课堂新坐标2016_2017高中数学第2章圆锥曲线2.3柱面与平面的截面2.4平面截圆锥面学案教程文件

§3柱面与平面的截面§4平面截圆锥面1.了解柱面、旋转面、圆锥面的形成过程.2.了解平面截圆柱面所得交线为圆或椭圆.3.了解平面截对顶圆锥面所得交线为圆、椭圆、双曲线和抛物线.[基础·初探]教材整理1 柱面与平面的截面(1)柱面、旋转面①圆柱面如图2­3­1①所示，圆柱面可以看成是一个矩形ABCD以一边CD所在的直线为轴，旋转一周后AB边所形成的曲面.图2­3­1②旋转面如图2­3­1②所示，平面上一条曲线C绕着一条直线l旋转一周后所形成的曲面称为旋转面.(2)垂直截面用垂直于轴的平面截圆柱面，所得的交线为一个圆.(3)一般截面当截面与圆柱面的轴不垂直时，所得交线为椭圆.1.用一个平面去截一个圆柱面，其交线是( )A.圆B.椭圆C.两条平行线D.以上均可能【解析】当平面垂直于圆柱面的轴时，交线为圆；当平面与圆柱面的轴平行时，交线为两条平行线，当平面与圆柱面的轴不平行也不垂直时，交线为椭圆，故选D.【答案】 D教材整理2 平面截圆锥面(1)圆锥面取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为σ(0°＜σ＜90°)，l′绕l旋转一周得到一个以O为顶点，l′为母线的圆锥面.(2)垂直截面当截面与圆锥面的轴垂直时，所得的交线是一个圆.(3)一般截面定理：在空间，直线l′与l相交于点O，其夹角为σ，l′绕l旋转一周得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面β，若它与轴l的交角为θ，则①当θ＞σ时，平面β与圆锥面的交线为椭圆；②当θ＝σ时，平面β与圆锥面的交线为抛物线；③当θ＜σ时，平面β与圆锥面的交线为双曲线.2.用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则交线为( )【导学号：96990047】A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线【答案】 D3.一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线【解析】如图所示，可知应为抛物线.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]平面与圆柱面交线性质的应用圆柱的底面半径为5，高为5，若一平行于轴的平面截圆柱得一正方形，求轴到截面的距离.【精彩点拨】 将题目中给出的关系转化为线面关系求解. 【自主解答】 如图所示，ABCD 为边长为5的正方形，连接OC ，OD ，∴△OCD 为等边三角形. 设CD 的中点为E ，连接OE ， 则OE ⊥CD ，且OE ＝523，又AD ⊥上底面，∴AD ⊥OE ，故OE ⊥平面ABCD ，故OE 为轴到截面的距离，∴轴到截面的距离为523.1.解答本题时，应根据线面关系作出线面距.2.当圆柱面的截面平行于轴或垂直于轴时，利用点、线、面关系可解决.[再练一题]1.如图2­3­2所示，圆柱面的母线长为 2 cm ，点O ，O ′分别是上、下底面的圆心.若OA ⊥O ′B ′，OA ＝1 cm.求：图2­3­2(1)OO ′与AB ′所成的角的正切值； (2)过AB ′与OO ′平行的截面面积； (3)O 到截面的距离.【解】 (1)设过A 的母线为AA ′，则OO ′∥AA ′，OO ′A ′A 是矩形.易知△O ′B ′A ′是等腰直角三角形，∴A ′B ′＝ 2.又AA ′＝2，OO ′与AB ′所成的角为∠B ′AA ′， ∴tan ∠B ′AA ′＝A ′B ′AA ′＝22. (2)所求截面为矩形AA ′B ′B ，面积等于2 2 cm 2.(3)O 到截面的距离即OO ′到截面的距离，也是O ′到截面的距离为22cm. 平面与圆锥面交线性质的应用如图2­3­3所示，AB ，CD 是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直线，过CD 和母线VB 的中点E 作一截面.已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为2π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线.图2­3­3【精彩点拨】 求圆锥顶角――――→据OE ∥VA 求∠VOE ――→等角结论：抛物线【自主解答】 设⊙O 的半径为R ，母线VB ＝l ，则圆锥侧面展开图的中心角为2πRl＝2π，∴R l ＝22，∴sin∠BVO ＝22. ∴圆锥的母线与轴的夹角σ＝∠BVO ＝π4.∵O ，E 分别是AB ，VB 的中点， ∴OE ∥VA .∴∠VOE ＝∠AVO ＝∠BVO ＝π4，∴∠VEO ＝π2，即VE ⊥OE .又∵AB ⊥CD ，VO ⊥CD ，∴CD ⊥平面VAB . ∵VE ⊂平面VAB ，∴VE ⊥CD . 又∵OE ∩CD ＝O ，∴VE ⊥平面CDE ，∴OE 是VO 在平面CDE 上的射影. ∴∠VOE 是截面与轴线的夹角，∴截面轴线夹角大小为π4.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE 与圆锥面的截线为一抛物线.1.解答本题的关键是求出截面与轴的夹角以及母线与轴的夹角.2.判断平面与圆锥面交线形状的方法(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角σ，截面与轴的夹角θ； (2)判断σ与θ的大小关系； (3)根据定理判断截线是什么曲线.[再练一题]2.如图2­3­4所示，平面ABC 是圆锥面的正截面，PAB 是圆锥的轴截面，已知∠APC ＝60°，∠BPC ＝90°，PA ＝4.图2­3­4(1)求二面角A ­PC ­B 的余弦值；(2)求正截面圆圆心O 到平面PAC 的距离. 【解】 (1)∵∠APC ＝60°， ∴△APC 为等边三角形.如图所示，分别取PC ，BC 的中点D ，E ，连接AD ，DE ，则AD ⊥PC ，DE ∥PB .又PB ⊥PC ，∴DE ⊥PC .故∠ADE 为二面角A ­PC ­B 的平面角. 连接AE ，在Rt△ACE 中，求得AE 2＝24. 又AD ＝32PA ＝23，DE ＝12PB ＝2，在△ADE 中，由余弦定理，得cos∠ADE ＝－33. (2)取AC 的中点F ，连接PF ，OF ，则AC ⊥平面POF ，从而平面PAC ⊥平面POF . 过O 点作OH ⊥PF ，垂足为H ，则OH ⊥平面PAC ，故OH 的长为O 点到平面PAC 的距离. 在Rt△ACB 中，AC ＝PA ＝4，BC ＝2PB ＝42，从而AB ＝43，OP ＝2. 在Rt△POF 中，OF ＝12BC ＝22，OP ＝2，PF ＝32PA ＝23，由面积关系，得OH ＝OF ·OP PF ＝263. 即O 点到平面PAC 的距离为236.[探究共研型]截面的图形特征探究1 平面β截圆柱面，β与圆柱面的轴的夹角θ变化，所截出的椭圆有什么变化？ 【提示】 θ变化不影响椭圆的短轴，θ越小，长轴越长，椭圆越扁，离心率越大. 探究2 若平面与圆柱面轴的夹角为θ，圆柱面的半径为r ，则平面截圆柱面所得的椭圆的长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e 的值如何用θ，r 表示？【提示】 由两焦球球心距离等于截得椭圆的长轴长，故2a ＝2r sin θ，椭圆的短轴长2b＝2r ，离心率e ＝c a＝cos θ.如图2­3­5，已知球O 1，O 2分别切平面β于点F 1，F 2.G 1G 2＝2a ，Q 1Q 2＝2b ，G 1G 2与Q 1Q 2垂直且互相平分，求证：F 1F 2＝2a 2－b 2.【自主解答】 连接AB ，过G 1作G 1H ⊥BG 2，H 为垂足，则四边形ABHG 1是矩形，∴G 1H ＝AB .设P1，P2分别是Q1，Q2的平行射影，连接P1P2，P1Q1，P2Q2，则P1Q1═∥P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形.∴Q1Q2＝P1P2，即Q1Q2等于底面直径，∴G1H＝AB＝Q1Q2＝2b.又由切线长定理得G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B，∴G2F1－G2F2＝G2B－G1A.又G1A＝BH，∴G2F1－G2F2＝G2B－BH.∴F1F2＝G2H.在Rt△G1G2H中，G2H＝G1G22－G1H2＝2a2－2b2＝2a2－b2.[构建·体系]1.一个平面和圆柱面的轴成θ角(0°＜θ＜90°)，则同时与圆柱面和该平面都相切的球的个数为( )A.0B.1C.2D.由θ的不同而定【解析】由焦球的定义知，符合定义的球有2个.【答案】 C2.一个圆锥轴截面的顶角为120°，母线长为1，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为( )A.12B.13C.35D.34【解析】 设截面两母线的夹角为θ，则0°＜θ≤120°， 当θ＝90°时，截面面积S 最大，此时S ＝12×1×1×sin 90°＝12.【答案】 A3.圆锥面的母线与轴线成σ角，过顶点的平面和轴线成θ角，且与圆锥面的交线是椭圆，则θ和σ的大小关系为________.【导学号：96990048】【解析】 由平面截圆锥面的定理知θ＞σ. 【答案】 θ＞σ4.已知平面α截圆柱体，截口是一条封闭线，且截面与底面所成的角为30°，此曲线是__________，它的离心率为__________.【答案】 椭圆 12我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。