导数的定义及几何意义精
高考复习-导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。
高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义
高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义1．f/0imf0f00叫函数f在0处的导数，记作|0。
/注：①函数应在点0的附近有定义，否则导数不存在。
②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。
③是函数f对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线f上点（0，f0）及点（0，/f00）的割线斜率。
④导数f0imf0f0是函数f在0点0的处瞬时变化率，它反映的函数f在0点处变化的快慢程度，它的几何意义是f0f0曲线f上点（0，f0）处的切线的斜率。
⑤若极限im不0存在，则称函数f在点0处不可导。
⑥如果函数f在开区间a,b内每一点都有导数，则称函数f在开区间a,b内可导；此时对于每一个∈a,b，都对应着一个确定的导数f/，从而构成了一个新的函数f/，称这个函数f/为函数简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：f在开区间a,b内的导函数，求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
/[举例1]若f02，则imf0f02等于：0A-1B-2C1D1/2/解析：∵f02，即imf[0]f0n0=2imf0f02n1=-1。
0[举例2]已知a0,n为正整数设a，证明"nan解析：本题可以对a展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：/imaan1n1nn0=0imaCnaCna2n2Cna2nnn=0imnan1Cna2n2Cn2nnn1=nn10im[naCna2n2Cna3n3Cnt1t22]=nan1。
2[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：S定义求t=3时的速度。
2t，试用导数的[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比CqCq0qCq0无限趋近于0时，Cq无限趋近于常数A，0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。
导数的概念及几何意义
注意：(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与 自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数． (2)Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0，当Δx>0时,Δx→0表 示x0＋Δx从x0右边趋近于x0，反之，当Δx<0时，Δx→0表示x0 ＋Δx从x0左边趋近于x0,Δy是相应函数的改变量，Δy可正、可 负，也可以为0.
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规范解答
求过某点的曲线的切线方程
(本题满分12分)已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32) 作曲线f(x)的切线，求切线的方程．
[解 ] 经检验知点 M(0,32)不在曲线上， 1 1 分 设切点坐标为 N(x0,2x3 0－ 3x0)， 3 3 Δy 2 x0＋ Δx － 3x0＋ Δx－ 2x0＋ 3x0 ＝ Δx Δx 2 2 3 3 2x3 ＋ 6 x Δ x ＋ 6 x Δ x ＋ 2 Δ x － 3 x － 3Δ x － 2 x 0 0 0 0 0 ＋ 3x0 ＝ Δx
[错因与防范] 本题易错选 D.错因是忽视了分子与分母相应的 符号的一致性，在利用导数的定义求函数在某一点的导数时， Δy 中 Δx 是分子中被减数的自变量减去减数的自变量的差，要 Δx 深刻理解以防出错．
4．设函数 f(x)在点 x0 处可导，且 f′(x0)已知，求下列各式的 极限值． f x0－Δx－ fx0 (1)lim ； Δx → 0 Δx f x0＋h－fx0－ h (2)lim . h→ 0 2h f x0－Δx－ fx0 解：(1)lim Δx → 0 Δx f x0－f x0－Δx ＝－ lim ＝－f′(x0)． Δx → 0 Δx f x0＋ h－fx0－h (2)lim ＝f′(x0)． h→ 0 2h
导数的概念及几何意义_基础
导数的概念及几何意义【要点梳理】要点一：导数的概念 1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000limlim＝ 要点诠释：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数．（4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示． 要点二：导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示： ()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．要点诠释：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．如图1．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．如图2，无论点P 在曲线上还是曲线外， 过点P 都可以作两条直线1l 、2l 与曲线相切．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．要点三：导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 【典型例题】类型一：导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x x==x =1处的导数． 【思路点拨】三步法求函数在某点处的导数值． 【解析】先求增量：(1)(1)11y f x f x∆=+∆-=-+∆===再求平均变化率：y x ∆=∆ 求极限，得导数：01'(1)lim2x y f x ∆→∆==-∆．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．举一反三：【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ． 【解析】 ∵ )1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴ 2(1)(1)23y x x x x x∆--+∆+-+∆+==-∆∆∆， ∴()'1=f -()00'(1)limlim 3=3x x yf x x ∆→∆→∆==-∆∆．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【解析】 ∵22(1)(1)3(1)363()y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆，∴263()63y x x x x x∆∆+∆==+∆∆∆， 0lim(63)6x x ∆→+∆=，即(1)6f '=． ∴函数2()3f x x =在1x =处的导数为6 ．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【解析】∵2200()()(1)(1)23()y f x x f x x x x x ∆=+∆-=--+∆+-+∆-=∆-∆，∴23()3y x x x x x∆∆-∆==-∆∆∆， ∴00(1)limlim(3)3x x yf x x ∆→∆→∆'-==-∆=∆．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '． 【解析】先求增量：2222444(2)()()x x x y x x x x x x ∆+∆∆=-=-+∆+∆， 再求平均变化率：224(2)()y x x x x x x ∆+∆=-∆+∆． 求极限，得导数：23004(2)8'limlim ()x x y x x y x x x x x∆→∆→∆+∆==-=-∆++∆．【总结升华】求导数的步骤和求导数值的步骤一样，叫三步法求导．举一反三：【变式1】求函数y=在(0,)+∞内的导函数．【解析】∵y∆==，∴y x ∆==∆==∴321lim2x y x -∆→'===-．【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．【解析】∵y ∆=∴yx ∆=∆==∴'()limx f x y ∆→'==．当2x =时，1'(2)4f ==．例3． 若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．【思路点拨】【解析】根据导数定义：0000[()]()'()limk f x k f x f x k→+--=-（这时增量x k ∆=－），所以000()()lim2k f x k f x k →--000[()]()1lim 2k f x k f x k →+--⎧⎫=-⋅⎨⎬-⎩⎭000[()]()1lim21221.k f x k f x k →+--=-⋅-=-⨯=-【思路点拨】（1）有一种错误的解法：根据导数的定义：0000()()'()limk f x k f x f x k→--=（这时增量x k ∆=），所以 000000()()()()11limlim 21222k k f x k f x f x k f x k k →→----==⨯=．（2）在导数的定义中，增量x ∆的形式是多种多样的，但不论x ∆选择哪种形式，y ∆也必须选择与之相对应的形式．利用函数()f x 在0x x =处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题．举一反三：【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时， （1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【答案】（1）00(1)(1)1(1)(1)1lim lim '(1)1222x x f x f f x f f x x →→+-+-===（2）00(12)(1)(12)(1)lim 2lim 2'(1)42x x f x f f x f f x x→→+-+-===【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【答案】()()()()()()[]00000000000000000()()lim()()lim()()lim21lim 2lim 1()2'()22'()2x x x x x f x x f x x xf x x f x x f x x f x x xf x x f x xf x x f x x x x f x af x a∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆∆+∆--∆+∆--∆∆-∆-∆-∆-=-=-∆∆--∆=-==-==【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．【答案】 原式0000()()()()lim2h f x h f x f x f x h h→+-+--=000000()()()()1lim lim 2h h f x h f x f x h f x h h →→+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦ 0000()()1'()lim 2h f x h f x f x h -→--⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦[]0001'()'()'()2f x f x f x =+=． 类型二：求曲线的切线方程例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【思路点拨】利用导数的几何意义，曲线在点P （1，2）处的切线的斜率等于函数21y x =+在1x =处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程． 【解析】先求切线的斜率()'1f ：()()22001+111lim lim x x x y x x∆→∆→⎡⎤∆++∆⎣⎦=-∆∆ ()0lim +2=2x x ∆→=∆，由条件可知()1=2f ，由点斜式可得，过点P 的切线方程为：22(1)y x -=-，即2y x =．【总结升华】求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 举一反三：【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程． 【答案】先求2'|x y =：∵22211(2)2+4222(2)x y x x x x x -∆⎛⎫∆=+∆+-=∆+∆+ ⎪+∆+∆⎝⎭，∴142(2)y x x x ∆-=+∆+∆+∆， ∴001115limlim(4)4=2(2)44x x y y x x x ∆→∆→∆-'==+∆+=-∆+∆．再求2|x y =：22119|=25=22x y =++．由点斜式得切线方程：()915--224y x =，即15480x y -+=． 【高清课堂：导数的几何意义 385147 例2】 例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．【思路点拨】本题要分点(1,1)P 是切点和(1,1)P 不是切点两类进行求解． 【解析】第一步：先求导函数．00()()limlimx x f x x f x xy y x ∆→∆→+∆-∆∆'==∆ ()()33322330222()lim3+3+=lim=lim 3+3+3=3x x x x x xxx xx x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→+∆-∆-∆=+∆∆∆∆∆g g g第二步：验证点(1,1)P 是否在曲线上． 由于()11f =，所以P 在曲线上． 第三步：分类讨论． ①若点P 是切点，则切线的斜率为()'13f =，于是切线方程为13(1)y x -=-，即32y x =-； ②若点P 不是切点，设切点为()()3000,1x x x≠．则切线的斜率为()200'3f x x =，于是切线方程为：320003()y x x x x -=- ． 由于切线经过点(1,1)P ，于是有3200013(1)x x x -=-，整理得：()()()()()()32322322200000000000023+1=22++1=221=21+11x x x x x x x x x x x x ()()2000=121x x x ()()200=12+1=0x x ，解得012x =-或01x =（舍去）． 所以切线方程是131+(+)842y x =，即3144y x =+． 综上所述，所求切线方程为32y x =-或3144y x =+． 【思路点拨】求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程． 举一反三：【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程． 【解析】先求导函数：20()lim33x yf x x x∆→∆'==-∆．再验证：3(2)232=2f =-⨯，所以点(2,2)在函数()f x 图象上．最后讨论：（1）当点(2,2)是切点时，切线的斜率为(2)9f '=，则切线方程为：9160x y --=．（2）当点(2,2)不是切点时，设切点坐标为3000(,3)x x x -．则切线的斜率为200()33f x x '=-（02x ≠），所以切线方程为()320000(3)=33()y x x x x x ----． 代入点(2,2)得：()3200002(3)=33(2)x x x x ----整理得：0432030=+-x x ⇒0)2)(1(200=-+x x ⇒10-=x ，此时切线方程为2=y ．综上所述，所求的切线方程为9160x y --=或2y =．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【解析】()200()()11'=limlim =x x f x x f x y x x x x x∆→∆→+∆--=-∆+∆ （1）由于点A 不在曲线上，设切点坐标为1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则切线的斜率为21'|=x a y a =-，切线方程为211()y x a a a -=--， 将()10A ，代入，得12a =．所以所求的切线方程为44y x =+ ．（2）令2113x -=-，解得x = 所以斜率为13-的切线的切点为⎭或⎛ ⎝⎭．所以所求的切线方程为133y x =-+或133y x =--． 【高清课堂：导数的几何意义 385147 例3】【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．【答案】 0(2+)(2)'(2)lim x f x f f x∆→∆=∆ 3230(2)2(2)(2)(282)=lim x x a x b x a a b a x∆→+∆++∆++∆+-+++∆ 20lim 1286()128x a b x x a b ∆→⎡⎤=+++∆+∆=++⎣⎦ 0g(2+)g(2)g '(2)lim x x x ∆→∆=∆220(2)3(2)2(2322)=lim x x x x∆→+∆-+∆+--⨯+∆ 0lim(1)1x x ∆→=+∆= 由条件可知：(2)0f =且'(2)'(2)f g =⇒2,5a b =-=，所以切线l 的方程：2y x =-．类型三：导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【思路点拨】【解析】()0(2)(2)'2lim t T t T T t∆→+∆=∆ ()0012012015152+57=lim 120=lim 77+120=49t t t tt ∆→∆→⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪∆+⎝⎭⎝⎭∆∆ ()()1202=C /min 49T '︒ 表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以()120C /min 49︒ 的速度下降． 【总结升华】解释导学的实际意义要结合题目中变化的事物（指自变量），它反映事物变化的快慢．举一反三：【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）． 【解析】00()()s t t s t s t t+∆-∆=∆∆ 220000000011[()()][]2212v t t a t t v t at tv at a t +∆++∆-+=∆=++∆ 2s t ∴=的瞬时速度是02v a +．【变式2】质点按规律()21s t at =+做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ）．若质点在 2 s t =时的瞬时速度为8 m / s ，求常数a 的值．【答案】质点 2 s t =时的瞬时速度为()'28s =．∵()222(2)2(2)1214()s s t ―s a t ―a a t a t ∆=+∆=+∆+⨯=∆+∆－， ∴4s a a t t∆=+∆∆． ∴()0'2lim4t s s a t ∆→∆==∆， 所以48a =，即a =2．。
导数的几何意义解析与归纳
导数的几何意义解析与归纳导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在几何学中也有着重要的几何意义。
本文将对导数的几何意义进行解析与归纳，以帮助读者更好地理解这一概念。
1. 导数的定义与几何意义首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下极限来定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h直观上，这个定义可以理解为函数f(x)在点x处的切线的斜率。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化趋势。
2. 导数与函数的递增与递减性根据导数的定义，我们可以得出以下结论：如果函数f(x)在某个区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，那么函数是递减的。
这是因为导数描述了函数的变化率，正值表示函数在该点上升，负值表示函数在该点下降。
3. 导数与函数的极值点导数还可以帮助我们找到函数的极值点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数为零，那么这个点可能是一个极值点。
具体而言，如果导数由正变负，那么这个点是极大值点；如果导数由负变正，那么这个点是极小值点。
这是因为导数为零表示函数的变化率为零，也就是函数在该点存在水平切线，可能对应着极值点。
4. 导数与函数的拐点除了极值点，导数还能帮助我们找到函数的拐点。
拐点是函数曲线由凸变凹或由凹变凸的点。
我们可以通过导数的变化来判断函数的拐点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数由正变负或由负变正，那么这个点可能是一个拐点。
5. 导数与函数的图像在坐标平面上，函数的导数可以帮助我们画出函数的图像。
我们可以通过导数的正负性来确定函数曲线的大致形状。
例如，如果导数在某一区间内始终为正，则函数在该区间上是递增的，曲线会向上凸起；如果导数在某一区间内始终为负，则函数在该区间上是递减的，曲线会向下凸起。
同样地，我们还可以根据导数为零或无定义的点来确定函数图像的特殊点，如极值点、拐点等。
导数的概念和几何意义
导数的概念和几何意义导数是数学分析中的一个重要概念，广泛应用于各个学科领域中。
它不仅有着重要的理论意义，也具有丰富的几何意义。
首先，我们来了解导数的概念。
在数学上，导数可以理解为函数在其中一点上的变化率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在其中一点$x_0$的邻近有定义，那么函数在此点的导数可以定义为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。
这个极限值即为导数。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像上其中一点切线的斜率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数为$k$，那么在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率为$k$。
这意味着，切线的斜率描述了函数在该点的变化趋势。
如果导数为正，代表函数在该点上升；如果导数为负，代表函数在该点下降；如果导数为零，代表函数在该点取得极值。
以一个简单的例子来说明导数的几何意义。
考虑函数$y=x^2$，我们可以求得其在点$x_0$处的导数为$2x_0$。
这个导数可以看做是函数$y=x^2$在点$x_0$处的切线的斜率。
比如，在点$(1,1)$处，导数为$2$，那么切线的斜率为$2$。
我们可以绘制出函数曲线$y=x^2$，并在点$(1,1)$处绘制出斜率为$2$的切线。
通过这条切线，我们可以近似描述函数$y=x^2$在点$(1,1)$处的局部行为。
导数的几何意义还可以通过函数图像的凹凸性来解释。
如果函数在其中一区间上的导数始终为正（或始终为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。
如果函数在其中一区间上的导数变号，则函数在该区间上存在极值点。
此外，如果函数在其中一点的导数为$0$，则函数在该点可能存在极值点，或者函数在该点处具有水平切线。
另外，导数还可以用于判断函数的连续性。
导数的概念及运算、几何意义
导数的概念及运算、几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝＝.y′|x＝x(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．2．导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f (x )±g (x )]′＝)(x f '±g ′(x )；②[f (x )·g (x )]′＝)(x f 'g (x )＋f (x )g ′(x )； ③])()(['x g x f ＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2(g (x )≠0)． 特殊情况[c ·f (x )]′＝c ·)(x f '．(3)复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1))(0x f '与[f (x 0)]′表示的意义相同．(×)(2))(0x f '是导函数)(x f '在x ＝x 0处的函数值．(√)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4))3sin('π＝cos π3.(×)(5)若(ln x )′＝1x ，则)1('x ＝ln x ．(×)(6)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．(×)(7)函数f (x )＝，由于f ′(0)无意义，则说明f (x )＝在x ＝0处无切线．(×)(8)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(9)若f (a )＝－x 2＋2ax ＋a 3，则f ′(a )＝2x ＋3a 2.(√)(10)过点P 作y ＝f (x )的切线，且P 在y ＝f (x )上，则P 一定为切点．(×)考点一 导数的运算[例1] (1)函数y ＝(1－x ))1(x +，则y ′＝________.解析：∵y ＝(1－x ))11(x +＝1x －x ＝2121x x --，='y 21232121----x x答案：21232121----x x (2)函数y ＝ln x x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)ln ('xx ＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 答案：1－ln x x 2(3)y ＝ln(2x ＋5)，则y ′＝________.解析：设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 答案：22x ＋5 (4)已知函数f (x )的导函数f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：f ′(x )＝2f ′(1)＋1x令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1，∴f ′(1)＝－1.答案：－1 [方法引航] (1)总原则：先化简解析式，再求导.(2)具体方法：①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.③复杂分式：化为简单分式的和、差，再求导.(3)区分f ′(x )与f ′(x 0)f ′(x )表示导函数，f ′(x 0)是导函数值.1．若函数y ＝tan x ，则y ′＝________.解析：y ′＝)cos sin ('xx ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . 答案：1cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若)(0x f '＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 解析：选B.由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e.考点二 导数的几何意义[例2] (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[方法引航] 导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f(x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.1．在本例中，若f (x )在P 点处的切线平行x 轴，求P 点坐标．解：∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，令3x 2－8x ＋5＝0得x ＝1或x ＝53，∴f (1)＝1－4＋5－4＝－2，f (53)＝－5827，∴P (1，－2)或P )2758,35(-. 2．在本例中，若f (x )不变，求f (x )过点(1，－2)的切线方程．解：设过点P (1，－2)的直线与y ＝f (x )切于点M (x 0，y 0)，∴其切线斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，y 0＝x 30－4x 20＋5x 0－4，其切线方程为y －(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －x 0)过点(1，－2)，即－2－(x 30－4x 20＋5x 0－4)＝(3x 20－8x 0＋5)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0－3)＝0∴x 0＝1或x 0＝32.∴切点为(1，－2)或)817,23(-，∴k 1＝0或k 2＝－14. ∴所求切线方程分别为y ＝－2.或y ＋178＝－14)23(-x ，即y ＝－14x －74.[易错警示]借问“切点”何处有——求曲线的切线方程时切点易错[典例] (2017·浙江杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[正解] 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x－9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A[易误] (1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系．[警示] ①“曲线y ＝f (x )在P 点处的切线”与“曲线过P 点的切线”不同，前者P 为切点，后者P 不一定为切点．②此类题首先确定点是否为曲线的切点．当不是切点时．应先设出切点．[高考真题体验]1．(2016·高考全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，x e x f x -=--1)(，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________．解析：当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝e x －1＋x ，而f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝e x －1＋x (x ＞0)，点(1,2)在曲线y ＝f (x )上，易知f ′(1)＝2， 故曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是y －2＝f ′(1)·(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1，∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.答案：13．(2012·高考课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析：y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，k ＝y ′|x ＝1＝4，切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.答案：y ＝4x －34．(2016·高考天津卷)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则)0(f '的值为________．解析：∵f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)·e x ，∴f ′(0)＝3.答案：35．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，)(x f '为f (x )的导函数．若)1(f '＝3，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ln 1＋a ＝3，解得a ＝3.答案：36．(2016·高考山东卷)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析：选A.对于A ，y ′＝cos x ，存在x 1，x 2，若cos x 1cos x 2＝－1，如x 1＝π，x 2＝2π，可满足，对于B ，其导数为f ′(x )＝1x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2＞0，故B 不满足；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2＞0，故C 不满足；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故D 不满足．故选A.课时规范训练A 组 基础演练1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足2)1(='f ，则)1(-'f 等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数且2)1(='f ，∴)1(-'f ＝－2.2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.切线l 的斜率k ＝4，设y ＝x 4的切点的坐标为(x 0，y 0)，则k ＝4x 30＝4，∴x 0＝1，∴切点为(1,1)，即y －1＝4(x －1)，整理得l 的方程为4x －y －3＝0.3．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2 B ．ln 2＋1 C ．ln 2－1 D ．ln 2解析：选C.∵y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，∴1x ＝12，解得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．将其代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1.4．曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(1，－1)C ．(1,3)D ．(1,0)解析：选C.y ′＝3x＋1，令y ′＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)．5．直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析：选C.由点P (1,4)在曲线上可得a ×12＋2＋ln 1＝4，解得a ＝2，故y ＝2x 2＋2＋ln x ，所以y ′＝4x ＋1x ，所以曲线在点P 处切线的斜率1|='=x y k ＝4×1＋11＝5.所以直线的方程为y ＝5x ＋b .由点P 在直线上得4＝5×1＋b ，解得b ＝－1，故选C.6．曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析：选C.y ′＝e x －1＋x e x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为2|1='==x y k7．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0，m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.8．在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A.依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y '＜1得3≤x 2＜103，显然满足该不等式的整数x不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图象上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.9．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选C.依题意，记g (x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f (x )＝xg (x )，)(x f '＝g (x )＋xg ′(x )，f ′(0)＝g (0)＝a 1a 2…a 8＝(a 1a 8)4＝212，故选C.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝)(1x f '，f 3(x )＝)(2x f '，…，f n ＋1(x )＝)(x f n '，n ∈N *，则f 2 019(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x解析：选A.∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 019(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A.B 组 能力突破1．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3解析：选C.法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x 2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.法二：令x ＝1得f (1)＝1, 由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2.2．已知函数f(x)＝a sin x＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，)(xf'为f(x)的导函数，则f(2 017)＋f(－2 017)＋)2018(f'－)2018(-'f＝()A．0 B．2 017 C．2 018 D．8解析：选D.设g(x)＝a sin x＋bx3，∴f(x)＝g(x)＋4，且g(－x)＝－g(x)，所以f(2 017)＋f(－2 017)＝g(2 017)＋4＋g(－2 017)＋4＝8，又因为f′(x)＝a cos x＋3bx2，所以f′(x)为R上的偶函数，则f′(2 018)－f′(－2 018)＝0，所以f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 018)－f′(－2 018)＝8，故选D.3．已知函数y＝f(x)及其导函数y＝)(xf'的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，所以切线方程为x－y－2＝0.答案：x－y－2＝04．已知函数f(x)的导函数为)(xf'，且满足f(x)＝3x2＋2x·)2(f'，则)5(f'＝________.解析：对f(x)＝3x2＋2x)2(f'求导，得f′(x)＝6x＋2)2(f'．令x＝2，得)2(f'＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2)2(f'＝6.答案：65．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x)＝x＋e x，则f′(1)＝________.解析：设e x＝t，则x＝ln t(t＞0)，∴f(t)＝ln t＋t，∴f′(t)＝1t＋1，∴f′(1)＝2.答案：26．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析：∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x.∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，x＋1x－a＝0，∴a＝x＋1x≥2.答案：[2，＋∞)。
5.1 导数的概念及其意义(精讲)(解析版)
5.1导数的概念及其意义一、物体的平均速度与瞬时速度1、平均速度设物体的运动规律是()s s t =，则物体在0t 到0t t +∆这段时间内的平均速度为()()00s t t s t s t t +∆-∆=∆∆2、瞬时速度（1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度；（2）一般地，当t ∆无限趋近于0时，st∆∆无限趋近于某一个常数v ，我们就说当t ∆趋近于0时，st∆∆的极限就是v ，这时v 就是物体在0t t =时的瞬时速度，即瞬时速度()()0000limlim t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆二、导数的平均变化率函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率1、定义式：2121()()f x f x y x x x -∆=∆-2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．3、意义：刻画函数值在区间[]12,x x 上变化的快慢．4、平均变化率的几何意义：设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 是曲线()y f x =上任意不同的两点，函数()y f x =的平均变化率211121()()()()f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆==∆-∆为割线AB的斜率，如图．【注意】Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负．5、求平均变化率的步骤：第一步：先计算函数值的改变量()21()y f x f x ∆=-；第二步：再计算自变量的改变量21x x x ∆=-；第三步：求平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-；三、函数()y f x =在x ＝x 0处的瞬时变化率1、瞬时变化率的定义定义式0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆实质瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值作用刻画函数在某一点处变化的快慢【注意】（1）“x ∆无限趋近于0”的含义x ∆趋于0的距离要多近有多近，即0x ∆-可以小于给定的任意小的正数，且始终0x ∆≠.（2）“函数()y f x =在0x x =的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系“函数()y f x =在0x x =处的导数”是一个数值，是针对0x 而言的，与给定的函数及0x 的位置有关，而与x ∆无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，x ∆无关．2、瞬时变化率的变形形式lim →lim →lim→lim →唸四、导数的几何意义1、切线的定义：当x ∆趋于零时，点B 将沿着曲线()y f x =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，直线l 和曲线()y f x =在点A 处“相切”，称直线l 为曲线()y f x =在点A 处的切线．2、导数的几何意义函数()y f x =在0x 处的导数，是曲线()y f x =在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．五、求曲线“在”与“过”某点的切线1、求曲线“在”某点处的切线方程步骤第一步（求斜率）：求出曲线在点()()00,x f x 处切线的斜率0()f x '第二步（写方程）：用点斜式000()()()y f x f x x x '-=-第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。
导数的定义及几何意义
导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）或df（x0）/dx。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
导数的几何意义：函数y=f(x) 在x=x0处的导数f′(x0)，表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的定义与几何意义例题和知识点总结
导数的定义与几何意义例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠。
它不仅在微积分中占据着核心地位，更是解决众多实际问题的有力工具。
让我们一同深入探索导数的定义与几何意义，并通过一些具体的例题来加深对其的理解。
一、导数的定义导数，从本质上来说，描述的是函数在某一点处的变化率。
如果给定一个函数＄y ＝ f(x)＄，那么在点＄x_0$ 处的导数可以表示为：＄f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＄这个极限值反映了函数在＄x_0$ 点处的瞬时变化率。
为了更好地理解导数的定义，我们来看一个简单的例子。
例 1：设函数＄f(x) ＝ x^2$，求＄f'（2)＄。
解：＼＼begin{align}f'（2)＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(2 ＋＼Delta x)f(2)｝｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{（2 ＋＼Delta x)＾2 2^2}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{4 ＋ 4\Delta x ＋（＼Delta x)＾2 4}｛＼Delta x}＼＼＆＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} （4 ＋＼Delta x)＼＼＆＝ 4＼end{align}＼二、导数的几何意义导数的几何意义是函数在某一点处切线的斜率。
对于函数＄y ＝f(x)＄，在点＄（x_0, f(x_0)）＄处的切线斜率就是＄f'（x_0)＄。
例如，对于函数＄y ＝ x^2$，在点＄（1, 1)＄处的切线斜率为＄f'（1) ＝ 2$。
例 2：求函数＄f(x) ＝＼sqrt{x}＄在点＄（4, 2)＄处的切线方程。
导数的概念及几何意义
（1）求物体在时间区间[t0 , t0 t] 上所经过的路程 :
S S(t0 t) S(t0 ) ，
（2）求物体在时间区间[t0 , t0 t] 上的平均速度:
v S S(t0 t) S(t0 ) ，
t
t
（3）求 t0
时刻 的速度: v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
S(t0
x0 点的导数，记作
f ( x0 ) ，或 y xx0
，
或 dy dx
x x0
，即
f ( x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f ( x0 )
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x x0
7
1.1 导数的概念与导数的几何意义
若极限 lim y 不存在，则称函数 f x0 x
f( x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
lim f ( x) f ( x0 ) ；
x x0
x x0
9
1.1 导数的概念与导数的几何意义
若极限 lim y 存在，则称此极限为 f ( x) 在 x0 x
点 x0 处的右导数，记为 f( x0 ) ，即
f (t) f ( x0 ) 。 t x0
（2）由导数定义可得， v(t0 ) s(t0 ) （导数的物理意义）；
k f ( x0 ) （导数的几何意义）；
8
1.1 导数的概念与导数的几何意义
（2）单侧导数
定义 2 若极限 lim y 存在，则称此极限为 f ( x) x0 x
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数是微积分中的一个重要概念，它不仅在数学中有着重要的作用，同时也具有丰富的几何意义。
本文将探讨导数的几何意义，并从几何的角度解释导数的概念及其应用。
一、导数的定义及其几何意义导数可以用极限的方法定义为函数在某一点处的斜率。
具体来说，对于函数f(x)，如果在点x处的导数存在，则导数可以表示为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h从几何的角度来解释，导数代表了函数在该点处的切线斜率。
函数的图像在任意一点处的斜率可以用导数来计算。
二、导数与函数图像之间的关系1. 导数与函数的增减性给定一个函数f(x)，如果在某一区间内导数为正，说明函数在该区间内是递增的；若导数为负，则函数在该区间内是递减的。
当导数为零时，函数存在极值点。
2. 导数与函数的凸凹性函数的图像在某一点处凸起（开口向上）时，该点的导数为正；反之，函数在某一点处凹陷（开口向下），该点的导数为负。
3. 导数与函数的位置和曲线的切线通过导数的值和符号，可以确定函数图像在某一点的位置和该点处的切线的斜率。
当导数为零时，函数图像相对于x轴达到极值，切线斜率为零；当导数不存在时，函数图像在该点处出现尖点或间断，不存在切线。
三、导数的应用场景1. 切线方程导数可以帮助我们确定函数图像上任意一点处的切线方程。
通过求解导数，可以得到切线的斜率，再结合给定点的坐标，可以得到切线的方程。
2. 曲线的拐点导数的零点可以帮助我们找到函数图像上的拐点。
当导数在某一点处从正变为负或者从负变为正时，说明函数图像在该点存在拐点。
3. 函数的极值问题通过求导数，我们可以得到函数的极值点。
导数为零的点可能是函数的极大值点或者极小值点，通过二阶导数的符号可以帮助我们判断。
四、总结导数在几何中的意义非常重要，它不仅可以帮助我们理解函数图像的性质，还可以应用于求解切线方程、拐点和极值等问题。
通过几何的角度理解导数，我们可以更深入地掌握微积分知识，并将其应用于实际问题解决中。
3.1 导数的概念及几何意义、导数的运算
∴x2=-2x1,∴f
'(x2)=3 x22=12 x12.∴
f f
'(x1) = 1 .
'(x2 ) 4
(2)由题意,得f '(x)=2x.
设直线与曲线相切于点(x0,y0), 则所求切线的斜率k=2x0,
由题意知2x0= y0 0 = y0 ①.
x0 1 x0 1
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又y0= x02 ②,所以由①②解得x0=0或x0=-2, 所以k=0或k=-4, 所以所求切线方程为y=0或y=-4(x+1), 即y=0或4x+y+4=0. 答案 (1) 1 (2)y=0或4x+y+4=0
2
2
(4)y'
=
cos ex
x
'=(cos
x)
'ex cos (ex )2
x(ex
)'
=-
sin
x cos ex
x.
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方法二 求曲线y=f(x)的切线方程
1.求“在”曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程,则点P(x0,y0)为切点,
'(x1)(x0 x1),
点A(x1,y1),代入方程y-y1=f '(x1)(x-x1),化简即得所求的切线方程.
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例2 (1)(2018江苏淮安高三期中)已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1,
f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2, f(x2)),记f '(x)为函数f(x)的导
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点上的变化率。
导数的几何意义是一个函数在其中一点上的斜率或切线的斜率。
假设有一个函数y=f(x)，表示自变量x与因变量y之间的关系。
在函数图像上，选取其中一个点P(x,f(x))，然后再选取另一个与点P非常接近的点Q(x+△x,f(x+△x))。
△x表示x的一个小的增量。
这两个点的连线被称为割线，割线的斜率可以表示为：斜率=(f(x+△x)-f(x))/△x当△x逐渐接近于0时，割线的斜率会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在点P处的导数。
数学表达式可以表示为：f'(x) = lim(△x→0) (f(x + △x) - f(x)) / △x导数也可以用微分法的符号(dx / dx)表示。
导数可以表示函数的变化率，即在特定点上函数的斜率。
导数的值可以为正、负或零。
导数的几何意义是函数的图像在其中一点上的切线的斜率。
切线是函数图像上与这个点非常接近的直线。
切线的斜率与点的导数值相等。
当导数值大于0时，说明函数图像在该点上是递增的，切线是向上的。
当导数值小于0时，说明函数图像在该点上是递减的，切线是向下的。
当导数值等于0时，说明函数图像在该点上是平的，切线是水平的。
导数还可以提供其他有用的几何信息。
例如，函数在其中一点上的导数值越大，函数曲线在该点附近弯曲得越急。
函数的导数也可以帮助确定函数的拐点。
拐点是函数图像的曲线从凹向上凸或从凸向上凹的点。
导数的计算方法有很多种。
有些函数可以通过求导公式直接计算导数，这些被称为可导函数。
例如，如果函数是关于x的幂函数，如f(x) =x^n，其中n是一个常数，那么它的导数可以通过将指数降低1并将结果乘以原指数来计算，即f'(x) = nx^(n-1)。
还有一些常见的函数，如正弦函数、余弦函数和指数函数，它们也有特定的求导公式。
除了直接求导的公式之外，还可以使用导数的基本性质来求导。
导数的概念及导数的几何意义
导数的概念及导数的几何意义The final edition was revised on December 14th, 2020.导数的概念及导数的几何意义一．知识梳理1、导数的概念及意义求函数()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率=∆∆xy ； （3）取极限，得导数y '= . 特别提醒：)(0/x f 的定义式并不唯一，=')(0x f 0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，也可以写成00000)()(lim ,)()(lim 0x x x f x f x x x f x f x x x --∆∆--→→∆等形式. 特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别与联系 曲线)(:x f y C =在点（x 0，y 0）处的导数的几何意义是)(x f 在该点处的切线的 ，即=k .切线方程为 . 物理意义:设物体运动规律是),(t s s =则 表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度；设)(t v v =是速度函数，则 表示物体在t =t 0时刻的加速度.2.常用导数公式3.导数的运算法则 .例1.用导数的定义求函数2231y x x =+-在3x =处的导数. 例2.求下列函数的导数：（1）31sin 3y x x =+- ； （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan = ； （4）x e y x ln = （5）1xe y x =+ 例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.巩固练习1.知,)(2x x f -=则xf x f x ∆-∆+→∆)3()3(lim 0的值是________． 2.函数3x y =在1=x 处的导数为_______;3.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a ________．4.若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则直线l 的方程为________．5.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为________． 6.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是221+=x y ,)1()1(/f f += . 7. 直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ． 8.已知函数.ln x x y =（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.5. 求双曲线1y x =过点1(2,)2的切线方程。
导数的概念及其几何意义
4.导数的几何意义 导数的几何意义
在点x 函数 y=f(x)在点 0处的导数的几何意义，就是曲 在点 处的导数的几何意义， 在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线 处的切线的斜率， 线 y=f(x)在点 在点 处的切线的斜率 即曲线y= f(x)在点 在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ′( x0 ). 在点 故曲线y=f(x)在点 曲线 在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是 处的切线方程是: 在点 处的切线方程是
导数的概念及其几何 意义
一、导数的概念 定义：设函数 在点x 定义：设函数y=f(x)在点 0处及其 在点 附近有定义,当自变量 在点x 当自变量x在点 附近有定义 当自变量 在点 0处有改 变量Δ 时函数有相应的改变量 变量Δx时函数有相应的改变量 如果当Δ → Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx→0 如果当 的极限存在,这个极限就叫 时,Δy/Δx的极限存在 这个极限就叫 Δ Δ 的极限存在 做函数f(x)在点 0处的导数 或变化率) 在点x 或变化率 做函数 在点 处的导数(或变化 记作 f ′( x )或y′ | , 即:
2
求函数y = x 在点(−2, 4)处的切线.
2
例3求函数y = x 在x0 = 1处的切线.
3
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导数的定义及几何意义编辑整理：烟花四月注：①函数应在点X o 的附近有定义，否则导数不存在。
②在定义导数的极限式中， x 趋近于0可正、可负、但不为0,而 y 可能为0。
③一y 是函数y f (x)对自变量x 在x 范x围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线y f (x)上点(X 0 , f(x °))及点(x °+ x ,点X 0的处瞬时变化率，它反映的函数y f (x)在X 0点处变化的快慢程度， 它的几何意义是 曲线y f (x)上点(X 0, f(x °))处的切线的斜率。
⑤若极限lim 丄^°__X)―不X 0X存在，则称函数y f (x)在点X 0处不可导。
⑥如果函数yf (x)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数 y f (x)在开区间(a,b)内可导；此时对于每 一个x € (a,b)，都对应 着一个确定的导数f lx)，从而构成了一个新的函数 f lx)，称这个函数 f /(x)为函数y f (x)在开区间(a,b)内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是 求导函数值。
[举例 1]若 f /(x °) 2，则 limf(X0k)一等于：k 02k(A) -1 (B) -2(C) 1(D) 1/21- f /(x o )lirfx 0X )f(X o )叫函数y xf (x)在 xx o 处的导数，记作y /|x x 0f(X 0X 0))的割线斜率。
④导数f /(X 。
)lim f(X0x)f(X0)是函数x 0xf (x)在解析：••• f /(x 0) 2，即 limf[X o( k)] f(X o)=2k 0x0/V -T叫Hk ［举例2］已知a 0,n 为正整数•设y (x a)n，证明 y' n(x a)n解析：本题可以对 y (x a)n 展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明:lim ax 0nx a)n(x a)=x0(x a)nC ：(x a)n1x C ；(x a)n2( x)2C n n( x)n(x a)n[巩固2]设C 是成本，q 是产量，成本与产量的函数关系式为C——q) C(qo)刻划.如果q 无限趋qqC近于0时，—C 无限趋近于常数 A ,经济学上称A 为边际成本•它表明当产量为q 0时，增q加单位产量需付出成本 A (这是实际付出成本的一个近似值)。
设生产x 个单位产品的总成2x 本函数是C(x) — 8 + ，贝性产 8个单位产品时, 边际成本是：() A . 2B . 8C . 10D . 162.常用导数公式：C'0,(x n)'n 1/ x 、/nx ,(e )e x, (ln x)/1;导数的运算法则：若函数f(x)与g(x)的导数存在，则[f(X ) g(x)]'f'(x) g'(x),[cf(x)]' c f'(x) , [f(x)g(x)]/ f /(x)g(x) f (x)g /(x)；(丄0)/ f(x )g(x )2 f (x)g (X)(这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比)g(x)g (x)复合函数的导数：由 y f(u)与u = (x)得到复合函数y f (x)，贝U y x = y u .U x 。
解析：f /(1)是常数，••• f /(x) 3x 2 2xf /(1) 1 f /(1) =3+2 f /(1)-1 f /(1) = -2 二 f /(x) 3x 24x 1，故fl2)=3。
123n[举例 2] n N , C n 2C n 3C n n 6= ___________ 。
解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法( kC ： = n C ： 1 )；这里，我 们观察(1 x)n C 0 C ；xC ：x 2C ；x 3C ；x n①，不难发现其通项C ：x k求导后的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得:C ： 2Cn 3Cn nC n = n 2nn(x limx 0n 1 2 n 22a) X C n (x a) ( x)xC ；( x)nlim[n(x a)n 1C ：(x a)n 2x C ；(x a)n 3( x)2x 0C n (x)n1]= n(x a)n1[巩固1] 一质点作曲线运动, 定义求t =3时的速度。
它的位移S 与时间t 的关系为:t 222t ，试用导数的C = C (q ),当产量为q o 时,产量变化 q 对成本的影响可用增量比3[举例1]已知f (X ) xx 2f /(1) x ，则 f /(2)= _____________n(1 x)n C n 2C：x 3C；x2nC；J x n 1，令x=i 得：. . 2 /［巩固1］已知 f (x) x 1 In x 2aln x(x 0).令 F (x) xf (x)，贝U F (x) = __________________ 。
［巩固2］已知函数f(x) (x 1)(2x 1)(3x 1) (nx 1)，贝U f /(0)的值为：A. Cn B . C21 C . An D . An 13.函数f(x)在x x o处的导数f'(X o)的几何意义：曲线C : y f (x)在其上点P(X o , y o)处的切线的斜率。
用导数研究切线问题，切点是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率)。
1x 2［举例1］曲线y e2在点(4, e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )9 2 2 2 2A.—eB. 4e c. 2e D. e (07 高考海南理10)21 1x / 1 2 x 2 1 2解析：ye2y ^e ,则］曲线在点(4, e )处的切线斜率为：^e ,1•••切线方程为：ye -e (x 4)，它与坐标轴的交点分别为：(2, 0), (0, -e )；•••切线与坐标轴所围三角形的面积为：e2，选Dt［举例2］函数y f(x)的图象在点P处的切线方程是：y x 8，若点P的横坐标为5, 则f (5) f/⑸= 。
解析：本题没有函数表达式，但有切线方程y x 8，注意到“切点在切线上”，• ( 5,3)；又“切点在曲线上” ，• f (5) 3 ；而曲线y f(x)在点P处的切线斜率为f/(5),即f/(5) =-1，故f (5) f/(5) =2o2［举例3］已知直线x y 1 0与抛物线y ax相切，则a ___________ .解析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使得到的一元二次方程的判别式=0, 从而求出a的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其它的非二次曲线，则此路不通。
以下用“导数”求解：“切点”是关键，记切点P ( x0，y0)，y/2ax，则有：2X。
y°1 0 (切点在切线上)①；y ax°(切点在曲线上)②12ax°=1 (切点横坐标的导函数值为切线斜率)③；由①②③解得： a - o41［巩固1］已知函数y f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线方程是y —x 2，则2f (1) f (1) ________ . ( 07 高考湖北文13)-上的动点，设点P 处切线的倾斜角为 ，贝y 的取值范3［巩固3］若直线y=x 是曲线y=x 3-3x 2+ax 的切线，贝U a=f(x)上过点M 的切线”与“求曲线 y f(x)上在点M 处的切 线”；前者只要求切线过 M 点，M 点未必是切点；而后者则很明确，切点就是 M 点。
［举例］求函数y=x 3-3x 2+x 的图象上过原点的切线方程解析：易见0 ( 0, 0)在函数y=x 3-3x 2+x 的图象上，y=3x 2— 6x+1,但O 点未必是切点。
设切点A ( X o ,y o ) •/ y =3x 2 — 6x+1,二切线斜率为3x 。
2 — 6x °+1,又切线过原点，y ok AO - =3x 02— 6x 0+1 即：y 0=3x 03— 6x °2+x 0①X 。
又T 切点 A (x °,y 0)y=x 3-3x 2+x 的图象上二 y °=X 03— 3x °2+x 0 ②3由①②得：X 0 =0或X 0 =，二切线方程为：y=x 或5x+4y=02点评：一般地，过三次曲线的对称中心(不难证明三次曲线一定是中心对称图形，且对称中 心在曲线上)的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。
以下给出简单证明(不要求学生掌握)：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点便可将三次函数的解析式简化为 f (x) ax 3bx 。
若M (x i , y i )是三次中心即x i 0时，过点 M 作曲线的切线可产生两个不同的切点，故必有两条切线，其 中一条就是以M 为切点(亦即曲线在点 M 处)的切线。
［巩固］曲线y x 3 2x 2 4x 2上过点(i , 3)的切线方程是 _____________________ .3［巩固2］点P 是曲线y x x 围是A 、 0 —，2B 、 0,23 ~4D 、4、注意区分“求曲线 y 曲线f (x) ax 3bx 上的任一点，设过M 的切线与曲线y=f (x )相切于(X 0, y 0),贝U 切线方程为y y 0f (X 0)(X X 。
)，因点M 上此切线上，故y iy 。
f (X °)(X i X 0)，又 y ax 03bx 0,y i3■3.#3ax-! bx-!，所以 ax ibx i (ax 0 2bx °) (3ax 0b)(X i x °),整理得：(x ° X i )2(2X 0 X i ) 0，解得，X 0 X i 或 X 0X-j ,-。
当点M 是对称中心即X i =2-X i =0时，过点M 作曲线的切线切点是惟一的,2且为M,故只有一条切线；当点M 不是对称答案32321.［巩固 1］ ,［巩固 2］A , 2、［巩固 1］ F （X ） 1 -27 x3、［巩固 1］ 3,［巩固 2］B ，［巩固 3］1 或；4、［巩固］5xy 20,或 21x 4y 94x 2,x 0 ;［巩固 2］B ;x13。