探求三角形的外接圆半径

探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解

探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。

一、特殊三角形 1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.直径等于斜边。

解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB .∵△ABE∽△ADB，∴AB AEAD AB =∴1881222===AE AB AD ,∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10圆⊙O 的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3310.⑵钝角三角形例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.<用三角函数表示）分析：方法同例3.解：作直径BD ，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE，∴ABAEAD AC =设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x>2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE＝12 ∴151213=AD ，∴AD＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.p1EanqFDPw 分析：作出直径AE ，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ，则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴AC AEAD AB =，∴657AE =， ∴AE=542.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法：AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．解由题意知三角形底边上的高为解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD>2．即 52－MD2＝72－(MD＋3>2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9>；②B(－1，0>； C(5， 0>．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为120°，求它的外接圆的直径．(课本题>解由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，<如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+ab c b a<余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=αR aR a22cos ==β，R a R 4sin 22-=β即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 44222222-⋅--⋅即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+-即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+-所以：])(4[222222ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++=<海伦公式）所以，有：S abcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：RA a2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，<如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c z y b y x a z x ，解得2c b a x -+=显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：ab c b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(4)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab c b a abc b a -+++-+-=-+-+-=α即有:r 即：r =申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

三角形外接圆与内切圆半径求法

三角形外接圆与内切圆半径求法-CAL-FENGHAL-{YICAI)-Company One 1三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是宜角三角形的斜边. 例 1 已知：在ZkABC 中，AB = 13. BC = 12, AC=5 求△ABC的外接圆的半径.解：7AB = 13. BC = 12. AC=5,.•.AB2=BC2 + AC2,/. ZC=90"..•■AB为△ABC的外接圆的直径，AABC的外接圆的半径为.2、一般三角形①已知一角和它的对边例 2 如图，在△ABC 中，AB = 10, ZC = 100^ , 求△ABC外接圆©O的半径.（用三角函数表示）分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形. 解：作直径BD,连结AD.则 ZD = 180" -ZC=80° , ZBAD=90°「.BD=如=旦sinD sin 80°••• △ABC外接圆OO的半径为二一.sin 80。

注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例 3 如图，已知，在△ABC 中，AB=10r ZA=70° , ZB=50°求△ABC外接圆＜DO的半径.分折：可转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.则ZD=ZC=180° -ZCAB-ZBAC=60° ,乙DBA=90°sinD sin 60° 3••• AABC外接圆OO的半径为y75 • ②已知两边夹一角例 4 如图，已知，在△ABC 中，AC=2, BC=3, ZC=60°求△ABC外接圆©O的半径.分析：考虑求出AB,然后转化为①的情形解题.解：作直径AD,连结BD.作AE丄BC,垂足为E,则ZDBA=9O。

三角形外接圆半径的求法及应用

三角形外接圆半径的求法及应用九年义教初中《几何)第三册(以下简称“教材”)第94页例2：AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证 AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．(课本题)．解由题意知三角形底边上的高为(95山西中考)解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD)2．即 52－MD2＝72－(MD＋3)2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．(94山西)解①A(2，－9)；②B(－1，0)； C(5， 0)．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π教材第206页第5题：在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a ＝______cm．(95广西中考)解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120°，求它的外接圆的直径．(课本题)解由题意知：1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

三角形内切圆和外接圆半径的计算方法

三角形内切圆和外接圆半径的计算方法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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任意三角形外接圆的半径公式

任意三角形外接圆的半径公式在我们的数学世界里，三角形那可是个常客。

今天咱们就来聊聊任意三角形外接圆的半径公式。

先给您说说啥是三角形的外接圆。

想象一下，有一个三角形，然后画一个圆，这个圆刚刚好能经过三角形的三个顶点，那这个圆就是三角形的外接圆啦。

那外接圆的半径咋算呢？这就有个公式：R = abc / 4S 。

这里的 a、b、c 是三角形的三条边，S 是三角形的面积。

为啥会有这么个公式呢？咱来仔细琢磨琢磨。

我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这公式咋来的呀，感觉好神奇！”我笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”先从面积说起，咱们都知道三角形的面积可以用 S = 1/2 absinC 来表示（这里的 C 是 a 和 b 两边的夹角）。

那把这个式子变变形，就有sinC = 2S / ab 。

然后呢，根据正弦定理，c / sinC = 2R ，把 sinC = 2S / ab 带进去，就能得到 2R = c / （2S / ab），再一整理，这不就得出 R = abc / 4S 嘛。

您看，其实也没那么难理解，对吧？咱们再来说说这个公式在实际解题中的用处。

比如说，有一个三角形，三条边分别是 3、4、5，那先算一下它的面积。

根据勾股定理，这是个直角三角形，面积就是 3×4÷2 = 6 。

然后把数值带进公式 R =3×4×5÷（4×6） = 2.5 ，这外接圆的半径就求出来啦。

不过啊，有些同学一开始用这个公式的时候容易出错。

就像有一次考试，有个同学粗心大意，把边长的数值给弄混了，结果算出个稀奇古怪的答案。

我在批改试卷的时候，真是又好气又好笑。

总之呢，掌握了这个任意三角形外接圆的半径公式，再加上多多练习，遇到相关的题目就能轻松应对啦。

希望您也能把这个公式玩儿得转，在数学的海洋里畅游无阻！。

三角形的内切圆和外接圆

三角形外接圆半径的求法及应用方法一：R ＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。

AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证 AB ·AC ＝AE ·AD ．证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ，则∠ABE ＝90°.∵∠E ＝∠C ， ∠ABE ＝∠ADC ＝90°， ∴Rt △ABE ∽Rt △ADC ，∴ACAE ADAB ， ∴ AB ·AC ＝AE ·AD方法二：2R ＝a/SinA ，a 为∠A 的对边在锐角△ABC 中，外接圆半径为R 。

求证： 2R ＝AB/SinC 证：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ，则∠ABE ＝90°. ∴AE ＝AB/SinE ∵∠C ＝∠E ，SinC ＝SinE∴AE ＝AB/SinC∴2R ＝AB/SinC若C 为钝角，则SinC ＝Sin （180o －C ）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。

例1 已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，用方法一就可以求出直径AD. 解：作AE ⊥BC ，垂足为E.设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2 ，∴132-x 2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE ＝5，∴AE ＝12 R ＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865. 例 2 已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。

应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。

任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式

任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式1.外接圆半径的求法：三角形的外接圆是一个经过三个顶点的圆，因此可以通过三边的长度来计算外接圆的半径。

设三角形的三边分别为a，b，c，它们对应的顶点角分别为A，B，C。

根据三角形的外接圆性质，外接圆的半径与三角形的边长之间存在如下关系：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中，R表示外接圆的半径，A、B、C表示三角形的顶点角的度数。

2.内切圆半径的求法：三角形的内切圆是一个与三条边都切于一个点的圆，因此可以通过三边的长度来计算内切圆的半径。

设三角形的三边分别为a，b，c，它们对应的顶点角分别为A，B，C。

根据三角形的内切圆性质，内切圆的半径与三角形的半周长s之间存在如下关系：r=s/(a+b+c)其中，r表示内切圆的半径，s表示三角形的半周长，即s=(a+b+c)/2需要注意的是，在计算内切圆半径时，需要先计算出三角形的半周长。

综上所述，我们可以使用以上两个公式来计算任意三角形的外接圆半径和内切圆半径。

下面通过具体的例子来说明如何使用这些公式。

例1：已知三角形的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求三角形的外接圆半径和内切圆半径。

根据外接圆半径的公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中A、B、C分别对应三角形的顶点角。

根据三角形的三角函数关系sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)，可以得到：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC) = 5/2因此，三角形的外接圆半径R为5/2根据内切圆半径的公式：r=s/(a+b+c)其中s表示三角形的半周长。

三角形的半周长s=(a+b+c)/2=(3+4+5)/2=6因此，三角形的内切圆半径r为6/(3+4+5)=6/12=1/2例2：已知三角形的三边长分别为a=6，b=8，c=10，求三角形的外接圆半径和内切圆半径。

初中数学如何计算三角形的外接圆半径

初中数学如何计算三角形的外接圆半径
计算三角形的外接圆半径需要知道三角形的三个顶点坐标或三边的长度。

假设三角形的三个顶点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

步骤如下：
1. 首先计算三角形的边长。

可以使用两点之间的距离公式来计算两条边的长度：
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)
AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2)
2. 计算三角形的半周长s，即三边之和的一半：
s = (AB + BC + AC) / 2
3. 计算三角形的面积A，可以使用海伦公式：
A = √(s(s - AB)(s - BC)(s - AC))
4. 计算三角形的外接圆半径R，外接圆半径等于三角形三边长度的乘积除以4倍三角形的面积：
R = (AB * BC * AC) / (4 * A)
综上所述，通过以上步骤，可以计算出三角形的外接圆半径R。

需要注意的是，如果只给出了三角形的边长而没有给出顶点坐标，可以使用三角形面积公式和边长关系来计算。

此外，当给定三角形的顶点坐标时，还可以使用向量的方法来计算外接圆半径。

具体方法是，计算出三角形的两条边的向量，然后求出两条边向量的垂直平分线，该垂直平分线的交点就是外接圆心，外接圆半径等于圆心到任意一个顶点的距离。

综上所述，计算三角形的外接圆半径可以使用边长公式或向量方法，根据题目所给信息选择合适的方法进行计算。

外接圆和内切圆的半径公式

外接圆和内切圆的半径公式一、外接圆的半径公式及应用外接圆是指一个圆完全包围住一个多边形的情况，它的圆心位于多边形中的顶点。

外接圆的半径可以通过以下公式计算：1.三角形的外接圆半径公式：给定一个三角形ABC，三角形的三条边长分别为a，b和c。

外接圆的半径R可以计算为：R=(a*b*c)/(4*Δ)其中，Δ表示三角形的面积。

这个公式是基于三角形外接圆的性质：三角形的外接圆的直径等于三角形的对边的长度之积除以四倍三角形的面积。

2.多边形的外接圆半径公式：对于任意一个多边形，可以使用下列公式计算其外接圆半径：R=(a*b*c)/(4*S)其中，a，b和c代表多边形的边长，S代表多边形的面积。

外接圆的半径公式在计算多边形的外接圆时非常有用。

在构造几何图形、计算物体的形状和位置时，我们经常需要根据多边形的边长和面积计算外接圆的半径。

二、内切圆的半径公式及应用内切圆是指一个圆完全被一个多边形包含，它的圆心位于多边形边的中点。

内切圆的半径可以通过以下公式计算：1.三角形的内切圆半径公式：给定一个三角形ABC，三角形的三个边长分别为a，b和c。

内切圆的半径r可以计算为：r=Δ/s其中，Δ表示三角形的面积，s表示三角形的半周长，s=(a+b+c)/2这个公式是基于三角形内切圆的性质：三角形的内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。

2.多边形的内切圆半径公式：对于任意一个多边形，可以使用以下公式计算其内切圆的半径：r=S/p其中，S代表多边形的面积，p代表多边形的半周长。

内切圆的半径公式在计算多边形的内切圆时非常有用。

在设计建筑、计算物体的内部空间等情况下，我们经常需要根据多边形的面积和半周长计算内切圆的半径。

三、外接圆和内切圆的应用举例1.基于外接圆和内切圆的构造几何问题：外接圆和内切圆的半径公式可以帮助我们构造几何图形。

例如，给定一个正方形的一条边长a，我们可以使用外接圆公式计算正方形的外接圆半径R，然后利用内切圆公式计算正方形的内切圆半径r。

三角形外接圆公式

三角形外接圆公式
三角形外接圆公式：
1、三角形外接圆中心坐标：三角形三个顶点坐标相加再除以3，得到
外接圆中心坐标(h,k)。

2、三角形外接圆半径：半径r要满足：|rs-a|+|rs-b|+|rs-c|=0，其中s是
外接圆半径，a,b,c是三角形的三边的长度。

3、三角形外接圆方程：三角形外接圆的标准方程为：(x-h)²+(y-k)²=r*r，其中h,k,r为上述求得的外接圆中心坐标和半径。

4、调和线与三角形外接圆外接直线：三角形外接圆外接的直线方程是
调和线方程的特殊形式：x/a+y/b+z/c=0，其中a,b,c分别是三角形的三
边的长度。

5、外接圆与角平分线的关系：三角形的任意一边的两个角平分线均切
于外接圆。

6、外接圆与内接圆的区别：外接圆的半径大于三角形的任意一条边的
一半，且三角形的任意三边都切于外接圆；内接圆的半径小于三角形
的任意一条边的一半，且只有三个内角和对应的三个内角平分线相交
于内接圆。

已知三角形顶点坐标求三角形外接圆半径

已知三角形顶点坐标求三角形外接圆半径好嘞，今天我们来聊聊三角形外接圆半径这个话题。

听起来有点复杂，对吧？别担心，我会把它说得简单易懂，保证让你会心一笑。

想象一下，我们的三角形就像一位优雅的舞者，三个顶点就是她的舞步，而外接圆就像是围绕她旋转的灯光，闪闪发光，给她的表演增添了不少光彩。

咱们得知道什么是三角形的外接圆。

它就是能把三角形的三个顶点都包裹起来的那个圆。

这个圆就像一个大口袋，把三角形紧紧地揽在怀里。

听上去很有爱，是吧？如何求这个外接圆的半径呢？咱们先从三角形的三个顶点坐标开始说起。

假设我们的三角形有三个顶点，分别是A（x1, y1）、B（x2, y2）和C（x3, y3）。

这些坐标就像是三位小伙伴，时不时就要聚会一次。

想知道他们的关系，得先搞清楚他们之间的距离。

这就是求边长的步骤。

A到B的距离，公式是√((x2x1)² + (y2y1)²)，是不是有点数学课的感觉？别怕，咱们不追求精确，简单明了就好。

求出三条边的长度后，咱们得算出三角形的面积。

这个步骤就像是把舞者的舞蹈分解开来，看看她是怎么翩翩起舞的。

可以用海伦公式：面积= √(s(sa)(sb)(sc)，其中s 是半周长，s = (a + b + c) / 2。

这个过程有点复杂，但结果会让你觉得值得。

面积算出来后，咱们就离外接圆的半径更近一步了。

外接圆的半径R可以通过公式R = (abc) / (4 * 面积)来计算。

这里的a、b、c就是三角形的三条边长。

是不是又回到数学了？但你想啊，这其实是在计算三角形在外面有个圆圈围着，多可爱！这个半径R，既是三角形的骄傲，也是它的依靠，像个守护神，保护着它不被外界干扰。

说到这里，可能有的小伙伴会觉得有点晦涩，不如我们换个角度。

想象一下，如果三角形是一只小鸟，外接圆就是它展翅高飞的空间。

没有这个圆，小鸟的翅膀就无法舒展，自然也飞不高。

这样看，外接圆的半径就显得特别重要了。

搞定这些公式可不是一蹴而就的事，可能会遇到一些小挫折。

三角形外接圆半径(外接圆半径等于三角形边长乘积除以倍三角形面积)

三角形外接圆半径（外接圆半径等于三角形边长乘积除以倍三角形面积）在三角形几何学中，外接圆半径是指可以完全包围三角形的圆的半径。

根据外接圆半径的定义，我们可以得到一个简单的计算公式：外接圆半径等于三角形边长的乘积除以三角形面积的两倍。

为了更好地理解这个公式，我们首先来回顾一下三角形的基本概念。

三角形是由三条边和三个内角组成的多边形。

根据三角形的性质，我们知道三角形的内角和为180度。

接下来，我们来推导出外接圆半径的计算公式。

假设我们有一个任意三角形ABC，边长分别为a、b和c。

我们可以通过海伦公式（Heron's formula）来计算三角形的面积。

海伦公式如下：\[\text{面积} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]其中，s是半周长，计算公式如下：\[s = \frac{a+b+c}{2}\]现在，假设外接圆的半径为R。

根据外接圆的定义，我们知道三角形的三个顶点A、B和C都位于外接圆上。

由于外接圆的半径相同，三角形的三条边和半径R之间相互存在关系。

我们可以通过观察正弦定理（Law of Sines）的推导过程得出结论，即：\[a = 2R\sin(A)\]\[b = 2R\sin(B)\]\[c = 2R\sin(C)\]将上述三个等式代入海伦公式中，我们可以得到下面的等式：\[\text{面积} = \sqrt{s \left(s-2R\sin(A)\right) \left(s-2R\sin(B)\right)\left(s-2R\sin(C)\right)}\]为了简化计算，我们可以先对上述等式两边进行平方处理，得到：\[\text{面积}^2 = s \left(s-2R\sin(A)\right) \left(s-2R\sin(B)\right) \left(s-2R\sin(C)\right)\]将上述等式进一步展开，我们可以得到：\[\text{面积}^2 = s^4 - 2Rs^3\left(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C)\right) +4R^2s^2\left(\sin(A)\sin(B)+\sin(A)\sin(C)+\sin(B)\sin(C)\right) -8R^3s\sin(A)\sin(B)\sin(C)\]由于三角形的内角和为180度，即\(\sin(A)+\sin(B)+\sin(C) =\frac{s}{R}\)，我们可以将上述等式进一步简化为：\[\text{面积}^2 = s^4 - 2Rs^3\left(\frac{s}{R}\right) +4R^2s^2\left(\frac{s^2 - r^2 - 4Rr}{4R^2}\right) -8R^3s\sin(A)\sin(B)\sin(C)\]其中，r是三角形的内切圆半径。

三角形外接圆半径的求法及应用

三角形外接圆半径的求法及应用
九年义教初中《几何)第三册(以下简称“教材”)第94页例2：
AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．
求证 AB·AC＝AE·AD．
即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．
例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．(课本题)．
解由题意知三角形底边上的高为
(95山西中考)
解从A作AM⊥BC于M，则
AD2－MD2＝AM2
＝AC2－(MD＋CD)2．
即 52－MD2＝72－(MD＋3)2．
得R＝14，
则△ABC外接圆面积
S＝πR2＝196π．
例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；
②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；
③△ABC的外接圆的面积．
(94山西)
解①A(2，－9)；
②B(－1，0)； C(5， 0)．
③从A作AM⊥x轴交于M点，
则BM＝MC＝3．AM ＝9．
∴R＝5
△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π
教材第206页第5题：
在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．
因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：
例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a ＝______cm．(95广西中考)
解∵正三角形每一个内角为60°．
例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为10cm，顶角为120°，求它的外接圆的直径．(课本题)
解由题意知：。

等边三角形外接圆半径计算公式

等边三角形外接圆半径计算公式1. 等边三角形概念等边三角形是指三条边长度相等的三角形，也就是说三个角都相等。

等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也是一种特殊的等边多边形。

在几何中，等边三角形有着独特的性质和特点，其中包括外接圆的半径计算公式。

2. 外接圆的定义我们来了解一下什么是外接圆。

在几何中，外接圆是指一个圆恰好可以通过多边形的顶点，这个圆被称为外接圆。

对于等边三角形来说，外接圆是指一个圆恰好可以通过等边三角形的三个顶点。

3. 等边三角形外接圆半径的计算公式为了计算等边三角形外接圆的半径，我们可以利用以下的计算公式：R = a / (2 * sin(π / 3))其中，R表示外接圆的半径，a表示等边三角形的边长，π表示圆周率。

4. 推导过程接下来我们来推导一下这个计算公式。

我们知道在等边三角形中，每个角都是60度。

外接圆的圆心与三角形的顶点和边上的中点都重合在一起。

这样，我们可以利用三角形的高和中线的概念来推导出公式。

在等边三角形中，高、底边和中线可以构成一个30-60-90的直角三角形。

我们可以通过这个30-60-90的直角三角形来计算外接圆的半径。

我们假设等边三角形的边长为a，通过等腰直角三角形的性质我们知道，三角形的高与底边的比值为√3:1。

等边三角形的高为(a√3)/2。

我们知道外接圆的直径等于等边三角形的边长。

外接圆的半径R等于外接圆的直径的一半，即R=a/2。

我们可以将等边三角形的高与中线通联起来。

在等边三角形中，中线与底边的比值为1:2。

等边三角形中线的长度为a/2。

由于外接圆的半径可以表示为三角形高和中线的比值，我们可以利用三角形的正弦定理来表示：sin(π / 3) = (a/2) / R通过整理，我们可以得到：R = a / (2 * sin(π / 3))5. 结论通过推导，我们得出了等边三角形外接圆半径的计算公式：R = a / (2* sin(π / 3))。

这个公式非常简洁而且实用，可以方便地计算等边三角形外接圆的半径。

初中求三角形外接圆半径的方法

初中求三角形外接圆半径的方法初中求三角形外接圆半径的方法在初中数学中，我们经常需要学习和计算三角形的外接圆半径，这个又称作外接圆半径，是指一个三角形外接圆的半径长度。

求解外接圆半径可以帮助我们更好地理解和计算几何问题，在物理、建筑、制造等领域都有广泛的应用。

下面，我们将分步骤讲解初中怎样求解三角形外接圆半径。

1. 了解相关知识在求三角形外接圆半径之前，我们需要首先了解什么是外接圆及其半径。

三角形的外接圆是指可以刚好通过三角形三个顶点的一个圆，它是三角形内心、垂心等特殊点的圆，具有很多特殊性质。

而外接圆半径指的是这个外接圆的半径长度，通常用R表示。

2. 确定三角形顶点和坐标在计算外接圆半径前，需要先确定三角形的顶点和坐标。

只有明确三角形的三个顶点坐标，才能通过数学运算求出该三角形的各种特征和属性，包括外接圆半径。

3. 求解三角形边的长度计算三角形外接圆半径先要求解三角形的相应边长。

通过三角形的三个坐标计算出三边的长度，一般应用勾股定理或海伦公式来计算。

勾股定理适用于直角三角形，而海伦公式适用于任何三角形。

4. 求解三角形面积当三个顶点坐标已知且可以算出三边长度时，可以用海伦公式求解三角形的面积。

三角形面积也是计算外接圆半径的关键数据之一。

海伦公式为：S = (p * (p - a) * (p - b) * (p - c))^0.5，其中a、b、c分别指三角形三条边的长度，p = (a + b + c) / 2，即三角形半周长。

5. 求解外接圆半径当三角形的三个顶点坐标、三边长度和面积都已经确定时，可以根据外接圆半径的定义，套用公式R = abc / (4S)来求解，其中a、b、c为三角形的边长，S为三角形面积。

以上就是初中求三角形外接圆半径的一些基本方法，当我们掌握了这些常用的公式和技巧后，就可以轻松地计算三角形的特征和属性，为更高层次的数学学习做好铺垫。

除了这些方法，还应该多做一些相关的练习和题目，才能更好地理解和掌握知识点。

如何求解等边三角形的外接圆半径

如何求解等边三角形的外接圆半径等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

本文将介绍如何求解等边三角形的外接圆半径。

求解等边三角形的外接圆半径，我们需要了解等边三角形的特性以及圆的相关知识。

首先，让我们回顾一下等边三角形的特点：1. 三条边的长度相等：在等边三角形中，任意两边的长度都相等。

2. 三个内角均为60度：等边三角形的内角度数都为60度。

3. 等边三角形的外接圆：等边三角形的外接圆即指三个顶点都位于圆上的圆。

外接圆的半径与等边三角形的边长有一定的关系。

下面我们将介绍两种常见的方法来求解等边三角形的外接圆半径。

方法一：利用三角形的内接圆在等边三角形中，三个角均为60度，因此可以将等边三角形划分为三个等腰三角形。

由于等腰三角形的内角均为60度，所以每个等腰三角形的内角可被视为等边三角形的内角。

我们可以利用这一特性来求解等边三角形的外接圆半径。

1. 设等边三角形的边长为a。

2. 按照上述方法将等边三角形划分为三个等腰三角形。

3. 求解等腰三角形的内接圆半径r。

等腰三角形的内接圆半径与等腰三角形的底边长之间存在以下关系：r = (1/2) * (底边长 / tan(1/2 * 内角))由于等腰三角形的底边长等于等边三角形的边长a，而内角均为60度，所以可以得出：r = (1/2) * (a / tan(30度))化简得：r = a / (2 * tan(30度))r = a / (2 * (√3 / 3))r = a / (√3)因此，等边三角形的外接圆半径R等于等腰三角形的内接圆半径r，即R = a / √3。

方法二：利用勾股定理我们知道，等边三角形的内角均为60度，可以将等边三角形划分为两个等腰直角三角形。

利用勾股定理，我们可以求解等边三角形的外接圆半径。

1. 设等边三角形的边长为a。

2. 将等边三角形划分为两个等腰直角三角形。

3. 求解等腰直角三角形的斜边长c（即等边三角形的外接圆直径）。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长与直角边的长度之间存在以下关系：c = √(a^2 + (a/2)^2)化简得：c = √(4a^2 / 4 + a^2 / 4)c = √(5a^2 / 4)c = a * √(5/4)c = a * √5 / 2因此，等边三角形的外接圆半径R等于等腰直角三角形的斜边长的一半，即R = (a * √5 / 2) / 2。

普通三角形外接圆半径的求法

普通三角形外接圆半径的求法哎呀，今天我们聊聊一个有意思的话题——普通三角形的外接圆半径，听起来是不是有点高深莫测？但咱们可以轻松愉快地搞定它。

你知道，数学就像一块巧克力蛋糕，虽然看上去复杂，但只要找到合适的切入点，就能轻松享受其中的美味。

想象一下一个普通的三角形，它的三个角分别是A、B、C，旁边还有边a、b、c。

别急，这些字母听起来像是神秘代码，其实它们就是我们三角形的代名词，轻松记住就行。

现在我们要做的，就是找到这个三角形外接圆的半径R，听起来像是在寻找某个失落的宝藏，对吧？外接圆就是把这个三角形包裹在一个圆里，想象一下把三角形放进一个大的气球里，气球的边缘正好碰到三角形的三个顶点。

现在，咱们得用到一个神奇的公式，这个公式就像是打开宝藏的钥匙。

R = abc /(4S)，这里的S代表的是三角形的面积，哇，这个公式听起来很厉害，但其实也不难。

你可能会问，面积怎么求？嘿，没问题！可以用海伦公式，别担心，这个名字听上去像是古老的魔法，其实它就是S = √(p(pa)(pb)(pc))。

这个p是半周长，计算起来也没那么复杂。

好了，大家都准备好了吗？先来计算半周长p。

半周长p就是把三角形的三条边加起来，然后除以二。

比如说，如果三角形的边长分别是3、4、5，那么p就是(3+4+5)/2，得出的结果是6。

现在，有了p，接下来就把它带入海伦公式，计算面积S。

只要你把这些数字代入进去，心里默念几遍，就能得到这个三角形的面积。

将面积S和边长a、b、c带入R的公式中，嘿嘿，外接圆半径就浮出水面了。

可能有人会觉得这些数字、公式让人头晕目眩，但别忘了，数学就像一场冒险。

一步一步来，咱们就能揭开谜底。

想象一下，算出R的那一刻，简直就像获得了超能力，心里那个小激动啊，像是赢了彩票一样。

学数学就是在和自己较劲，不怕麻烦，乐在其中。

想象一下，你在课堂上兴奋地给同学们讲解这个外接圆半径的求法，大家听得津津有味，你的自信油然而生，简直就是课堂的小明星。

三角形的外接圆半径怎么求

三角形的外接圆半径怎么求
1、用三角形的边和角来表示它的外接圆的半径
设在三角形ABC中，已知一边和它的对角，那么用已知边和角来表示它的外接圆的半径R的公式是
很明显，这几个公式可以从正弦定理的推论导出。

2、用三角形的三边来表示它的外接圆的半径
设在三角形ABC中，已知三边abc，那么，用已知边表示三角形的外接圆半径R的公式为：
其中p=（a+b+c）/2。

扩展资料：
外接圆的性质：
锐角三角形外心在三角形内部。

直角三角形外心在三角形斜边中点。

钝角三角形外心在三角形外。

有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）
外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等
过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）也可能在三角形边上（如直角三角形）。

过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）。

探求三角形的外接圆半径