一、口算三次函数零点与极值点
三次函数的图象与性质
解：（1）由原式，得 = 3 − 2 − 4 + 4，
∴ ′ = 3 2 − 2 − 4.
1
1
（2）由′ −1 = 0，得 = 2.此时有 = ( 2 − 4)( − 2)，
′ = 3 2 − − 4.
4
令′ = 0，得 = 3或 = −1
= −
求导：’ = 3 2 − 3 = 3( + 1)( − 1)
令’ = 0，则 = ±1.
列表：
−∞, −
−
−,
, +∞
’
+
0
−
0
+
增
极大
减
极小
增
y
y
o
−1
x
1
′ 图象
x
o
−1
1
图象
探究二：三次函数 = 3 + 2 + + ( ≠ 0)在R上
2 + 12 ≤ + 6,
由题意可知，1 ≥ −2， 2 ≤ 2，即൝
2 + 12 ≤ 6 − .
解不等式组，得−2 ≤ ≤ 2.
优解：因为′ = 3 2 − 2 − 4的图象是开口向上且过点(0,4)
的抛物线，
4 + 8 ≥ 0,
由条件，得′ −2 ≥ 0, ′ 2 ≥ 0,即ቊ
解：（1） ′ = 3 2 − 3 = 3( 2 − )
当 < 0时，对，有′ > 0，所以 的单调增区间为(−∞, +∞)；
当 > 0时，由′ > 0，解得 < − 或 > ；由′ < 0，解得− < <
湘教版 学案 三次函数的性质 单调区间和极值
3．3.3三次函数的性质：单调区间和极值1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．2．会求某闭区间上函数的最值．极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．三次函数的导数零点与其单调区间和极值设F(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，F′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)．填写下表：当a>0时，当a<0时，要点一求三次函数的单调区间和极值点例1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝2x3＋3x2＋6x＋1；(2)f(x)＝－2x3＋9x2－12x－7.解(1)f′(x)＝6x2＋6x＋6＝6(x2＋x＋1)．由于f′(x)恒正，∴f(x)在(－∞，＋∞)上递增．无极值点．(2)f′(x)＝－6x2＋18x－12＝－6(x2－3x＋2)＝－6(x－1)(x－2)．∴f′(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上均为负，在(1,2)上为正，∴f(x)在(－∞，1)和(2，＋∞)上递减，在(1,2)上递增，∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2为其极大值点．规律方法对此类题目，只要理解了f′(x)的符号对函数f(x)取极值的影响，所有问题便迎刃而解，所以重要的是方法的领悟．跟踪演练1求下列函数的单调区间和极值点：(1)f(x)＝－x3＋x2－x；(2)f(x)＝x3－12x2－2x－5.解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋2x －1， ∵Δ＝22－4×(－3)×(－1)＝－8<0， 又∵－3<0，∴f ′(x )<0恒成立． 故函数f (x )在R 上单调递减且无极值点． (2)f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0⇒x ＝1或x ＝－23. 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以f (x )的递增区间为(－∞，－23)和(1，＋∞)，f (x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1.根据f (x )的单调性及f ′(x )＝0的零点知x ＝1为函数f (x )的极小值点，x ＝－23为其极大值点．要点二 含参数的函数的最值问题例2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )，求f (x )在区间上的最大值． 解 ∵f (x )＝x 2(x －a )，∴f ′(x )＝x (3x －2a )． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝2a 3. 当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 3，2上单调递增，从而f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (0<a ≤2)，0 (2<a <3)，综上所述，f (x )max ＝⎩⎨⎧8－4a (a ≤2).0 (a >2)，规律方法 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．跟踪演练2 在本例中，将区间改为结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0； ②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在上单调递减， 从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，23a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，0上单调递减，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＝－427a 3.综上所述：f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.要点三 函数极值的应用例3 设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(x ∈R ，t ＞0)． (1)求f (x )的最小值h (t )；(2)若h (t )＜－2t ＋m 对t ∈(0,2)恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(x ∈R ，t ＞0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取最小值f (－t )＝－t 3＋t －1， 即h (t )＝－t 3＋t －1.(2)令g (t )＝h (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m ，由g ′(t )＝－3t 2＋3＝0得t ＝1，t ＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：maxh(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)规律方法(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪演练3设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，(1)若对任意的x∈，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．(2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围．解(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．∴当x∈(0,1)∪(2,3)时，f′(x)>0；当x∈(1,2)时，f′(x)<0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c 的取值范围为(－∞，－19，＋∞)．1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3)答案 B解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈时，f ′(x )<0， 故f (x )在上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)． 2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值答案 D解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1答案 C解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，则函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π，故选C.4．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间上的最大值为10，则其最小值为________．答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.1．求函数的最值时，应注意以下几点(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值．开区间(a，b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)．2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解．3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．。
初中数学教案三次函数的图像与性质
初中数学教案三次函数的图像与性质三次函数是中学数学中的一个重要知识点，它具有独特的图像和性质。
本教案将以图像为线索，详细介绍三次函数的特点和性质，帮助学生深入理解和掌握这一概念。
一、三次函数的基本形式三次函数的一般形式为：$y = ax^3+bx^2+cx+d$，其中$a,b,c,d$为实数且$a\neq0$。
二、三次函数的图像为了研究三次函数的图像，我们将从以下几个方面进行讲解。
1. 零点与轨迹在$x$轴上，三次函数的零点对应的是方程$ax^3+bx^2+cx+d=0$的解。
解方程的方法是通过因式分解、配方法、求根公式等来求得。
2. 极值点与拐点三次函数的极值点和拐点可以通过求导数的方法得到。
求解导函数$y' = 3ax^2+2bx+c$，令其等于零，即可求得极值点和拐点的横坐标。
然后再代入原函数中，求得对应的纵坐标。
3. 对称性三次函数具有奇函数的对称性，即$f(-x) = -f(x)$。
这意味着如果某一点$(x_0, y_0)$在图像上，那么点$(-x_0, -y_0)$也在图像上。
三、三次函数的性质除了图像特点之外，我们还需要讲解三次函数的其他性质，包括：1. 定义域和值域三次函数的定义域为全体实数。
值域则需要通过观察图像或者进行计算得到。
2. 单调性三次函数的单调性与系数$a$的正负有关。
当$a>0$时，函数单调递增；当$a<0$时，函数单调递减。
3. 凹凸性通过分析二阶导函数$y''=6ax + 2b$的正负，可以判断三次函数的凹凸性。
当$y''>0$时，函数凹；当$y''<0$时，函数凸。
4. 渐近线对于三次函数而言，它可能有水平渐近线、垂直渐近线以及斜渐近线等。
通过求解极限或观察图像，可以确定渐近线的方程。
四、教学实例与练习为了帮助学生更好地掌握三次函数的图像和性质，我们可以设计一些教学实例和练习题，如：1. 画出函数$y=2x^3-3x^2-12x+5$的图像，并求出其所有零点和拐点的坐标。
九年级数学三次函数知识点
九年级数学三次函数知识点数学是一门既让人头疼又让人着迷的学科。
而在九年级数学的课程中，三次函数是一个极为重要的部分。
无论是在解题还是应用中，掌握三次函数的知识都是至关重要的。
本文将为大家详细介绍九年级数学中三次函数的一些重要知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。
首先，我们来了解一下什么是三次函数。
三次函数又称为三次多项式函数，它的一般形式可以表示为 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数，且a ≠ 0。
在这个表达式中，x是自变量，f(x)是因变量。
三次函数的特点是，它的最高次数项是 x^3，即三次幂。
接下来，我们来讨论三次函数的图像特点。
对于任何一个三次函数，它的图像都是一条连续的曲线。
而这条曲线的整体形态将受到函数的各个系数的影响。
首先，当 a 的值为正时，曲线的开口将朝上；当 a 的值为负时，曲线的开口将朝下。
其次，当 b 的绝对值较大时，曲线将有一个较为明显的弯曲度；而当 b 的绝对值较小时，曲线将更加平缓。
此外，c 的正负也将对曲线的位置产生影响，当 c 的值为正时，曲线将向左平移；当 c 的值为负时，曲线将向右平移。
最后，d 表示函数的纵坐标偏移量，它决定了曲线与 y 轴的交点位置。
在解三次函数的问题中，常常需要求解它的零点。
零点即是函数 f(x) = 0 的解，也就是函数与 x 轴相交的点。
求解一个三次函数的零点通常可以使用因式分解法、配方法和根、系数关系等方法。
其中，因式分解法是最常见的方法。
我们可以将三次函数因式分解为一个一次函数和一个二次函数的乘积，然后再求解出它们的零点。
另外，当我们已经知道一个零点时，可以使用余因子定理求得另外两个零点。
通过这些方法，我们可以准确地求解出三次函数的所有零点。
除了求解零点之外，还有一类与三次函数相关的问题是关于图像的变化过程。
我们可以通过观察函数的系数来得出一些推论。
比如，当a 的绝对值较大时，曲线的上升和下降过程将更为剧烈；而当a 的绝对值较小时，曲线的变化过程将相对缓和。
三次函数零点个数的判别
三次函数零点个数的判别
三次函数零点个数的判别是数学中一个重要的概念，它是指三次函数的零点的个数。
三次函数是指一个函数的形式为f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其中a,b,c,d为常数，x为变量。
三次函数零点的个数可以通过判别式来判断，判别式为：D=b^2-3ac。
如果D>0，则三次函数有一个零点；如果D=0，则三次函数有三个相同的零点；如果D<0，则三次函数有三个不同的零点。
三次函数零点的个数的判别可以用来解决很多数学问题，比如求解三次函数的极值问题，求解三次函数的拐点问题等。
此外，三次函数零点的个数的判别还可以用来分析函数的性质，比如判断函数是否是增函数、减函数或者是抛物线等。
总之，三次函数零点的个数的判别是一个重要的概念，它可以用来解决很多数学问题，也可以用来分析函数的性质。
一个三次函数的解题方法与技巧
一个三次函数的解题方法与技巧引言三次函数是一种常见的数学函数形式，其方程为y = ax^3 + bx^2 + cx + d。
解三次函数可以帮助我们找到函数的根、极值以及曲线的行为。
本文将介绍一些解三次函数的方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决相关问题。
方法一：因式分解当三次函数的形式比较简单，并且存在因式分解的可能时，我们可以尝试使用因式分解的方法来解题。
通过因式分解，我们可以将三次函数拆解成若干个一次因子与一个二次因子相乘的形式，从而更容易找到函数的根。
方法二：求导数与极值对于三次函数，我们可以通过求导数的方法找到函数的极值点。
通过求函数的一阶导数和二阶导数，并令导数等于零，我们可以求得函数的极值点和曲线的转折点。
方法三：图像分析与差值法利用数学软件或手绘曲线图，我们可以通过观察曲线的特征来了解函数的行为。
通过分析曲线的上升段、下降段以及拐点，我们可以推断函数的根和极值点的位置。
此外，还可以运用差值法，通过代入特定值来估算函数的零点。
方法四：牛顿法和二分法如果以上方法无法解决问题，我们可以尝试使用数值计算的方法。
牛顿法和二分法是两种常用的数值计算方法，可以较快地逼近函数的根。
牛顿法通过迭代计算函数的切线与x轴的交点，逐步逼近根的位置。
二分法则通过不断将区间一分为二，判断根位于哪一半区间内，逐步逼近根的位置。
总结解三次函数的方法与技巧多种多样，我们可以根据题目的不同特点和要求选择合适的方法来解决问题。
因式分解、求导数与极值、图像分析与差值法以及数值计算方法都是常用的解题手段，但需要根据具体情况选择合适的方法。
希望本文的介绍对读者在解题过程中有所帮助。
三次函数的像与性质
三次函数的像与性质三次函数是一类常见的函数，它的函数表达式为y=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c和d为任意常数且a≠0。
本文将围绕三次函数的像与性质展开探讨。
一、三次函数的像三次函数的像指的是函数的取值范围，也称为函数的值域。
为了确定三次函数的像，我们可以通过观察函数的图像或分析函数的性质来进行推导。
1. 函数的图像三次函数的图像通常呈现出一种特定的形状，称为“S”型曲线。
具体的形状取决于各个常数的取值。
我们可以通过观察图像来判断函数的像。
2. 函数的性质三次函数具有以下性质，利用这些性质可以推导出函数的像。
a) 当x趋于正无穷大或负无穷大时，函数的值也趋于正无穷大或负无穷大。
因此，三次函数的像可以包括整个实数范围。
b) 当x的取值范围有限时，函数的值也有上下界，即函数的像为一个闭区间。
c) 如果三次函数的a>0，则函数的图像开口向上，最低点为极小值，函数像的下界为最低点的纵坐标。
如果a<0，则函数的图像开口向下，最高点为极大值，函数像的上界为最高点的纵坐标。
二、三次函数的性质除了像，三次函数还具有一些其他的性质，我们来一一探讨。
1. 奇函数和偶函数根据三次函数的定义，当a和b为奇数次幂的系数，而c和d为偶数次幂的系数时，三次函数为奇函数。
如果a、b、c和d都为偶数次幂的系数，三次函数为偶函数。
2. 对称轴三次函数的对称轴可以通过研究函数的导数来确定。
当函数的导数存在一个实数根时，该实数即为对称轴的横坐标。
3. 极值点三次函数一般存在一个极小值或极大值点。
极值点的纵坐标即为函数的最值。
通过求导并令导数为零，可以求解极值点的横坐标。
4. 零点三次函数一般存在一个或多个零点。
通过令函数的值为零，可以解得方程来求解零点。
5. 渐近线三次函数可以有水平、垂直和斜率为有理数的斜渐近线。
求解这些渐近线的方法是求取函数的极限。
综上所述，三次函数的像可以是整个实数范围或者是一个闭区间，取决于函数的性质和常数的取值。
例析应用因式分解求三次函数零点问题
・48・中学数学研究2020年第11期/(%二％：在(0#+8)单调递增#原不等式即为代In%)*f(2%+2).所以In%*2%+2.即*21+2.%若存在正数％*21n2成立，只需(如%*212，即丄*212，所以2#—log2F#所以2的最大e e值丄10g2匕e例4设实数入〉0#若对任意的％!(0 #+8)#不等式F%-1%*0恒成立，求入最小值.入解法一：当0<%<1时，不等式e$%-1%*0显A然成立，入！R;当％>1时，原式可化为入%$%*In%・严，记/(/二t/,t>0,则八/=F(方+1)>0，故代/在(0,+8)上是增函数，又f(入％*f(1%，得Ax*In%，A*9%=g(%，所以$*乩(%)=g(e)=丄・%e综上，A的最小值是丄.e解法二：当0<%<1时，不等式显然成立，$! R；当％>1时，原式可化为A%$%*%n%，即・In/% *%n%，记/(/=/nt(t>1)，f(/=lnt+1>0，故代/在(1，+8)上是增函数.又/(/%)*/(%，得/%*%，$%*In%，A*9%，所以A*g m*(%)=丄・x e 评析:对于指数与对数混合的不等式(等式)，无论是采用分离参数还是直接讨论求最值，解题难度都比较大.若对已知不等式合理变形，发现不等式(等式)两边结构具有一致性，采用同构思想，解题将事半功倍.参考文献黄永生，杨丹•两道全国卷压轴题的别解与思考[J].中学数学研究(江西师大).2017(04)：38-39.*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%例析应用因式分解求三次函数零点问题福建省泉州第一中学福建省泉州第五中学(362000)杨秋环(362000)杨苍洲直线与三次函数图像的交点问题相对比较抽象，在高考中常作为压轴题出现.在解决问题时，运算量往往较大，也常需要结合图像进行理解.本文借助因式分解的技巧，揭示直线与三次函数交点问题的求法规律.1直线与三次函数图像的相交问题对一般的三次函数/(%=&%3+'%2+(+K(& +0).过点P(%0,/(%0))的直线6：*=8(%-%0)+ (&%+%%+c%0+K)与曲线*=/(%可能有1,2，3个交点.其中一个交点必为点P(%0,/(%0))，除了点P 外，可能还存在另外1-2个交点，下面我们用因式分解的方法探究它们的交点个数.{*=&%3+%%2+(+K,,,,.3,2八得y—k(^—光°)+(0+加0+c%+K),&(%-%0)3+%(%-%0)2+c(%-%0)-8(%-%0)=0 ,艮卩(%-%0)[&%2+(&%0+%)%+(&%0+%%0+c_8)]= 0，艮卩%=%0或&%2+(&%0+%)%+(&%0+%%0+c_8)二0"令&=(&%0+%)2-4&(&%+%%。
三次函数的性质：单调区间和极值 课件(湘教版选修2-2)
课前探究学习
课堂讲练互动
点评 f(x)为增函数，一定可以推出f′(x)≥0，但反之不一 定．因为f′(x)≥0，即为f′(x)>0或f′(x)＝0，当函数在某个区间 内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常函数，不具有单调性，所以f′(x)≥ 0是f(x)为增函数的必要不充分条件．
课前探究学习
课堂讲练互动
预习测评
1．下列说若有最值与极值，则其极大值便是最
大值，极小值便是最小值
B．闭区间上图象连续不断的函数一定有最值，也一定有极
值
C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值，反之，若
有极值则一定有最值
D．若函数在给定区间上有最值，则最多有一个最大值，一
在(－ 在(－∞，u)上 ∞，＋ 递增 ；在(u，v) ∞)上 上 递减 ；在(v，
递增 ＋∞)上 递增
在 x＝u 处取极大 无 值；在 x＝v
处取极小值
课前探究学习
课堂讲练互动
当a<0时， F′(x)的零点
F(x)、 F′(x)的性质
F′(x)的符号
F(x)的单调性
F′(x)的极值
无
F′(x) <0
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)由f′(x)＝x2＋x－2＝0得，f′(x)的零点为x＝－2或x
＝1，
当x变化时f′(x)变化情况如下表：
x
(－3，－2) (－2,1) (1,3)
f′(x)
＋
－
＋
比较f(－3)，f(－2)，f(1)和f(3)知，在区间[－3,3]上，
当x＝3时，f(x)max＝1016；x＝1时，f(x)min＝32.
2 3
)和(1，＋∞)，f(x)的递减
三次函数的性质
三次函数的性质2015年11月13日 意琦行 数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一 单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明 的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二 对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明 由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解 由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解 的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三 切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明 设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解 由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四 切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明 由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解 （1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）． 练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1） 根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注 本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。
求解函数零点与极值
求解函数零点与极值求解函数的零点和极值是数学中常见的问题，也是数学学习的重点之一。
掌握这一技巧可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
在本文中，我将以具体的例子来说明如何求解函数的零点和极值，并给出一些实用的方法和技巧。
一、求解函数的零点函数的零点指的是函数取零值的点，即满足f(x)=0的x值。
求解函数的零点有多种方法，下面以一元一次函数和一元二次函数为例进行说明。
例1：求解函数f(x)=2x+3的零点。
解：将f(x)置为0，得到2x+3=0。
移项得2x=-3，再除以2得到x=-3/2。
所以函数f(x)=2x+3的零点为x=-3/2。
例2：求解函数f(x)=x^2-4x+3的零点。
解：将f(x)置为0，得到x^2-4x+3=0。
这是一个一元二次方程，可以使用因式分解、配方法或求根公式来解。
这里我们使用因式分解法，将方程变形为(x-3)(x-1)=0。
因此，x-3=0或x-1=0，解得x=3或x=1。
所以函数f(x)=x^2-4x+3的零点为x=3和x=1。
二、求解函数的极值函数的极值指的是函数在某些点上取得的最大值或最小值。
求解函数的极值可以通过求导数和判断导数的符号来实现。
下面以一元二次函数和三角函数为例进行说明。
例3：求解函数f(x)=x^2-4x+3的极值。
解：首先求导数f'(x)=2x-4。
然后，令f'(x)=0，得到2x-4=0，解得x=2。
接下来，我们判断导数的符号。
当x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。
因此，x=2是函数f(x)=x^2-4x+3的一个极小值点。
将x=2代入原函数，得到f(2)=2^2-4*2+3=-1。
所以，函数f(x)=x^2-4x+3的极小值为-1。
例4：求解函数f(x)=sin(x)的极值。
解：首先求导数f'(x)=cos(x)。
然后，令f'(x)=0，得到cos(x)=0。
3次函数曲线-概念解析以及定义
3次函数曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学中，三次函数是一种常见的多项式函数，其最高次项的指数为3。
三次函数的一般形式可以表示为y = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c和d都是实数，并且a不等于0。
三次函数曲线通常呈现出一种典型的"弓形"形状，有时可能具有一个局部极值点或者一个拐点。
它们在图像上的走势和特点在多个领域中都有重要的应用，例如物理学、经济学和计算机图形学等。
理解和掌握三次函数曲线的特点对于解决实际问题和进行进一步的数学研究都是非常重要的。
本文将围绕三次函数曲线展开讨论，首先介绍三次函数的基本定义和性质，然后探讨三次函数曲线的图像特点以及如何进行函数图像的变换和分析。
接下来，我们将进一步研究三次函数曲线的局部极值点和拐点的性质，并举例说明在实际问题中的应用。
最后，我们将总结所讨论的内容，并展望一些可能的研究方向。
通过研究和理解三次函数曲线的性质和特点，我们可以更好地应用它们解决实际问题，并且有助于我们对数学的深入理解和进一步研究。
接下来，我们将详细介绍本文的组织结构和目的。
1.2 文章结构2. 正文在本文中，我们将着重研究3次函数曲线。
通过对这种特殊类型的函数曲线进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解它们的数学性质和应用。
本文的正文部分将分为三个要点来探讨3次函数曲线所涉及的关键概念和性质。
2.1 第一要点在第一要点中，我们将首先介绍3次函数曲线的基本定义和表达形式。
我们将学习如何根据给定的系数，利用函数表达式来绘制3次函数曲线的图像。
此外，我们还将讨论3次函数曲线的对称性和奇偶性，并探索其在数学和科学领域中的实际应用。
2.2 第二要点在第二要点中，我们将进一步研究3次函数曲线的性质和特征。
我们将通过对曲线的导数和导数变化率的分析，探讨曲线的增减性和凸凹性。
此外，我们还将介绍曲线的转折点和拐点，并讨论这些特殊点对曲线整体形状的影响。
与三次函数零点有关的取值范围问题
与三次函数零点有关的取值范围问题函数的零点个数、两个函数图象的交点个数等问题在近几年的数学高考中屡屡出现，例题：若13x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围．变式1已知函数f(x)＝13x 3＋12ax 2＋1有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．变式2已知函数f(x)＝13x 3－（k ＋1）2x 2，g(x)＝13－kx ，若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．串讲1已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是__________．串讲2已知函数f(x)＝13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，设a ＞1，试讨论函数f(x)在区间[0，a ＋1]内零点的个数．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝13x 3－a(x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点．(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋3，f(x)在x 1处取极大值，在x 2处取极小值．(1)若a ＝0，求函数f(x)的单调区间和零点个数；(2)在方程f(x)＝f(x 1)的解中，较大的一个记为x 3：在方程f(x)＝f(x 2)的解中，较小的一个记为x 4，证明：x 4－x 1x 3－x 2为定值；(3)证明：当a ≥1时，f(x)＞ln x.答案：(1)f(x)的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)；减区间为(0，2)，f(x)有3个零点；(2)(3)略．解析：(1)当a ＝0时，f(x)＝x 3－3x 2＋3，f ′(x)＝3x 2－6x ；当f′(x)＞0时，x ＞2或x ＜0； 当f′(x)＜0时，0＜x ＜2；即函数f(x)的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)； 单调减区间为(0，2)；3分又f(－1)＝－1＜0，f(0)＝3＞0，f(2)＝－1＜0，f(3)＝3＞0，所以f(x)有3个零点．…4分(2)因为f(x)＝f(x 1)，则x 3－3x 2＋ax ＋3＝x 13－3x 12＋ax 1＋3，可知x 3－3x 2＋ax ＝x 13－3x 12＋ax 1.因为f′(x 1)＝0，即a ＝6x 1－3x 12，即x 3－x 13＋3x 12－3x 2＋ax －ax 1 ＝(x －x 1)[x 2＋x(x 1－3)－2x 12＋3x 1]＝(x －x 1)2(x ＋2x 1－3)＝0，可知x 3＝3－2x 1， 同理，由f(x)＝f(x 2)可知7分x 3－x 23＋3x 22－3x 2＋ax －ax 2＝(x －x 2)[x 2＋x(x 2－3)－2x 22＋3x 2]＝(x －x 2)2(x ＋2x 2－3)＝0；得到x 4＝3－2x 2；x 4－x 1x 3－x 2＝3－2x 2－x 13－2x 1－x 2＝1－x 21－x 1＝1－（2－x 1）1－x 1＝－1.10分(3)证法一：要证f(x)＝x 3－3x 2＋ax ＋3＞ln x ，即要证x 3－3x 2＋3＞ln x －ax.11分设u(x)＝x 3－3x 2＋3(x ＞0)，则u′(x)＝3x 2－6x ；当u′(x)＞0时，x ＞2；当u′(x)＜0时， 0＜x ＜2；可知[u(x)]min ＝u(2)＝－1；12分再设v(x)＝ln x －ax(x ＞0)，则v′(x)＝1x －a ；当v′(x)＞0时，0＜x ＜1a ；当v′(x)＜0时，x ＞1a；可知，v(x)max ＝v ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1.14分 因为a ≥1，所以1a ≤1，－ln a －1≤－1，且v(x)和u(x)分别在1a 和2处取最大值和最小值，因此v(x)＜u(x)恒成立，即当a ≥1时，f(x)＞ln x.证法二：一方面，易证ln x ≤x －1；(略)另一方面，当a ≥1时，x 3－3x 2＋ax ＋3≥x 3－3x 2＋x ＋3；又(x 3－3x 2＋x ＋3)－(x －1)＝(x ＋1)(x －2)2≥0；所以，x 3－3x 2＋ax ＋3≥x 3－ 3x 2＋x ＋3≥x －1≥ln x ，且不存正数x ，使得其中等号同时成立，故f(x)＞ln x.例题1答案：(0，＋∞)．解法1令f(x)＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f′(x)＝x 2－2x ＋a.∵f(x)＝0有一个实数根， ∴f ′(x)＝0的Δ≤0或者 f(x)极大值＜0或者f(x)极小值＞0.①f′(x)＝0的Δ≤0，解得a≥1； ②当a ＜1时，设x 1，x 2为f ′(x)＝x 2－2x ＋a ＝0的两个根(x 1＜x 2)，f(x)在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减.1° 若f(x)极大值＜0，即f(x 1)＜0，∴f(x 1)＝13x 13－x 12＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a)－(2x 1－a)＋ax 1－a ＝23x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ＝23[]（a －1）x 1－a ＜0，∴x 1＞a a －1，即1－1－a ＞a a －1，解得(1－a)1－a ＜1，即(1－a)3＜1，得0＜a ＜1；2° 若f(x)极小值＞0，即f(x 2)＞0，同理f(x 2)＝23[(a －1)x 2－a]＞0.∴x 2＜a a －1，即1＋1－a ＜a a －1，解得－(1－a)1－a ＞1，即(1－a)3＜－1，得a ＞2(舍去)；综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．解法2令f(x)＝13x 3－x 2＋ax －a ，则f′(x)＝x 2－2x ＋a.∵f(x)＝0有一个实数根， ∴f ′(x)＝0的Δ≤0或者f(x 1)·f(x 2)＞0(x 1，x 2是f(x)的极值点0)． ①f ′(x)＝0的Δ≤0，解得a≥1； ②由x 1，x 2为f′(x)＝0的两个根，得⎩⎪⎨⎪⎧x 12－2x 1＋a ＝0x 12＝2x 1－a ，x 22－2x 2＋a ＝0x 22＝2x 2－a ，(a ＜1)于是f(x 1)＝13x 13－x 12＋ax 1－a ＝13x 1(2x 1－a)－(2x 1－a)＋ax 1－a ＝23x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝23(2x 1－a)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －2x 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ，同理可得f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 2－23a ，于是有f(x 1)·f(x 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －23x 1－23a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫23a －23x 2－23a ＞0.当a ＜1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a a －1＞0x 1x 2－a a －1(x 1＋x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －12＞0，又∵x 1，x 2是方程x 2－2x ＋a ＝0的根，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，化简可得a(a 2－3a ＋3)＞0，解得0＜a ＜1；综上所述，实数a 的取值范围是(0，＋∞)．说明：显然解法2避免了再分类，更显简洁；同时利用“降幂”思想进行代换，可化繁为简．变式联想变式1答案：(－36，＋∞)．解法1∵函数f(x)＝13x 3＋12ax 2＋1有且只有一个零点．∴13x 3＋12ax 2＋1＝0有且只有一个实根，∵x ＝0不适合方程，∴a ＝－2x 2－2x 3有且只有一个实根，设g(x)＝－2x 2－2x3，有g ′(x)＝4x 3－23(x≠0)，①当x ＜0时，g ′(x)＜0，∴g(x)在(－∞，0)上递减，且g(x)∈R；②当x ＞0时，令g ′(x )＝0，得x ＝36∴g (x )在(0，＋∞)上有最大值g (36)＝－36，且g (x )∈ (－∞，－36]，综上所述，实数a 的取值范围是(36，＋∞)．解法2令f (x )＝13x 3＋12ax 2＋1，则f ′(x )＝x 2＋ax .∵f (x )＝0有一个实数根，∴f ′(x )＝0的Δ≤0或者f (x 1)·f (x 2)＞0(x 1，x 2是f (x )的极值点)．①f ′(x )＝0的Δ≤0， 解得a ＝0；②f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝－a (a ≠0)，f (x 1)·f (x 2)＝－13a 3＋12a 3＋1＞0，即16a 3＞－1，∴a ＞－36且a ≠0.综上所述，实数a 的取值范围是(36，＋∞)．说明：显然解法2更显简洁． 变式2答案：(－∞，1－3)∪(1＋3，＋∞)．解析：∵f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，∴f(x)＝g(x)有三个不等实根．令h(x)＝f(x)－g(x)＝13x 3－（k ＋1）2x 2＋kx －13，则h′(x)＝x 2－(k ＋1)x ＋k ＝(x －k)(x －1)，根据题意得k≠1且h(1)·h(k)＜0，化简可得k －12⎝ ⎛－16k 3＋12k 2－⎭⎪⎫13＜0，即－k －112(k －1)(k 2－2k －2)＜0，∴k 2－2k －2＞0，解得k ＞1＋3或k ＜1－3，∴实数k 的取值范围是(－∞，1－3)∪(1＋3，＋∞)．串讲激活串讲1答案：(－∞，－2)．解析：①当a ＝0时，－3x 2＋1＝0时，x ＝±33，所以此时不符合题意； ②当a ＞0时，f ′(x)＝3ax 2－6x ＝3x(ax －2)，当f′(x)＞0时，解得x ＞2a 或x ＜0，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，因为f(0)＝1，f(－1)＝－a －2＜0，则存在一零点在(－∞，0)上，所以此时不符合题意；③当a ＜0时，当f′(x)＞0时，解得2a ＜x ＜0，f ′(x)＜0时，解得x ＜2a 或x ＞0，所以函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，若f(x)在R 上存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝8a2－12a 2＋1＞0，即－4a2＋1＞0，整理得a 2＞4，整理得a 2＞4，解得a ＜－2或a ＞2(舍去)，综上所述，当a ＜－2时满足题意．串讲2答案：当1＜a ＜3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有一个零点；当a ＝3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点；当3＜a≤2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有三个零点；当a ＞2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点．解析：f′(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －1)(x －a)，当a ＞1时，函数f(x)在(0，1)和(a ，a ＋1)上单调递增，在(1，a)上单调递减，又f(0)＝0，f(a)＝12a 2－16a 3，f(a ＋1)＝－16(a＋1)(a 2－4a ＋1)，解不等式f(a)＞0得1＜a ＜3，解不等式f(a ＋1)＞0得1＜a ＜2＋3，于是如下讨论：①当1＜a ＜3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有一个零点； ②当a ＝3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点；③当3＜a≤2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有三个零点； ④当a ＞2＋3时，f(x)在区间[0，a ＋1]内有两个零点．新题在线答案：(1)f(x)在(－∞，3－23)和(3＋23，＋∞)的单调递增，在(3－23，3＋23)的单调递减；(2)略．解析：(1)当a ＝3时，f(x)＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x)＝x 2－6x －3.令f′(x)＝0，解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x)>0；当x∈(3－23，3＋23)时，f ′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)∵x 2＋x ＋1>0，∴f(x)＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g(x)＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x)＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g′(x)＝0，∴g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－6⎝ ⎛⎭⎪⎫a －162－16<0，f(3a ＋1)＝13>0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．。
三次函数性质总结
三次函数性质的探索，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在我们已经学习了一次函数取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？最大值与最小值，在某一区间轴相交的位置．决定函数与y时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b利用已学过的知识得出：当k>0n][m，??上恒成立的充要条件在其中运用的较多的一次函数不等式性质是：0?fx??0f?m??0n?f接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下：图1 图2利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置．总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？1三次函数专题一、定义：320)?d(a?ax?bx?cx?y。
形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义1、22?0)(a?ax?2bx?yc?3acb?12??4，把定义2、三次函数的导数叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
特别是文科。
3y?x开始从最简单的三次函数系列探究1：yx O31?x?y的相关性质呢？反思1：三次函数??1?1y??x反思3：三次函数的相关性质呢？31y??x?的相关性质呢？反思2：三次函数33x2?f(x)?2?x B 天津理）（2012（4）函数在区间(0,1)内的零点个数是1 （B））0 （A3 D）（（C）223)0d(a?(fx)?ax?bx?cx?的性质：：探究一般三次函数系列探究22?0)(a?ax?2bx?cf3(x)?先求导．单调性：12012ac?(2b)?△?)(xf上是增函数；在，此时函数（1）若R22?0?12ac?△?(2b)x,xx?x0?c?2bx?f)(x?3ax，令（2）若且两根为，2211)xx,()x??),((??,x)xf(在上单调递增，在则上单调递减。
三次函数极值问题探究
三次函数极值问题探究
极值问题是数学中一个重要的内容，在函数极值问题中，三次函数极值问题是一个比较重要的问题。
三次函数极值问题是指在三次函数的某个区域内，极大值和极小值的求解。
首先，要求解三次函数极值问题，必须先求出三次函数的导数。
求三次函数的导数，是用微积分的知识，根据函数的定义来求出其导数的过程。
求出三次函数的导数后，可以用微积分中的求极值方法，来求出三次函数的极大值和极小值。
求极值方法有两种：一种是给定一个区间，在这个区间内求出极大值和极小值；另一种是求出函数的极大值和极小值的极限，即在函数的某个区域内，极大值和极小值的极限。
要求解函数的极大和极小值，首先要求出函数的导数，然后求出函数的导数的零点，这些零点就是函数的极大和极小值的点。
然后，在这些零点处，求出函数的值，就可以得到函数的极大和极小值。
三次函数极值问题的求解，是利用函数的导数的性质，运用微积分的知识，求出函数的极大和极小值。
三次函数极值问题的求解，对于我们更好地理解函数的极大和极小值有着重要的意义。
总之，三次函数极值问题是一个比较重要的问题，它的求解可以帮助我们更好地理解函数的极大和极小值，从而更好地应用函数的极大和极小值。