考点梳理：导数章节涉及的19个必考点全梳理

导数章节涉及的19个必考点全梳理

必考点1 导数的概念

1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率

0000()()lim

lim x x f x x f x y

x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即

00000()()()lim lim

x x f x x f x y

f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆. 2．函数f (x )的导函数 称函数0

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-=∆为f (x )的导函数．

例题1 一质点运动的方程为283s t =-. （1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2）求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【解析】（1）∵2

83s t =-，∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×

12)=-6Δt -3(Δt)2

，63s

v t t

-

∆==--∆∆. （2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度00

lim

lim(63)6t t s

v t t ∆→∆→∆==--∆=-∆求导法：质点在t 时刻瞬时速度

2()(83)6v s t t t ''==-=，当t=1时，v=-6×1=-6.

【小结】

1.根据导数的定义求函数()y f x =在点0x 处导数的方法： ①求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；

②求平均变化率

00()()

f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆； ③得导数00()lim x y

f x x

∆→∆'=∆，简记作：一差、二比、三极限.

2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数

必考点2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1. 基本初等函数的导数公式

2．导数的运算法则

（1） [f (x )±

g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）2

()'()()'()()

'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢

⎥⎣⎦

(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

例题2 （2019·全国高三（文））已知下列四个命题，其中正确的个数有（ ） ①'

1

(2)2x x x -=⋅，②'

(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln x a x a a =（0a >，且1a ≠），④'1

(ln 2)2

=

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【解析】①'

(2)2ln x x

x =⋅，所以①错误；②'

(sin 2)2cos 2x x =，所以②错误； ③'

1(log )ln a x x a

=

（0a >，且1a ≠），所以③错误；④'

(ln 2)0=，所以④错误.故选：A

例题3 （2020·全国高考真题（文））设函数e ()x

f x x a =+．若(1)4

e f '=，则a =_________．

【解析】由函数的解析式可得：()()()

()

()

2

2

1x x

x e x a e e x a f x x a x a +-+-'=

=

++，

则：()()

()

()

12

2

11111e a ae

f a a ⨯+-'=

=

++，据此可得：

()

2

4

1ae

e

a =

+， 整理可得：2210a a -+=，解得：1a =. 【小结】

1.求函数导数的一般原则如下：

(1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数的求导方法

求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；

③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程.

必考点3 导数的几何意义--求曲线的切线方程

函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．

例题4 （2020·全国高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1

(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 【解析】

()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，

因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.

例题5 （2019·全国高考真题（文））已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】，

将代入

得，故选D ．

【小结】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法：

(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；

③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．

(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010

()

'()y f x y y f x x x

=⎧⎪

-⎨=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而

确定切线方程．