平行四边形折叠问题(齐福德)
第60期特殊平行四边形中的折叠问题
第60期特殊平行四边形中的折叠问题上期微专题探讨了勾股定理与折叠问题的不解之缘，本期我们将一起来探究特殊平行四边形中的折叠问题。
透过现象看本质如图，在矩形ABCD中，把ΔADE沿AE折叠，点D与点F重合，且点F落在BC 边上.我们不难发现，折叠问题的本质其实就是轴对称，折叠的性质就是轴对称的性质。
性质1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等.（由折叠性质1可得：ΔADE≌ΔAEF）性质2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.（由折叠性质2可得： AE是DF的垂直平分线）特殊平行四边形中的折叠问题，既要用到折叠的性质，又要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需要借助勾股定理和图形的相似等知识建立有关线段、角之间的联系。
接下来，我们通过3个例题来探究特殊平行四边形中的折叠问题。
类型一、折叠性质1的应用例1．如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△ADM沿直线AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC．（1）求证：△AME≌△ANB；（2）求∠CBE的度数．分析：本题的已知条件有1. △ADM沿直线AM折叠为△AME2. 菱形ABCD3. AM⊥CD, AE⊥BC那么我们便利用折叠性质和菱形的性质及垂直的特殊条件来寻找线段和角之间的关系。
解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠ABC=∠D∵AM⊥CD，AN⊥BC∴∠AMD=∠ANB∴△ADM≌△ABN由折叠得△ADM≌△AEM∴△AME≌△ANB（2）由（1）得∠EAB=∠EAM，AE=AB∵CD//AB，AM⊥CD∴∠MAB=∠AMD = 90°∴∠EAB=∠EAM = 45°∴∠ABE=∠AEB = 67.5°∵AN⊥BN∴∠ABN =90°–∠EAB = 45°∴∠CBE=∠ABE–∠ABN = 67.5°–45° = 22.5°类型二、折叠性质2的应用例2．如图，已知矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B?处，连接AB?并延长交CD 于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB = 6，BC=4，求tan∠CB?F的值．情景再现：本题第（2）问并不困难，难点在第（1）问。
平行四边形折叠问题解题技巧
平行四边形折叠问题解题技巧平行四边形折叠问题解题技巧什么是平行四边形折叠问题平行四边形折叠问题是一种数学问题，要求将一块平行四边形纸张折叠成特定的形状。
解决这个问题需要一些技巧和方法。
以下是一些常用的技巧，可以帮助你解题。
技巧一：注意对称性•在折叠平行四边形时，要注意纸张的对称性。
利用对称性可以简化问题，并找到更快的解决方案。
•如果可以发现平行四边形纸张具有对称性，可以根据对称性进行折叠，将问题简化为更小的子问题。
技巧二：利用角度相等•在平行四边形折叠问题中，角度是一个重要的概念。
角度相等的性质可以帮助我们确定折叠的方式。
•如果已知某个角度相等，可以通过将纸张折叠使得两个角度重合，从而找到解题的关键位置。
技巧三：利用边长比例•平行四边形的边长比例也是一个重要的信息。
通过观察边长比例，可以推导出纸张的折叠方式。
•如果已知两个边长的比例，可以利用这个比例关系进行折叠，从而找到解题的关键位置。
技巧四：分析折痕•折痕是平行四边形折叠问题中的关键点。
分析折痕的特点可以帮助我们确定折叠的方式。
•观察折痕的位置、形状和角度，可以推断出纸张的折叠方式，并找到最终的解答。
技巧五：尝试反向思考•在解决平行四边形折叠问题时，有时候可以尝试反向思考。
即从最终的形状出发，逆向推导出折叠的方式。
•这种方法可以帮助我们更直观地理解问题，从而找到更有效的解题方法。
技巧六：多练习、多实践•最后，最重要的是多练习、多实践。
通过反复练习和实践，可以加深对平行四边形折叠问题的理解，掌握更多的解题技巧。
•在实践中遇到问题不要气馁，可以寻求他人的帮助或参考相关资料，不断提升自己的解题能力。
以上是解决平行四边形折叠问题常用的技巧和方法。
通过灵活运用这些技巧，相信你能够轻松解决各种平行四边形折叠问题。
祝你成功！（以上仅为参考，具体文章内容可以根据实际需要进行修改和补充。
）。
几何中的折叠问题(解析版)--2024年中考数学压轴突破
几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由菱形性质和正切定义求出HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，得到∠EDC=∠EDC =45°，从而得到△CHD≌△DFC ，则C F= HD=5，则问题可解．【详解】解：过C作CH⊥AD于H，过C 作C F⊥AD于F，由已知，AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，则HC=2x，∴在Rt△HDC中，HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知，∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AH BH =2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FM BM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD =28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BC AB B.sin α=CD AB C.cos α=AD BD D.cos α=CD BC 【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD 所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC 和CD 所对的圆周角相等，∴AC =CD ，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CD AB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6 ，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A 【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形D.sin ∠DAP =45【答案】C 【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP =252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE =x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD =AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC 交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。
人教版初中数学讲义八年级下册第07讲 专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)
第07讲专题1平行（特殊）四边形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题类型二：矩形中的折叠问题类型三：菱形中的折叠问题类型四：正方形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题1．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故选：B．2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝65°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案为：65．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案为：36°．5．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝16°．【解答】解：∵点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案为：16．类型二：矩形中的折叠问题6．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是（）A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，＝DE×CD÷2＝18.75cm2．∴S△BDE故选：C．7．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．8．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求，乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求，A．只有甲的折法正确B．甲和乙的折法都正确C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．故选：C．10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD 的度数为（）A．37°B．74°C．96°D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由折叠可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正确；∵∠D1GN＝∠MGN不一定为45°，∴GH不一定垂直GD1，故②错误；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH与EF共线，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正确；故选：B．类型三：菱形中的折叠问题10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．11．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案为：75°．12．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案为75．13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝90°；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案为：90°．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴点D，G，F三点在同一条直线上．过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案为：．类型四：正方形中的折叠问题14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）A．70°B．65°C．30°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．15．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为2．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．16．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，＝AB•AF＝BF•AH，∵S△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，故答案为：．18．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．。
平行四边形中的折叠问题课件.
平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨《几何》教材第四章第三节“平行四边形中的折叠问题”。
内容详细涉及平行四边形的性质，尤其是通过折叠操作来探讨平行四边形对角线的性质、对边关系以及角的关系。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形的基本性质，尤其是通过折叠操作呈现的性质。
2. 学会运用折叠方法解决平行四边形中的相关问题，提高空间想象力和逻辑思维能力。
3. 能够将平行四边形的折叠问题与其他几何知识相结合，形成综合解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：通过折叠操作推导出平行四边形对角线的性质以及与角度的关系。
教学重点：平行四边形的基本性质及其在折叠问题中的应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。
学具：每组一份平行四边形纸张模型、剪刀、尺子、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用多媒体展示生活中常见的平行四边形折叠实例，如包装盒、纸飞机等，引导学生观察并思考折叠后的性质变化。
2. 知识讲解（15分钟）通过课件和模型，讲解平行四边形的基本性质，以及折叠操作对平行四边形的影响。
3. 例题讲解（10分钟）选取一道典型例题，讲解如何运用折叠方法解决平行四边形中的问题。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成两道练习题，巩固折叠问题的解法。
5. 小组讨论（10分钟）学生分组讨论解题过程中遇到的问题，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠操作对平行四边形的影响3. 例题及解题步骤4. 练习题及答案七、作业设计1. 作业题目：（1）已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相等，求证：四边形ABCD是矩形。
（2）将一个平行四边形沿对角线折叠，得到一个三角形，求证：这个三角形的面积等于原平行四边形面积的一半。
2. 答案：（1）根据平行四边形性质，对角线相等，故四边形ABCD是矩形。
（2）设平行四边形ABCD的面积为S，折叠后得到的三角形面积为S'，则S' = 1/2 S。
平行四边形中的折叠问题课件.
平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨人教版八年级数学上册第四章《平行四边形》中的折叠问题。
具体内容包括：平行四边形的性质，折叠后图形的特点，以及如何通过折叠解决问题。
重点章节为4.3节“平行四边形的判定”。
二、教学目标1. 让学生掌握平行四边形的基本性质，并能运用这些性质解决折叠问题。
2. 培养学生空间想象力和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
3. 通过折叠实践活动，让学生体会数学与生活的联系，激发学习兴趣。
三、教学难点与重点难点：平行四边形折叠后图形的形状变化，以及如何利用性质解决问题。
重点：平行四边形的性质及判定方法，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、折叠示例图、多媒体课件。
学具：剪刀、彩纸、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）让学生动手折叠一张平行四边形纸片，观察折叠后的形状变化，引导学生发现数学问题。
2. 例题讲解（15分钟）讲解折叠问题中涉及到的平行四边形性质，并通过例题演示解题方法。
例题：一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长。
3. 随堂练习（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习题：一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的面积。
4. 小组讨论（5分钟）分组讨论折叠问题的解题方法，促进学生交流与合作。
6. 知识拓展（5分钟）介绍平行四边形折叠在生活中的应用，激发学生兴趣。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠问题的解决方法3. 例题及解答步骤七、作业设计1. 作业题目：（1）一个平行四边形沿着一条对角线折叠，求折叠后图形的周长和面积。
（2）一个平行四边形沿着一条高折叠，求折叠后图形的周长和面积。
2. 答案：（1）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。
（2）周长：原平行四边形的周长；面积：原平行四边形面积的一半。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过折叠实践活动，让学生掌握了平行四边形性质在折叠问题中的应用。
2024年平行四边形中的折叠问题课件
2024年平行四边形中的折叠问题课件.一、教学内容本节课我们将探讨教材第十二章“几何变换”中的折叠问题，特别是平行四边形的折叠。
详细内容包括：理解平行四边形的基本性质，掌握折叠过程中的对称性和不变量，运用这些性质解决折叠问题。
二、教学目标1. 理解平行四边形的性质，并能运用性质解决折叠问题。
2. 通过折叠活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
教学重点：平行四边形性质的应用，折叠问题的解决方法。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，平行四边形的模型。
2. 学具：剪刀，彩纸，尺子，圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示生活中的折叠实例，如纸飞机、纸盒等，让学生感受折叠在生活中的应用。
2. 知识讲解：（1）回顾平行四边形的性质。
（2）介绍折叠过程中平行四边形的对称性和不变量。
3. 例题讲解：（1）给出一个平行四边形折叠问题，引导学生分析问题，找出关键信息。
（2）示范解题过程，强调平行四边形性质的应用。
4. 随堂练习：让学生独立解决一个类似的折叠问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：学生分组讨论解决折叠问题的方法，分享解题心得。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程中的对称性和不变量3. 折叠问题的解题步骤七、作业设计答案：折叠后的形状为一个三角形。
2. 作业题目：已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，沿对角线AC折叠，求折叠后的形状。
答案：折叠后的形状为一个三角形。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入，让学生感受到了折叠的趣味性。
在讲解过程中，注重引导学生运用平行四边形的性质解决问题。
2. 拓展延伸：鼓励学生探究其他多边形的折叠问题，培养学生的探究意识和创新精神。
重点和难点解析1. 实践情景引入的选择与设计。
2. 知识讲解中对平行四边形性质的回顾与强调。
第十八章微专题七特殊平行四边形中的折叠问题(教案)-2022-2023学年八年级下册数学(人教版)
4.折叠问题的实际应用：结合实际生活中常见的折叠问题，让学生学会运用所学知识解决实际问题。
5.折叠问题的拓展思考：引导学生思考折叠问题在其他几何图形中的应用，提高学生的创新能力和几何直观。
二、核心素养目标
-培养学生运用折叠方法解决问题的能力，使学生能够将理论知识与实际操作相结合。
举例：以矩形为例，重点讲解其对折后的图形仍为矩形，且对折线为矩形的对角线，对折前后矩形的面积相等但形状可能不同。
2.教学难点
-理解和掌握矩形、菱形、梯形折叠过程中几何量的变化规律，尤其是折叠后产生的新图形与原图形之间的关系。
最后，我认为在今后的教学中，还应加强对学生的鼓励和表扬，让他们在学习过程中感受到成功的喜悦，从而激发他们的学习兴趣和积极性。同时，我将不断学习，提升自身的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学服务。
1.培养学生空间观念和几何直观，通过折叠问题的学习，让学生能够理解和把握图形的折叠特征，提高对几何图形变换的认识。
2.培养学生逻辑推理和问题解决能力，使学生能够运用折叠方法分析解决特殊平行四边形相关问题，形成严密的逻辑思维。
3.培养学生数学抽象和数学建模素养，让学生在折叠问题的探索过程中，学会提炼关键信息，构建数学模型，为解决实际问题奠定基础。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了特殊平行四边形折叠的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对折叠问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《平行四边形的折叠问题》课件PPT
【小热身】
2. 将矩形纸片ABCD折叠，让AB落在对角AB=3
① 直接说出与下列线段长度相同的线段：
AF= AB , EF= EB A
D
②AC的长度为多少？ ③你会求BE的长度吗？
F
X
2
B X E 4-X C
【合作探究一】
问题：将平行四边形纸片沿∠BAD的角平
O
B
FC
【巩固练习一】
如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的 点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长.
A
10
D
8
E
8-x x
B
6 F 4C
【巩固练习二】
将矩形ABCD折叠使A、C重合，折痕交BC于E,
交AD于F,交AC于O.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB=4，BC=8，
（2）求BE的长. （3）求 BEF的面积.
A
E
D
B (D')
F
C
C'
【课堂小结】
折叠问题
1、本质：轴对称（全等性，对称性）
2、关键：翻折
全等
相等的边 相等的角
3、方法：构建直角三角形，利用 勾股定理建立方程
分线AE折叠，你能找到点B的对应点B′吗？
四边形ABEB′是什么四边形？
A
B' D
B
EC
【合作探究一】
▪ 变式1：平行四边形ABCD，AC⊥AB，若 将平行四边形沿AC进行折叠，点B的对 应点为B′,四边形ACDB′是什么四边形？ B'
A
D
B
C
变式2：给平行四边形ABCD添个什么条件，能使
19.3.2平行四边形中的折叠问题优质教案
19.3.2 平行四边形中折叠问题优质教案一、教学内容本节课，我们将深入探讨教材第19章第3节第2部分，关于平行四边形中折叠问题。
具体内容包括：理解平行四边形性质，掌握折叠过程中各边和角关系，以及运用这些性质解决实际问题。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形性质。
2. 学会运用折叠方法，解决平行四边形相关问题。
3. 培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点教学难点：理解平行四边形折叠过程中各边和角关系。
教学重点：掌握平行四边形性质，并运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、圆规。
2. 学具：每人一份平行四边形纸张、剪刀、尺子、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入向学生展示一个平行四边形模型，提问：“如何通过折叠，将这个平行四边形变成一个矩形？”邀请学生上台演示，并分享他们思考过程。
2. 例题讲解讲解平行四边形性质，如对边平行且相等，对角相等。
以一个具体折叠问题为例，引导学生运用性质，解决问题。
3. 随堂练习让学生分组讨论，解决教材中折叠问题。
指导学生运用所学知识，分析问题，得出结论。
4. 课堂小结强调在解决折叠问题时，要注意边和角关系。
六、板书设计1. 平行四边形性质对边平行且相等对角相等2. 折叠问题解决方法确定折叠前后关系运用性质，推导出答案七、作业设计1. 作业题目1）一个平行四边形，将其沿对角线折叠，求折叠后得到图形面积。
2）已知一个平行四边形，求将其折叠成一个矩形所需最小折叠次数。
2. 答案作业1：折叠后得到图形为两个全等三角形，根据全等三角形性质，可求出面积。
作业2：最少折叠两次，先将平行四边形沿一条对角线折叠，再沿另一条对角线折叠。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过折叠问题，让学生深入理解平行四边形性质，提高学生空间想象能力和逻辑思维能力。
2. 拓展延伸：引导学生思考，如何将平行四边形折叠成一个正方形？鼓励学生进行课外探究，提高他们自主学习能力。
19.3.2平行四边形中的折叠问题教案
19.3.2 平行四边形中的折叠问题教案一、教学内容本节课选自高中数学教材第十九章三角形与四边形 19.3.2节，主要内容为平行四边形中的折叠问题。
具体内容包括：平行四边形折叠的性质，折叠后图形的形状及面积计算，折叠问题的实际应用。
二、教学目标1. 理解并掌握平行四边形折叠的性质，能运用性质解决相关问题。
2. 学会折叠后图形的形状识别和面积计算方法，提高空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 能够将折叠问题应用于实际生活中，体会数学在现实生活中的价值。
三、教学难点与重点教学难点：折叠后图形的形状识别和面积计算。
教学重点：平行四边形折叠的性质及其应用。
四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、量角器。
学具：练习本、铅笔、直尺、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一些平行四边形折叠后的作品，让学生观察并思考其中的规律。
2. 例题讲解：讲解平行四边形折叠的性质，通过具体例子演示折叠过程，引导学生发现性质。
（1）性质一：平行四边形对角线互相平分。
（2）性质二：平行四边形对角线互相垂直。
（3）性质三：折叠后图形的面积不变。
3. 随堂练习：让学生动手折叠平行四边形，验证折叠性质，并计算折叠后图形的面积。
4. 知识拓展：介绍折叠问题在实际生活中的应用，如包装盒设计、建筑结构等。
六、板书设计1. 平行四边形折叠性质：（1）对角线互相平分（2）对角线互相垂直（3）面积不变2. 折叠后图形的形状及面积计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）折叠一个平行四边形，验证折叠性质，并计算折叠后图形的面积。
（图形见附件）2. 答案：（1）见学生实际操作。
（2）原平行四边形的面积为折叠后图形面积的两倍。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对折叠性质的理解和应用较为顺利，但在面积计算方面还需加强练习。
2. 拓展延伸：鼓励学生探索其他多边形的折叠性质，提高空间想象能力和创新能力。
重点和难点解析1. 教学内容中折叠性质的深入理解。
2024年19.3.2 平行四边形中的折叠问题 精彩教案
2024年19.3.2 平行四边形中的折叠问题精彩教案一、教学内容本节课选自数学教材第九章第二节，主题为“平行四边形中的折叠问题”。
教学内容主要包括：理解平行四边形的性质，掌握平行四边形折叠后的特点，运用折叠性质解决实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握平行四边形的性质，能运用折叠方法解决相关问题。
2. 过程与方法：培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高学生的空间想象力和动手操作能力。
3. 情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养合作精神和探究精神。
三、教学难点与重点教学难点：平行四边形折叠后形状的判断。
教学重点：平行四边形性质的理解与应用。
四、教具与学具准备教具：平行四边形模型、剪刀、尺子、彩笔。
学具：每人一份平行四边形卡片、剪刀、尺子、彩笔。
五、教学过程1. 实践情景引入利用平行四边形模型，展示折叠过程，引导学生观察折叠后的形状。
2. 知识讲解（1）回顾平行四边形的性质。
（2）讲解折叠过程中平行四边形的特点。
3. 例题讲解（1）判断折叠后的形状。
（2）利用折叠性质解决实际问题。
4. 随堂练习（1）完成教材第89页第1、2题。
（2）小组讨论，分享解题方法。
六、板书设计1. 平行四边形的性质2. 折叠过程及特点3. 例题解析4. 课后作业七、作业设计1. 作业题目（1）教材第89页第3、4题。
（2）思考题：如何利用平行四边形折叠性质设计一个立体图形？2. 答案（1）见教材答案。
（2）略。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入，让学生在动手操作中掌握平行四边形的折叠性质，培养了学生的空间想象力和动手操作能力。
在课后，教师应关注学生对知识的掌握情况，及时进行反馈和指导。
同时，鼓励学生思考折叠性质在其他领域的应用，提高学生的创新意识。
重点和难点解析1. 实践情景引入2. 知识讲解中的平行四边形性质和折叠特点3. 例题讲解的详细步骤4. 随堂练习的设计与实施5. 作业设计中的思考题一、实践情景引入1. 选择具有趣味性和挑战性的平行四边形模型，引导学生观察折叠过程中的变化。
平行四边形中的折叠问题
平行四边形中的折叠问题
问题描述
给定一个平行四边形，我们要找到一种折叠方式，使得折叠后的形状尽可能接近原始外形。
折叠是指将平行四边形的不同边折叠到一起，形成一个新的图形。
我们的目标是使得折叠后的图形尽可能接近原始外形，而且要保持对称。
解决方案
为了解决这个问题，我们可以采用以下步骤：
1. 首先，我们需要确定要折叠的边和折叠的方向。
我们可以选择折叠平行四边形的相邻边，保持对称的同时，最大限度地保持外形的相似性。
2. 然后，我们需要确定每个边折叠的比例。
我们可以根据需要将每个边的长度按比例减小，以适应折叠后的形状。
这样可以确保折叠后的图形更接近原始外形。
3. 接下来，我们可以开始折叠。
根据先前确定的折叠方向和比例，将平行四边形的边折叠到一起。
在折叠过程中要小心，确保折叠后的图形保持对称。
4. 最后，我们可以调整折叠后的图形，使其尽可能接近原始外形。
我们可以微调每个边的位置和角度，以使整个图形更接近原始形状。
总结
通过以上步骤，我们可以解决平行四边形中的折叠问题。
通过选择合适的折叠方向和比例，并进行适当的微调，我们可以使折叠后的图形尽可能接近原始外形。
这个问题涉及了几何学中的对称性和相似性概念，同时也考察了我们的折叠技巧。
希望这个文档对你理解和解决平行四边形中的折叠问题有所帮助！
参考文献：。
平行四边形的折叠问题
特殊平行四边形中的折叠问题1 、矩形中的折叠例1 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8.将矩形ABCD 沿CE 折叠后，使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处.求EF 的长.例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处.（1）试说明B ′E ＝BF ；（2）设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a 、b 、c 之间有何等量关系，并给予说理.2、 菱形中的折叠例3 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，将菱形折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的点G 处（不与B 、D 重合），折痕为EF ，若BC ＝4，BG ＝3，则GE 的长为 ．3、 正方形中的折叠例4如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将∠ABE 沿AE 折叠至∠ABE 处，BE 与AC 交于点F ，若∠EFC ＝69°，则∠CAE 的大小为（ ）A ．10°B ．12°C ．14°D ．15°例5 如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC ＝2：1，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6AB CDFA ′B ′EFB A CD E G O E B CA D P EN M CD BA F G E C DB A F E DCA BEFGB A HB'CDAB EGFECDBAE B CA D 跟踪练习：1．如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D 1、C 1的位置，ED 1的延长线交BC 于点G ，若∠EFG ＝64°，则∠EGB 等于（ ） A ．128° B ．130° C ．132° D ．136°（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）2．如上图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上一点，将∠ABP 沿BP 翻折至∠EBP ，PE 与CD 相交于点O ，BE 与CD 相交于点G ，且OE ＝OD ，则AP 的长为_________．3．如图，菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 的中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，若菱形边长为1，则点E 到CD 的距离为 ．4. 如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，点A 关于DE 的对称点为F ，若正方形ABCD 的边长为1，且∠BFC ＝90°，则AE 的长是__________；综合练习：1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把∠CDE 沿DE 翻折，点C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（ ）A ．1B ．43C ．32D ．53（1题图） （2题图） （3题图） （4题图）2．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝120°，则EF 的值是（ ） A ．√3 B ．2 C ．2√3 D ．43．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，∠ABE 沿直线BE 折叠后得到∠GBE ，延长BG 交CD 于点F ，若AB ＝6，BC ＝46，则FD 的长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．234．如图，矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ，若∠CDN 的面积与∠CMN 的面积比为1∠4，则MN ∠BM 的值是( ) A ．4 B ．5 C ．25 D ．265．在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠C ＝90°，DC ＝DA ，∠D ＝60°，AB ＝2，将四边形ABCD 折叠，使点D 和点B 重合，折痕为EF ，则EF 的长为( ) A ．2B ．3215C ．72110D ．4215（5题图） （6题图） （7题图） （8题图）6．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把紙片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝10，AF 的值为_________．7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当∠CB ′E ＝90°时，BE 的长为__________； 8．如图，已知矩形ABCD 的边AB ＝6，BC ＝8．将矩形的一部分沿EF 折叠，使D 点与B 点重合，C 点的对应点为G ．则EF 的长是_________．将∠BEF 绕着点B 顺时针旋转角度α (0°＜α＜180°)，得到∠BE 1F 1，直线E 1F 1分别与射线EF 、射线ED 交于点M 、N ．当EN ＝MN 时，FM 的长是__________； 9．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝6，M 是AD 边上的一点，AM ：MD ＝1：2．将∠BMA 沿BM 对折至∠BMN ，连接DN ，则DN 的长是________．10．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2．E 是AB 的中点，直线l 平行于直线CE ，且直线l 与直线EC 之间的距离为2，点F 在矩形ABCD 边上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点A 恰好落在直线l 上，则DF 的长为__________．。
平行四边形中的折叠问题含答案
平行四边形中的折叠问题一、新课导入（一）学习目标熟练掌握平行四边形的性质与判定，并能运用相关性质、判定解决平行四边形中的折叠问题．（二）预习导入1．如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，若∠A=55°，∠ABD=45°，则∠A′BC的大小为（）．A．30°B．35°C．40°D．45°2．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC'F的周长之和是________．二、典型问题知识点一：在折叠中求角度和边长例1如图，矩形ABCD中，点M，N分别在AD、BC边上．将矩形ABCD沿MN翻折，点C恰好落在AD边上的点F处．若MD=1，∠MNC=60°，则∠EFM的度数为_______，AB的长为________．分析：由折叠变换可得EF=CD，MD=EM=1，∠MNC=∠FNM=60°，∠C=∠EFN=90°，由平行线的性质可得∠FMN=∠MNC=60°，即可求得∠EFM的度数，由直角三角形的性质可求得EF的长，即为AB的长．知识点二：在折叠中判定平行四边形例2如图，已知矩形ABCD，将纸片折叠，使顶点A与C重合，折痕EF分别于DC，AB 交于E，F．求证：E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．分析：连接AE，AC，AC交EF于O，由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，根据全等三角形的性质得到AF=CE，则即可得解．三、阶梯训练A组：基础练习1．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处．若∠1=∠2=50°，则∠A'为_________．2．把矩形ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=4cm，BC=8cm，则DF的长度是________cm．3．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________．4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D=80°，则∠ECF的度数是__________．5．在▱ABCD中，点E为AB边的中点，连接CE，将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G 处，连接AG并延长，交CD于F．求证：四边形AECF是平行四边形．6．准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M 点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若四边形BFDE是菱形，BE=2，求菱形BFDE的面积．B组：拓展练习7．如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ的度数为_________．8．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，点P是AB边的中点，折叠纸片，使点C落在直线DP上的C处，折痕为经过点D的线段DE．则∠DEC的度数为_________．9．如图，正方形ABCD的边长AB=12，翻折AD到GN分别交CD于点M，交BC于点N，BN=5，连接AN．（1）求△AEN的面积；（2）试判断EF与AN的关系，并说明理由．平行四边形中的折叠问题答案预习导入1．B．2．6．例130°，3．例2连接AE，AC交EF于O．由折叠的性质得，AO=CO，EF⊥AC，∴AE=CE，AF=CF．∵AB∥CD，∴∠ECO=∠OAF．在△AOF与△COE中，∠ 쫠⩊＝∠ ，쫠 ＝ ，∠쫠 ⩊＝∠ ，∴△AOF≌△COE．∴AF=CE．∴AE=AF=CE=CF．∴E，A，F，C四点构成的四边形为菱形．1．105°．2．5．3．7．4．40°．5．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．∵将△BCE沿着CE翻折，点B落在点G处，∴BE=GE，∠CEB=∠CEG．∴AE=GE．∴∠FAE=∠AGE．∵∠BEG=∠FAE+∠AGE，∴∠FAE=12∠BEG．又∵∠CEB=∠CEG=12∠BEG，∴∠FAE=∠CEB．∴AF∥EC．∴四边形AECF是平行四边形．6．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD．∴∠ABD=∠CDB．由翻折变换的性质可知，∠ABE=∠EBD，∠CDF=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB．∴EB∥DF．∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．（2）∵四边形BFDE为菱形，∴∠EBD=∠FBD．∵∠EBD=∠ABE，∴∠EBD=∠FBD=∠ABE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∴∠EBD=∠FBD=∠ABE=30°．∴AB=3．∴菱形BFDE的面积S=DE×AB=23．7．30°．8．75°．9．（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°．由折叠的性质，得NE=AE．设NE=AE=x，则BE=AB-AE=12-x．在Rt△ABN中，由勾股定理，得52+（12-x）2=x2，解得x=16924．∴AE=16924．∴△AEN的面积=12AE×BN=84548．（2）EF⊥AN，EF=AN，理由如下：作FH⊥AB于H，如图所示．则FH=AD=AB，∠EFH+∠FEH=90°．由折叠的性质，得EF⊥AN，∴∠NAB+∠FEH=90°．∴∠EFH=∠NAB．在△EFH和△NAB中，∠ ⩊h＝∠ 쫠 ，⩊h＝쫠 ，∠⩊h ＝∠ ＝90°，∴△EFH≌△NAB．∴EF=AN．。
平行四边形折叠问题(齐福德)
x
25-x ？ H
20
在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张 纸片按如图示方式折叠，求折 痕的长． 分析：连结BD，交EF于点O
1 5 则，BD⊥EF,且BO= 2 BD= 2
x O
25-x
41
在Rt△BEO中可求得EO= 2 41 可证得EF=2EO= 4 41
A D E B F C
1．如图，将一平行四边形纸片沿AE折叠， 再沿EF折叠，使点E,C`,B`在同一直线上， 则 AEF
例题： 如图，折叠折叠矩形ABCD的一边AD，点D落 在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求 EC的长。
A
8 10 6 10
D
方法：先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法：
折
折叠问题 精 髓
重结果
叠
利用Rt△
方程思想
利用∽
折叠问题
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠”
2、本质：轴对称（全等性，对称性）
3、关键：根据折叠实现等量转化 4、基本方法：（1）找出直角三角形构造方程 （2）根据勾股定理列方程。
4.在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸 片按如图所示方式折叠，P，Q分 别为AB，CD的中点，折痕为AE， 求折痕AE的长。
B
C E
A
F D
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把 矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处， AE交DC于点F，若 AF 25 cm ，则AD的 4 长为（ ） A．4cm B．5cm E C．6cm D．7cm
D F
C
A
Bபைடு நூலகம்
平行四边形中的折叠问题
平行四边形与特殊平行四边形中的折叠型问题折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的图形问题。
这类问题既是对称问题的应用，又可考查空间想象能力。
此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识。
今天我们就i起学习折叠型问题在平行四边形与特殊平行四边形中的应用。
一、平行四边形中的折叠问题ABCD沿BD对折，使C点落在E处。
BE与AD相交于点0,若Z DBC=15°，则1 •如图1,把一张平行四边形纸片ZBOD= ________ .2・如图2,平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F 处，若ZXFDE的周长为8, A FCB的周长为22,则FC的长为________________ .二、矩形中的折叠问题3.如图3,把矩形纸条ABCD沿EF, GH同时折叠，B, C两点恰好落在AD边的P点处，若Z FPH = 90° , PF =8,PH=6,则矩形ABCD的边BC长为（）4.如图4,将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分Z BFE,则ZGFH的度数为 _______________ 度三、正方形中的折叠问题5.如图5,四边形ABCD为正方形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD= 8,则CF等于（）A.3B.5 C . 4 D . 86.如图6,已知正方形纸片ABCD, M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则Z PBQ= 度。
四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题7. 将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系屮，O 为原点，C 在x 轴上，OA=6, OC=10o 如图7,在OA 上取一点E,将AEOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；小结：1. 对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形，从而把折 叠问题转化为轴对称问题，2. 利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集屮在一起）。
沪科版八下数学 专题(5)平行四边形的折叠问题
沪科版八下数学专题（5）平行四边形的折叠问题1.如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点Cʹ处，BCʹ与AD相交于点E．(1) 连接ACʹ，则ACʹ与BD的位置关系是；(2) EB与ED相等吗？证明你的结论．2.如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF，求证：(1) ∠ECB=∠FCG；(2) △EBC≌△FGC．3.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线折叠后，会得到怎样的图形呢？(1) 在图中用实线画出折叠后得到的图形；（画图工具不限；只需画出其中一种情形）(2) 折叠后重合部书分是什么图形？试说明理由；(3) 当AB=3，BC=4时，求出重合部分的面积．4.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与点B，D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，求AF的长．5.如图，取平行四边形纸片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，∠B=90∘，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．(1) 求证：四边形AECF是菱形；(2) 求折痕EF的长．6.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．(1) 求证：△ABG≌△AFG；(2) 求BG的长；(3) 求△FEC的面积．答案1. 【答案】(1) ACʹ∥BD(2) EB=ED．理由如下：由折叠可知∠CBD=∠EBD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED．2. 【答案】(1) 如图，连接AC，交EF于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．由折叠可知，∠DAC=∠ACG，AE=CE，AD=CG=BC，OA=OC，∴∠ACB=∠ACG，∴∠EAC=∠ECA．∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAE，∴∠ACE=∠ACD，∴∠ECB=∠FCG．(2) 由折叠可知，∠AEF=∠CEF，∵AE∥CD，∴∠AEF=∠EFC，∴∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，又∵BC=CG，∠BCE=∠DCG，∴△EBC≌△FGC．3. 【答案】(1) 如答图．(2) 折叠后重合部分是等腰三角形．理由如下：如答图，∵AD∥BC，∴∠3=∠1．又∵矩形ABCD沿BD折叠，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴△BDF为等腰三角形．(3) 由（2）得BF=DF，而AB=3，BC=4，设DF=x，则BF=x，AF=4−x，在Rt△ABF中，AB2+AF2=BF2，即32+(4−x)2=x2，解得x=258，∴重合部分的面积S△BFD=12DF⋅AB=12×258×3=7516．4. 【答案】如答图，作FH⊥BD于点H，由折叠的性质可知，FG=FA，由题意，得BD=DG+BG=8，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=12∠ABC=60∘，∴△ABD为等边三角形，∴AD=BD=8，设AF=x，则FG=x，DF=8−x，在Rt△DFH中，∵∠FDH=60∘，∴DH=12(8−x)=4−12x，FH=√32(8−x)，∴HG=DG−DH=2−(4−12x)=12x−2，在Rt△FHG中，FG2=FH2+GH2，即x2=(4√3−√32x)2+(12x−2)2，解得x=267，∴AF的长为267．5. 【答案】(1) 由题可知纸片沿过AC的中点O的直线对折，使点A与点C重合，∴△AEF≌△CEF，∴AE=CE，AF=CF，∠AEO=∠CEO．∵AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF=∠AEF，∴AF=AE，∴AE=EC=CF=AF，∴四边形AECF是菱形．(2) 连接BD，OB=12BD=12√62+82=5(cm)，设 AE =EC =x ，则 BE =8−x ，在 Rt △ABE 中，由勾股定理，得 x 2=(8−x )2+62，解得 x =254．∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∠B =90∘，∴ 四边形 ABCD 是矩形，∴OA =OB =5 cm ．在 Rt △AOE 中，由勾股定理，得 OE =√AE 2−OA 2=√(254)2−52=154(cm )． ∵OE =OF ，∴EF =152 cm ．6. 【答案】(1) ∵△AFE 是由 △ADE 折叠得到，∴AF =AD ，∠AFE =∠AFG =∠D =90∘．又 ∵ 四边形 ABCD 是正方形．∴AB =AD ，∠B =∠D ，∴AB =AF ，∠B =∠AFG =90∘，在 Rt △ABG 和 Rt △AFG 中，{AG =AG,AB =AF, ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG (HL )．(2) ∵ 正方形 ABCD 中，AB =CD =6，CD =3DE ，∴EF =DE =13CD =2，CE =CD −DE =4．设 BG =FG =x ，则 CG =6−x ，在 Rt △ECG 中，根据勾股定理，得 (6−x )2+42=(x +2)2，解得 x =3，∴BG =3．(3) 由（2）知，EF =2，BG =3，由（1）知，Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴FG =BG =3，∴EG =EF +FG =5．由（2）知，CG =6−x =3，CE =4，∴S △CEG =12CG ⋅CE =12×3×4=6，∴S △FEC =25S △CEG =125．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
巩固测试：1. 如图，矩 形ABCD沿BE折叠，使 点C落在AD边上的F点 处，如果ABF=60º ， 则CBE等于（ ）。 (A)15º (B)30º (C )45º (D)60º
B
C E
A
F D
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把 矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处， AE交DC于点F，若 AF 25 cm ，则AD的 4 长为（ ） A．4cm B．5cm E C．6cm D．7cm
A
8 10 6 10
D
方法：先标等量，再构造方程。 折叠问题中构造方程的方法：
B
E 把条件集中到一个Rt△中，根 8-x x 据勾股定理得方程。 F 4C
解 设EC=x，则DE=8-x，由轴对称可知：EF=DE=8-x，AF=AD=10， 又因AB=8，故BF=6，故FC=BC-BF=4。在RtFCE中，42+x2=(8-x)2， 解之得x=3
G A F D
B
E
C
练习：如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕 为EF，那么折痕EF的长为________．
A E D
B F
C’
C
（08湖北荆门） 例2．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9， AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕 10 为EF，那么折痕EF的长为________ ．
A E D
H
B
C’
G
F
C
☞透过现象看本质:
A
A 轴 实质 对 称 F E
D
折 E 叠 F C
B
D
由折叠可得：
轴对称性质：
1.△AFE≌△ADE
2.AE是DF的垂直 平分线
1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边角相等.
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
全等性
轴对称 本 质
对称性
x
25-x ？ H
20
在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张 纸片按如图示方式折叠，求折 痕的长． 分析：连结BD，交EF于点O
1 5 则，BD⊥EF,且BO= 2 BD= 2
x O
25-x
41
在Rt△BEO中可求得EO= 2 41 可证得EF=2EO= 4 41
Hale Waihona Puke 在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB＝20cm． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长． (1) 如图1, 折痕为AE; (2) 如图2, P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 折痕为EF．
20
在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张 纸片按如图示方式折叠，求折 痕的长． 过F作BC的垂线FH
折
折叠问题 精 髓
重结果
叠
利用Rt△
方程思想
利用∽
折叠问题
1、两手都要抓：重视“折”，关注“叠”
2、本质：轴对称（全等性，对称性）
3、关键：根据折叠实现等量转化 4、基本方法：（1）找出直角三角形构造方程 （2）根据勾股定理列方程。
4.在一张长方形ABCD纸片中，AD ＝25cm, AB＝20cm．现将这张纸 片按如图所示方式折叠，P，Q分 别为AB，CD的中点，折痕为AE， 求折痕AE的长。
平行四边形中的折叠问题
天津市第八十中学
齐福德
• 几何定义：研究图形的形状、大小、位置关 系； • 涉及几何知识（章节为主）： •
A D E B F C
1．如图，将一平行四边形纸片沿AE折叠， 再沿EF折叠，使点E,C`,B`在同一直线上， 则 AEF
例题： 如图，折叠折叠矩形ABCD的一边AD，点D落 在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求 EC的长。
D F
C
A
B
3.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D落在
边BC上的F点处，如果∠BAF=60°，AD= 4 ，
8-4 3 ． 15° ，EF=_______ 则∠DAE=______
思考探究题目：
如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF。
（1）连结CF，四边形AECF是什么特殊的四边形？ 为什么？ （2）若AB＝4cm，AD＝8cm，你能求出线段BE 及折痕EF的长吗？