【免费下载】三次函数的零点问题

三次函数的零点问题

1、(2006全国卷Ⅱ)设a 为实数,函数

.)(2

3

a x x x x f +--=(Ⅰ)求的极值.

)(x f (Ⅱ)当a 在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.

x x f y 与)(=解：(I)=3－2－1

'()f x 2x x 若=0，则==－，=1'()f x x 1

3

x 当变化时，，变化情况如下表：

x '()f x ()f x x (－∞，－)13－13(－，1)1

3

1

(1，+∞)

'()f x +0－0+

()f x A 极大值A

极小值A

∴的极大值是，极小值是()f x 15

()327

f a -=+(1)1

f a =-(II)函数322()(1)(1)1

f x x x x a x x a =--+=-++-由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线()f x ()f x =与轴至少有一个交点

y ()f x x 结合的单调性可知：()f x 当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线()f x 527a +5

(,27

a ∈-∞-=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。

y ()f x x 当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=

()f x a a ∈y 与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。

()f x x 1

3

∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点

5

(,)27

a ∈-∞-y ()f x x 2、（2009江西卷文）（本小题满分12分）

设函数3

2

9()62

f x x x x a =-

+-．（1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；

（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围．

解：(1) '2

()3963(1)(2)f x x x x x =-+=--,

因为(,)x ∈-∞+∞,'()f x m ≥, 即 2

39(6)0x x m -+-≥恒成立,

所以 8112(6)0m ∆=--≤, 得34m ≤-

，即m 的最大值为3

4

-

(2) 因为 当1x <时, '

()0f x >;当12x <<时, '

()0f x <;当2x >时, '

()0f x >;

所以 当1x =时,()f x 取极大值 5

(1)2

f a =-;

当2x =时,()f x 取极小值 (2)2f a =-;

故当(2)0f > 或(1)0f <时, 方程()0f x =仅有一个实根. 解得 2a <或5

2

a >

.3、已知函数，x 其中a>0.a ax x a x x f ---+=

232

131)(∈R （I ）求函数的单调区间；

)(x f （II ）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围；

)(x f （III ）是否存在常数a ，使得函数在区间（-2，0）内恰有一个零点，若存在，求a 的

)(x f 取值范围，若不存在，说明理由；

【答案】

4、（2009陕西卷文）（本小题满分12分）

已知函数3

()31,0

f x x ax a =--≠

()I 求()f x 的单调区间；

()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =

的图象有三个不同的交点，求

m 的取值范围。

解析：（1）'22

()333(),

f x x a x a =-=-当0a <时，对x R ∈，有'

()0,

f x >当0a <时，()f x 的单调增区间为(,)

-∞+∞

当0a >时，由'

()0f x >解得x

由'

()0f x <解得x <<

当0a >时，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；()f x 的单调减区间为

(。

（2）因为()f x 在1x =-处取得极大值，

所以'

2

(1)3(1)30, 1.

f a a -=⨯--=∴=所以3

'

2

()31,()33,

f x x x f x x =--=-由'

()0f x =解得121,1x x =-=。

由（1）中()f x 的单调性可知，()f x 在1x =-处取得极大值(1)1f -=，

在1x =处取得极小值(1)3f =-。

因为直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，又(3)193f -=-<-，

(3)171f =>，

结合()f x 的单调性可知，m 的取值范围是(3,1)-。

5、【2102高考福建文12】已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：

①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0.

其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

12.【答案】C ．

【解析】，令则或

9123)(',96)(2

2

3

+-=∴-+-=x x x f abc x x x x f 0)('=x f 1=x