2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期
末数学试卷
副标题
1. 已知角α的终边经过点P(4,−3)，则tanα的值为( )
A. 3
4
B. 4
5
C. −4
5
D. −3
4
2. 下列命题中正确的是( )
A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0
C. 0
⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ D. OA
⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 若sinα>0，且tanα<0，则角α的终边位于( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4. 函数y =3cos(2
5x −π
6)的最小正周期是( )
A.
2 π5
B.
5 π2
C. 2π
D. 5π
5. 已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π
4，则这条弧所在的扇形面积为( )cm 2
A. π
B. 4π
C. 2π
D. √2π
6. 已知tanα=1
2，则cosα+sinα
cosα−sinα=( )
A. 2
B. −2
C. 3
D. −3
7. 已知向量a ⃗ =(1,1−cosθ)，b ⃗ =(1+cosθ,1
2
)，且a ⃗ //b ⃗ ，则锐角θ= ______ ． 8. 已知cosα=45，cos(α+β)=3
5，且α，β均为锐角，那么cosβ=( )
A. 24
25
B. 7
25或−1
C. 1
D. 7
25
9. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π
2)在一个周期内的图象，则其
解析式是( )
A. f(x)=3sin(x +π
3) B. f(x)=3sin(2x +π
3) C. f(x)=3sin(2x −π
3)
D. f(x)=3sin(2x +π
6)
10. 关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间(0,1)单调递减 ③f(x)在[−π,π]有2个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( )
A. ①②④
B. ②④
C. ①④
D. ①③
11. 如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为线段BC 、AC 上的
两点，且|BD|=|DC|，|AE|
|EC|=2
3，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )
A. 11
14 B. 8
7 C. 57 D. 137
12. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)=2f(x)，且当x ∈[2,4)时，f(x)=
{−x 2+4x,2≤x ≤3
x 2+2
x ,3<x <4
g(x)=ax +1，对∀x 1∈[−2,0)，∃x 2∈[−2,1]，使得g(x 2)=
f(x 1)，则实数a 的取值范围为( )
A. (−∞,−18]∪[1
8,+∞) B. [−14,0)∪(0,1
8] C. (0,8]
D. (−∞,−1
4]∪[1
8,+∞)
13. 求值：sin
13π6
= ______ ．
14. 在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB =3，BD =1，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．
15. 函数f(x)=sin2x ，若f(x +t)为偶函数，则最小的正数t 的值为______ ． 16. 若1
2(tanx +sinx)−1
2|tanx −sinx|−k ≥0在x ∈[3π4,5
4π]恒成立，则k 的取值范围
是______ ．
17. 已知tanα，tanβ是方程6x 2−5x +1=0的两根，且0<α<π
2，π<β<
3π2
.求：
tan(α+β)及α+β的值．
18. 已知平面向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(9,x)，c ⃗ =(4,y)，且a ⃗ //b ⃗ ，a
⃗ ⊥c ⃗ (1)求b ⃗ 与c
⃗ (2)若m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，求向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角的大小．
19. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA
⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值； (2)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．
20.如图所示，某居民小区内建一块直角三角形草坪ABC，直角边AB=40米，AC=
40√3米，扇形花坛ADE是草坪的一部分，其半径为20米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设两条小路OM和ON，考虑到小区整体规划，要求M、N在斜边BC上，O在弧DE⏜上，OM//AB，ON//AC，．
(1)设∠OAE=θ，记f(θ)=OM+ON，求f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；
(2)经核算，两条路每米铺设费用均为400元，如何设计θ的大小使铺路的总费用最
低？并求出最低总费用．
21.已知函数f(x)=2sin(3ωx+π
3
)，其中ω>0
(1)若f(x+θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值；
(2)若f(x)在(0,π
3
]上是增函数，求ω的最大值；
(3)当ω=2
3时，将函数f(x)的图象向右平移π
6
个单位，再向上平移1个单位，得到
函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
22.已知a，b∈R，a≠0，函数f(x)=−√2(sinx+cosx)+b，g(x)=asinx⋅cosx+
a 2+1
a
+2．
(1)若x∈(0,π)，f(x)=−2√5
5
+b，求sinx−cosx的值；(2)若不等式f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，求b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵角α的终边经过点P(4,−3)，∴x =4，y =−3，则tanα=y
x =−3
4， 故选：D ．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，满足向量的的加法运算法则，所以A 正确； AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0
⃗ ，所以B 不正确； 0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以0⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，不正确，所以C 不正确； OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不正确，所以D 不正确． 故选：A ．
利用向量的和以及向量的数量积的运算法则判断选项的正误即可．
本题考查命题的真假的判断，向量的加法以及向量的数量积的判断，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：∵sinα>0，则角α的终边位于一二象限， ∵由tanα<0，
∴角α的终边位于二四象限， ∴角α的终边位于第二象限． 故选择B ．
由sinα>0，则角α的终边位于一二象限，由tanα<0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．
本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．
4.【答案】D
【解析】解：由周期公式可得：函数y =3cos(25x −π
6)的最小正周期T =
2π
25
=5π．
故选：D ．
由三角函数的周期性及其求法即可求解．
本题主要考查了余弦函数的周期性，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，是基础题．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．
【解答】
解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π
4
，
∴半径r=ππ
4
=4，
∴这条弧所在的扇形面积为S=1
2
×π×4=2πcm2．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】解：∵cosα+sinα
cosα−sinα=1+tanα
1−tanα
=3
故选C．
对所求式分子分母同时除以cosα，转化成关于tanα的关系式即可得到答案．本题主要考查同角三角函数基本关系的应用，这种题型经常在考试中遇到．7.【答案】π
4
【解析】解：∵a⃗=(1,1−cosθ)，b⃗ =(1+cosθ,1
2
)，且a⃗//b⃗ ，
∴(1−cosθ)(1+cosθ)−1
2
=0，
即1−cos2θ−1
2
=0，
即cos2θ=1
2
，
∵θ为锐角，∴cosθ=√2
2
，
则θ=π
4
，
故答案为：π
4
．
根据向量平行的坐标公式进行化简求解即可．
本题主要考查向量平行的坐标公式的应用以及三角函数函数求值，比较基础．
8.【答案】A
【解析】解：∵α，β均为锐角， ∴0<α+β<π，
∵cosα=4
5，cos(α+β)=3
5， ∴sinα=3
5，sin(α+β)=4
5
，
则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos[(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=4
5×3
5+4
5×3
5=24
25, 故选：A ．
根据同角关系式，结合两角和差的余弦公式进行转化进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，结合同角三角函数关系以及两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
9.【答案】B
【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6
−(−π
6
)=π，
即2π
ω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，
由五点对应法得2×(−π
6)+φ=0， 即φ=π
3，
则f(x)=3sin(2x +π
3)， 故选：B ．
根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．
本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，
ω和φ的值是解决本题的关键． 10.【答案】A
【解析】解：关于函数f(x)=cos|x|+|cosx|有下述四个结论：f(x +π)=f(x)，可得T =π．
①∵f(−x)=f(x)，∴f(x)是偶函数，正确；
②f(x)在区间(0,1)上，f(x)=2cosx ，∴f(x)在区间(0,1)上单调递减，正确； ③考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π
2]上时，f(x)=2cosx ，有一个零点π
2；当x ∈(π
2,π]上时，f(x)=cosx −cosx =0，有无数个零点． 因此f(x)在[−π,π]有无数个零点，因此③不正确． ④由③可得：f(x)的最大值为2，正确． 其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：A ．
由①可得：f(x)是偶函数，且周期T =π.只要考察在x ∈[0,π]上，当x ∈[0,π
2]上时，f(x)=2cosx ；当x ∈(π
2,π]上时，f(x)=0，即可得出结论．
本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：因为|BD|=|DC|，|AE|
|EC|=2
3，
所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2
5
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE −
+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =25(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
5BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2
5
a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又A ，M ，D 三点共线，则存在
b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−b
2
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以{35
a =
b 25
a =
1−b 2
，解得{
a =5
7
b =37， 所以BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =37BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +27BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
所以由平面向量基本定理可得λ=3
7，μ=2
7， 所以λ+μ=5
7． 故选：C ．
由向量的线性运算可得BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25a BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又A ，
M ，D 三点共线，则存在b ∈R ，使得BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−b)BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则可建立关于a ，b 的方程组，即可求得a 值，从而可得λ，μ，进而得解．
本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量的基本定理，属于中档题．
12.【答案】D
【解析】解：当x ∈[2,4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3
x 2+2
x
,3<x <4
，
可得f(x)在[2,3]上单调递减，在(3,4)上单调递增， ∴f(x)在[2,3]上的值域为[3,4]， 在(3,4)上的值域为(113,9
2)， ∴f(x)在[2,4)上的值域为[3,9
2)， ∵f(x +2)=2f(x)，
∴f(x)=1
2
f(x +2)=1
4
f(x +4)，
∴f(x)在[−2,0)上的值域为[34,9
8)， 当a >0时，g(x)为增函数，
g(x)=ax +1在[−2,1]上的值域为[−2a +1,a +1]，
∴
{3
4≥−2a +19
8
≤a +1
，解得a ≥1
8；
当a <0时，g(x)为减函数，
g(x)在[−2,1]上的值域为[−a +1,2a +1]，
∴
{3
4≥a +1
9
8
≤−2a +1
，解得a ≤−1
4； 当a =0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意； 综上，a 的范围是a ≥1
8或a ≤−1
4． 故选：D ．
求出f(x)在[2,4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−2,0]上的值域，再求出g(x)在[−2,1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围 本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，属于中档题．
13.【答案】1
2
【解析】解：sin 13π6
=sin(2π+π6)=sin π6=1
2．
故答案为：1
2．
利用诱导公式即可求解．
本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．
14.【答案】15
2
【解析】解：如图，
∵AB =3，BD =1，∠B =60°，
∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ > =9+3×1×(−1
2)=
152
．
故答案为：15
2．
利用向量的加法法则化AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，展开后利用数量积运算得答案． 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法法则，是基础题．
15.【答案】π
4．
【解析】解：因为f(x)=sin2x ， 所以f(x +t)=sin(2x +2t)， 若f(x +t)为偶函数，
则函数图象关于x =0对称，即x =0时函数y =sin(2x +2t)取得最值， 所以2t =π
2+kπ，即t =π
4+
kπ2
，k ∈Z ，
当k =0时，最小的正数t 的值为π
4． 故答案为：π
4．
由已知结合正弦函数为偶函数，图象关于y 轴对称且在对称轴处取得最值，代入可求． 本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础题．
16.【答案】(−∞,−1]
【解析】解：∵tanx−sinx=sinx(1
cosx −1)，x∈[3π
4
,5π
4
]，
∴cosx<0，
①当x∈[3π
4
,π)时，sinx>0，
∴tanx−sinx=sinx(1
cosx
−1)<0，
∴1
2(tanx+sinx)−1
2
|tanx−sinx|−k=tanx−k≥0，
∴k≤tanx，
∵x∈[3π
4
,π),
∴tanx的最小值为tan3π
4
=−1，
∴k≤−1．
②当x∈[π,5π
4
]时，sinx≤0，
∴tanx−sinx=sinx(1
cosx
−1)>0，
∴1
2(tanx+sinx)−1
2
|tanx−sinx|−k=sinx−k≥0，
∴k≤sinx，
∵x∈[π,5
4π),
∴sinx的最小值为sin5π
4=−√2
2
，
∴k≤−√2
2
．
综上所述，k≤−1．
∴k的取值范围是(−∞,−1]．故答案为：(−∞,−1]．
由x∈[3π
4,5π
4
]，得cosx<0.当x∈[3π
4
,π)时，sinx>0，推导出k≤tanx，从而得到k≤−1；
当x∈[π,5π
4]，时，推导出k≤sinx，从而得到k≤−√2
2
.由此能求出k的取值范围．
本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．17.【答案】解：∵tanα、tan β为方程6x2−5x+1=0的两根，
∴tanα+tanβ=5
6，tanαtanβ=1
6
，
tan(α+β)=
tanα+tanβ1−tanαtanβ
=
56
1−
16
=1．
∵0<α<π
2，π<β<
3π2
，∴π<α+β<2π，
∴α+β=5π4
．
【解析】本题主要考查韦达定理，两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，属于基础题．
由条件利用韦达定理，两角和的正切公式求出tan(α+β)的值，再结合0<α<π
2，π<β<
3π2
，求得α+β的值．
18.【答案】解：(1)由a ⃗ //b ⃗ 得3x −4×9=0，解得x =12； 由a ⃗ ⊥c ⃗ 得9×4+xy =0， 解得y =−
36x
=−36
12=−3；
所以b ⃗ =(9,12)，c ⃗ =(4,−3)； (2)m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ =(−3,−4)， n ⃗ =a ⃗ +c ⃗ =(7,1)；
所以m
⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−3×7−4×1=−25， |m ⃗⃗⃗ |=√(−3)2+(−4)2=5， |n ⃗ |=√72+12=5√2； 所以cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=
m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |
=
5×5√2
=−
√2
2
， 所以向量m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ 的夹角为3π
4．
【解析】(1)由a ⃗ //b ⃗ 求出x 的值，由a ⃗ ⊥c ⃗ 求出y 的值，从而得出b ⃗ 、c
⃗ ； (2)计算m ⃗⃗⃗ 、n ⃗ ，利用平面向量夹角的公式求出cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >，即得夹角的大小． 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，数量积判断两个平面向量的垂直关系，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)由BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2
OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =12，y =1
2；
(2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°， 则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3
OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+1
3
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×42+13×22+1
3
×4×2×cos60°
=−8．
【解析】(1)由BP
⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题．
20.【答案】解：(1)过O 、N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，则：
AF =20cosθ，OF =NG =20sinθ，CG =20√3sinθ， ∴ON =40√3−20(√3sinθ+cosθ)，OM =
√3
3
ON ， 则f(θ)=(1+√3
3
)[40√3−20(√3sinθ+cosθ)]，θ∈(0,π
2);
(2)f(θ)=(1+√3
3
)[40√3−40sin(θ+π
6
)]，
∵θ∈(0,π
2)，
∴θ+π
6
∈(π6,
2π
3)，
∴当θ+π6=π
2，即θ=π
3时， f(θ)min =
80√3
3
， 故总费用最少为320003
√3元.
【解析】本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力，属于中档题．
(1)过O 、
N 作AC 的垂线交AC 与F 、G 两点，求出OM ，ON ，即可求出f(θ)的表达式，并求出此函数的定义域；
(2)利用辅助角公式化简，即可得出结论．
21.【答案】解：(1)由函数解析式f(x)=2sin(3ωx +π
3)，ω>0整理可得
f(x+θ)=2sin[3ω(x+θ)+π
3]=2sin(3ωx+3ωθ+π
3
)，
由f(x+θ)的周期为2π，根据周期公式2π=2π
3ω，且ω>0，得ω=1
3
，
∴f(x+θ)=2sin(x+θ+π
3
)，
∵f(x+θ)为偶函数，定义域x∈R关于y轴对称，
令g(x)=f(x+θ)=2sin(x+θ+π
3
)，
∴g(−x)=g(x)，
2sin(x+θ+π
3)=2sin(−x+θ+π
3
)，
∴x+θ+π
3=π−(−x+θ+π
3
)+2kπ，k∈Z，
∴θ=kπ+π
6，k∈Z.∴ω=1
3
，θ=kπ+π
6
，k∈Z．
(2)∵ω>0，
∴当x∈(0,π
3]时，3ωx+π
3
∈(π
3
,ωπ+π
3
]，
设u=3ωx+π
3，由于y=sinu在(π
3
,π
2
]上是增函数，在[π
2
,3π
2
]上是减函数，
∴ωπ+π
3≤π
2
，∴ω≤1
6
，∴ω的最大值为1
6
．
(3)当ω=2
3时，将函数f(x)的图象向右平移π
6
个单位，再向上平移1个单位，得到y=
2sin2x+1的图象，∴g(x)=2sin2x+1，
令g(x)=0，得x=kπ+7π
12或x=kπ+11π
12
，k∈Z，
∴在[0,π]上恰好有两个零点，
若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，
则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为4π+11π
12=59π
12
．
【解析】本题考查的知识点是函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象和性质，函数f(x)= Asin(ωx+φ)的解析式求法，难度中档．
(1)根据周期公式2π=2π
3ω
，且ω>0，得ω值，根据f(x+θ)是偶函数，f(−x+θ)=f(x+θ)，可得θ的值；
(2)根据正弦函数的单调性，可得ωπ+π
3≤π
2
，解得答案；
(3)若y=g(x)在[0,b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，进而得
到答案．
22.【答案】解：(1)依题意得sinx +cosx =√10
5
， ∴sin 2x +cos 2x +2sinxcosx =25，即2sinxcosx =−3
5，…(1分) ∴1−2sinxcosx =8
5，
即sin 2x +cos 2x −2sinxcosx =(sinx −cosx)2=8
5，…(2分) 由2sinxcosx =−3
5<0，x ∈(0,π)，得x ∈(π
2,π)，…(3分) ∴sinx >0，cosx <0，∴sinx −cosx >0， ∴sinx −cosx =
2√10
5.…(4分) (2)不等式f(x)≤g(x)对任意x ∈R 恒成立，
即不等式b ≤asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1
a +2对任意x ∈R 恒成立， 即
b ≤[asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1
a +2]min ，…(5分) 下求函数y =asinx ⋅cosx +√2(sinx +cosx)+a 2+1
a +2的最小值， 令t =sinx +cosx ，
则t =√2sin(x +π
4)∈[−√2,√2]，且sinxcosx =
t
2−1
2，…(6分)
令m(t)=y =asinxcosx +√2(sinx +cosx)+a
2+1
a +2， =
a(t 2−1)
2+√2t +a 2+1a +2=a 2t 2+√2t +1
a +2，
=a
2(t 2+
2√2
a
t)+1a +2=a
2(t +
√2a
)2
+2，(a ≠0)，…(7分)
1°当−√2
a <−√2，即0<a <1时，m(t)在区间[−√2,√2]上单调递增，
∴m(t)min =m(−√2)=a +1
a .…(8分)
2°当−√2≤−√2a <0，即a ≥1时，m(t)min =m(−√2
a
)=2.…(9分)
3°当0<−√2
a ≤√2，即a ≤−1时，m(t)min =m(−√2)=a +1
a .…(10分)
4°当−√2
a
>√2，即−1<a <0时，m(t)min =m(−√2)=a +1a .…(11分)
∴y min ={
2,a ≥1
a +1a ,a <1,a ≠0
， 所以当a ≥1时，b ≤2；当a <0或0<a <1时，b ≤a +1
a .…(12分)
【解析】(1)推导出sinx+cosx=√10
5，从而2sinxcosx=−3
5
，进而sin2x+cos2x−
2sinxcosx=(sinx−cosx)2=8
5
，由此能求出sinx−cosx．
(2)推导出b≤[asinxcosx+√2(sinx+cosx)+a
2+1
a
+2]min，再求出函数y=asinx⋅
cosx+√2(sinx+cosx)+a
2+1
a
+2的最小值，令t=sinx+cosx，令m(t)=y=a
2
(t+
√2
a
)2+2，(a≠0)，由此进行分类讨论经，能求出b的取值范围．
本题考查三角函数求值，考查实数值的范围的求法，考查三角函数恒等式、构造法、配方法、换元法等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。