第二章 刚体的基本运动
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15刚体的基本运动
于是得 a at an
例1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 钢索长为l，单位为m。当荡木在图示平面内摆动 π j j 0 sin t t 为时间， 时, 钢索的摆动规律为 ，其中 4 单位为s；转角j0的单位为rad，试求当t=0和 t=2s 时，荡木的中点M的轨迹、速度和加速度。
v1 v2
a1 a2
O2 r2
v1 v2
a1 a2
由于 v1 r1w1
于是可得 即
r1 w 2 w1 r2
v2 r2w 2 a1 r11 a2 r2 2
w1 1 r2 w2 2 r1
r1 2 1 r2
通常称主动轮与从动轮角速度或角加速度之比 为传动比，记为i12，由上例可知
解：系统为匀变速转动，根据 v2 – v02 = 2as，得M点的速度
2 v 2as v0
2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 5.96 m / s dv M点的切向加速度: at a 4.9m/s 2 dt M点的法向加速度:
2 2as v0 2 4.9m/s 2 2m (4m/s) 2 an R 0.2m
解：用n1， n2 ， n3和n4分 别表示各齿轮的转速，且有 n2 n3 传动比i12，i34为 n1 z2 n3 z4 i12 , i34 n2 z1 n4 z3 n1n3 z2 z4 将两式相乘，得 n2 n4 z1 z3 因为n2= n3，于是从动轮Ⅰ到齿轮Ⅳ的传动比为
2
j =0.15 t3
代入 t =2 s， 得
w 1.8 rad / s ， 1.8 rad / s 2
刚体的基本运动
转速：刚体每分钟转过的圈数。单位：r / min。 转速 n 与角速度 2n n 60 30
的关系：
（7-6）
角加速度
d d 2 lim 2 t 0 t dt dt
（7-7）
刚体的角加速度（Angular acceleration）
等于其角速度对时间的一阶导数，也等于其转角对
v r 0.4 50 20 m / s
an r 0.4 50 1000 m /s
2 2
2
例7-4 定轴轮系如图7-9所示，主动轮I通过轮齿
与从动轮II轮齿啮合实现转动传递。主动轮I和从动轮 II的节圆半径分别为r1、r2，齿数分别为z1、z2。设I轮 的角速度为 1 （转数为n1），角加速度为 1 ；II轮的 角速度为 2（转数为n2），角加速度为 2 。试求上
2 a a2 an (r )2 (rω2 )2 r 2 ω4
tan
a an
ω
2
（7-13）
在给定瞬时，刚体的角速度和角加速度有确 定的值，对刚体上任何点都是一样。因而，在同一瞬 时，转动刚体上各点的速度 v 和加速度 a 的大小均与
该点的转动半径 r 成正比；各点速度 v 的方向都垂直
O轴作定轴转动，其转动方程为 t 2 4t （1）当t = 1 s时，试求轮缘上M点速度和加速度；
（2）若轮上绕一不可伸长的绳索，并在绳索下端
悬一物体A，求当t = 1 s时，物体A的速度和加速度。 解：圆轮在任一瞬时的角速 a M 度和角加速度为 d 2t 4 rad / s
当
t 1s，直杆AB上D点的速度和加速度。
解：由于O1A与O2B平行等
动力学(运动方程)
附录 A 变矢量及矢量 附录 B 物体的质量几何 附录 C 若干均质刚体的转动惯量及
回转半径 习题参考答案
绪论
一、动力学的研究对象 二、学习动力学的目的 三、动力学的研究方法
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-1-
绪论
一、动力学的研究对象
动力学是研究物体机械运动一般规律的一门学科。 按照辩证唯物主义的观点，运动是物质存在的形式，是物质的固有属性，它包括宇宙中 发的一切现象和过程——从简单的位置变化直到人的思维活动。机械运动则是所有运动形式 最简单的一种，指的是物体在空间的位置随时间的变化。例如，车辆的行驶，机器的运转 水 的流动，人造卫星和宇宙飞船的运行，建筑物的振动，等等，都是机械运动。 平衡（例如物体相对于地球处于静止的状态）是机械运动的特殊情形 ，自然可由动力 学的理论得出解答。但由于平衡问题的研究有广泛的独立应用，现已成为一门单独的学科— —静力学，故本书不作论述。 动力学研究的内容是远小于光速的宏观物体的机械运动，它以伽利略和牛顿总结的基本 定律为基础，属于古典力学的范畴。至于速度接近于光速的物体和基本粒子的运动，则必须 用相对论和量子力学的观点才能完善地予以解释。这固然说明古典力学有局限性，但是，经 过长期的实践证明，不仅在一般工程中，就是在一些尖端科学技术（如火箭、宇宙航行等） 中所考察的物体都是宏观物体，运动速度也都远远小于光速，用古典力学来解决，不仅方便 而且能够保证足够的精确性，所以古典力学至今仍有很大的实用意义，并且还在不断地发展。 研究物体机械运动的普遍规律涉及到物体运动的变化，作用于物体的力以及物体的质量 等，因此，动力学问题比静力学问题更为复杂。为便于“循序渐进，由浅入深”地学习，本 第一章至第五章介绍了运动学的知识，具体内容包括点和刚体在空间的位置的确定以及位 随时间变化的规律；点的运动轨迹；点和刚体运动的速度、加速度等。从第六章起再进一步 研究物体的运动的变化与作用在物体上的力之间的关系，从而建立物体机械运动的普遍规 律。
回转半径 习题参考答案
绪论
一、动力学的研究对象 二、学习动力学的目的 三、动力学的研究方法
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-1-
绪论
一、动力学的研究对象
动力学是研究物体机械运动一般规律的一门学科。 按照辩证唯物主义的观点，运动是物质存在的形式，是物质的固有属性，它包括宇宙中 发的一切现象和过程——从简单的位置变化直到人的思维活动。机械运动则是所有运动形式 最简单的一种，指的是物体在空间的位置随时间的变化。例如，车辆的行驶，机器的运转 水 的流动，人造卫星和宇宙飞船的运行，建筑物的振动，等等，都是机械运动。 平衡（例如物体相对于地球处于静止的状态）是机械运动的特殊情形 ，自然可由动力 学的理论得出解答。但由于平衡问题的研究有广泛的独立应用，现已成为一门单独的学科— —静力学，故本书不作论述。 动力学研究的内容是远小于光速的宏观物体的机械运动，它以伽利略和牛顿总结的基本 定律为基础，属于古典力学的范畴。至于速度接近于光速的物体和基本粒子的运动，则必须 用相对论和量子力学的观点才能完善地予以解释。这固然说明古典力学有局限性，但是，经 过长期的实践证明，不仅在一般工程中，就是在一些尖端科学技术（如火箭、宇宙航行等） 中所考察的物体都是宏观物体，运动速度也都远远小于光速，用古典力学来解决，不仅方便 而且能够保证足够的精确性，所以古典力学至今仍有很大的实用意义，并且还在不断地发展。 研究物体机械运动的普遍规律涉及到物体运动的变化，作用于物体的力以及物体的质量 等，因此，动力学问题比静力学问题更为复杂。为便于“循序渐进，由浅入深”地学习，本 第一章至第五章介绍了运动学的知识，具体内容包括点和刚体在空间的位置的确定以及位 随时间变化的规律；点的运动轨迹；点和刚体运动的速度、加速度等。从第六章起再进一步 研究物体的运动的变化与作用在物体上的力之间的关系，从而建立物体机械运动的普遍规 律。
刚体的定轴转动定律
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
理论力学 第二章 刚体的基本运动
0
nπ 式中n为转速 单位：转/ 分(r/min) 。 山东大学 土建与水利学院工程力学系 THEORETICAL MECHANICS 30
§ 2.2 刚体绕定轴的转动
3.角加速度
描述角速度变化的快慢程度
2
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) α与同号，刚体加速转动；
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
§2.4 轮系的传动比
1 n1 r2 Z2 i1,2 2 n2 r1 Z1
此结论对于锥齿轮传动和带 轮传动同样适用。 在一些复杂轮系（如变速器） 中包含有几对齿轮。可将每一对 齿轮的传动算出后，将它们连乘 起来，变为可得总的传动比。
392.8 62.5 转 2π
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
例2- 3 轮子绕O点作定轴转动，其加速度方向和轮的半径
成60度角，求轮的转动方程，以及角速度和转角之间的关系。
00, 0.
M
O
a
60
THEORETICAL MECHANICS
解 ： AB 杆 为 平 移 ， O1A 为 定 轴 转 动 。 根 据 平移的特点，在同一瞬 时，M、A两点具有相同 的速度和加速度。
THEORETICAL MECHANICS
山东大学 土建与水利学院工程力学系
例 题
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
ds dv vA 3π （m/s) a A t 0 dt dt
§ 2.1 刚体的平行移动
大学物理之刚体的基本运动
五、刚体的定轴转动程英豪5-1 刚体运动的基本概念一、刚体模型刚体：在外力的作用下，大小和形状都不变的物体。
（物体内任意两点的距离不变）二、刚体的运动平动：刚体运动时，其内部任何一条直线，在运动中方向始终不变（各点位移、速度、加速度均相同，可视为质点，刚体质心的运动代表了刚体平动中每一质元的运动）转动：刚体的各个质点都绕同一直线(转动轴)作圆周运动。
质心轴：通过质心的转动轴。
定轴转动：转轴固定不动的转动。
旋进(进动)：转轴上一点静止，转轴方向变化。
平面平行运动：刚体内所有运动点都平行于某一平面(参考平面)。
刚体的一般运动：可以视为平动以及转动的合成。
三、转动惯性的量度（转动惯量）1、转动惯量定义：∑∆=iiizrmI2——对z轴的转动惯量连续分布有：⎰=dmrIz2刚体的转动动能：221ωz kI E =转动惯量的物理意义：Iz 表示刚体转动时惯性的大小。
转动惯量Iz 的大小决定于：1)刚体的质量：同形状的刚体，ρ越大，Iz 就越大；(2)质量的分布：质量相同，dm 分布在 r 越大的地方，则Iz 越大； (3)刚体的转轴位置：同一刚体依不同的转轴而有不同的Iz 。
2、、平行轴定理2mdJ J C +=——平行轴定理3、薄板的垂直轴定理z 轴与x 轴、y 轴两两垂直。
4、常见刚体的转动惯量5-2 刚体定轴转动的运动学规律1、角量与线量之间的关系对刚体上的质元 Pi ，2、角速度矢量5-3 刚体定轴转动的动力学规律一、刚体定轴转动定律dtd I M zz ω=（Mz ：总外力矩，各外力对转轴对z 轴的力矩代数和） Mz=0 时，刚体将保持静止或匀速(匀角速度)转动。
二、刚体定轴转动的动量矩定理 守恒定律 1.刚体定轴转动的动量矩 刚体对定轴 z 的动量矩：2.刚体定轴转动的动量矩定理I 可变化的质点系或非刚体的定轴转动⎰-=tt z z z I I dt M 00ωω3、刚体定轴转动动量矩守恒注意：（1）守恒条件为M=0；（2）内力矩不改变系统的动量矩；（3）动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律。
08刚体的基本运动
结论：平移刚体的运动学问题可归结为
点
的运动学问题。
第二节
刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程 转角：
t
说明：
（1）转角 为代数量，正负号表示 转向，一般按右手螺旋法则确定；
（2）转角 的单位：rad（弧度）
二、绕定轴转动刚体的角速度
d dt
说明（1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数量，其正负号表示转向 ；角速 度 的正负号规定与转角 一致；
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转
动方程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索
缠绕在鼓轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时， 轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例4] 半径 R = 0.5 m 的飞轮由静止开始转动，角加速度按 = b/(5 + t) rad/s2（b 为常数）的规律变化。已知 t = 5 s 时，轮缘 上点的速度 v = 20 m/s，试求当 t = 10 s 时，轮缘上点的速度和 加速度。 解：1）求飞轮的角速度、角加速度
时木梁中点 M 的速度和加速度
解： 木梁整体做曲线平移运动，因此
其上各点的运动轨迹相同t
v r
at r
an r
2
d d 2 2 dt dt
a r 2 4
tan 2
[例2] 杆OA套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运 动。已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平 距离 l = 400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆OA的 角速度和角加速度。
刚体的基本运动
三、刚体平面运动的运动方程 刚 体 平 面 运 动 建立如图的静坐标系， 建立如图的静坐标系， 基点。 点称为基点 将 O′点称为基点。 当刚体作平面运动时， 当刚体作平面运动时， xO′，yO′ 和 均随时间连续变 化，它们均为时间的单值连 续函数， 续函数，即 x = f (t ) (t
1 O′ yO′ = f 2 (t ) = f 3 (t )
O
vO
O
ω
A B
O
ω
O1
二、刚体平面运动的简化 刚 体 平 面 运 动 如图所示， 如图所示，刚体作平面 运动时， 运动时，刚体上所有与空间 某固定平面距离相等的点所 构成的平面图形就保持在它 自身所在的平面内运动。 自身所在的平面内运动。
A1
π
A
S
经分析可得如下结 论：
π0
A2
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 刚体的平面运动可以简化为平面图形 在其自身所在的平面内运动。 在其自身所在的平面内运动。
静 平 面 动
z
= (t )
平 面
这就是刚体的转动方程。 开门 这就是刚体的转动方程。(开门 转动方程 开门)
刚体上任意一点的轨迹都为圆。
O
二、角速度、角加速度 角速度、
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时 8.2 间的一阶导数，用ω 表示，即 间的一阶导数， 表示，
刚 体 的 定
d ω= = dt
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 牵连点 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。 四．动点的选择原则： 动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有 运动的点。 五．动系的选择原则： 动系的选择原则 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。
点的一般运动与刚体的基本运动
四元数描述的优点是避免了万向锁问题，并且在 插值和组合多个旋转时具有更好的数值稳定性。
05 点与刚体的相互作用
与力矩作用在刚体上
力是改变物体运动状态的原因，力的大小、方向和作用点决定了力的效果。
力矩是力和力臂的乘积，用来描述力对物体转动效果的量，其方向垂直于 力和转动轴所在的平面。
在刚体上施加力或力矩，会导致刚体产生平动或转动加速度，进而改变其 运动状态。
旋转矩阵描述
旋转矩阵是一个3x3的实数矩阵，用 于描述刚体在三维空间中的旋转。
旋转矩阵描述的优点是数学表达严谨， 适用于进行复杂的坐标变换和组合旋 转。
通过给定绕着三个坐标轴的旋转角度， 可以计算出一个唯一的旋转矩阵。
四元数描述
四元数是复数的一种扩展，用于描述三维空间中 的旋转和方向。
四元数由一个实部和三个虚部组成，可以表示为 一个有序实数四元组。
2. 可描述性
点的运动可以通过数学方程进 行描述，如运动方程和轨迹方
程。
3. 受约束性
点在运动过程中可能受到某些 约束，如固定点、运动范围等
。
运动方程与轨迹
运动方程
描述点在空间中的位置随时间变化的数学表达式。
轨迹
点在空间中移动时所形成的路径。
速度与加速度分析
速度
描述点在空间中移动的快慢程度，由 方向和大小组成。
课程目标
理解点的一般运动和平动、转动的关系。 掌握刚体运动的基本定理和定理的应用。
掌握刚体的基本运动和平动、旋转、平移的关系。 了解刚体运动的实例和应用。
02 点的一般运动
定义与特性
01
02
03
04
定义
点的一般运动是指一个点在三 维空间中按照一定的规律和轨
05 点与刚体的相互作用
与力矩作用在刚体上
力是改变物体运动状态的原因，力的大小、方向和作用点决定了力的效果。
力矩是力和力臂的乘积，用来描述力对物体转动效果的量，其方向垂直于 力和转动轴所在的平面。
在刚体上施加力或力矩，会导致刚体产生平动或转动加速度，进而改变其 运动状态。
旋转矩阵描述
旋转矩阵是一个3x3的实数矩阵，用 于描述刚体在三维空间中的旋转。
旋转矩阵描述的优点是数学表达严谨， 适用于进行复杂的坐标变换和组合旋 转。
通过给定绕着三个坐标轴的旋转角度， 可以计算出一个唯一的旋转矩阵。
四元数描述
四元数是复数的一种扩展，用于描述三维空间中 的旋转和方向。
四元数由一个实部和三个虚部组成，可以表示为 一个有序实数四元组。
2. 可描述性
点的运动可以通过数学方程进 行描述，如运动方程和轨迹方
程。
3. 受约束性
点在运动过程中可能受到某些 约束，如固定点、运动范围等
。
运动方程与轨迹
运动方程
描述点在空间中的位置随时间变化的数学表达式。
轨迹
点在空间中移动时所形成的路径。
速度与加速度分析
速度
描述点在空间中移动的快慢程度，由 方向和大小组成。
课程目标
理解点的一般运动和平动、转动的关系。 掌握刚体运动的基本定理和定理的应用。
掌握刚体的基本运动和平动、旋转、平移的关系。 了解刚体运动的实例和应用。
02 点的一般运动
定义与特性
01
02
03
04
定义
点的一般运动是指一个点在三 维空间中按照一定的规律和轨
理论力学—刚体平面运动
在图示位置 60 时，曲柄角速度为， OA AB，且AB与槽在B点的法线夹角 30 。
试求：该瞬时滑块B的速度和AB杆的角速度。
B
O
A
R
O1
解：用速度合成法（基点法）求解。
取A 为基点，B 点的速度为
vB v A vBA
式中：vA r 方向与OA相垂直。
vBA方向与AB杆垂直，大小未知
第二章 刚体的平面运动
§２.1. 刚体平面运动的简化 §２.2. 用分析方法研究平面图形的运动 §2.2.1. 运动方程
§2.2.２.平面图形的角位移、角速度 角加速度
§2.2.3. 平面图形上点的运动分析
*§2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动 §2.3.1 平面平动 §2.3.2 定轴转动 *§ 2.3.3 平面图形上点的速度关系 *§2.3.4. 平面图形上点的加速度关系
Z
Y A1
S
A
A2
X
简化
Y
S A
X
§2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形S,其位置的确定 可由其上任一线段AB 的位置来确定。
AB 位置由下述方法确定：
y
建立与参考空间固连
B
直角坐标Oxy
x A
A
A点坐标：xA, yA
O
y
A
x
方位角（AB与固定线 Ox夹角）
求解B 点的速度、加速度。
§2.3. 矢量法研究平面图形的运动
2.3.1、平面平动
平面平动特征
刚体上任意线段AB在移动
B
B'
过程中方向不变。
平动刚体上点的速度与加速度 rB A
试求：该瞬时滑块B的速度和AB杆的角速度。
B
O
A
R
O1
解：用速度合成法（基点法）求解。
取A 为基点，B 点的速度为
vB v A vBA
式中：vA r 方向与OA相垂直。
vBA方向与AB杆垂直，大小未知
第二章 刚体的平面运动
§２.1. 刚体平面运动的简化 §２.2. 用分析方法研究平面图形的运动 §2.2.1. 运动方程
§2.2.２.平面图形的角位移、角速度 角加速度
§2.2.3. 平面图形上点的运动分析
*§2.3. 用矢量方法研究平面图形的运动 §2.3.1 平面平动 §2.3.2 定轴转动 *§ 2.3.3 平面图形上点的速度关系 *§2.3.4. 平面图形上点的加速度关系
Z
Y A1
S
A
A2
X
简化
Y
S A
X
§2.2 分析法研究平面图形的运动
2.2.1.运动方程
一、确定图形位置
自由的平面图形S,其位置的确定 可由其上任一线段AB 的位置来确定。
AB 位置由下述方法确定：
y
建立与参考空间固连
B
直角坐标Oxy
x A
A
A点坐标：xA, yA
O
y
A
x
方位角（AB与固定线 Ox夹角）
求解B 点的速度、加速度。
§2.3. 矢量法研究平面图形的运动
2.3.1、平面平动
平面平动特征
刚体上任意线段AB在移动
B
B'
过程中方向不变。
平动刚体上点的速度与加速度 rB A
刚体基本运动
2 2
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小， 等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的 at 方向与速度垂直并指向轴线。
w
a
M
r a n
j
s
M0
O
2.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a
at
j
a at 2 an2 R a 2 w 4 at a tan 2 an w
2.1 刚体的平行移动
如果在物体内任取一直线段，在运动过程 中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种 运动称为平行移动，简称平动。
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2.1刚体的平行移动
C
D
A
摆式输送机的料槽 筛分机构
B
直线行驶的列车车厢
2.1刚体的平行移动
在刚体上任取两点，令A的矢径为rA, B的矢径为rB,两条 矢端曲线是两点的轨迹。
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
r dr v lim dt t 0 t
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
1.1 矢量法
3. 加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。 点
1.3 自然法
全加速度为at和an的矢量和
a a t an
全加速度的大小和方向由下列二式决定：
v
大小：
at
a a t an
2
2
M
方向：
| at | tan an
an
a
例2：下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。
即：转动刚体内任一点的法向加速度(又称向心加速度)的大小， 等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的 at 方向与速度垂直并指向轴线。
w
a
M
r a n
j
s
M0
O
2.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点的全加速度为：
a
at
j
a at 2 an2 R a 2 w 4 at a tan 2 an w
2.1 刚体的平行移动
如果在物体内任取一直线段，在运动过程 中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种 运动称为平行移动，简称平动。
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2.1刚体的平行移动
C
D
A
摆式输送机的料槽 筛分机构
B
直线行驶的列车车厢
2.1刚体的平行移动
在刚体上任取两点，令A的矢径为rA, B的矢径为rB,两条 矢端曲线是两点的轨迹。
动点的速度矢等于它的矢径对时间的一阶导数。
r dr v lim dt t 0 t
动点的速度矢沿着矢径的矢端曲线的切线，即沿 动点运动轨迹的切线，并与此点运动的方向一致。
1.1 矢量法
3. 加速度 点的速度矢对时间的变化率称为加速度。点的加 速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的变化。 点
1.3 自然法
全加速度为at和an的矢量和
a a t an
全加速度的大小和方向由下列二式决定：
v
大小：
at
a a t an
2
2
M
方向：
| at | tan an
an
a
例2：下图为料斗提升机示意图。料斗通过钢丝绳由绕水平轴O 转动的卷筒提升。已知：卷筒的半径为R＝16cm，料斗沿铅垂提 升的运动方程为y＝2t2，y以cm记，t 以s计。求卷筒边缘一点M在 t＝4s时的速度和加速度。
物理 刚体力学
Байду номын сангаас
2、说明 、
转动惯量是标量； 转动惯量是标量； 转动惯量是标量 转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性 单位：kgm2 单位： 单位
Δ mi
3、转动惯量的计算 、
若质量离散分布 若质量连续分布
J＝∑ m i ri
i
2
J = ∫ r dm
2
故
∑ M ＝∑ m r
i
2
i i
α 可写为：
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 、 两个内力的合力矩为零。 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 f f’
d
3、刚体的情况 、
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i， 成的，对于质点 ，假设它的质 量为△ 所受的外力为F 量为△mi，所受的外力为 i， 内力为f 内力为 i，则 2 i i i
2
m
2 J = ∫ dJ = ∫ dm r 2 3
2m 4 = 3 ∫ r dr R 0 2 = mR2 5
R
4、几种刚体的转动惯量 、
垂直于杆的轴通过杆的中心 垂直于杆的轴通过杆的中心 杆的端点 对通过盘心垂直盘面的转轴 对通过盘心垂直盘面的转轴 J=M l 2/12 J=M l 2/3 J=MR 2/2
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动 转轴不随时间变化 z ω,α v r P
定轴转动的特点： 定轴转动的特点：
轴 时间 转 动 动 轴
向 刚体 O 定轴 r
参 考 方
3、刚体的一般运动 、
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 、 、 、 各点的 运动都不相同
2、说明 、
转动惯量是标量； 转动惯量是标量； 转动惯量是标量 转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性； 转动惯量有可加性 单位：kgm2 单位： 单位
Δ mi
3、转动惯量的计算 、
若质量离散分布 若质量连续分布
J＝∑ m i ri
i
2
J = ∫ r dm
2
故
∑ M ＝∑ m r
i
2
i i
α 可写为：
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 、 两个内力的合力矩为零。 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。 f f’
d
3、刚体的情况 、
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i， 成的，对于质点 ，假设它的质 量为△ 所受的外力为F 量为△mi，所受的外力为 i， 内力为f 内力为 i，则 2 i i i
2
m
2 J = ∫ dJ = ∫ dm r 2 3
2m 4 = 3 ∫ r dr R 0 2 = mR2 5
R
4、几种刚体的转动惯量 、
垂直于杆的轴通过杆的中心 垂直于杆的轴通过杆的中心 杆的端点 对通过盘心垂直盘面的转轴 对通过盘心垂直盘面的转轴 J=M l 2/12 J=M l 2/3 J=MR 2/2
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动 转轴不随时间变化 z ω,α v r P
定轴转动的特点： 定轴转动的特点：
轴 时间 转 动 动 轴
向 刚体 O 定轴 r
参 考 方
3、刚体的一般运动 、
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 、 、 、 各点的 运动都不相同
理论力学8刚体的基本运动
前面都为数量表达式，只有大小，而未标明方向； 矢量表达既有大小，又有方向。
一. 角速度和角加速度的矢量表示
按右手定则规定
w ， 的方向。
大小:|w ||ddt |
dw dw k k
dt dt
方向如图 w wk
15
二 刚体内任一点的线速度和线加速度的矢积表示
vRw rsin w |w r|wrsin Rw
小于90o , 在同一瞬间的速度和加速度的分布图为:
各点速度分布图
各点加速度分布图
10
§8-4 绕定轴转动刚体的传动问题
传动比：通常称主动轮与从动轮角速度之比
i12
w1 w2
一.齿轮传动
因为是做纯滚动(即没有相对滑动) 1.内啮合
vF vE vF vE
wF rF wE rE
定义齿轮传动比
iEF
aC n Rw02 0.532 4.5m/s 2
aC (aC )2 (aC n )2 12 4.52 4.61 m/s2
tg
aC aC n
1 4.5
0.222,
12.5
⑤ t=3s 时， aC aA 1m/s2,aCn Rw 2 0.592 40.5m/s2
aC
12 40.52 40.51m/s2,
w 2 w02 2
7
§8-3 转动刚体内各点的速度和加速度
一. 线速度V和角速度w之间的关系(即角量与线量的关系)
w , 对整个刚体而言(各点都一样)；
v, a 对刚体中某个点而言(各点不一样)。
v
v
lim
t0
R t
wR
v wR
8
二.角加速度 与an ,a 的关系
刚体的基本运动
刚体的基本运动
答案：
刚体的基本运动形式包括平动、转动（分为定轴转动和非定轴转动）以及平面运动（随质心的平动、绕质心的转动）。
平动是指刚体在运动过程中，整体上以同一速度沿直线运动的现象，其特点是刚体内各点的运动轨迹完全相同。
转动则是刚体绕某一轴心进行旋转的运动，根据轴心的位置不同，可以分为定轴转动和非定轴转动。
平面运动则包括了随质心的平动和绕质心的转动，这种运动形式在工程实际中也是常见的。
复合运动，即平动和转动的组合运动，是刚体运动的一种特殊形式。
例如，自行车在平地上行驶时，既有整车质心的平动，又有轮胎相对于地面的转动。
因此，复合运动确实是刚体的基本运动形式之一。
延伸：
刚体指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点相对位置不变的物体。
绝对刚体实际上只是一种理想模型，因为任何物体在受力作用后，都或多或少地变形，如果变形的程度相对于物体本身几何尺寸来说极为微小，在研究物体运动时变形就可以忽略不计。
把许多固体视为刚体，所得到的结果在工程上一般已有足够的准确度。
刚体的特点：刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的。
刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动。
刚体
牵连速度
r r r a = a'+a0
牵连 加速度
三、加利略变换 系相对于S系作匀速直线平动 若S′系相对于 系作匀速直线平动，则: 系相对于 系作匀速直线平动，
v u = 常矢量 v v du a0 = =0 dt v v a = a′
设t=0时两坐标系的原点 时两坐标系的原点 重合， 系相对于 系相对于S系以 重合，S′系相对于 系以 速率u朝 正方向运动 正方向运动,则 速率 朝x正方向运动 则
1-6
相对运动
一、运动描述具有相对性
车上的人观察
地面上的人观察
运动是相对的 静止参考系、 静止参考系、运动参考系也是相对的
二、“绝对运动”、牵连运动、相对运动 绝对运动” 牵连运动、 三者应具有如下变换关系 “绝对位矢” 绝对位矢” 绝对位矢 1、位移变换关系 相对位矢 、
v v v r = r′ + r0
A x
dy d 2 2 (2) v = = ( 8.5 + t − 8.5) dt dt t v= 8.52 + t 2
dv d t a= ) = ( dt dt 8.52 + t 2 8.52 a= (8.52 + t 2 )3 2
3、一质点在 、一质点在OXY平面内运动，运动学方程为： 平面内运动， 平面内运动 运动学方程为： X=2t, Y=19-2t2 (1) 质点的运动轨道方程 (2)写出 写出t=1s和t=2s时刻质点的位矢；并计算这一秒 时刻质点的位矢； 写出 和 时刻质点的位矢 内质点的平均速度； 内质点的平均速度； (4)在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直 ？ 这 在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直？ 在什么时刻质点的位矢与其速度恰好垂直 它们的X、 分量各为多少 分量各为多少？ 时，它们的 、Y分量各为多少？ (3)t=1s和t=2s时刻的速度和加速度； 时刻的速度和加速度； 和 时刻的速度和加速度 (5)在什么时刻，质点离原点最近？距离是多少？ 在什么时刻， 在什么时刻 质点离原点最近？距离是多少？
06 刚体的基本运动
3 1 ln 3 1 3 0 t
6.4 已知轮 I、II、III 的半径分别为 r1＝30cm，r2＝75cm，r3＝40cm，轮 I 的转速 n1＝ 100rpm。求物块 M 的上升速度，胶带 AB、BC、CD、DA 各段上点的加速度的大 小。 B A
r3
r2
n1
O1 DБайду номын сангаас
r1
2
O2
1
C
v
I
当 d＝r=5cm 时，
II
50 50 2 2 (rad/s2) 2 r 5 2n I II 20 (rad/s) 60
所以，当 d＝r 时，轮 II 边缘上的一点的全加速度的大小
2 4 a R II II 15 (2 )2 (20 )4 59218 (cm/ s2 )
a A a
n n aM aA a 2 ,
M 点：∵AB 杆作曲线平动，∴ vM v A a , 6.3
a M a A a
如图所示，一飞轮绕固定轴 O 转动，其轮缘上任一点 M 的全加速度在某运动 过程中与轮半径的交角恒为 60o。当运动开始时，其转角 0 0 ，角速度为0。求 飞轮的转动方程以及角速度与转角的关系。
M
解：
1
n1
30
， 2
1 r1
r2
AB 和 CD 之间各点作匀速直线运动， AD 和 BC 之间各点作匀速圆周运动，所以
a AD r112 32.9 (cm/s2)
2 a BC r2 2 13.16 (cm/s2)
aAB aCD 0 ， 物块 M 的上升速度 v M r3 2 1.676 (cm/s)
第二章 质点与刚体的运动
二、参考系和坐标系 1、运动的绝对性和相对性 2、参考系：为描述物体运动而被选作标准的另外的一个不变 形的或几个无相对运动的物体。 （在描述物体运动时,被选作参考的其他物体,叫做参考系） （1）物体的运动性质与参考系有关 （2）参考系应是客观存在的不变形的物体 （3）参考系的选择原则：视研究问题方便而定
刚体是指在任何情况下，都没有形变的物体。 刚体也是一个各质点之间无相对位置变化且质量连续分布 的质点系。
§2.2
一、空间和时间的量度
空间和时间
1、经典时空观： – 时间是连续、均匀、独立、单方向流逝的东西 – 空间是连续、均匀、各向同性、独立存在着的东西 – 物质、空间、时间彼此独立无关 2、时空度量 ：时间和长度标准单位的规定 • 一切周期运动都可用来量度时间。
v2 8 m/s 与x轴正向Fra bibliotek反[例题3]将真空长直管沿竖直方向放置.自其中O点向上 抛小球又落至原处所用的时间为t2. 在小球运动过程中
经过比O点高h处,小球离开h处至又回到h处所用时间为
t1.现测得t1、t2和h，试决定重力加速度g.
[解] 建坐标系如图,
1 2 y y0 v0 y t gt 2
v 2 v0 2a( x x0 ) ③ (v 2 v0 2as)
2 2
方法二：用加速度平均定义求 图示法：位移—时间图；速度—时间图；加速度—时间图
v
x
1 2 at 2
v0
0 v0t t a 0
t
0
t
⒊只在重力作用下的直线运动
自由落体, 竖直上抛, 竖直下抛都是加速度大小a=g，方向 竖直向下的匀变速直线运动, 可直接应用匀变速直线运动 的公式，但要注意初始条件。 自由落体运动：v gt , y gt , v 2 gy (t 0, y 0)
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第二章 刚体的基本运动
一、目的要求
1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。
2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。
3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。
4．掌握传动比的概念及其公式的应用。
5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。
二、基本内容
刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。
（1）基本概念
刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。
（2）主要公式
平动刚体上，任意两点之间均有
B A v v =，B A a a =
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为
ωr v =，ατr a =，2ωr a n =，22n a a a +=τ，n a a tg τ
θ=
以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为
r v ⨯=ω
v r a ⨯+⨯=ωα
三、重点和难点
1．重点
（1）刚体平动及其运动特征。
（2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。
（3）转动刚体内各点的速度与加速度。
2．难点：
用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。
四、学习建议
（1）对刚体平动强调“三相同”。
（2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。
（3）对轮系传动比作一般介绍。
（4）对ω ，α 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一
般介绍以供推导公式用。