抽象函数单调性的证明技巧
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
抽象函数单调性与奇偶性1.已知,对一切实数、都成立，且,求证为偶函数。
证明：令=0, 则已知等式变为……①在①中令=0则2=2∵ ≠0∴=1∴∴∴为偶函数。
2.奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。
解：由得，∵为函数，∴又∵在（-1，1）内递减，∴3.如果=(a>0)对任意的有,比较的大小解：对任意有∴=2为抛物线=的对称轴又∵其开口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，为增函数∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)4. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x ＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。
分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。
解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。
在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝（0），∴ f（0）＝0，故f （－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝（－1）＝－4，∴ f（x）的值域为［－4，2］。
5. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。
分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设，∵当，∴，则，即，∴f（x）为单调增函数。
∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。
∴，∴，即，解得不等式的解为－1 < a < 3。
6.设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。
求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。
分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）＝1且f（x）＞0。
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类目录【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （a b1ab++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）=1f (a)f (bf (a)f (b)+-单调性与奇偶性 (10)【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11)综述一、赋值思维：抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。
证明函数单调性的方法总结
证明函数单调性的方法总结函数的单调性是函数的一个重要性质，下面是小编整理的证明函数单调性的方法总结，希望对大家有帮助！1、定义法:利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性。
2、导数法:设函数y＝f(x)在某区间D内可导。
如果f′(x)>0，则f(x)在区间D 内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数。
注意：(补充)（1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数。
（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数。
2、若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，则为减(增）函数，为增（减）函数3、互为反函数的两个函数有相同的.单调性。
4、y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数。
简称”同增异减”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反。
函数单调性的应用(1)求某些函数的值域或最值。
(2)比较函数值或自变量值的大小。
(3)解、证不等式。
(4)求参数的取值范围或值。
(5)作函数图象。
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：1.1 定义法1x 、x 2)时，称f )2 )(x 在给（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x则f )上是例(=又0当x 当x 综上函数xk x x f +=)( )0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。
此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。
用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。
在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。
1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。
函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。
对于一些常见的简单函数的单调性如下表：是增（减）函数；当)f)g(x(xg在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0时，)(xf、)(x在D上是减（增）函数。
⑹．设)(xy=,Dfx∈为严格增（减）函数，则f必有反函数1-f，且1-f在其定义域)(D f 上也是严格增（减）函数。
抽象函数单调性的判断
抽象函数单调性的判断 例１ 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有)()()(y f x f y x f +=+．且当x ＞０时，)(x f ＞０，试判断)(x f 的单调性，并说明理由.解析：根据题目所给条件，原型函数为y ＝k x ，（k ＞０）．此为增函数．类比其证明方法可得：设12,x x ∈R ，且21x x <，则2x －1x ＞０，故 )(12x x f -＞０．∴ )(2x f －)(1x f ＝[]112)(x x x f +-－)(1x f＝)(12x x f -＋)(1x f －)(1x f＝)(12x x f -＞０．∴)(1x f ＜)(2x f ． 故)(x f 在（－∞，＋∞）上为增函数．例２ 已知函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0)+∞，上为增函数，证明()y f x =在(0)-∞，上也是增函数．解析：此函数原型函数同样可以为(0)y kx k =>，而奇函数这个条件正是转化的媒介．设12(0)x x ∈-∞，，，且12x x <， ()f x 为奇函数，11()()f x f x ∴-=-，22()()f x f x -=-．由假设可知1200x x ->->，，即12(0)x x --∈+∞，，，且12x x ->-， 由于()f x 在(0)+∞，上是增函数，于是有12()()f x f x ->-，即12()()f x f x ->-，从而12()()f x f x <，()y f x ∴=在(0)-∞，上是增函数．例３ 已知函数)(x f 对于任意正数x ，y 都有)(xy f ＝)(x f ·)(y f ,且)(x f ≠0,当x ＞1时, )(x f ＜1．试判断)(x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由．解析：此函数的原型函数可以为x y 1=．显然此函数在（０，＋∞）上是减函数．对于x ∈（０，＋∞）有)(x f ＝[]0)()(2≥=⋅x f x x f又)(x f ≠０， ∴)(x f ＞０设1x ，2x ∈（０，＋∞），且1x ＜2x ．则 221121121111()()()()()()()()x x f x f f x f x x x x f f x f x f x x ===＜１， ∴ )(1x f ＞)(2x f ， 故)(x f 在（０，＋∞）上为减函数．一般形式为 y=f(x)且无法用数字和字母表示出来的函数，一般出现在题目中，或许有定义域、值域等。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
(6)函数的单调性的证明以及典型题型
函数单调性的证明一、定义法证明普通函数的单调性1、求证函数y=x ³+x 在R 上是增函数。
3、求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数.4、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5、证明函数xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。
6、求证：函数x x x f --=21)(在R 上是单调减函数.7、指出f(x)=2x ²+4x 的单调区间，并对减区间的情况给予证明。
8、求12)(2--=x x x f 的单调区间一、定义法证明带字母的函数的单调性1、 用定义证明：（1）函数f(x)=kx+b(k<0,k 、b 为常数)在R 上是减函数。
（2）函数xk x g =)((k<0,k 为常数)在)0,(-∞上是增函数。
2、 求证函数x a x x f +=)(（a>0）在（0，a ）上是减函数，在（a ，+∞）上是增函数。
3、 讨论1)(2-=x ax x f （-1<x<1,a ≠0）的单调性 4、 设函数（a >b>0）,求b x a x x f ++=)(的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。
二、定义法证明抽象函数的单调性：1、已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(-x)= 0)(1>x f ,且g(x)=f(x)+c(c 为常数)，在区间[a,b]上是减函数，判断并证明g(x)在区间[-b,-a]上的单调性。
2、已知g(x)在[m,n]上的减函数，且a ≤g(x)≤b,f(x)是[a,b]上的增函数，求证f[g(x)]在[m,n]上也是减函数。
三、利用单调性求函数的值域：求下列函数的值域：1、 y=-+2x x -6 2、 y=+x 1-x3、 y=+3-x 2x +四、利用函数单调性比较大小1、 如果函数f(x)=x ²+bx+c,对于任意实数t 都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1),f(2),f(4)的大小。
抽象函数单调性的证明和应用实例
一
一
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摘要： 函数是 中学 数 Ｉ Ｉ
学 重 内 函 的 ＝ 的 点 容，数 单 Ｉ ： 甫 调 是 数 重 性 ，二 性 函的 要 质
工 高中证 委 篓用数学的基本 南 具定 明 单 义 譬 Ｉ ， 函 数 调 性是
１） ｎ １＝ … — ）… １ ）
处理含参不等式恒成立的某些问题时， 若能适时地把主元变量和 ｙ ｘ ｏ ＝ ＃Ｏ 参数变量进行“ 换位” ， 思考 往往会使问题降次、 简化。 证 明 ：１ 当 ｙ Ｏ ￣ｘ Ｏ （ ） ＝ 时 ｌ＋ ） 例 ４ 对于满足 ０ ≤４的所 有实数 ａ求使不 等式 ＋舛 ＞ ≤口 ０ ） ４ ｏ ３都成立的 的取值范围。 ＋ ＿ 因为存在 １ 使得 ≠ ） 解： 不等式变形为 ＋（－ ＋ ＞ 。 ｘ１ ｋ一 ３ ０ ２所以 ） ） ， 不恒为 ０ 。 设， （ 一４ ＋ ， ＝（一１ ｋ＋ ｘ ３ 则其是关于 ａ 的一个一次函数 ： 是单 所以 ， ） 。 《 ＝１ ０ 调函数。 （ ） ＇ ≠０ ２令 ， ， 结 胍有 △ 二 得 １ 或 则有 ７ ） ） ｛ ） 因为存在 Ｘ≠孙 使得 ｌ 总之， 含参不等式恒成立问题 因其覆盖知识点多， 方法也多种多 ２ ） ， 样， 但其核心思想还是等价转化 ， 抓住 了这点 ， 才能 以“ 不变应万变” ， 所 以对任 意值 ，判断 ） 掌握解题方法和技巧。 的值的符号为正号。
（ ） １ ：
‘ ．
’ ．
Ｏ
从而，对任意的 ∈ 都 Ｒ， 有 ） ） ０ ） 即 ） ） 。
抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x xx 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
高考数学 专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。
而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
【方法点评】确定抽象函数单调性解函数不等式使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第一步 （定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性； 第二步 （转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式；第三步 （去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规X.例 1 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 例2.已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，某某数a 的取值X 围．【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增， 则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-，②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得231231a -<<，而2313-<-，所以3231a -≤<， 综上，实数a 的取值X 围是(]5,3-- 【变式演练1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值X 围为（ ） A.22t -≤≤ B.2t ≤-或2t ≥ C.0t ≤或2t ≥ D.2t ≤-或2t ≥或0t = 【答案】D 【解析】试题分析：由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1，所以2121t at ≤-+当0t =时显然成立，当0t ≠时，则220t at -≥成立，又[1,1]a ∈-，令()22,[1,1]g a at t a =-∈-，当0t >时，()g a 是减函数，故令()10g ≥，解得2t ≥；当0t <时，()g a 是增函数，故令()10g -≥，解得2t ≤-，综上所述，2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D. 考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【变式演练2】已知定义在R 上的函数()f x 为增函数，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值X 围是（ ）A. (),0-∞B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ()1,+∞ 【答案】D【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值； （2）求证：()()f x f x -=； （3）解不等式1(2)()02f f x +-≤．【答案】（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 ．考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x yf x f y f x y++=++；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 是单调递减函数； （3）21111()()()()1119553f f f f n n +++>++，其中*n N ∈． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题（3）211()1(3)(2)23()[][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++ 1111()()()()2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111()()()111955f f f n n +++++111111[()()][()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()()3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+，∴1()03f n ->+，∴111()()()333f f f n +->+．故21111()()()()1119553f f f f n n +++>++．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和． 【高考再现】1.【2017全国卷一理】函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值X 围是（）A ．[]22-，B ．[]11-，C ．[]04，D ．[]13，【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 【解析】又()f x 在()-∞+∞，单调递减 【解析】121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤ 故选D2.【2017某某理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C3. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数的图象有对称中心.4.【2015高考，理7】如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（）A ．{}|10x x -<≤B ．{}|11x x -≤≤C ．{}|11x x -<≤D ．{}|12x x -<≤【答案】C础题，首先是函数图象平移变换，把2log y x =沿x 轴向左平移2个单位，得到2log (y x =+2)的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集.5. 【2014高考某某版理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D6. 【2014某某理12】已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈，且x y ≠，有1|()()|||2f x f y x y -<-. 若对所有,[0,1]x y ∈，|()()|f x f y k -<，则k 的最小值为（ ）A ．12B ．14C ．12πD ．18【答案】B 【解析】考点：1.抽象函数问题；2.绝对值不等式.【名师点睛】本题考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论.本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.7. 【2016高考某某理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->，则a 的取值X 围是______.【答案】13(,)22考点：利用函数性质解不等式【名师点睛】不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有：(1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化． 【反馈练习】1. 【2017-2018学年某某省某某市高一上学期第一次联考数学试题】函数()y f x =在R 上为增函数，且()()29f m f m >+，则实数m 的取值X 围是( )A. ()9+∞，B. [)9+∞，C. (),9-∞-D. (]9-∞， 【答案】A2．【2018届某某省某某市第一中学高三10月调研数学（理）试题】设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()20f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A. ()()2,02,-⋃+∞B. ()(),20,2-∞-⋃C. ()(),22,-∞-⋃+∞D. ()()2,00,2-⋃【答案】D 【解析】函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，()()0f x f x x--<，化为()20f x x<，等价于()0xf x <，当0x >时，解得02x <<，当0x <时，20x -<<，不等式的解集为：()()2,00,2-⋃，选D.3．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值X 围是（ ）A. B. C. D.【答案】C4．【2017届某某市滨海新区高三上学期八校联考（理科）数学试卷】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()0.20.24.14.1f a =， ()2.12.10.40.4f b =，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =，则（）A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a << 【答案】A【解析】设120x x << ，则()()()()122112120f x f x x f x x f x x x ->⇒>所以函数()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()g x 是定义在R上的偶函数，因此()0.20.24.14.1f a =()()0.24.11gg =<， ()2.12.10.40.4f b =()()()2.120.40.40.5gg g =>> ，()0.20.2log 4.1log 4.1f c =()()()0.251log 4.1log 4.11,2g g g g ⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c b << ，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 5．【2017届某某省高三教育质量诊断性联合考试数学（文）试卷】已知定义在R 上的奇函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()321f x x a f x -+<+对[]1,2x ∈-恒成立，则a 的取值X 围为（ ） A. ()3,-+∞ B. (),3-∞- C. ()3,+∞ D. (),3-∞ 【答案】C7．【2018届某某省六校高三上学期第五次联考理数试卷】已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2)， ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴0<x −2<2， ∴2<x <4.当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2)， ∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减， ∴−2<x −2<0，∴0<x <2.综上可得：不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或2<x <4} 故选D. 8.【2017—2018学年某某省某某市邗江区公道中学高一数学第二次学情测试题】()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的(]0a b ∈-∞，，，当a b ≠时，都有()()0f a f b a b->-.若()()121f m f m +<-，则实数m 的取值X 围为_________. 【答案】(0,2)9. 【2017届某某省某某师X 大学附属中学高三高考模拟考试二数学试题】已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，当0x <时，()()1f x x x =-．则关于m 的不等式()()2110f m f m -+-<的解集为__________． 【答案】[)0,1【解析】当0x >时，则()()()0,11x f x x x x x -<-=---=+，即()()1f x x x -=+，所以()()1f x x x =-+，结合图像可知：函数在[]1,1-单调递减，所以不等式()()2110f m f m -+-<可化为2220{111 111m m m m -->-≤-≤-≤-≤，解之得01m ≤<，应填答案[)0,1。
判断抽象函数单调性的四种策略
判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。
这类问题对发展学生思维能力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。
本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断策略做一小结，供大家解题时参考。
1 凑差策略紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f(x 1)-f(x 2)”，然后判断符号。
例1 已知函数f(x)对任意实数x 、y 均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)>0，试判断函数f(x)的单调性。
解：由f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y)令x+y=x 2，x=x 1，且x 1<x 2，则有f(x 2)-f(x 1)=f(y)∵y=x 2-x 1>0，∴f(y)=f(x 2-x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)，因此f(x)为增函数。
例2 设函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意正实数x 、y 均有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x>1时f(x)>0，判断函数f(x)的单调性并说明理由。
解：由f(xy)=f(x)+f(y)得，f(xy)-f(x)=f(y)令x+y=x 1，x=x 2，且x 1>x 2>0，则有f(x 1)-f(x 2)=f(y)，∵121>=x x y ，∴0)()(21>=x x f y f 即f(x 1)>f(x 2)，因此f(x)为增函数。
2 添项策略瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“f(x 1)-f(x 2)”的符号的目的。
例3（题同例1）解：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0，∵当x>0时，f(x)>0，∴f(x 2-x 1)>0∴f(x 2)-f(x 1)=f[(x 2-x 1)+x 1]-f(x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)-f(x 1)=f(x 2-x 1)>0 即f(x 1)<f(x 2)，因此f(x)为增函数。
化解抽象函数单调性证明的四种策略
１
）＋ ， 以 ／ ）＝／ １ ／ Ｉ ｌ所 ＜２ （ ． ２一 ）＋ ＜ ）一１＞ （ ） ｍ ＝ｎ＝１ ２ 令 得 ２ ）＝ １ ）一１ 令 ｍ ＝ ， １ ）一２ ＝
） 所 以 ＿ ） Ｒ 上 为增 函数． ， 厂 在 （
２ 凡＝ １ ， 得 ３ ２ １ ）＝ ）＋ ）一１＝
ｏ， 以 对任 意 的 ∈ Ｒ， 有 － ）＞０ 所 都 厂 （ ．
（ ）由题 意 当 ＜０时 ， 有－ ）＞１ 设 Ｖ ， ２ 都 厂 （ ， ，
２∈Ｒ， 且 ｌ＜ ， Ⅱ 一 ２贝 ｌ ２＜０，
条 件 ， 助 于 函数单调 性 的定义 进行 证 明 借
例 ３ 已知定 义域 为 （ ，＋∞ ）的 函数 ）满 ０
＋ｎ一５ ＜－ １ ． ） 厂 ） （ 因为 ． ）在 Ｒ上为 增 函数 ， 以 ０ 厂 （ 所 ＋ｎ一５ ＜ １ 一３ ＜口 ＜２， ｊ 即不等 式 的解集 为 口 ∈ （ ， ） 一３ ２ ．
例 １ 已知 ） 定 义在 Ｒ上 的恒 不为 零 的 函 是 数， 且对 于任 意 的 ， ｙ∈ Ｒ， 满 足 都
一
２４ ０ ２４ ０
＞ １ ．
魏佐 忠
（ ） 证 － ）在 Ｒ 上为增 函数 ； １求 厂 （
（） ２ 若 ３ ）＝４ 解不等式－ ａ ＋ｎ一５ ， 厂 （ ）＜２ ．
解 （ ） 任 意 ｌ ２∈Ｒ， １设 ， 且 ｌ＜ ， ｘ 一 ２则 ２ ＞０， 因为 当 ＞０时 ）＞１ 所 以 ：一 ） ， ＞１ ．又 ｌ ／ ＋ｎ ＝ ｍ）＋ ｎ 厂７ （７ ） ， ）一１ 且 ２＝ （ ， ２
足 ： 对任 意 ｍ， （ ， ① ｎ∈ ０ ＋∞ ）有 ｍ ・ ）＝ ｍ） ， ｎ ＋厂ｎ ； 当 ＞１时 ， － ）② （ 有 ）＜０ ；
证明函数单调性的方法
证明函数单调性的方法证明一个函数的单调性是数学分析中非常重要的一部分，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
在这篇文档中，我将介绍一些证明函数单调性的方法，希望能够对大家有所帮助。
首先，我们需要了解函数的单调性是指函数在定义域内的任意两个点x1和x2，若满足x1<x2，则有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，那么我们就称这个函数在这个定义域内是单调递增或单调递减的。
证明一个函数的单调性通常有以下几种方法：1. 导数法。
导数法是证明函数单调性最常用的方法之一。
我们可以通过求函数的导数来判断函数的单调性。
具体来说，如果函数在定义域内的导数大于0，那么函数就是单调递增的；如果函数在定义域内的导数小于0，那么函数就是单调递减的。
2. 一阶导数判别法。
一阶导数判别法是通过函数的一阶导数的符号来判断函数的单调性。
我们可以通过求函数的一阶导数，并根据导数的符号来确定函数的单调性。
如果一阶导数大于0，则函数单调递增；如果一阶导数小于0，则函数单调递减。
3. 二阶导数判别法。
二阶导数判别法是通过函数的二阶导数的符号来判断函数的单调性。
我们可以通过求函数的二阶导数，并根据二阶导数的符号来确定函数的单调性。
如果二阶导数大于0，则函数凹性向上，单调递增；如果二阶导数小于0，则函数凹性向下，单调递减。
4. 极值点法。
极值点法是通过函数的极值点来判断函数的单调性。
我们可以通过求函数的极值点，并根据极值点的位置来确定函数的单调性。
如果函数在极值点的左侧是单调递增的，在极值点的右侧是单调递减的；如果函数在极值点的左侧是单调递减的，在极值点的右侧是单调递增的。
以上就是几种常用的证明函数单调性的方法，当然也还有其他一些方法，但这些方法是最基本、最常用的。
希望通过这篇文档的介绍，大家能够更好地理解函数的单调性，并且能够灵活运用这些方法来证明函数的单调性。
函数的单调性是数学分析中的重要内容，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点，也为我们解决实际问题提供了重要的理论依据。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x1＜x2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商：,≠0；③变形向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1 且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法.v1.0 可编辑可修改函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=kbkxy当0>k时，y在R上是增函数；当0<k时，y在R上是减函数。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
抽象函数单调性证明技巧
抽象函数单调性证明技巧
管伟
【期刊名称】《数学教学研究》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】抽象函数是指没有给出具体解析式的函数．由于抽象函数具有一定的抽象性，其性质隐而不露，因而学生对抽象函数问题比较害怕，特别是对抽象函数单调性的证明更是百思不得其解，其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，证明时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比，猜想出它可能为某种基本函数，选择不同的“设”（即设两个不相等自变量），灵活选择作差或作商比较大小，从而判断函数的单调性．
【总页数】2页(P39-40)
【作者】管伟
【作者单位】广西博白王力中学,537600
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.抽象函数单调性的证明探究 [J], 王斌
2.抽象函数单调性的证明技巧 [J], 张杰霖
3.抽象函数单调性的证明和应用实例 [J], 李江龙
4.一类抽象函数单调性的证明 [J], 徐祝庆
5.抽象函数的单调性证明的通法 [J], 吴惜
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高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：①取值，设x 1＜x 2, 并是某个区间上任意二值;②作差：；或作商： ,≠0；③变形 向有利于判断差值符号的方向变形；,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式时，作差后进行因式分解；2、通分，当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化等）； ④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．解：设－1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝－＝＝∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．例2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。
（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例3.设函数y=f（x）定义在R上，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1（1）求证：f（0）=1且当x＜0时，f（x）＞1（2）求证：f（x）在R上是减函数．证明：（1）∵对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）•f（0），∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f（1）≠0．∴f（0）=1．令m=x＜0，n=-x＞0，则f（m+n）=f（0）=f（-x）•f（x）=1，∴f（-x）f（x）=1，又∵-x＞0时，0＜f（-x）＜1，∴f(x)=1f(-x)＞1．（1）设x1＜x2，则x1-x2＜0，根据（1）可知f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），∴函数f（x）在R上单调递减．（二）、运算性质法. 函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(≠+=k b kx y当0>k 时，y 在R 上是增函数；当0<k 时，y 在R 上是减函数。