高三数学一轮复习教案：数列

数列

1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题．

3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题．

纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点．

从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的“知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 第1课时 数列的概念

1．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N*或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a1，a2，…，an…，简记为{an}，其中an 是数列{an}的第 项． 2．数列的通项公式

一个数列{an}的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式an ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．在数列{an}中，前n 项和Sn 与通项an 的关系为：

数列基础知识

定义项，通项

数列表示法数列分类

等差数列等比数列

定义通项公式前n 项和公式性质

特殊数列

其他特殊数列求和

数列

4．求数列的通项公式的其它方法

⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．

⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

例1. 根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式．

⑴ －，，－，…；

⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3，

解： ⑴ an ＝(－1)n ⑵ an ＝

（提示：a2－a1＝1，a3－a2＝4，a4－a3＝7，a5－a4＝10，…，an －an －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得

⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为

∴

变式训练1.某数列{an}的前四项为0，，0，，则以下各式：

① an ＝[1＋(－1)n] ② an ＝

③ an ＝

其中可作为{an}的通项公式的是 （ ）

A ．①

B ．①②

C ．②③

D ．①②③

=n a ⎪

⎩

⎪⎨⎧≥==2

1n n a n 312⨯534⨯758⨯9716

⨯)12)(12(1

2+--n n n )

673(21

2+-n n )673(2

1

)43)(1(2

1

1)]53(10741[12+-=

--+=-++++++=n n n n n a n Λ,21

3,202,211+++,,20

6,215,204Λ+++4)1(122

2)1(11

1

++-++=

-++

=

n n n n n a 2222

n )(11-+⎩⎨⎧)

(0)

(2为奇数为偶数n n

解：D

例2. 已知数列{an}的前n 项和Sn ，求通项． ⑴ Sn ＝3n －2

⑵ Sn ＝n2＋3n ＋1

解 ⑴ an ＝Sn －Sn －1 (n≥2) a1＝S1

解得：an ＝

⑵ an ＝

变式训练2：已知数列{an}的前n 项的和Sn 满足关系式lg(Sn －1)＝n ，(n ∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ． 解：

当n ＝1时，a1＝S1＝11；当n≥2时，an ＝Sn －Sn －

1＝10n －10n －1＝9·10 n －1．故an ＝

例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式． ⑴ a1＝1，an ＝2an －1＋1 (n≥2) ⑵ a1＝1，an ＝

(n≥2)

⑶ a1＝1，an ＝ (n≥2)

解：⑴ an ＝2an －1＋1(an ＋1)＝2(an －1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n ，∴an ＝2n

－1．

⑵an ＝（an －an －1）＋（an －1－an －2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n －1＋3n

－2＋…＋33＋3＋1＝．

(3)∵

∴an ＝

变式训练3.已知数列{an}中，a1＝1，an ＋1＝(n ∈N*)，求该数列的通项公式．

解：方法一：由an ＋1＝

得

，∴{

}是以

为首项，为公差的等差数列．

∴

＝1＋(n －1)·,即an ＝

⎩⎨⎧=≥⋅-)

1(1

)2(321n n n ⎩⎨

⎧≥+=)2(22)1(5

n n n ,

110101)1lg(+=⇒=-⇒=-n n n n n S S n S ⎪⎩⎪

⎨

⎧≥⋅=-)

2(109)1(111n n n 1

13--+n n a 11

--n a n n ⇒)

13(21-n

n

n a a n n 1

1-=-⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅-----1

2

111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n Λn n n 112123=⋅⋅⋅--Λ2

2+n n a a 2

2+n n a a 2

1

111

=-+n n a a n

a 1111

=a 21

n

a 12112

+n