辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题答案

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辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一下学期期末考试数学 Word版含答案

2020－2021学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高－试题数学考试时间：120分钟试卷总分：150分一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知sin(π－α)＝35，α∈(2π，π)，则cosα的值为 A.45 B.－35 C.±45 D.－452.已知复数z ＝12＋22i(i 为虚数单位)，则|z －1|＝A.3 B.34 C.11 D.143.设m ，n 是两条不同的直线，α，是两个不同的平面，下列说法正确的是<) A.若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n B.若m ⊥α，m//n ，n//β，则α⊥β C.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D.若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n4.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b)2－c 2＝4，C ＝120°，则△ABC 的面积为 A.33B.233C.3D.235.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成。

若棱台两底面面积分别是400cm 2，900cm 2，高为9cm ，长方体形凹槽的高为12cm ，那么这个斗的体积是A.6700cm 3B.6900cm 3C.13800cm 3D.14800cm 3 6.函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)，(ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示。

若对任意x ∈R ，f(x)＋f(2t－x)＝0恒成立，则t 的最小正值为A.512π B.3π C.4π D.6π 7.在△ABC 中，A ，B ，C 分别为△ABC 三边a ，b ，c 所对的角。

若cosB 3＝2，且满足关系式cosB cosC 2sinAsinB b c 3sinC +=，则a b csinA sinB simC++++＝ A.2 B.4 C.6 D.88.在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝2BC ＝2CD ＝2，P 是腰AD 上的动点，则2PB PC -的最小值为7 B.3 C.332 D.274二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知sin(π−α)=35，α∈(π2,π)，则cosα=()A. 35B. −35C. 45D. −452.已知复数z=12+√22i(为虚数单位)，则|z−1|=()A. √32B. 34C. √112D. 143.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥βC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2−c2=4，C=120°，则△ABC的面积为()A. √33B. 2√33C. √3D. 2√35.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的高为12cm.那么这个斗的体积是()A. 6700cm3B. 6900cm3C. 13800cm3D. 14800cm36.函数f(x)=2sin(ωx+φ)，(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．若对任意x∈R，f(x)+f(2t−x)=0恒成立，则t的最小正值为()A. 5π12 B. π3 C. π4 D. π67. 在△ABC 中，A ，B ，C 分别为△ABC 三边a ，b ，c 所对的角．若cosB +√3sinB =2，且满足关系式cosB b+cosC c=2sinAsinB 3sinC，则a+b+csinA+sinB+sinC =( )A. 2B. 4C. 6D. 88. 在等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AB =2BC =2CD =2，P 是腰AD 上的动点，则|2PB⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. √7 B. 3C. √272D. 274二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,1)，则下列说法正确的是( )A. (a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗B. |a ⃗ +2b ⃗ |=5C. 向量a⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影的数量是√102 D. 与向量a⃗ 方向相同的单位向量是(2√55,√55) 10. 将函数f(x)=3sin(4x +π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. g(x)=−3sin(8x −π6)B. 函数y =g(x)的图象关于点(π12,0)对称 C. x =π3是函数y =g(x)的一条对称轴 D. 函数y =g(x)在[0,π3]上单调递增11. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，CC 1=√6,AB =BC =2,AC =2√2，点M 是棱AA 1的中点，则下列说法正确的是( )A. 异面直线BC 与B 1M 所成的角为90°B. 在B 1C 上存在点D ，使MD//平面ABCC. 二面角B 1−AC −B 的大小为60°D. B 1M ⊥CM12. 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b −2a +4asin 2A+B 2=0，则下列结论正确的是( )A. 角C 一定为锐角B. a 2+2b 2−c 2=0C. 3tanA +tanC =0D. tan B 的最小值为√33三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=2，则(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =______． 14. 在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=60°，在塔底C 处测得点A 的俯角β=45°，已知铁塔BC 部分高32米，山高CD = ______ ．15. 已知tan(α+β)=2，tan(α−β)=12，β∈(0,π2)，则tanβ的值为______ ． 16. 如图在梯形ABCD 中，AB//CD ，∠D =π2，AB =4，AD =CD =2，将该图形沿对角线AC 折成图中的三棱锥B −ACD ，且BD =2√3，则此三棱锥外接球的体积为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设复数z 1=1−i ，z 2=cosθ+isinθ，其中θ∈(−π2,0)．(1)若复数z =z 1⋅z 2在复平面内对应的点在直线y =2x 上，求tanθ的值；(2)求|z1−+z2|的取值范围．18.如图，在三棱锥S−ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG//平面ABC；(2)BC⊥SA．19.已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，且5cosBcosC+2=5sinBsinC+cos2A．(1)求角A的大小：(2)若csinC=4(a+b)(sinA−sinB)，△ABC的周长为7+√13，求c．220.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF=14BC．(1)求证：平面AEF⊥平面PBC；(2)求点F到平面PCD的距离．21.在平面四边形ABCD中，∠ABC=π3，∠ADC=π2，BC=4．(1)若△ABC的面积为3√3，求AC；(2)若AD=3√3，∠ACB=∠ACD+π3，求tan∠ACD．22.已知函数f(x)=4sinωx2cosωx2+1，其中常数ω>0．(1)y=f(x)在[−π4,3π4]上单调递增，求ω的取值范围；(2)若ω<4，将函数y=f(x)图像向左平移π3个单位，得到函数y=g(x)的图像，且过P(π6,1)，若对意的x∈[−π6,π12]，不等式g2(x)−mg(x)−1≤0恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系求值即可．本题考查诱导公式及同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．【解答】解：因为sin(π−α)=35，α∈(π2,π)， ∴sinα=35，∴cosα=−√1−sin 2α=−45．故选：D ．2.【答案】A【解析】解：∵z =12+√22i ，∴z −1=−12+√22i ， ∴|z −1|=√(−12)2+(√22)2=√32．故选：A ．根据已知条件，运用复数的加法运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的加法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．由已知条件，利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，能求出结果．【解答】解：若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m//n ，∴n ⊥α，又∵n//β，∴α⊥β，故B 正确；若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β平行或α与β相交，故C 错误；若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n 或m ，n 异面，故D 错误．故选：B ．4.【答案】C【解析】解：∵cosC =a 2+b 2−c 22ab=(a+b)2−c 2−2ab2ab=cos120°=−12，且(a +b)2−c 2=4， ∴4−2ab 2ab=−12，即8−4ab =−2ab ，即ab =4，则S △ABC =12absinC =12×4×√32=√3．故选：C ．利用余弦定理表示出cos C ，并利用完全平方公式变形，将已知等式及cos C 的值代入求出ab 的值，再由sin C 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5.【答案】C【解析】解：由题意得棱台的体积V 1=13×9×(400+900+√400×900)=5700(cm 3)； ∵长方体形凹槽是指长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体， ∴长方体凹槽的体积是原长方体体积的34，则长方体凹槽的体积V 2=34×900×12=8100(cm 3).∴这个斗的体积是V =V 1+V 2=5700+8100=13800cm 3．故选：C ．由已知求得正四棱台的体积，再求出长方体形凹槽的体积，作和得答案．本题考查正四棱台及长方体的体积，考查计算能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由图象可得5π6−(−5π12)=T+T4，解得T=π，则ω=2πT=2，所以f(x)=2sin(2x+φ)，由2sin[2×(−5π12)+φ]=−2，可得2×(−5π12)+φ=2kπ−π2，k∈Z，解得φ=2kπ+π3，k∈Z，由|φ|<π2，可得k=0，φ=π3，则f(x)=2sin(2x+π3)，对任意x∈R，f(x)+f(2t−x)=0恒成立，可得f(x)的图象关于点(t,0)中心对称，可得2t+π3=kπ，k∈Z，即t=kπ2−π6，k∈Z，k=1时，正数t取得最小值π3．故选：B．由图象可得周期T，进而得到ω，代入(−5π12,−2)结合φ的取值范围可求得φ，从而可得函数的解析式，由f(x)的图象关于点(t,0)中心对称，可得f(t)=0，进而得到实数t的最小正值．本题考查三角函数的图象和性质，周期性和对称性的运用，考查方程思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：∵在锐角△ABC中，A、B、C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，cosB+√3sinB=2，∴2sin(B+30°)=2，可得sin(B+30°)=1，∴B=60°，∵cosBb +cosCc=2sinAsinB3sinC，∴a 2+c 2−b 22acb+a 2+b 2−c 22abc=2asinB 3c=√3a 3c，解得b =√3， ∴由b sinB=a sinA=c sinC=√3sin60°=2，∴a+b+c sinA+sinB+sinC=2(sinA+sinB+sinC)sinA+sinB+sinC=2．故选：A ．由cosB +√3sinB =2，推导出B =60°，由cosB b+cosC c=2sinAsinB 3sinC，推导出b ，进而根据正弦定理即可求解．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8.【答案】C【解析】解：以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴建立直角坐标系，如图所示，B(2,0)，C(32,√32)，设P(a,√3a)，其中0≤a ≤12，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−a,−√3a)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32−a,√32−√3a)， ∴2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(52−a,−√32−√3a)，∴|2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4a 2−2a +7=√4(a −14)2+274， ∴当a =14时，|2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值√272．故选：C ．以A 为原点，射线AB 为x 轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出．本题考查了平面向量的模的求法，结合了二次函数求最值的内容，属于中档题．9.【答案】ABD【解析】解：A ：∵a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(−3,1)，∴a ⃗ +b ⃗ =(−1,2)， ∵(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =−1×2+1×2=0，∴(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，∴A 正确， B ：∵a ⃗ +2b ⃗ =(−4,3)，∴|a ⃗ +2b ⃗ |=√42+32=5，∴B 正确， C ：∵向量a ⃗ 在向量b ⃗ 方向上的投影的数量是a ⃗ ⋅b⃗ |b ⃗ |=√(−3)2+12=−√102，∴C 错误， D ：∵与向量a ⃗ 方向相同的单位向量是a⃗ |a ⃗ |=√22+12=(2√55,√55)，∴D 正确．故选：ABD ．利用向量垂直与数量积的关系判断A ，利用求模公式判断B ，利用投影公式判断C ，利用共线向量的性质判断D ．本题考查了向量垂直，模，投影与数量积的关系、向量的坐标运算，属于中档题．10.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)=3sin(4x +π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到k(x)=3sin(2x +π6)的图象，再向右平移π6个单位长度，得到函数y =g(x)=3sin(2x −π6)的图象，故A 错误；对于B ：当x =π12时，整理得g(π12)=0，故B 正确；对于C ：当x =π3时，g(π3)=3，故C 正确；对于D ：由于x ∈[0,π3]，所以2x −π6∈[−π6,π2]，故函数在[0,π3]上单调递增，故D 正确．故选：BCD ．首先利用三角函数的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】ABC【解析】解：选项A ，连接MC 1，由三棱柱的性质可知，BC//B 1C 1， ∴∠MB 1C 1即为异面直线BC 与B 1M.∵AB =BC =2，AC =2√2，∴∠ABC =∠A 1B 1C 1=90°，即A 1B 1⊥B 1C 1，由直三棱柱的性质可知，BB 1⊥平面A 1B 1C 1， ∵B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，∴BB 1⊥B 1C 1，又A 1B 1∩BB 1=B 1，A 1B 1、BB 1⊂平面ABB 1A 1，∴B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MB 1，即∠MB 1C 1=90°，∴选项A 正确；选项B ，连接BC 1，交B 1C 于点D ，连接MD ，再取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，则DE//AM ，DE =AM ，∴四边形AMDE 为平行四边形，∴MD//AE ，∵MD ⊄平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴MD//平面ABC ，即选项B 正确；选项C ，取AC 的中点N ，连接BN 、B 1N ，∵BB 1⊥平面ABC ，∴∠BNB 1即为二面角B 1−AC −B 的平面角．在Rt △BNB 1中，BB 1=√6，BN =√22AB =√2，∴tan∠BNB 1=BB 1BN=√3，∴∠BNB 1=60°，即选项C 正确；选项D ，在△CMB 1中，CM 2=AC 2+AM 2=192，MB 12=A 1B 12+A 1M 2=112，B 1C 2=B1B2+BC2=10，显然CM2+MB12≠B1C2，即B1M与CM不垂直，∴选项D错误．故选：ABC．选项A，连接MC1，易知BC//B1C1，故∠MB1C1即为所求．由勾股定理可知A1B1⊥B1C1，由三棱柱的性质可知BB1⊥B1C1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B1C1⊥MB1，即∠MB1C1=90°；选项B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE、AE，易知四边形AMDE为平行四边形，故MD//AE，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C，取AC的中点N，连接BN、B1N，则∠BNB1即为所求，在Rt△BNB1中，由三角函数可求出tan∠BNB1的值，从而得解；选项D，在△CMB1中，利用勾股定理分别算出CM、MB1和B1C的长，判断其结果是否满足CM2+MB12≠B1C2即可．本题考查空间中线面的位置关系、角的求法，要求学生熟练掌握空间中线与面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及通过平移的思想找出异面直线的平面角，并理解二面角的定义，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】BC【解析】解：∵b−2a+4asin2A+B2=0，∴b−2a+4acos2C2=0，即b−2a+2a(cosC+1)=0，∴cosC=−b2a<0，又C∈(0,π)，∴C一定为钝角，即选项A错误；由余弦定理知，cosC=a2+b2−c22ab =−b2a，化简得，a2+2b2−c2=0，即选项B正确；∵tanAtanC =sinAcosCcosAsinC=sinAsinC⋅cosCcosA=ac⋅(a2+b2−c2)⋅2bc2ab⋅(b2+c2−a2)=−b23b2=−13，∴3tanA+tanC=0，即选项C正确；∵A+B+C=π，∴tanB=−tan(A+C)=−tanA+tanC1−tanAtanC=−tanA−3tanA1+tanA⋅3tanA=21tanA+3tanA∵C为钝角，∴A∈(0,π2)，tanA>0，∴1tanA +3tanA ≥2√1tanA ⋅3tanA =2√3，当且仅当1tanA =3tanA ，即tanA =√33时，等号成立，此时tan B 取得最大值√33，即选项D 错误．故选：BC ．选项A ，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得cosC =−b2a <0，从而知C 为钝角；选项B ，由cosC =−b2a 和余弦定理，可得解；选项C ，结合选项B 的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出tanA tanC =−13，从而得解；选项D ，结合选项C 的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，可推出tanB =21tanA+3tanA ，然后由基本不等式，得解．本题主要考查解三角形的应用，还涉及利用基本不等式求最值，熟练掌握正弦定理、余弦定理是解题的关键，考查学生的转化与化归思想、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．13.【答案】10【解析】解：∵向量a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=2，∴(2a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =2a −2−a −⋅b −=2×4−2×2×(−12)=10．故答案为：10．根据向量的数量积公式计算即可．本题考查了向量的数量积的运算，模的计算，属于基础题．14.【答案】16(√3+1) (米)【解析】解：设AD =x ，则CD =AD ⋅tan45°=AD =x ， BD =AD ⋅tan60°=√3x ， ∴BC =(√3−1)x =32， ∴x =32√3−1=16(√3+1)(米)，即CD =16(√3+1) (米)，故答案为：16(√3+1) (米)．设AD =x ，则根据∠CAD 和∠BAD 可以计算CD 和BD 的值，根据BC =BD −CD 可求得x 的值，再得到CD 的值．本题考查了特殊角的三角函数值，三角函数在直角三角形中的运用，易错点是错误运用特殊角的三角函数值，属基础题．15.【答案】13【解析】解：因为tan(α+β)=2，tan(α−β)=12，β∈(0,π2)，所以tan2β=tan[(α+β)−(α−β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)=2−121+2×12=34，所以2tanβ1−tan 2β=34，可得3tan 2β+8tanβ−3=0，解得tanβ=13，或−3(舍去)．故答案为：13．由已知利用两角差的正切公式可求tan2β的值，进而利用二倍角的正切公式可得2tanβ1−tan 2β=34，可得3tan 2β+8tanβ−3=0，解方程即可得解tanβ的值．本题主要考查了两角差的正切公式，二倍角的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于中档题．16.【答案】32π3【解析】解：在梯形ABCD 中，由题意得AC =BC =2√2，BC ⊥AC ，在三棱锥B −ACD 中，∵BD =2√3，∴BD 2=BC 2+CD 2，∴BC ⊥CD ， ∵AC ∩CD =C ，∴BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥AD ，又因为AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BD ，则AB 是Rt △ABC 和Rt △ADB 的公共斜边，取AB中点为O，则OA=OB=OC=OD，则点O为外接球球心，AO为外接球半径，∴r=AO=2，∴此三棱锥外接球的体积V=43πR3=32π3．故答案为：32π3．由题意得AB是Rt△ABC和Rt△ADB的公共斜边，取AB中点为O，则OA=OB=OC= OD，则点O为外接球球心，AO为外接球半径，即可求解．本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)∵z1=1−i，z2=cosθ+isinθ，∴z=z1z2=cosθ+sinθ+(sinθ−cosθ)i，∵复数z=z1⋅z2在复平面内对应的点在直线y=2x上，∴sinθ−cosθ=2(cosθ+sinθ)，即tanθ=−3．(2)∵z1=1−i，∴z1−=1+i，∴|z1−+z2|2=(1+cosθ)2+(1+sinθ)2=3+2(sinθ+cosθ)=3+2√2sin(θ+π4)，∵θ∈(−π2,0)，∴θ+π4∈(−π4,π4)，sin(θ+π4)∈(−√22,√22)，∴|z1−+z2|2∈(1,5)，∴|z1−+z2|的取值范围为(1,√5)．【解析】(1)由已知条件z1=1−i，z2=cosθ+isinθ，可得z=z1z2=cosθ+sinθ+ (sinθ−cosθ)i，再结合条件复数z=z1⋅z2在复平面内对应的点在直线y=2x上，即可求解．(2)根据已知条件，结合复数模公式和三角函数的图象，即可求解．本题主要考查了复数的几何含义，以及复数模公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18.【答案】解：(1)∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F为SB的中点．∵E、G分别为SA、SC的中点，∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF//AB且EG//AC．∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴EF//平面ABC，同理可得EG//平面ABC又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线，∴平面EFG//平面ABC；(2)∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，AF⊂平面ASB，AF⊥SB．∴AF⊥平面SBC．又∵BC⊂平面SBC，∴AF⊥BC．∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．又∵SA⊂平面SAB，∴BC⊥SA．【解析】(1)根据等腰三角形的“三线合一”，证出F为SB的中点．从而得到△SAB和△SAC中，EF//AB且EG//AC，利用线面平行的判定定理，证出EF//平面ABC且EG//平面ABC.因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG//平面ABC；(2)由面面垂直的性质定理证出AF⊥平面SBC，从而得到AF⊥BC.结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，从而证出BC⊥SA．本题在三棱锥中证明面面平行和线线垂直，着重考查了直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为5cosBcosC+2=5sinBsinC+cos2A，所以5(cosBcosC−sinBsinC)+2=cos2A，可得5cos(B+C)+2=2cos2A−1，可得2cos2A+5cosA−3=0，解得：cosA=1或cosA=−3(舍去)，2因为0<A<π，所以A=π．3(2)由正弦定理有：c2=4(a+b)(a−b)，可得c2=4(a2−b2)，又由A=π3及余弦定理有：a2=b2+c2−bc，有a2−b2=c2−bc，有c2=4(c2−bc)，可得：b=3c4，有a2=(3c4)2+c2−3c24=13c216，可得a=√13c4，可得△ABC的周长为a+b+c=√13c4+3c4+c=7+√134c，有7+√134c=7+√132，可得c=2．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos2A+5cosA−3=0，解方程可得cos A的值，结合范围0<A<π，可得A的值．(2)由正弦定理可得c2=4(a2−b2)，又由A=π3及余弦定理可求b=3c4，由a2=(3c4)2+c2−3c24=13c216，可得a=√13c4，根据三角形的周长即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，又AE⊂面PAB，∴BC⊥AE，∵PA=AB，E为PB中点，∴AE⊥PB，又BC∩PB=B，∴AE⊥平面PAB，又AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．(2)解：∵AB//CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB//平面PCD，∴B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，取PD的中点G，连接AG，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，∵PA=AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，又PD∩CD=D，∴AG⊥平面PCD，∵PA=AD=4，PA⊥AD，∴PD=4√2，∴AG=12PD=2√2，∴点B到平面PCD的距离为2√2，∵BF=14BC，∴点F到平面PCD的距离为2√2×34=3√22．【解析】(1)证明BC⊥平面PAB得出AE⊥BC，结合AE⊥PB得出AE⊥平面PBC，故而平面AEF⊥平面PBC；(2)取PD中点G，证明AG⊥平面PCD，AB//平面PCD，则点B到平面PCD的距离为AG的长，利用BF=14BC，即可求得点F到平面PCD的距离．本题考查了面面垂直的判定，线面垂直的判定，考查点到平面的距离计算，属于基础题．21.【答案】解：(1)∵△ABC中，∠ABC=π3，BC=4，∴S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=3√3，∴AB=3∵△ABC中，由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC=9+16−2×3×4×12=13，∴AC=√13；(2)设∠ACD=α，则∠ACB=∠ACD+π3=α+π3，∵Rt△ACD中，AD=3√3，∴AC=ADsinα=3√3sinα，△ABC中，∠BAC=π−∠ACB−∠ABC=π3−α，由正弦定理可得：BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，即4sin(π3−α)=√3√32sinα，∴3sin(π3−α)=2sinα，化简可得tanα=3√37，∴tan∠ACD=3√37．【解析】(1)由已知结合三角形的面积公式S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC可求AB，在△ABC 中，再由余弦定理，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcos∠ABC可求AC；(2)设∠ACD=α，则可表示∠ACB，△ABC中，由正弦定理可得BCsin∠BAC =ACsin∠ABC，进而可求tanα，即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，还考查了转化的能力，试题具有一定的综合性，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意得f(x)=4sinωx 2cos ωx 2+1=2sinωx +1，又ω>0，得y =f(x)的最小正周期为T =2πω，由正弦函数的性质，[−π2ω,π2ω]是函数f(x)=2sinωx +1的一个单调递增区间，又因为函数f(x)=2sinωx +1在[−π4,3π4]上单调递增，则{−π2ω≤−π4π2ω≥3π4，解得0<ω≤23． (2)由(1)得f(x)=2sinωx +1，将函数y =f(x)图像向左平移π3个单位，得到函数g(x)=2sin(ωx +π3ω)+1的图像， ∵g(x)的图像过P(π6,1)，∴g(π6)=2sin(π6ω+π3ω)+1=1，∴sin π2ω=0， ∴π2ω=kπ，k ∈Z ，∴ω=2k ，k ∈Z ，∵0<ω<4，∴ω=2， ∴g(x)=2sin(2x +2π3)+1， ∵x ∈[−π6,π12]，2x +2π3∈[π3,5π6]，∴g(x)∈[2,3]，令t =g(x)∈[2,3]，参变分离得m ≥t −1t 在[2,3]恒成立，令ℎ(t)=t −1t ，则函数ℎ(t)在[2,3]上递增，当t =3时，ℎ(t)max =3−13=83，∴m ≥83．【解析】(1)利用正弦函数的单调性求出一个递增区间[−π2ω,π2ω]，再利用子集列出不等式组即可．(2)利用三角变换得到g(x)=2sin(ωx +π3ω)+1，再求出ω=2，再利用正弦函数的图象与性质求出g(x)∈[2,3]，最后换元利用分参求最值即可．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象与性质的应用，属于中档题．。

2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一(下)期末数学试卷(解析版)

2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知，，则cosα＝（）A．B．C．D．2．已知复数z＝（为虚数单位），则|z﹣1|＝（）A．B．C．D．3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）2﹣c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．25．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹槽的高为12cm．那么这个斗的体积是（）A．6700cm3B．6900cm3C．13800cm3D．14800cm36．函数f（x）＝2sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．若对任意x∈R，f（x）+f（2t﹣x）＝0恒成立，则t的最小正值为（）A．B．C．D．7．在△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角．若cos B+sin B＝2，且满足关系式，则＝（）A．2B．4C．6D．88．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则的最小值为（）A．B．3C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知向量＝（2，1），＝（﹣3，1），则下列说法正确的是（）A．（+）⊥B．|+2|＝5C．向量在向量方向上的投影的数量是D．与向量方向相同的单位向量是10．将函数f（x）＝3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则下列说法正确的是（）A．g（x）＝﹣3sin（8x﹣）B．函数y＝g（x）的图象关于点（，0）对称C．x＝是函数y＝g（x）的一条对称轴D．函数y＝g（x）在[0，]上单调递增11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1＝，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是（）A．异面直线BC与B1M所成的角为90°B．在B1C上存在点D，使MD∥平面ABCC．二面角B1﹣AC﹣B的大小为60°D．B1M⊥CM12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b﹣2a+4a sin2＝0，则下列结论正确的是（）A．角C一定为锐角B．a2+2b2﹣c2＝0C．3tan A+tan C＝0D．tan B的最小值为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，则（2﹣）•＝．14．在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝60°，在塔底C处测得点A的俯角β＝45°，已知铁塔BC部分高32米，山高CD＝．15．已知tan（α+β）＝2，，，则tanβ的值为．16．如图在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝，AB＝4，AD＝CD＝2，将该图形沿对角线AC折成图中的三棱锥B﹣ACD，且BD＝2，则此三棱锥外接球的体积为．四、解答题（本大题共6小题，共70分。

辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷

辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A． ? B． {1} C． {0，2} D． {0，1，2} 2．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（） x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 A． 1 B． 2 C． 4 D． 5 3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（） A．（3，��4，5） B．（��3，��4，��5）C．（3，��4，��5） D．（��3，4，5） 4．（5分）过点A（2，��4）且与直线2x��y+3=0平行的直线方程为（） A． x+2y��8=0 B． 2x��y��8=0 C． x+2y��4=0 D． 2x��y=05．（5分）函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（） A．（��2，��1）B．（��1，0） C．（0，1）2222xD．（1，2）6．（5分）圆C1：x+y+4x+4y+4=0与圆C2：x+y��4x��2y��4=0公切线条数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 7．（5分）由函数y=lg（1��2x）的图象得到函数y=lg（3��2x）的图象，只需要（） A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位 D．向右平移2个单位 8．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（） A． 42+6B． 30+6C． 66D． 449．（5分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（��2）的值为（） A． 16 B． 8 C．��16 D．��8 10．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β??????? ??? B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β? C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α?????????????? ?????? D．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β11．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+2x，若f（2��a）＞f（a），则实数a的取值范围是（） A．（��∞，��1）∪（2，+∞）B．（��2，1） C．（��1，2） D．（��∞，��2）∪（1，+∞）12．（5分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1��x2|+|y1��y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C （4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）22A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则x=．14．（5分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m��2）x+（m+2）y��3=0互相垂直，则m的值为． 15．（5分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．16．（5分）已知f（x）=在区间（m��4m，2m��2）上能取得最大值，2则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（），��4≤x≤0}．x（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m��6≤x≤4m}且B?C，求m的取值范围．18．（12分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x+y��2x��2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC的面积S的最小值． 19．（12分）如图，在三棱锥A��BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A��BCD的体积．2220．（12分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?υ（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC��A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．22．（12分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x��1被圆M所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（��3≤t≤��1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．辽宁省沈阳市2021-2021学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A． ? B． {1} C． {0，2} D．{0，1，2}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：直接利用并集的定义运算求解即可．解答：解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故选：D．点评：本题考查并集的求法，基本知识的考查． 2．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（） x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 A． 1 B． 2 C． 4 D．5考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的关系，求解函数值即可．解答：解：由表格可知：f（5）=2，f[f（5）]=f（2）=4．故选：C．点评：本题考查函数值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（） A．（3，��4，5） B．（��3，��4，��5） C．（3，��4，��5） D．（��3，4，5）考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，空间直角坐标系中，点A（x，y，z）关于平面xOz对称点的坐标为（x，��y，z），直接写出对称点的坐标即可．解答：解：空间直角坐标系O��xyz中，点A（��3，��4，5）关于平面xOz的对称点的坐标是（��3，4，5）．故选：D．点评：本题考查了空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称问题，是检查出题目． 4．（5分）过点A（2，��4）且与直线2x��y+3=0平行的直线方程为（）A． x+2y��8=0 B． 2x��y��8=0 C． x+2y��4=0 D．2x��y=0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：求出直线方程的斜率，然后利用多项式方程求解即可．解答：解：与直线2x��y+3=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+4=2（x��2）．即2x��y��8=0．故选：B．点评：本题考查直线方程的求法，直线的平行关系的应用，考查计算能力．5．（5分）函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（） A．（��2，��1）B．（��1，0） C．（0，1）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．xD．（1，2）分析：由题意可判断函数f（x）=3+x��3在R上是增函数且连续，从而由零点判定定理判断即可．解答：解：易知函数f（x）=3+x��3在R上是增函数且连续， f（0）=1+0��3＜0， f（1）=3+1��3＞0；x故函数f（x）=3+x��3的零点所在的区间是（0，1）；故选C．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．xx感谢您的阅读，祝您生活愉快。

辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末考试试题数学【含答案】

辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高一上学期期末考试试题数学【含答案】第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分） 1. 已知向量()1,2a =，()6,b k =-，若//a b ，则k =（） A. -12B. 12C. 3D. -32. 疫情期间，各地教育部门及学校为了让学生在家中学习之外可以更好地参与活动，同时也可以增进与家人之间的情感交流，鼓励学生在家多做家务运动，因为中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑.经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响.现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（） A. 30B. 70C. 80D. 1003. 从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（）A. “至少一个白球”和“都是红球”B. “至少一个白球”和“至少一个红球”C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球”D. “恰有一个白球”和“都是红球” 4. 在同一直角坐标系中，函数()()0af x xx =≥，()log a g x x =的图像可能是（）A. B. C. D.5. 函数()2()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（） A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,eD. ()3,46. 已知0.13a =，()30.9b =，2log 0.2c =，则（） A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<7. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（）05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A. 680B. 585C. 467D. 1598. 区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据lg 20.3010≈，lg30.477≈） A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）9. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（）A. 成绩在[)70,80的考生人数最多B. 不及格的考生人数为500C. 考生竞赛成绩的众数为75分D. 考生竞赛成绩的中位数约为75分 10. 下列有关向量命题，不正确的是（）A. 若{},a b 是平面向量的一组基底，则{}2,2a b a b --+也是平面向量的一组基底 B. a ，b ，c 均为非零向量，若//a b ，//b c ，则//a c C. 若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ= D. 若1a =，6b =，则a b +的取值范围[]5,711. 已知函数2()4xf x x a =++，下列命题正确的有（） A. 对于任意实数a ，()f x 为偶函数 B. 对于任意实数a ，()0f x >C. 存在实数a ，()f x 在(),1-∞-上单调递减D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞12. 直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，（0m >，0n >），则下列结论正确的是（）A.12m n+为常数B. 2m n +的最小值为3C. m n +的最小值为169 D. m 、n 的值可以为：12m =，2n = 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分）13. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为_________.14. 已知()y f x =是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若()0x f x ⋅≥，则x 的取值范围是________. 15. 求值：23lg121812log lg(21)427100-⎛⎫-++= ⎪⎝⎭________. 16. 已知函数21221(0)()log (0)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是________，()41223416x x x x x ⋅++⋅的最大值是__________. 四、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7，记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码. （Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率；（Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）某同学在解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为A B +，所以()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=请指出该同学错误的原因？并给出正确解答过程.18. 已知集合1284x A x⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}22210B x x mx m =-+-<，{}2C x x m =-<. （Ⅰ）若2m =，求集合AB ；（Ⅱ）在B ，C 两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题p ：x A ∈，命题q ：x ∈________，求使p 是q 的必要非充分条件的m 的取值范围.19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了36件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见表.质量指标Y[)9.8,10.2[)10.2,10.6[]10.6,11.0频数 6 18 12 年内所需维护次数21（Ⅰ）每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）；（Ⅱ）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标至少有一个在[)10.2,10.6内的概率；（Ⅲ）已知该厂产品的维护费用为200元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这36件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 20. 如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB =，Q 是OB 中点.（Ⅰ）若()0,0O ，()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA =，求NQ 的坐标和模？（Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP =，求实数t 的值.21. 已知函数()33()log 3log 9axf x x =⋅（常数a R ∈）. （Ⅰ）当0a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（Ⅱ）当1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值.22. 已知函数()()2()log 0f x x a a =+>.当点(),M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点()3,2N x y 在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函数()y f x =的相关函数.（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x <；（Ⅱ）对任意的()0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x g x =-，()0,1x ∈.当1a =时，求()F x 的最大值.答案一、【单项选择题】 1-5：ABDDB 6-8：CAB【详细解答】1、由题意，因为()1,2a =，()6,b k =-，且//a b ，所以12k =-，故选A ；2、因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学有70%，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取10070%70⨯=人，故选B ；3、A 选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件；B 选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；C 选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；D 选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件；可知只有D 正确； 4、函数()0ay xx =≥与()log 0a y x x =>，选项A 中没有幂函数图像；选项B 中()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合；选项C 中()0ay x x =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合；选项D 中()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D ；5、考察零点的存在性定理，由于2()ln(1)f x x x=+-，可知()f x 在()0,+∞单调递增，依次带入数值：()1ln220f =-<，()2ln310f =->，可知存在()01,2x ∈，使得()00f x =. 故选B ；6、0.10331a =>=，30(0.9)1<<，22log 0.2log 10c =<=，所以c b a <<，故选C.7、由已知，从第一行的第5个数开始，即从数字“9”开始，每次选取三位数进行抽取：937（超范围，剔除），060（保留），223（保留），585（保留），585（重复，剔除），151（保留），035（保留），159（保留），775（保留），956（超范围，剔除），780（保留）故留下的8个编号为：060，223，585，151，035，159，775，780，按从小到大的顺序进行排序为：035，060，151，159，223，585，775，780，因为数据的个数为8，而且875%6⨯=，所以样本编号的75%分位数为5857756802+=，故选A 8、设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒，则112562.5102x ⨯⨯=，两边同时取以10为底的对数可得：()11256lg 2.510lg 2x ⨯⨯=，即lg 12lg 211256lg 2lg 258lg 21265.658x x +-+=⇒=-≈，可得65.658650.658101010x ≈=⨯，又9lg 4.5lg 2lg 3lg 20.6532==-≈，所以0.65810可以近似表示为4.5，故654.510x ≈⨯，故选B二、【多项选择题】9、AC 10、AC 11、ACD 12、ABD 【详细解答】9、由频率分布直方图可知，成绩在[]70,80的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，故A 正确；成绩在[]40,60的频率为0.005100.015100.2⨯+⨯=，故不及格的人数为20000.2400⨯=，故B 不正确；成绩在[]70,80的频率最大，故众数为75，故C 正确；成绩在[]40,70的频率和为0.4，所以中位数为0.1701073.330.3+⨯≈，故D 错误；故选AC 10、由基底向量的概念，()22a b a b -=--，两向量平行，不能做基底，故A 错误；由于a ，b ，c 均为非零向量，所以//a b ，//b c ，则a 一定平行于c ，B 正确；若//a b ，使得a b λ=，要强调0b ≠，C 错误；由定义可知，D 选项正确. 故选不正确的为AC.11、函数2()4x f x x a =++，①对于选项A ：由于x R ∈，且()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数.故选项A 正确.②对于选项B ：当0x =时2a =-时，()0f x <，故选项B 错误.③对于选项C ：由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故()f x 在(),1-∞-上单调递减，故选项C 正确.④对于选项D ：由于函数的图象关于y 轴对称，且在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故存在实数0a =时，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞，故选项D 正确. 故选ACD.12、P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，则1233AP AB AC =+，若AM mAB =，AN nAC =，则1233AP AM AN m n =+，又由M 、P 、N 三点共线，则12133m n+=，可得123m n +=；故12m n+为常数，故A 正确；对于B ，1121222(2)533m n m n m n m n n m ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1225233m n n m ⎡⎤≥+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当22m nn m=，即1m n ==时等号成立，则2m n +的最小值为3，故B 正确；对于C ，11212()333m n m n m n m n n m ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦122232133m n n m ⎡⎤≥+⨯⨯=+⎢⎥⎣⎦，当且仅当2n m =时等号成立，故C错误；对于D ，当12m =，2n =，满足123m n +=，此时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意，故D 正确；故选ABD.三、【填空题】13、13 14、(][),22,-∞-+∞【写成2x ≤-或2x ≥或集合也给满分】15、-3 16、1；4【第一空2分，第二空3分】【详细解答】13、由题意可得79788280858694968688x x ++++++++=⇒=81808352yy ++=⇒=，所以13x y +=.14、由题意画图，当2x ≥时，()0f x ≥，故()0x f x ⋅≥成立；当02x <<时，()0f x <，故()0x f x ⋅<不成立；当20x -<<时，()0f x >，故()0x f x ⋅<不成立；当2x ≤-时，()0f x ≤，故()0x f x ⋅≥成立；综上，x 的取值范围是：2x ≤-或2x ≥. 15、23lg121812log lg(21)427100-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭1921344=--+=-. 故答案为-3.16、画出21221(0)()log (0)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像有：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，故()f x 的图像与y a =有四个不同的交点，又由图，()01f =，()12f -=，故a 的取值范围是[)1,2，故a 的最小值是1.又由图可知，1212122x x x x =-⇒+=-+，0.530.54log log x x =，故0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=，故341x x =，故()4124234416162x x x x x x x ⋅++=-⋅+. 又当1a =时，0.544log 12x x -=⇒=.当2a =时，0.544log 24x x -=⇒=，故[)42,4x ∈.又44162y x x +=-在[)42,4x ∈时为减函数，故当42x =时，44162y x x +=-取最大值162242y +=-⨯=. 四、【解答题】【详细答案】 17、【解析】（Ⅰ）由题意可知()0.8P A =，()0.7P B =，且事件A ，B 相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB ，所以()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=；（Ⅱ）事件“恰有一人破译密码”可表示为AB AB +，且AB ，AB 互斥，所以()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+0.20.70.80.30.38=⨯+⨯=.（Ⅲ）错误原因：事件A ，B 不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式. 正确解答过程如下：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，可以表示为AB AB AB ++，且AB ，AB ，AB 两两互斥，所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.20.70.80.30.80.70.94=⨯+⨯+⨯=.【※注意※】记C =“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以()()()()1110.20.30.94P C P AB P A P B =-=-⋅=-⨯=. 18、【解析】（Ⅰ）由已知，将2m =代入22210x mx m -+-<，可得2430x x -+< ，解得13x <<，即{|13}B x x =<<. 又{}231282224x x A x A x -⎧⎫=<≤⇒=<≤⎨⎬⎩⎭{}23A x x ⇒=-<≤，所以{}13AB x x =<<.（Ⅱ）若选B ：由22210x mx m -+-<，得[][](1)(1)0x m x m ---+<， ∴11m x m -<<+，∴{}|11B x m x m =-<<+，由p 是q 的必要非充分条件，得集合B 是集合A 的真子集， ∴1213m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤，若选C ：由2x m -<，得22m x m -<<+， ∴{}|22C x m x m =-<<+，由p 是q 的必要非充分条件，得集合C 是集合A 的真子集，∴2223m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01m ≤≤. 19、【解析】解：（Ⅰ）指标Y 的平均值为：10610.41810.812376.810.473636Y ⨯+⨯+⨯==≈.（Ⅱ）由分层抽样方法知：先抽取的6件产品中，指标Y 在[)9.8,10.2的有1件，记为A ，在[)10.2,10.6的有3件，记为1B ，2B ，3B ，在[]10.6,11.0的有2件，记为1C ，2C ，从6件中随机抽取2件，共有15个基本事件分别为：()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()1,A C ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()31,B C ，()32,B C ，()12,C C ，其中满足条件的基本事件有12个，分别为：()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()31,B C ，()32,B C ，所以这2件产品的指标至少有一个在[)10.2,10.6内的概率为：124155P ==. （Ⅲ）设每件产品的售价为x 元，假设这36件产品每件都不购买服务，则平均每件产品的消费费用为：1400(36640012200)363s x x =+⨯+⨯=+（元），假设这36件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为：[]125040036(50)62003633s x x x =++⨯=+<+，所以该服务值得消费者购买. ………12分 20、【解析】解：（Ⅰ）根据题意，Q 是OB 中点，即12OQ OB =，又13ON OA =，且()1,3A ，,03B 8⎛⎫⎪⎝⎭，可知4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,11,13ON NQ OQ ON ⎛⎫=⇒=-=- ⎪⎝⎭，且()22112NQ =+-=.（Ⅱ）如图因为13AP AB =，所以()13OP OA OB OA -=-，可以化简为：2133OP OA OB =+，又OM tOP =，所以2123333t tOM tOP t OA OB OA OB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭①不妨再设AM AQ μ=，即()()1OM OA OQ OA OM OA OQ μμμ-=-⇒=-+，由Q 是OB 的中点，所以12OQ OB =，即()12OM OA OB μμ=-+②由①②，可得213t μ-=，3234t t μ=⇒=. 【※注意※】若学生在处理21222333333t t t tOM tOP t OA OB OA OB OA OQ ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，直接由A ，M ，Q 三点共线，即2231334t t t +=⇒=，扣除2分，若能证明共线的条件，则不扣分. 21、【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，()33()log log 2f x x x =⋅-，由()0f x ≤得()33()log log 2f x x x =⋅-，即：33330log 2log 1log log 9x x ≤≤⇒≤≤，解得：19x ≤≤，所以()0f x ≤的解集为{}19x x ≤≤.（2）()()()333333()log 3log log 3log log log 99aa xf x x x x =⋅=+⋅- ()()33log log 2x a x =+⋅-()233log (2)log 2x a x a =+-⋅-.令3log u x =，因为1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]2,3u ∈-，若求()f x 在1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，即求函数2()(2)2g u u a u a =+-⋅-在[]2,3u ∈-上的最小值，222(2)()24a a g u u -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭时，[]2,3u ∈-，对称轴为22a x -=. ①当232ax -=≥时，即4a ≤-时，函数()g u 在[]2,3-为减函数，所以min ()(3)3g u g a ==+；②当2232a--<<时，即46a -<<时，函数()g u 在32,2a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，在3,32a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，所以 2min2(2)()24a a g u g -+⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ③当222ax -=≤-，即6a ≥时，函数()g u 在[]2,3-为增函数，min ()(2)84g u g a =-=-.综上，当4a ≤-时，()f x 的最小值为3a +；当46a -<<时，()f x 的最小值为()224a +-；当6a ≥时，()f x 的最小值为84a -.22、【解析】解：（Ⅰ）依题意，20log ()1x a x a +>⎧⎨+<⎩，则02x a x a +>⎧⎨+<⎩，解得2a x a -<<-，所求不等式的解集为(),2a a --.（Ⅱ）由题意，()22log 3y x a =+，即()f x 的相关函数为()21()log 32g x x a =+，由已知，对任意的()0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，所以当()0,1x ∈时，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a -=+-+<恒成立，由0x a +>，30x a +>，0a >得3a x >-，在此条件下，即()0,1x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+恒成立，即()23x a x a +<+，即()22230x a x a a +-+-<在()0,1上恒成立，所以2201230a a a a a ⎧-≤⎨+-+-≤⎩，解得01a <≤，故实数a 的取值范围为(]0,1.（Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知在区间()0,1上，()()f x g x <，所以()22131()()()()()log 21x F x f x g x g x f x x +=-=-=+，令231(1)x t x +=+，(0,1)x ∈，则21(1)31x t x +=+，令31(1,4)x μ=+∈，则13x μ-=，所以221141483424999t μμμμμμ+⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当13x =时取等号，所以()F x 的最大值为22193log log 3282=-.。

辽宁省高一上学期期末考试数学试题(解析版)

高一数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）{}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤A. B.C.D.{}2,1--{}2,2-{}0,1{}1,0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图确定集合的运算关系为，在根据补集与交集的运算即可得答案. ()R B A ⋂ð【详解】集合，，韦恩图中表示的集合为， {}2,1,0,1,2A =--{}21B x x =-<≤()R B A ⋂ð则或，所以. R {|1B x x =≤-ð1}x >(){}R 2,2B A ⋂=-ð故选：B.2. 已知，，，则，，的大小关系为（） 2log 0.7a =0.21.2b -=0.43c =a b c A. B.C.D.b c a <<b a c <<a c b <<a b c <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质，并借助中间值即可比较大小. 【详解】由题可知，，，故，，的大小关系为.a<001,1b c <<>a b c a b c <<故选：D3. 甲、乙、丙3位同学每位同学都要从即将开设的3门校本课程中任选一门学习，则他们选择的校本课程各不相同的概率为（） A.B.C.D.293882789【答案】A 【解析】【分析】利用古典概型的概率公式即可求解.【详解】甲，乙，丙3位同学从开设的3门校本课程中任选一门参加的事件数为， 33甲，乙，丙3位同学参加的校本课程各不相同的事件数为， 3216⨯⨯=故所求概率为 36239P ==故选：A4. 降低室内微生物密度的有效方法是定时给室内注入新鲜空气，即开窗通风换气.在某室内，空气中微生物密度随开窗通风换气时间的关系如图所示，则下列时间段内，空气中微生物密度变化的平均速度()c ()t 最快的是（）A. B. C. D.[]5,10[]15,20[]25,30[]30,35【答案】B 【解析】【分析】连接图上的点，利用直线的斜率与平均变化率的定义判断即可；【详解】如图分别令、、、、、、所对应的点为5t =10t =15t =20t =25t =30t =35t =,,,,,,,A B C D E F G0,0,0,AB CD EF CD FG CD k k k k k k >>>>>>所以内空气中微生物密度变化的平均速度最快； []15,20故选：B5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足关系式，其中星等为的星的亮度为．已知牛郎星的星等是0.75，织21552111lg lg 22m m E E -=-k m ()1,2k E k =女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为（） A .B.C. D. 3101031010-3lg1010lg3【答案】B 【解析】【分析】根据题目中所给公式直接计算可得.【详解】因为，所以． 55212211115lg lg lg0.75222E m m E E E -=-==-3210110E E -=故选：B6. 已知向量，，且，则为（）()2,0a = ()1,2b =()()()3//2R a b a kb k -+∈2a kb + A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，求出参数的值，最3a b - 2a kb +k 后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】因为，，所以， ()2,0a = ()1,2b =()1,63a b ---= ，()()()222,01,24,2a kb k k k +=+=+又，所以，解得，()()3//2a b a kb -+()1264k k -⨯=-⨯+6k =-所以，则.()22,12a kb +=-- 2a kb +== 故选：A7. 分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是M =（）A. 3枚硬币都正面朝上B. 有正面朝上的，也有反面朝上的C. 恰好有1枚反面朝上D. 至多有2枚正面朝上【答案】B 【解析】【分析】由已知运用列举法列出样本空间，事件M 、选项A 、B 、C 、D 的事件，再利用古典概率公式和检验事件独立性的概率公式逐一检验可得选项.【详解】解：样本空间为{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正）．（正，反，反），（反，Ω=正，正）（反，正，反）（反，反，正）．（反，反，反）}，而事件{（正，正，正），（正，正，反）．（正，反，正），（反，正，正）}，设“有正面朝上的，M =B =也有反面朝上的”，对于A 选项：设事件{（正，正，正）}． A =∴，，， ()4182P M ==()18P A =()18P AM =∴，事件A 与M 不相互独立，故A 不正确；()()()P AM P M P A ≠对于B 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，B =反），（反，反，正）}． ∴，，， ()4182P M ==()6384P B ==()38P BM =∴，事件B 与M 相互独立，故B 正确；()()()P BM P M P B =对于C 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}． C =∴，，， ()4182P M ==()38P C =()38P CM =∴，事件C 与M 不相互独立，故C 不正确；()()()P CM P M P C ≠对于D 选项：设事件{（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，D =反），（反，反，正），（反，反，反）}． ∴，，， ()4182P M ==()78P D =()38P DM =∴，事件D 与M 不相互独立，故D 不正确； ()()()P DM P M P D ≠故选：B.8. 若，则（） 3322x y x y --->-A.B.C.D.ln 0x y ->ln 0x y -<1ln01y x <-+1ln01y x >-+【答案】C 【解析】【分析】构造函数，由其单调性可得，结合选项可得答案.()32x x f x -=-x y >【详解】令，因为为增函数，为减函数，所以为减函数； ()32x x f x -=-2x y =3x y -=()f x 因为，所以，所以. 3322x y x y --->-()()f x f y >x y <由于与1无法确定大小，所以A,B 均不正确； x y -因为，所以，所以，C 正确，D 不正确；11y x -+>1011y x <<-+1ln 01y x <-+故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，则下列不等式中成立的是（） 0a b <<A. B.C.D. a b ab +<2ab b <11b b a a +<+11a b b a+<+【答案】AD 【解析】【分析】利用不等式的性质可得正误，利用特值可得C 的正误，利用作差比较法可得D 的正误. 【详解】对于A ，因为，所以，所以，A 正确； 0a b <<0,0ab a b >+<a b ab +<对于B ，因为，所以，B 错误； 0a b <<2ab b >对于C ，当，，C 错误； 2,1a b =-=-11b b a a +>+对于D ，， ()1111a b a b b a ab ⎛⎫⎛⎫+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，所以，，所以，即，D 正确. 0a b <<0ab >0a b -<()110a b ab ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭11a b b a+<+故选：AD.10. 为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（） A. 图中的值是0.16a B. 估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元 C. 估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元D. 估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20% 【答案】BD 【解析】【分析】根据频率分布直方图频率和为1即可求,可结合选项逐一计算中位数,平均值以及所占的比重判断a 得解.【详解】对于A ，根据频率分布直方图频率和为1,得(0.130.0420.024+0.22)11,0.14a a ⨯+⨯+⨯⨯+⨯==，故A 错误；对于B ，设该地农户家庭年收入的中位数为万元，x 则，即，则中位数是，故B 正确;0.020.040.100.140.20.5++++=7.5x =7.5对于C ，该地农户家庭年收入的平均值为 30.0240.0450.1060.1470.280.290.1x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，故C 错误；100.1110.04120.02130.02140.027.68+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=对于D ，设该地家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为，故D 正确；0.10.040.0230.2++⨯=故选：BD. 11. 关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（） x 241x k x x x x-=--k A. B. 0C. 1D. 54-【答案】ABD 【解析】【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素0x ≠1x ≠240x x k +-=可分成三种情况，由此可解得所有可能的值.k【详解】由已知方程得：，解得：且；2100x x x -≠⎧⎨-≠⎩0x ≠1x ≠由得：； 241x k xx x x-=--240x x k +-=若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： 241x k x x x x-=--①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 240x x k +-=011640k ∴∆=+=4k =-此时的解为，满足题意；240x x k +-=2x =-②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=01由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 0400k +⨯-==0k 240x x ∴+=4x =-③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；240x x k +-=10由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 1410k +⨯-=5k =2450x x ∴+-=5x =-综上所述：或或. 4k =-05故选：ABD12. 已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是0x ()e 2xf x x =+-e 2.71828= （） A. B.C.D.()00,1x ∈()00ln 2x x -=00e0x x --<020e x x ->【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答. 0x 【详解】函数在上单调递增，而，()e 2xf x x =+-R ()00e 210f =-=-<， 12113(e 20222f =+-=->而是方程的零点，则，即，A 正确；0x ()e 2xf x x =+-01(0,)2x ∈()00,1x ∈由得：，整理得：，B 正确；()00f x =002e xx -=00)n(2l x x -=因，且在上单调递增,则有，C 正确; 0102x <<e x y x -=-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭001e 02xx --<<当，，则， D 不正确. 0102x <<021x ->02001xx x -<<故选：ABC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题：，为假命题，则实数的取值范围是______. p R x ∀∈220x x λ-+≥λ【答案】或λ<-λ>【解析】【分析】利用给定条件为假命题，说明有解，结合二次函数图象可得答案. 220x x λ-+<【详解】因为，为假命题，所以有解， R x ∀∈220x x λ-+≥220x x λ-+<所以，解得或280λ->λ<-λ>故答案为：或λ<-λ>14. 某厂生产A ，B 两种充电电池.现采用分层随机抽样从某天生产的产品中抽取样本，并分别计算所抽取的A ，B 两种产品的样本可充电次数的均值及方差，结果如下：则由20个产品组成的总样本的平均数为______；方差为______. 【答案】 ①. 204 ②. 28【解析】【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设A 产品可充电次数分别为：，A 产品可充电次数平均数为，方差为，B 产品1238,,,a a a a a 21s 可充电次数分别为，B 产品可充电次数平均数为，方差为，则，12312,,,,b b b b b 22s 8182101680ii a==⨯=∑，()()()22222118148s a aa aa a ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，，()2221281288232a a a a a a a a ++++-+++= 222128832a a a a +++-= ，2222128328352832a a a a +++=+=同理，，121200122400i i b ==⨯=∑()()()2222212121412s b b b bb b ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦即，()21222211222112248b b b b b b b b +-++++++= ，222121224812480048b b b b =+++=+ 则20个产品组成的总样本的平均数：， ()()128121211168024002042020x a a a b b b =+++++++=+= 方差为：()()()()()()22222221281212120s a x axa xb x bxb x ⎡⎤=-+-++-+-+-++-=⎢⎥⎣⎦()221228122222221218112120220x x a a a b b b a a a b b b ⎡⎤++-+++++++⎣⎦++++++ ()2222222212811212020a a ab b x b =++-+++++ ()21352832480048202042820=+-⨯=故答案为：204；2815. 实数，满足，则的最小值是______.a b 22431a b b +=22a b +【解析】【分析】根据条件可得，代入，结合基本不等式求解. 42213b a b-=22a b +【详解】因为，所以， 22431a b b +=42213b a b-=所以 22221233b a b b +=+≥=当且仅当时，等号成立； 22a b ==. 16. 函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，()f x {}R0x x ∈≠∣()11f =-1x 2x ，都有，则不等式的解集为______.()()2112121x f x x f x x x ->-()102f x x +<-【答案】 ()(),11,2∞--⋃【解析】【分析】设，则由可得，即在120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()121211f x f x x x ++>()()1f xg x x+=上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解()0,∞+()g x 2x >02x <<0x <出不等式即可.【详解】设，则由可得120x x >>()()2112121x f x x f x x x ->-()()211212x f x x f x x x ->-所以，所以 ()()12122111f x f x x x x x ->-()()121211f x f x x x ++>所以可得在上单调递增()()1f x g x x+=()0,∞+因为函数是定义在上的偶函数， ()f x {}R0x x ∈≠∣所以函数是定义在上的奇函数 ()g x {}R0x x ∈≠∣因为，所以，()11f =-()10g =所以当或时，当或时， 10x -<<1x >()0g x >1x <-01x <<()0g x <所以由可得当时，，，此时无解()102f x x +<-2x >()10f x +<()()10f x g x x+=<当时，，，此时.02x <<()10f x +>()()10f x g x x+=>12x <<当时，，，所以0x <()10f x +>()()10f x g x x+=<1x <-综上：不等式的解集为.()102f x x +<-()(),11,2∞--⋃故答案为：.()(),11,2∞--⋃四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数的定义域为集合，集合. ()()2lg 3f x x x=-A 313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭（1）若，求； 0a =A B ⋃（2）“”是“”的充分不必要条件.求实数的取值范围.x A ∈x B ∈a 【答案】（1） {}13x x -≤<（2）{}23a a ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合然后用并集的定义即可求解；,,A B （2）利用题意可得到，然后列出对应不等式即可A B 【小问1详解】由题意集合，{}{}23003A x x x x x =->=<<当时，，0a ={}11B x x =-≤≤所以{}13A B x x ⋃=-≤<【小问2详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，x A ∈x B ∈A B 因为，， {}03A x x =<<313a B x x a -⎧⎫=≤≤+⎨⎬⎩⎭所以，解得，30313a a -⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩23a ≤≤所以实数的取值范围是. a {}23a a ≤≤18. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；4535在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. 2334（1）甲在比赛中恰好赢一轮的概率；（2）从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？（3）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【答案】（1） 25（2）派甲参赛获胜的概率更大（3） 223300【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.【小问1详解】设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，1A =2A =“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，1B =2B =则，，，相互独立，且，，，， 1A 2A 1B 2B ()145P A =()223P A =()135P B =()234P B =设“甲在比赛中恰好赢一轮”C =则； ()()()()121212124112625353155P C P A A A P A A P A =+=+=⨯+⨯==【小问2详解】因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，12A A =12B B =所以， ()()()12124285315P A A P A P A ==⨯=， ()()()12123395420P B B P B P B ==⨯=因为，所以派甲参赛获胜的概率更大； 891520>【小问3详解】设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，D =E =于是“两人中至少有一人赢得比赛”，D E = 由（2）知，， ()()12815P D P A A ==()()12920P E P B B ==所以， ()()87111515P D P D =-=-=， ()()911112020P E P E =-=-=所以. ()()()()7112231111520300P D E P DE P D P E =-=-=-⨯= 19. 已知函数是奇函数. ()321x a f x =-+（1）求的值； a （2）判断在上的单调性，并证明；()f x R （3）求关于的不等式的解集. x ()()2251240f x x f x --+-<【答案】（1）6（2）单调递增，证明见解析（3） 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义即可求的值；a （2）判断函数在的定义取值、作差、变形、定号、下结论即可证明单调性； R （3）结合函数的奇偶性与单调性，可将不等式转化为一元二次不等式即可得解集.【小问1详解】由函数是奇函数 ()()3R 21x a f x x =-∈+所以即， ()()f x f x -=-332121x x a a -⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭化简可得，解得. 262121x x x a a ⋅+=++6a =【小问2详解】函数在上单调递增，理由如下：()f x R 在上任取两个实数，，设，R 1x 2x 12x x <则 ()()()()()1212211212622666633212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭因为，所以，所以，，，12x x <12022x x <<12220x x -<1210x +>2210x +>所以，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x R 【小问3详解】由得， ()()2251240f x x f x --+-<()()225124f x x f x --<--由得，所以 ()()f x f x -=-()()2424f x f x --=-+()()225124f x x f x --<-+又在上单调递增，在恒成立，()f x R 225124x x x --<-+R 即，解得， 22350x x --<512x -<<所以原不等式解集为. 5|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20. 在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，ABC A D E BC AB 2DC BD =2BE AE =AD CE P 设，. BC a = BA b =（1）若，试用，和实数表示；EP tEC = a b t BP （2）试用，表示； a b BP（3）在边上有点，使得，求证：，，三点共线.AC F 5AC AF = B P F 【答案】（1） ()213BP ta t b =+- （2） 1477BP a b =+ （3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据向量加减法运算即可;(2)根据向量的数量关系及向量加减法表示;(3)应用向量共线且有公共点证明即可.【小问1详解】由题意，所以， 2233BE BA b == 23EC EB BC a b =+=- ① ()2221333BP BE EP BE tEC b t a b ta t b ⎛⎫=+=+=+-=+- ⎪⎝⎭ 【小问2详解】设，由，， DP k DA = 1133BD BC a == 13DA DB BA b a =+=- ② ()1111333BP BD DP a k b a k a kb ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 由①、②得，， ()()211133ta t b k a kb +-=-+ 所以，解得，所以； ()()113213t k t k ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1747t k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1477BP a b =+ 【小问3详解】由，得，所以， AC a b =- ()1155AF AC a b ==- 1455BF BA AF a b =+=+ 所以，因为与有公共点，所以，，三点共线. 75BF BP = BF BP B B P F 21. 某学习小组在社会实践活动中，通过对某种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（()P x x ()1k P x x=+k 为正常数），该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： ()Q x x (天) x 510 15 20 25 30 (个)()Q x 55 60 65 70 65 60 已知第10天该商品的日销售收入为72元.（1）求的值；k（2）给出以下二种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中()Q x ax b =+()20Q x a x b =-+选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； ()Q x x （3）求该商品的日销售收入（，）（单位：元）的最小值.()f x 130x ≤≤*x ∈N 【答案】（1）2（2）(，) ()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N （3）64元【解析】【分析】(1)利用日销售收入等于日销售价格乘以日销售量列式计算即得.()P x ()Q x (2)由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减不单调，选择模型②，再从表中任取两组值列式计算即可.(3)利用(2)的信息求出函数的解析式，再分段求出最值即可作答.()f x 【小问1详解】依题意，该商品的日销售收入，因第10天该商品的日销售收入为72元，()()()f x P x Q x =⋅则，即，解得， (10)(10)(10)f P Q =⋅(1)607210k +⨯=2k =所以的值是2.k 【小问2详解】由表中数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，则选择模型， ()20Q x a x b =-+从表中任取两组值，不妨令，解得，即，显然表中(10)1060(20)70Q a b Q b =+=⎧⎨==⎩170a b =-⎧⎨=⎩()2070Q x x =--+其它各组值均满足这个函数，所以该函数的解析式为(，).()2070Q x x =--+130x ≤≤*x ∈N 【小问3详解】由(1)知，，由(2)知，2()1,130,N P x x x x*=+≤≤∈， ()50,120,N 207090,2030,N x x x Q x x x x x **⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩于是得， 10052,120,N ()()()18088,2030,N x x x x f x P x Q x x x x x **⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩当时，在上单调递减，在上单调递增，当120,N x x *≤≤∈100()52f x x x=++[1,10][10,20]10x =时，取得最小值(元)，()f x (10)72f =当时，在上单调递减，当时，取得最小值2030,N x x *<≤∈180()88f x x x=-++(20,30]30x =()f x (元)，(30)64f =显然，则当，时，(元)，7264>130x ≤≤*x ∈N min ()(30)64f x f ==所以该商品的日销售收入的最小值为64元.22. 函数且，函数 . ()3x f x =(2)18f a +=()34ax xg x =-（1）求的解析式；()g x （2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围； x ()80xg x m -⋅=[]22-,m （3）设的反函数为，，若对任意()3x f x =()()()()23,[]log p x h x p x p x x λ=-++()21x x ϕλλ=+-的，均存在，满足，求实数的取值范围.1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤λ【答案】（1）()24x x g x =-（2）1,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（3）)5⎡-+∞⎣【解析】【分析】（1）直接根据解得即可；(2)18f a +=32a =（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可； m 222x x m --=-[]22-,（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得()()12max h x x ϕ≤λ()2x ϕ的最大值，然后转化为恒成立问题即可【小问1详解】由，可得：(2)18f a +=2318a +=解得：32a =则有： ()24x xg x =-故的解析式为： ()g x ()24x xg x =-【小问2详解】由，可得： ()80xg x m -⋅=222x x m --=-不妨设2x t -=则有： 221124m t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭又22x -≤≤则有： 144t ≤≤故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为 1t =m 14-4t =m 12故 1124m -≤≤故实数的取值范围为： m 1,124⎡⎤-⎢⎣【小问3详解】的反函数为：()3x f x =()3log p x x =若对任意的，均存在，满足1x ⎤∈⎦[]21,1x ∈-()()12h x x ϕ≤则只需：恒成立()()12max h x x ϕ≤()()()23[]log h x p x p x x λ=-++不妨设，则设 3log x b =()()21b s b b λ=-++，则 1x ⎤∈⎦122b ≤≤在上可分如下情况讨论：()21x x ϕλλ=+-[]21,1x ∈- 当时，，此时，不满足恒成立 0λ=()1x ϕ=-()2s b b b =-+()()12max h x x ϕ≤②当时，，此时只需：在上恒成立 0λ<()()1max 11x ϕϕλ=-=-()211b b λλ-++≤-122b ≤≤则只需：在上恒成立 ()2110b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则只需：时，不等式成立 12b =()2110b b λλ++-≥-解得：，与矛盾； 52λ≥0λ<③当时，，此时，只需保证：0λ>()()1max 131x ϕϕλ==-()2131b b λλ-++≤-则只需：在上恒成立 ()21310b b λλ++-≥-1,22b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，只需保证：当时，成立 122λ+≤12b λ+=()21310b b λλ++-≥-则有：21050λλ-+≤解得：55λ-≤≤+又，故有： 122λ+≤53λ-≤≤当时，只需保证：当时，成立 122λ+>2b =()21310b b λλ++-≥-此时解得：1λ>-又故有：122λ+>3λ>故当时，0λ>5λ≥-综上所述，解得：实数的取值范围为：λ)5⎡-+∞⎣【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，，则有： ()y f x =[],x a b ∈()y g x =[],x c d ∈（1）若，，恒成立，； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x ≤()()12max min f x g x ≤（2）若，，能成立，[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x ≤()()12max max f x g x ≤。

2021-2021沈阳郊联体高一(上)期末数学试题答案

a a 第一学期期末测试高一数学试卷标准答案一、【单项选择题】1、A2、B3、D4、D5、B6、C7、A8、B二、【多项选择题】9、AC 10、AC11、ACD 12、ABD【详细解答】1、由题意，因为= (1,2)， b = (-6, k ) ，所以 k = -12 ，故选 A ；2、因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学有70% ，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取100⨯ 70% = 70 人，故选 B ；3、 A 选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件；B 选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；C 选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；D 选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件；可知只有 D 正确；4、函数 y = x a (x ≥ 0) 与 y = log x (x > 0)，选项 A 中没有幂函数图像；选项 B 中 y = x a (x ≥ 0) 中 a > 1， y = log x (x > 0)中0 < a < 1，不符合；选项 C 中 y = x a(x ≥ 0) 中0 < a < 1， y = log a x (x > 0)中 a > 1，不符合；a 2 2 选项 D 中 y = x a (x ≥ 0) 中0 < a < 1， y = log x (x > 0)中0 < a < 1，符合，故选 D5、考察零点的存在性定理，由于 f (x ) = ln(x +1) - 2，可知 f (x )在(0，+ ∞)单调递增，x依次带入数值： f (1)= ln 2 - 2 < 0, f (2)= ln 3 -1 > 0 ，可知存在 x 0 ∈(1,2)，使得 f (x 0 )= 0故选 B ；6、 a = 30.1 > 30 = 1， 0 < (0.9)3 < 1 ， c = log 0.2 < log 1 = 0 ，所以c < b < a ，故选 C ；7、由已知，从第一行的第 5 个数开始,即从数字“9”开始，每次选取三位数进行抽取：937（超范围，剔除），060（保留），223（保留），585（保留），585（重复，剔除），151（保留），按从小到大的顺序进行排序为：035，060，151，159，223，585，775，780，28、设这台机器破译密码所需时间大约为 x 秒，则 x ⨯ 2.5⨯1011 = 2256两边同时取以 10 为底的对数可得： lg (x ⨯ 2.5⨯1011 )= lg 2256即lg x +1- 2 lg 2 +11 = 256 lg 2 ⇒ lg x = 258 lg 2 -12 ≈ 65.658 、可得 x ≈ 1065.658 = 1065 ⨯100.658 ，又lg 4.5 = lg 9 = 2 lg 3 - lg 2 ≈ 0.653 2所以100.658 可以近似表示为 4.5，故 x ≈ 4.5⨯1065 ，故选 B9、由频率分布直方图可知，成绩在[70，80]的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，故 A 正确；成绩在[40，60]的频率为0.005⨯10 + 0.015⨯10 = 0.2 ，故不及格的人数为2000⨯ 0.2 = 400，故 B 不正确；成绩在[70，80]的频率最大，故众数为 75，故 C 正确；成绩在[40，70]的频率和为 0.4，所以中位数为0.1≈ 73.33 ，故 D 错误；故选 AC70 +10 ⨯0.310、由基底向量的概念，a - 2b =-(a - 2b)，两向量平行，不能做基底，故A 错误；由于a, b, c 均为非零向量，所以a // b, b // c ，则一定平行于c，B 正确；若a // b ，使得a=λb，要强调b≠0，C 错误；由定义可知，D 选项正确．故选不正确的为 AC．11、函数f (x) = 4|x| + x2 + a ,①对于选项 A：由于x ∈R ,且f (-x)＝f (x),故函数f (x)为偶函数．故选项 A 正确．②对于选项 B：当x = 0 时a =-2 时, f (x)< 0 ,故选项 B 错误．③对于选项C：由于函数f (x)的图象关于y轴对称,在x>0时,函数为单调递增函数,在x<0时,函数为单调递减函数,故f (x)在(-∞, -1)上单调递减,故选项 C 正确．④对于选项D：由于函数的图象关于y 轴对称,且在x > 0 时,函数为单调递增函数,在x < 0 时,函数为单调递减函数,故存在实数a = 0 时, 使得关于x 的不等式f (x)≥ 5 的解集为(-∞, -1][1, +∞),故选项D 正确．故选 ACD.12、P 是斜边BC 上一点，且满，＝+ ，若，，＝+ ，又由M、P、N 三点共线，则+ ＝1，可+＝3；+为常数，故A 正确；对于（+）（m+2n）＝[5++]≥[5+2×]＝3，当且仅＝，即m＝n＝1 时等号成立，则m+2n 的最小值为3，故B 正确；对于（+）（m+n）＝[3++]≥[3+2×]＝1+ ，当且仅当m 时等号成立，故C 错误；对于D，，n＝2，满+＝3，此时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意，故 D 正确；故选 ABD．三、【填空题】13、13 14、(-∞,-2] [2,+∞)【写成x ≤-2 或x ≥ 2 或集合也给满分】15、-3 16、 1 ； 4【第一空2 分，第二空3 分】【详细解答】13、由题意可得79 + 78 + 82 + 80 +x + 85 + 86 + 94 + 96= 86 ⇒x = 8881+ 80 +y= 83 ⇒y = 5 ，所以x +y = 13214、由题意画图，当x ≥ 2 时，f (x)≥ 0 ，故x ⋅f (x)≥ 0 成立；当0 <x < 2 时，f (x)< 0 ，故x ⋅f (x)< 0 不成立；当-2 <x < 0 时，f (x)> 0 ，故x ⋅f (x)< 0 不成立；( ) = x x 当 x ≤ -2 时， f (x )≤ 0 ，故 x ⋅ f (x )≥ 0 成立；综上， x 的取值范围是： x ≤ -2 或 x ≥ 2log 1 8 - 2 1 lg115、2 2 4 - （ 27 ） 3 + lg100 + （ - 1）= 1 - 9 - 2+1＝﹣3．4 4故答案为﹣3．⎧⎪-x 2 - 2x +1, x 16、画出 f x ⎨ ⎪⎩ log 0.5 x , x > 0的图像有：因为方程 f (x ) = a 有四个不同的解 x 1, x 2 , x 3 , x 4 ,故 f (x )的图像与 y = a 有四个不同的交点,又由图, f (0) = 1, f (-1) = 2 ，故a 的取值范围是[1, 2),故a 的最小值是 1.又由图可知, x 1 + x 2 = -1 ⇒ x + x = -2 ,2 1 2log 0.5 x 3 = log 0.5 x 4 ,故log 0.5 x 3 = - log 0.5 x 4 ⇒ log 0.5 x 3 x 4 = 0 ,故 x 3 x 4 =1.故 x ⋅(x + x )+ 16= -2x + 16 .4 1 2 x ⋅ x 2 4 x 3 4 4又当a =1时, - log 0.5 x 4 = 1⇒ x 4 = 2 .当a = 2 时, - log 0.5 x 4 = 2 ⇒ x 4 = 4 ,故 x ∈[2, 4) .又 y = -2x + 16 在 x ∈[2, 4) 时为减函数,故当 x = 2 时， y = -2x + 16 取最大值4 4 4 44 4y = -2⨯ 2 + 16 = 4 .2四、【解答题】【详细答案】17、【解析】（本小题满分 102 分）4 2 0（Ⅰ）由题意可知P( A) = 0.8 ，P(B) = 0.7 ，且事件 A，B 相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示AB ，所以P( AB) =P( A)P(B) = 0.8 ⨯ 0.7 = 0.56 ；………2 分（Ⅱ）事件“恰有一人破译密码”可表示为AB+AB ，且AB ，AB 互斥所以P( AB+AB) =P( AB)+P( AB) =P( A)P(B)+P( A)P(B)= 0.2 ⨯0.7 + 0.8⨯0.3 = 0.38 ………5 分（Ⅲ）错误原因：事件A，B 不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式………7 分正确解答过程如下“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”可以表示为AB+AB +AB ，且AB ，AB ，AB 两两互斥所以P( AB+AB +AB) =P( AB)+P( AB) +P( AB) =P( A)P(B)+P( A)P(B) +P( A)P(B)= 0.2 ⨯0.7 + 0.8⨯0.3+ 0.8⨯0.7 = 0.94………10 分解得1 <x < 3 ，即B = {x |1 <x < 3} ………2 分⎨m +1 ≤ 3 ⎨m + 2 ≤ 3 4 又 A = ⎧x | 1 < 2x ≤ 8⎫ ⇒ A = {x | 2-2 < 2x ≤ 23}⇒ A = {x | -2 < x ≤ 3}， ………4 分⎨ ⎬ ⎩ ⎭所以 A ⋂ B = {x |1 < x < 3} . ………6 分（Ⅱ）若选 B ：由 x 2 - 2mx + m 2 -1 < 0 ，得[x - (m -1)][x - (m +1)]< 0 ，∴m -1 < x < m +1，∴ B = {x | m -1 < x < m +1} ， ………8 分由 p 是 q 的必要非充分条件，得集合 B 是集合 A 的真子集∴ ⎧m -1 ≥ -2，………10 分⎩解得 -1 ≤ m ≤ 2 ， ………12 分若选 C ：由| x - m |< 2 ，得m - 2 < x < m + 2 ，∴C = {x | m - 2 < x < m + 2} ， ………8 分由 p 是 q 的必要非充分条件，得集合 C 是集合 A 的真子集∴⎧m - 2 ≥ -2，………10 分⎩解得0 ≤ m ≤ 1 ………12 分19、【解析】（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）指标 Y 的平均值为： Y = 10 ⨯ 6 +10.4⨯18 +10.8⨯12 = 376.8 ≈ 10.47………2 分36 36（Ⅱ）由分层抽样方法知：先抽取的 6 件产品中，指标 Y 在[9.8，10.2）的有 1 件，记为 A ，3 3 3 在[10.2，10.6）的有 3 件，记为 B 1 ，B 2 ，B 3 ，在[10.6，11.0]的有 2 件，记为 C 1 ， C 2， ………2 分从 6 件中随机抽取 2 件，共有 15 个基本事件分别为：（A ，B 1），（A ，B 2），（A ，B 3），（A ，C 1），（A ，C 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 2，B 3），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 3，C 1），（C 1，C 2），其中满足条件的基本事件有 12 个，分别为：（A ，B 1），（A ，B 2），（A ，B 3），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 2，B 3），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 3，C 1），所以这 2 件产品的指标至少有一个在[10.2，10.6）内的概率为：P ＝＝． ………6 分（Ⅲ）设每件产品的售价为 x 元，假设这 36 件产品每件都不购买服务，则平均每件产品的消费费用为：s ＝（36x +6×400+12×200）＝x +（元）， ………8 分假设这 36 件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为： s ＝ [36（x +50）+6×200]＝x + < x + 400 3 所以该服务值得消费者购买． ………12 分20、【解析】（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）根据题意， Q 是OB 中点,即OQ = 1 OB ,又ON = 1 OA ,且 A (1,3), B ⎛ 8 ,0⎫⎪2 3 ⎝ ⎭可知OQ = ⎛ 4，0⎫，ON = ⎛ 1，1⎫⇒ NQ = OQ - ON = (1,-1) ………4 分⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭NQ 12 + (-1)2 3 3 3 3 且 = = ………6 分（Ⅱ）如图因为 AP = 1 AB ，3所以OP - OA = 1 (OB - OA )，可以化简为： OP = 2 OA + 1 OB3 3 3又OM = tOP ,所以OM = tOP = t ⎛ 2 OA + 1 OB ⎫ = 2t OA + t OB —①………8 分⎪ ⎝ ⎭不妨再设 AM = μ AQ ,即OM - OA = μ(OQ - OA )⇒ OM = (1- μ )OA + μOQ 由Q 是OB 的中点，所以OQ = 1 OB2即 OM = (1- μ )OA + μ OB —② ………10 分2由 ①②，可得 1- μ = 2t , μ = t ⇒ t = 3 ………12 分3 2 3 4【※注意※】若学生在处理OM = tOP = t ⎛ 2 OA + 1 OB ⎫ = 2t OA + t OB = 2t OA + 2t OQ⎪ ⎝ ⎭直接由 A , M , Q 三点共线，即 2t + 2t = 1 ⇒ t = 3 ，扣除 2 分，若能证明共线的3 3 4条件，则不扣分21、【解析】（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）当a = 0 时，f (x )= log 3 x ⋅ (log 3 x - 2)由 f (x ) ≤ 0 得 f (x )= log 3 x ⋅ (log 3 x - 2)， ………1 分 2 3 33 3 3 33 3 - 即： 0 ≤ log 3 x ≤ 2 ⇒ l og 31 ≤ log 3 x ≤ l og 3 9 ，解得：1 ≤ x ≤ 9所以 f (x ) ≤ 0 的解集为{x |1 ≤ x ≤ 9}. ………3 分（2） f (x )= log 3 (3a x )⋅ log x = (log 3 9 3 3a+ logx )⋅ (log x - log 3 9)= (log 3 x + a )⋅ (log 3 x - 2)= (log x )2 + (a - 2)⋅log x - 2a令u = log x ，因为 x ∈ ⎡1 ,27⎤ ，所以u ∈[-2, 3]3 ⎢⎣9 ⎥⎦若求 f (x )在 x ∈ ⎡1 ,27⎤ 上的最小值，⎢⎣9 ⎥⎦即求函数 g (u )= u 2 + (a - 2)⋅u - 2a 在u ∈[-2, 3]上的最小值， ………5 分g (u )= ⎛u + a - 2 ⎫2⎪ (a + 2)2 时， u ∈[-2, 3]，对称轴为 x = 2 -a⎝ 2 ⎭ 4 2①当 x = 2 - a ≥ 3 时，即a ≤ -4时， 2函数 g (u ) 在[-2, 3]为减函数，所以 g (u )min ②当- 2 < 2 - a < 3 时，即- 4 < a < 6 时，2= g (3)= a + 3 ； ………7 分函数 g (u ) 在⎡-2, 3 - a ⎤⎢⎣ 2 ( ) ⎛ 2 - a ⎫ ⎥⎦ (a + 2)2g u min = g ⎝ ⎪ = - 2 ⎭ 4 ；③当 x = 2 - a ≤ -2，即a ≥ 6 时，2 3 32 2 函数 g (u ) 在[-2, 3]为增函数，g (u )min = g (- 2)= 8 - 4a ………11 分综上，当a ≤ -4时， f (x )的最小值为a + 3 ；当- 4 < a < 6 时， f (x )的最小值为- (a + 2)24当a ≥ 6 时， f (x )的最小值为8 - 4a . ………12 分22、【解析】（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）依题意，，解得﹣a ＜x ＜2﹣a ，所求不等式的解集为（﹣a ，2﹣a ） ………2 分（Ⅱ）由题意，2y ＝log 2（3x +a ），即 f （x ）的相关函数为 g (x )= 1log 22 (3x + a )，………3 分由已知，对任意的 x ∈（0，1），f （x ）的图象总在其相关函数图象的下方，所以当 x ∈（0，1）时， f (x )- g (x )= log (x + a )- 1 log 2 22 (3x + a )< 0 恒成立，由 x +a ＞0，3x +a ＞0，a ＞0 得 x > - a ，3在此条件下，即 x ∈（0，1）时， log (x + a )2< log (3x + a )恒成立， ………5 分即（x +a ）2＜3x +a ，即 x 2+（2a ﹣3）x +a 2﹣a ＜0 在（0，1）上恒成立，所以，解得0 < a ≤ 1，故实数 a 的取值范围为(0,1] ………7 分；μ ⋅ 4 μ （Ⅲ）当 a ＝1 时，由（Ⅱ）知在区间（0，1）上， f (x )< g (x )，所以 F (x ) = f (x )- g (x ) = g (x )- f (x )= 1 log 2 3x +12 (x +1)2 ，令t = 3x +1 (x +1)2, x ∈ (0,1)，则1 = t (x +1)23x +1，………8 分令 μ = 3x +1∈ (1,4)，则 x = μ -1 ，3⎛ μ + 2⎫21 3 ⎪ 1 ⎛ 4 ⎫ 1 ⎛⎫ 8所以 = ⎝ ⎭t μ = μ + 9 ⎝ μ + 4⎪ ≥ 2 ⎭ 9 ⎝ + 4⎪=⎭ 9………10 分当且仅当 x = 1 时取等号，3 所以 F (x ) 的最大值为 1 log 29 = log 2 8 2 3 - 3． ………12 分 2。

沈阳市高一(上)期末数学试卷(1)含答案解析

高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．66．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．9810．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））【解答】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α在第三象限，且sinα=﹣，∴cosα=﹣．∴．故选：C．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：==．故选：B．4．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=log22=1，f（﹣log23）==3，∴f（2）+f（﹣log23）=1+3=4．故选：A．6．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[﹣（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1﹣cos2x+2cosx，=﹣（cosx﹣1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D8．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数【解答】解：函数f（x）=cos2x﹣=（2cos2x﹣1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．98【解答】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵又当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11﹣2）=f（﹣2）=f（2）=22=4．故选：B．10．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0，则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0；当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0，则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），故选：C．12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．【解答】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=﹣，k ∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=2．【解答】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为2．【解答】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（8，+∞）．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=3．【解答】解：△ABC中，a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=22+c2﹣2×2×c×（﹣），化简得5c2﹣3c﹣36=0，解得c=3或c=﹣（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2x﹣sin2x﹣=（1+cos2x）﹣sin2x﹣=﹣sin2x+cos2x=﹣2sin（2x﹣）；﹣﹣﹣﹣（3分）∴f（x）的最小正周期为π，﹣﹣﹣﹣（4分）对称轴方程为x=+，k∈Z；﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；﹣﹣﹣﹣（8分）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵0，∴，又sin（）=，∴cos（）=，∴sinα=sin[﹣（）]=sin cos（）﹣cos sin（）=；（Ⅱ）∵0，∴，又cos（）=，∴sin（）=．∴cos（）=cos[（）+（）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin（）=．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由（2a﹣c）cosB=bcosC，可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，可得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵A∈（0，π），sinA＞0，∴可得：cosB=，∴由B=，B∈（0，π），B=．﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵2R==，a=sinA，c=sinC，﹣﹣﹣﹣（6分）∴可得三角形周长：a+b+c=sinA+sinC+2=sinA+sin（﹣A）+2=4sin（A+）+2，﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜A＜，＜A+＜，可得：sin（A+）∈（，1]．﹣﹣﹣﹣（11分）∴周长的最大值为6．﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T==π，由ω＞0，得ω=2；由函数f（x）的图象关于点（）中心对称，∴2×+φ=kπ，φ=﹣+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=﹣；又f（x）过点（），∴Asin（2×﹣）=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）；（II）方程2f（x）﹣a+1=0，∴a=4sin（2x﹣）+1；又x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴4sin（2x﹣）+1∈[﹣1，5]，∴实数a的取值范围是[﹣1，5]．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）由sin（A﹣B）+sinC=sinA，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=sinA即2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=．sinB=（Ⅱ）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac⇒a2+c2﹣ac=9…①又∵s=ac•sinB=2，∴ac=6…②△ABC由①②解得，∵a＞c，∴a=3，c=2．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，解得m=﹣1，则f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（﹣x）=a﹣2x﹣a2x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则m=﹣1成立；（Ⅱ）由f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（1）=，可得a2﹣a﹣2=，解得a=2，则f（x）=22x﹣2﹣2x，设y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2k（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2k（2x﹣2﹣x）+2，设t=2x﹣2﹣x，y=t2﹣2kt+2x∈[0，1]，可得t∈[0，]，当k＜0时，y min=2成立；当0≤k≤时，y min=2﹣k2=2，解得k=0成立；当k≥时，ymin=﹣3k+=2，解得k=不成立，舍去．综上所述，实数k的取值范围是（﹣∞，0]．。

2022-2023学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一年级上册学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}20A x x =-≥，{}2280B x x x =--<，全集U =R ，则U B A ⋃=ð（）A ．()4,+∞B ．(),4-∞C ．[)4,+∞D ．(],4-∞-【答案】B【分析】解不等式可求得集合,A B ，由补集和并集定义可求得结果.【详解】由20x -≥得：2x ≥，则[)2,A =+∞，(),2U A ∴=-∞ð；由2280x x --<得：24-<<x ，则()2,4B =-，(),4U B A ∴=-∞ ð.故选：B.2．若a ，b 均为实数，则“ln ln a b >”是“e e a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数ln y x =与e x y =解不等式，即可判断.【详解】解：因为ln ln a b >，由函数ln y x =在()0,+∞上单调递增得：0a b >>又e e a b >，由于函数e x y =在R 上单调递增得：a b >由“0a b >>”是“a b >”的充分不必要条件可得“ln ln a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件.故选：A.3．从高一某班（男、女生人数相同）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A 为“三名学生都是女生”，事件B 为“三名学生都是男生”，事件C 为“三名学生至少有一名是男生”，事件D 为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（）A ．()18P A =B ．()()PC PD ≠C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件C 对立【答案】B【分析】由独立乘法公式求()P A ，根据事件的描述，结合互斥、对立事件的概念判断B 、C 、D 即可.【详解】由所抽学生为女生的概率均为12，则311()28P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 正确；,A B 两事件不可能同时发生，为互斥事件，C 正确；C 事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为A ，D 正确；D 事件包含：三名学生都是男生、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与C 事件含义相同，故()()P C P D =，B 错误；故选：B.4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A ．14B ．38C ．512D ．58【答案】A【分析】明确随机数代表的含义，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】由题意可知经随机模拟产生的12组随机数中，137271,436，这三组表示三次投篮恰有两次命中，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为31124P ==，故选：A5．如图，已知函数()13x f x -=，则它的反函数()1y f x -=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】直接利用反函数的性质写出解析式，得()13log 1y f x x -==+，再由解析式选择图像即可.【详解】由题意得，函数()13x f x -=的反函数是()13log 1y f x x -==+，这是一个在()0,∞+上的单调递增函数，且1311log 1033y f -⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，所以只有选项C 的图像符合.故选：C.6．某科研小组研发一种水稻新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代15粒种子，则种子数量首次超过1000万粒的是（）（参考数据：lg 20.3,lg30.48≈≈）A ．第5代种子B ．第6代种子C ．第7代种子D ．第8代种子【答案】C【分析】设第x 代种子的数量为115x -，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.【详解】设第x 代种子的数量为115x -，由题意得171510x -≥，得715log 101x ≥+．因为7715lg1077log 101111 6.9lg15lg3lg5lg31lg 2+=+=+=+≈++-，故种子数量首次超过1000万粒的是第7代种子．故选：C.7．已知2log 0.50.2a ba ==，则（）A ．a ＞b ＞1B ．b ＞a ＞1C ．b ＞1＞aD ．a ＞1＞b【答案】D【分析】根据0.50>a 得出2log 0a >，从而得出122<<<a ，0.20.2>b 得出1b <可得答案.【详解】因为0a >，所以2log 00.5aa =>，可得1a >，0.50.5<a ，221log log 22<=a ，所以122<<<a ，20.50.50.2>>a ，0.20.2>b ，所以1b <，所以1a b >>.故选：D.8．设()11f x x =--，关于x 的方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦，给出下列四个命题，其中假命题的个数是（）①存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实根.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】作出函数图象，令210x kx ++=，对根的判别式分类讨论即可得解.【详解】解：()11x f x =-- 可作函数图象如下所示：令210x kx ++=，24k ∴∆=-（1）当240k ∆=-=时，解得2k =或2k =-①当2k =-时，210x kx ++=解得1x =由图可知，存在3个不同的实数使得()1f x =，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦有3个不同的实数根；②当2k =时，210x kx ++=解得=1x -由图可知，不存在实数使得()1f x =-，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦无实数根；（2）当240k ∆=->时，解得2k >或2k <-，①当2k >时，方程210x kx ++=有两不相等的实数根，设为1x ，2x ，则120x x k +=-<，121=x x 1x ∴，2x 均为负数，由函数图象知()0f x ≥，故不存在实数使得()0f x <，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦无实数根；②当2k <-时，方程210x kx ++=有两不相等的实数根，设为1x ，2x ，则120x x k +=->，121=x x 1x ∴，2x 均为正数且121x x =，设21x >则101x <<，由图可知，存在2个不同的实数使得()1f x >，存在4个不同的实数使得()01f x <<，即方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦有6个不同的实数根；（3）当240k ∆=-<时，方程无解，则方程()()210f x k f x +⋅+=⎡⎤⎣⎦无实数根；综上可得正确的有①④，错误的有②③故选：C【点睛】本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想，属于难题．二、多选题9．秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周（7天）的体温测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：C ）依次为36.0,36.2,36.1,36.4,36.3,36.1,36.3，则该组数据的（）A ．极差为0.4CB ．平均数为36.2C C ．中位数为36.1CD ．第75百分位数为36.3C【答案】ABD【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.【详解】体温从低到高依次为36.0,36.1,36.1,36.2,36.3,36.3,36.4，极差为36.436.00.4C -= ，故A 正确；平均数为3636.236.336.2C 7+++= ，故B 正确；中位数为36.2C ，故C 错误；因为775% 5.25⨯=，所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是36.3C ，故D 正确.故选：ABD.10．设a ，b是两个非零向量，则下列描述错误的有（）A ．若a b a b +=- ，则存在实数0λ>，使得a b λ=.B ．若a b ⊥，则a b a b +=- .C ．若a b a b +=+ ，则a ，b反向.D ．若a b ∥，则a ，b一定同向【答案】ACD【分析】根据向量加法的意义判断选项A ，C ；根据平面向量加法的平行四边形法则可判断选项B ；根据平面向量平行的性质可判断选项D.【详解】对于选项A ：当a b a b +=- ，由向量加法的意义知a ，b方向相反且a b ≥ ，则存在实数0λ<，使得a b λ=，故选项A 错误；对于选项B ：当a b ⊥ ，则以a ，b为邻边的平行四边形为矩形，且a b + 和a b - 是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，故选项B 正确；对于选项C ：当a b a b +=+ ，由向量加法的意义知a ，b 方向相同，故选项C 错误；对于选项D ：当a b ∥时，则a ，b同向或反向，故选项D 错误；综上所述：选项ACD 错误，故选：ACD.11．下列命题正确的有（）A ．命题“1x ∀>，210x ->”的否定“1x ∀≤，210x ->”B ．函数()212()log 62f x x x =+-单调递增区间是1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．函数()(),1322,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数23()log f x x x=-的零点所在区间为()2,3且函数()f x 只有一个零点【答案】BD【分析】对于A ，由全称命题的否定为特称命题即可；对于B ，先求函数的定义域，再利用换元法结合复合函数单调性进行判断即可；对于C ，由分段函数为增函数，则每一段上都为增函数，再考虑端点处的函数值，列出不等式求解即可；对于D ，先判断函数()f x 的单调性，再利用零点存在性定理判断即可.【详解】对于A ，命题“1x ∀>，210x ->”的否定“1x ∃>，210x -≤”，故A 选项错误；对于B ，由2620x x +->，得322x -<<，令262x t x +-=，则12log y t =，因为262x t x +-=在31,24⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又12log y t =在定义域内单调递减，所以()f x 在31,24⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，在1,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，故B 选项正确；对于C ，因为函数()(),1322,1ax f x x a x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪-+>-⎩是R 上的增函数，所以()()032032121a a aa ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪-⋅-+≥--⎩，解得：312a ≤<，故C 选项错误；对于D ，因为函数3y x=和函数2log y x =-在区间()2,3上单调递减，所以函数23()log f x x x=-在区间()2,3上单调递减，又因为()()()232311log 302f f ⎛⎫⋅=-⋅-< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()2,3上只有一个零点，故D 选项正确.故选：BD.12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）A ．平均数3x ≤B ．标准差2s ≤C ．平均数3x ≤且极差小于或等于2D ．众数等于1且极差小于或等于4【答案】CD【解析】根据题目条件，只需满足连续7天每日新增比例数不超过5即可，仅通过平均数和标准差不能确保每天的新增病例数不超过5，可判断A ，B 错误；再根据平均数及极差综合判断C ，D 中数据的可能取值，分析是否符合条件.【详解】对于A 选项，若平均数3x ≤，不能保证每天新增病例数不超过5人，不符合题意；对于B 选项，标准差反映的是数据的波动大小，例如当每天感染的人数均为10，标准差是0，显然不符合题意；对于C 选项，若极差等于0或1，在3x ≤的条件下，显然符合指标；若极差等于2，假设最大值为6，最小值为4，则3x >，矛盾，故每天新增感染人数不超过5，符合条件，C 正确；对于D 选项，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选：CD.【点睛】本题考查统计的数据特征，解答本题时，一定要注意平均数、标准差等对数据的影响，其中C 、D 选项的判断是难点，可采用假设法判断.三、填空题13．当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231mm y m m x--=--为减函数，则m =_________．【答案】2【分析】利用幂函数定义即可得到结果.【详解】函数为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，又因为函数在(0,)+∞上单调递减，可得2230m m --<，可得2m =，故答案为：214．已知函数()()e e 2,(0)x xf x a bx ab -=-++≠，若()2019f h =-，则()f h -=______．【答案】2023【分析】根据解析式可得()()4f x f x -+=，然后把()2019f h =-代入即可得答案.【详解】()()e e 2,(0)x xf x a bx ab -=-++≠ ，()()e e 2,(0)x x f x a bx ab -∴-=--+≠，()()4f x f x ∴-+=，即()()4()420192023f h f h -=-=--=.故答案为：2023.15．已知ABC 中，14AN NC = ，M 为线段BN 上的一个动点，若AM xAB y AC =+（x 、y 均大于0），则15x y+的最小值______．【答案】36【分析】首先转化向量表示5AM x AB y AN =+，再结合平面向量基本定理的推论得51x y +=，再利用基本不等式求最值.【详解】由条件可知5AC AN =，所以5AM x AB y AN =+ ，点,,M B N 三点共线，所以51x y +=，且0,0x y >>，()1515555552626236y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当16x y ==时，等号成立.故答案为：3616．已知函数()22()ln f x x e =+（e 为自然常数， 2.718e ≈），2()21g x ax x a =+++，若1x ∀∈R ，总2[0,)x ∃∈+∞，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】[0,1]【分析】设函数()f x 、()g x 的值域分别为集合A 、B ，易得,[)2A =+∞，再根据对任意的1R x ∈，总存在实数2[0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，由A B ⊆，结合二次函数的值域求解.【详解】设函数()f x 、()g x 的值域分别为集合A 、B ，当x R ∈时，()[2,)∈+∞f x ，所以,[)2A =+∞，因为对任意的1R x ∈，总存在实数2[0,)x ∈+∞，使得()()12f x g x =成立，所以应有A B ⊆，故当a<0显然不合要求．当0a =时，在[0,)+∞上()21[1,)g x x =+∈+∞符合要求．当0a >时，211()1g x a x a a a ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭在[0,)+∞上递增，所以()[1,)g x a ∈++∞，故12a +≤，解得1a ≤，综上，[0,1]a ∈故答案为：[0,1]四、解答题17．计算下列各式的值.(1)62211332127(3)233π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()7log 2252log 8lg4lg25log 8log 57-+-⋅+.【答案】(1)125(2)0【分析】（1）按照指数运算进行计算即可；（2）按照对数运算进行计算即可；【详解】（1）()622211203233323127(3)23331239914271253π-⎛⎫⎛⎫+--+⨯=+-+⨯=+-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()7log 22522l 03og 8lg4lg25log 8log 57lg100log 823232-+-⋅+=--+=--+=.18．设:24p x ≤<，q ：实数x 满足()222300x ax a a --<>.(1)若1a =，且,p q 都为真命题，求x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}23x x ≤<；(2)4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）求得q 命题对应的不等式解集，与p 命题对应的不等式取交集即可；（2）求得q 命题对应的不等式解集，根据集合之间的关系，列出不等式，即可求得结果.【详解】（1）当1a =时，可得22230x ax a --<，可化为2230x x --<，解得13x -<<，又由命题p 为真命题，则24x ≤<.所以p ，q 都为真命题时，则x 的取值范围是{}23x x ≤<（2）由22230,(0)x ax a a --<>，解得3a x a -<<，因为:24p x ≤<，且p 是q 的充分不必要条件，即集合{}24x x ≤<是{}3x a x a -<<的真子集，则满足2340a a a -<⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得43a ≥，所以实数a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19．平面内给定三个向量()()()3,2,1,2,4,1a b c ==-= .()1求满足c ma nb =+的实数,m n ；()2设(),d x y = ，满足()()//d c a b -+ .且1d c -= ，求向量d .【答案】()19588m n ==-，()25254,155d ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 或5254,155d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据c ma nb =+ 即可得出()()4,13,22m n m n =-+，从而得出34221m n m n -=⎧⎨+=⎩，解出m ，n 即可；（2）根据()()//d c a b -+ ，1d c -= ，得到方程组，解得.【详解】解:()1()()()3,2,1,,24,1a b c ==-= 且c ma nb=+ ()()4,13,22m n m n =-+∴34221m n m n -=⎧∴⎨+=⎩9858m n ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩()2()()4,1,2,4d c x y a b -=--+= 又()()//d c a b -+ ，1d c -= ，()()()()2244210411x y x y ⎧---=⎪∴⎨-+-=⎪⎩，解得5452515x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩或5452515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以5254,155d ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 或5254,155d ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，平行向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．20．某校高二（5）班在一次数学测验中，全班N 名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110~120分的学生数有14人.(1)求总人数N 和分数在120~125的人数n ；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？(3)现在从分数在115~120分的学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率.【答案】(1)4；(2)众数和中位数分别是107．5，110；(3)14 15﹒【分析】(1)先求出分数在110120-内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120125-内的学生的频率，由此能求出分数在120125-内的人数．(2)利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．(3)由题意分数在115120-内有学生6名，其中男生有2名．设女生为1A ，2A ，3A ，4A ，男生为1B ，2B ，从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率．【详解】（1）分数在110120-内的学生的频率为1(0.040.03)50.35P =+⨯=，∴该班总人数为14400.35N ==．分数在120125-内的学生的频率为：21(0.010.040.050.040.030.01)50.10P =-+++++⨯=，分数在120125-内的人数为400.104n =⨯=．（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为105110107.52+=．设中位数为a ，0.0150.0450.0550.50⨯+⨯+⨯= ，110a ∴=．∴众数和中位数分别是107.5，110．（3）由题意分数在115120-内有学生40(0.035)6⨯⨯=名，其中男生有2名．设女生为1A ，2A ，3A ，4A ，男生为1B ，2B ，从6名学生中选出2名的基本事件为：1(A ，2)A ，1(A ，3)A ，1(A ，4)A ，1(A ，1)B ，1(A ，2)B ，2(A ，3)A ，2(A ，4)A ，2(A ，1)B ，2(A ，2)B ，3(A ，4)A ，3(A ，1)B ，3(A ，2)B ，3(A ，1)B ，4(A ，1)B ，3(A ，1)B ，4(A ，2)B ，3(A ，1)B ，1(B ，2)B ，共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，∴其中至多含有1名男生的概率为1415P =．21．某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为25.且各场比赛互不影响.()1若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；()2若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.【答案】()144 125()2162625【解析】（1）三局两胜制甲胜，则包括三个基本事件，甲胜前两场比赛，第一（二）场比赛甲输了，其他两场比赛赢了，根据相互独立事件的概率计算公式计算可得.（2）五局三胜制，乙队在第四场比赛后即获得胜利，即第四场比赛乙赢，前三场比赛乙赢了二场比赛，根据相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】解:设()1,2,3,4,5i A i =表示甲队在第i 场比赛获胜()1所求概率为:()()()221212312323244 2555125P A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫++=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2所求概率为:()()()312341234123423162355625P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫++=⨯⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算问题，属于基础题.22．若函数()f x 对于定义域内的某个区间I 内的任意一个x ，满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为I 上的“局部奇函数”；满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为I 上的“局部偶函数”.已知函数()22,x x f x k -=+⨯其中k 为常数.（1）若()f x 为[]3,3-上的“局部奇函数”，当[]3,3x ∈-时，求不等式3()2f x >的解集；（2）已知函数()f x 在区间[]1,1-上是“局部奇函数”，在区间[3,1)(1,3]--⋃上是“局部偶函数”，(),[1,1]()(),[3,1)(1,3]f x x F x f x x ∈-⎧=⎨∈--⋃⎩（i ）求函数()F x 的值域；（ii ）对于[3,3]-上的任意实数123,,,x x x 不等式123()()5()F x F x mF x ++>恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13x x <≤；（2）（i ）33565[,][,]2228-⋃；（ii ）416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（1）根据局部奇函数性质得1k =-，进而2x t =，即23102t t -->，由于20x t =>，[3,3]x ∈-，故3()2f x >的解集为{}13x x <≤；（2）（i ）由题得)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩，故分别求各段的函数值域，求并集即可得函数()F x 的值域；（ii ）根据题意分当0m >时，当0m =时，当0m <时三种情况讨论求解.【详解】解：（1）()()f x f x -=-对[3,3]x ∈-上成立，即2222,1x x x x k k k --+⨯=--⨯=-，所以()22x x f x -=-，故3()222x x f x -=->等价于132022x x -->，令2x t =，即23102t t -->，解得2t >或21t <-，又20x t =>，22x ∴>，1x ∴>，又[3,3]x ∈-3()2f x ∴>的解集为{}13x x <≤.（2）（i ）)22,[1,1]()22,[3,1(1,3]x x x x x F x x --⎧-∈-⎪=⎨+∈--⋃⎪⎩①当[1,1]x ∈-时，令2x t =，1[,2]2t ∈，由反比例函数与一次函数的单调性得函数1y t t=-在[1,1]-上单调递增，所以33[,]22y ∈-；②当[3,1)(1,3]x ∈--⋃，令2x t =，1y t t =+为对勾函数，11[,)(2,8]82t ∈⋃，所以565[,]28y ∈.()F x ∴的值域为33565[,][,]2228-⋃（ii ）①当0m >时，min max 2()5()F x mF x +>，3652()528m ⨯-+>⋅，16065m ∴<<②当0m =时，min 2()50F x +>，32()5202⨯-+=>成立，0m ∴=③当0m <时，min min 2()5()F x mF x +>，332()5()22m ⨯-+>-，403m ∴-<<综上，m 的取值范围是416,365⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，化归转化思想，数学运算求解能力，是中档题.其中本题第二问的第一个问题的解题的关键在于借助对勾函数的单调性求解值域，第二个问题在于分类讨论求解，即分当0m >时，当0m =时，当0m <时三种情况讨论求解.。

辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(含解析)

高一（上）期末数学试卷注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

1. 已知集合，集合，则( ) A ={x|log 2x <1}B ={y|y =2−x }A ∪B =A.B.C.D.(0,+∞)[0,2)(0,2)[0,+∞)2. 设函数的定义域为，则函数的定义域为( ) f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)A.B. C.D.(−2,1)(−2,0)∪(0,1)(0,1)(−∞,0)∪(0,1)3. 在人类中，双眼皮由显性基因控制，单眼皮由隐性基因控制，当一个人的基因型为A a 或时，这个人就是双眼皮，当一个人的基因型为时，这个人就是单眼皮．随机从父AA Aa aa 母的基因中各选出一个或者基因遗传给孩子组合成新的基因．根据以上信息，则“父母A a 均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 当时，函数( ) x <0y =x +A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值D. 有最小值−4−4445. 设，，，则( ) a =log 32b =log 64c =log 3e (2e)A.B.C.D.c <b <a a <b <c b <a <c a <c <b 6. 某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票．六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票．每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示在甲抽奖箱中中奖的A 事件，表示在乙抽奖箱中中奖的事件，表示两次抽奖均末中奖的事件．下列结论中正确B C 的是( )A.B. 事件与事件相互独立 A BC. 与和为D. 事件与事件互斥P(AB)P(C)54%A B7. 我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后《》人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵副弦图”中，已知，，，则( ) ⃗AE =3⃗EF ⃗AB =⃗a ⃗AD =⃗b ⃗AE=A. B. C. D.8. 已知函数，若互不相等，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)(x 1,x 2,x 3,x 4)则的取值范围是注：函数在上单调递减，在上单x 1+x 2+x 3+x 4(ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)调递增( ))A. (−12,0)B. [−12,0]C. [0,12)D.(0,12]9. 若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续天，每天新10增疑似病例不超过人”，根据该地区下列过去天新增疑似病例的相关数据，可以认为该710地区没有发生大规模群体感染的是( )A. 平均数为，中位数为 23B. 平均数为，方差大于 10.5C. 平均数为，众数为 22D. 平均数为，方差为2310. 如图，由到的电路中有个元件，分别标为元件，元件，元件，元件，电流能M N 41234通过元件，元件的概率都是，电流能通过元件，元件的概率都是，电流能否通过各12p 340.9元件相互独立．已知元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，则( )120.96A.B. 元件和元件恰有一个能通的概率为 12C. 元件和元件都通的概率是 340.81D. 电流能在与之间通过的概率为M N 0.950411. 在中，是中线，，则下列等式中一定成立的是( ) △ABC AD ⃗AG =2⃗GD A. ⃗AB +⃗AC =2⃗AD B. ⃗AG=13⃗AB +13⃗ACC.S △ABC =3S △GBC D. ⃗AG=13⃗AB +23⃗AC12. 氡又名氭，是一种化学元素，符号是氡元素对应的单质是氡气，为无色、(Radon)Rn.无臭、无味的惰性气体，具有放射性．已知放射性元素氡的半衰期是天，经天衰变后3.82x 变为原来的且，取，则( )a'(a >0a ≠1)0.8347.64=A. 经过天以后，空元素会全部消失 7.64B. 经过天以后，氡元素变为原来的 15.28C.a =0.834D. 经过天以后剩下的氡元素是经过天以后剩下的氡元素的3.827.6413. 袋子中有四个小球，分别写有“中、华、民、族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”华”两个字都取到才停止．用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用，，，代表“中、华，030123民、族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取三次的结果，经随机模拟产生了以下18组机数：232ㅤ321ㅤ230ㅤ023ㅤ123ㅤ021ㅤ132ㅤ220ㅤ001231ㅤ130ㅤ133ㅤ231ㅤ031ㅤ320ㅤ122ㅤ103ㅤ233由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为______．14. 设，且，则______．2a =5b =m 2a +1b =1m =15. 北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”2022难求．甲、乙、丙人为了能购买到冰墩墩，商定人分别去不同的官方特许零售店购买，若33甲、乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲、乙、丙211213人中至少有人购买到冰墩墩的概率为______． 3116. 在中，点为线段上任一点不含端点，若，则△ABC F BC ()⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)的最小值为______．17. 已知，． ⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)当为何值时，与共线；(1)k k ⃗a+⃗b ⃗a −2⃗b 若，且，，三点共线，求的值．(2)⃗AB =⃗a +3⃗b ⃗BC =⃗a −m ⃗b A B C m18. 年月日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动201844我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降以上，为响应国家政策，某通30%讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费元/月套餐流量/M A 30 3000B506000这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值流量，资费元；如果又超出充值流量，系统再次自2000M 20动帮用户充值流量，资费元，以此类推．此外，若当月流量有剩余，系统将自动2000M 20清零，不可次月使用．小张过去个月的手机月使用流量单位：的频数分布表如下： 50(M)月使用流量分组 [2000,3000] (3000,4000] (4000,5000] (5000,6000] (6000,7000](7000,8000]频数451116122根据小张过去个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：50若小张选择套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过元的概(1)A 50率．小张拟从或套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？(2)A B 说明理由．19. 已知函数，，其中，且，f(x)=log a x g(x)=log a (2x +m−2)x ∈[1,3]a >0a ≠1m ∈R．若且函数的最大值为，求实数的值．(1)m =5F(x)=f(x)+g(x)2a 当时，不等式在有解，求实数的取值范围．(2)0<a <1f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m 20. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，已知第一盘棋甲赢的概率为，由于心态不稳，若甲赢了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率依然为，若甲输了上一盘棋，则下一盘棋甲赢的概率就变为已知比赛没有和棋，且前两盘棋都是甲赢． .求第四盘棋甲赢的概率；(1)求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率．(2)21. 已知定义域为的函数是奇函数．R f(x)=n−3x3+3x +1(1)y=f(x)求的解析式；(2)f(log4x⋅log28x)+f(4−2a)>0a若恒成立，求实数的取值范围．y=f(x)[a,b]x0(a<x0<b)22. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足；，则y=f(x)[a,b]x0称函数是上的“平均值函数”，是它的平均值点．(1)y=2x2[−1,1]函数是否是上的“平均值函数”，如果是请求出它的平均值点，如果不是，请说明理由；(2)y=−22x+1+m⋅2x+1+1[−1,1]m现有函数是上的平均值函数，求实数的取值范围．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：集合， ∵A ={x|log 2x <1}={x|0<x <2}集合， B ={y|y =2−x }={y|y ≥0} ∴A ∪B =[0,+∞)故选：．D 求出集合，集合，再根据并集的定义，求出．A B A ∪B 本题考查对数不等式的解法，并集及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：函数的定义域为，则对于函数， ∵f(x)(−1,3)g(x)=f(1+x)ln (1−x)应有，求得或， {−1<1+x <31−x >01−x ≠1−2<x <00<x <1故函数的定义域为， g(x)(−2,0)∪(0,1)故选：．B 由题意，利用函数的定义域的定义和求法，得出结论．本题主要考查函数的定义域的定义和求法，属于基础题．3.【答案】A 【解析】解：若“父母均为单眼皮”，即父母的基因型都是，所以孩子的基因型也一定为aa aa ，所以一定有“孩子为单眼皮”，若“孩子为单眼皮”，则孩子的基因型，但是父母的基因型可能都是或一个是，一个是aa Aa Aa ，所以父母中有可能有双眼皮，aa 所以“父母均为单眼皮”是“孩子为单眼皮”的充分不必要条件．故选：．A 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．4.【答案】A∵x<0∴−x>0【解析】解：，，∴x=−2，当且仅当时等号成立，A故选：．利用基本不等式可直接得到函数的最值．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由已知得，a−b==ln6−ln9<0a−b<0a<b A C，显然，故，，排除，；b−c===，1−ln2>0ln2−ln3<0b−c<0b<c显然，，故，得，a<b<c故．B故选：．a b c因为，，都大于零，可先换底，然后利用作差或作商法比较大小．本题考查对数运算性质和换底公式，以及对数的大小比较问题，属于中档题．6.【答案】ABC【解析】解：由题意可知，，，A对于，，故A正确；B A B B对于，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，项正确；C B P(AB)对于，由可知，所以，故C正确；D A B对于，事件与事件相互独立而非互斥，故D错误．ABC故选：．P(A)P(B)P(C)P(AB)AC分别求出，，进一步求出与，判断选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱A B BD抽奖互不影响，故事件和事件相互独立，判断选项．本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件和对立事件的定义，属于基础题．7.【答案】A 【解析】解：因为，⃗AE =3⃗EF 所以， ⃗AF =⃗AB +⃗BF =⃗AB +⃗ED =⃗AB +(⃗EA +⃗AD )=⃗AB +(−⃗AE +⃗AD )所以，整理得，．⃗AE =⃗AB +⃗AD −⃗AE ⃗AE =(⃗AB +⃗AD )=⃗a +⃗b 故选：．A 根据平面向量的线性运算法则，即可得解．本题考查平面向量的线性运算，熟练掌握平面向量的加法和数乘的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．画出函数的图象，利用，转化求解f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)x 1+x 2+x 3的取值范围． +x 4【解答】解：作出函数的图象，如下图，f(x)={|log 2x|,x >0|x +1|,x ≤0或时，，x =122f(x)=1令，t =f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)设，则有，，且， x 1<x 2<x 3<x 4x 1+x 2=−2x 3⋅x 4=112≤x 3<1故，x 1+x 2+x 3+x 4=−2+x 3+x 4=−2+x 3+1x 3因为函数在上单调递减，在上单调递增， ℎ(x)=x +1x (0,1](1,+∞)故．x 3+1x 3∈(2,52]的取值范围是， x 1+x 2+x 3+x 4(0,12]故选：．D9.【答案】AD 【解析】解：对于，因个数的平均数为，中位数为，将个数从小到大排列，设后面个A 1023104数从小到大依次为，，，，显然有，而，则的最大值a b c d d ≥c ≥b ≥a ≥3a +b +c +d ≤14d 为，符合条件；5A 对于，平均数为，方差大于，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，B 10.571000000，，，，，，其平均数为，方差大于，不符合；00001010.5B 对于，平均数为，众数为，可能存在大于的数，如连续天的数据为：，，，，，C 22710000222，，，，，其平均数为，众数为，不符合；222822C 对于，设连续天的数据为，，，因平均数为，方差为，D 10x i i ∈N ∗i ≤1023则有，于是得，而，，，因此，11010i =1(x i −2)2=3(x i −2)2≤30x i ∈N i ∈N ∗i ≤10x i ≤7i ∈N ∗，，符合条件． i ≤10D 故选：．AD 根据给定条件，利用平均数、中位数、方差的意义计算推理判断，；举例说明判断，作A D B C 答．本题考查了求平均数、众数、中位数与方差的问题，是中档题．10.【答案】ACD 【解析】解：对于，由题意，可得，整理可得，则A C 12p(1−p)+p 2=0.96p 2−2p +0.96=0，则，故A 正确； (p−1.2)(p−0.8)=0对于，，故B 错误；B 对于，，故C 正确；C 0.9×0.9=0.81对于，元件，元件中至少有一个能通过电流的概率为，D 34C 12×0.9×(1−0.9)+C 22×0.92=0.99则电流能在与之间通过的概率为，故D 正确．M N 0.96×0.99=0.9504故选：．ACD 根据独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，可得答案．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率的加法公式，属于基础题．11.【答案】ABC 【解析】解：，在中，是中线，，A 正确，A ∵△ABC AD ∴⃗AB +⃗AC =2⃗AD ∴，在中，是中线，，，B 正确，B ∵△ABC AD ⃗AG =2⃗GD ∴⃗AG =23⃗AD =23×12(⃗AB +⃗AC )=13⃗AB +13⃗AC ∴D 错误，，设的高为，，则的高为， C △GBC ℎ∵⃗AG =2⃗GD △ABC 3ℎ，C 正确，∴S △ABC =12BC ⋅3ℎ=3⋅12BC ⋅ℎ=3S △GBC ∴故选：．ABC 利用平面向量的线性运算，中线的性质判断，利用三角形的面积公式判断．ABD D 本题考查平面向量的线性运算，中线的性质，三角形的面积公式，属于中档题．12.【答案】BC 【解析】解：因为天后，氡元素变为原来的，A 错误；7.64=2×3.82经过天以后剩下的氡元素是原来的，经过天以后剩下的氡元素是原来的，D 错误； 3.827.64要使得氡元素变为原来的，需要经过天，B 正确；=()44×3.82=15.28因为放射性元素氡的半衰期是天，则，3.82f(3.82)=m 所以，a 3.82=因为，0.8347.64=(0.8343.82)2=所以，0.8343.82=所以，C 正确．a =0.834故选：．BC 由已知结合指数的运算性质，结合指数函数的性质可求．本题主要考查了指数运算性质在实际问题中的应用，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，随机数中只有，，，，共种情况，0210011300311035则可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为，故答案为：，根据题意可得出满足题意的随机数，利用古典概型定义可解．本题考查古典概型定义，属于基础题．14.【答案】20【解析】解：，∵2a =5b =m >0，， ∴a =lgm lg2b =lgm lg5， ∵2a +1b=1， ∴2lg2lgm +lg5lgm=1，∴lgm =lg20则．m =20故答案为：．20把指数式化为对数式，再利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】23【解析】解：因为甲乙人中至少有人购买到冰墩墩的概率为．2112所以甲乙人均购买不到冰墩墩的概率．2P 1=1−12=12同理，丙购买不到冰墩墩的概率．P 2=1−13=23所以，甲乙丙人都购买不到冰墩墩的概率．3P 3=P 1⋅P 2=12×23=13于是甲乙丙人中至少有人购买到冰墩墩的概率．31P =1−P 3=23故答案为：．23先算出甲乙人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙23人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案．本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．16.【答案】9【解析】解：因为点为线段上任一点不含端点，F BC ()若，则， ⃗AF =x ⃗AB +2y ⃗AC(x >0,y >0)x +2y =1，当且仅当且，即时取等号．=()(x +2y)=5+=9x =y x +2y =1x =y =故答案为：． 9由已知结合向量共线定理可得，然后结合乘法及基本不等式即可求解．x +2y =11本题主要考查了向量共线定理，基本不等式求解最值，属于中档题．17.【答案】解：，， (1)∵⃗a=(1,0)⃗b =(2,1)，， ∴k ⃗a +⃗b=(k +2,1)⃗a −2⃗b =(−3,−2)又与共线，k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b ，∴−2(k +2)−1×(−3)=0解得；，， (2)⃗AB =⃗a +3⃗b =(7,3)⃗BC =⃗a −m ⋅⃗b=(1−2m,−m)、、三点共线，，∵A B C ∴−7m−3(1−2m)=0解得．m =−3【解析】由已知求得与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；(1)k ⃗a +⃗b ⃗a −2⃗b 由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．(2)⃗AB ,⃗BC 本题主要考查了向量共线的性质，考查了方程思想，属于基础题．18.【答案】解：设使用流量，流量费用为，(1)xM y 依题意，当时，；2000≤x ≤3000y =30当时，；3000<x ≤5000y =50所以流量费用超过元概率：； 50P(y >50)=16+12+250=35设表示套餐的月平均消费，设表示套餐的月平均消费，(2)y A A y B B， ∴y A =150(30×4+50×16+70×28+90×2)=61.2， y B =150(50×36+70×14)=55.6，∴y A >y B 故选套餐．B 【解析】设使用流量，流量费用为，所以流量费用超过元概率：(1)xM y 50P(y >50)=； 16+12+250=35分别求出订购套餐和订购套餐的月平均费用，比较大小后得答案．(2)A B 本题考查函数在实际问题中的应用，考查概率统计问题，是中档题．19.【答案】解：当时，，所以(1)m =5g(x)=log a (2x +3)F(x)=f(x)+g(x)=log a x +log a ，，(2x +3)=1o g a (2x 2+3x)x ∈[1,3]当时，在定义城内单调递增，，解得， a >1F(x)F(x )max =F(3)=1o g a 27=2a =33当时，在定义域内单调递减，，解得，不符合0<a <1F(x)F(x )max =F(1)=1o g a 5=2a =5题意，舍去，综上，实数的值为；a 33要使在上有意义，则，解得，(2)g(x)x ∈[1,3]2x +m−2>0m >0由，即，因为，所以， f(x)<2g(x)1o g a x <log a (2x +m−2)20<a <1x >(2x +m−2)2即，得，令，，记， x >2x +m−2m <−2x +x +2t =x t ∈[1,3]ℎ(t)=−2t 2+t +2对称轴为，，t =14ℎ(t )max =ℎ(14)=−2×(14)2+14+2=178若不等式在有解，则在有解f(x)<2g(x)x ∈[1,3]m <−2x +x +2x ∈[1,3]即在有解，即．m <ℎ(t )max x ∈[1,3]m <178综上所述，实数的取值薇围为m (0,178).【解析】将代入函数得出解析式，根据复合函数同增异减的性质，分类时论(1)m =5F(x)a >1和即可；由对数函数性质可得，再由对数单调性可符，利用0<a <1(2)m >0m <−2x +x +2换元法结合二次函数的性质求出不等式右边的最大值，即可得到的取值范围．m 本题考查函数性质，属于中档题．20.【答案】解：设第四盘棋甲赢为事件，第四盘棋甲赢分两种情况：(1)A 第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，则，①P =×=第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，则，②P =×=则．P(A)=+=设比赛结束时，甲恰好赢三盘棋为事件，分三种情况：(2)B 若甲赢第三盘，则概率为，①××(1−)=若甲赢第四盘，则概率为，②××(1−)=若甲赢第五盘，则概率为，③(1−)×=则．P(B)=++=【解析】第四盘棋甲赢分两种情况，再分别求出概率即可．(1)若甲恰好赢三盘棋分三种情况，再分别求出概率即可．(2)本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式，属于中档题．21.【答案】解：因为函数是奇函数， (1)f(x)=n−3x 3+3x +1所以，即， f(−x)=−f(x)n−3−x 3+3−x +1=−n−3x 3+3x +1所以，n ⋅3x −13x +1+3=−n−3x3+3x +1所以，n ⋅3x −1=−n +3x 可得，n =1所以函数．f(x)=1−3x3+3x +1由知， (2)(1)f(x)=1−3x3+3x +1=−13⋅3x −13x +1=−13+23(3x +1)易得在上单调递减，f(x)R 由，得，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )+f(4−2a)>0f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>−f(4−2a)因为函数是奇函数，f(x)所以，f(lo g 4x ⋅lo g 28x )>f(2a−4)所以，lo g 4x ⋅lo g 28x <2a−4整理得，12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4设，， t =log 2x t ∈R则，12(3t−t 2)<2a−4当时，有最大值，最大值为，t =32y =12(3t−t 2)98所以，2a−4>98解得，a >4116即实数的取值范围是．a (4116,+∞)【解析】由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；(1)f(x)f(−x)=−f(x)n f(x)由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为(2)f(x)R ，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得12log 2x ⋅(3−log 2x)<2a−4t =log 2x 12(3t−t 2)的取值范围．a 本题主要考查函数的奇偶性，函数单调性的判断，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：若，，因为，令，解得， (1)f(x)=2x 2x ∈[−1,1]=02x 2=0x =0∈(−1,1)故是上的“平均值函数”，且平均值点为；y =2x 2[−1,1]0由题意知，(2)=假设是平均值点，则，整理得，x 0f(x 0)=2⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0令，显然该函数是增函数，则要使结论成立，t =2x 0+1∈(1,4)只需在上有解即可，即在上有零点即可， g(t)=2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)g(t)(1,4)，，g(t)=2t 2−4mt +6m−19Δ=(−4m )2−8×(6m−19)=16(m−)2+116>0若在上只有一个零点时，只需，解得或；①g(t)(1,4)g(1)g(4)<0m <若在上有两个不同零点时，只需，解集为；②g(t)(1,4)⇒⌀综上可知或，故的取值范围是，．m ()∪(+∞)【解析】直接求出，令，判断该方程在上是否有解即可；(1)k =f(x)(−1,1)由题设，设是平均值点，则，令，则(2)x 02⋅22x 0+2−4m ⋅2x 0+1+6m−19=0t =2x 0+1∈(1,4)只需让在上有解即可，结合二次函数的性质，容易求得结论．2t 2−4mt +6m−19=0(1,4)本题是一个新定义问题，侧重于考查利用函数的单调性、最值等研究函数零点的存在性问题，属于较难的题目．。

2021-2022学年沈阳市郊联体高一上学期期末数学复习卷(含解析)

2021-2022学年沈阳市郊联体高一上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x2−1=0}，则A∩B=()A. {1}B. {1,0}C. {−1,1}D. {−1,0,1}2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，那么“f′(x0)=0”是“x0是函数f(x)的一个极值点”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列说法中正确的是()A. 零向量没有方向B. 平行向量不一定是共线向量C. 若向量a⃗与b⃗ 同向且|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=b⃗D. 若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|>|b⃗ |且a⃗与b⃗ 同向，则a⃗>b⃗4.某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是()A. 2000元B. 2500元C. 3000元D. 3500元5.若a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A. B.C. D.6.已知函数，则=()A. 在上单调递增B. 在上单调递增C. 在上单调递减D. 在上单调递减7.设a=0.32，b=log20.3，c=20.3，d=1.80.3，则a，b，c，d的大小关系是()A. a<d<c<bB. a<b<d<cC. b<a<d<cD. b<a<c<d8.某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关(若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会)，然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为12，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是()A. 316B. 332C. 532D. 1169.下列对函数f(x)=x3+3x性质判断正确的是()A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. f(x)是增函数D. f(x)是减函数10.设0<a<13，r=a a，s=log13a，t=a13，则()A. r>s>tB. r>t>sC. s>r>tD. s>t>r11.函数的值域为R，则实数a的范围为()A. (−∞,−1)B. [−1,1)C. [12,1] D. (0,12)12.已知函数f(x)的定义域为[−1,5]，部分对应值如下表，f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示．下列关于f(x)的命题：①函数f(x)在x=0，4处取到极大值；②函数f(x)在区间[0,2]上是减函数；③如果当x∈[−1,t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y=f(x)−a不可能有3个零点．其中所有真命题的序号是()A. ①②B. ①②③C. ①②④D. ①②③④二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：423231423344114453525323152342345443512541125342334252324254相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为______． 14. 已知m ∈R ，向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(−6,2)，且a ⃗ //b ⃗ ，则|a ⃗ −b ⃗ |= ______ ．15. 若f(x)=ax 2+2a 是定义在[a 2−8,a +2]上的偶函数，令函数g(x)=f(x −1)+f(2+x)，则函数g(x)的定义域为______．16. 已知函数f(x)={x 2−4x,x ≤0e x −1,x >0，若f(x)≥ax 在R 上恒成立，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BN 与CM 相交于点E ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，试用基底a ⃗ 、b ⃗ 表示向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ．18. 如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售请客的某项指标统计：(1)求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；(2)每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了3次(有放回选取)，设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X ，求X 的分布列及数学期望．19. 如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形．由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设．(1)试用表示的面积；(2)求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小．20.为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的45名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题时间不少于15小时的有19人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后，得到如下的2×2列联表：(Ⅰ)请完成上面的2×2列联表，并判断在“犯错误概率不超过0.01”的前提下，能否认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间有相关关系”；(Ⅱ)按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，若在上述9名学生中随机抽取2人，求至少1人分数不足120分的概率．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.定义：对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”．(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x−4a(a∈R)，试判断f(x)是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f(−x)=−f(x)的x的值；若不是，请说明理由；(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[−1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．(3)若f(x)=4x−m⋅2x+1+m2−3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．22.定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=19x +a13x+1．(1)当a=−12时，求函数f(x)在(−∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(−∞,0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵集合A={−1,0,1}，B={x|x2−1=0}={−1,1}，∴A∩B={1,1}．故选：C．利用交集定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：①“f′(x0)=0”只有再满足f′(x)在x0两侧附近的符号不同时，才可以得到“x0是函数f(x)的一个极值点”，否则x0不是函数f(x)的极值点．②“x0是函数f(x)的一个极值点”一定有“f′(x0)=0”．故可得：“f′(x0)=0”是“x0是函数f(x)的一个极值点”的必要而不充分条件．故选：B．利用函数极值点的定义即可判断出．本题考查了函数极值点的定义、判定方法、充分必要条件，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查了平面向量基本概念，零向量，共线向量，相等向量的定义，是基础题．利用零向量的定义判断A；利用共线向量的定义判断B；利用相等向量的定义判断C；利用向量不能比较大小判断D．解：零向量方向任意，A错误；平行向量一定是共线向量，B错误；根据相等向量定义知：若向量a⃗与b⃗ 同向且|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=b⃗ ，C正确；由于向量具有方向，故向量不能比较大小，D错误．故选：C．4.答案：C解析：解：设彩电的进价是x元，由题意得：x(1+40%)×0.8=360+x，解得x=3000．故选：C．设彩电的进价是x元，由题意列出方程：x(1+40%)×0.8=360+x，由此能求出结果．本题考查函数在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5.答案：A解析：本题主要考查了不等式的基本性质、绝对值的几何意义、均值定理、指数函数的单调性等基础知识，综合了比较实数大小的常见方法，属于中档题．解：对于A，不成立，例如a=−0.5，b=−0.25，故答案A不成立，对于B，是正确的，∵a<0，∴|a|=−a，∵a<b<0，∴−a>−b>0，∴|a|>−b，故结论C成立；对于D，是成立的，故选A．6.答案：B解析：试题分析：由已知得，其定义域为，根据幂函数的性质得函数在和上分别是增函数，所以它在上为增函数．考点：幂函数的性质及应用．7.答案：C解析：解：a=0.32∈(0,1)，b=log20.3<0，c=20.3>d=1.80.3>1，则a，b，c，d的大小关系是b<a<d<c，故选：C．利用指数函数对数函数幂函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数幂函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：A解析：解：若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，概率为12×12×12×12=116．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，概率为C 41⋅(12)3⋅12(1−12)=18．综上，他116+18=316，故选：A ．若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，求得此时的概率．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，求得此时的概率，再把这2个概率相加，即得所求．本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．9.答案：C解析：解：函数f(x)=x 3+3x ，其中x ∈R ；x ∈R 时，f(−x)=(−x)3+3−x =−x 3+(13)x ≠f(x)，∴f(x)不是定义域R 上的偶函数，B 错误；又f(−x)+f(x)=3x +(13)x ≠0，∴f(x)不是定义域R 上的奇函数，A 错误；又f′(x)=3x 2+3x ln3>0恒成立，∴f(x)是定义域R 上的单调增函数，C 正确，D 错误．故选：C ．根据函数f(x)=x 3+3x ，分别研究该函数的奇偶性与单调性质即可．本题考查了函数的单调性与奇偶性的判断问题，是基础题．10.答案：C解析：解：因为0<a <13，所以a 0>a a >a 13，即t <r <1；又因为s =log 13a >log 1313=1，所以s >r >t ．故选：C．利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．11.答案：B解析：考查对数函数和一次函数的单调性，函数值域的概念及求法，属于基础题．解：x≥1时，lnx≥0；∴函数f(x)=(1−a)x+2a在x<1时，最大值必须大于等于0，,∴{1−a>01−a+2a≥0解得−1≤a<1，∴实数a的范围为[−1,1)．故选B．12.答案：A解析：解：①观察导数的图象可得f′(x)在x=0，x=4处左正右负，取得极大值，故①正确；②函数f(x)在(0,2)的导数为负的，则f(x)在区间[0,2]上是减函数，故②正确；③如果当x∈[−1,t]时，f(x)的最大值是2，可能是f(0)=2或f(4)=2，那么t的最大值为5，故③错误；④当1<a<2时，函数y=f(x)−a，由f(x)=a的图象交点个数可得零点个数，当f(x)的一个极大值为a，另一个极大值大于a时，可得它们有三个交点，即三个零点．故④错误．综上可得，①②正确．故选：A．由极值点的定义即可判断①；由导数的符号，即可判断单调区间，判断②；由极大值可能为最大值，即可判断③；由转化思想可得f(x)=a的图象交点个数，讨论两个极大值中较小为a，另一个大于a，即可判断④．本题考查函数的导数的运用：求极值和最值，以及单调区间，注意通过图象观察，以及转化和判断能力，考查数形结合思想方法，属于中档题．13.答案：0.65解析：解：由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有：432，231，423，114，323，152，342，512，125，342，334，252，324共13组随机数， ∴所求概率为1320=0.65，故答案为：0.65．由题意知模拟打3局比赛甲恰好获胜2局的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示打3局比赛甲恰好获胜2局的有可以通过列举得到共13组随机数，根据概率公式，得到结果．本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．14.答案：√10解析：解：向量a ⃗ =(m,1)，b ⃗ =(−6,2)，且a ⃗ //b ⃗ ，所以2m =−6，解得m =−3，|a ⃗ −b ⃗ |=|(3,−1)|=√32+(−1)2=√10．故答案为：√10．通过向量平行求出m ，然后求解向量的模．本题考查向量的基本运算，基本知识的考查．15.答案：[−3,2]解析：解：根据题意，若f(x)=ax 2+2a 是定义在[a 2−8,a +2]上的偶函数，则有(a 2−8)+(a +2)=0，解可得：a =−3或2，又由a 2−8<0<a +2，故a =2，即函数f(x)的定义域为[−4,4]，令函数g(x)=f(x −1)+f(2+x)，则有{−4≤x −1≤4−4≤x +2≤4，解可得−3≤x ≤2，即函数g(x)=f(x −1)+f(2+x)的定义域为[−3,2]，故答案为：[−3,2]．根据题意，由奇函数的定义可得(a 2−8)+(a +2)=0且a 2−8<0<a +2，解可得a 的值，即可得函数f(x)的定义域，由此可得{−2≤x −1≤2−2≤x +2≤2，解可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数定义域的计算，属于基础题．16.答案：[−4,1]解析：解：∵f(x)={x 2−4x,x ≤0e x −1,x >0，f(x)≥ax 在R 上恒成立，∴当x ≤0时，x 2−4x ≥ax 恒成立， x =0时，a ∈R ；①x <0时，a ≥(x −4)max ，故a ≥−4；②当x >0时，f(x)≥ax 恒成立，即e x −1≥ax 恒成立，令g(x)=e x −1−ax(x >0)，则g(x)≥0(x >0)恒成立，又g(0)=0，∴g(x)=e x −1−ax(x >0)为(0,+∞)上的增函数，则g′(x)=e x −a ≥0(x >0)， ∴a ≤(e x )min =e 0=1；③ 由①②③知，−4≤a ≤1，故答案为：[−4,1]．依题意，分x ≤0、x =0与x >0三类讨论，分别求得a 的取值范围，最后取其交集即可得到答案．本题考查函数恒成立问题，突出考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，由x >0时，f(x)≥ax 恒成立，分析出g(x)=e x −1−ax(x >0)为(0,+∞)上的增函数是关键，也是难点(分离参数a 解决不了问题)，属于难题．17.答案：解：由已知，在△ABC 中，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，已知BN 与CM 交于点E ，过N 作AB 的平行线，交CM 与D ，在三角形ACM 中，CN ：CA =ND ：AM =2：3，所以ND ：MB =NE ：EB =DE ：EM =2：3，所以NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +25(−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25a ⃗ +15b ⃗ ．解析：过N作AB的平行线，交CM与D，利用平行线的性质得到线段的比例关系，结合向量的线性表示得到解答．本题考查了向量的三角形法则和平面向量基本定理，属于基础题．18.答案：解：(1)由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6，7，9，10；乙连锁店的数据是5，7，10，10；∴甲乙数据的平均值均为8，设甲的方差为S12，乙的方差为S22，则：S12=14[(6−8)2+(7−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=52，S22=14[(5−8)2+(7−8)2+(10−8)2+(10−8)2]=92；∵S12<S22，∴甲连锁店该项指标稳定；(2)从甲乙两种数据中各随机选一个，可能情况为(6,5)，(6,7)，(6,10)，(6,10)，(7,5)，(7,7)，(7,10)，(7,10)，(9,5)，(9,7)，(9,10)，(9,10)，(10,5)，(10,7)，(10,10)，(10,10)，共16种，其中甲的数据大于乙的数据的有(6,5)，(7,5)，(9,5)，(9,7)，(10,5)，(10,7)，共6种，则甲的数据大于乙的数据的概率为616=38；由题意知X服从B(3,38)；X的分布列为：数学期望E(X)=3×38=98．解析：本题考查方差的概念及计算公式，方差的大小和稳定性的关系，古典概型的求解方法，二项分布的概念及它的数学期望的求解公式，以及离散型随机变量X的分布列的概念．(1)先根据茎叶图写出甲乙连锁店各自的数据，容易求得这两组数据的平均数都为8，从而可代入求方差的公式求出甲乙连锁店这项指标的方差，方差小的便稳定性好；(2)先求出从甲乙两种数据中各随机选一个，甲的数据大于乙的数据的概率为3，这种选取方式是有8)，X可取0，1，2，3，求出每个数对应的概率从而列放回的选取，从而便知道X服从二项分布B(3,38出X的分布列，根据二项分布的数学期望公式即可求出E(X)．19.答案：(1)；(2)时面积的最大值为．解析：试题分析：(1)要求的面积，关键是求出两直角边长，因此我们要把这两直角边与正方形的边长联系起来，由已知，，从而直的三边长之和为正方形的边长4，所以的边长可以用表示，也就求出了它的面积；(2)由(1)，要求这个式子的最大值，我们要用换元法变形，这里我们设，则，于是就变为的代数函数，不能忘记的是的范围是，时取最大值．试题解析：(1)设为，∴，，3分，，7分(2)令，9分只需考虑取到最大值的情况，即为，11分当，即时，达到最大13分此时八角形所覆盖面积的最大值为.14分考点：(1)方程与三角形面积；(2)换元法与三角函数的最大值．20.答案：15；10；16；26；25；20解析：解：(Ⅰ)分数大于等于120分)分数不足120分)合计周做题时间不少于15小时15419周做题时间不足15小时101626合计252045….(2分)∵K2=45(15×16−10×4)225×20×19×26≈7.29>6.635∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”…..…..(6分)(Ⅱ)(i)由分层抽样知大于等于120分的有5人，设为a，b，c，d，e；不足120分的有4人，设为x，y，z，m….(7分)所有基本事件为36个：(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)(a,x)(a,y)(a,z)(a,m)(b,c)(b,d)(b,e)(b,x)(b,y)(b,z)(b,m)(c,d)(c,e)(c,x)(c,y)(c,z)(c,m)(d 分)设至少一人分数不足120分为事件A，则A中包含26个基本事件：(a,z)(a,m)(b,x)(b,y)(b,z)(b,m)(c,x)(a,x)(a,y)(c,y)(c,z)(c,m)(d,x)(d,y)(e,x)(e,y)(e,z)(e,m)(d,z)(d,m)(x,y)(分)∴P(A)=2636=1318…..(12分)(Ⅰ)根据所给数据完成上面的2×2列联表，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；(Ⅱ)列举法确定基本事件，即可得出在上述9名学生中随机抽取2人，至少1人分数不足120分的概率．本题考查独立性检验知识的运用，考查古典概型概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.答案：解：f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(−x)=−f(x)有解．(1)当f(x)=ax2+2x−4a(a∈R)，时，方程f(−x)=−f(x)即2a(x2−4)=0，有解x=±2，所以f(x)为“局部奇函数”.(2)当f(x)=2x+m时，f(−x)=−f(x)可化为2x+2−x+2m=0，因为f(x)的定义域为[−1,1]，所以方程2x+2−x+2m=0在[−1,1]上有解．令t=2x∈[12,2]，则−2m=t+1t．t+1t在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增所以t∈[12,2]时，g(t)∈[2,52].所以−2m∈[2,52]，即m∈[−54,−1].(3)当f(x)=4x−m2x+1+m2−3时，f(−x)=−f(x)可化为4x+4−x−2m(2x+2−x)+2m2−6= 0．t =2x +2−x ≥2，则4x +4−x =t 2−2，从而t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)有解即可保证f(x)为“局部奇函数”．令F(t)=t 2−2mt +2m 2−8，1° 当F(2)≤0，t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)有解，由当F(2)≤0，即2m 2−4m −4≤0，解得1−√3≤m ≤1+√3；2° 当F(2)>0时，t 2−2mt +2m 2−8=0在[2,+∞)有解等价于{△=4m 2−4(2m 2−8)≥0m >2F(2)>0，解得1+√3≤m ≤2√2.(说明：也可转化为大根大于等于2求解)综上，所求实数m 的取值范围为1−√3≤m ≤2√2.解析：本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．(1)利用局部奇函数的定义，建立方程f(−x)=−f(x)，然后判断方程是否有解即可； (2)利用局部奇函数的定义，求出使方程f(−x)=−f(x)有解的实数m 的取值范围，可得答案； (3)利用局部奇函数的定义，求出使方程f(−x)=−f(x)有解的实数m 的取值范围，可得答案；22.答案：解：(1)当a =−12时，f(x)=1−12×(13)x +(19)x ，令t =(13)x ，∵x <0，∴t >1，y =1−12t +t 2；可得y =1−12t +t 2在(1,+∞)上单调递增，∴y >32，即f(x)在(−∞,0)上的值域为(32,+∞)；故不存在常数M >0，使|f(x)|≤M 成立， ∴函数f(x)在(−∞,0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f(x)|≤4对x ∈[0,+∞)恒成立，即：−4≤f(x)≤4，令t =(13)x ，∵x ≥0，∴t ∈(0,1]，所以−4≤t 2+at +1≤4，t ∈(0,1]， ∴−(t +5t )≤a ≤3t −t 对t ∈(0,1]恒成立， ∴[−(t +5t )]max ≤a ≤(3t −t)min ，设ℎ(t)=−(t +5t )，p(t)=3t −t ，t ∈(0,1]，由于ℎ(t)在t ∈(0,1]上递增，p(t)在t ∈(0,1]上递减，所以ℎ(t)在t ∈(0,1]上的最大值为ℎ(1)=−6，p(t)在t ∈(0,1]上的最小值为p(1)=2，所以−6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围为[−6,2]．解析：本题考查函数新定义问题，函数值域问题，函数的最值的求法，构造法的应用，考查运算求解能力，是中档题．(1)当a =−12时，f(x)=1−12×(13)x +(19)x ，令t =(13)x ，利用二次函数的单调性结合题目已知条件求解即可．(2)由题意知，|f(x)|≤4对x ∈[0,+∞)恒成立，转化为−(t +5t )≤a ≤3t −t 对t ∈(0,1]恒成立，构造函数ℎ(t)=−(t +5t )，p(t)=3t −t ，由t ∈(0,1]，利用函数的单调性求解函数的最值转化求解即可．。

2020-2021沈阳市高一数学上期末模拟试卷含答案

2020-2021沈阳市高一数学上期末模拟试卷含答案一、选择题1．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（）A ．12BC ．2D ．22．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－153．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（）A ．2B ．－2C ．1D ．－14．下列函数中，值域是()0,+∞的是（） A ．2y x = B ．211y x =+ C ．2x y =-D ．()lg 1(0)y x x =+>5．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.96．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增。

若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭UC ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭8．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()2ln f x x x=-的零点，则()0g x 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．49．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）10．设函数()1x2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧=->⎨⎩，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,∞+D ．[)0,∞+ 11．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） A ．B ．C ．D ．12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______.14．己知函数()221f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.15．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2xf xg x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.16．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 17．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是小时.18．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 19．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______.20．已知函数()f x 为R 上的增函数，且对任意x ∈R 都有()34x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，则()4f =______. 三、解答题21．已知函数31()31x xf x -=+. （1）证明：()f x 为奇函数；（2）判断()f x 的单调性，并加以证明；（3）求()f x 的值域.22．已知全集U =R ，集合{|25},{|121}M x x N x a x a =-=++剟剟. （Ⅰ）若1a =，求()R M N I ð；（Ⅱ）M N M ⋃=，求实数a 的取值范围.23．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈．（1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 24．已知1()f x ax b x=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =. （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性,并用定义加以证明. 25．已知函数()f x 是二次函数,(1)0f -=,(3)(1)4f f -==. (1)求()f x 的解析式;(2)函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断,试探究,是否存在()n n ∈Z ,函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点,若存在,求出一个符合题意的n ,若不存在,请说明由. 26．攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y （y 值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量x （单位：克）的关系为：当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数；当x ≥7时，1()3x m y -=．测得部分数据如表：（1）求y 关于x 的函数关系式y ＝f （x ）；（2）求该新合金材料的含量x 为何值时产品的性能达到最佳．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ，故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性．点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.2．A解析：A 【解析】【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =， ()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根，即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】令3,0xt t => 则361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1；故选C 【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或通过换元法求解函数的值域.4．D解析：D 【解析】【分析】利用不等式性质及函数单调性对选项依次求值域即可．【详解】对于A ：2y x =的值域为[)0,+∞；对于B ：20x ≥Q ，211x ∴+≥，21011x ∴<≤+， 211y x ∴=+的值域为(]0,1；对于C ：2x y =-的值域为(),0-∞；对于D ：0x >Q ，11x ∴+>，()lg 10x ∴+>，()lg 1y x ∴=+的值域为()0,+∞；故选：D ．【点睛】此题主要考查函数值域的求法，考查不等式性质及函数单调性，是一道基础题．5．C解析：C 【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.6．C解析：C 【解析】【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.7．D解析：D 【解析】()(12a f f ->11112(2)(222a a a f f ---⇒->⇒->⇒<111131122222a a a ⇒-<⇒-<-<⇒<<,选D. 8．B解析：B 【解析】【分析】根据零点存在定理判断023x <<，从而可得结果. 【详解】因为()2ln f x x x=-在定义域内递增，且()2ln 210f =-<，()23ln 303f =->，由零点存在性定理可得023x <<，根据[]x 表示不超过实数x 的最大整数可知()02g x =，故选：B. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.9．D解析：D 【解析】【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()0f x <的解集为(-2,2). 故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.10．D解析：D 【解析】【分析】分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【详解】当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤．当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1x2≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+．故选D ．【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．11．A解析：A 【解析】由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.12．D解析：D 【解析】【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ．故()f x 有最大值2，无最小值故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】不妨设根据二次函数对称性求得的值根据绝对值的定义求得的关系式将转化为来表示根据的取值范围求得的取值范围【详解】不妨设画出函数的图像如下图所示二次函数的对称轴为所以不妨设则由得得结合图解析：341112,1e e e ⎡⎫+--⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】不妨设,0,,0a b c d ≤>，根据二次函数对称性求得+a b 的值.根据绝对值的定义求得,c d 的关系式，将d 转化为c 来表示，根据c 的取值范围，求得+++a b c d 的取值范围. 【详解】不妨设,0,,0a b c d ≤>，画出函数()f x 的图像如下图所示.二次函数221y x x =--+的对称轴为1x =-，所以2a b +=-.不妨设c d <，则由2ln 2ln c d +=+得2ln 2ln c d --=+，得44,e cd e d c--==，结合图像可知12ln 2c ≤+<，解得(43,c e e --⎤∈⎦，所以(()4432,e a b c d c c e e c ---⎤+++=-++∈⎦，由于42e y x x-=-++在(43,e e --⎤⎦上为减函数，故4341112,21e e e c c e -⎡⎫+--++∈⎢⎣-⎪⎭.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数的图像，考查含有绝对值函数的图像，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.14．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即2110,2a a a +--==（舍去），或12a -=（舍去）；当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===，综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.15．【解析】【分析】根据函数的奇偶性令即可求解【详解】､分别是定义在上的偶函数和奇函数且故答案为：【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性属于容易题解析：32【解析】【分析】根据函数的奇偶性，令1x =-即可求解. 【详解】()f x Q ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数, 且()()2x f x g x x -=- ∴13(1)(1)(1)(1)212f g f g ----=+=+=, 故答案为：32【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，属于容易题.16．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式解析：2(0)x x ≥【解析】【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解．【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=，所以幂函数的解析式为12y x =，则2x y =，所以原函数的反函数为12()(0)f x x x -=≥．故答案为：12()(0)f x x x -=≥ 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析：24 【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248b k k k be e e e +=∴====，所以33x =时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=.考点：函数及其应用.18．【解析】因为所以所以故填【解析】因为35mnk ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg152k ==k =19．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】解析：[)()0,11,2⋃【解析】【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃，故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.20．【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出的解析式从而即可求解出的值【详解】令所以又因为所以又因为是上的增函数且所以所以所以故答案为：【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值难度一般已知解析：82【解析】【分析】采用换元法结合函数的单调性计算出()f x 的解析式，从而即可求解出()4f 的值. 【详解】令()3xf x t -=，所以()3xf x t =+，又因为()4f t =，所以34t t +=，又因为34ty t =+-是R 上的增函数且1314+=，所以1t =，所以()31xf x =+，所以()443182f =+=.故答案为：82. 【点睛】本题考查用换元法求解函数的解析式并求值，难度一般.已知()()f g x 的解析式，可考虑用换元的方法（令()g x t =）求解出()f x 的解析式.三、解答题21．（1）证明见详解；（2）函数()f x 在R 上单调递，证明见详解；（3）(1,1)- 【解析】【分析】（1）判断()f x 的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；（2）判断()f x 在R 上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案；（2）由312()13131x x xf x -==-++，可得30x ＞，可得231x +及231x -+的取值范围，可得()f x 的值域.【详解】证明：（1）易得函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称，且3113()()3131x xx x f x f x -----===-++，故()f x 为奇函数；（2）函数()f x 在R 上单调递增，理由如下：在R 中任取12x x ＜，则1233x x -＜0，131x +＞0，231x +＞0，可得1212121212123131222(33)()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++＜0 故12()()0f x f x -＜，函数()f x 在R 上单调递增；（3）由312()13131x x x f x -==-++，易得30x ＞，311x +＞，故231x +0＜＜2，231x +-2＜-＜0，故2131x -+-1＜＜1，故()f x 的值域为(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22．（Ⅰ）(){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤（Ⅱ）2a ≤ 【解析】【分析】（Ⅰ）1a =时，化简集合B ,根据集合交集补集运算即可（Ⅱ）由M N M ⋃=可知N M ⊆，分类讨论N =∅，N ≠∅即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，{}|23N x x =≤≤ ，{|2R C N x x =<或}3x > .故 (){|22R M C N x x =-≤<I 或35}x <≤. （Ⅱ）,M N M ⋃=QN M ∴⊆当N =∅时，121a a +>+，即0a <；当N ≠∅时，即0a ≥.N M ⊆Q ，12215a a +≥-⎧∴⎨+≤⎩解得02a ≤≤. 综上：2a ≤. 【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题. 23．（1）()24x xg x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 【解析】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可，（2）对于同时含有2,xxa a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3xf x =，且(2)18f a +=∴⇒∵∴（2）法一：方程为令，则144t ≤≤- 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+，y b =两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二：方程为，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦1=1-40413{0416(4)012b b f b f b ∆>⇒<⎛⎫∴≤⇒≥⎪⎝⎭≤⇒≥- 解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错． 24．(1) 1()4(0)f x x x x =+≠ (2) ()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.见解析【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质以及()15f =，列式求得,a b 的值，进而求得函数解析式. （2）利用单调性的定义，通过计算()()120f x f x -<，证得()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 【详解】（1）∵()f x 为奇函数,∴()()0f x f x -+=,∴0b =. 由(1)5f =,得4a =, ∴1()4(0)f x x x x=+≠. （2）()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 证明如下:设1212x x <<,则()()()121212114f x f x x x x x -=-+- ()12121241x x x x x x -=- ∵1212x x <<,∴120x x -<,12410x x ->,∴()121212410x x x x x x --<, ∴()()120f x f x -<,∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.25．(1)2()(1)f x x =+;(2)存在,1-. 【解析】【分析】（1）由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-, 由(1)0f -=可设出抛物线的解析式为2()(1)f x a x =+，再利用(1)4f =求得a 的值；（2）利用零点存在定理，证明(0)(1)0h h ⋅<即可得到n 的值. 【详解】(1)由(3)(1)f f -=,知此二次函数图象的对称轴为1x =-,又因为(1)0f -=,所以(1,0)-是()f x 的顶点, 所以设2()(1)f x a x =+，因为(1)4f =,即2(11)4a +=，所以设1a = 所以2()(1)f x x =+(2)由(1)知2()(1)ln(||1)h x x x =+-+因为2(1)(11)ln(|1|1)ln(2)0h -=-+--+=-<2(0)(01)ln(|0|1)10h =+-+=>即(0)(1)0h h ⋅<因为函数()()ln(||1)h x f x x =-+在R 上连续不断, 由零点存在性定理,所以函数()h x 在(1,0)-上存在零点. 所以存在1n =-使得函数()h x 在区间(,1)n n +内存在零点. 【点睛】本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力和运算求解能力.26．（1）2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，；（2）当4x =时产品的性能达到最佳【解析】【分析】（1）二次函数可设解析式为2y ax bx c =++，代入已知数据可求得函数解析式；（2）分段函数分段求出最大值后比较可得．【详解】（1）当0≤x ＜7时，y 是x 的二次函数，可设y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），由x ＝0，y ＝﹣4可得c ＝﹣4，由x ＝2，y ＝8，得4a +2b ＝12①，由x ＝6，y ＝8，可得36a +6b ＝12②，联立①②解得a ＝﹣1，b ＝8，即有y ＝﹣x 2+8x ﹣4；当x ≥7时，1()3x my -=，由x ＝10，19y =，可得m ＝8，即有81()3x y -=；综上可得2884071()73x x x x y x -⎧-+-≤⎪=⎨≥⎪⎩，＜，．（2）当0≤x ＜7时，y ＝﹣x 2+8x ﹣4＝﹣（x ﹣4）2+12，即有x ＝4时，取得最大值12；当x ≥7时，81()3x y -=递减，可得y ≤3，当x ＝7时，取得最大值3．综上可得当x ＝4时产品的性能达到最佳．【点睛】本题考查函数模型的应用，考查分段函数模型的实际应用．解题时要注意根据分段函数定义分段求解．。

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