北师大版八年级上册综合与实践《探寻神奇的幻方》 课件 (共37张PPT)
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初中数学_探索神奇的幻方教学课件设计
故事 相传，大禹治水时，洛阳西洛宁县洛
河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。洛 水中出现的“神龟”背上的美妙的图案， 史称“洛书”。
综合与实践
探索神奇的幻方
学习目标：
1、运用有理数混合运算，探索三阶幻方的 规律
2、经历观察、归纳等活动，积累构造三阶 幻方的经验,会构造简单的三阶幻方
3、通过感受幻方的神奇，体会数学的魅力， 提高学习数学的热情。
神奇的幻方
4 92 3 57
8 16
请你算一算、说一说：(时间1.5min) 你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、 斜对角的三个数之和分别是多少？
神奇的幻方
三阶幻方： 一个三行三列的
正方形九格中，每一横行、每一竖 列、每一斜行上的数字之和都相等， 这样的数字方阵称为三阶幻方。
黄蓉如何快速把1、2、3、4、5、6、7、 8、9这9个数字填入方格，使每一横行、竖列、 对角线上的三个数字的和都相等？
早在公元1275年， 宋朝的杨辉就对幻 方进行了系统的研 究。他称这种图为 “纵横图”，他提 出了一个构造三阶 幻方的秘诀
杨 九子斜列 上下对易 辉 法 左右相更 思维挺出
1 42 7 53 86
3 13 11 4 3 8 17 9 1 9 5 1
7 5 15 2 7 6
挑战2： 补全下列幻方。
15 3 12 7 10 13 8 17 5
1、先独立思考并将结果 写在幻方中，然后小组 讨论交流，准备展示。 2、限时3分钟
《射雕英雄传》
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。洛 水中出现的“神龟”背上的美妙的图案， 史称“洛书”。
综合与实践
探索神奇的幻方
学习目标：
1、运用有理数混合运算，探索三阶幻方的 规律
2、经历观察、归纳等活动，积累构造三阶 幻方的经验,会构造简单的三阶幻方
3、通过感受幻方的神奇，体会数学的魅力， 提高学习数学的热情。
神奇的幻方
4 92 3 57
8 16
请你算一算、说一说：(时间1.5min) 你能发现哪些相等的关系？横行、竖行、 斜对角的三个数之和分别是多少？
神奇的幻方
三阶幻方： 一个三行三列的
正方形九格中，每一横行、每一竖 列、每一斜行上的数字之和都相等， 这样的数字方阵称为三阶幻方。
黄蓉如何快速把1、2、3、4、5、6、7、 8、9这9个数字填入方格，使每一横行、竖列、 对角线上的三个数字的和都相等？
早在公元1275年， 宋朝的杨辉就对幻 方进行了系统的研 究。他称这种图为 “纵横图”，他提 出了一个构造三阶 幻方的秘诀
杨 九子斜列 上下对易 辉 法 左右相更 思维挺出
1 42 7 53 86
3 13 11 4 3 8 17 9 1 9 5 1
7 5 15 2 7 6
挑战2： 补全下列幻方。
15 3 12 7 10 13 8 17 5
1、先独立思考并将结果 写在幻方中，然后小组 讨论交流，准备展示。 2、限时3分钟
《射雕英雄传》
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
北师大版初中数学七上 综合与实践 -探索神奇的幻方 课件
●每行、每列、每条对角线上的三个数 之和分别是多少？你是如何计算的?
●能否改变上述幻方中数字的位置，使它 们仍然满足你发现的那些相等关系？
●在你所构造的幻方中，最核心的位置是 什么？有没有“成对”的数？
●你还有没有新的发现？
1、将2，3，4，5，6，7，8，9， 10填入到3×3的方格中，使得每 行、每列、每条对角线上的三个 数之和相等。
谢 谢！
合理安排时间，就等于节约时间。——培根 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 不要试图交到一个完美的朋友，也不要交到很多朋友。 孩子，你是老师捧在手里的微笑。——王静 熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 不过，一切纪律都当小心地施用，除了诱导学生去把他们的工作完全作好以外，没有别种目的。——夸美纽斯 在没有明智的家庭教育的地方，父母对孩子的爱只能使孩子变成畸形发展。这种变态的爱有许多种，其中主要的有”1娇纵的爱；2专横的爱； 3赎买式的爱。 世事喧嚣，人生寂寞。 青春如此华美，却在烟火在散场。 懦弱的人只会裹足不前，莽撞的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。 一个人的度量是一种精神力量，是一股强大的文明力量。 名人之所以能够成为名人，是因为他们在同伴嬉乐或休息时不停地攀登；凡人之所以成为凡人，是因为别人忙于攀登时他却安然入睡。
之和相等。
2.自行选取一组数构造一个三阶幻方,使得每 一行、每一列和对角线上的三数之和都等于 60.
B类 3.用1,3,5,10,12,14,19,21,23构造一个三阶 幻方。
A类 4.用25个数构造一个五阶幻方.
通过人们的研究， 发现幻方种类有许许多多…….
平方幻方
不仅具有一般幻方的 性质，而且它们（每 行、每列及每条对角 线上的数字）的平方 和也等于另外的定值。
北师大版八年级上册综合与实践《探寻神奇的幻方》 课件 (共37张PPT)
分类
按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… …
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
幻方有多少？
可以很容易地证明，2阶幻方是 不存在的。
我国南宋时期数学家杨辉早在 1275年就给出了3—10阶的幻方。
目前，国外已经排出了105阶幻 方，我国数学家排出了125阶幻方。
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
六阶幻方
1 9 34 33 32 2 6 26 12 13 23 31 10 15 21 20 18 27 30 19 17 16 22 7 29 14 24 25 11 8 35 28 3 4 5 36
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
每列的数字和相等 3.数字5和9谁关于
中心点相对
它就是对称交换法
数字依次先排好, 上下中间交叉换,左对右中间交叉换,其他地方不要变
以前
比
现在
12 3 4
一 下
1 15 14 4
56 7 8
了 12 6 7 9
9 10 11 12
， 哪
8 10 11 5
13 14 15 16 些 13 3 2 16
关于幻方
幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵
横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括 两条对角线的数加起来，它们的和都是相等 的，这个和叫做幻和。 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图，或n 阶幻方。
《综合与实践：探寻神奇的幻方》课件
成对出现的数为：4与6，9与1，2与8，3与7。
为什么5必须放在中间? 为什么会有“成对”出现的数呢? 先独立思考，再组内交流，说说你的理由。
如图，将九个数字分别用 a,b,c,d,e,f,g,h,i来表示， ∵1-9这九个数的和为45 ∴每行、每列、每条对角线上的三个 数之和都是15，
即：a+e+i=15, c+e+g=15, b+e+h=15,
日一二三四 五 六 12345 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
第2题
五、课后作业，拓展延伸 3.（选做题）自行选取一组数构造一个三阶幻方，
使得每行、每列和每条对角线上的三个数之和都 等于60.
每行、每列、每条对角线上的三个数之和都 是中心数的3倍。
（6）你还有什么新的发现？
二、合作探索，研究幻方 想一想，学以致用
在图中所示的两个广义的三阶幻方中分别给出了 3个数，你能将其余六个数填上吗？
3 4 -1 3个数的和=6
-6 -5 -10
-2 2 6 501
中心数=6÷3 3个数的和=6
492 357 816
abc de f gh i
三式相加得(a+b+c+i+g+h)+3e=45, 又∵ a+b+c=15, i+g+h=15,
∴ e=5
492
二、合作探索，研究幻方
357
816 （5）在如图所示的三阶幻方中，中心方格中的数5
与每行、每列和每条对角线上的三个数之和之间分
综合实践：探寻神奇的幻方(说课) 北师大版精选教学课件
和方法？ • ②在完成这道思考题的过程中，你都遇到
了什么困难？
关键词：尝试
尝试的价值在于： 在经历中积累研究的初步经验； 班级交流的价值在于： ①聚集研究动力； ②缩小学情差异，拉平教学起点； ③了解学情基础，准确定位教学起点.
（二）问题探究---（合作探究）
展示成功 案例
示范引领研究
观察、猜想 质疑、验证
• 4、感悟数形结合思想、体会合作学习价值.
教学重难点
• 重点： 经历探究过程，发现和提炼蕴含
在三阶幻方中的数学知识和规律，并 应用知识和规律去解决实际问题. • 难点：
自主构造三阶幻方.
四、教法学法
研究性学习要求学生既要能独立的多角 度尝试和思考，也要能关注别人不同的思 路和见解.同时，课题研究的综合性、开放 性；学生之间客观存在的学情差异共同决 定了教法的选择.
二、学情分析
基本情况
初中段第一次接触综合 实践活动，研究意识和 研究思路还不成形.
定位或课前准备
定位在示范引领学生初步掌 握探究性学习的方法.
七年级学生好奇心强， 求知欲旺，学习激情易 被激发.
活动设计要面向全体、层层 递进.
学生的整体水平良好， 课前学生收集整理幻方的背
具备初步的观察、分析 景资料，尝试完成用1～9填
凡事都是多棱镜，不同的角度会
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到 不同的 结果。 若能把 一些事 看淡了 ，就会 有个好 心境， 若把很 多事看 开了， 就会有 个好心 情。让 聚散离 合犹如 月缺月 圆那样 寻常， 让得失 利弊犹 如花开 花谢那 样自然 ，不计 较，也 不刻意 执着； 让生命 中各种 的喜怒 哀乐， 就像风 儿一样 ，来了 ，不管 是清风 拂面， 还是寒 风凛冽 ，都报 以自然 的微笑 ，坦然 的接受 命运的 馈赠， 把是非 曲折， 都当作 是人生 的定数 ，不因 攀比而 困惑， 不为贪 婪而费 神，无 论欢乐 还是忧 伤，都 用平常 心去接 受；无 论得到 还是失 去，都 用坦然 的心去 面对， 人生原 本就是 在得与 失中轮 回的， 让一切 所有的 经历， 都化作 脸上的 云淡风 轻。
了什么困难？
关键词：尝试
尝试的价值在于： 在经历中积累研究的初步经验； 班级交流的价值在于： ①聚集研究动力； ②缩小学情差异，拉平教学起点； ③了解学情基础，准确定位教学起点.
（二）问题探究---（合作探究）
展示成功 案例
示范引领研究
观察、猜想 质疑、验证
• 4、感悟数形结合思想、体会合作学习价值.
教学重难点
• 重点： 经历探究过程，发现和提炼蕴含
在三阶幻方中的数学知识和规律，并 应用知识和规律去解决实际问题. • 难点：
自主构造三阶幻方.
四、教法学法
研究性学习要求学生既要能独立的多角 度尝试和思考，也要能关注别人不同的思 路和见解.同时，课题研究的综合性、开放 性；学生之间客观存在的学情差异共同决 定了教法的选择.
二、学情分析
基本情况
初中段第一次接触综合 实践活动，研究意识和 研究思路还不成形.
定位或课前准备
定位在示范引领学生初步掌 握探究性学习的方法.
七年级学生好奇心强， 求知欲旺，学习激情易 被激发.
活动设计要面向全体、层层 递进.
学生的整体水平良好， 课前学生收集整理幻方的背
具备初步的观察、分析 景资料，尝试完成用1～9填
凡事都是多棱镜，不同的角度会
凡事都是多棱镜，不同的角度会看到 不同的 结果。 若能把 一些事 看淡了 ，就会 有个好 心境， 若把很 多事看 开了， 就会有 个好心 情。让 聚散离 合犹如 月缺月 圆那样 寻常， 让得失 利弊犹 如花开 花谢那 样自然 ，不计 较，也 不刻意 执着； 让生命 中各种 的喜怒 哀乐， 就像风 儿一样 ，来了 ，不管 是清风 拂面， 还是寒 风凛冽 ，都报 以自然 的微笑 ，坦然 的接受 命运的 馈赠， 把是非 曲折， 都当作 是人生 的定数 ，不因 攀比而 困惑， 不为贪 婪而费 神，无 论欢乐 还是忧 伤，都 用平常 心去接 受；无 论得到 还是失 去，都 用坦然 的心去 面对， 人生原 本就是 在得与 失中轮 回的， 让一切 所有的 经历， 都化作 脸上的 云淡风 轻。
探寻神奇的幻方ppt
展望
01
幻方在数学领域的应用
幻方作为一种具有特殊性质的矩阵，在数学领域有着广泛的应用。例
如，幻方可以用于解决一些线性代数、组合数学和图论等问题。
02 03
幻方在其他领域的应用
除了在数学领域的应用外，幻方还被广泛应用于其他领域，如计算机 科学、信息科学、物理学等。这些领域的研究者可以利用幻方的性质 来解决一些与实际生活相关的问题。
负数阶幻方的构造方法
负数阶幻方是一种由(-n)×(-n)个元素组成的正方 形矩阵，其中n为正整数。
中心法：将幻方划分为四个相等的子区域，每个 子区域包含(-n-1)/2×(-n-1)/2个元素。将每个子 区域的中心元素放置在幻方对应位置上，然后按 照规律填充其他元素。
奇数阶幻方构造方法可以扩展到负数阶幻方，只 需将阶数取相反数即可。
幻方可以用于解决组合问题，例如通过构造幻方，可以找到某 些组合问题的最优解。
幻方可以用于研究组合性质，例如通过观察幻方中的数字规律 ，可以揭示出一些组合性质和组合恒等式。
在几何学中的应用
01
几何学是研究形状、大小、位置和变化的数学分支。幻方作为一种几何结构， 在几何学中有着广泛的应用。
02
幻方可以用于研究几何形状的对称性和周期性，例如通过构造具有特定对称性 的幻方，可以找到某些几何形状的最优填充方式。
幻方可以用于研究代数结构和性质，例如通过 观察幻方中的数字规律，可以揭示出一些代数 结构和性质。
05
幻方在其他领域的应用
在计算机科学中的应用
程序设计和编码
幻方可以被用来检测程序的正确性和效率，因为它们具有完美的数学性质。例如 ，程序员可以使用幻方来检测算法的正确性，或者在编写代码时使用幻方来优化 代码结构。
(完整版)《探寻神奇的幻方》优质课件
28 4 3 31 35 10 36 18 21 24 11 1 7 23 12 17 22 30 8 13 26 19 16 29 5 20 15 14 25 32 27 33 34 6 2 9
• 百子回归碑是一幅十阶幻方，中央四数连读即 “ 1999 · 12 · 20 ”，标示澳门回归日。百子回 归碑是一部百年澳门简史，可查阅四百年来澳门 沧桑巨变的重大历史事件以及有关史地、人文资 料等。
-1 4 -3
8 18 4
10 25 4
-2 0 2
6 10 14
7 13 19
3 -4 1
16 2 12
22 1 16
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
活动三：开动脑筋
（1）请各组再列举出九个数，将它们填到3×3 的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的 三个数之和相等.
• 如中间两列上部（系十九世纪）：“ 1887 ”年 《中葡条约》正式签署，从此成为葡人上百年 （距今 100 余 13 年）“永久管理澳门”的法律 依据。又如中间两列下部（系二十世纪）： “ 49 ”年中华人民公和国成立，从此中国人民 站起来了；“ 97 ”年香港回归祖国。
• 第一列和第六列中六个数的平方和也相等： 282+362+72+82+52+272=2947 102+12+302+292+322+92=2947
而一般的幻方根本不具有这个特性.
• 第二，这个幻方去掉最 外面一层，中间剩下的 部分仍然是一个四阶幻 方。这个四阶幻方由 11 到 26 这 16 个数组成， 其每行，每列及两条对 角线上的 4 个数之和都 是 74 。更为奇特的是， 这个4阶幻方还是一个完 美幻方。即各条泛对角 线上的4个数之和也都是 74 。
北师大版《探寻神奇的幻方》优质课一等奖课件
67 2 61 8 1 5 9③ 7 5 3④ 83 4 294
81 6 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 67 2
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 27 6 81 6
活动三：合作探究 构造幻方
在幻方中，有没有“成对”出现的数，如 何利用成对数和中间数构造三阶幻方？
492 3 57 8 16
学以致用
请你将下面三组数分别填入3×3的方格中，使 得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
（1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
（2） 2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，12 ，14，16，18.
-1 4 -3 -2 0 2 3 -4 1
8 18 4 6 10 14 16 2 12
本节课小结：
1.幻方的概念 2.幻方中的规律 3.构造幻方
教师寄语：
科学就是整理事实，以便从中得出普遍 的规律或结论。
——英国生物学家 达尔文
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
九子斜排，上下对易， 左右相更，四维挺出
杨辉构造法
随着电子计算机的进一步发展，幻方在人功智能、图论、对策论、实验设计、 电 子回路原理、位置解析学等方面有着更加广泛的应用。
92
3 57
8 16
活动二：合作探究 发现规律
1、通过连线，核心位置是什么，其它奇偶数是怎么 排列的？为什么？ 2、你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍 然满足你发现的那些相等关系？
81 6 834 3 5 7⑤ 1 5 9⑥ 492 67 2
438 492 9 5 1⑦ 3 5 7⑧ 27 6 81 6
活动三：合作探究 构造幻方
在幻方中，有没有“成对”出现的数，如 何利用成对数和中间数构造三阶幻方？
492 3 57 8 16
学以致用
请你将下面三组数分别填入3×3的方格中，使 得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
（1）- 4，- 3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，3 ，4.
（2） 2 ，4 ，6 ，8 ，10 ，12 ，14，16，18.
-1 4 -3 -2 0 2 3 -4 1
8 18 4 6 10 14 16 2 12
本节课小结：
1.幻方的概念 2.幻方中的规律 3.构造幻方
教师寄语：
科学就是整理事实，以便从中得出普遍 的规律或结论。
——英国生物学家 达尔文
想一想：各组的9个数与原来9个数有什么关系？ 这9个数可以由原来9个数怎么变过来？
大数学家杨辉的构造方法：
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方 进行了系统的研究。他称这种图为“纵 横图”，他提出了一个构造三阶幻方的 秘诀：
九子斜排，上下对易， 左右相更，四维挺出
杨辉构造法
随着电子计算机的进一步发展，幻方在人功智能、图论、对策论、实验设计、 电 子回路原理、位置解析学等方面有着更加广泛的应用。
92
3 57
8 16
活动二：合作探究 发现规律
1、通过连线，核心位置是什么，其它奇偶数是怎么 排列的？为什么？ 2、你能否改变上述幻方中数字的位置，使它们仍 然满足你发现的那些相等关系？
探寻神奇的幻方 PPT课件 1 北师大版
9
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
可以用九宫之义来说明这九个 数字的填法 10 6
3
它与幻和 的关系
第
1
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 7
2
理由：幻方中每一个数字都加同一个数，所得 方格仍是幻方.
中级
2
1
7它与幻和 0
的关系
第
2
关 4 9 2 3 5 7 8 1 6
3
-1
5
6
4
理由：幻方中每一个数字都减同一个数，所得 方格仍是幻方.
探究二： 刚才的这个方格就是一个三阶幻方，又叫九宫格。
观察数字之间的关系，你发现了什么？
4 3 8 9 5 1
九宫之义 法以灵龟 二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
2
7 6
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
初级
中级
数字游戏
规则：
在空格处填上合适的数， 使各行、各列、各对角线上 的所有数字的和相等。
综合与实践一
数学北师大版七年级上册
探寻神奇的幻方
洛书故事
洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源。 公元前三千多年， 有条洛河经常发大水，皇帝夏禹带领百姓去治理洛河，这 时，从水中浮起一只大乌龟，背上有奇特的图案,献给大禹。 大禹依此治水成功，遂划天下为九州。
你们知道龟背上的数字各是多少吗？ 你能把它们填到空格里吗？
（4）幻方中每一个数先扩大相同的倍数， 再同时加、减同一个数所得方格仍是幻方.
练习
1、 请你用1，4，7，10， 13，16，19，22，25这九个 数设计一个三阶幻方。
二四为肩 六八为足 左三右七 戴九履一 五居中央
北师大版初二上册综合与实践《探寻神奇的幻方》教案
北师大版初二上册综合与实践《探寻神奇的幻方》教案张掖市第六中学马富军教学目的1．综合运用有理数混合运算、探求规律提醒复杂的三阶幻方的实质特征，可以快速对含有详细数字的不完整幻方停止补充。
2．阅历观察、猜想、归结、类比等活动，初步积聚结构三阶幻方的阅历，提高处置效果的才干。
3．进一步体验协作交流、自主探求的学习方式。
教学重点探求三阶幻方的实质特征教学难点结构、补充契合要求的三阶幻方教学方法情形体验法，协作探求法教具预备多媒体课件、九宫格教学进程第一环节：巧设情境，引入新课大家都知道，中华民族有着五千多年的文明史，在这历史的长河中，我们的祖先在数学范围有许多神奇的发明，〝幻方〞就是其中的一项,明天，我就带着大家一同来探寻这神奇的幻方。
〔板书课题：探寻神奇的幻方〕让我们一同做一个游戏：将数字1-9放入3×3的方格中，使得每一行、每一列、每一条对角线上的三个数字之和都等于15.〔约1分钟后，不论先生能否完成〕……其实，这个游戏早在几千年前我们的祖先就曾经玩过，请大家看一段视频〔播放视频〕……视频中的格子由9个数字组成，因此我们称它〝九宫格〞，后来传到本国，取名为〝幻方〞，意思是变幻莫测的方块。
第二环节：观察发现，看法幻方1．幻方的概念经过引导同窗们观察〝九宫格〞并结合视频可得：每一横行、每一竖列和对角线上的三个数的和相等，都是15。
从而给出幻方的概念：每行、每列和每一条对角线上的几个数字的和都相等的方格，叫〝幻方〞。
2．辨真假它们是幻方吗？你怎样来区分？3．幻方的分类依照行、列数字的个数，分为：三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方……n 阶幻方。
明天，我们重点来探求三阶幻方。
第三环节：自主探求，总结规律 1．小组协作、讨论回到刚才的游戏：鼓舞先生大胆填写，并观察：〔1〕改动上述幻方中数字的位置，它们依然满足哪些相等关系?〔2〕在你结构的幻方中，最中心位置是什么？有没有〝成对〞的数？〔3〕你还有什么新的发现？ 2．微课解说，提醒实质 〔1〕幻和=九个数字相加的和÷3〔2〕幻和=中间数字×3 〔3〕对称两数的和=中间数×2 〔4〕角格数×2=对称角相邻两数的和第四环节：学致运用，结构幻方(分组完成，小组评选) 1．在以下各图的空格里填上适宜的数，使横行、竖列及对角线上的三数和都相等。
北师大版初二上册综合与实践《探寻神奇的幻方》教案(第一课时)
北师大版初二上册综合与实践《探寻神奇的幻方》教案（第一课时）课型综合实际课李贝教学目的：1．探求几种复杂的三阶幻方的基本规律；2．在探求三阶幻方的基本规律的进程中，构成初步的研讨体验，取得一些发现效果、研讨效果的阅历，提高处置效果的才干；3．感受三阶幻方丰厚的人文历史背景，在学习数学中体会数学关于我们生活发生的庞大影响。
教学战略与方法：教学重点：探求三阶幻方基本规律的进程；教学难点：三阶幻方中心数字确实定方法；制造三阶幻方的方法；教学方法：创设情境、设问质疑、探求尝试、反思归结、拓展创新学法指点：阅历观察、猜想、归结、类比等活动，积聚剖析效果，处置效果的阅历和方法；教学设备：制造相关PPT辅佐教学教学进程一、创设效果，引入新课听说夏禹治水时，在黄河主流洛水中显现出一只大乌龟，背上有一个很奇异的图形，古人以为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻底制服.先人称之为"洛书"，即如今的三阶幻方.〔展现图片〕洛书三阶幻方在世界各国，从古至今出现了不少益智游戏，幻方就是其中有目共睹的一颗珍珠，三阶幻方，史称〝神农幻方〞，它是世界上发现的第一个幻方，是中国人在数学上的又一个伟大发明. 幻方出现之后，古今中外许多大数学家如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴味，并且逐渐研讨出了不少共同的结构方法。
同窗们能够对三阶幻方有一定的了解，如今，让我们一同来看看我们能发现三阶幻方的那些规律？〔设计意图：了解三阶幻方的人文历史背景，激起先生的学习兴味，培育民族自豪感〕二．新课学习：探求三阶幻方<效果>〔1〕你发现三阶幻方的哪些规律？〔设计意图：让先生从各个角度去观察三阶幻方的特点，培育处置效果之前先观察效果的习气，同时寻觅规律，为制造三节幻方打好基础〕〔2〕每一横行、每一竖行、每一斜对角上的三个数之和都等于15是三阶幻方的清楚特征，假设把和相等的每一组数区分连线，这些连线段会构成一个怎样的图形？描画你失掉的图形有什么特点。
初中数学_《探寻神奇的幻方》教学课件设计
智慧聚焦
研特殊 通一般
想一想：如图广义的三阶幻方是否仍然满足 你发现的那些规律？
活动3：应用规律 感受神奇
尝 试 完成下列三阶幻方的填写，并试着说明方法。 ：
反思：你有什么发现？
智慧攻关，感受神奇
例：请完成下面的广义的三阶幻方.
反思：你有什么发现？
挑战中考 分享方法
（2009淄博中考）请将下图的三阶幻方填充完整.
要 1.负责展示的同学要结合具体实例说出你的发现. 求 ： 2.请同学们认真倾听，若对该同学的叙述存在疑惑或不同
见解，可以对该小组进行提问质疑.
3.及时验证、记录你的新发现.
活动2：成果展示 探寻神奇
要请大胆说出你们的发现！
求 ：
智慧聚焦
1.每行、每列、每条对角线上的三数之和 都相等. 2.最核心的位置是中心方格，其余数字绕着它成 对出现.
28
29
30
31
作业布置：
下 A组：查阅资料，了解幻方的构造方法。探索奇数
一 步
阶幻方和偶数阶幻方的区别和联系。
探
究
任 B组：用-8，-6，-4，-2,0,2,4,6,8这九个数字如何
务
： 构造一个广义的三阶幻方？
思考：你认为如何构造一个广义的三阶幻方？
“2008奥运幻方图”
中间的四阶幻方图共16个 方格，每个格中刻有一个3位 数字，横行、竖行、斜行的数 字之和均为2008。
同时，这16个方格又可组成 16个矩形、8个梯形、8个平行 四边形，每个几何图形四个角 的数字之和也都等于2008。
知识拓展，开阔视野
既然历史上这么多人研究幻方，那么幻 方到底有什么研究价值呢？
——卡洛斯
知识拓展，开阔视野
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二.四阶幻方的编制和补充
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
数4个的请让数4它个的们分数4别个的交数换4个的吧!
和 和 和和
=
=
==
34 34 34 34
4个数和= 34
4个数和= 34 1.我先我变是个美中丽心的点 4个数和小= 3仙4女,
我可是有魔法的 24.个数现数字中你在和2心们和我=点去33们4与相把来谁对每指关行引于
上下对开并交换 仍是一个四阶幻方
五阶幻方
幻和是：5×（52＋1）÷2＝65
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
纵向切开，交换后再接起来
横切一刀，交换后再接起来
六阶幻方
分类
按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、 四阶幻方、 五阶幻方、 六阶幻方… …
按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 奇阶幻方 偶阶幻方
幻方有多少？
可以很容易地证明，2阶幻方是 不存在的。
我国南宋时期数学家杨辉早在 1275年就给出了3—10阶的幻方。
目前，国外已经排出了105阶幻 方，我国数学家排出了125阶幻方。
幻和是：6×（62＋1）÷2＝111
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
三阶幻方构成方法
画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
7
5
3
8
6
9
9
3
7
1
这种方法适用于所有的 奇阶幻方
四阶幻方
幻和是：4×（42＋1）÷2＝34
三阶幻方：三行三列，共3×3=9个数
四阶幻方：四行四列列表，如共下4：×4=16个数
1997年美国科学家发 射了两个宇宙飞船，在 飞船上为了向外星人展 示人类的文明，科学家 就选择了一张是四阶幻 方的图片。。。
数
1 2 3 4 位那么聪明的小朋友你们能不能
56
置告诉老师诀窍在那里？
7 8 有原来只有8个数的位置进行了
9 10 11 12 变15 16 化哈哈哈， 太简单了!！
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
同学们
你们现在会填四阶幻方了吗? 可我不太会,你们能教教我吗?
7 12 1 14
加 油！
那我们试一试把1到16这16个数字填 进空格里好吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
（1）先帮我算幻和好吗？ 幻和=（1+16）×4÷2= 34 （2）那么现在请帮我这些数
依次填进去好吗？
（3）现在来分析这个列表
幻和=34
1 2 3 4 第一行和=10 少了24
如；八阶幻方
十阶幻方
十二阶幻方
41
距
离 幻 方 中 心
九阶幻方
将 幻 方 按 图 中
的 任 何 中 心 对 称 位 置 上 两 数 和 都 为
粗 线 分 成 九 块 ， 即 为 九 个 三 阶 幻 方
82
若把上述九个三阶幻方的每个幻方的“幻和”值写在九宫格中，又构成一个新的三阶幻方
一.三阶幻方的编制和补充
5 6 7 8 第二行和=26 少了8
9 10 11 12 第三行和=42 多了8
13 14 15
第 一 对角线和=34 列 和
第第 二三 列列 和和
16 第四行和=58 多了24
第
四
列
对角线和=34
和
=40 =36 =32 =28
幻和=34
少了6 多了2 少了2 多了6
老师说：根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。
关于幻方
幻方，又称纵横图、奇方或方阵、魔阵等。 是把1至n2的自然数排列成正方形，使它的纵
横均有n个数，而把每行、每列、有时还包括 两条对角线的数加起来，它们的和都是相等 的，这个和叫做幻和。 幻方的幻和等于 n (n2 +1) ÷2 。 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图，或n 阶幻方。
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
六阶幻方
1 9 34 33 32 2 6 26 12 13 23 31 10 15 21 20 18 27 30 19 17 16 22 7 29 14 24 25 11 8 35 28 3 4 5 36
偶阶幻方 都可以照这样的方法去填
我们试着把3,4,5,6,…..18这16个数字编成一个四阶幻方.
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
3 4 5 6 42 7 8 9 10 42 11 12 13 14 42
15 16 17 18 42
42 42 42 42
所以 幻和=42
左右对开并交换， 也是一个四阶幻方
三阶幻方
幻和是：3×（32＋1）÷2＝15
相传在公元前23世纪大禹 治水的时候，在黄河支流 洛水中，浮现出一个 大 乌龟，甲上背有9种花点 的图案，献给大禹。后人 称之为“洛书”。
492
《数术记遗》注：“九宫者，二四为
3
5
7
肩，六八为足，左三右七，戴九履一，
五居中央。”
816
九宫者：乾、坎、艮、震、中、巽、离、坤、兑也！ 乾、坎、艮、震属阳，巽、离、坤、兑属阴，加上中 宫共为九宫。
每列的数字和相等 3.数字5和9谁关于
中心点相对
它就是对称交换法
数字依次先排好, 上下中间交叉换,左对右中间交叉换,其他地方不要变
以前
比
现在
12 3 4
一 下
1 15 14 4
56 7 8
了 12 6 7 9
9 10 11 12
， 哪
8 10 11 5
13 14 15 16 些 13 3 2 16
同一阶幻方，可以有多种不同的排 法，阶数越大，排法越多。如果不包 括通过旋转或反射得到的本质上相同 的幻方，我们有：
3阶幻方只有1种；
4阶幻方有880种；
5阶幻方有275305224种（约两亿七 千五百万）；
7阶幻方有363916800种（约三亿六 千四百万） ；
8阶幻方超过10亿种。