平行四边形折叠问题(齐福德)
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A
8 10 6 10
D
方法：先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法：
B
E 把条件集中到一个Rt△中，根 8-x x 据勾股定理得方程。 F 4C
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10， 又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2， 解之得x=3
巩固测试：1. 如图，矩 形ABCD沿BE折叠，使 点C落在AD边上的F点 处，如果ABF=60º ， 则CBE等于（ ）。 (A)15º (B)30º (C )45º (D)60º
B
C E
A
F D
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把 矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处， AE交DC于点F，若 AF 25 cm ，则AD的 4 长为（ ） A．4cm B．5cm E C．6cm D．7cm
在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 折痕为EF．
20
在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张 纸片按如图示方式折叠，求折 痕的长． 过F作BC的垂线FH
A E D
H
B
C’
G
F
C
☞透过现象看本质:
A
A 轴 实质 对 称 F E
D
折 E 叠 F C
B
D
由折叠可得：
轴对称性质：
1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的垂直 平分线
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
全等性
轴Leabharlann Baidu称 本 质
对称性
折
折叠问题 精 髓
重结果
叠
利用Rt△
方程思想
利用∽
折叠问题
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠”
2、本质：轴对称（全等性，对称性）
3、关键：根据折叠实现等量转化 4、基本方法：（1）找出直角三角形构造方程 （2）根据勾股定理列方程。
4.在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸 片按如图所示方式折叠，P，Q分 别为AB，CD的中点，折痕为AE， 求折痕AE的长。
D F
C
A
B
3.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D落在
边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，AD= 4 ，
8-4 3 ． 15° ，EF=_______ 则∠DAE=______
思考探究题目：
如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF。
（1）连结CF，四边形AECF是什么特殊的四边形？ 为什么？ （2）若AB＝4cm，AD＝8cm，你能求出线段BE 及折痕EF的长吗？
平行四边形中的折叠问题
天津市第八十中学
齐福德
• 几何定义：研究图形的形状、大小、位置关 系； • 涉及几何知识（章节为主）： •
A D E B F C
1．如图，将一平行四边形纸片沿AE折叠， 再沿EF折叠，使点E,C`,B`在同一直线上， 则 AEF
例题： 如图，折叠折叠矩形ABCD的一边AD，点D落 在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求 EC的长。
x
25-x ？ H
20
在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张 纸片按如图示方式折叠，求折 痕的长． 分析：连结BD，交EF于点O
1 5 则，BD⊥EF,且BO= 2 BD= 2
x O
25-x
41
在Rt△BEO中可求得EO= 2 41 可证得EF=2EO= 4 41
G A F D
B
E
C
练习：如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕 为EF，那么折痕EF的长为________．
A E D
B F
C’
C
（08湖北荆门） 例2．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕 10 为EF，那么折痕EF的长为________ ．
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方法：先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法：
B
E 把条件集中到一个Rt△中，根 8-x x 据勾股定理得方程。 F 4C
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10， 又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2， 解之得x=3
巩固测试：1. 如图，矩 形ABCD沿BE折叠，使 点C落在AD边上的F点 处，如果ABF=60º ， 则CBE等于（ ）。 (A)15º (B)30º (C )45º (D)60º
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C E
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2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把 矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处， AE交DC于点F，若 AF 25 cm ，则AD的 4 长为（ ） A．4cm B．5cm E C．6cm D．7cm
在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 折痕为EF．
20
在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张 纸片按如图示方式折叠，求折 痕的长． 过F作BC的垂线FH
A E D
H
B
C’
G
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☞透过现象看本质:
A
A 轴 实质 对 称 F E
D
折 E 叠 F C
B
D
由折叠可得：
轴对称性质：
1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的垂直 平分线
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
全等性
轴Leabharlann Baidu称 本 质
对称性
折
折叠问题 精 髓
重结果
叠
利用Rt△
方程思想
利用∽
折叠问题
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠”
2、本质：轴对称（全等性，对称性）
3、关键：根据折叠实现等量转化 4、基本方法：（1）找出直角三角形构造方程 （2）根据勾股定理列方程。
4.在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸 片按如图所示方式折叠，P，Q分 别为AB，CD的中点，折痕为AE， 求折痕AE的长。
D F
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A
B
3.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D落在
边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，AD= 4 ，
8-4 3 ． 15° ，EF=_______ 则∠DAE=______
思考探究题目：
如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF。
（1）连结CF，四边形AECF是什么特殊的四边形？ 为什么？ （2）若AB＝4cm，AD＝8cm，你能求出线段BE 及折痕EF的长吗？
平行四边形中的折叠问题
天津市第八十中学
齐福德
• 几何定义：研究图形的形状、大小、位置关 系； • 涉及几何知识（章节为主）： •
A D E B F C
1．如图，将一平行四边形纸片沿AE折叠， 再沿EF折叠，使点E,C`,B`在同一直线上， 则 AEF
例题： 如图，折叠折叠矩形ABCD的一边AD，点D落 在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求 EC的长。
x
25-x ？ H
20
在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张 纸片按如图示方式折叠，求折 痕的长． 分析：连结BD，交EF于点O
1 5 则，BD⊥EF,且BO= 2 BD= 2
x O
25-x
41
在Rt△BEO中可求得EO= 2 41 可证得EF=2EO= 4 41
G A F D
B
E
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练习：如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕 为EF，那么折痕EF的长为________．
A E D
B F
C’
C
（08湖北荆门） 例2．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕 10 为EF，那么折痕EF的长为________ ．