指数函数单调性的证明(老黄学高数第32讲)

高中函数的单调性

函数的单调性知识点一：函数单调性的定义、判定及证明1.单调性的定义：当x ∈ (－∞,0)，x逐渐增加时，函数值y逐渐减小；而当x ∈ (0，+∞)，x逐渐增加时，函数值y逐渐增加，函数的这两种性质都叫做函数的单调性【注意】函数的单调性是针对函数定义域的某个区间而言的.有些函数在它的整个定义域上不存在单调性，而在定义域的某个区间存在单调性. 如y=x2 ,定义域为R，在R上没有单调性.而在M={x|x>0}上，函数 y=x2递增。

2.增减函数的定义：对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2,当x1< x2时都有f(x1)< f(x2) ( 或f(x1)>f(x2) ) ，那么称f(x)在这个区间上是增（减）函数.3.利用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤第一步：取值.即设x1、 x2,是指定区间内的任意两个值，且x1< x2；第二步：作差变形.即作差f(x)-f(x)，并通过因式分解、配方、通分、分子有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；第三步：定号.确定差的正负，当符号不确定时，要进行分区间讨论；第四步：判断.由定义得出结论.4.判断函数单调性的常见方法（1）定义法（2）直接法运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出.直接判断函数的单调性，可用到以下结论：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反.②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y=1/f(x)与y=f(x)的单调性相反.③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等.(3)图像法根据函数图像的升、降情况进行判断.【思维拓展】1.一些重要函数的单调性（1）y=x+1/x的单调性：（-∞,-1﹜↗,( -1，0 )↘，（0，1）↘，﹛1，+∞﹚↗ .(2) y=ax+b/x (ab>0) 的单调性：（2.单调性与奇偶性若奇函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递增（减）；若偶函数f(x)在区间{a,b}上单调递增（减），则f(x)在区间{-b,-a}上单调递减（增）.知识点二函数单调区间及图像特点1.定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x) 的单调区间。

高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)

④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当时，在R上是增函数；
当时，在R上是减函数。
二次函数
当时，时单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则为增函数，若为一增一减，则为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求（且）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知是减函数的区间，。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数在内单调，在内单调，且集合{ ︳， }
（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数。（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数。

指数函数定义域与值域以及单调性

第四课时指数函数的定义域与值域以及单调性主备人张岳超校对年级主任孙重社备课组长张建民课题指数函数的定义域与值域以及单调性课时考纲要求掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识. 学习重点掌握指数函数的性质及应用. 学习难点理解指数函数的简单应用模型．填空1.形如)(x f a y =的函数的定义域是使)(x f 有意义的x 的集合.2.形如)(x f ay =的值域都是先求出)(x f 的值域，再有单调性得出)(x f a y =的值域，若1,0≠>a a 且，要对a 进行分类讨论.例1 求函数115-=x y 的值域解： 011≠-x.1511≠∴-x ， }{10≠>∴y y y 且值域为. 练习：求下列函数的值域（1）x x y 22)31(-= （2）1212+-=x x y （3）xx y 422--=（4）1329-⨯+=xx y （5）xy -=3)31(指数函数单调性的应用一、幂的大小比较（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；例1 14.333与π解：构造函数x y 3= ∴>=,13a x y 3=在），（∞+∞-上是增函数14.33314.3>∴>ππ练习：比较4341 -)32(32-与）（的大小（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断.例25.05.035.0与）（的大小 x a y = 在y 轴右侧，底大图高，所以5.05.035.0<练2：比较41-41-551与）（的大小（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较例3 比较的大小与5.06.06.05.0解：因为上是减函数，在R y x 5.0=所以5.06.05.05.0<.又因为x a y = 在y 轴右侧，底大图高，所以5.06.06.05.0<练3：比较3.01.09.04.1与的大小（4）对于三个（或三个以上）的幂的大小比较，则应先根据值的大小进行分组，再比较各组数的大小即可.例4 比较21332314332-234），（），（，）（的大小.解：将21332314332-234），（），（，）（分成如下三类：（1）负数332-）（；（2）大于0小于1的数2143）（；（3）大于1的数.2343231，）（ ,24,43432313131=<而）（ 32312132)34()43(32-<<<∴）（练4 比较755.03.0533.02.03.0-22.03.0-33.0），（，，），（，的大小二、解简单的不等式对于形如)()(x g x f a a>）且（1,0≠>a a 的不等式，解此等不等式的依据是指数函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若不确定，则需进行讨论，即)()(x g x f aa>=⎩⎨⎧<<<>>10),()(1),()(a x g x f a x g x f例1 已知,)2(2122x xa a a a -++>++）（求x 的取值范围.解：因为,147)21(222>++=++a a a 所以x a a y )2(2++=在R 上是增函数. 所以x x ->1，解得21>x 所以x 的取值范围是），（∞+21练1 已知75+->x xa a ）且（1,0≠>a a ，求x 的取值范围.练案选择题1.函数13)(-=-x x f 的定义域、值域分别为（）A.定义域是R,值域是RB.定义域是R,值域是），（∞+0C.定义域是R,值域是），（∞+1-D.以上都不对2.（2013∙湖北）已知全集为R ，集合A=⎭⎬⎫≤⎩⎨⎧1)21(|x x ，B=}{86|2≤+-x x x⋂A B C R =( )A.}{0|≤x x B.}{42|≤≤x xC.}{420|><≤x x x 或 D.}{420|≥≤<x x x 或3.下列函数中，值域是），（∞+0的是（）A.xy 12= B.12-=x y C.12+=x y D.x y -=2)21(4.函数x y 31-=的定义域是（）A.[)0∞+，B.(]0,∞-C.[)1∞+，D.),(+∞-∞ 5.已知8.09.07.02.1,8.0,8.0===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（）A.b a c >>B.a b c >>C.c b a >>D.c a b >> 填空 1.函数123+=xy 的值域为 .2.函数)1,0(≠>=a a a y x在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 .3.方程322=+-x x的实数解的个数为 .4.函数c bx x x f +-=2)(满足3)0(=f ，且对任意实数x 都有),1()1(x f x f -=+则)()(x x c f b f 与的大小关系是 .三、大题1.设x x eaa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）证明：)(x f 在），（∞+0上为增函数.。

判断函数单调性的常用方法

判断函数单调性的常用方法判断函数的单调性是数学中常见的一个问题。

在解决这个问题时，有一些常用的方法和技巧可以帮助我们确定函数的单调性。

下面将就这些方法和技巧进行详细介绍。

1.用导数判断函数的单调性：常数函数：常数函数不会随自变量的变化而变化，因此常数函数在定义域上是单调的。

一次函数：一次函数的导数为常数，若导数大于零，则函数单调递增；若导数小于零，则函数单调递减。

幂函数：幂函数的导数根据指数、底数的不同具有不同的形式，通过求导后的符号进行判断函数的单调性。

指数函数：指数函数的导数为指数函数本身的常数倍，若底数大于1且指数函数变量在定义域上递增时，函数单调递增；若底数小于1且指数函数变量在定义域上递减时，函数单调递增。

对数函数：对数函数的导数为自变量在底数为e的自然对数函数中的导数，根据求导后的符号进行判断函数的单调性。

2.利用函数的一阶和二阶导数进行判断：函数的一阶导数描述了函数图像的斜率，可以通过判断一阶导数的符号确定函数的单调性。

若一阶导数始终大于零，则函数单调递增；若一阶导数始终小于零，则函数单调递减。

函数的二阶导数描述了函数图像的曲率，若二阶导数始终大于零，则函数图像为凹函数，函数单调递增；若二阶导数始终小于零，则函数图像为凸函数，函数单调递减。

3.利用函数的性质进行判断：常用的函数性质包括函数的奇偶性、周期性、对称性等。

若函数具有奇函数的性质，则在定义域的相对称点上具有相反的函数值，可以通过判断奇函数在其中一区间内的正负性得出函数在该区间的单调性。

若函数具有周期性，则可以通过观察一个周期内的变化趋势来判断函数的单调性。

4.利用图像进行判断：通过观察函数图像可以直观地判断函数的单调性。

若函数图像始终上升，则函数单调递增；若函数图像始终下降，则函数单调递减。

这些是常用的判断函数单调性的方法和技巧。

在实际问题中，有时候需要结合多个方法和技巧来确定函数的单调性。

同时，还可以利用函数的单调性来解决一些实际问题，例如在优化问题中，我们可以通过判断目标函数的单调性来确定最优解的存在性和位置。

函数单调性的判断及证明

函数单调性的判断及证明1.引言函数是数学中重要的概念之一，是对变量与变量之间的规律进行描述的工具。

在实际应用中，我们往往需要判断一个函数的单调性，即其在定义域内是否是单调递增的或单调递减的。

因此，本文将介绍函数单调性的判断及证明方法。

2.函数单调性的定义在数轴上，如果对于任意两个实数$x_1,x_2$，若有$x_1<x_2$，则$f(x_1)\leq f(x_2)$，则称函数$f(x)$是单调递增的；若有$x_1<x_2$，则$f(x_1)\geq f(x_2)$，则称函数$f(x)$是单调递减的。

3.函数单调性的判断（1）导数法设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，则：若$f'(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递增；若$f'(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。

（2）二阶导数法若函数$f(x)$在$(a,b)$内二次可导，则：若$f''(x)>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是单调递增的；若$f''(x)<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内是单调递减的。

（3）微分形式法对于一个函数$f(x)$，若能表示为$dy=f'(x)dx$的微分形式，则：若$dy>0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递增；若$dy<0$，则$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。

4.函数单调性的证明（1）导数法的证明设$f(x)$在区间$(a,b)$内可导，若$f'(x)>0$，则对于任意$x_1<x_2$，有$$f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx>0$$因此，$f(x)$在$(a,b)$内单调递增。

若$f'(x)<0$，则对于任意$x_1<x_2$，有$$f(x_2)-f(x_1)=\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx<0$$因此，$f(x)$在$(a,b)$内单调递减。

函数的单调性证明

函数的单调性证明函数的单调性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数的增减关系。

在数学证明中，为了证明一个函数的单调性，我们通常需要使用导数的概念和相关的数学性质。

下面将从定义单调性开始，介绍函数单调性的证明方法和常用的技巧。

一、定义和性质在数学中，对于定义在区间上的函数f(x)，我们说它是单调递增的，如果对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)小于或等于f(b)，即f(a)<=f(b)。

如果不等号取等号即为单调递增严格的定义。

类似地，函数f(x)是单调递减的，当且仅当对于区间内的任意两个数a和b，当a小于b时，f(a)大于或等于f(b)，即f(a)>=f(b)。

同样，当不等号取等号时，为单调递减严格的定义。

对于一个单调递增的函数f(x)，我们有以下性质：1.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上任意一点的左极限总是小于或等于右极限，即f(a-)≤f(a+)≤f(b-)≤f(b+)；2.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其必须在该区间内是有界的；3.若函数在区间[a,b]上单调递增，则其在该区间上是可积的；4.若函数在区间[a,b]上连续，则其在该区间上的函数值区间是连续的。

二、证明方法在证明函数的单调性时，我们常常使用导数的相关性质。

导数可以表示函数的变化率，而单调性对应于导数的正负性。

具体的证明方法主要有以下几种。

1.利用导数的定义证明利用导数的定义f'(x) = lim(h->0)(f(x+h) - f(x))/h来证明函数的单调性。

首先计算导数f'(x)，然后判断f'(x)在给定区间内的正负性来推断函数的单调性。

2.利用导数的性质证明利用导数的性质来证明函数的单调性，包括导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减，以及导数恒为0表示函数是常数等。

这种方法通常适用于已知函数的导数形式的情况。

3.利用导数的比较性质证明对于两个函数f(x)和g(x)，如果在给定区间内f'(x)>=g'(x)，那么我们可以推断f(x)>=g(x)，即f(x)单调递增；如果f'(x)<=g'(x)，那么我们可以推断f(x)<=g(x)，即f(x)单调递减。

指数函数的单调性

首先，y＝a^x是指数函数，我们一般讨论a>0，且a≠1的情况。

当指数α是负整数时，设α=-k，则，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0）∪（0,+∞）。

因此可以看到x所受到的限制来源于两点：
一是有可能作为分母而不能是0。

一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：α小于0时，x不等于0；α的分母为偶数时，x不小于0；α的分母为奇数时，x取R。

单调区间：
当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性。

①当α为正奇数时，图像在定义域为R内单调递增。

②当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。

③当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R 内单调递减）。

④当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。

当α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性。

函数单调性的判断和证明

02
余弦函数 $y = cos x$ 在区间 $[2kpi, pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减，在区间 $[pi + 2kpi, 2pi + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
03
正切函数 $y = tan x$ 在区间 $(kpi - frac{pi}{2}, kpi + frac{pi}{2})$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增。
三角函数单调性
01
正弦函数 $y = sin x$ 在区间 $[-frac{pi}{2} + 2kpi, frac{pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递增，在区间 $[frac{pi}{2} + 2kpi, frac{3pi}{2} + 2kpi]$（$k in mathbb{Z}$）上单调递减。
通过实例分析和数值计算，验证了所提方法的正确性和有效性，为实际应用提供了有力支持。
未来研究方向展望
01
进一步研究函数单调性的本质和判别条件，探索更加简洁、高效的判断方法。
02
将函数单调性的研究拓展到更广泛的数学领域，如复变函数、泛函分析等，推动相关理论的发展。
03
结合实际问题，研究函数单调性在优化算法、数值计算等领域的应用，为实际问题提供更加有效的解决方案。
导数法证明
01
利用导数与函数单调性的关系，通过求导来判断函数的单调性。
02
如果函数在某区间内可导，且导数在该区间内恒大于0，则函数在该区间内单调增加；如果导数恒小于0，则函数在该区间内单调减少。
03

高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)

函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x V x ,并是某个区间上任意二值;X 叱）②作差；或作商：,g ）丰0；f （叼）③ 变形/⑴叩（巧）向有利于判断差值符号的方向变形；-Si ）乒o 向有利于判断商的值是否大于 1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解； 2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解； 3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号； 4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④ 定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论； ⑤ 下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法:解：设一1<X 1<X 2,如1 吧则 f （X 1）—f （X 2）= "+1 —冷 *1+1） ■皿（而 +1）-（升硕恐+1）Ui+i ）（j+D例1.判断函数ax7+i 在（-1,+ 8 ）上的单调性，并证明.—1<X i <X 2,X 1 — X 2<0 , X i+ 1>0 , X 2 + 1>0..•当 a>0 时，f （X 1）-f （X 2）<0 , 即f （X 1）<f （X 2）, •••函数y=f （X ）在（-1, + 8）上单调递增.当 a<0 时，f （X 1）—f （X 2）>0 , 即f （X 1）>f （X 2）, 函数y=f （X ）在（—1, + °°）上单调递减.所 W1-—<0所以砰砰 ,所以（心）二玉 -^2-—）则七 -因为知fE 泗对，三口所以所以砰砰所以「「一-":-解1、［ /⑴在+8）上为增函数*例2.证明函数*卜扁赌晌向上为减函数。

证明：设。

5也幅”'幻（-皿-石］屯尊\+00）在区间L ' V 」和妃％，/ （增两端，减中间）/ 31） — J g ）=瓦 + —-Xj-—上是增函数；在31—叱)(1-—)因为强而，所以5 〈泗e同理可得在（-咛-齐止为增函现在止为诫函氮作商法：例3.设函数y=f (x)定义在R上，对于任意实数m , n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n) 且当x> 0 时，0v f (x) v 1(1) 求证：f (0) =1 且当xv 0 时，f (x) > 1(2) 求证：f (x)在R上是减函数.证明：(1) •.,对于任意实数m, n,恒有f (m+n ) =f (m) ?f (n),令m=1 , n=0，可得 f (1) =f (1) ?f (0),..当x> 0 时，0v f (x) v 1, . • f (1)乒0.f (0) =1 .令m=x v 0, n=-x > 0,则 f (m+n ) =f (0) =f (-x) ?f (x) =1 ,f (-x) f (x) =1 ,又.• -x > 0 时，0 V f (-x ) V 1 ,• • f(x)=1f(-x)> 1.(1)设x1 vx2,贝U x1-x2 v 0,根据(1)可知f (x1-x2 ) > 1, f (x2) > 0.. f (x1) =f[ (x1-x2 ) +x2]=f (x1-x2 ) ?f (x2) > f (x2),•••函数f (x)在R上单调递减.(二)、运算性质法.函数表达式单调区间次函数y kx b(k 0)二次函数_ 2 , - y ax bx c(a 0,a,b,c R)反比例函数指数函数对数函数ky -x(k R 且k 0)xy a(a 0,a 1)当k 0时，y在R上是增函数；当k 。

函数单调性的判断或证明方法

函数单调性的判断或证明方法.（1）定义法。

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得（2）运算性质法.①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）②若.③当函数.④函数二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。

（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单调区间。

解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别是原复合函数的单调区间，如例5.）设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。

指数函数单调区间 - 分析指数函数的单调性区间

指数函数单调区间 - 分析指数函数的单调性区间指数函数是高中数学中的重要概念之一，也是数学中常见的函数类型之一。

在本文中，我们将重点探讨指数函数的单调性区间。

通过分析指数函数的指数部分以及底数的正负性质，我们可以确定函数的单调性。

为了更好地理解指数函数的单调性区间，让我们先从指数函数的基本概念开始。

指数函数通常由形如f(x) = a^x的表达式表示，其中a表示底数，x 表示指数。

在分析单调性时，我们主要关注底数a的正负以及指数x 的取值范围。

对于底数a大于1的指数函数，例如f(x) = 2^x，由于底数大于1，指数函数会随着x增大而不断增大。

这类指数函数在整个实数域上均为增函数，即单调递增。

指数函数的单调性区间为整个实数集合(-∞, +∞)。

若底数a介于0和1之间，则指数函数的单调性与前一情况相反。

以f(x) = 0.5^x为例，由于底数小于1，指数函数会随着x增大而不断减小。

这类指数函数在整个实数域上均为减函数，即单调递减。

当底数a等于1时，指数函数变为f(x) = 1^x，无论指数取何值，函数值始终为1。

底数等于1时，指数函数既不递增也不递减，单调性区间为空集。

在分析指数函数的单调性时，我们还需要考虑指数x的取值范围。

对于实数集合中的指数函数，其定义域为所有实数。

然而，在实际问题中，指数函数的定义域可能会受到限制。

当指数函数出现在等式或不等式中时，常常需要限定指数的取值范围。

在这种情况下，我们需要找出使得指数函数有意义的指数范围。

指数函数的单调性区间取决于底数a的正负性以及指数x的取值范围。

当底数大于1时，指数函数在整个实数域上为单调递增；当底数介于0和1之间时，指数函数在整个实数域上为单调递减；当底数等于1时，指数函数既不递增也不递减。

通过对指数函数的单调性区间的分析，我们可以更好地理解指数函数的特性，并在解决实际问题时能提供更准确的结果与推断。

总结回顾：- 指数函数是数学中常见的函数类型之一。

高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)

函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。

指数函数单调性

指数函数单调性
指数函数单调性是数学中重要的一个概念，它可以帮助我们了解不同
数模型之间的联系，以及对大致形态的直观判断。

那么，指数函数单
调性是一种什么样的性质呢？如何运用它来认识指数函数单调性？
首先，我们来了解指数函数单调性。

指数函数单调性，也就是指数函
数满足在其定义域上单调递增或单调递减，即表达式中的变量改变时，函数图像也随之增大或减小。

也就是说，每次输入的变量都不会出现
不同的函数图像，而是以变量本身的变化而变化。

接下来，我们来看几个例子。

一个典型的指数函数单调性是y=2^x-1，其中x>0, y>=1。

在这个函数中，当x越大，y就越大，当x越小，y
就越小，可以看出，函数单调递增。

另外一个例子，y=2^(-x)+3。

当x 越大，y就越小，当x越小，y就越大，可以看出，这个函数是单调递
减的。

到此，我们可以肯定：指数函数的特点是单调性，无论变量的变化方
向如何，整个表达式的变化方向也将保持不变。

借由这一特点，可以
很方便地理解函数的大致形态，从而更好的理解数学模型。

因此，指数函数单调性也成为数学研究中必不可少的一个概念，同时
也是学习数学模型的一个重要方法。

指数函数单调性

2 x 8
x1 x2 , y1 y2 ,即函数y 2
2 x 8
在R上单调递减
2.f x a
2 x
是关于x的增函数，求a的取值范围
复合函数单调性：简称：同增异减内外函数同增减，原函数单调递增；内外函数异增减，原函数单调递减；
1 y 的单调区间，并证明. 3求函数 2 用复合函数的单调性
x2 2 x
y2 即 1 y1
y2 y1
函数单调递减
∴函数y在 ,1上单调递增，在
1, 上单调递减uu1 u21 （1）求函数y= 2
1 2 x x 1 2
的单调区间
x
10 10 的单调性 2 求函数y x x 10 10 x x 10 10 的值域奇偶性 3 y x x 10 10
x
求值域：
先求定义域
看函数单调性
求最值
写值域
同步p35. 已知2
x2 x
1 4
x2
, 求函数y 2 2 的值域。
x
x
当x1 , x2 1, 时， x1 x2 2 0
这时 ( x2 x1 )(x2 x1 2) 0
1 y 的单调区间定义法证明. 2 x22 2 x2 1 2 ( x2 x1 )( x2 x1 2) x1 x1 2 x2 2 x1 y2 2 2 1 1 2 y1 1 x1 2 x1 2 2 2
2 2x 则：y 1 设: u x
2
u
x2 2 x
u x 2 2x为减函数，有对任意的 x1 x2 1

高中数学指数函数的单调性如何证明

高中数学指数函数的单调性如何证明
在高中的数学学习中，我们经常会遇到指数函数，但是还是有很多同学不太理解指数函数的单调性，究竟该如何证明。

下面小编为大家解答一下关于指数函数的知识。

高中指数函数单调性证明 y=2 求证单调性,我正在上高一,能否用简单一点的,比如利用单调性的定义,还有,我在证明时遇到的情况也说一下,以下为错解：解法一：设x1＜x2,设c=x2-x1＞0
f（x1）-f（x2）=21-22=21(1-
x/gongwuyuankaoshi/2/)
∵c＞0
∴1＜x/gongwuyuankaoshi/2/（这一步怎幺得来的存在2的某正有理数次幂小于1,则其为小于1的正数,从而它的任意次幂均小于1,而有理数在乘上一个适当的数之后就是正数,所以,这个数的某次方肯定是2的正整数次方,而这样一来,就会有2的正整数次方小于1的情况出现.这是和第1点矛盾的.所以,可以知道2的正有理数次方都是大于1的.命题推广到无理数,那不是我能够说给你懂的啦.可见,你给出的两种证明单调性的方法都没有循环论证的问题.。

指数函数单调性的证明(老黄学高数第32讲)

高中 函数的单调性

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函数的单调性证明

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指数函数单调区间 - 分析指数函数的单调性区间

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高中数学 指数函数的单调性如何证明

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