线性系统时域分析法与误差计算
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线性系统的时域 分析法
▪ 如果m < n，即开环零点数小于开环极点数，除有m条根轨迹 终止于开环零点外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点。
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
线性系统的时域分析法二阶系统稳态误差
ess lim sE ( s) lim s
s 0 s 0
r (t ) t
1 r (t ) t 2 2
R( s)
1 s2
Ts 1 2 T Ts 1 s
1 R( s) 3 s
Ts 1 ess lim sE ( s) lim s 3 s 0 s 0 Ts 1 s
H (s )
e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)
若按输出端定义：输出量的期望值与实际值之差。 对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析 和设计中，一般采用按输入端定义误差。 稳态误差是指误差信号的稳态值，即： ess lim e(t ) t 若系统的误差传递函数为Φ e(s)，则E(s)=Φ e(s)R(s)，若E(s) 满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有 极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即
a1 a0 0 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 0
1 a1
a1 3 a 0 0
2
a3 a2 a1
a1 a0
a3 a2
a5 a4 a3
n
例
设线性系统特征方程式为：
D(s) s 4 2s 3 3s 3 4s 5 0
若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。
r (t ) sin t R( s)
s2 2
Ts 2 Ts 1 s 2 T 1 T s (T ) 2 2 2 (T ) 2 1 s 1 / T (T ) 2 1 s 2 (T ) 2 1 s 2 E ( s)
s 0 s 0
r (t ) t
1 r (t ) t 2 2
R( s)
1 s2
Ts 1 2 T Ts 1 s
1 R( s) 3 s
Ts 1 ess lim sE ( s) lim s 3 s 0 s 0 Ts 1 s
H (s )
e(t)=r(t)-b(t)，E(s)=R(s)-B(s)
若按输出端定义：输出量的期望值与实际值之差。 对于单位负反馈系统，两种定义方法是一致的。在系统分析 和设计中，一般采用按输入端定义误差。 稳态误差是指误差信号的稳态值，即： ess lim e(t ) t 若系统的误差传递函数为Φ e(s)，则E(s)=Φ e(s)R(s)，若E(s) 满足拉氏变换终值定理的条件（要求系统稳定，且R(s)的所有 极点在左半s开区间），可以利用终值定理来求稳态误差，即
a1 a0 0 0 0 0 a3 a2 a1 a0 0 0 a5 a4 a3 a2 a1 a0 0 0 0 0 0 0
1 a1
a1 3 a 0 0
2
a3 a2 a1
a1 a0
a3 a2
a5 a4 a3
n
例
设线性系统特征方程式为：
D(s) s 4 2s 3 3s 3 4s 5 0
若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。
r (t ) sin t R( s)
s2 2
Ts 2 Ts 1 s 2 T 1 T s (T ) 2 2 2 (T ) 2 1 s 1 / T (T ) 2 1 s 2 (T ) 2 1 s 2 E ( s)
第三章 线性系统时域分析法 第2讲
1
[
e
( 2 1 )n t
e
( 2 1 )n t
2 1
]
1时，二阶系统的单位阶跃响应含有两个衰减指 从上式看出，
数项。当阻尼比
远大于1时，闭环极点 s ( 2 1) 1 n
n 3 n 2 1 n
一定时，随n 的增大，系统的响应速度变快。
4、无阻尼情况 0
0 时 ，特征根为一对纯共轭虚数，将欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应中的 用零代替，可得到无阻尼二阶系统的单位阶
跃响应为：
C(t ) 1 sin(nt 900 ) 1 cos(nt )
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度。
1.等价关系——线性定常系统的重要特性: 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响 应的导数; 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响 应的积分; 注意:积分常数由零初始条件确定。该结论可推广至高阶系统。 2.动态特性: 由时间常数T决定。T响应速度，即响应时间，反之亦 然 3.跟踪能力: 阶跃输入无稳态误差，能跟踪阶跃信号，跟踪速度取决于T; 斜坡输入有位置误差，且稳态误差等于时间常数T; 加速度输入稳态误差无穷大，一阶系统不能跟踪加速度信号。 4. 一阶系统只有一个特征参数T，即时间常数。在一定的输入 信号作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。
越大，超调量越小，响应速度越慢；决定了系统振荡特性
2) 0 1时，系统输出有超调，且
n 越大，响应速度越快。
3) 1时，系统输出无超调，系统的响应速度随
的
增大而变慢，随 n 的增大而变快。
二阶系统极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
[
e
( 2 1 )n t
e
( 2 1 )n t
2 1
]
1时，二阶系统的单位阶跃响应含有两个衰减指 从上式看出，
数项。当阻尼比
远大于1时，闭环极点 s ( 2 1) 1 n
n 3 n 2 1 n
一定时，随n 的增大，系统的响应速度变快。
4、无阻尼情况 0
0 时 ，特征根为一对纯共轭虚数，将欠阻尼二阶系统的单 位阶跃响应中的 用零代替，可得到无阻尼二阶系统的单位阶
跃响应为：
C(t ) 1 sin(nt 900 ) 1 cos(nt )
同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
% 评价系统的阻尼程度。
1.等价关系——线性定常系统的重要特性: 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响 应的导数; 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响 应的积分; 注意:积分常数由零初始条件确定。该结论可推广至高阶系统。 2.动态特性: 由时间常数T决定。T响应速度，即响应时间，反之亦 然 3.跟踪能力: 阶跃输入无稳态误差，能跟踪阶跃信号，跟踪速度取决于T; 斜坡输入有位置误差，且稳态误差等于时间常数T; 加速度输入稳态误差无穷大，一阶系统不能跟踪加速度信号。 4. 一阶系统只有一个特征参数T，即时间常数。在一定的输入 信号作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。
越大，超调量越小，响应速度越慢；决定了系统振荡特性
2) 0 1时，系统输出有超调，且
n 越大，响应速度越快。
3) 1时，系统输出无超调，系统的响应速度随
的
增大而变慢，随 n 的增大而变快。
二阶系统极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
3.6稳态误差分析
s 0
s 0
s 0
系统的型别ν
ess
开环增益K 输入信号R(s)
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
1.阶跃输入
r (t ) R 1(t )
R lim s
s 0 ν s 0 ν
ess
ess
R 1 K
ν=0
ess
Rv K
0 0
∞
Ra K
0
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
R1 R2 R3 1 2 r (t ) R1 R2t R3t 叠加原理 ess 1 K p Kv Ka 2
例 2：系统结构图如图所示，已知输入r (t ) 2t 4t , 求系统的稳态误差。
称为零型系统 称为I型系统 称为II型系统 的系统不易稳定，也不多见。
当s→0时，G0(s)H0(s)→1
线性系统的时域分析法（5）
The Principle of Automatic Control
ess lim SEs lim sΦ e s Rs lim
s 0 s 0 s 0
系 统 型 别
静态误差系数 阶跃输入 r (t ) R p 1(t ) 斜坡输入r (t ) Rv t 位置误差essp
Kp
Kv
Ka
Rp 1 K p
速度误差 e ssv
Rv Kv
Ra Ka
0 I II III
K ∞ ∞ ∞
0 K ∞ ∞
0 0 K ∞
Rp 1 K
第三章 线性系统的时域分析法(第三四五讲)
若变号系统不稳定!
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 6 1 5 6 1 这是零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
或 %
100%
tg
e
100%
欠阻尼二阶系统动态性能计算
tr d
tr 特征根的虚部
弧度
tp d
tp 特征根的虚部
cos
5%
3.5 ts n
% e
1 2
100%
tg
3.5 ts 特征根的实部
n=[0.05 10]; d=[0.0025 0.5125 2.52 4.01 3]; sys=tf(n,d); step(sys)
第三章 系统的时域性能指标
3.1 系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
1
t T 2 2
0＜ξ＜1 s1, 2 n jjn 1 2 ξ＝0 0＜ξ＜1
0
h( t ) 1 ξ＝0 e n t 1
2
j 0 0 j
sin(,d jn 欠阻尼t ) s1 2
0 零阻尼 h(t ) 1 cos n t
欠阻尼二阶系统动态性能分析
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统闭环 极点的相对位置，并说明理由。
变号的次数为特征根在s右半平面的个数!
劳斯表出现零行
设系统特征方程为：
s4+5s3+7s2+5s+6=0 劳 斯 表
s4 1 s3 5 1 s2 6 1 s1 0 2 s0 1 7 6 1 5 6 1 这是零行
① 有大小相等符号相反的 特征根时会出现零行 ② 由零行的上一行构成 辅助方程:
或 %
100%
tg
e
100%
欠阻尼二阶系统动态性能计算
tr d
tr 特征根的虚部
弧度
tp d
tp 特征根的虚部
cos
5%
3.5 ts n
% e
1 2
100%
tg
3.5 ts 特征根的实部
n=[0.05 10]; d=[0.0025 0.5125 2.52 4.01 3]; sys=tf(n,d); step(sys)
第三章 系统的时域性能指标
3.1 系统的时域性能指标 3.2 一阶系统的时域分析 3.3 二阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差计算
1
t T 2 2
0＜ξ＜1 s1, 2 n jjn 1 2 ξ＝0 0＜ξ＜1
0
h( t ) 1 ξ＝0 e n t 1
2
j 0 0 j
sin(,d jn 欠阻尼t ) s1 2
0 零阻尼 h(t ) 1 cos n t
欠阻尼二阶系统动态性能分析
它们的阶跃响应曲线如图所示，试在同一平面画出3个系统闭环 极点的相对位置，并说明理由。
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
《自动控制原理》第三章 35 稳态误差计算
两种定义的联系： E ' ( s ) E ( s ) H (s)
H ( s ) 1时， E ( s ) E ' ( s )
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
3
1. 误差与稳态误差的定义…
e(t ) L1[ E (s)] L1[e (s) R (s)] L1[ R (s) ] 1 G(s)H (s)
3-6 线性系统的稳态误差计算 （Steady-state error）
稳定性 系统性能 动态性能
稳态性能 稳态误差
稳态性能
原理性误差 结构性误差 (附加稳态误差）
系统结构 输入类型、形式 摩擦，间隙 死区等非线性
能源与动力学院
第三章 线性系统的时域分析法
1
3-6 线性系统稳态误差计算
本节内容：
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
ets (t ) ess (t ) 稳态误差
ess ( )
Lim
s0
sE (s)
Lim
s0
1
sR (s) G(s)H
(s)
ess():终值误差 条件s： E(s)在右半平面及析 虚（ 轴原 上点 解除外）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
4
1. 误差与稳态误差的定义…
例1
R(s) E(S)
误差与稳态误差的定义 系统的类型 输入作用下稳态误差计算 扰动作用下稳态误差 减小或消除稳态误差的措施
线性系统的时域分析法和误差计算
单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲（冲激）响应 函数，以h(t)标志。
h(t)C脉冲 (t)T1eTt
0.135/T
0.05/T
0 T 2T 3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于
系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
时域分析法， 根轨迹法， 频率法 非线性系统：描述函数法，相平面法
采样系统： Z 变换法
多输入多输出系统： 状态空间法
§3-1 线性系统时间响应的性能指标
动态性能，静态性能。 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准--典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简 单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。
０T
0.95 0.982
响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会
超过其稳态值，把这样
2T 3T 4T
的响应称为非周期响应。 t 无振荡
c(t)
1.0 0.865
t
c( t)1eT
0t
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个 重要的特点： ①可以用时间常数T去度量
0.632
系统输出量的数值。
②响应曲线的初始斜率等于
c(t) 1.0
c(t) T
0
t
0
T
t
在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，
最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也
最大；无差跟踪
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
《自动控制原理》第三章-3-5-稳态误差计算
伺服电动机
R(s)
E(s)
1
C(s)
-
s(s 1)
K 1, 1
r(t) 1(t),k p , ess 0
r(t) t, kv 1, ess 1
r(t)
1 2
t2, ka
0, ess
位置随动系统
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
14
4.扰动作用下稳态误差
R(s)
-
E(s)
R(s) E(s) 20
s4
N (s)
+
2
C(s)
s(s 2)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
28
3-20
R
-
K1
U
K2 S(T1S 1)
C
G(s)
K1K 2
B
s(T1s 1)(T2s 1)
1 T2S 1
(s)
C(s) R(s)
T1T2 s 3
K1K2 (T2s 1) (T1 T2 )s2 s
1
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
7
3.输入作用下稳态误差计算
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t) R 1(t), R(s) R s
ess
Lim sR(s) s0 1 G(s)H (s)
Lim s1R(s)
s0
K Lim s
s0
1
R LimG(s)H (s)
Lim s R
s0
K Lim s
27
参考答案: Kp= ,kv=5,ka=0,essr=0.4，essn=-0.2
四、控制系统如图, r(t) 1 2t, n(t) 1(t), 试计算
第三节系统误差分析与计算（PDFX页）
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
系统时间响应分析
二阶系统的响应特性完全由ζ和 ωn两个参数决定，所以ζ、ωn是 二阶系统的两个重要参数。
左 半 平 面 ξ>0
ξ= 0
jω
右 半 平 面 ξ<0
0 < ξ< 1
jω n
ξ=1 两个相等根
β
0
ω d=ω n
σ
ξ=0
ξ>1
jω n
两个不等根
图 3-9二 阶 系 统 极 点 分 布
过阻尼二阶系统:传递函数可分 解为两个一阶惯性环节相加或相 乘,因此可视为两个一阶环节的 并联，也可视为两个一阶环节的 串联。
二、 一阶系统的单位脉冲响应
输入信号是理想的单位脉冲函数时，系统输出 称为单位脉冲响应 函数或简称为单位脉冲响应。
W (s)X 0(s) G (s)X i(s)
Xi(s)L[(t)]1
W(s)G(s)
单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换！！！
w(t)L1[G(s)]L1[ 1 ] Ts1
减小的，当t为 时，其响应速度为零；
实验方法求一阶系统的传递函数
1. 输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线及稳态值； 2.从响应曲线上找出0.632（即特征点A）所对应的时间t为T
四、一阶系统单位斜坡响应
不同输入信号响应关系：
系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信 号响应的导数；
系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信 号响应的积分。
)时，系统的输出称为单
Xo(s) G(s)Xi(s)
X i (s) L[ (t)] 1
同样有：W (s) G (s) 单位脉冲响应是传递函数的Laplace逆变换
记d n 1，2 称 d 为二阶系统的有阻尼固有频率。
自控原理(3)
§3.线性系统时域分析
3）欠阻尼即0＜ζ＜1时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析
设r(t)=1，即 R(s) 1 s
则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：
C(s)
C(s()s) R(s)
R(sn2)2s2n2n s2n2nn2
s
1 s
n2
1 s
(sC(s1s)sn)2s22(ss)n22n(1R2(nss) 2n)
j
s1
，s2
为一对不等的负实数根。
j
s1、s2
0
0
t
② ζ = 1时，（临界阻尼） s1 ，s2 为一对相等的负实数根。
③ 0＜ ζ ＜1时，（欠阻尼） s1 ，s2 为一对具有负实部的共轭复根。
Automatic Control Theory
§3.线性系统时域分析
④ 当ζ =0时，（无阻尼，零阻尼） s1 ，s2 为一对幅值相等的虚根。
即
e tr
1
2
sin
d
tr
0
由于
e tr
1
2
0，
故只有
故只有 sin dtr 0
所以 t
r
d
1 2 n
sin t d
峰值时间 tp ：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时 所 需要的时 间； 由求c (t)极值的方法，即由 c’(t)=0 求得：
t
p
d
1 2 n
Automatic Control Theory
§3.线性系统时域分析
一般式拉氏变换 (S)
1
T s2 2 2Ts 1
二阶系统标准式
2
(s)
n
s2 2 s 2
自动控制原理-03-01
td
稳态误差(t→∞)
tr tp
t ts
6
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标 延迟时间td：响应曲线第一次达到其 终值一半所需时间。 上升时间tr：响应从终值10%上升到 终值90%所需时间； 对有振荡系统亦可定义为响应从零 第一次上升到终值所需时间。上升时间 是响应速度的度量。
3-2 一阶系统的时域分析
小结
一阶系统的典型响应与时间常数T密 切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响 应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后 时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函 数。 线性系统对输入信号导数的响应，等 于系统对输入信号响应的导数。
17
例： 某一阶系统如图,（1） Kh=0.1, 求调节时间ts, （2）若要求ts=0.1s,求反馈系数 Kh . R(s) E(s) (- )
ur (t )
C
uc (t )
结构图 ：
R(s)
E(s) (- )
1/Ts
C(s)
10
3-2 一阶系统的时域分析
2. 一阶系统的单位阶跃响应
设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数 r(t)=1(t) ，可得一阶系统的单位阶跃响应为
h(t ) 1 e
S平面 j
1 t T
(t 0)
P=-1/T
7
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标
峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰 值所需时间。 调节时间ts：响应到达并保持在终值 ±5% 内 所需时间。 超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)之差的百分比，即
%
h( t p ) h() h()
时域分析法-线性系统的稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
特殊情况：
（[劳处斯1理）阵办劳列法思中]阵：的某用其一很他行小项第的。一正若项数第系一数代次为替零零零（，的即而那其一）余项与系，其数然上不后项全据或为此下零计项。算的出
符号相反，计作一次符号变化。
[例]：s4 2s3 s2 2s 1 0
s4 1 1 1 s3 2 2 0
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
s(s 1)(2s 1)
系统特征方程为 2s3 3s2 (1 0.5K )s K 0
E (s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)G2 (s)H (s)
s(s
s(s 1)(2s 1) 1)(2s 1) K (0.5s
1)
R(s)
1 s2
E(s)
s(s
s(s 1)(2s 1) 1)(2s 1) K(0.5s
线性系统的时域分析法-线性系统的稳定性分析
线性系统稳定性分析
稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首 要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环 境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作 用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如 何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制 理论的基本任务之一。
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响应曲线在[0，） 的时间区间中始终不会
超过其稳态值，把这样
2T 3T 4T
的响应称为非周期响应。 t 无振荡
c(t)
1.0 0.865
t
c( t)1eT
0t
0.95 0.982
一阶系统响应具备两个 重要的特点： ①可以用时间常数T去度量
0.632
系统输出量的数值。
②响应曲线的初始斜率等于
1/T。
０ T 2T 3T 4T
t
一阶系统的瞬态响应指标调整时间ts 定义：︱c(ts) 1 ︱= ( 取5%或2%)
T反映了系统的 惯性。
T越小惯性越小， 响应快！
＝
e
ts T
ts 3T(5%) ts 4T(2%)
T越大，惯性越 大，响应慢。
3.2.2 单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
1 1 1T T C(s)T s1s2s2ss1T
(3) 峰值时间tp： c(t)到达第一个峰值的时间 (4)调节时间ts： c(t)衰减到与稳态值之差不超过±2%或±5%所需的 时间。通常该偏差范围称作误差带,用符号△表示， 即 △ =2%或 △ =5% 。 (5)超调量s%：c(t) 最大峰值偏离稳态值的部分，常用百分数表示 ，描述的系统的平稳性。
R(s)
1
R(s) 1
C(s)
+﹣
Ts
Ts+1
c(t)
C(s)
3.2.1 单位阶跃响应
当输入信号r(t)=1(t)时，系统的响应c(t)称作其单位阶跃响应。
1 11 1
C(s)(s)R(s)
T s1 s s s1
t
T
c(t) c( t)1eT
0t
1.0 0.865 0.632
０T
0.95 0.982
时域分析法， 根轨迹法， 频率法
非线性系统：描述函数法，相平面法
采样系统： Z 变换法
多输入多输出系统： 状态空间法
§3-1 线性系统时间响应的性能指标
动态性能，静态性能。 动态性能需要通过其对输入信号的响应过程来评价。因此在分 析和设计控制系统时，需要一个对系统的性能进行比较的基准--典型输入信号。条件：1 能反映实际输入；2 在形式上尽可能简 单，便于分析；3 使系统运行在最不利的工作状态。
c(t)tTTte /T (t0)
c(t)
稳态分量（跟踪
项+常值）
T
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
T
t
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上
迟后了一个时间常数T的斜坡函数。 c()tT
表明过渡过程结束后，其稳态输出与单位斜坡输入之间，在位 置上仍有误差，一般叫做跟踪误差。
比较阶跃响应曲线和斜坡响应曲线：
d C阶跃 (t )dtC斜坡 (t)
d C脉冲 (t)dtC阶跃 (t)
d 对应 r阶跃(t)dtr斜坡(t)
d r脉冲 (t)dtr阶跃(t)
线性定常系统的重要性质
1.当系统输入信号为原来输入信号的导数时，这时系
统的输出则为原来输出的导数。
C (s)G B(s)R (s)
d(t) r C 1 (s) G B (s)L [d]t G B (s)s(R s) s(C s)
c1(t)
dc(t dt
)
2. 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号
时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分，
积分常数由零初始条件决定。
R (s ) 1 C 2 (s ) G B (s )L [r(t)d ] tG B (s )s sC (s )
y2(t)y(t)dt
t 积 分 1 t 积 分 t1 t 积 分 1t21 t
求 导 求 导 求 导 2
（5）正弦函数
rtA sin t
R(s)LAsin ts2A 2
c(t) = ct(t) + css(t) = 暂态响应 + 稳态响应
1. 暂态性能指标
图3－2
(1) 延迟时间td：c(t)从0到0.5c(∞)的时间。 (2)上升时间tr：c(t)第一次达到c(∞)的时间。无超调时, c(t)从0.1 c(∞)到0.9 c(∞)的时间。
Mp%c(tpc)(c)()10% 0
2. 稳态性能指标
稳态误差ess：稳定系统误差的终值。即
ess
lime(t) t
最后一节细讲。
凡是可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。
Tdc(t)c(t)r(t)
dt
T＝RC，时间常数。
r(t)
其典型传递函数及结构图为：
R C
(s)C(Leabharlann ) 1R(s) Ts10
t
考查系统对匀速信号的跟踪能力
r(t)
1 2
At2
t 0
0 t 0
f(t)
A=1，称单位抛物线函数,记为
1 t 2 1(t ) 2
R(s)L1 2t21ts13 0
t
考查系统的机动跟踪能力
并 有 t 0
t 0 t 0
(t)
及 tdt1
R (s)L (t) 1 0
t
考查系统在脉冲扰动下的恢复情况
c(t) 1.0
c(t) T
0
t
0
T
t
在阶跃响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而减小，
最终趋于0，而在初始状态下，位置误差最大，响应曲线的斜率也
最大；无差跟踪
在斜坡响应中，输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，
最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的斜率均等
于0。有差跟踪。
3.2.3
单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲（冲激）响应
0.135/T
函数，以h(t)标志。 h(t)C脉冲 (t)T1eTt
0.05/T
0 T 2T 3T
t
求系统闭环传函提供了实验方法，以单位脉冲输入信号作用于
系统，测定出系统的单位脉冲响应，可以得到闭环传函。
3.1.1典型输入信号
1. 阶跃函数（位置函数）
f(t) 1
A t 0
r(t)
0
记 为1(t)
令 A1 称单位阶跃函数， t0
R(s) L1(t) 1
s
0
t
考查系统对恒值信号的跟踪能力
At t 0
r(t)
0
t 0
A=1，称单位斜坡函数,记为 t·1(t)
f(t)
1 L[t 1(t)] s2
线性系统的时域分析法和 误差计算
3.1 线性系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的时域响应 3.3 二阶系统的时域响应 3.4 高阶系统的时域响应 3.5 稳定性分析 3.6 稳态误差计算
分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模， 一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法 去分析系统的性能。 线性系统：