概率论与数理统计第2讲
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28
记(1),(2),(3)中三个事件分别为A,B,C, 则 1 (1) P( A) P ( A0 ) , 16 5 15 (2) P( B) P Ai 1 P ( A0 ) , 16 i 1
3 (3) P(C ) P Ai i 0 7 P ( A0 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 16
32
作业 习题1-2 第3页开始 第1,2,3,4,5,6,7题
13
定义3 设E是随机试验, S是它的样本空 间, 对于E的每一个事件A赋予一个实数, 记为P(A), 若P(A)满足下列三个条件: (1) 非负性: 对于每一个事件A, 有P(A)0; (2) 完备性: P(S)=1; (3) 可列可加性: 设A1,A2,是两两互不相 容事件, 则有
P( Ai ) P( Ai ).
抽取总件数n
次品数m 次品频率m/n
10
0 0
20
1
50
3
100
5
150
7
200
11
300
16
0.050 0.060 0.050 0.047 0.055 0.053
8
表1-2-1
抽取总件数n 次品数m 次品频率m/n 10 0 0 20 1 50 3 100 5 150 7 200 11 300 16
i 1 i 1
则称P(A)为事件A的概率.
14
三, 概率的性质 由概率的公理化定义, 可推出概率的一些 重要性质. 性质1 P()=0.
15
证 明 令 An=(n=1,2, ), 则 An , 且
n 1
AiAj=(ij, i,j=1,2, ). 由概率的可列可加性 可得
0.050 0.060 0.050 0.047 0.055 0.053
由表1-2-1看出, 在抽出的n件产品中, 次品 数m随着n的不同而取不同值, 但次品频率 m/n仅在0.05附近有微小变化. 这里0.05就 次品频率的稳定值.
9
实际观察中, 通过大量重复试验得到随机 事件的频率稳定于某个数值的例子还有 很多. 它们均表明这样一个事实: 当试验 次数增大时, 事件A发生的频率fn(A)总是 稳定在一个确定数p附近, 而且偏差随着 试验次数的增大越来越小. 频率的这种性 质在概率论中称为频率的稳定性. 频率稳 定性的事实说明了刻划随机事件A发生 可能性大小的数—概率的客观存在性.
25
(2) P ( A) 1 P ( A) 1 0.5 0.5, P(AB)=P(A)P(AB)=0.50.2=0.3 (3) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) =0.5+0.40.2=0.7 (4) P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B ) =10.7=0.3.
特别地, 若A1,A2,,An,为完备组, 则
P( A ) 1.
i i
24
例 4 已知 P ( A) 0.5, P( AB) 0.2, P( B) 0.4 , 求(1) P ( AB ) (2) P( A B); (3) P( A B) (4) P( AB ). 解 (1) 因为 AB AB B, 且 AB 与 AB 是互不 相容的, 故有 P ( AB) P ( AB) P ( B ) 于是 P ( AB) P ( B ) P ( AB) 0.4 0.2 0.2
பைடு நூலகம்11
例3 从某鱼池中取100条鱼, 做上记号后 再放入该鱼池中. 现从该池中任意捉来40 条鱼, 发现其中两条有记号, 问池内大约 有多少条鱼? 解 设池内有 n 条鱼, 则从池中捉到一条 100 有记号鱼的概率为 . 它近似于捉到 n 2 100 2 . 解之 有记号鱼的频率 , 即 40 n 40 得 n2000. 故池内大约有 2000 条鱼.
12
二, 概率的公理化定义 任何一个数学概念都是对现实世界的抽 象, 这种抽象使得其具有广泛的适用性. 概率的频率解释为概率提供了经验基础, 但是不能作为一个严格的数学定义, 从概 率论有关问题的研究算起, 经过近三个世 界的漫长探索历程, 人们才真正完整地解 决了概率的严格数学定义. 1933年, 前苏 联著名数学家柯尔莫哥洛夫, 在他的《概 率论的基本概念》一书中给出了现在已 被广泛接受的概率公理化体系.
22
注: 性质6可推广到任意n个事件的并的情 形, 如n=3时, 有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB) P(BC)P(AC)+P(ABC).
23
一般地, 对任意n个事件A1,A2,,An, 有
n n n P Ai P ( Ai ) P ( Ai Aj ) P ( Ai A j Ak ) i j i j k i 1 i 1 n 1 (1) P( A1 A2 An ). n
P( A ) P( A ) 0
k k 1 k
n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
18
性质 3 P ( A) 1 P( A). 证明 因 A A S , 且 AA , 由性质 2, 得 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A). 这个性质也经常写成 P ( A) 1 P ( A).
概率论与数理统计第2讲
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1
§1.2 随机事件的概率
2
对一个随机事件A, 在一次随机试验中, 它是否会发生, 事先不能确定. 但我们会 问, 在一次试验中, 事件A发生的可能性 有多大? 并希望找到一个合适的数来表 征事件A在一次试验中发生的可能性大 小, 为此, 本讲首先引入频率的概念, 它描 述了事件发生的频繁程度, 进而引出表征 事件在一次试验中发生的可能性大小的 数—概率.
i i 0
5
从而
5 5 1 P ( S ) P Ai P ( Ai ) i 0 i 0 P ( A0 ) iP ( A0 ) 16 P ( A0 ),
i 1 5
1 i 于是 P ( A0 ) , P( Ai ) , (i=1,2,3,4,5) 16 16
29
例6 某城市中发行2种报纸A,B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%, 订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A,B 的有10%. 求只订一种报纸的概率a.
30
解 记事件A={订阅A报}, B={订阅B报}, 则 {只订一种报} ( A B) ( B A) AB BA, 又这两事件是互不相容的, 由概率加法公 式及性质4, 有 a P( A AB) P( B AB)
17
证明 令An+1=An+2==, 即有 AiAj=, ij, i,j=1,2,. 由概率的可列可加性得
P ( A1 A2 An ) P Ak P ( Ak ) k 1 k 1
P ( Ak )
k 1
n
k n 1
3
一, 频率及其性质
定义 1 若在相同条件下进行 n 次试验, 其中 事件 A 发生的次数为 rn(A), 则称 rn ( A) f n ( A) 为事件 A 发生的频率. n 易见, 频率具有下述基本性质: (1) 0fn(A)1; (2) fn(S)=1; (3) 设 A1,A2, ,Ak 是两两互不相容的事件, 则 fn(A1A2 Ak)=fn(A1)+fn(A2)+ +fn(Ak)
5
例1 1873年, 英国学者沈克士公布了一个 圆周率p的数值, 它的数目在小数点后一 共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的 费林生对它产生了怀疑. 他统计了p的608 位小数, 得到了下表:
数字
出现次数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
60 62 67 68 64 56 62 44 58 67
你能说出他产生怀疑的理由吗?
21
性质5 对任一事件A, P(A)1. 证明 因AS, 由性质4得P(A)P(S)=1. 性质6 对任意两个事件A,B, 有 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB). 证明 因AB=A(BAB), 且 A(BAB)=, ABB, 故得 P(AB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB).
19
性质4 P(AB)=P(A)P(AB); 特别地, 若 BA, 则 (1) P(AB)=P(A)P(B); (2) P(A)P(B).
20
证明 因A=(AB)AB, 且(AB)(AB)=, 再由概率的有限可加性, 即得 P(A)=P(AB)+P(AB), 所以 P(AB)=P(A)P(AB) 如果BA, 则AB=B, 上式成为 P(AB)=P(A)P(B) 又由概率的非负性, P(AB)0知 P(A)P(B).
4
根据上述定义, 频率反映了一个随机事件 在大量重复试验中发生的频繁程度. 例如, 抛掷一枚均匀硬币时, 在一次试验中虽然 不能肯定是否会出现正面, 但大量重复试 验时, 发生出现正面和反面的次数大致相 等, 即各占总试验次数的比例大致为0.5, 并且随着试验次数的增加, 这一比例更加 稳定地趋于0.5. 这似乎表明频率的稳定值与事件发生的 可能性大小(概率)之间有着内在的联系.
10
定义 2 在相同条件下重复进行 n 次试验, rn ( A) 若事件 A 发生的频率 f n ( A) 随着试验 n 次数 n 的增大而稳定地在某个常数 p(0p1) 附近摆动, 则称 p 为事件的概率, 记为 P(A).
上述定义称为随机事件概率的统计定义. 因此, 在实际应用时, 往往是用试验次数 足够大的频率来估计概率的大小且随着 试验次数的增加, 估计精度会越来越高.
P () P An P ( An ) P (). n 1 n 1 n 1 由概率的非负性知, P()0, 故由上式可知 P()=0.
注: 不可能事件的概率为0, 但反之不然.
16
性质2(有限可加性) 设A1,A2,,An是两两 互不相容的事件, 则有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)++P(An).
6
数字
出现次数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
60 62 67 68 64 56 62 44 58 67
因为p是一个无限不循环小数, 所以, 理论 上每个数字出现的次数应近似相等, 或它 们出现的频率应都接近0.1, 但7出现的频 率过小. 这就是费林生产生怀疑的理由.
7
例2 检查某工厂一批产品的质量, 从中分 别抽取10件, 20件, 50件, 100件, 150件, 300件检查, 检查结果及次品出现的频率 列入下表. 表1-2-1
26
例5 观察某地区未来5天的天气预报, 记Ai 为事件:"有i天不下雨", 已知P(Ai)=iP(A0), i=1,2,3,4,5. 求下列各事件的概率: (1) 5天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (3)至 多三天不下雨.
27
解 显然 A0,A1, ,A5 是两两不相容事件且
A S,
P( A) P( AB) P( B) P( AB) 0.45 0.1 0.35 0.1 0.6
31
课堂练习 1. 设AB=. P(A)=0.6, P(AB)=0.8, 求事 件B的逆事件的概率.(0.8) 2. 设P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6, 求 P(AB). (0.3) 3. 设A,B都出现的概率与A,B都不出现的 概率相等, 且P(A)=p, 求P(B).(1p)
记(1),(2),(3)中三个事件分别为A,B,C, 则 1 (1) P( A) P ( A0 ) , 16 5 15 (2) P( B) P Ai 1 P ( A0 ) , 16 i 1
3 (3) P(C ) P Ai i 0 7 P ( A0 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) 16
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作业 习题1-2 第3页开始 第1,2,3,4,5,6,7题
13
定义3 设E是随机试验, S是它的样本空 间, 对于E的每一个事件A赋予一个实数, 记为P(A), 若P(A)满足下列三个条件: (1) 非负性: 对于每一个事件A, 有P(A)0; (2) 完备性: P(S)=1; (3) 可列可加性: 设A1,A2,是两两互不相 容事件, 则有
P( Ai ) P( Ai ).
抽取总件数n
次品数m 次品频率m/n
10
0 0
20
1
50
3
100
5
150
7
200
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300
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0.050 0.060 0.050 0.047 0.055 0.053
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表1-2-1
抽取总件数n 次品数m 次品频率m/n 10 0 0 20 1 50 3 100 5 150 7 200 11 300 16
i 1 i 1
则称P(A)为事件A的概率.
14
三, 概率的性质 由概率的公理化定义, 可推出概率的一些 重要性质. 性质1 P()=0.
15
证 明 令 An=(n=1,2, ), 则 An , 且
n 1
AiAj=(ij, i,j=1,2, ). 由概率的可列可加性 可得
0.050 0.060 0.050 0.047 0.055 0.053
由表1-2-1看出, 在抽出的n件产品中, 次品 数m随着n的不同而取不同值, 但次品频率 m/n仅在0.05附近有微小变化. 这里0.05就 次品频率的稳定值.
9
实际观察中, 通过大量重复试验得到随机 事件的频率稳定于某个数值的例子还有 很多. 它们均表明这样一个事实: 当试验 次数增大时, 事件A发生的频率fn(A)总是 稳定在一个确定数p附近, 而且偏差随着 试验次数的增大越来越小. 频率的这种性 质在概率论中称为频率的稳定性. 频率稳 定性的事实说明了刻划随机事件A发生 可能性大小的数—概率的客观存在性.
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(2) P ( A) 1 P ( A) 1 0.5 0.5, P(AB)=P(A)P(AB)=0.50.2=0.3 (3) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) =0.5+0.40.2=0.7 (4) P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B ) =10.7=0.3.
特别地, 若A1,A2,,An,为完备组, 则
P( A ) 1.
i i
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例 4 已知 P ( A) 0.5, P( AB) 0.2, P( B) 0.4 , 求(1) P ( AB ) (2) P( A B); (3) P( A B) (4) P( AB ). 解 (1) 因为 AB AB B, 且 AB 与 AB 是互不 相容的, 故有 P ( AB) P ( AB) P ( B ) 于是 P ( AB) P ( B ) P ( AB) 0.4 0.2 0.2
பைடு நூலகம்11
例3 从某鱼池中取100条鱼, 做上记号后 再放入该鱼池中. 现从该池中任意捉来40 条鱼, 发现其中两条有记号, 问池内大约 有多少条鱼? 解 设池内有 n 条鱼, 则从池中捉到一条 100 有记号鱼的概率为 . 它近似于捉到 n 2 100 2 . 解之 有记号鱼的频率 , 即 40 n 40 得 n2000. 故池内大约有 2000 条鱼.
12
二, 概率的公理化定义 任何一个数学概念都是对现实世界的抽 象, 这种抽象使得其具有广泛的适用性. 概率的频率解释为概率提供了经验基础, 但是不能作为一个严格的数学定义, 从概 率论有关问题的研究算起, 经过近三个世 界的漫长探索历程, 人们才真正完整地解 决了概率的严格数学定义. 1933年, 前苏 联著名数学家柯尔莫哥洛夫, 在他的《概 率论的基本概念》一书中给出了现在已 被广泛接受的概率公理化体系.
22
注: 性质6可推广到任意n个事件的并的情 形, 如n=3时, 有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB) P(BC)P(AC)+P(ABC).
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一般地, 对任意n个事件A1,A2,,An, 有
n n n P Ai P ( Ai ) P ( Ai Aj ) P ( Ai A j Ak ) i j i j k i 1 i 1 n 1 (1) P( A1 A2 An ). n
P( A ) P( A ) 0
k k 1 k
n
P ( A1 ) P ( A2 ) P ( An ).
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性质 3 P ( A) 1 P( A). 证明 因 A A S , 且 AA , 由性质 2, 得 1 P ( S ) P ( A A) P ( A) P ( A). 这个性质也经常写成 P ( A) 1 P ( A).
概率论与数理统计第2讲
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§1.2 随机事件的概率
2
对一个随机事件A, 在一次随机试验中, 它是否会发生, 事先不能确定. 但我们会 问, 在一次试验中, 事件A发生的可能性 有多大? 并希望找到一个合适的数来表 征事件A在一次试验中发生的可能性大 小, 为此, 本讲首先引入频率的概念, 它描 述了事件发生的频繁程度, 进而引出表征 事件在一次试验中发生的可能性大小的 数—概率.
i i 0
5
从而
5 5 1 P ( S ) P Ai P ( Ai ) i 0 i 0 P ( A0 ) iP ( A0 ) 16 P ( A0 ),
i 1 5
1 i 于是 P ( A0 ) , P( Ai ) , (i=1,2,3,4,5) 16 16
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例6 某城市中发行2种报纸A,B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%, 订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A,B 的有10%. 求只订一种报纸的概率a.
30
解 记事件A={订阅A报}, B={订阅B报}, 则 {只订一种报} ( A B) ( B A) AB BA, 又这两事件是互不相容的, 由概率加法公 式及性质4, 有 a P( A AB) P( B AB)
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证明 令An+1=An+2==, 即有 AiAj=, ij, i,j=1,2,. 由概率的可列可加性得
P ( A1 A2 An ) P Ak P ( Ak ) k 1 k 1
P ( Ak )
k 1
n
k n 1
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一, 频率及其性质
定义 1 若在相同条件下进行 n 次试验, 其中 事件 A 发生的次数为 rn(A), 则称 rn ( A) f n ( A) 为事件 A 发生的频率. n 易见, 频率具有下述基本性质: (1) 0fn(A)1; (2) fn(S)=1; (3) 设 A1,A2, ,Ak 是两两互不相容的事件, 则 fn(A1A2 Ak)=fn(A1)+fn(A2)+ +fn(Ak)
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例1 1873年, 英国学者沈克士公布了一个 圆周率p的数值, 它的数目在小数点后一 共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的 费林生对它产生了怀疑. 他统计了p的608 位小数, 得到了下表:
数字
出现次数
0
1
2
3
4
5
6
7
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9
60 62 67 68 64 56 62 44 58 67
你能说出他产生怀疑的理由吗?
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性质5 对任一事件A, P(A)1. 证明 因AS, 由性质4得P(A)P(S)=1. 性质6 对任意两个事件A,B, 有 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB). 证明 因AB=A(BAB), 且 A(BAB)=, ABB, 故得 P(AB)=P(A)+P(BAB) =P(A)+P(B)P(AB).
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性质4 P(AB)=P(A)P(AB); 特别地, 若 BA, 则 (1) P(AB)=P(A)P(B); (2) P(A)P(B).
20
证明 因A=(AB)AB, 且(AB)(AB)=, 再由概率的有限可加性, 即得 P(A)=P(AB)+P(AB), 所以 P(AB)=P(A)P(AB) 如果BA, 则AB=B, 上式成为 P(AB)=P(A)P(B) 又由概率的非负性, P(AB)0知 P(A)P(B).
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根据上述定义, 频率反映了一个随机事件 在大量重复试验中发生的频繁程度. 例如, 抛掷一枚均匀硬币时, 在一次试验中虽然 不能肯定是否会出现正面, 但大量重复试 验时, 发生出现正面和反面的次数大致相 等, 即各占总试验次数的比例大致为0.5, 并且随着试验次数的增加, 这一比例更加 稳定地趋于0.5. 这似乎表明频率的稳定值与事件发生的 可能性大小(概率)之间有着内在的联系.
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定义 2 在相同条件下重复进行 n 次试验, rn ( A) 若事件 A 发生的频率 f n ( A) 随着试验 n 次数 n 的增大而稳定地在某个常数 p(0p1) 附近摆动, 则称 p 为事件的概率, 记为 P(A).
上述定义称为随机事件概率的统计定义. 因此, 在实际应用时, 往往是用试验次数 足够大的频率来估计概率的大小且随着 试验次数的增加, 估计精度会越来越高.
P () P An P ( An ) P (). n 1 n 1 n 1 由概率的非负性知, P()0, 故由上式可知 P()=0.
注: 不可能事件的概率为0, 但反之不然.
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性质2(有限可加性) 设A1,A2,,An是两两 互不相容的事件, 则有 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)++P(An).
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数字
出现次数
0
1
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6
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60 62 67 68 64 56 62 44 58 67
因为p是一个无限不循环小数, 所以, 理论 上每个数字出现的次数应近似相等, 或它 们出现的频率应都接近0.1, 但7出现的频 率过小. 这就是费林生产生怀疑的理由.
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例2 检查某工厂一批产品的质量, 从中分 别抽取10件, 20件, 50件, 100件, 150件, 300件检查, 检查结果及次品出现的频率 列入下表. 表1-2-1
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例5 观察某地区未来5天的天气预报, 记Ai 为事件:"有i天不下雨", 已知P(Ai)=iP(A0), i=1,2,3,4,5. 求下列各事件的概率: (1) 5天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (3)至 多三天不下雨.
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解 显然 A0,A1, ,A5 是两两不相容事件且
A S,
P( A) P( AB) P( B) P( AB) 0.45 0.1 0.35 0.1 0.6
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课堂练习 1. 设AB=. P(A)=0.6, P(AB)=0.8, 求事 件B的逆事件的概率.(0.8) 2. 设P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(AB)=0.6, 求 P(AB). (0.3) 3. 设A,B都出现的概率与A,B都不出现的 概率相等, 且P(A)=p, 求P(B).(1p)