2013-2014(1)高数大作业

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13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。

得分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。

14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。

华农-2013-2014(1)大学数学1试卷(A卷)参考答案

第 1 页共 3 页华南农业大学期末考试试卷（A 卷）参考答案2013-2014学年第 1 学期考试科目：大学数学Ⅰ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟一、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. C2. B3. D4. C5. A二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1. 2e -2. 33. 12-4. -15. 640220002-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭6. 3, 124,,ααα (注: 答案不唯一)三、计算题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共35分）1. 解 00111lim lim 1(1)x x x x x e x x e x e →→--⎛⎫-= ⎪--⎝⎭(2分) 01lim x x e xx x→--=⋅ (3分) 01lim 2x x e x→-= (5分) 01lim 22x x e →==. (7分) 2. 解 2arctan 1xy x x'=++, (3分) 22222211221(1)(1)x x x y x x x +-⋅''=+=+++. (7分)3. 解22x xx e dx x de --=-⎰⎰22x x x e xe dx -=-+⎰ (2分) 22x x x e xde -=--⎰第 2 页共 3 页()22x x x x e xe e dx --=---⎰ (5分) 22()x x x x e xe e C --=--++2(22)x x x e C -=-+++. (7分)4. 解2122111()ln f x dx x dx xdx --=+⎰⎰⎰ (2分)[] 123111ln 3x x x x -⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦12ln 23=-. (7分)5. 解12(2)sin y zy x y x x-∂=+-∂, （3分）由ln(2)(2)cos cos y y x y z x y x e x +=++=+, 得[]ln(2)ln(2)(2)ln(2).2y x y y y z y e y x y x y x y y x y +⎛⎫∂'=⋅+=+++ ⎪∂+⎝⎭ （7分）四、解答题（本大题共 4 小题，每小题 8 分，共32分） 1. 解依题意，220,0x x y y =='''=<，即40, 20a b a -=<. (1) (2分)又曲线bx ax y -=2与x 轴的交点坐标为()(0,0),,0(4,0)b a=， (4分)所以曲线与x 轴所围图形的面积为42064()883ax bx dx a b -=-=⎰ (2) (6分) 联立(1)、(2), 解得3, 3.4a b =-=-. (8分)2．解积分区域为2{(,)|01,}D x y y y x y =≤≤≤≤ (2分)210cos cos y y Dyy dxdy dy dx y y =⎰⎰⎰⎰ (4分) 1(1)cos y ydy =-⎰ (5分)11cos cos ydy y ydy =-⎰⎰1cos1.=- (8分)第 3 页共 3 页3. 解（1）TAB =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ (2分)=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. (4分)（2）因为1203402121A ==--， (6分)所以， 34464(2)128A A ==⨯-=-. (8分) 4. 解方程组的增广矩阵2131210211021113201112130141r r r r A λλ+---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭,32102101110050r r λ+-⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭. (3分)(1) 当5λ≠时, ()()3R A R A n ===, 方程组有唯一解； (4分) (2) 当5λ=时，()()23R A R A n ==<=，方程组有无穷多解， (5分)此时得同解方程组1323121x x x x =--⎧⎨=+⎩（3x 为自由未知量），取3x k =，得通解为1231211,.01x x k k R x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(8分)。

2013-2014高等数学A(1)_A卷答案

π 和 y 轴所围成的图形绕 y 轴所围成的图形 2
π
六 (7 分) 求由曲线 y = arcsin x (0 ≤ x ≤ 1) ， y = 绕 y 轴旋转的旋转体体积. 解： Vy = π
∫
π 2
0
sin ydy = π ∫
2
π 2
0
2 1 − cos 2 y 1 ⎡1 ⎤2 π . dy = π ⎢ y − sin 2 y ⎥ = 2 4 ⎣2 ⎦0 4
−1 0
−1
−1
0
t 0 dt = [t − 2 ln(2 + t ) ]−1 = 1 − 2 ln 2 . 2+t
三、计算下列各题. (每小题 6 分，满分 24 分) 1.
∫ x( x
1
2
+ 1)
dx . (拆项) 解： ∫
1 1 x dx = ∫ ( − 2 )dx = ln | x | − ln( x 2 + 1) + C . x( x + 1) x x +1 2
x − 1 ln x = 0 ； f (1) = 0 ；
因 f (1 ) = f (1 ) = f (1) ，故 f ( x) 在 x = 1 处连续. (2) f −′(1) = lim −
x →1
−
+
−1 − ln x f ( x) − f (1) 1 − x ln x x = lim = = = 0； lim lim 1 x →1− x →1− x −1 x −1 1 − x x →1− − 2 1 −x
∫
四 (7 分) 试分析函数 f ( x ) = | x − 1| ln x ， ( x > 0) 在 x = 1 处的连续性和可导性(说明理由). 解：(1) f (1 ) = lim f ( x) = 1 − x ln x = 0 ； f (1 ) = lim f ( x) = − +

2013-2014学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷(理科)

曲靖市2013—2014学年度第一学期期末统一考试高三数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为 ( ) A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．753．“22ab >”是 “22log log a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（） A ．[0,]4πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππD ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（）A ．521B ．27C ．13D ．8217．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（） A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤88．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值.其中所有正确的命题的序号是（）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．在二项式()62+x 的展开式中，含3x 的项的系数是__________10．曲线2:x y C =、直线2:=x l 与x 轴所围成的图形面积为_________11．已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a '=+-=若在处取得极大值，则a 的取值范围为__________12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 13．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则OB OA ⋅的值是14．如下图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：C1BA 241357341315171944616365672213323542792313533791143252729仿此，26的“分裂”中最大的数是；32013 的“分裂”中最大的数是；三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点(0,1)F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且三角形MBC 的面积为π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若((0,)62f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 211-= (*n N ∈). （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1.17．（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （Ⅰ）求证：//EF 平面1BDC ;（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b=，试求出ˆa 的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．(本小题满分14分) 已知函数()b ax x x f +-=331，其中实数b a ,是常数．（Ⅰ）已知{}2,1,0∈a ，{}2,1,0∈b ，求事件A ：“()01≥f ”发生的概率；（Ⅱ）若()x f 是R 上的奇函数，()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值，求当1≥a 时A 1x()a g 的解析式；（Ⅲ）记()x f y =的导函数为()x f '，则当1=a 时，对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=，求实数b 的取值范围．20．(本小题满分14分) 已知函数()2ln bf x ax x x=--，(1)0f =. （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14a =，求证：22n a n ≥+；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较1231111...1111n a a a a ++++++++与25的大小，并说明你的理由.中山市高三级2012—2013学年度第一学期期末统一考试数学试卷（理科）答案一、选择题二、填空题9．160； 10．83； 11．01<<-a ； 12．326+； 13．12-；14．11（本空2分）；3m （m 为奇数）的“分拆”的最大数是21m m +-，所以2201320124054181+=（本空3分，写成“220132012+”或“4054181”都给3分）三、解答题15．（本小题满分12分）解：（I ）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π== ……….2分由(0)2sin 1f ϕ==，得1sin 2ϕ=， ……………………………………3分∵02ϕπ<<，∴6ϕπ=，∴()2sin()6f x x π=+． …………………………………………….6分（Ⅱ）由()2sin 6f ααπ-=sin α=， ∵(0,2απ∈，∴cos α=， ∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===，∴cos(2)cos2cos sin 2sin 444αααπππ+=-3455==． …………………….12分16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差0d >，∴355,9a a ==，公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ( *n N ∈)………………4分又当n=1时，有b 1=S 1=1－.32,2111=∴b b 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列，.31,321==q b ∴.3211nn n q b b ==- ( *n N ∈) …………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知,3)12(2,3)12(211+++=-==n n n n n n n c n b a c …………10分∴.03)1(83)12(23)12(2111≤-=--+=-+++n n n n n n n n c c ∴.1n n c c ≤+ …………………………12分在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点，11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴ //,EF BD ∴BD ⊆ 平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D//EF ∴平面1BC D…………………….7分（II ）设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AEV V AB AC CAB A A --⨯⋅∠⋅=⋅⋅∠⋅ 111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅112416AG AC ∴⋅=， 32AG AC ∴=， 32AG AC AC ∴=> 所以符合要求的点G 不存在 ……………………….14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ， ∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个： (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，，其中事件A ： “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件： (00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，，故62()93P A ==．即事件“(1)0f ≥”发生的概率23…………………….4分（Ⅱ）31(),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==（5分）∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-,① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，从而1()(1)3g a f a ==-； ② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，从而1()(1)3g a f a =-=-+, 综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩…………………….9分（Ⅲ）当1=a 时，()()1,3123-='∴+-=x x f b x x x f当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时()()()上递增上递减，在在2,11,0x f ∴，即()()b f x f +-==321m in 又()()()0322,0f b f b f >+== ，[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈∈∴b b x f x 32,3220时，，当而()[]210,2f x x x '=-∈在上递增，()[1,3]f x '∈-对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得)()(21x f x f '=()()f x f x '∴⊆的值域的值域，[]22-,1,333b b ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦即∴ 2-13b +≥-且233b +≤，解得13-73b ≤≤.…………………….14分20．(本小题满分14分)解（Ⅰ） (1)0f a b a b =-=⇒= ，()2ln a f x ax x x ∴=--， 22 ()a f x a x x'∴=+-. 要使函数()f x 在其定义域内为单调函数，则在定义域(0,)+∞内， ① 当0a =时，2()0f x x'=-<在定义域(0,)+∞内恒成立，此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意； ②当0a >时，要使222111 ()()0a f x a a a x x x a a '=+-=-+-≥恒成立，则10a a-≥，解得1a ≥；此时函数()f x 在其定义内为单调递增函数，满足题意；③ 当0a <时，22()0a f x a x x'=+-<恒成立；此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞；…………………….4分（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）（Ⅱ）由题意知(1)0f '=，可得20a a +-=，解得1a =，所以21()(1)f x x'=-于是/2211(1211n n n n a f n a na a n +=-+=-+-+，下面用数学归纳法证明22n a n ≥+成立，数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，14212a =≥⨯+，不等式成立；（ii ）假设当n k =时，不等式22k a k ≥+成立，即22k a k -≥成立，则当1n k =+时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++，所以当1n k =+时，不等式也成立，由（i ）（ii ）知*n N ∀∈时都有22n a n ≥+成立. …………………….8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得1111(22)1[2(1)222]121n n n n n a a a n a n n a ----=-++≥-+-++=+，（*,2n N n ∀∈≥）于是112(1)n n a a -+≥+，（*,2n N n ∀∈≥）成立，所以2112(1)a a +≥+，3212(1),...a a +≥+，112(1)n n a a -+≥+成立累乘可得：1112(1)n n a a -+≥+，则1111112(1)n n a a -≤++成立，（*,2n N n ∀∈≥）所以1231111...1111n a a a a ++++++++2111111212(1...)(1)1222525n n a -≤++++=-<+.。

2013-14-1高等数学试题参考答案及评分标准(A卷)

2013-14-1高等数学期末考试（试卷A ）参考答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、ln(dy x dx = 2、(0)f e = 3、(0,14]4、212x x C -+ 5、212()x y C C x e -=+ 二、选择题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、B2、C3、A4、D5、A三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：原式=22111arctan arctan arctan 11xdx xdx xdx x x ⎛⎫-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰…………………2分 arctan arctan arctan arctan x x xd x xd x =--⎰⎰………………………………4分()()22211arctan arctan arctan ln arctan 122x x x dx x x x x C x =--=-++⎰…7分 2、解：令2sin x t =，则2cos dx tdt =，原式02sin 2cos 2cos t t tdt π=⋅⋅⎰………………3分2300888cos cos cos 33td t t ππ=-=-=⎰………每步2分 3、解：作图（略）。

所求22a a a V dx x π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰………………………………………………4分 2212aa a a x ππ=-=……………………………………………7分四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：原式=2420ln(1)lim cos sin x x x x x→++………………………………………………………3分 2420lim cos 1x x x x x→+==…………………………………………………………7分 2、解：由题意，0t =时，0,1x y ==；且有(1)t dx e t dt=+，同时第二个方程两端同时对t 求导，有t tyt tydy ye ye dt e te +=-+………………………………4分故0012(1)t ty t ty t t t dy ye ye dx e te e t ==+=-⋅=-++……………………………………………………7分 3、解：1()P x =，()x Q x =，于是所求通解为：()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰……………………………………………………3分 dx dx e x e dx C -⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰1x Ce x -+-=……………………………………………每步2分五、证明下列各题(本大题共3小题，每小题6分，总计18分)1、证：因00()()()a a a a f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰，而000()()()x t a a a f x dx f t dt f x dx =--=--=-⎰⎰⎰，故命题得证。

2013-2014高一数学期末试题及答案

2013-2014学年第一学期第二学段高一数学模块检测时间 120分钟分数 150分第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列说法正确的是A 三点确定一个平面B 两条直线确定一个平面C 过一条直线的平面有无数多个D 两个相交平面的交线是一条线段2．若过坐标原点的直线l 的斜率为3-，则在直线l 上的点是A )3,1(B )1,3(C )1,3(-D )3,1(-3．某建筑物的三视图如图所示，则此建筑物结构的形状是 A 圆锥 B 四棱柱C 从上往下分别是圆锥和四棱柱D 从上往下分别是圆锥和圆柱 4．直线0=-y x 与02=-+y x 的交点坐标是A ．)1,1(B ．)1,1(--C ．)1,1(-D ．)1,1(- 5. 已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为A .1:3 B.1: C.1:9 D.1:816．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为A. -8B. 0C. 2D. 107．圆0622=-+x y x 的圆心坐标和半径分别是A ．9),0,3(B ．3),0,3(C ．9),0,3(-D ．3),0,3(- 8．直线02)32()1(:03)1(:21=-++-=--+y k x k l y k kx l 和互相垂直，则k 的值是A -3 或1B 0C 0或-3D 0或1 9．圆221x y +=上的动点P 到直线34100x y --=的距离的最小值为 A.2 B.1 C.3 D.410．直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于A. B . C. D.11.设,m n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题：①//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭②//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ③//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭ ④////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭ 其中，真命题是（） A.①④ B.②③ C.①③ D.②④12．若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交，则点P （),b a 与圆的位置关系是 A 在圆上 B 在圆外 C 在圆内 D 以上都不可能第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.13．一个圆锥的母线长是20cm ，母线与轴的夹角为030，则圆锥的底面半径是 cm.14.圆心在直线y=2x 上，且与x 轴相切与点（-1，0）的圆的标准方程是 .15．一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为45 ，腰和上底均为1. 如图，则平面图形的实际面积为.16．空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球的半径是．三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17、（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V －ABCD 中，A CB D MV M与交于点，是棱锥的高，若6cm AC =， 5cm VC =，求正四棱锥V -ABCD 的体积．18、（本小题满分12分）如图，在平行四边形OABC 中，点C （1，3）．（1）求OC 所在直线的斜率；（2）过点C 做CD ⊥AB 于点D ，求CD 所在直线的方程． 19、（本小题满分12分）求过点(2,4)A 向圆422=+y x 所引的切线方程。

2013-2014南昌大学大一第一学期高数考试试卷及答案

一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设对任意x ，总有ϕ(x )≤f (x )≤g (x )，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，则)(lim x f x ∞→ ( )A.存在且等于零B.存在但不一定等于零C.一定不存在D.不一定存在 2. x =0是函数xx x f 1sin )(=的( )A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点 3.下列函数的弹性函数不为常数的为( )，其中a , b , α为常数 A. y =ax +b B. y =ax C.xa y = D. y =x α 4.若函数f (x )在点x 可微，则当∆x →0时，∆y -dy 较之dy 为( )无穷小A.同阶B.等价C.低阶D.高阶 5.设f (x )在区间[a , b ]上连续，则dt t f x F xa ⎰=)()(在区间[a ,b ]上( ) A.不一定有界 B.不一定连续 C.不一定可积 D.一定可导二、填空题（每空3分，共15分）1.若函数f (x )的定义域为D =]4,0[π，则f (arcsin x )的定义域为__________2.=-+∞→}ln )2[ln({limn n n n __________ 3.若⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x bx a x e x f x 在x =0处可导，则b =_________4.设函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，则])([dx x f d ⎰=__________5.dx x x ⎰--+1122)1(=__________三、求下列极限（每题6分，共12分）1.求极限1cos 1)1(lim3120--+→x x x 2.求极限)tan (sec lim 2x x x -→π 四、求下列各题（每题6分，共12分） 1.设y =(ln x )x ，求y '2.求由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==ty t x 1212所确定的函数的二阶导数22dx y d五、求下列不定积分（每题6分，共12分） 1.dx x⎰+11 2.dx xx⎰2ln 六、求下列定积分（每题6分，共12分） 1.dx x x ⎰-π03sin sin 2.dx x ⎰51ln 七、应用题（每题8分，共16分）1.某产品的总成本C （万元）的边际成本为生产量x （百台）的函数C '(x )=1，总收益R （万元）的边际收益为生产量x （百台）的函数R '(x )=6-x ，（1）求生产量等于多少时，总利润最大？（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少？2.求由抛物线y +1=x 2与直线y =1+x 所围图形的面积。

2013-2014第一学年期末考试高数C参考答案

2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）D B D C A二、填空题（每小题4分，共20分）1.（0，2）2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、计算题（每小题5分，共20分） 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解：由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――（2分） 2cos x +为x →∞时的有界量，――――――――――――――（4分）所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――（5分） 2.设0x >时，可导函数()f x 满足：13()2()f x f x x+=，求'()f x (0)x > 令1t x =，则原式变为：1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――（2分）连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――（4分）所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――（5分） 3.设2cos xy e x =，求y '' 解：21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――（3分）23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――（5分）4.x 011lim()1x x e →-- 解：原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――（1分） =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――（3分） =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――（5分）四．计算题（每小题5分，共20分） 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解：原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――（1分） =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――（3分） =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――（5分） 2.2156dx x x -+⎰ 解：原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――（3分） =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――（5分） 3.3cos()3x dx πππ+⎰解：法一：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――（2分）=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――（4分）=（5分）法二：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――（2分） 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――（4分）4323sin tππ=-=――――――――――――――――――（5分） 4.120arcsin xdx ⎰解：原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――（2分）=12π――――――――――――――――――（4分）=122π+――――――――――――――――――――（5分）五．求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解：如图所示――――――――――――――――――――――（2分）联立方程，解出交点：（0，1）（1，2）――――――――（6分）积分：1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――（10分）六．某服装有限公司确定，为卖出x 套服装，其单价为1500.5p x =-.同时还确定，生产x 套服装的总成本为：2()40000.25C x x =+.（10分）(1)写出边际成本'()C x 的表达式；(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ；(3)服装产量x 为多少时，利润达到最大，最大利润是多少？解：1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――（2分） 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――（4分） () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――（6分）3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =，由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量，则(100)3500L =――――――――――――――――（10分）。

高数2013-2014(1)答案

西南交通大学2013－2014学年第(1)学期期中考试试卷课程代码 6011310 课程名称高等数学I 考试时间 90分钟阅卷教师签字：一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题分5小题, 每小题5分, 共25分)1.的值是（）极限ax ax ax a -→+-12)1(lim ）答（．　．．．D e D e C e B A a a -12.　的值是（）极限xx xx 2sec 5arctan lim0→ ）答（．．．．C D C B A 25510 3.x x x x x x f 322)(232-+-+=的第一类间断点有）答（个．个．个．个．B D C B A 32104.　）内的实根的个数为（　，在方程)30(0133=+-x x　）答（．．．．B D C B A 01235.是次项的系数的阶麦克劳林展开式中的n a n x n xx f -=11)(( ) )(!)1(.!1..1. 答 A n D n C n B A n-班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线二填空题（4个小题，每题6分，共24分）6.)103()3)(2)(1(----=x x x x x y 在x =3的导函数值是（ 3！100！） 7. 曲线xxe y -=的凹区间是（ [2,+∞））。

8.的微分是，则设)()53()1)(2()(2x f x x x x f -+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++--+-dx x x x x x x )53(6)1(21)2(21)53()1)(2(2 9.则且处可导在设,0)(,)(≠='=b a f a x x f=--+→)sin ()sin (limx a f x a f x x ⎪⎭⎫⎝⎛b 21　⎪⎭⎫=---+-+=⎝⎛----+=--+→→→b xxx a f x a f x x x a f x a f x a f x a t x a f x a f x a f x a f x x x x 21sin sin )()sin (sin sin )()sin (1lim)()sin ()()sin (1lim)sin ()sin (lim 000三解答题（5个小题,每题6分，共30分） 10. 计算⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 20sin cos sin tan lim 极限解：21cos )2(sin 2lim cos )cos 1(tan lim 22020=⋅=⋅-=→→x x xx x x x x x x11. 设 ⎩⎨⎧+-=++=22)1(arctan 22ln )1ln(t t y t x ，求22,dx yd dx dy解：)1(12)1(212222t t t t t t dxdy ++-=++-+=t t t t t t dx y d 2)1)(21(12)21(2222++-=++-= 12. 的函数，确定的是由方程　设x y x f y x f y y )()(22+++=且2)0(=y ,其中)(x f 是可导函数，且)0(.1)4(,21)2(y f f '='='求解： )1)(()22)((22y y x f y y x y x f y '++'+'++'='由2)0(=y 以及.1)4(,21)2(='='f f 代入得：71)0(-='y13. ．求　，，，已知)(01sin 0)1ln()(23x f x x x x x x f '⎪⎩⎪⎨⎧>≤-= 解：f f f f x x ()()()()0000000-=+===，在处连续'=-=-=-='=-==-→-→-→-+→+→+f f x f x x x x xf f x f x x x x x x x x x ()lim ()()lim ln()lim ()lim ()()lim sin001000100000300300002'=f ()00'=-≤->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪f x x x x x x x x ()sin cos 310211023，，四解答题（本题7分）14. 如图所示，某人开游艇在距岸9公里A 点处，接到短信要立刻赶到距游艇343公里处岸上的B 点处，如果游艇速度是每小时4公里，在岸上步行是每小时5公里，问何处登岸可使到达B 点的时间最短？设登岸处为D 并设DB 为x ，()x x CD -=--=15934322则抵达B 点所用时间为54)15(922xx t +-+=其中0≤ x ≤1551)15(814)15(2+-+--='x x t 令0='t 求出在(0,15)内仅有唯一驻点x=3，所以根据实际意义，在距B 点3公里处登岸所用时间最短。

13-14高等数学试题(A)

广州大学2013-2014学年第一学期考试卷课程：高等数学Ⅰ（80学时）考试形式：闭卷考试学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1．设1()21,1x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则(())f f e = . 2．曲线221x x y x +=-有铅直渐近线 . 3．已知当0x →时，sin x x -与3ax 是等价无穷小，则常数a = .4．设ln(1),0()2sin 1,0ax x f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则当常数a = 时，()f x 在0x =处连续. 5．设1cos ,0()0,0x x f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0)f '= . 6．曲线2x y e =上点(0,1)处的切线方程为 .7．曲线3(1)y x x =-的凸区间为 .8．函数cos x 在[,]22ππ-上的平均值为 . 9．设31()sin d x f x t t -=⎰，则(1)f = . 10．22222111lim ()12n n n n n n→∞+++=+++ .二．解答下列各题（每小题6分，本大题满分18分）1．已知2(1)(1)x y x x =+-，求2|x y ='.2．设sin sin cos x t y t t t =⎧⎨=+⎩，计算224d d t y x π=.3．设()y x 是由21y x y e -+=所确定的隐函数，求()y x 在0x =处的导数.三．（本题满分6分）证明：方程11n n x x x -+++=（整数1n >）在1(,1)2内有且只有一个根.四．计算下列极限（每小题6分，本大题满分12分）1．011lim()sin x x x x→+-.2．12ln lim (1)x x x →+∞+.五．计算下列积分（每小题5分，本大题满分15分） 1．21d 1x x x ++⎰.2．20x ⎰.3．21ln d x x x+∞⎰.六．（本题满分9分）在(1,)e 内求一点0x ，使右图中阴影部分的面积之和为最小.七．（本题满分10分）（1）已知()f x 是连续函数，证明：00(sin )d (sin )d 2xf x x f x x πππ=⎰⎰；（2）利用（1）的结论，计算30sin d x x x π⎰.。

2013-2014-1工科高数(2-1)期末试卷A答案

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分） 4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分）5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π ------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x xt x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分） 3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即 x x y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dx dy y ln 1)ln 1(+=+，即yx dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 ) ⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 ) 322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 ) 解2 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，----------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，x y dx dy x y dx dy y x y x 11ln 111ln 122⋅+⋅⋅-=⋅⋅+-xx xy yy xy dx dy ln ln 22++=∴ （直接再求导比较繁琐，需化简后再求导）----------------------------------------------------------------------------------------- ( 2分 )由x yy x ln 1ln 1=得x x y y ln ln =， xx xy y y xy dx dy ln ln 22++=y xy xy x xy xy ln ln ++=y xln 1ln 1++=, 以下同解1. 三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xx x 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(s i n s i n 1)s i n 1(s i n s i n 1c o s s i n 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分）（令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(.解 )(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 ) C x dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ) ⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442c o s s i n ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 274⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2） dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分）四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222，即 dtdw w dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得对角线的增加率：3=dt dy（cm/s ）. -------------------------------------------------- ( 2分 ) 2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解 ct dtdxt v 2)(== ----------------------------------------------------------- ( 2分 ) cx t c t c k x f 444)(2222===, -------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdx W 04＝22ca . ------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(x x x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x ,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 ) 六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dx xe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分）[]x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C eC y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Ro lle中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 )令nnx a xa x a x f n sin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 ) 在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分 16 %；第三章微分中值定理与导数的应用 20 %；第四章不定积分 14 %；第五章定积分及其应用 30 % . 第六章常微分方程 7 % .。

南京师范大学2013-2014大一上学期(第一学期)高数期末考试题

南京师范大学2013-2014大一上学期高数期末考试及解答（根据试卷整理）一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(l i m .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ．　求，，设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e .6.cx x +2)cos (21　.7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)c o s ()()x ye y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：133()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰3()xxd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰　令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2013-2014第一学期高等数学试卷A及答案

郑州轻工业学院2013-2014学年第一学期高等数学A 试卷A试卷号：A20140100（1）一、单项选择题(每题3分，共15分)1．xx e 10lim →=（ D ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）-∞ （D ）不存在 2．当0x →时，下列与x 不等价的无穷小是（ C ）（A ）tan x ；（B ）sin 1xe-；（C1；（D3．已知),)()()(()(d x c x b x a x x f ----=且))()(()(0d a c a b a x f ---='，则（Ａ）．（A ） a x =0；（B ） b x =0；（C ）c x =0；（D ） d x =0。

4．下列命题中，正确的是（Ｂ）A 若函数()y f x =在点0x 没有定义，则)(lim 0x f x x →一定不存在；B 若函数()y f x =在点0x 可导，则它在点0x 必然连续；C 即使函数()y f x =在点0x 可导，它在点0x 不一定可微；D 若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在点0x 一定连续5．若⎰⎰'=',)()(dx x g dx x f 则必有Ｃ。

（A ）)()(x g x f = （B ）dx x g dx x f )()(⎰⎰=（C ）c x g x f +=)()( （D ）0)()(=-x g x f二、填空题(每题3分，共15分)1．设点(1,2)为曲线23bx ax y +=的拐点，则数组=),(b a （－１,３）． 2．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则在至少存在一点(),a b ξ∈，使得()f ξ'=()()f b f a b a-- .3. 极限203050(21)(32)lim (35)x x x x →∞+-=+ 202()3.4．设,a x y x a dy =+=则 1(ln )a x ax a a dx -+5．⎰=-+dx x x x)cos 156(2565tan ln 5x x x c +-+ 三、计算题 (每题6分，共36分) 1．已知函数)1)(1()(2--=x x x f ，求函数的单调区间解：()(1)(31)f x x x '=-+令()0f x '= 得1x =或13x =- 3分当1(,)3x ∈-∞-时 0y '> ，()y f x =单增当1(,1)3x ∈-时 0y '< ，()y f x =单减当(1,)x ∈+∞时 0y '> ，()y f x =单增 6分 2．求极限：x x x x 2)1212(lim +-∞→解：21222221212lim()lim(1)2121x x x x x x x x x +-⋅⋅-+→∞→∞--=+++ 4分 2e -= 6分3．验证e sin x y x =满足关系式''2'20y y y -+=解：'e sin e cos ,x x y x x =+， 2分 ''e sin 2e cos e sin 2e cos x x x x y x x x x =+-= 4分代入等式左边''2'22e cos 2(e sin e cos )2e sin 0xxxxy y y x x x x =-+=-++==右边。

南京师范大学2013-2014大一上学期(第一学期)高数期末考试题

13~14(一)高数(工)1期末考试(A)试卷解答

上海应用技术学院2013—2014学年第一学期《高等数学（工）1》期（末）试卷A一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．B ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．C ； 6．C ； 7．D ； 8．B ； 9．D ； 10．A ．二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分． 11．a be； 12．2； 13．1111(1)e e y x y x e e e++-=-=-或；14．4e-； 15．43； 16．122(1)y x -=+．三．计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）． 17．求极限111lim 1ln x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭．解：1111ln 1lim lim 1ln (1)ln x x x x x x x x →→-+⎛⎫-=⎪--⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 111lim 1ln x xx x x →-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 2121lim 11x xx x →-=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 12=- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）18．设arctan ln(y x x =+，求221x d ydx=．解：2211111y x x ⎛⎫'=+=++．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 332222222221122121(3)(3)x xx y x x x x x --''=-=-++++（）（）．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）158x y =''=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）19．设函数)2arcsin(2)1(x x y +=，求dxdy．解：2ln arcsin(2)ln(1)y x x =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）2212)arcsin(2)1xy x x y x '=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）2arcsin(2)222(1))arcsin(2)1x x y x x x x ⎛⎫'=+++⎪+⎭．．．．．．．．（1分）另解：2arcsin(2)ln(1)x x y e+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）()2arcsin(2)ln(1)2arcsin(2)ln(1)x xy e x x +''=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）2arcsin(2)222=(1))arcsin(2)1x x x x x x ⎛⎫+++⎪+⎭．．．．．．．．．．．．．．（3分）20．判定曲线2()(714)xf x e x x =-+的凹凸性与拐点．解：22()(714)(27)(57)x x x f x e x x e x e x x '=-++-=-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）22()(57)(25)(32)(2)(1)x x x x f x e x x e x e x x e x x ''=-++-=-+=--．．．．．．．（1分）令()0f x ''=，得到1,2x x ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）在(,1)-∞内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凹的；在(1,2)内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凸的；在(2,)+∞内，曲线2()(714)x f x e x x =-+是凹的；拐点2(1,8),(2,4)e e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）21．计算不定积分()cos ln 2x x dx x+⎰．解：()()2cos ln 2cos ln ln (1)x x dx x d x x x+=++⎰⎰．．．．．．．．（4分）（注：加号前后各2分）3222sin(ln )(1)3x x C =+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）（注：前两个一个一分，但是两个都写对了C 漏写还是要扣一分）22．计算定积分2．解： sec x t =令，sec tan dx t tdt =，23x t π=→=，4x t π=→=．．．．．．．．（2分）22334344tan tan sec sec t t tdt dt t t ππππ==⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 234sin cos t tdt ππ=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 234sin sin td t ππ=⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） ()334sin 324t ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）23．计算定积分1320arctan()x x dx ⎰．解：1320arctan()x x dx ⎰1241arctan()4x dx =⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）()142142001arctan()arctan()4x x x d x =-⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 144012441x x dx x π⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 14012441x x dx x π⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 112400112441xdx dx x π⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 1122001arctan()44x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1214448πππ-⎛⎫=-+=⎪⎝⎭ (注：或者11arctan124-)．．．．．．．（1分）24．求微分方程2223,xdy xy x e dx-=满足初始条件01==x y 的特解．解：（解法一）dyxy dx=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） dy xdx y = dy xdx y⇒=⎰⎰ 2l n l n 2x y C ⇒=+ 22xy C e ⇒=．．．．．．．．．．（1分）令原方程的通解为22()x y C x e =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）则2222()()x x y C x e C x e x ''=+，代入原方程得222222222()()()3x x x x C x e C x e x xC x e x e '+-=2()3C x x '⇒=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 23()3C x x dx x C ==+⎰通解为232()x y x C e =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）由01==x y ，则1C =-232(1)x y x e =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）（解法二）令()P x x =-，222()3x Q x x e =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）通解()()(())P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 222(3)x xdxxdxe x e e dx C -⎰⎰=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）2222222(3)x x x e x e edx C -=+⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）222(3)x e x dx C =+⎰232()x e x C =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）由于01==x y ，则1C =-，所以特解为232(1)x y e x =-．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）四．应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）． 25．求由曲线xy 1=，直线x y +=1,1=x 及2=x 所围图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．解：（1）22111(1)S x dx dx x=+-⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 22211(1)5ln ln 222x x +=-=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）（2） 2222111(1)x V x dx dx x ππ=+-⎰⎰．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分） 22311(1)13x x ππ+=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分） 278135(1)326πππ-=+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）（注：如果公式全写错但图形画对了但可以给1分）26．设)(x f 在[0,1]上可导，且11(1)022f f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．又设 212()()x x F x f t dt +=⎰．（1）求()F x '；（2）证明：至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=；（3）证明：至少存在一点(0,1)η∈，使得()()0F F ηηη'''+=．证：（1）211()()2()22x F x f x x f +'=-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）（2）13(1)2(1)(1)(1)22F f f f '=-=且11(0)()22F f '=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）则()23(1)(0)(1)02F F f ''=-<，由于()F x '在[0,1]上连续，由零点存在定理，存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=。

高考数学(第01期)大题狂做系列5(含解析)文(1)

2014年高考数学（第01期）大题狂做系列5（含解析）文
1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若(,)2π
απ∈，且2()2
f α=，求α的值.
2.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷) 文科】
已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点. 若A 是PB 的中点, 求直线m 的斜率.
【答案】(Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】
如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，2AD =，13AA =，E 为CD 上一点，1DE =，3EC =
（1）证明：BE ⊥平面11BB C C ；
（2）求点1B 到平面11EA C 的距离.
4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文】
已知函数2()sin cos f x x x x x =++.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值. （Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.
()f x 和()'f x 的情况如下：。

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淄博职业学院2013-2014学年第一学期
《高等数学》大作业
一、填空题：请在题中横线上正确答案，
1、函数1
21
-=
x y 的定义域为 2
、函数y = 3、函数lg(x+1y =）的定义域为 4、=⎰xdx sin 5、=⎰xdx cos
6、设()x f x a =，()sin g x x =，则(())f x ϕ=
7、函数32)(2-+=x x x f 在点0x 处的导数为()0f x '= 8、函数13)(2++=x x x f 在点0x 处的导数为()0f x '= 9. 数22)(2-+=x x x f 在点0x 处的导数为()0f x '= 10、极限()20
lim 85x x x →++=
11、极限()2
lim 35x x x →-+=
12、极限()20
lim 234→-+=x x x
13、若x y sin =，则dy = 14、ln cos y x =，则dy = 15、若3sin 2=y x ，则dy = 16、有限个无穷小量的和为 17、曲线323+=x y 的拐点是
18、1lim(1)x x x
-→∞
+=
19、2
1lim 1→∞
⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
x
x x =
20、22+=x y 在点)3,1(处的切线方程为 21、2y x =在点()1,1处的切线方程为 22、21y x =+在点()1,2-处的切线方程为 23、6sin x xdx π
π
-⎰=
24、2sin π
π
-⎰x xdx =
25、2
41
3lim 233-++-∞→x x x x x ＝
26、1
372
43lim 232++++-∞→x x x x x x ＝
二、选择题：请将正确选项填写在括弧内
1、函数()y f x =在0x x =可导是()y f x =在0x x =连续的（） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、无关条件
2、函数()y f x =在0x x =连续是()y f x =在0x x =可导的（） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、无关条件
3、若0
lim ()0x x x α→=，()f x 是有界函数，则0
lim ()()x x x f x α→= （）
A 、1；
B 、0；
C 、无穷大；
D 、无穷小。

4、⎰=+=2
2-3)()(dx x f x x x f 则设（）
A 、0
B 、8
C 、⎰20
)(dx x f D 、⎰2
)(2dx x f
5、⎰
=+π
π
-2
21sin dx x
x
x 定积分（） A 、2 B 、-1 C 、0 D 、1
学校班级学号姓名______________________ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
6、()f x 在(),a b 内恒有()f x '＞0，()0f x ''<,则曲线在(),a b 内是（） A 、递增，凹的； B 、递增，凸的； C 、递减，凹的； D 、递减，凸的
7、()f x 在(),a b 内恒有()f x '＞0，()f x ''＞0,则曲线在(),a b 内是（） A 、递增且凹的； B 、递增且凸的； C 、递减且凹的； D 、递减且凸的
8、()f x 在(),a b 内恒有()0'<f x ，且()0''<f x ,则曲线在(),a b 内是（） A 、递增且凸的； B 、递增且凹的； C 、递减且凹的； D 、递减且凸的
9、比较下列各对积分值的大小，正确的是（） A 、1
1
430
x dx x dx ≥⎰⎰ B 、11
300
x xdx dx ≤⎰⎰
C 、1120
x dx xdx ≤⎰⎰ D
、21
1
xdx ≤⎰⎰
10、若圆222
+=x y a 的面积为S
，则-=⎰a
（）
A 、S ；
B 、
2S ； C 、4S ； D 、8
S
三、判断题：判断正误，对的在括弧内划√，错的划×，
1、若函数()f x 极限存在，则该极限不一定唯一. （）
2、若函数()f x 极限存在，则该极限一定唯一. （）
3、函数1y x
=
在0x =处连续. （）
4、sin x 与x 是等价无穷小. （）
5、当x 0→时，sin x 与x 是等价无穷小. （）
6、201lim sin 0x x x →=. （）
7、函数y x =
与y =是同一函数. （） 8、函数()f x 在点0x 处取得极值，则不一定有 ()00f x '= . （） 9、函数()f x 在点0x 处取得极值，则必有 ()00f x '= . （）
10、若函数()f x 在点0x 可导，则该函数在点0x 一定连续. （） 11、因为)(lim 0
x f x x →存在，所以)(x f 在0x 点必须有定义（）
12、点(0,0)不是曲线3=+y x x 的拐点. （）
13、极小值有可能大于极大值，也有可能是最大值（）
14、函数)(x f 的全部原函数，称为)(x f 的不定积分（） 15、()()()b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰. （）
16、初等函数在其定义区间内都是连续的（）四、计算题：
1、求2
0sin lim x x x
x →-.
2、求x
x
x 2sin lim
→.
3、求ln x xdx ⎰.
4、求⎰xdx 3cos
5、求函数3
()3f x x x =-的极值.
6、求函数32
()69f x x x x =-+的极值.
7、设2
3x x
y e -= ，求y '.
8、cos x xdx ⎰.
9、sin ⎰x xdx . 10、求1
ln dx x x
⎰
11、
12、求dx x ⎰+2)12(
⎰+x x d )41(3求
13
、4
⎰.
14
、4
⎰.
五、应用题：
1、某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产一百件产品，成本增加2万元。

其总收入R （单位：万元）是产量q （单位：百件）的函数。

R=5q-0.5q 2，求达到最大利润时的产量。

2、求由抛物线2x y =和直线2+=x y 围成的平面图形的面积。

3、由抛物线2y x =与直线34=+y x 围成的图形的面积.
4、有一块宽a 2的长方形铁片，将它的边缘向上折起成一开口水槽，使其横截
面为一矩形，矩形高为x （如图），问x 取何值时，水槽的截面积最大。

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