高等数学(专升本考试)模拟题及答案

n1
n1
n1
A．发散
B ．收敛 C．条件收敛
D ．绝对收敛
19．下面哪个是二次曲面中抛物柱面的表达式 【A】
A． x2 ay
B
． x2 ay2
C．
x2 a2
y2 b2
1
x2 y2
D
． a2 b2 1
20．设 D 是矩形： 0 x a,0 y b ，则 dxdy 【 A 】
D
A. ab
B.
2ab C.
A．充分非必要条件
B．充分且必要条件
C．必要非充分条件
D
．既非充分又非必要条件
9．向量 a 、 b 垂直，则条件：向量 a 、 b 的数量积 a b 0 是【 B】
A．充分非必要条件
B．充分且必要条件
C．必要非充分条件
D
．既非充分又非必要条件
10．已知向量 a 、b 、c 两两相互垂直，且 a 1，b 2 ，c 3 ，求 a b a b
A． 2tan x sec2 xdx
B
． 2sin x cos2 xdx
C． 2sec x tan2 xdx
D
． 2cos x sin 2 xdx
解：对原式关于 x 求导，并用导数乘以 dx 项即可，注意三角函数求导规则。
y ' tan2 x
d tan x 2 tan x
dx 2 tan x sec2 x
．e 2
C ．2
D
x
解： y e2
x
1 e2 。 2
所以，在点 (0,1) 处，切线的斜率是：
1
x
e2
x0
1
2
2
1
． e2
24． lim n
2n 3n
【A 】
A．0 B ． 1
C
4
2
解：因为 0
1
3
2n
lim
n
3n
n
lim 2 ，
n
3
．1 3
D．1 2
所以 lim n
2n 3n
0
sin x
25． lim
x
又因为 u x ， v y 。
x
所以 z 是 x,y 的复合函数，故 z
x
z 1
u
z v
y
2
，
x
z y
z
z
z yz yz
z
z
左边 = x x
y y
x u
xv
xv
x u
u u
z
z1
0 u
v x ，从而
因此方程变为：
z
u
z
u
x
23．曲线 y e2 在点 (0,1) 处的切线斜率是 【A】
1
1
A． 2
B
ex (sin x x cosx) ex (sin x x cosx) ex (sin x x cosx) ex (cosx cos x x sin x) ex sin x x sin x x cosx
y ex (sin x x cosx) xex sin x
16 ． 直线 L1 上 的 一个 方向 向 量 s1 m1, n1, p1 ， 直线 L2 上 的 一个 方 向向 量
高等数学（专升本） -学习指南
一、选择题
1．函数 z ln x2 y2 2 4 x2 y 2 的定义域为【 D】
A． x2 y2 2 B ． x2 y2 4 C ． x2 y2 2 D． 2 x2 y2 4
解： z 的定义域为：
x2 y2 2 0 4 x2 y2 0
2 x2 y2 4 ，故而选 D。
s1 m2 , n2, p2 ，若 L1 与 L2 平行，则 【B】
A． m1m2 n1n2 p1 p2 1 B． m1 n1 p1 m2 n2 p2
C． m1m2 n1n2 p1 p2 0
D
． m1 n1 p1 1
m2 n2 p2
17．平面 1 上的一个方向向量 n1 A1, B1, C1 ，平面 2 上的一个方向向量
13．无穷大量减去无穷小量是 【 D】
A．无穷小量 B．零
C．常量 D．未定式
解：所谓的无穷大量， 或者无穷小量只是指的是相对而言， 变量的一种变化趋势，
而非具体的值。
所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。
1 cos2x
14．
lim
x0
sin2 3x
【C】
A．1
1
2
1
B． 3
x
x
【C 】
A． cos x B ． tan x
解：因为 1 sin x 1 有界，
sin x
所以 lim
0
x
x
C．0
D ．1
26．已知向量 m 3,5,8 ，n 2, 4, 7 ， p 5,1,4 ，求向量 a 4m 3 p n 在
y 轴上的投影及在 z 轴上的分量 【 A】
A．27，51 解： A a 4 3,5,8
i jk
a bc 2 3 1 1 23
7i 5 j k
又因为 a i 2 j 7k 10
即： 7i 5 j k i 2 j 7k 10
解得
1 ，所以 a 7i + 5 j + k
29．若无穷级数 un 收敛，且 un 收敛，则称称无穷级数 un 【D】
n1
n1
n1
A．发散
B ．收敛 C ．条件收敛
30．设 D 是方形域： 0
dy 所以，
2 tan x sec2 x ，即 dy
2tan x sec2 xdx
dx
5．函数 y ( x 2) 2 在区间 [0, 4] 上极小值是【 D】 A．-1 B ．1 C ．2 D．0 解：对 y 关于 x 求一阶导，并令其为 0，得到 2 x 2 0 ； 解得 x 有驻点： x=2，代入原方程验证 0 为其极小值点。
将 f ( x) x 1 代入，得 f ( f (x) 1) =( x 1) 2 x 3
22．利用变量替换 u
x, v
y ，一定可以把方程
x
x
z x
yz y
z 化为新的方程【 A】
z A． u
z
u
z B． v
z
v
z C． u
z
v
z D． v
z
u
解： z 是 x， y 的函数，从 u x ， v y 可得 x u ， y uv ，故 z 是 u，v 的函数，
k( a b)
D.
kab
解：关于单位 1 对于一个矩形区域进行二重积分就是计算矩形区域的面积。 由题意知： 0 x a,0 y b ，则： dxdy a 0 b 0 ab
D
21．设 f x x 1，则 f f x 1 【 D】
A． x
B
．x 1
C
． x 2 D． x 3
解：由于 f ( x) x 1，得 f ( f ( x) 1) ( f ( x) 1) 1＝ f ( x) 2
1 35．设 y xsin ，则 dy 【 C 】
34． y x tan x 3sec x ，则 y ' 【 D 】
A． tan x 3sec x tan x B ． tan x x sec2 x
C．
2
x sec
x
3sec x tan x
D． tan x
2
x sec x
3sec x tan x
解： y x tan x 3sec x
x tan x 3sec x tan x x sec2 x 3sec x tan x
A． lim f x0 x0
x, y0 f x0, y0 x
B ． lim f x0 x0
x, y0 y x
f x0, y0
f C． lim
x0, y0
y0
y f x0, y0 y
D
f ． lim
x0
y0
x, y0 y y
f x0, y0
8．向量 a 与向量 b 平行，则条件：其向量积 a b 0 是【 B】
n2 A2, B 2, C 2 ，若 1 与 2 垂直，则 【C】
A． A1 A2 B1B2 C1C2 1
B
． A1 B1 C1
A2 B2 C2
C． A1 A2 B1B2 C1C2 0
D
． A1 B1 C1 1
A2 B2 C2
18．若无穷级数 un 收敛，而 un 发散，则称称无穷级数 un 【C】
123
3．极限 lim n
n2
n2
n2
n n2 【 B 】
11 A． B．
42
C
．1
解：有题意，设通项为：
12
n
Sn n 2 n 2
n2
1
n1
2n
n
2
n1 2n 11 2 2n
D ．0
12
原极限等价于： lim n
2
n
2
n
n
11 1
2
n
lim n 2 2n
2
4．设 y tan2 x ，则 dy 【 A】
D． y 3 x5
解：因为 y ln x2 是由 y ln u ， u x 2 复合组成的，所以它不是基本初等函数。
xy 2
12．二重极限
lim x0
x2
y 4 【D】
y0
A．等于 0
B．等于 1
1 C．等于 2 D．不存在
2
xy
k
解： lim x ky 2 y0
x2
y4
1 k2 与 k 相关，因此该极限不存在。
解：由于 x
0 为无穷间断点，所以 (ex
a) x0
0 ，故 a
1。若 a
0 ，则 x
1
也是无穷间断点。由 x 1为可去间断点得 a e ，故选 C。
32．设函数 f ( x), g (x) 是大于零的可导函数，且 f (x)g (x) f ( x)g ( x) 0 ， 则当 a x b 时，有 【 A 】 A． f ( x) g(b) f (b)g( x) B ． f (x) g(a) f (a)g ( x)
，
，
或者
，
，
4
4
2
2
2
28．已知向量 a 垂直于向量 b 2i 3 j k 和 c i 2 j 3k ，且满足于
a i 2 j 7k 10 ，求 a = 【B】
A． 7i 5 j k B． 7i + 5 j + k
C． 5i 3 j k
D
． 5i + 3j + k
解： B 因为 a 垂直于向量 b 和 c ，故而 a 必定与 b c 平行，因此
6．对于函数 f x, y 的每一个驻点 x0, y0 ，令 A f xx x0, y0 ， B fxy x0 , y0 ，
C f yy x0, y0 ，若 AC B 2 0 ，则函数【 C】
A．有极大值
B ．有极小值 C．没有极值
D ．不定
7．多元函数 f x, y 在点 x0, y0 处关于 y 的偏导数 f y x0, y0 【C】
g(x) g (b)
即有 f (x)g(b) g(x) f (b).应选 ( A).
2
33．函数函数 y x 3 5 可能存在极值的点是 【 B 】
A． x 5 B ． x 0
C ． x 1 D ．不存在
解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。
当 x=0 时，函数取得最小值 y=5。
C． f ( x)g(x) f (b)g(b) D ． f (x) g(x) f (a)g (a)
f (x)
f ( x) g( x) f ( x)g ( x)
解：考虑辅助函数 F (x)
,则 F ( x)
g( x)
g 2 (x)
0,
则 F ( x)严格单调减少函数 . 当 x b时, f (x)
f (b) ,
A. 1
B.
1
2
x 1,0 C.
y 1 ， xyd
D
1 D. 1 34
D．绝对收敛 【D 】
解： D
xyd
D
1,1
1
1
dx xydy
1 x2 y2
1
0
0
4
0,0
4
31．若 f x
ex a ， x 0 为无穷间断点， x 1 为可去间断点，则 a 【 C 】
xx 1
A．1
B
． 0 C． e
D
．e 1
2．设 f (x) 在 x x0 处间断，则有【 D 】
A． f ( x) 在 x x0 处一定没有意义；
B． f ( x0 0)
f (x
0) ; (
即
lim
x x0
f ( x)
lim
x x0
f ( x)
)；
C．
lim
x x0
f (x) 不存在，或
lim f ( x)
x x0
；
D．若 f (x) 在 x x0 处有定义，则 x x0时， f ( x) f (x0 ) 不是无穷小
A．
，
，
2
2
4
B
．
，
，
4
4
8
C．
，
，
4
4
2
解： C
D
．
，
，
2
2
设 a 的方向角为 、 、 ，按题意有
= ， =2
由于
cos2 cos2 cos2 1
即
cos2 cos2 cos2 2 1
化简得到 cos2 2cos2 1 0
解得
cos 0 或 cos
2
2
因为 、 、 都在 0 到 的范围里，因此可以通过解反三角函数得到：
C． 9
D． 9
解：根据原式有：
来自百度文库
2sin 2 x
2
2
lim
x0
4sin3 x
2
3sin x
16sin 4 x 24sin 2 x 9
9
15．设 y ex (sin x xcosx) ，则 y ' 【D】
A． ex (sin x x cosx) B． xex sin x
C． ex (cos x x sin x) D． ex (sin x x cosx) xex sin x 解：对原式直接求导，注意乘积项的求导即可。 y ex (sin x x cosx)
【 C】
A．1
B
．2
C．4
D
．8
解：因为向量 a 与 b 垂直，所以 sin a, b 1，故而有：
ab ab
a a - a b+ b a - b b
2b a
2 b a sin a,b
2 2 11
4
11．下列函数中，不是基本初等函数的是
x
A． y 1 e
B． y ln x2
C． y
【B】
sin x cos x
B ．25， 27 C 5,1,4 2, 4, 7
．25， 51
D ． 27，25
4 3 3 5 2,4 5 3 1 4 ,4 8 3 4 7
25,27,51
因此
Prj y a 27 ， azk 51k
27．向量 a 与 x 轴与 y 轴构成等角，与 z 轴夹角是前者的 2 倍，下面哪一个代表
的是 a 的方向 【C】