插补原理,速度控制
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第三章插补计算原理刀具半径补偿与速度控制4
21
现
下午4时23分
代 一、进给速度控制 数
控
脉冲增量插补和数据采样插补由于其计算方法不同，其
技 术
速度控制方法也有所不同。
1．脉冲增量插补算法的进给速度控制
第
脉冲增量插补的输出形式是脉冲，其频率与进给速度成
七
节 正比。因此可通过控制插补运算的频率来控制进给速度。常
进 用的方法有：软件延时法和中断控制法。
径
时) 过切，以避免产生过切。
补
偿
原
理
3
现
代 二. 刀具半径补偿的工作原理 数
控
技 术
1.刀具半径补偿的工作过程
第
刀补建立
六
节 刀补进行
刀具中心轨迹
刀 具
刀补撤销。 刀补撤销
半
径
起刀点 刀补建立
补
偿
原
理
下午4时23分
编程轨迹 刀补进行
4
现
下午4时23分
代 二. 刀具半径补偿的工作原理
数
控 技
第 速度进行加减速控制；
三
在加工过程中，为了保证加工质量，在进给速度发生
章 突变时必须对送到进给电动机的脉冲频率或电压进行加减
插 速控制。
补
在启动或速度突然升高时，应保证加在伺服当速度突降时，应保证
原 加在伺服电动机上的进给脉冲频率或电压逐渐减小。
理
。
。
。
补 偿
渡方式。
原
理
7
现 代
二.
刀具半径补偿的工作原理
下午4时23分
数
控
技 3. 刀具中心轨迹的转接形式和过渡方式列表
术
第
数控技术第3章插补原理
5. 运算举例（第Ⅰ 象限逆圆弧） 运算举例（ 象限逆圆弧） 加工圆弧AE 起点(4,3) AE， (4,3)， 终点(0,5) E=(4-0)+(5加工圆弧AE，起点(4,3)， 终点(0,5) ，E=(4-0)+(53)=6 插补过程演示
三.逐点比较法的进给速度 逐点比较法的进给速度
逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 逐点比较法除能插补直线和圆弧之外，还能插补椭圆、 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 抛物线和双曲线等二次曲线。此法进给速度平稳， 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 精度较高。在两坐标联动机床中应用普遍. 对于某一坐标而言， 对于某一坐标而言，进给脉冲的频率就决定了进给速 度 ：
插补是数控系统最重要的功能； 插补是数控系统最重要的功能； 插补实际是数据密集化的过程； 插补实际是数据密集化的过程； 插补必须是实时的； 插补必须是实时的； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补运算速度直接影响系统的控制速度； 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补计算精度影响到整个数控系统的精度。 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、 插补器按数学模型分类，可分为一次插补器、二次插补器及高 次曲线插补器； 次曲线插补器； 根据插补所采用的原理和计算方法不同， 根据插补所采用的原理和计算方法不同，分为软件插补和硬件 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 插补。目前大多采用软件插补或软硬件结合插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。 根据插补原理可分为：脉冲增量插补和数字采样插补。
脉冲当量： 脉冲当量：每一个脉冲使执行件按指令要求方向移动的直线 距离，称为脉冲当量， 表示。一般0.01mm 0.001mm。 0.01mm～ 距离，称为脉冲当量，用δ表示。一般0.01mm～0.001mm。 脉冲当量越小， 脉冲当量越小，则机床精度越高
插补原理
插补原理：在实际加工中，被加工工件轮廓形状千差万别，严格说来，为了满足几何尺寸精度要求，刀具中心轨迹应该准确地依照工件轮廓形状来生成，对于简单曲线数控系统可以比较容易实现，但对于较复杂形状，若直接生成会使算法变得很复杂，计算机工作量也相应地大大增加，因此，实际应用中，常采用一小段直线或圆弧去进行拟合就可满足精度要求(也有需要抛物线和高次曲线拟合情况)，这种拟合方法就是“插补”，实质上插补就是数据密化过程。
插补任务是根据进给速度要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干个中间点坐标值，每个中间点计算所需时间直接影响系统控制速度，而插补中间点坐标值计算精度又影响到数控系统控制精度，因此，插补算法是整个数控系统控制核心。
插补算法经过几十年发展，不断成熟，种类很多。
一般说来，从产生数学模型来分，主要有直线插补、二次曲线插补等；从插补计算输出数值形式来分，主要有脉冲增量插补(也称为基准脉冲插补)和数据采样插补[26]。
脉冲增量插补和数据采样插补都有个自特点，本文根据应用场合不同分别开发出了脉冲增量插补和数据采样插补。
1数字积分插补是脉冲增量插补一种。
下面将首先阐述一下脉冲增量插补工作原理。
2.脉冲增量插补是行程标量插补，每次插补结束产生一个行程增量，以脉冲方式输出。
这种插补算法主要应用在开环数控系统中，在插补计算过程中不断向各坐标轴发出互相协调进给脉冲，驱动电机运动。
一个脉冲所产生坐标轴移动量叫做脉冲当量。
脉冲当量是脉冲分配基本单位，按机床设计加工精度选定，普通精度机床一般取脉冲当量为：0.01mm，较精密机床取1或0.5 。
采用脉冲增量插补算法数控系统，其坐标轴进给速度主要受插补程序运行时间限制，一般为1~3m/min。
脉冲增量插补主要有逐点比较法、数据积分插补法等。
逐点比较法最初称为区域判别法，或代数运算法，或醉步式近似法。
这种方法原理是：计算机在控制加工过程中，能逐点地计算和判别加工偏差，以控制坐标进给，按规定图形加工出所需要工件，用步进电机或电液脉冲马达拖动机床，其进给方式是步进式，插补器控制机床。
数控机床插补原理
将对应的位置增量数据(如、)，再与采样所获得的实际位置反馈值 相比较，求得位置跟踪误差。位置伺服软件就根据当前的位置误差 计算出进给坐标轴的速度给定值，并将其输送给驱动装置，通过电 动机带动丝杠和工作台朝着减少误差的方向运动，以保证整个系统 的加工精度。由于这类算法的插补结果不再是单个脉冲，而是一个 数字量，所以，这类插补算法适用于以直流或交流伺服电动机作为 执行元件的闭环或半闭环数控系统中。
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
对圆弧，提供起点、终点、顺圆或逆圆、以及圆心相对于起点的位置。为满
足零件几何尺寸精度要求，必须在刀具(或工件)运动过程中实时计算出满足 线形和进给速度要求的若干中间点(在起点和终点之间)，这就是数控技术中
插补(Interpolation)的概念。据此可知，插补就是根据给定进给速度和给定
轮廓线形的要求，在轮廓已知点之间，确定一些中间点的方法，这种方法称 为插补方法或插补原理。
Xm+1＝Xm+1, Ym+1＝Ym
新的偏差为
Fm+1＝Ym+1Xe－Xm+1Ye＝Fm－Ye
若Fm＜0时，为了逼近给定轨迹，应向＋Y方向进给一步，走一步后新的坐标值为
Xm+1＝Xm, Ym+1＝Ym ＋1
新的偏差为
Fm+1＝Fm＋Xe
4. 终点判别法
逐点比较法的终点判断有多种方法，下面主要介绍两种：
直到∑为零时，就到了终点。
2.2
不同象限的直线插补计算
上面讨论的为第一象限的直线插补计算方法，其它三个象
限的直线插补计算法，可以用相同的原理获得，表5-1列出了
四个象限的直线插补时的偏差计算公式和进给脉冲方向，计 算时，公式中Xe，Ye均用绝对值。
表1-1 四个象限的直线插补计算
第3章-插补原理
Y积分器
计t数 器JVX为(XeJ)E，JR均X 为溢三出位Jvy(Ye) JRy 溢出
终点计 数器
JE
备注
二0进制1存01 放器00。0
011 000
000
初始状态
1
101 101
011 011
001 第一次迭代
2
101 010
1
011 110
010
X溢出
3
101 111
011 001
1
011
Y溢出
∑=8-1=7
4
F<0
+Y
F4=F3+xe=-2+6=4
∑=7-1=6
5
F>0
+X
F5=F4-ye=4-4=0
∑=6-1=5
6
F=0
+X
F6=F5-ye=0-4=-4
∑=5-1=4
7
F<0
+Y
F7=F6+xe=-4+6=2
∑=4-1=3
8
F>0
+X
F8=F7-ye=2-4=-2
∑=3-1=2
9
F<0
4
101 100
1
011 100
100
X溢出
5
101 001
1
011 111
101
X溢出
6
101 110
011 010
1
110
Y溢出
7
101 011
1
011 101
111
件加工的要求，现在的数控系统已很少采用这类算法 了。
4
*
数控机床控制原理(ppt 51页)
止插补
Y P2 （Xe，Ye） P1 P3 X
图3－3 插补点与直线的位置关系
• 例：脉冲当量为1，起点（0，0），终点（5，3）
序号 偏差判别 进给控制
偏差计算
1
F0=0
+△x F1=F0-Ye=0-3=-3
2
F1<0
+△Y F2=F1+Xe=-3+5=2
3
F2>0
+△X F3=F2-Ye=2-3=-1
Fi＋1=YiXe-（Xi＋1）Ye 1=YiXe-（Xi＋1）Ye ＝ YiXe-XiYe-Ye =Fi-Ye
• 同理，如果向y正向进给一步，则 • Fi＋1=（Yi ＋1）Xe-XiYe＝ Fi＋ Xe • 4、终点判别： • 1）单向计数：取Xe和Ye中较大的作为计数长度 • 2）双向计数：将Xe和Ye的长度加和，作为计数长度 • 3）分别计数：即计X，又计Y，直到X减到0，Y也减到0，停
序号 偏差判别 坐标进给 起点
1 F0=0 +X 2 F1<0 +Y 3 F2>0 +X 4 F3<0 +Y 5 F3>0 +X 6 F5<0 +Y 7 F6>0 +X
偏差计算
F0 0 F1F0Ye 3 F2 F1Xe 1 F3F2Ye 2 F4 F3Xe 2 F5F4Ye 1 F6 F5Xe 3 F7 F6Ye 0
• 3、二阶递归扩展数字积分圆弧插补法；
• 4、圆弧双数字积分插补法；
• 5、角度逼近圆弧插补法；
• 6、“改进吐斯丁”（Improved Tustin
Method――ITM）法。
• 近年来，众多学者又研究了更多的插补类型及改进方法。 改进DDA圆弧插补算法，空间圆弧的插补时间分割法， 抛物线的时间分割插补方法，椭圆弧插补法，Bezier、 B样条等参数曲线的插补方法，任意空间参数曲线的插 补方法。
Y P2 （Xe，Ye） P1 P3 X
图3－3 插补点与直线的位置关系
• 例：脉冲当量为1，起点（0，0），终点（5，3）
序号 偏差判别 进给控制
偏差计算
1
F0=0
+△x F1=F0-Ye=0-3=-3
2
F1<0
+△Y F2=F1+Xe=-3+5=2
3
F2>0
+△X F3=F2-Ye=2-3=-1
Fi＋1=YiXe-（Xi＋1）Ye 1=YiXe-（Xi＋1）Ye ＝ YiXe-XiYe-Ye =Fi-Ye
• 同理，如果向y正向进给一步，则 • Fi＋1=（Yi ＋1）Xe-XiYe＝ Fi＋ Xe • 4、终点判别： • 1）单向计数：取Xe和Ye中较大的作为计数长度 • 2）双向计数：将Xe和Ye的长度加和，作为计数长度 • 3）分别计数：即计X，又计Y，直到X减到0，Y也减到0，停
序号 偏差判别 坐标进给 起点
1 F0=0 +X 2 F1<0 +Y 3 F2>0 +X 4 F3<0 +Y 5 F3>0 +X 6 F5<0 +Y 7 F6>0 +X
偏差计算
F0 0 F1F0Ye 3 F2 F1Xe 1 F3F2Ye 2 F4 F3Xe 2 F5F4Ye 1 F6 F5Xe 3 F7 F6Ye 0
• 3、二阶递归扩展数字积分圆弧插补法；
• 4、圆弧双数字积分插补法；
• 5、角度逼近圆弧插补法；
• 6、“改进吐斯丁”（Improved Tustin
Method――ITM）法。
• 近年来，众多学者又研究了更多的插补类型及改进方法。 改进DDA圆弧插补算法，空间圆弧的插补时间分割法， 抛物线的时间分割插补方法，椭圆弧插补法，Bezier、 B样条等参数曲线的插补方法，任意空间参数曲线的插 补方法。
数控机床的插补原
多项式插补的优缺点
优点
多项式插补能够生成光滑的曲线，适用于复杂形状的加工；可以通过增加控制点来提高插补精度；可以处理多种 类型的插补需求。
缺点
计算量大，需要较高的计算能力；对于某些特殊形状的加工，可能需要特殊的多项式函数形式；需要精确的已知 数据点，否则可能导致插补误差较大。
05
样条插补
样条插补的定义
样条曲线法
样条曲线法是一种更加高级的插补方法，它使用多项式样 条曲线来描述加工路径，能够实现更加复杂的形状加工， 并提高加工精度和表面质量。
插补算法的精度和效率
精度
插补算法的精度是衡量其性能的重要指标之一。高精度的插 补算法能够生成更加精确的路径，从而提高加工精度和表面 质量。
效率
插补算法的效率也是需要考虑的因素之一。高效的插补算法 能够缩短加工时间，从而提高生产效率。在实际应用中，需 要根据具体需求选择精度和效率之间的平衡点。
确定已知数据点
首先需要确定起始点和终止点的坐标位置，以及可能的其他控制点。
构造多项式函数
根据已知数据点，选择合适的多项式函数形式，如线性函数、二次函 数或更高次的多项式。
求解插值方程
通过求解插值方程，得到多项式函数的系数，使得该函数在已知数据 点处的值与实际值相等。
生成加工路径
将多项式函数与机床的坐标系统关联起来，生成加工路径，控制机床 的运动轨迹。
04
多项式插补
多项式插补的定义
多项式插补是一种数学方法，用于在 两个已知数据点之间生成一条光滑曲 线。它通过构造一个多项式函数来逼 近给定的数据点，使得该函数在数据 点处的值与实际值尽可能接近。
VS
在数控机床中，多项式插补被用于生 成零件加工的路径，使得加工过程更 加精确和光滑。
第四章 插补、刀具补偿与速度控制
被积函数寄存器
根据上面几个公式，可以建立一 个数学模型——数字积分器。
Δt
＋ 累加器 Δx
数字积分器模型
例子：求在区间设被积函数为5(二进制101B)，取累加器 为3位二进制，容量为23=8。
101
101
101
101
101
101
101
101
) 000 )101 ) 010 )111 )100 ) 001 )110 ) 011 101
1 010
111
1 100
1 001
110
1 011
1 000
（2） 线段插补
如右图所示，线段位于第一象限，起点与 坐标原点重合，终点坐标A(Xe,Ye)。设有 一动点，以速度V在线段上匀速运动，其 在X、Y方向的分速度分别为Vx、Vy。则 动点在Δt时间内沿X、Y轴移动的微小位移 量为： ΔX=VxΔt
Δx
Δy
KX
i
m
e
KmX
e
Xe
Y
KY
i
m
K 1
e
Δt
m
n
＋
KmY
e
Ye
m 2
Y被积函数寄存器(KYe)
2
n
K 1
线段插补数字积分器
例3. 用数字积分法插补下图所示线段，起点坐标 O(0,0)，终点坐标为A(5,7)，写出插补该线段的过程。
数字积分插补实例
脉 冲 当 量
插补的任务就是在一段零件轮廓的起点和终点之间，根 据给定的进给速度要求，计算出若干个中间点的坐标值。
加工直线的程序
N3G01X-45000Y-75000F150
ethercat 直线插补 原理
ethercat 直线插补原理EtherCAT 直线插补原理介绍EtherCAT（以太CAT）是一种高速实时以太网通信协议，用于现场总线系统。
直线插补是在机床控制系统中常用的一种运动控制技术，它可以将多个点之间的平滑曲线插值为一系列线性插值点，从而实现精确的加工路径。
本文将以浅薄的角度解释 EtherCAT 直线插补的原理。
什么是直线插补直线插补是一种插补运动的方式，通过定义起点和终点，并指定一系列中间点，计算出使工具在这些点之间移动的线性路径。
这种方式在工业自动化领域中非常常见，尤其在数控机床系统中广泛应用。
EtherCAT 协议简介EtherCAT 是一种高性能实时以太网通信协议，其关键特点是通过一个主站实现多个从站的同步通信。
在 EtherCAT 网络中，主站负责发送指令和接收数据，而从站则负责接收指令并执行相应的动作。
EtherCAT 直线插补的原理EtherCAT 直线插补的原理是通过主站发送插补指令给从站，从站根据指令进行相应的插补计算，并将计算结果返回给主站。
主站和从站之间的通信是通过 EtherCAT 协议进行的。
插补算法在 EtherCAT 直线插补中，有多种插补算法可以选择，常见的有线性插值、梯形插值和圆弧插值。
在这些算法中，线性插值是最简单的一种方法。
它通过计算起点和终点之间的线性路径，并根据运动速度和加速度控制工具的运动。
控制器的角色在 EtherCAT 直线插补系统中，主站充当控制器的角色，从站则是执行器。
主站负责生成插补指令，并将其发送给从站进行执行。
从站接收并解析指令，根据指令计算插补路径，并控制执行器按照路径移动。
实时性要求EtherCAT 直线插补系统的一个重要特点是实时性要求高。
在实际应用中，对于加工路径的精细度和速度要求都很高，因此控制指令的传输和执行都需要在严格的时间约束下完成。
总结EtherCAT 直线插补是一种在工业自动化中广泛应用的运动控制技术。
通过使用高性能实时以太网通信协议，主站可以发送插补指令给从站，并实现精确的加工路径控制。
数控机床插补计算
新点的偏差为
2．终点判别的方法
一种方法是设置两个减法计数器，在计数器中 分别存入终点坐标值,各坐标方向每进给一步时，就 在相应的计数器中减去1，直到两个计数器中的数都 减为零时，停止插补，到达终点。
另一种方法是设置一个终点计数器，计数器中 存入两坐标进给的步数总和,当x或y坐标进给时均 减1，当减到零时，停止插补，到达终点。
四个象限圆弧插补计算
与直线插补相似，计算用 坐标的绝对值进行，进给方向 另做处理。从图看出SRl、NR2、 SR3、NR4的插补运动趋势都是 使X轴坐标绝对值增加、y轴坐 标绝对值减小。NRl、SR2、 NR3、SR4插补运动趋势都是使 X轴坐标绝对值减小、y轴坐标 绝对值增加。
(二)圆弧插补计算举例 设加工第一象限逆圆AB，已知起点A(4，0)，终 点B(o，4)。试进行插补计算并画出走步轨迹。
2.2.2 刀具半径补偿 1.刀具半径补偿概念
刀具半径补偿功能是指改变刀具中心运动轨迹的功能。如图 所示，用铣刀铣工件轮廓时，刀具中心应始终偏离工件表面一个 刀具半径的距离，编程人员则以工件的轮廓表面尺寸进行编程。 当刀具半径确定之后，可以将刀具半径的实测值输入刀具半 径补偿存储器，存储起来，加工时可根据需要用G41或G42进行调 用。G41和G42分别为左刀补和右刀补。如图所示。
2.2
刀具补偿原理
数控系统对刀具的控制是以刀架参考点为基准的，但零件加 工是用刀尖点进行的，所以需要在刀架参考点和刀尖点之间进 行位置偏置（补偿）。
2.1.2
刀具长度补偿
以数控车床为例，P为刀尖，Q为刀架参考点，设刀尖圆 弧半径为零。利用测量装置测出刀尖点相对于刀架参考点的 坐标(xpq ,ypq )，存入刀补内存表中。 编程时以刀尖点P(XP,ZP) 来编程，刀架参考点坐标 Q(Xq,Zq）由下式求出 Xq＝XP－ xpq P(XP,ZP) xpq Q Zq＝ZP－ Zpq 刀具长度补偿由G43、G44及 zpq H代码指定。
插补原理及控制方法
2 2
P点在圆弧外侧时，则OP大于圆弧半径R，即
X i Yj R2 0
2 2
P点在圆弧内侧时，则OP小于圆弧半径R，即
X i Yj R2 0
2 2
用F表示P点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为
Fi , j X i Y j R 2
2 2
（3-5）
当动点落在圆弧上时，一般约定将其和F>0一并考虑。
1、 插补原理 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步 骤进行。
开始 偏差判别 坐标进给 偏差计算
3 2 1 终点判别 O 1 2 3 N 4 x y
E(4,3)
Y 给结束
图5-3
偏差判别：根据刀具当前位置，确定进 给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹趋进， 即向减少误 差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之 间的偏差，作为下一步判别依据。 终点判别：判断是否到达终点，若到达 ，结束插补；否则，继续以上四个步骤（ 如图3-3所示）。
二、基准脉冲插补
（一）、逐点比较法 加工图3-1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设 让刀具先从A点沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点 。为使刀具逼近圆弧，同时又向终点移动，需沿＋X 方向走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内，需再沿 ＋X方向走一步，到达圆弧外3点，然后再沿－Y方向 走一步，如此继续移动，走到终点。
第五章 插补原理及控制方法
一、概述
在数控加工中，一般已知运动轨迹的起点坐标 、终点坐标和曲线方程，如何使切削加工运动沿 着预定轨迹移动呢？数控系统根据这些信息实时 地计算出各个中间点的坐标，通常把这个过程称 为“插补”。
数控系统根据这些信息实时地计算出各个中间点 的坐标，通常把这个过程称为“插补”。 插补实质上是根据有限的信息完成“数据点的 密化”工作。
P点在圆弧外侧时，则OP大于圆弧半径R，即
X i Yj R2 0
2 2
P点在圆弧内侧时，则OP小于圆弧半径R，即
X i Yj R2 0
2 2
用F表示P点的偏差值，定义圆弧偏差函数判别式为
Fi , j X i Y j R 2
2 2
（3-5）
当动点落在圆弧上时，一般约定将其和F>0一并考虑。
1、 插补原理 一般来说，逐点比较法插补过程可按以下四个步 骤进行。
开始 偏差判别 坐标进给 偏差计算
3 2 1 终点判别 O 1 2 3 N 4 x y
E(4,3)
Y 给结束
图5-3
偏差判别：根据刀具当前位置，确定进 给方向。 坐标进给：使加工点向给定轨迹趋进， 即向减少误 差方向移动。 偏差计算：计算新加工点与给定轨迹之 间的偏差，作为下一步判别依据。 终点判别：判断是否到达终点，若到达 ，结束插补；否则，继续以上四个步骤（ 如图3-3所示）。
二、基准脉冲插补
（一）、逐点比较法 加工图3-1所示圆弧AB，如果刀具在起始点A，假设 让刀具先从A点沿－Y方向走一步，刀具处在圆内1点 。为使刀具逼近圆弧，同时又向终点移动，需沿＋X 方向走一步，刀具到达2点，仍位于圆弧内，需再沿 ＋X方向走一步，到达圆弧外3点，然后再沿－Y方向 走一步，如此继续移动，走到终点。
第五章 插补原理及控制方法
一、概述
在数控加工中，一般已知运动轨迹的起点坐标 、终点坐标和曲线方程，如何使切削加工运动沿 着预定轨迹移动呢？数控系统根据这些信息实时 地计算出各个中间点的坐标，通常把这个过程称 为“插补”。
数控系统根据这些信息实时地计算出各个中间点 的坐标，通常把这个过程称为“插补”。 插补实质上是根据有限的信息完成“数据点的 密化”工作。
第16讲数据采样插补的原理
刀尖位置与机床控制刀位点不同时，需要刀尖位置 补偿。刀具磨损或者换了新的刀具后，实际刀尖位置变 化，需要补偿。
14
3.6 刀具半径补偿 数 控 技 术
第 三 章
1）B功能刀具半径补偿计算： ◆直线加工时刀具补偿；
Y
A(x,y) ∆y r A’(x’,y’)
第 三 章
计 算 机 数 控 装 置
扩展DDA插补是在DDA插补的基础上发展起来，并将DDA法 用切线逼近圆弧的方法改进为用割线逼近，减少了逼近误差， 提高了圆弧插补的精度。
7
3.5 数据采样插补的原理 数 一. 数据采样插补的基本思想 控 (二) 数据采样法之二——扩展DDA法 技 1 .扩展DDA直线插补 V 术 X V T TX X
第 三 章
ΔPAG∽ΔAOC
AOC PAC i
i 1 i
1 i 2
计 算 机 数 控 装 置
插补步长和角步距的关系
l cos X
l sin Y
5
3.5 数据采样插补的原理
数 一. 数据采样插补的基本思想 控 直线函数法的主要问题： 技 1.用弦线逼近圆弧，因此插补误差主要为半径的绝对误差。 术 因插补周期是固定的，该误差取决于进给速度和圆弧半径，
第 三 章
直线与X轴夹角为，若已知轮廓步长，则本次插补周期内各坐 标轴进给量为： X l cos
计 算 机 数 控 装 置
Ye Y x Xe
下式可以避免计算三角函数：
cos
Xe X e2 Ye2一. 数据采样插补的基本思想 控 2. 直线函数法圆弧插补： 技 直线函数法圆弧插补，需先根据进给速度指令F，计算出 术 轮廓步长l，然后以长为l的弦线逼近圆弧，再将弦l分解到两个
插补原理及控制方法
顺圆
结束
第三章 插补原理及控制方法 36
举例说明圆弧插补过程。
设第一象限有一逆 圆圆弧AB，起点A 的坐标为 =6， ＝0，终点B的坐标 为 =0， =6。
第三章 插补原理及控制方法 37
二、逐点比较法圆弧插补---其它象限
y
y
F>0
F<0
o
x
F<0
o
F>0
x
逆圆
各象限插补进给方向，远离原 点坐标值加一接近原点坐标值 减一。
3.1 逐点比较法插补---不同象限直线插补
第二象限
tg αi= yj / xi tg α=ye / xe
tg αi- tg α
= yj/ xi –ye / xe
=(xe yj-xi ye) / xe xi
令： Fi,j xeyj xiye
为偏差函数
A (xe,ye)
y
M (xi,yj)
αi
x
αo
逐点比较法插补
逐点比较法特 点是：计算机 每控制机床坐 标（刀架）走 一步时都要完 成四个工作节 拍。
位置判别 判 别实际加工点 相对规定几何 轨迹的偏离位 置，然后决定 刀具走向；
坐标进给 控 制某坐标轴工 作台进给一步， 向规定的几何 轨迹靠拢，缩 小偏差；
偏差计算 计 算新的加工点 对规定轨迹的 偏差，作为下 一步判别走向 的依据；
插补技术是数控系统的核心技术。数控加工过程中，数控系统 要解决控制刀具或工件运动轨迹的问题。刀具或工件一步步移 动，移动轨迹是一个个小线段构成的折线，不是光滑曲线。刀 具不能严格按照所加工零件的廓形运动，而用折线逼近轮廓线 型。
插补计算就是对数控系统输入的基本数据，(如直线起点、终 点坐标值，圆弧起点、圆心、圆弧终点坐标值、进给速度等)， 运用一定的算法计算，由数控系统实时地算出各个中间点的 坐标。即需要“插入补上”运动轨迹各个中间点的坐标，通 常将这个过程称为“插补”。
第四章 插补原理与速度控制
n=6=N完
四象限直线插补
A2(-Xe,Ye)
A1(Xe,Ye)
A3(-Xe,-Ye) 直线插补各象限偏差符号和相应的进给方向
A4(Xe,-Ye)
（二）圆弧插补(第一象限顺圆插补)
1、偏差判别函数 2、偏差计算与进给方向 3、终点判别 4、举例
1、偏差判别函数
用P(x,y)表示某 一时刻刀具的位 置，则偏差函数 为： F=x2+y2-R2 F＞0 在圆外 F＜0 在圆内 F＝0 在圆上
X11= X10=7 Y11= Y10+1=8
n=11＜N
X12 =X11 -1=6 n=12=N Y12 = Y11=8 到达终 点
Y 8 6
B(6,8)
4
2
2
4
6
8
10
四个象限圆弧插补
F>0
F>0 F>0 F<0 F<0 F<0 F<0
F>0
F<0
F>0 F<0 F>0
F<0
F<0
F>0 F>0
+X +X,+Y +X
20-16=4 24-16=8 18-16=2 20-16=4
+X,+Y +X
+X,+Y +X +X,+Y +X +X,+Y
22-16=6 16-16=0
20-16=4 24-16=8 18-16=2 22-16=6 16-16=0
19-16=3
18-16=2
17-16=1
第十章插补与刀补
F←F-2x+1 x←x-1
NR2，SR3 NR4，SR3 NR1，SR2 SR1，NR2 NR3，SR4
F＜0 F≥0 F ＜0 F≥0 F ＜0
F←F+2y+1 y←y+1
F←F-2y+1 y←y-1
25
下午3时31分 现 代 第三节 数字积分法 装 备 一、数字积分法的基本原理 与 控 数字积分插补法，又称数字微分分析器（Digital differential analyzer)，简称DDA. 制
2 2 Fi, j ( xi2 x0 ) ( y2 y j 0)
第一象限逆圆：
Fi,j ＞0 Fi,j ＝0 Fi,j ＜0
在圆外，向-X输出一步 在圆上，向-X输出一步 在圆内，向+Y输出一步
21
现 代 第二节 逐点比较法 装 备 与 2、偏差计算(递推式） 控 制 Fi,j 0故x轴须向负向进
Fi , j 2 yi 1
递推法把圆弧偏差运算式由平方运算简化为加法和乘2运算 .
22
第 十 章 插 补 、 刀 补 原 理 及 速 度 控 制
下午3时31分 现 代 第二节 逐点比较法 装 备 与 3、终点判别 控 制 X,Y坐标的总和－> n | xe x0 | | ye y0 | , 每走一步，n=n-1, 直到n＝0.
插补算法稳定是确保轮廓精度要求的前提。
4
下午3时31分 现 代 第一节 概 述 装 备 与 插补精度指标 控 插补精度：插补轮廓与给定轮廓的符合程度，它可用插补误 制
第 十 章 插 补 、 刀 补 原 理 及 速 度 控 制
差来评价。 插补误差分类： 逼近误差（指用直线逼近曲线时产生的误差）；
NR2，SR3 NR4，SR3 NR1，SR2 SR1，NR2 NR3，SR4
F＜0 F≥0 F ＜0 F≥0 F ＜0
F←F+2y+1 y←y+1
F←F-2y+1 y←y-1
25
下午3时31分 现 代 第三节 数字积分法 装 备 一、数字积分法的基本原理 与 控 数字积分插补法，又称数字微分分析器（Digital differential analyzer)，简称DDA. 制
2 2 Fi, j ( xi2 x0 ) ( y2 y j 0)
第一象限逆圆：
Fi,j ＞0 Fi,j ＝0 Fi,j ＜0
在圆外，向-X输出一步 在圆上，向-X输出一步 在圆内，向+Y输出一步
21
现 代 第二节 逐点比较法 装 备 与 2、偏差计算(递推式） 控 制 Fi,j 0故x轴须向负向进
Fi , j 2 yi 1
递推法把圆弧偏差运算式由平方运算简化为加法和乘2运算 .
22
第 十 章 插 补 、 刀 补 原 理 及 速 度 控 制
下午3时31分 现 代 第二节 逐点比较法 装 备 与 3、终点判别 控 制 X,Y坐标的总和－> n | xe x0 | | ye y0 | , 每走一步，n=n-1, 直到n＝0.
插补算法稳定是确保轮廓精度要求的前提。
4
下午3时31分 现 代 第一节 概 述 装 备 与 插补精度指标 控 插补精度：插补轮廓与给定轮廓的符合程度，它可用插补误 制
第 十 章 插 补 、 刀 补 原 理 及 速 度 控 制
差来评价。 插补误差分类： 逼近误差（指用直线逼近曲线时产生的误差）；
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➢ 插补计算精度又影响到整个CNC系统的精度
Y
Y
M(Xi,Yi)
A(Xe,Ye)
A(10,5)
O
X
O
X
5
插补原理
2. 实现插补的方法： 硬件插补、软件插补、软硬件插补
3. 插补方法
逐点比较法
脉冲增量插补法
（用于开环系统）
数字增量插补法
数字积分法 时间分割法
扩展DDA法
6
（用于闭环系统）
脉冲增量插补
➢进给方向判别 当F0，
则沿-X方向进给一步
当F<0，
O
X
则沿+Y方向进给一步
A(X0,Y0)
➢ 偏差判别式
Fi, i
X
2 i
Yi2
R2
14
逐点比较法圆弧插补
➢偏差判别函数的递推形式
设当前切削点M(Xi,Yi)的偏差为 Fi, i Xi2 Yj2 R2
则根据偏差公式
当Fi,i 0
新加工点坐标为: Xi+1= Xi -1, Yi+1=Yi
新偏差为: Fi, i (Xi 1)2 Yi2 R2 Fi1,i 2Xi 1
当Fi,j <0
新加工点坐标为: Xi+1= Xi, Yi+1=Yi+1
新偏差为:
Fi, i
X
2 i
(Yi
1)2
R2
Fi,i1
2Yi
1
➢ 终点判别方法：| Xe- X0| + | Ye - Y0|
15
逐点比较法圆弧插补
+Y
Fm+1= Fm+xe
-Y
逐点比较法插补
第 一 象 限 直 线 插 补 程 序 框 图
13
逐点比较法圆弧插补
二、逐点比较法圆弧插补
Y
F=0
B (Xe,Ye)
M(Xi,Yi)
F<0 Ri
F>0
R
当M(Xi,Yi)在圆弧上，则F=0； 当M(Xi,Yi)在圆弧外，则F>0； 当M(Xi,Yi)在圆弧内，则F<0；
X、Y 方向进给（发进给脉 X、Y 方向进给（发进给脉冲）
冲） 后，被积函数寄存器Jx 、Jy内容 (Xe,Ye)不变；
后，被积函数寄存器Jx、Jy内容 (Yi,Xi)必须修正，即当X方向发
统计累加次数判别终点； 脉冲时，Y轴被积函数寄存器Jy
内容(Xi)减1（∵NR1）,当Y方向
发脉冲时，X轴被积函数寄存器
Jx内容(Yi)加1。 统计进给脉冲总数判别终点；
34
数字积分法圆弧插补
➢第一象限逆圆弧插补计算举例 Y
B(0,5)
❖余数寄存器容量至少3 位，故累加至n=2N=8， 将有脉冲溢出。
❖终点判别总步数为:
|Xe-X0 | + | Ye-Y0 | =10
O
A(5,0)
X
35
数字积分法圆弧插补
脉
积分运算
12-8=4 1+1=2 5
2
5 2+2=4 4+5=9 +Y
9-8=1 2+1=3 5
3
6 4+3=7 1+5=6
7 7+3=10 6+5=11 -X,+Y 10-8=2 11-8=3 3+1=4 5-1=4 1 4
8 2+4=6 3+4=7
9 6+4=10 7+4=11 -X,+Y 10-8=2 11-8=3 4+1=5 4-1=3 2 5
积分修正
冲
进给
个 X+JX Y+JY 方向 X-2n Y-2n
数 X Y
X Y
坐标计算 终点判别
JX+1 JY-1 NX NY JX JY
0
0
0
0
5
1 0+0=0 0+5=5
2 0+0=0 5+5=10 +Y
10-8=2 0+1=1 5
1
3 0+1=1 2+5=7
4 1+1=2 7+5=12 +Y
F1 = F0 –2X0+1=
0-2× 10+1=-1 9
F2 = F1 +2Y1+1=
-19+2× 0+1=-18
F3 = F2 +2Y2+1=
-18+2× 1+1=-15
F4 = F3 +2Y3+1=
-15+2× 2+1=-10
F5 = F4 +2Y4+1=
-10+2× 3+1=-3
17
坐标计算 X0 = XA=10 Y0 = YA=0 X1 = X0 -1=9 Y1 = Y0=0
A(Xe,Ye)
Yi Ye Xi Xe
F XeYi XiYe 0
M(Xi,Yi)
·· F>0 F=0
O ➢进给方向判别
·F<0
当M在OA上方，即F>0时；
Yi Ye X Xi Xe
F XeYi XiYe 0
当M在OA下方，即F<0
当F0，则沿+X方向进给一步 Yi 当F<0，则沿+Y方向进给一步。 X i
用两个终点判别计数器累计两个坐标的进给脉冲数， 也可以用一个终点判别计数器累计两个坐标进给脉冲 总数。
37
硬件数字积分插补的合成进给速度
当X，Y坐标分量为小于2n－1的X，Y值时，X坐标方向的平均进给比率
为X/ 2n,Y坐标方向的平均进给比率为Y/ 2n,其合成的轮廓进给比率
1. 逐点比较法 基本原理：
被控对象按给定轨迹运动时，每走一步（一个脉冲当量 ）都要与规定的轨迹比较，根据比较的结果（偏差） 决定下一步运动方向（朝逼近给定轨迹方向）。 特点：运算直观，插补误差最大值 ，输出脉冲均匀
Y
O X
7
逐点比较法插补
一、逐点比较法直线插补 Y
➢偏差判别函数 当M在OA上，即F=0
X2= X1=9 Y2 = Y1+1=1 X3= X2=9 Y3 = Y2+1=2 X4= X3=9 Y4 = Y3+1=3 X5= X4=9 Y5 = Y4+1=4
终点判别 n=0；N=12
n=1＜N
n=2＜N n=3＜N n=4＜N n=5＜N
逐点比较法圆弧插补
➢四象限圆弧插补进给方向
偏差大于等于零向圆内进给，偏差 小于零向圆外进给
➢ 逐点比较法圆弧插补示例
Y B(6,8)
8 6 4 2
2 4 6 8 10
16
逐点比较法圆弧插补
脉冲 偏差判别
个数
0
进给方 向
1 F0 = 0
-X
2 F1 = -19 ＜ +Y 0
3 F2 = -18 ＜ +Y 0
4 F3 = -15 ＜ +Y 0
5 F4 = -10 ＜ +Y 0
偏差计算 F0 = 0
Ye Xe
F XeYi XiYe 0
8
逐点比较法插补
➢偏差判别函数的递推形式 设当前切削点M(Xi,Yi)的偏差为 F=Fi,i=XeYi-XiYe
当Fi,j 0 新加工点坐标为: Xi+1= Xi +1, Yi+1=Yi 新偏差为: Fi+1,i=XeYi-(Xi +1) Yi = Fi,i -Ye
10 2+5=7
11 7+5=12
-X 12-8=4
5 3-1=2 3
12 4+5=9
-X 9-8=1
5 2-1=1 4
13 1+5=6
14 6+5=11
-X 11-8=3
5 1-1=0 5
36
数字积分插补的终点判别
直线插补终点判别： 不论被积函数有多大，对于n位寄存器，必须累加
2n次才能到达终点 圆弧插补终点判别：
18
逐点比较法圆弧插补
➢四象限圆弧插补计算表
19
逐点比较法圆弧插补
第 一 象 限 逆 圆 弧 插 补 程 序 框 图
20
逐点比较法圆弧插补
逐点比较法的速度分析
LN Vf
式中：L —直线长度； V —刀具进给速度； N —插补循环数； f —插补脉冲的频率。
N X e Ye L cos L sin
插补开始
偏差判别
插
补
坐标进给
步
骤
偏差计算
N 终点判别
Y 插补结束
10
逐点比较法插补 ➢ 逐点比较法直线插补示例
11
逐点比较法插补
线四 插个 补象 计限 算直
线型 L1,L4 L2,L3
Fm ≥0 进给方向 偏差计算 +X Fm+1= Fm-ye -X
12
线型 L1,L2 L3,L4
Fm ＜0 进给 方向 偏差 计算
所以：
V
f
sin cos
刀具进给速度与插补时钟频率f 和与X轴夹角 有关
21
数字积分法插补
数字积分法
➢ 又称数字微分分析法 DDA (Digital differential
Analyzer)，是在数字积分器的基础上建立起来的 一种插补算法。数字积分法的优点是，易于实现 多坐标联动，较容易地实现二次曲线、高次曲线 的插补，并具有运算速度快，应用广泛等特点。
控
制
4