整数规划

若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S 1,S 2．…，S 10相应的钻探费用为C 1 ,C 2 ,… C 10，并且井位选择要满足下列限制条件： (1)在s 1，s 2，S 4中至多只能选择两个； （2）在S 5，s 6中至少选择一个；（3）在s 3，s 6，S 7，S 8中至少选择两个。 试建立这个问题的整数规划模型

解：设x j （j=1,…,10）为钻井队在第i 个井位探油 minZ=j j j x c ∑=10

1

背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。

解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I

⎩⎨

⎧==≤++++++++++++=7

,...,2,1,102542126255104814181520765432176

54321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或

集合覆盖和布点问题

某市消防队布点问题。该市共有6个区，每个区都可以建消防站，市政府希望设置的消防站最少，但必须满足在城市任何地区发生火警时，消防车要在15min 内赶到现场。据实地测定，各区之间消防车行驶的时间见表，请制定一个布点最少的计划。

解：引入0—1变量x i , x i =1表示在该区设消防站，,x i =0表示不设

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥++≥++≥++≥+≥++≥++++++=0

1111111min 65

2

654

543

436

2

121654321或i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z

解得： X*=(0,1,0,1,0,0)’ Z*=2

某公司现有5个项目被列入投资计划，各项目的投资额和期望的投资收益如下表所示：

该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到以下条件的

约束：（1）在项目1、2和3中必须有一项被选中，（2）项目3和项目4只能选中一项，（3）项目5被选中的前提是项目1必须被选中。试就这一问题建立运筹学研究模型。

5.2某市为方便学生上学，拟在新建的居民小区增设若干所小学。已知备选校址代号及其能覆盖的居民小区编号如表5–2所示，问为覆盖所有小区至少应建多少所小学，要求建模并求解。

所示，现货物2、4中优先运2，货物1、5不能混装，试建立运费收入最多的运输方案。

5.11 运筹学中著名的旅行商贩（货朗担）问题可以叙述如下：某旅行商贩从某一城市出发，到其他几个城市推销商品，规定每个城市均需到达且只到达一次，然后回到原出发城市。已知城市i和城市j之间的距离为d ij问商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程最短。试对此问题建立整数规划模型。

有一组物品S，共有9件，其中第i件重i w，价值i v，从S中取出一些物品

工程上马的决策问题

某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。

为解决污水对河流的污染问题，某城市拟建污水处理站，备选的站址有A 、B 、C

物2，构建一个整数规划模型，在满足环保要求的前提下使投资和运行费用最少。

1231231231

23112233123123min 50040030050080010008050408000060405060000

800500400,,0;,,0,1z y y y x x x x x x x x x x y x y x y x x x y y y =+++++++≥⎧⎪++≥⎪⎪≤⎪⎨

≤⎪⎪≤⎪≥⎪⎩为变量

为解决污水对河流的污染问题，某城市拟建污水处理站，备选的站址有A 、B 、

物2，构建一个整数规划模型，在满足环保要求的前提下使投资和运行费用最少。

第五章 整数规划习题

5.1 考虑下列数学模型

)()(min 2211x f x f z += 且满足约束条件

（1）或101≥x ，或102≥x ； （2）下列各不等式至少有一个成立：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥+≥+≥+15

21515221

2121x x x x x x

（3）021=-x x 或5或10 （4）01≥x ，02≥x 其中

)(11x f =⎩⎨

⎧=>+0,0

0,520111x x x 如如 =)(22x f ⎩⎨

⎧=>+0,0

0,612222x x x 如如

将此问题归结为混合整数规划的模型。

解：2211612510min x y x y z +++=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨

⎧∙∙∙=≥≥=+++++-+-=-≤++-≥+-≥+-≥+∙--≥∙-≥∙≤∙≤），，＝（或

，）（）（）（；）（11.110;00)4(1

11105503215215152)1(1010102111

1098711109872165462152142132312211i y x x y y y y y y y y y y x x y y y M y x x M y x x M y x x M y x M y x M y x M y x i

5.2 试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题

3

3

3221max x x x x z -+= ⎩⎨

⎧==≤++-）

，（或3,2,110332321j x x x x j

解：令=y ⎩⎨⎧==否则，当,01132x x

故有y x x =32，又21x ，3

1x 分别与1x ，3x 等价，因此题中模型可转换为

31max x y x z -+=