例子的讨论可以看出：两个变量的线 性规划问题的解可能有以下4种情况 1 ）有唯一最优解，且是可行解集合 R 的一个 顶点 2 ）有最优解，但不唯一，且是可行解集合 R 的一条边（线段） 3）有可行解，但没有最优解 4）没有可行解（可行域是空集） 一般线性规划问题也有上述类似的结论。
引 言
最优化方法
Methods of Optimization
河海大学理学院
丁根宏
由于现代化生产和科学技术的飞速发展，客 观世界中的问题越来越复杂，要求越来越 高，许多问题用传统的数学方法，已难以解 决，因而迫切需要新的数学理论和新的数学 方法。 最优化方法是在生产斗争的科学实验中选取 最佳决策的一门学科，它已广泛地应用于空 间技术、军事科学、系统辨识、无线通讯、 光学系统、计算数学、工程设计、自动控制、 资源分配、经济管理等方面。

2
问题的分析

这类问题的共同特征：
(1)都有一组决策变量 (x1, x2,…,xn)表示某一 方案，一般是非负的 (2) 存 在 一 定 的 约 束 条 件 ， 可 用 线 性 等 式 （不等式）来表示 (3) 都有一个要求达到的目标，它可用决策 变量的线性函数（称目标函数）来表示，按 问题的不同，要求目标函数实现最大化或最 小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划 （LP）的数学模型。

4
解的概念
4）基本可行解
§2线性规划问题的基本定理
2．1基本概念 凸集：设R是n维欧氏空间的一点集，若任意 两点 x(1),x(2)∈R 的连线上的一切点αx(1)+(1α)x(2)∈R，(0≤α≤1)则称R为凸集 凸组合：设 x(1),x(2) ， … ， x(k) 是 n 维欧氏空间 En 的 k 个点，若存在α k 1 ，α2 ， … ，αk ，且 i 1 ,i=1,2,…,k,使 0≤αi≤1， i 1 x=α1x(1)+α2x(2)+…+αkx(k) 则称x为x(1),x(2)，…，x(k)的凸组合

1．4 线性规划问题的解的概念
1）可行解
解的概念

满足约束条件的解。 2 ）最优解 使目标函数达到最小 （或最大）值的可行解。
3）基本解 考虑Ax=b 其中A是mn维系数矩 阵，R(A)=m，设A=(P1,P2,…,Pn) n Ax=b可写为 x P b

j 1
j
j
在A中选m个线性无关的列向量，不妨设 P1,P2,…,Pm 线性无关，称它们是线性规划的一 组基，基对应的变量x1,x2,…,xm称为基变量，其 它的变量则称为非基变量。 在选定一组基后，令非基变量都取零，则方程 可唯一确定基变量的值，将此解x称为基本解。

美国科学、工程和公共事务委员会数学组 1983 年在一份报告中所写的如下一段话： “ 我们必须说明数学规划所发生的影响，线 性规划是为解决二次大战中的后勤供应问题 而产生的。（ 1947 ， G.B.Dantzig ）单纯形 方法的提出及其在初期成功的应用，使得能 用线性规划解决的问题的类型先是缓慢地， 但接着就是急速地增加，线性规划成为几乎 所有的商业活动、工业生产和军事行动的一 个组成部分，由于在设计和操作过程中应用 了线性规划，已经节省了亿万元”。


问题的提出
某工厂在计划期内要安排I 、 I I两种产品，已知生 产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗，如下表： I II 资源总量 设备 1 2 8台时 原料A 4 0 16kg 原料B 0 4 12kg 该工厂每生产一个单位产品I可获利2元，每生产一 个单位产品II可获利3元。问应如何安排计划，使 该工厂获利最多？
Programming） 是最优化方法中理论完整、方法成熟、 应用广泛的一个分支。它本身在实际 问题中有许多直接应用，而且为某些 非线性规划问题的解法起到间接作用。
1
线性规则

§1线性规划问题及其数学模型
1．1问题的提出 例 1 ．要从甲地调出煤炭 2000 吨，从乙地调 出煤炭 1100 吨，分别供应 A 地 1700 吨， B 地 1100 吨， C 地 200 吨， D 地 100 吨，已知每吨 运费如下表：（单位：元） A地 B地 C地 D地 21 25 7 15 甲地 51 51 37 15 乙地 采取何种调拨方案，使运费最省？
行解 2）凡使目标函数达到最小值（最大值） 的可行解称为最优解
2 x1 x2 2 x1 2 x2 2 x x 5 2 1 x1, x2 0
z x1 x2
x2
A
-2x1+x2=2
B
R
x1-2x2=2 x1 x1+x2=5
o
A点为最优解，其坐标为（1，4） f(1,4)=-1+4=3为最大值

引进变量构造数学模型 设x1, x2 分别表示在计划期内产品I、II的产 量，则数学模型为 目标函数为max z=2x1+3x2 满足约束条件x1+2x2≤8 4x1≤16 4x2≤12 x1, x2≥0
其一般形式：
max(min) z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n ( , )b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , )b2 ................................................... a m 1 x1 a m 2 x 2 ... a mn x n ( , )bm x1 , x 2 ,..., x n 0
5
基本定理

基本定理


(2) 再证基可行解是可行域的顶点，设 x 是一个基可行 解， x=(x1,x2,…,xk,0,…,0)T, xi>0, i=1,2,…,k, （反证法）若x不是可行域的顶点，故可在R中找到不同 的两点x(1)，x(2)， 使x=αx(1)+（1-α）x(2),（0<α<1）, k k (2) 当j>k时，xj=xj（1）=xj（2）=0，且有， Pj x (j1) b , Pj x j b

既是基本解又是可行 解。 5）最优基可行解 使目标函数达到最小 （或最大）值的基本可行解。
可 行 解 En
基 可 行 解
基 本 解
基本概念
顶点（极点）：设 R 是凸集， x∈R ；

2．2基本定理
定理1 若LP存在可行域，则其可行解集是凸 集。 证：设其可行解集为R，在R中任取两点x(1) 和 x(2) （ x(1)≠x(2) ），则有 Ax(1)=b ， Ax(2)=b, x(1)≥0,x(2)≥0 令 x 为 线 段 x(1),x(2) ， 上 的 任 一 点 ， 即 x=αx(1)+(1-α)x(2)∈R，(0≤α≤1) 则Ax=A[αx(1)+(1-α)x(2)]=αAx(1)+(1-α)Ax(2) =αb+(1-α)b=b 且x=αx(1)+(1-α)x(2)≥0 ∴R是凸集。
若x不能用不同的两点x(1)∈R和x(2)∈R 的线性组合表 示为 x=αx(1)+(1-α)x(2), (0<α<1) 则称x为R的一个顶点 如：三角形的三个顶点；实心圆圆周 上的任一点等
基本定理
引理1
基本定理


LP问题的可行解x=(x1,x2,…,xn)T 为基可行解的充要条件是x的正分量所 对应的列向量是线性无关的。
问题的分析
让甲地的 2000 吨分别供应给 A 地 1700 吨、 C 地200吨、D地100吨，让乙地的1100吨全部 供给B地，此时运费为94700元 但如果让甲地的2000吨分别供应给A地 1700 吨、 B 地 100 吨、 C 地 200 吨，让乙地的 1100 吨全部供给B地1000吨、D地100吨，此时运 费为92100元 后一种方案要比前一种节省2600元

问题的分析
问：还有没有更好的调拨计划呢？ 设这样一个调拨计划，用 x11,
x12, x13, x14 分别表示从甲地调往 A 、 B 、 C 、 D 四地，用x21, x22, x23, x24分别表示从乙 地调往 A 、 B 、 C 、 D 四地的煤炭数量。
问题的分析
写出数学形式，即 x11+ x12+ x13+ x14=2000 x21 +x22+x23+ x24 =1100 x11+ x21=1700 x12+ x22=1100 x13+ x23=200 x14+ x24=100 xij≥0, i=1,2, j=1,2,3,4 并 且 使 f=21x11+ 25x12+7x13+15x14+51x21 + 51x22 + 37x23 + 15 x24 达到最小。
3
线性规划问题的图解法
例2
线性规划问题的图解法
y 例3
max z 4 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 x1 2 x 2 2 x x 5 2 1 x1 , x 2 0
x2
A
-2x1+x2=2
B
R
x1-2x2=2 x1 x1+x2=5
定理2.பைடு நூலகம் LP的基可行解对应于可行域R的顶点
证：（1）先证可行域R的顶点是基可行解 （反证法）若x不是基可行解（是可行解，否则已不是顶点），不 妨设其正分量所对应的系数列向量为 P1,P2,…,Pk ，则它们线性相 关，即存在一组不全为零的数y1,y2,…,yk，使得 y1P1+y2P2+…+ykPk=0 记y=(y1,y2,…,yk,0,…,0)T, 则Ay=0 .…………………………..………(2) 又Ax=b ……………………………………(3) 取ε>0，作(3)±ε(2)，则A(x±εy)=b x(2)=x-εy 令x(1)=x+εy, ∵xi>0,i=1,2,…,k, 当ε充分小时，可保证x(1)≥0，x(2)≥0 ∴x(1)，x(2)是可行解 而x=(x(1)+x(2))/2，故x不是R的顶点，矛盾。
o
min f 2 x1 x 2 x1 x2 1 x1 3 x 2 3 x1 , x 2 0
x1-3x3=-3 R o x1+x2=1 x
A（1，4），B（0，2）的连线都为最优解 max z=4


说明f= -2x1+x2在集合R上无下界
最优化方法包括的内容很广泛，如：
线性规划、非线性规划、动态规划、 整数规划、组合优化、多目标规划等。
最优化方法参考书目

第1章 线性规则
线性规划（Linear
1．实用最优化方法(第三版) 唐焕文、秦学志编 大连理工大 学出版社 2004年1月 2．最优化方法 解可新、韩立兴、林友联 天津大学出版社 2003年 3．运筹学与最优化方法 吴祈宗编 机械工业出版社 2005年 4．最优化方法及其Matlab程序设计 马昌凤 科学出版社 2010年 5．数学规划引论 魏权龄、王日爽、徐兵 北京航空航天大 学出版社 1991年 6．非线性规划 陈开明 复旦大学出版社 1991年 7．非线性规划——分析与方法 阿佛里尔.M 李元熹等译 上 海科学技术出版社 1979年 8．最优化技术 邓先礼 重庆大学出版1998年