八年级数学专题训练七
七八年级数学试题及答案
七八年级数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正整数？A. -3B. 0C. 1.5D. 2答案：D2. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 1答案：A3. 计算下列哪个表达式的结果为0？A. 3+2B. 5-5C. 4×0D. 8÷2答案：B4. 如果一个角的补角是120°，那么这个角的度数是：A. 60°C. 90°D. 120°答案：B5. 以下哪个图形是轴对称图形？A. 平行四边形B. 等腰三角形C. 矩形D. 所有选项答案：D6. 一个数的平方是36，这个数是：A. 6B. -6C. 6或-6D. 36答案：C7. 计算下列哪个表达式的结果为负数？A. (-2)×(-3)B. (-2)×3C. 2×3D. (-2)+3答案：B8. 一个等腰三角形的底角是40°，那么顶角的度数是：B. 80°C. 60°D. 40°答案：A9. 下列哪个选项是无理数？A. 3.14B. √2C. 0.333...D. 1/3答案：B10. 一个数的立方是-8，这个数是：A. 2B. -2C. 8D. -8答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的绝对值是5，这个数可能是______。
答案：±512. 一个角的余角是30°，那么这个角的度数是______。
答案：60°13. 计算2的平方根的平方，结果是______。
答案：214. 一个等边三角形的内角和是______。
答案：180°15. 计算(-3)的立方，结果是______。
答案：-2716. 一个数的倒数是1/4，这个数是______。
答案：417. 一个数的平方是16，这个数可能是______。
答案：±418. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______。
人教版八年级数学下册优秀作业课件 第十八章 平行四边形 专题训练(七) 与正方形有关的几个常考模型
模型二 正方形中过对角线交点的直角问题 3．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1， OC1分别交正方形ABCD的边AB，BC于点E，F. (1)求证：△AOE≌△BOF； (2)如果这两个正方形的边长都为a，求这两个正方形重叠的部分四边形OEBF的 面积．
解 ： (1)AE＝ DF，AE⊥DF，理 由如下： 设 AE与 DF相交于 点 P，∵四 边形 ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°.又∵动点E，F分别从D，C两 点 同 时 出 发 ， 以 相 同 的 速 度 在 直 线 DC ， CB 上 移 动 ， ∴ DE ＝ CF ， ∴△ADE≌△DCF，∴AE＝DF，∠DAE＝∠CDF.又∵∠CDF＋∠ADF＝90°， ∴∠DAE＋∠ADF＝90°，∴∠APD＝90°，∴AE⊥DF
【应用】(1)C△BEF＝BE＋BF＋EF＝BE＋BF＋AE＋CF＝AB＋BC＝2＋2＝4 (2)EF＝CF－AE，理由如下：如图，在CB上取一点G，使CG＝AE，连接DG， ∵AE＝CG，∠DAE＝∠C＝90°，AD＝DC，∴△DAE≌△DCG，∴DE＝DG， ∠ EDA ＝ ∠ GDC. 又 ∵ ∠ ADC ＝ 90° ， ∴ ∠ EDG ＝ ∠ ADG ＋ ∠ ADE ＝ ∠ ADG ＋ ∠ GDC ＝ 90°. 又 ∵ ∠ EDF ＝ 45° ， ∴ ∠ FDG ＝ 45° ＝ ∠ EDF. 又 ∵ DF ＝ DF ， ∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF＝CF－CG＝CF－AE
2．(模型运用)如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发， 以相同的速度在直线DC，CB上移动，连接AE，DF.
(1)如图①，当点E，F分别在边DC，CB上移动时，请写出AE与DF的关系，并 说明理由；
八年级数学上册第十五章 第3节 分式方程 解答题专题训练 7含答案解析.docx
八年级数学上册第十五章第3节分式方程解答题专题训练⑺一、解答题1.解方程（8分）x- 1 xX- 1 X2 - 12.为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4 800元.若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元.⑴分别求出甲、乙两车每趟的运费；（2）若单独租用甲车运完此堆垃圾，需多少趟？⑶若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x, y均为正整数.①当x=10 时，y=_；当y=10 时，x= _____:②用含x的代数式表示y；探究：⑷在⑶的条件下：①用含x的代数式表示总运费w；②要想总运费不大于4 000元，甲车最多需运多少趟？（1）化简：（2°； + 2°一_ ）十互3.— 1 a~ — 2a +1 a— 1x + 1 2（2）解分式方程：- -------- =1x-3 x+34.某校服厂准备加工500套运动服，在加工200套后，改进工艺，使得工作效率比原计划提高20%,结果共用9天完成任务，问校服厂原计划每天加工多少套？5.列方程解下列实际问题某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？6.某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有45座和60座两种型号的客车可供租用，已知60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100 元.（1）会务组第一天在这家公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600 元，求45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案，方案1：若只租用45座的客车，会有一辆客车空出30个座位；方案2：若只租用60座客车，正好坐满且 比只租用45座的客车少用两辆① 请计算方案1,2的费用；② 如果你是会务组负责人，从经济角度考虑，还有其他方案吗？7. 解下列分式方程：(2) --------- 1 = -------------------- x-1 (x-l)(x + 2)&列方程解应用题：港珠澳大桥是中国中央政府支持香港、澳门和珠三角地区城市快速发展的一项重大举措， 港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工岛，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和 澳门，止于珠海洪湾，总长55千米，是粤港澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工 程.某天，甲乙两辆巴士均从香港口岸人工岛出发沿港珠澳大桥开往珠海洪湾，甲巴士平 均每小时比乙巴士多行驶10千米，其行驶时间是乙巴士行驶时间的丄.求乘坐甲巴士从香6港口岸人工岛出发到珠海洪湾需要多长时间.9. 2019年4月12日，安庆“筑梦号”自动驾驶公开试乘体验正式启动，让安庆成为全国 率先开通自动驾驶的城市，智能、绿色出行的时代即将到来.普通燃油车从A 地到B 地， 所需油费108元，而自动驾驶的纯电动车所需电费27元，已知每行驶I 千米，普通燃油汽 车所需的油费比自动的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求自动驾驶的纯电动汽车每行驶 1千米所需的电费.10. 2020年新冠肺炎疫情影响全球，在我国疫情得到有效控制的同时，其他国家感染人 数持续攀升，呼吸机作为本次疫情中重要的治疗仪器，出现供不应求，而我国是全球最大 的呼吸机生产国•很多企业承担了大量生产呼吸机的任务.现某企业接到订单，需生产4,B 两种型号的呼吸机共7700台，并要求生产的A 型呼吸机数量比B 型呼吸机数量多 2100 台.(1)生产A, B 型两种呼吸机的数量分别是多少台？如果该生产厂家共有26套生产呼吸机的机床设备，同时生产这两种型号的呼吸机，每套设 备每天能生产A 型呼吸机90台或B 型呼吸机60台，应各分配多少套设备生产A 型呼吸机 和B 型呼吸机，才能确保同时完成各自的任务.12. 在国庆70周年之际，为表达对人民子弟兵的敬意，某班将募集到的60件小礼品邮寄11. (1)解不等式组 % + 2< 3%4%-2<x+4(2)解分式方程口x-2=1给某边防哨卡，计划每名战士分得数量相同的若干个小礼品，结果还剩5个；改为每名战士再多分1个，结果还差6个，这个哨卡共有多少名战士？13.动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就分两批分别用32000元和68000元购进了这种玩具销售，其中第二批购进数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.(1)该动漫公司这两批各购进多少套玩具？(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部销售后总利润不少于20000元，那么每套售价至少是多少元？JQ 314.解分式方程：R —1 = (_1)(乂 + 2)15.某班班委主动为班上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集450元，由全体班委同学分担，有5名同学闻讯后也自愿参加捐助，和班委同学一起平均分担，因此每个班委同学比原先少分担45元，问：该班班委有几个？16.甲、乙两公司为某基金会各捐款30 000元.已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%,乙公司比甲公司人均多捐20元.甲、乙两公司各有多少人？17.解分式方程：x+4 3(2) ---------- —------I丿兀(兀一1) x-118.已知关于x的分式方程^-^-- = 1.x-2 x⑴若方程的增根为x=2,求a的值；⑵若方程有增根，求a的值；⑶若方程无解，求a的值.19.某文具厂加工一种学生画图工具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的1.5倍，结果提前5天完成任务.求该文具厂采用新技术前平均每天加工多少套这种学生画图工具.20.汽车比步行每小时快24千米，自行车比步行每小时快12千米，某人从A地先步行4 千米，然后乘汽车16千米到达B地，又骑自行车返回A地，往返所用时间相同，求此人步行速度.21 •阅读下列材料：在学习"分式方程及其解法"过程中，老师提出一个问题：若关于x的分式方程亠 + — = 1的解为正数，求a的取值范围？X-1 L-X经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于X的分式方程，得到方程的解为x=a-2.由题意可得a-2>0,所以a>2,问题解决.小强说：你考虑的不全面.还必须保证时3才行.老师说：小强所说完全正确.请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明:完成下列问题：9 my — 1⑴已知关于X的方程勺解为负数，求m的取值范围;3 — 2x 2 —rix（2）若关于x的分式方程一+-—=-1无解.直接写出n的取值范围.x~3 3 — x22.一项工程，甲队单独做需40天完成，若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20 天恰好完成任务，求乙队单独做需要多少天能完成任务？23.解下列方程3 x _（1）— _ — = 一2 ；x-2 2-x24.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的丄倍，购进数量比第一次少了30支.（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？25.岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成.（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）.为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？26.某班有45名同学参加紧急疏散演练.对比发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的3倍，这45名同学全部撤离的时间比指导前快3秒.求指导前平均每秒撤离的人数. 27.东营市新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000平方米，施工队在绿化了22000 平方米后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程，则该项绿化工程原计划每天完成多少平方米？28.解答下列各题：x+2y x+2y2x x + 129.当m为何值时关于x的方程竺+ —=的解是非负数？x-1 1-x丄3 2f2x+v = 5 30.(1)解方程：x x+2；(2)解方程组：丘-)=1【答案与解析】一、解答题1.(1) x=2；(2)无解试题分析：首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后进行求解，最后需要对所求的解进行验根.试题解析：(1) %2—2x+2=x"—x —x=—2 x=2经检验，x=2是原分式方程的解.x2+2x+l~4=x2 -1 2x=2 x=1经检验，x=l是原方程的增根原方程无解.考点：解分式方程2.(1)甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；(2)单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18 趟；(3) @16, 13, y=36 —2x； (4)①w=100x+3600,②甲车最多需运4 趟.(1)设甲、乙两车每趟的运费分别为m元，n元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；(2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a趟，由题意累出分式方程，求解即可；(3)①列出分式方程求解即可；②根据题意，列出分式方程转换形式即可；(4)①结合(1)和(3)的结论，列出函数关系式即可；②根据题意列出不等式，求解即可.⑴设甲、乙两车每趟的运费分别为m元，n元，由题意，得m-n = 20012(m+n) = 4800m = 300解得H = 100答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；(2)设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a趟，由题意，得解得a = 18经检验，a = 18是原方程的解，且符合题意. 答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟;⑶①由题意，得—= 1, y = 16； 1 = 1, x = 13；18 36 18 36②由题意,得話討,・*.y=36 — 2x ；(4)①由(1)和(3),得总运费为 w=300x+100y=300x+100(36—2x)=100x+3600,②由题意，得 100x+3600<4 000,/.x<4.答：甲车最多需运4趟.【点睛】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的 应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解.3. (1) — ；(2) x = —9 .2 (1)先提取公因式，再约分后进行分式的加减，最后计算分式的除法；(2)先化为整式 方程，解整式方程后注意检验是否为原方程的解./ 八 /2夕+2。
中考数学八年级上册专题训练50题(含答案)
中考数学八年级上册专题训练50题含答案一、单选题1．下列命题中，真命题是（）A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形C．两条对角线相等的四边形是矩形D．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．下面列图案中既是轴对称图形．．．．．．的是（）．．．．．又是中心对称图形A．B．C．D．3．下列计算错误的是（）=-A．22=B3=C．3D．4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线互相垂直且平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线互相垂直平分且相等6．下列四个说法：①连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；①a2的算术平方根是a；4．其中假命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．0.64的算术平方根是（ ） A ．0.8B ．－0.8C ．0.8±D ．0.48．数学课上，老师出示了如下图的一道证明题．其中①①①分别填写（ ）A ．中线、DE AC ∥、一组对边平行且相等B ．中位线、DE AC ∥、两组对边分别相等 C ．中线、CF AD =、两组对边分别相等 D ．中位线、DE AC ∥、一组对边平行且相等9()2510b c +++=，则a b c +-的值是（ ） A ．4B ．－2C ．－4D ．210．若函数y kx k =+（k 为常数，且0k ≠）中，y 随x 的增大而增大，则其图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知111222(,),(,)P x y P x y 是函数12y x =-图象上的两点，下列判断正确的是（ ） A ．12y y >B ．12y y ≤C ．当12x x <时，12y y <D ．当12x x <时， 12y y >12．如图，在①ABCD 中，若①A ＝2①B ，则①D 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．70°D ．60°13．已知a ＝b ＝2a 2+b 2的值为（ ） A ．14B ．16C ．18D ．2014． 如下图，在等腰直角∆ABC 中，①B=90°，将∆ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到∆AB’C’，则①BAC’等于（ ）A ．60°B ．105°C ．120°D ．135°15．如图，等边AOB 中，点B 在x 轴正半轴上，点A 坐标为(，将AOB 绕点O 逆时针旋转30︒，此时点A 对应点'A 的坐标是（ ）A ．(B ．()2,0C ．()0,2D ．)16．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 的中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE 、BO ．若60COB ∠=︒，2FO FC ==，则下列结论：①FB OC ⊥；①EOB CMB △≌△；①四边形EBFD 是菱形；①MB =( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴上，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至'''OA B C 的位置，若OB ＝①C ＝120°，则点B'的坐标为（ ）A ．(3B ．(3，C ．D ．18．在△ABC 中，AC ＝AB ，D ，E ，F 分别是AC ，BC ，AB 的中点，则下列结论中一定正确的是（ ）A ．四边形DEBF 是矩形B ．四边形DCEF 是正方形C ．四边形ADEF 是菱形D ．△DEF 是等边三角形19．小军用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数图象l 1、l 2，如图所示，则这个方程组是（ ）A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩C ．38132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩20．有下列说法：（1）-6是36的一个平方根；（2）16的平方根是4；（3）2=；（4（5）当0a ≠有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题21．按要求各写出一个数：负整数______；无理数______．22．如图，在△ABD 中，①D ＝90°，CD ＝6，AD ＝8，①ACD ＝2①B ，BD 的长为_____．23． 24．立方根和算术平方根都等于它本身的数是___________． 25．计算：0(-2)2＝____．26．如图，线段AB 和CD 关于点O 中心对称，若40B ∠=︒，则D ∠的度数为________．27的结果为_____．28．已知二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足3x y +≤，则a 的取值范围为______．29a 的取值范围是______． 30．对于任意有理数a ，定义运算①：当2a ≥-时，①a a =-；当2a <-时，①a a =．则()425+-=⎡⎤⎣⎦▽▽____．31．在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝（x ﹣2）2+2的图象向左平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为_____．32．在平面直角坐标系中，若点P(x ﹣2，x+1)关于原点的对称点在第四象限，则x 的取值范围是_____．33．如图，正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A （﹣2，0），则点D 的坐标是 ____________．34．已知正方形ABCD 中，点E 在DC 边上，4DE =，2EC =，如图，把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点间的距离为___．35．如图，DE 为①ABC 的中位线，点F 在DE 上，且①AFB ＝90°，若AB ＝8，BC ＝10，则EF ＝______．36．在平面直角坐标中，点()1,2P -关于原对称的点的坐标为_______________________．37．如图，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD BD ⊥，垂足为D ，E 为AC 的中点．若10AB =，6BC =，则DE 的长为_______________________．38．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点为O ，点E 为BC 边的中点，OCB 30∠=︒，如果OE =2，那么对角线BD 的长为______．39．如图，ABC ∆和ADE ∆都是等边三角形，120CAD ∠<︒，点,M N 分别是AE ，CD 的中点，连结MN ，BD ，当30ADB ∠=︒，2AD =，5BD =时，MN 的长度为__________．40．四边形不具有稳定性．如图，面积为25的正方形ABCD 变成面积为20的菱形BCEF 后，则AF 的长为 __________．三、解答题41．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．42．先化简，再求值：22321()2422a a a a a a a +--+÷+---，其中a 2 43．如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，8AD =，E 是AD 边上一点，折叠纸片使点B 与点E 重合，其中MN 为折痕，连结BM 、NE ．若2DE =，求NC 的长．44．如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都是格点，请证明点A ，B ，C 在同一条直线上．45．无刻度直尺作图：图1 图２ (1)直接写出四边形ABCD 的形状．(2)在图1中，先过E 点画一条直线平分四边形ABCD 的面积，再在AB 上画点F ，使得AF ＝AE ．(3)在图2中，先在AD 上画一点G ，使得①DCG ＝45°；连接AC ，再在AC 上画点H ，使得GH ＝GA ．46．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是AD 的中点，连接OE ，过点D 作DF ①AC 交OE 的延长线于点F ，连接AF ．(1)求证：AOE △①DFE △；(2)判定四边形AODF 的形状并说明理由．47．先化简，再求值：1111x x x ---+．其中x 48．某市正在创建“全国文明城市”，光明学校拟举办“创文知识”抢答案，欲购买A B 、两种奖品以抢答者.如果购买A 种25件，B 种20件，共需480元；如果购买A 种15件，B 种25件，共需340元.（1）AB 、两种奖品每件各多少元？（2）现要购买AB 、两种奖品共100件，总费用不超过1120元，那么最多能购买A 种奖品多少件？49．已知y =2xy 的n 次方根（n 为大于1的整数）50．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案．印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费，而乙种方式不需要．两种收费方式 的费用 y (元)与印刷份数 x (份)之间的函数关系如图所示．(1)甲种收费方式的函数关系式是 ，乙种收费方式的函数关系式是 ；(2)该校八年级每次需印制 400 份学案，选择哪种印刷方式印刷比较合算？说明理由．参考答案：1．D【分析】根据菱形．正方形．矩形的判定进行判断即可．【详解】解：A．两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项错误；B．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项错误；C．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项错误；D．根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项正确；故选：D【点睛】此题考查了菱形．正方形．矩形的判定，熟练掌握是关键．2．D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可.【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，所以本选项错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，所以本选项正确.故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，掌握概念是关键. 3．C【分析】根据二次根式的运算法则，逐一判定即可.【详解】A选项，22=，正确；B3=，正确；=，错误；C选项，3D选项，=故选：C.【点睛】此题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握，即可解题.4．B【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的特征判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，解题关键是抓住中心对称图形和轴对称图形的特征．5．D【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质逐一判断即可．【详解】解：A、平行四边形的对角线不一定相等，但是互相平分，此选项错误，不符合题意；B、矩形的对角线相等，且互相平分，此选项错误，不符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，且互相平分，但是不一定相等，此选项错误，不符合题意；D、正方形的对角线相等，且互相平分、垂直，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形对角线的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质及他们之间的联系和区别．6．C【分析】利用两点间的距离的定义、平行线的判定、算术平方根的定义及立方根的求法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离，故原命题错误，是假命题，符合题意；①经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；①a2的算术平方根是a（a≥0），故原命题错误，是假命题，符合题意；2，故原命题错误，是假命题，符合题意；假命题有3个，故选：C．【点睛】本题主要考查真假命题，两点见的距离，平行线的判定，算术平方根，立方根的求法等知识点，熟知相关定义以及运算法则是解题的关键．7．A【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，由此求解即可．【详解】解：①20.80.64=，①0.64的算术平方根是0.8，故选A．【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的定义．8．D【分析】证明DE是①ABC的中位线，得DE①AC，DE=12AC，再证AC=DF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得出结论．【详解】解：①点D，E分别是AB，BC的中点．①DE是①ABC的中位线，①DE①AC，DE=12AC，又①EF=DE，①AC=DF，①四边形ADFC是平行四边形，故①代表：中位线，①代表：DE①AC，①代表：一组对边平行且相等，故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证出DE①AC，DE=12AC是解题的关键．9．B【分析】先根据算术平方根的非负性、二次方的非负性和绝对值的非负性求出a、b、c的值，然后再代入代数式求值即可．【详解】解：()2510 b c+++=，①205010abc-=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：251a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，①()()=251=251=2a b c +-+----+-，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，算术平方根的非负性，二次方的非负性和绝对值的非负性，根据题意求出a 、b 、c 的值，是解题的关键．10．A【分析】先根据题意判断出函数的增减性，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．【详解】解：①函数y kx k =+（k 为常数，且0k ≠）中，y 随x 的增大而增大， ①0k >，①函数图象经过一、二、三象限．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 11．D【分析】根据正比例函数图象的性质可知．【详解】解：根据k ＜0，得y 随x 的增大而减小．①当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，①当x 1＞x 2时，y 1＜y 2．故选：D ．【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质，正比例函数图象是经过原点的一条直线．①当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；①当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．12．D【分析】由平行四边形的性质得出①A ＋①B ＝180°，再由已知条件①A ＝2①B ，即可得出①B 的度数，再根据平行四边形的对角相等即可求出①D 的度数．【详解】解：①四边形ABCD 是平行四边形，①AD ①BC ，①B ＝①D ，①①A ＋①B ＝180°，①①A ＝2①B ，①2①B ＋①B ＝180°，解得：①B ＝60°；①①D ＝60°，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．13．C【分析】根据二次根式的运算及完全平方公式可进行求解．【详解】解：①a ＝b ＝2①((2222229918a b +=+=+-=；故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 14．B【详解】试题分析：由①ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到①AB′C′，根据旋转的性质得到①CAC′=60°，而等腰直角①ABC 中，①B=90°，得①BAC=45°，所以①BAC′=①BAC+①CAC′．解：①①ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转60°后得到①AB′C′，①①CAC′=60°，又①等腰直角①ABC 中，①B=90°，①①BAC=45°，①①BAC′=①BAC+①CAC′=45°+60°=105°．故答案为B ．考点：旋转的性质.15．C【分析】根据等边三角形可知①AOB=60°，OA 与y 轴所成锐角为30°，可知'A 落在y 轴上，作AC①OB ，垂足为C ，求出OA 长即可．【详解】解：①等边AOB ，①①AOB=60°，①OA 与y 轴所成锐角为30°，将AOB 绕点O 逆时针旋转30︒，可知'A 落在y 轴上，作AC①OB ，垂足为C ，2OA =，①()'0,2A ．故选：C【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题关键是明确旋转后的A′所在位置，根据勾股定理求出OA 长．16．B【分析】连接BD ，先证明①BOC 是等边三角形，得出BO=BC ，又FO=FC ，从而可得出FB①OC ，故①正确；因为①EOB①①FOB①①FCB ，故①EOB 不会全等于①CBM ，故①错误；再证明四边形EBFD 是平行四边形，由OB①EF 推出四边形EBFD 是菱形，故①正确；先在Rt①BCF 中，可求出BC 的长，再在Rt①BCM 中求出BM 的长，从而可知①错误，最后可得到答案．【详解】解：连接BD ，①四边形ABCD 是矩形，①AC=BD ，AC 、BD 互相平分，①O 为AC 中点，①BD 也过O 点，①OB=OC ，①①COB=60°，①①OBC 是等边三角形，①OB=BC ，又FO=FC ，BF=BF ，①①OBF①①CBF （SSS ），①①OBF 与①CBF 关于直线BF 对称，①FB①OC ，①①正确；①①OBC=60°，①①ABO=30°，①①OBF①①CBF ，①①OBM=①CBM=30°，①①ABO=①OBF ，①AB①CD ，①①OCF=①OAE ，①OA=OC ，易证①AOE①①COF ，①OE=OF ，①OB=OD ，①四边形EBFD 是平行四边形．又①EBO=①OBF ，OE=OF ，①OB①EF ，①四边形EBFD 是菱形，①①正确；①由①①知①EOB①①FOB①①FCB ，①①EOB①①CMB 错误，①①错误；①FC=2，①OBC=60°，①OBF=①CBF ，①①CBF=30°，①BF=2CF=4，①CM=12①BM=3，故①错误． 综上可知其中正确结论的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．17．D【分析】根据角度的计算可得45AOB '∠=︒，过B '作B D x '⊥轴，勾股定理求解即可【详解】如图，过B '作B D x '⊥轴，将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转75°至'''OA B C 的位置，75BOB '∴∠=︒四边形OABC 是菱形, ①C ＝120°，120OAB C ∴∠=∠=︒,AO AB =， ∴()1180302AOB OAB ∠=︒-∠=︒ ∴45AOB '∠=︒OB D '∴是等腰直角三角形OB ＝OB '∴=OD DB ''∴===∴点B'的坐标为 故选D【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，求得45AOB '∠=︒是解题的关键．18．C【分析】根据中位线性质可得四边形ADEF 是平行四边形，又因为AD=AF ，可得四边形ADEF 是菱形．【详解】解：结论：四边形ADEF 是菱形．理由如下：①CD ＝AD ，CE ＝EB ，①DE①AB，①BE＝EC，BF＝FA，①EF①AC，①四边形ADEF是平行四边形，①AC＝AB，①AD＝AF，①四边形ADEF是菱形．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定，利用中位线的性质判定四边形是平行四边形是关键．19．D【分析】两个一次函数的交点为两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需根据图中直线所经过的点的坐标，用待定系数法求出两个一次函数的解析式．然后联立两个函数的解析式，即可得出所求的方程组．【详解】解：由图可知：直线l1过（2，﹣2），（0，2），因此直线l1的函数解析式为：y＝﹣2x+2；直线l2过（0，﹣1），（2，﹣2），因此直线l2的函数解析式为：y12=-x﹣1；因此所求的二元一次方程组为22112y xy x=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩；故选：D．【点睛】本题主要考查二元一次方程组与一次函数的关系．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．20．B【分析】根据平方根与立方根的定义与性质逐个判断即可．【详解】（1）6-是36的一个平方根，则此说法正确；（2）16的平方根是4±，则此说法错误；（3）(2)2=--=，则此说法正确；（44=，4是有理数，则此说法错误；（5）当a<0综上，正确的说法有2个，故选：B．【点睛】本题考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义与性质是解题关键．21．-2（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】根据负整数及无理数的概念写出相应的答案即可．【详解】解：负整数：-2故答案为：-2（答案不唯一）．【点睛】本题考查数的分类，掌握相关概念是解题关键．22．16．【分析】根据勾股定理求出AC，根据三角形的外角的性质得到①B＝①CAB，根据等腰三角形的性质求出BC，计算即可．【详解】解：①①D＝90°，CD＝6，AD＝8，①AC＝10，①①ACD＝2①B，①ACD＝①B+①CAB，①①B＝①CAB，①BC＝AC＝10，①BD＝BC+CD＝16，故答案：16．【点睛】本题考查勾股定理、三角形的外角的性质，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．23．﹣41．24=-;1.224．0或1【详解】设这个数为x，根据题意可知，3x xx ＝⎧⎪ , 解得x=1或0，故填：0或1．25．3【分析】根据零次幂和绝对值的计算法则化简，再按照有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解：0(-2)2=1+2=3． 故答案为：3．【点睛】此题主要考查了实数的运算，零指数幂与绝对值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．26．40°【分析】根据线段AB 和CD 关于点O 成中心对称，可以证明ABO CDO △≌△，则B D ∠=∠，从而可以得到答案．【详解】解：①线段AB 和CD 关于点O 成中心对称，40B ∠=，①AO =CO ，BO =DO ，又①①AOB =①COD ，①ABO CDO △≌△（SAS ），①B D ∠=∠，①D ∠的度数为40．故答案为：40°．【点睛】本题主要考查了中心对称的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．27．【详解】分析：根据二次根式的性质先化简，再合并同类二次根式即可.详解：原式﹣．点睛：此题主要考查了二次根式的加减，灵活利用二次根式的化简是解题关键，比较简单. 28．8a ≤【分析】两方程相加得444x y a +=+，继而知14a x y +=+，结合3x y +≤得134a +≤，解之即可．【详解】解：两方程相加，得：444x y a +=+，14a x y ∴+=+， 3x y +≤，134a ∴+≤， 解得8a ≤，故答案为：8a ≤．【点睛】本题主要考查二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于a 的不等式．29．0a ≥且2a ≠【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．【详解】解：由题意，得：a≥0，a ﹣2≠0，解得：a≥0且a≠2，故答案为：a≥0且a≠2．【点睛】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数不能为负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．30．1-．【分析】根据行定义的运算逐级展开计算即可．【详解】解：原式()=43+-⎡⎤⎣⎦▽▽，①32-<-，=∴▽(-3)-3；①原式==▽(4-3)▽1，又12>-，①原式==▽1-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了一种新定义运算；关键在于能通过题干理解新定义运算的法则． 31．y ＝x 2+2．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．【详解】解：二次函数y ＝（x ﹣2）2+2的图象向左平移2个单位，得：y ＝（x ﹣2+2）2+2＝x 2+2；故答案为y ＝x 2+2.【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，熟练掌握是解题的关键.32．﹣1＜x ＜2【分析】根据题意可得点P 在第二象限，再利用第二象限内点的坐标符号可得关于x 的不等式组，然后解不等式组即可．【详解】解：①点P （x ﹣2，x +1）关于原点的对称点在第四象限，①点P 在第二象限，①2010x x -<⎧⎨+>⎩， 解得：﹣1＜x ＜2，故答案为：﹣1＜x ＜2．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握第二象限内点的坐标符号．33．(0,【分析】连接AD ，先根据正六边形的性质可得60OAD ∠=︒，从而可得30ADO ∠=︒，再根据含30︒角的直角三角形的性质可得24AD OA ==，然后利用勾股定理可得OD 的长，由此即可得．【详解】解：如图，连接AD ，(2,0)A -，2OA ∴=，六边形ABCDEF 是正六边形，1180(62)6026OAD ︒⨯-∴∠=⨯=︒， ∴在Rt AOD 中，30ADO ∠=︒，24AD OA ∴==，OD ∴==(0,D ∴，故答案为：(0,．【点睛】本题考查了正六边形的性质、勾股定理、含30︒角的直角三角形的性质、二次根式的化简等知识点，熟练掌握正六边形的性质是解题关键．34．2或10.【分析】分两种情况进行讨论，①当线段AE 顺时针旋转时，利用题干条件得到1ADE ABF ∆≅∆，进而得到FC EC =；①当线段AE 逆时针旋转时，利用题干条件得到2ABF ADE ∆≅∆，进而得到22F C F B BC =+．【详解】解：①当线段AD 顺时针旋转得到1F 点，在ADE ∆和1ABF ∆中，190AE AF D ABC AD AB =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，1ADE ABF ∴∆≅∆，14DE BF ∴==，12EC FC ∴==； ①逆时针旋转得到2F 点，同理可得2ABF ADE ∆≅∆，24F B DE ∴==，2210F C F B BC =+=，故答案为2或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是注意旋转的方向，此题难度不大．35．1BC=5，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的【分析】根据三角形的中位线得DE=12AB=4，进而可求解．一半得到DF=12【详解】解：①DE为①ABC的中位线，BC=10，BC=5，①DE=12①①AFB＝90°，D为AB的中点，AB＝8，AB=4，①DF=12①EF=DE-DF=5-4=1，故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的中位线性质、直角三角形斜边的中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键．36．1,2【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．【详解】解：点P的坐标是（1，-2），则关于原对称的点的坐标为（-1，2），故答案为：（-1，2）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．37．2【分析】如图，延长CD交AB于F，再证明①BDC①①BDF，根据全等三角形的性质可得BF=BC=6，CD=DF，然后可求出AF，最后根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：如图：延长CD 交AB 于F在①BDC 和①BDF 中90DBC DBF BD BD BDC BDF ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩①①BDC ①①BDF （ASA ）①BF =BC =6，CD =DF①A F =AB -BF =4.①CD =DF ，CE =EA①DE =12AF =2．故填2．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半成为解答本题的关键．38．8【分析】由30°角直角三角形的性质求得24OC OE ==，然后根据矩形的两条对角线相等且平分来求BD 的长度． 【详解】解：在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 的交点为O ，OC OA ∴=，AC BD =，90ABC ∠=︒．又①点E 为BC 边的中点，OE BC ∴⊥，30OCB ∠=︒，2OE =，24OC OE ∴==，28AC OC ∴==，8BD ∴=．故答案为：8．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，三角形的中位线定理，能根据矩形的性质和30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OD的长是解此题的关键．题型较好，难度适中．39【分析】连接EC，EB，设F为ED中点，连接MF，NF，根据中位线定理，求出MF和NF，再证明①BAD①①CAE，得到BD=EC=5，①AEC=①ADB，从而推出EC①AD，可推出MF①NF，再用勾股定理算出MN即可.【详解】解：连接EC，EB，设F为ED中点，连接MF，NF，可得：MF①AD，NF①EC，且MF=12AD=1，NF=12EC，①①ABC和①ADE为等边三角形，①AE=AD，AB=AC，①EAD=①BAC=60°，①①BAD=①EAC，①①BAD①①CAE（SAS），①BD=EC=5，①AEC=①ADB=30°，①EC平分①AED，①EC①AD，①MF①AD，FN①EC，①MF①NF，在①MNF中，=．【点睛】本题考查了中位线定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，有一定难度，解题的难点在于构造出MN 为斜边的直角三角形FMN.40【分析】根据题意延长EF ，与AB 交于G ，作FH BC ⊥于H ，得出四边形GBHF 为矩形，进而根据勾股定理求解即可．【详解】解：延长EF ，与AB 交于G ，作FH BC ⊥于H ．由面积为25的正方形ABCD 可得5AB BC ==，面积为20的菱形BCEF 可得·20BC FH =， ①2045FH ==，①541,3AG GF =-==，①AF．【点睛】本题考查四边形综合问题，熟练掌握正方形、矩形和菱形的性质以及运用勾股定理求解是解题的关键．41．正方形纸板的边长是18厘米【分析】根据正方形的面积公式进行解答．【详解】解：设小长方形的宽为x 厘米，则小长方形的长为2x 厘米，即得正方形纸板的边长是2x 厘米，根据题意得：2162x x ⋅=，①281x =，取正值9x =，可得218x =，①答：正方形纸板的边长是18厘米．【点评】本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式．42．12a a -+，1【分析】根据分式的混合运算顺序依次计算，代入求值即可【详解】解：原式=2(2)(23)2(2)2·41a a a a a a a --+++--- =2212·(2)(2)1a a a a a a -+-+-- =2(1)2·(2)(2)1a a a a a --+-- =12a a -+当a 2=时， 原式1==【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 43．113NC =． 【分析】利用对称的性质得出BM ME BN NE BMN EMN ==∠=∠，，，进而得出BM ME BN NE ===，证明四边形BMEN 是菱形，再利用菱形的性质结合勾股定理得出答案．【详解】解：①B 、E 两点关于直线MN 对称，①BM ME BN NE BMN EMN ==∠=∠，，，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，①EMN MNB ∠=∠，①BMN MNB ∠=∠，①BM BN =，①BM ME BN NE ===，①四边形BMEN 是菱形；设菱形BMEN 的边长为x ，①826AM AD DE ME x x =--=--=-，在Rt ABM 中，222AB AM BM +=，①()22246x x +-=，①解得：133x =． ①1311833NC BC BN =-=-=． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定与性质以及勾股定理，正确应用轴对称的性质是解题关键．44．见解析【分析】以C 为原点，构建如图，平面直角坐标系．求出直线AC 的解析式，证明点B 在直线AC 上即可．【详解】解：以C 为原点，构建如图，平面直角坐标系．则有C （0，0），A （-2，4），B （-1，2），设直线AC 的解析式为y ＝kx ，把A （-2，4）代入得，4＝-2k ，解得，k ＝-2，直线AC 的解析式为y ＝-2x ，①x ＝-1时，y ＝2，①点B在直线AC上，①A，B，C三点共线．【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确地求出直线AC的解析式是解题的关键，45．(1)四边形ABCD是菱形，理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）只需要证明AB=CD=AD=BC即可得到结论；（2）如图连接AC，BD交于点T，作直线ET交BC于G，连接AG交BD于H，连接CH 并延长交AB于F，则直线EG，点F即为所求；（3）如图所示，取格点T，连接CT交AD于G，取格点M、N，连接MN交BC于P，连接GP交AC于H，则点G、H即为所求；（1）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：由题意得55，，AB CD AD BC=====①AB=CD=AD=BC，①四边形ABCD是菱形；（2）解：如图连接AC，BD交于点T，作直线ET交BC于G，连接AG交BD于H，连接CH并延长交AB于F，则直线EG，点F即为所求；如图所示建立如下平面直角坐标系，①点A 的坐标为（0，4），点D 的坐标为（-3，0），点C 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，4），①直线AD 的解析式为443y x =+，直线BD 的解析式为1322y x =+，点T 的坐标为（1，2）， ①点E 的坐标为（-2，43） ， ①直线ET 的解析式为21699y x =+， 同理可得直线BC 的解析式为4833y x =-， 联立216994833y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得483x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ①点G 的坐标为（4，83）， ①直线AG 的解析式为143y x =-+， 联立1431322y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得33x y =⎧⎨=⎩， ①点H 的坐标为（3，3），①直线CH 的解析式为36y k =-，当y =4时，103x =， ①点F 的坐标为（103，4）， ①103AF =， 又①103AE ==， ①AF =AE ；。
中考数学八年级专题训练50题-含答案
中考数学八年级专题训练50题含答案一、单选题1．根据分式的基本性质，分式aa b--可变形为（ ） A ．aa b-- B ．a a b-- C ．a a b-+ D ．a b a-- 2．如图，已知AB CD =，AD 与BC 交于点O ，BO DO =，要使AOB COD ≌，则还需要下列条件（ ）A ．AO CO =B ．AO AC = C ．BO BD = D ．AC BC =3．不等式组1030x x +>⎧⎨->⎩的解是（ ）A ．1x >-B ．3x >C ．13x -<<D ．3x <4．在2x y ，21m π--，310xy ，+m n m ，5b c a -+，211x x --中，分式有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．在平面直角坐标系中，将点(2,3)A -先向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到B 点的坐标是（ ） A ．(0,5)B ．()4,5-C ．(4,1)-D ．(0,1)6．下列各式成立的是（ ）A ．3+B ．3=C 2D 2=7．下列说法正确的是（ ） A ．三角形的一个外角大于任何一个内角B ．等腰三角形的任意两个角相等C ．三个角分别对应相等的两个三角形全等D ．三角形的三条高所在的直线一定交于一点8．如图，直线MN 是四边形MANB 的对称轴，点P 在MN 上．则下列结论错误的是（ ）A ．AM ＝BMB ．AP ＝BNC ．∠ANM ＝∠BNMD ．∠MAP ＝∠MBP9．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，DE 垂直平分AB ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，若30CAE B ∠=∠+︒，则B ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒10．2022年北京冬奥会获得金牌的前10名国家如表：则这10个国家金牌数量的中位数和众数分别是（ ）A ．7，8B ．8，8C ．8，7D ．7，711．小亮要计算一组数据80，82，74，86，79的方差21s ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据0，2，6-，6，1-，记这组新数据的方差为22s ，则21s 与22s 的大小关系为（ ）A ．2212s s <B ．2212s s > C ．2212s s =D ．无法确定12．勾股定理是一个古老的定理，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，数学家曾建议用图1作为与“外星人”联系的信号．如图1，以()Rt ABC AB AC >△的各边为边分别向外作正方形，再把最大的正方形纸片按图2的方式向上折叠，若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A ．正方形BCMN 的面积B ．四边形NPAB 的面积C ．正方形ACDE 的面积D ．Rt ABC △的面积13．某电脑公司销售部对20位销售员本月的销售量统计如下表：则这20位销售人员本月销售量的平均数和中位数分别是（ ）A ．19，20 B ．19，25C ．18.4，20D ．18.4，2514．如表是某校合唱团成员的年龄分布统计，则这组数据（年龄）的中位数是（ ）A ．15B ．14C ．13D ．1615．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，按以下步骤作图：∠以B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA 、BC 于M 、N 两点；∠分别以M 、N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；∠作射线BP ，交边AC 于D 点，若5,3AB BC ==，则线段CD 的长为（ ）A ．32B ．53C ．43D ．8516．如果一条直线l 经过不同的三点(,)A a b ，(,)B b a ，(,)C a b b a --，那么直线l 经过（ ） A ．第二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、三象限D ．第二、三、四象限17．如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是( )A ．B ．C ．D ．18．以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ） A ．2,3,4B ．6,8,10C ．5,8,13D ．12,13,1419．人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验, 班级平均分和方差如下：平均分都为110，甲、乙两班方差分别为340、280，则成绩较为稳定的班级为( ) A ．甲班B ．乙班C ．两班成绩一样稳定D ．无法确定20．如图，点,E F 在矩形ABCD 的对角线BD 所在的直线上，BE DF =，则四边形AECF 是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形二、填空题21．将函数3y x =的图象沿y 轴向下平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为__________．227.35=，则0.005403的算术平方根是______ ．23．当1a =时，代数式()2122a a --+的值为_______．24．在函数35y x =-+的图象上有()11,A y ，()21,B y -，()32,C y -三个点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是_____________．2520200b -=，则b a =______.26．在菱形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，且AB ＝10cm ，AC ＝12cm ．则菱形ABCD 的面积是_____cm 2．27．等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则底边长等于_____cm ． 28．已知过点()1,1的直线(0)y ax b a =+≠不经过第四象限，设3s a b =+，则s 的取值范围是_________．29．如果一次函数()3 y m x m =-+的图像过第一、二、四象限，那么m 的取值范围是_______． 30．正比例函数2xy m =-的图像在第一、第三象限，则m 的取值范围为______.31．化简：=__．32．如图，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG △和AED △的面积分别为52和36，则EDF 的面积为__________．33．一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与正比例函数3y x =的图像平行且经过点(1,1)-，则b 的值为____．34．如图所示，有两个长度相等的滑梯(即BC ＝EF)，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，已知左边滑梯与地面的夹角∠ABC ＝27°，则右边滑梯与地面的夹角∠DFE ＝________°.35．如图，在矩形ABCD 中，6AB ＝，10BC ＝，点E ，F 分别为AD ，BC 上的点，AE ＝2，且EF 过矩形ABCD 的对称中心O ．若点P ，Q 分别在AB ，CD 边上，且EF ，PQ 将矩形ABCD 的面积四等分，则BP 的长为______．36．如图，已知四边形ABCD 是面积为50的正方形，BG 平分CBD ∠，点E 、F 分别在BC 和BG 上，则CF EF +的最小值为___________．37．如图，在平面直角坐标系中，点1P 的坐标为22⎛ ⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45︒，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；又将线段2OP 绕O 点按顺时针方向旋转45︒，长度伸长为2OP 的2倍，得到线段3OP ；如此下去，得到线段4OP ，5OP ，K ，(n OP n 为正整数)，则点2022P 的坐标是______ ．38．清代数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形ABDE 的方法证明了勾股定理(如图)，若Rt∠ABC 的斜边AB ＝5，BC ＝3，则图中线段CE 的长为____．39．如图，在平面直角坐标系中，11POA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…都是等腰直角三角形，其直角顶点1()3,3P ，2P ，3P．…均在直线143y x =-+上．设11POA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…的面积分别为1S ，2S ，3S ，…．依据图形所反映的规律，则2019S =_______．40．在平行四边形ABCD中，30,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．三、解答题41．解不等式（组）． （1）()328x x +<+；（2）()5131131722x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩．42．已知a ，b ，c 是∠ABC的三边长，如果2(5)|12|0c b -+-，试判断∠ABC 的形状．43()021120222π---（） 44．已知函数24y x =-+．(1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)求出这个函数的图象与x 轴、y 轴的交点的坐标． 45．解方程：2211111x x x x x +=+--+ 46．已知3是7a +的平方根，2的算术平方根为1b -，5c -的立方根为2-． （1）求a ，b ，c 的值；（2）先化简，后求值：()()()2222222232332a b ab ac a b ab ac ab -+----47．已知，如图，在ABC 中，45B ∠=︒，60C ∠=︒，AB =（1）∠A ＝ °； （2）求点A 到BC 的距离； （3）求BC 的长（结果用根号表示）48．下面提供某市楼市近期的两幅业务图：图（甲）所示为2012年6月至12月该市商品房平均成交价格的走势图（单位：万元/平方米）；图（乙）所示为2012年12月该市商品房成交价格段比例分布图（其中为每平方米商品房成交价格，单位：万元/平方米）．（1）根据图（甲），写出2012年6月至2012年12月该市商品房平均成交价格的中位数；（2）根据图（乙），可知x＝；（3）2012年12月从该市的四个不同地段中的每个地段的在售楼盘中随机抽出两个进行分析：共有可售商品房2400套，其中成交200套．请估计12月份在全市所有的60000套可售商品房中已成交的并且每平方米价格低于2万元的商品房的套数．49．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点D是AB中点，点E为边AC上运动，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边△DEF，连接BF．（1）求证：△BCD为等边三角形；（2）求∠DBF的度数；（3）当∠CDE＝30°时，若CE＝2，求AB的长．参考答案：1．B【分析】根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一判断即可． 【详解】a a a b a b-=--- 故选：B ．【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．2．A【分析】由条件知：已知有两条边对应相等，则添加的条件可以是第三边对应相等或这两边的夹角对应相等即可判定两个三角形全等，结合四个选项即可作出判断．【详解】AB CD =，AD 与BC 交于点O ，BO DO =，∴当AO CO =或ABO CDO ∠=∠时，则有△≌△AOB COD ，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟悉全等三角形的几个判定定理是关键． 3．B【分析】利用不等式的性质，先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：1030x x +>⎧⎨->⎩①②， 由∠式得x ＞-1；由∠式得x ＞3，所以不等式组的解集为x ＞3．故选：B ．【点睛】此题考查解不等式组；求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．4．C【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：在2x y ，21m π--，310xy ，+m n m ，5b c a -+，211x x --中，2x y ，+m n m ，5b c a -+，211x x --的分母中含有字母，是分式，共有4个． 故选：C ．【点睛】此题考查了分式，形如A B,其中A 、B 都是整式，且B 中含有字母的代数式，叫做分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键．5．D【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【详解】解：将点(2,3)A -先向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到B 点的坐标是()22,32-+-，即()0,1，故选：D ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移：向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P ' （x +a ，y ）；向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P '（x -a ，y ）；向上平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P '（x ，y +b ）；向下平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P '（x ，y -b ）． 6．C【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式的减法、二次根式的性质及二次根式的除法法则逐一判断即可．【详解】解：A ．3与B ．C 2，此选项计算正确，符合题意；D =故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，同类二次根式和二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.7．D【分析】根据三角形外角性质对A 进行判断；根据等腰三角形的性质对B 进行判断；根据全等三角形的判定方法对C 进行判断；根据三角形高的定义对D 进行判断．【详解】解：A ．三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的任意一个内角，所以A 选项错误；B ．等腰三角形的两个底角相等，所以B 选项错误；C．三个角分别对应相等的两个三角形不一定全等，所以C选项错误；D．三角形的三条高所在的直线一定交于一点，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．B【分析】根据轴对称的性质可以得到AM=BM，∠ANM=∠BNM，∠MAP=∠MBP，由此即可得到答案．【详解】解：∠直线MN是四边形MANB的对称轴，∠AM=BM，∠ANM=∠BNM，∠MAP=∠MBP，故A、C、D选项不符合题意；根据现有条件，无法推出AP=BN，故B选项符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的性质：成轴对称图形的两个图形全等，如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．9．D【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到EA＝EB，根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】∠DE垂直平分斜边AB，∠EA＝EB，∠∠EAB＝∠B，∠∠AEC＝2∠B，∠∠B＋30︒＋∠B＋∠B＝90︒，解得，∠B＝20︒，故选D．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．B【分析】根据中位数和众数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得：10个国家中金牌数排第5和第6的分别为8枚和8枚， 所以中位数为882+=8枚， 金牌数为8枚的有3个国家，最多，所以众数为8枚，故选：B ．【点睛】本题主要考查了求中位数和众数，熟练掌握中位数是吧一组数据从大到小（或从小到大）排列后，位于正中间的一个数或两个数的平均数；众数是一组数据组出现次数最多的数是解题的关键．11．C【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案．【详解】解：∠一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∠2212s s =，故选：C ．【点睛】本题考查方差的意义，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 12．D【分析】本题根据全等三角形的判定，可得BCK CMP ∆∆≌，故可得BCK ACK CMP ACK S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABC S S ∆=阴影，可得答案．【详解】依题意，在CMP ∆和BCK ∆中，90BCK M ︒∠=∠=，在Rt ABC ∆中，90ABC ACB ︒∠+∠=，又90ACB ACM ︒∠+∠=，ABC ACM ∴∠=∠，在和BCK ∆中CMP ∆，ABC ACM BC CMBCK M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴ BCK CMP ∆∆≌，BCK CMP S S ∆∆∴=，BCK ACK CMP ACK S S S S ∆∆∆∆-=-，ABC S S ∆=阴影，故答案选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的证明及性质，熟练掌握三角形全等的证明方法，是解题的关键．13．C【分析】平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．由此即可解答.【详解】平均数为：12414520830320⨯+⨯+⨯+⨯ ＝18.4（台）， 中位数为：20220+＝20（台）， 故选C ．【点睛】本题考查了一组数据平均数的求法以及中位数的求法，熟知求平均数的公式及中位数的确定方法是解决问题的关键．14．A【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的那个数是15岁， 由中位数的定义可知，这组数据的中位数是15岁．故选：A ．【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．15．A【分析】利用基本作图得BD 平分∠ABC ，过D 点作DE ∠AB 于E ，如图，根据角平分线的性质得到则DE =DC ，再利用勾股定理计算出AC =4，然后利用面积法得到12•DE ×5+12•CD ×3=12×3×4，最后解方程即可．【详解】解：由作法得BD 平分∠ABC ，过D 点作DE ∠AB 于E ，如图，则DE =DC ，在Rt △ABC 中，AC BC 222253=4，∠S △ABD +S △BCD =S △ABC ，∠12•DE ×5+12•CD ×3=12×3×4， 即5CD +3CD =12，∠CD =32， 故选：A ．【点睛】本题考查了基本作图：作解平分线，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线），角平分线的性质是解题的关键．16．A【分析】一条直线l 经过不同的三点，先设直线l 表达式为：y kx m =+，，把三点代入表达式，用a,b 表示k 、m ，再判断即可．【详解】设直线l 表达式为：y kx m =+，将(,)A a b ，(,)B b a ，(,)C a b b a --代入表达式中，得如下式子：(1)(2)()(3)b ka m a kb mb a k a b m =+⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩， 由（1）-（2）得：()b a ka m kb m k a b -=+--=-，得1k =-，()b a k a b -=-与（3）相减，得0m =，直线l 为：y x=-．故选：A ．【点睛】本题考查直线经过象限问题，涉及待定系数法求解析式，解方程组等知识，关键是掌握点在直线上，点的坐标满足解析式，会解方程组．17．D【详解】试题分析：因为，，，，故答案选D.考点：算术平方根，立方根，0指数幂，负数指数幂.18．B【分析】只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．【详解】解：A 、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B 、62+82=100=102，能构成直角三角形，故本选项正确；C 、52+82=89≠132，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D 、122+132=313≠142，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．19．B【分析】根据方差的意义可作出判断即可．【详解】由于甲、乙两班方差分别为340、280，340＞280，则成绩较稳定的是乙班． 故选B ．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．20．A【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状．【详解】解：由题意：//,AD BC ADB CBD ∴∠=∠，FDA EBC ∴∠=∠，又,AD BC BE DF ==，()ADF CBE SAS ∴≌，AF EC ∴=，,//AFD CEB AF EC ∴∠=∠∴，∴四边形AECF 为平行四边形，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定定理及性质、平行四边形的判定，解题的关键是：掌握平行四边形判定定理，利用三角形全等去得出相应条件．21．32y x =-【分析】直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可．【详解】将函数y ＝3x 的图象沿y 轴向下平移2个单位长度后，所得图象对应的函数关系式为：y ＝3x−2．故答案为：y ＝3x−2．【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键． 22．0.0735【分析】根据算术平方根的性质即可得． 【详解】解：54.037.35=，27.3554.03∴=，227.3554.0310010000∴=，即27.350.005403100⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则0.005403的算术平方根是7.350.0735100=， 故答案为：0.0735． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的求解方法是解题关键．23．3-3-【分析】把1a =代入代数式()2122a a --+，求出其值即可．【详解】解：把1a =代入代数式()2122a a --+得：原式=))211212--+ 222=-+322=-+3=-故答案为：3-【点睛】本题主要考查了代数式的求值，二次根式的混合运算，运用完全平方公式计算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键．24．123y y y <<【分析】根据一次函数图象的增减性来比较A 、B 、C 三点的纵坐标的大小．【详解】解：∠一次函数解析式35y x =-+中的30-＜，∠该函数图象上的点的y 值随x 的增大而减小．又∠112--＞＞，∠123y y y ＜＜．故答案为：123y y y ＜＜．【点睛】本题考查了一次函数图象上点坐标特征．一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性是解题的关键，即在y =kx +b 中，当k ＞0时y 随x 的而增大，当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．25．1【分析】根据几个非负数的和等于0，则每一项都等于0，计算即可解决. 【详解】解：1|2020|0a b ++-=，10,20200a b ∴+=-=，1,2020a b ∴=-=，2020(1)1b a ∴=-=.故答案是1【点睛】本题考查了非负数之和为0的知识点，解决本题的关键是熟练掌握非负数之和为0的每项都为0这一要点.26．96【分析】根据菱形的性质可得AC ∠BD ，然后利用勾股定理求出OB ＝8cm ，得出BD ＝16cm ，最后根据菱形的面积公式求解．【详解】解：∠四边形ABCD为菱形，∠AC∠BD，OA＝OC＝12AC＝6cm，OB＝OD，∠OB=8（cm），∠BD＝2OB＝16cm，∠S菱形ABCD＝12AC•BD＝12×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．27．3 cm【详解】试题解析：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；当长是3cm的边是腰时，底边长是：13-3-3=7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．故底边长是：3cm．考点：1.等腰三角形的性质；2.三角形三边关系．28．1＜s≤3【分析】根据一次函数的性质进行解答即可．【详解】解：∠一次函数y=ax+b不经过第四象限，且过点（1，1），∠a＞0，b≥0，a+b=1，可得：10aa-≥⎧⎨>⎩，可得：0＜a≤1，所以s=3a+b=2a+1，可得：1＜2a+1≤3，s的取值范围为：1＜s≤3，故答案为：1＜s≤3．【点睛】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时函数的图象经过一、二、三象限．29．0＜m＜3【分析】根据一次函数图象经过第一、二、四象限，可得m−3＜0，m＞0，解不等式组即可．【详解】解：根据题意，得300m m -⎧⎨⎩＜＞， 解不等式组，得0＜m ＜3，故答案为：0＜m ＜3．【点睛】本题考查了一次函数图象，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 30．m>2【分析】根据正比例函数图象在坐标平面内的位置与系数的关系作答． 【详解】由正比例函数2x y m =-的图象经过第一、三象限， 可得：12m -＞0，则m>2． 故答案为m>2【点睛】正比例函数y=kx 的图象经过第一、三象限，则k ＞0；正比例函数y=kx 的图象经过第二、四象限，则k ＜0．31．【详解】分子分母同时约去公因式2即可．解：原式==，故答案为．32．8 【分析】过点D 作DH∠AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH ，再利用“HL”证明Rt∠ADF 和Rt∠ADH 全等，Rt∠DEF 和Rt∠DGH 全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．【详解】解：如图，过点D 作DH∠AC 于H ，∠AD 是∠ABC 的角平分线，DF∠AB ，∠DF=DH ，在Rt∠ADF 和Rt∠ADH 中，AD AD DF DH =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠ADF∠Rt∠ADH ，∠ADF ADH S S =，在Rt∠DEF 和Rt∠DGH 中，DE DG DF DH =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠DEF∠Rt∠DGH ，∠DEF DGH S S =，∠∠ADG 和∠AED 的面积分别为52和36，∠3652EDF DGH S S +=-，∠EDF 的面积为：523682-=； 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．33．4-【分析】由两直线平行可得出3k =，再根据点(1,1)-在一次函数3y x b =+的图象上，即可得出关于b 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∠一次函数y kx b =+与正比例函数3y x =的图象平行，∠3k =．∠点(1,1)-在一次函数3y x b =+的图象上，13b -=+，解得：4b =-．故答案为：4-．【点睛】本题考查了求一次函数解析式，熟练掌握“若直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行，那么12k k =”是解题的关键．34．63【分析】利用“HL”证明Rt∠ABC 和Rt∠DEF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠ABC ，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【详解】在Rt∠ABC 和Rt∠DEF 中，BC EF AC DF=⎧⎨=⎩ ， ∠Rt∠ABC∠Rt∠DEF(HL)，∠∠DEF=∠ABC=27°，∠∠DFE=90°−27°=63°.故答案为63.【点睛】本题考查了学生对全等三角形的性质及判定的运用．解题时要注意找已知条件，根据已知选择方法．35．1.2【分析】根据矩形是中心对称图形，由点E ，F 分别为AD ，BC 上的点，AE ＝2，且EF 过矩形ABCD 的对称中心O ．则2CF AE ==，根据题意作出图形，设AP x =，6PB DQ x ==-，2,1028AE ED ==-=，根据APE EDQ S S =，列出方程，即可求解． 【详解】矩形是中心对称图形，点E ，F 分别为AD ，BC 上的点，AE ＝2，且EF 过矩形ABCD 的对称中心O ，∴2CF AE ==，如图，连接,,,,PE PF FQ EQ PQ ，则四边形PEQF 是平行四边形，若点P ，Q 分别在AB ，CD 边上，且EF ，PQ 将矩形ABCD 的面积四等分，PQ ∴过矩形ABCD 的对称中心O，APOE EOQD S S =四边形四边形，又四边形PEQF 是平行四边形，则PEO EOQ S S =△△，APE EDQ S S ∴=，设AP x =，6PB DQ x ==-，2,1028AE ED ==-=，1122PA AE ED DQ ∴⨯=⨯， 即()1128622x x ⨯⨯=⨯⨯-， 解得 4.8x =．∠BP =1.2．故答案为：1.2．【点睛】本题考查了矩形，平行四边形的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键． 36．5【分析】连接AC 交BD 于O ，交BG 于F ，过F 作FE BC ⊥于E ，则FO BD ⊥，可得由角平分线的性质可得到：FO FE =，继而可得CF EF CF OF CO +=+=，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理计算AC 即可求解．【详解】解：如图，连接AC 交BD 于O ，交BG 于F ，过F 作FE BC ⊥于E ，则FO BD ⊥，∠BG 平分CBD ∠，∠FO FE =，∠CF EF CF OF CO +=+=，∠四边形ABCD 是面积为50的正方形， ∠AB BC ==，∠在Rt ABC 中，10AC ，∠152CO AC ==，∠CF EF +的最小值为5．【点睛】本题主要考查正方形的性质和角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握正方形的性质和角平分线的性质，勾股定理.37．()20212,0-【分析】根据题意得出11OP =，22OP =，34OP =，如此下去，得到线段3482==OP ，45162OP ==⋯，12n n OP -=，再利用旋转角度得出点2020P 的坐标与点4P 的坐标在同一直线上，进而得出答案．【详解】解：点1P 的坐标为⎝⎭，将线段1OP 绕点O 按顺时针方向旋转45︒，再将其长度伸长为1OP 的2倍，得到线段2OP ；11OP ∴=，22OP=， 34OP ∴=，如此下去，得到线段342=OP ，452OP =⋯，12n n OP -∴=，由题意可得出线段每旋转8次旋转一周，202282526÷=⋯，∴点2022P 的坐标与点6P 的坐标在同一直线上，正好在x 轴的负半轴上，∴点2022P 的坐标是()20212,0-．故答案为：()20212,0-．【点睛】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点2020P 的坐标与点4P 的坐标在同一直线上是解题关键．38．【分析】根据勾股定理求出AC ，根据全等三角形的性质得到AF ＝BC ＝3，EF ＝AC ＝4，求出FC ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：在Rt∠ABC 中，AC =4．∠Rt∠ACB ∠Rt∠EF A ，∠AF ＝BC ＝3，EF ＝AC ＝4，∠FC ＝AC ﹣AF ＝1，∠CE【点睛】本题考查的是勾股定理、全等三角形的性质，掌握勾股定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．39．201894【分析】过点1P ，2P ，3P 作x 轴的垂线段，在结合等腰∠11POA ，可推导出2P 的坐标；同理，可得到3P 、4P ⋯的坐标；最后通过寻找这些坐标之间的规律，得到最终结果【详解】如图，分别过点1P ，2P ，3P 作x 轴的垂线段，垂足分别为C ，D ，E ． “()3,3P ，且11POA ，是等腰直角三角形，∠113OC CA PC ===，则2P D a =， ∠6OD a =+，∠点2P 的坐标为()6,a a +．将点2P 的坐标代入143y x =-+中，得()1643a a -++=，解得32a =． ∠1223A A a ==，232P D =． 同理求得334P E =，2332A A =． ∠116392S =⨯⨯=，21393224S =⨯⨯=， 3133922416S =⨯⨯=，…，∠2019201894S =．【点睛】在等腰三角形中，作垂线，好处是构造出一条“三线合一”的线段，利用这个性质易于求解三角形中的一些线段长度。
难点探究专题：全等三角形中的动态问题(原卷版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题07 难点探究专题：全等三角形中的动态问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题考点四 利用全等三角形中的动点综合问题考点一 利用全等三角形中的动点求时间问题（利用分类讨论思想）例题：（2021·山东临沂·八年级期中）如图，CA AB ⊥，垂足为点A ，射线BM AB ⊥，垂足为点B ，12cm AB =，6cm AC =．动点E 从A 点出发以3cm /s 的速度沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着 E 点运动而运动，始终保持ED CB =．若点E 的运动时间为(0)t t >，则当 t =________ 个秒时，DEB 与BCA 全等．【变式训练】（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图，在长方形ABCD 中，6,10AB AD ==延长BC 到点E ，使4CE =，连接DE ，动点F 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC CD DA --向终点A 运动，设点F 的运动时间为t 秒，当t 的值为_______时，ABF 和DCE 全等．考点二 利用全等三角形中的动点求线段长问题例题：（2019·江苏·宜兴市周铁中学八年级阶段练习）已知：如图，∠B =90°AB ∥DF ，AB =3cm ，BD =8cm ，点C 是线段BD 上一动点，点E 是直线DF 上一动点，且始终保持AC ⊥CE ，若AC =CE ,则DE 的长为______.【变式训练】（2020·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．考点三 利用全等三角形中的动点求线段长最小值问题例题：（2021·重庆八中八年级开学考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，AB =10，AD 平分∠CAB 交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE +EF 的最小值为________．【变式训练】（2019·湖北·武汉大学附属外语学校八年级阶段练习）△ABC 是边长为2的等边三角形，点P 为直线BC 上的动点，把线段AP 绕A 点逆时针旋转60°至AE ，O 为AB 边上一动点，则OE 的最小值为____．考点四 利用全等三角形中的动点综合问题例题：（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=．点D 是直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合），90,DAE AD AE ∠=︒=，连接CE ．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CD 与CE 之间的数量关系；(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，请探究线段,BC CD 与CE 之间存在怎样的数量关系？并说明理由；(3)如图3，若点D 在边CB 的延长线上，且点A ，E 分别在直线的两侧，其他条件不变，若10,6CD BC ==，直接写出CE 的长度．【变式训练】（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图①，点C 在线段AB 上（点C 不与A ，B 重合），分别以AC ，BC 为边在AB 同侧作等边△ACD 和等边△BCE ，连接AE ，BD 交于点P ．(1)观察猜想：1.AE 与BD 的数量关系为______；2.∠APD 的度数为______；(2)数学思考：如图②，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．一、选择题1．（2022·福建漳州·八年级期末）已知点A 为线段BC 上方的一动点，且满足AC -AB =3，BC =8，若AD 平分∠BAC ，且CD ⊥AD 于点D ，则S △BDC 的最大值为（ ）A ．24B ．12C ．6D ．32．（2020·山东·鲁村中学八年级阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，D 为AC 中点，P 为AB 上的动点，将P 绕点D 逆时针旋转90°得到P ′，连CP′的最小值为（ ）A．1.6 B ．2.4 C ．2 D ．3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为（ ）A ．52B ．152C ．3D ．125二、填空题4．（2022·全国·八年级）如图，AB ⊥BC 于B ，DC ⊥BC 于C ，AB =6，BC =8，CD =2，点P 为BC 边上一动点，当BP ＝________时，形成的Rt △ABP 与Rt △PCD 全等．5．（2022·河南漯河·八年级期末）如图，在正方形ABCD 中，3cm AB =，延长BC 到点E ，使1cm CE =，连接DE ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿AB BC CD DA →→→向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，当PBC ∆和DCE ∆全等时，t 的值为 __．6．（2020·浙江宁波·八年级专题练习）如图所示，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为射线CB 上的动点，AE AD =，且,AE AD BE ⊥与AC 所在的直线交于点P ，若3AC PC =，则BD CD=_______．三、解答题7．（2022·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）如图1，E ，F 为线段BC 上的两个动点，AE DF ∥，且AE DF CF BE AD ==，，交EF 于点O ．(1)现有甲、乙、丙、丁四个结论：甲：点O 是AD 的中点；乙：点O 是BC 的中点；丙：点O 是EF 的中点；丁：AB CD ∥正确的结论是____________；请选择一个你认为正确的结论进行证明；(2)当点E ，F 移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，（1）中四个结论正确的是__________．8．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学八年级阶段练习）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8cm ，BC =6cm ，点D 在AC 上，且AD =6cm ，过点A 作射线AE ⊥AC （AE 与BC 在AC 同侧），若动点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm /s ，设点P 运动时间为t 秒．连接PD 、BD ．(1)如图①，当PD ⊥BD 时，求证：△PDA ≌△DBC ；(2)如图②，当PD ⊥AB 于点F 时，求此时t 的值．9．（2021·贵州·兴义市万峰林民族学校八年级期中）如图，在长方形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ．动点P 从点B 出发，沿BC 方向以2cm /s 的速度向点C 匀速运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CD 方向以2cm /s 的速度向点D 匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为t （s ）（0<t <3）．解答下列问题：（1）当点C 在线段PQ 的垂直平分线上时，求t 的值；（2）是否存在某一时刻t ，使ABP PCQ ∆∆≌若存在，求出t 的值，并判断此时AP 和PQ 的位置关系；若不存在，请说明理由．10．（2022·全国·八年级课时练习）（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD ⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA ＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．。
八年级数学专项训练
一、求角度1、基本图形2、方程思想的运用【例】：如图，在△ABC中，∠C=2∠A，BD是AC边上的高，BE是∠ABC的平分线，且∠DBE=18°．求△ABC的各内角的大小．3、分类思想【例】：在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数。
【练习】在△ABC中，∠A＝40°，高BD、CE相交于点O，求∠BOC的度数。
二、利用全等求线段或角度【例】：如图，锐角△ABC的高AD、BE相交于F，若BF=AC，BC=7，CD=2，求AF的长【例】：如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．三、利用全等三角形证数量或位置关系【例】：如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）求证：∠AHB=∠DCE；（3）求证：CH平分∠AHE；（4）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）【练习】1、如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=BD，CD=DE，E是AD上一点，连结BE并延长交AC 于点F．求证：（1）BE=AC；（2）BF⊥AC．2、如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；（3）如图③，在旋转过程中，设AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）四，以“垂直且相等”为背景的辅助线——作垂线【教材母题】（P56第9题）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE长。
八年级下数学化简求值方程专题训练及答案
2021-2021学年度第二学期八年级数学化简求值方程专题训练 1． 解方程（5分）2244212-=-++x x x x 2.（本题12分,每小题6分）先化简，再求值： (1) 412)211(22-++÷+-x x x x ，其中3-=x (2) 22933x x x x x x -⎛⎫-• ⎪-+⎝⎭，其中2x = 3（本题满分8分）有一道题，先化简，再求值：91)9633(22-÷-++-x x x x x ， 其中2008-=x ，小明同学做题时把2008-=x 错抄成2008=x ，但他 的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事。
4（本题满分10分）先化简，再求值：1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ， 其中a 满足12=-a a 。
一．化简求值（每题5分）1.化简22221()11x x x x x x -+-÷+- 2.化简，并代入你喜欢的数值求值2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭3.化简：2411422x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭4.化简：221211241x x x x x x --+÷++--．5.化简2222x xy y x y x xy y x ⎛⎫-+÷- ⎪-⎝⎭，再将3x =-y =6.化简求值：2112x x x x x ⎛⎫++÷- ⎪⎝⎭，其中1x =．7.化简，再对a 取一个你喜欢的数，代入求值．221369324a a a a a a a +--+-÷-+-8.化简求值：112112++-⋅-x x x x ，其中x=2. 9.化简:35(2)482y y y y -÷+---10.化简求值：)(222y x y x y x +-+-，其中31,3-==y x . 11.化简求值：)2422(4222+---÷--x x x x x x ，其中22+=x 12.先化简，再求值：2224441x x x x x x x --+÷-+-，其中32x =． 二．解分式方程（第1、4每题5分，其余每题6分）1.解方程：22333x x x -+=--. 2.解方程：223124x x x --=+-． 3.解方程：163104245--+=--x x x x 4.解方程：14143=-+--xx x . 5.解方程：2111x x x x ++=+ 6.解方程：2316111x x x +=+-- 7.解方程： 212423=---x x x 参考答案一．化简求值1.解：原式x =2.解： 11x =- 3.解：原式===1． 4. 解：原式）11x x -=-1= 5. 解： y x y =+当3x =-y ===6. 解：原式===21x -．将1x =代入上式得原式2== 7. 解：原式==33a - ···························································································· 注：a 取值时只要不取2，-2，3就可以．8．解：原式=111)1(112+-=+-⋅-x x x x x . 当x=2时，原式311212=+-. 9．原式=3(2)(2)54822y y y y y y ⎡⎤-+-÷-⎢⎥---⎣⎦=239324824(2)(3)(3)y y y y y y y y y ----÷=⨯----+=14(3)y + 10. 解：原式=)(2))((y x yx y x y x +-+-+ =y x y x 22---=y x 3-- 当31,3-==y x 时,原式=)31(33-⨯--=2-11. 解: 原式=2242222+-÷--x x x x x x =x x x x x x x 22)2)(2(222-+⨯+-- =21-x 将2=x +2 代入21-x 得：22 12. 解：2224441x x x x x x x --+÷-+-2(2)(2)(1)(2)1x x x x x x x -+-=+÷--212x x +=+-22x x =- 当32x =时，原式3226322⨯==-- 二．解分式方程1. 解：去分母得：()2332x x -+-=-化简得25x =，解得52x =， 经检验，52x =是原方程的根. ∴原方程的根是52x =． 2. 解：22(2)(4)3x x ---=．45x -=-．54x =．经检验，54x =是原方程的解． 3. 解：方程两边同乘)2(3-x ，得3(54)4103(2).x x x -=+-- 解这个方程，得 x=2检验：当x=2时，)2(3-x =0，所以x=2是增根，原方程无解4. 解：方程两边同乘以x －4，3－x －1＝x －4解这个方程，得x ＝3检验：当x ＝=3时，x －4＝－1≠0 ∴ x ＝3是原方程的解5. 解：2(1)(21)(1)x x x x x ++=++解这个整式方程得：12x =-经检验：12x =-是原方程的解．∴原方程的解为12x =-． 6.解：去分母得：61)1(3=++-x x6133=++-x x2=x 经检验2=x 是原方程的解。
苏科版八年级数学下册第7章 数据的收集、整理、描述测试卷及答案
第七单元数据的收集、整理、描述综合测试卷一、选择题(每题3分．共24分)1．下列调查适合做普查的是( )A．了解全球人类男女比例情况B．了解一批灯泡的平均使用寿命C．调查20～25岁年轻人最崇拜的偶像D．对患甲型H7N9的流感患者同一车厢的乘客进行医学检查2．下列调查中，选取的样本具有代表性的有( )A．为了解某地区居民的防火意识，对该地区的初中生进行调查B·为了解某校1 200名学生的视力情况，随机抽取该校120名学生进行调查C．为了解某商场的平均日营业额，选在周末进行调查D．为了解全校学生课外小组的活动情况，对该校的男生进行调查3．为了了解某校八年级1 000名学生的身高，从中抽取了50名学生并对他们的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指( )A．1 000名学生B．被抽取的50名学生C．1 000名学生的身高D．被抽取的50名学生的身高4．如图是七年级(1)班参加课外兴趣小组人数的扇形统计图，则表示唱歌兴趣小组人数的扇形的圆心角度数是( )A．36⁰B．72⁰C．108⁰D．1 80⁰5．某工厂上半年生产总值增长率的变化情况如图所示，从图上看，下列结论中不正确的是( ) A．1～5月份生产总值增长率逐月减少B．6月份生产总值的年增长率开始回升C．这半年中每月的生产总值不断增长D．这半年中每月的生产总值有增有减6．已知样本数据的个数为30，且被分成4组，各组数据的个数之比为2：4：3：1，则第二小组和第三小组的频率分别为( )A．0．4、0．3 B．0．4、9 C．12、0．3 D．1 2、97．为了解某中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在：169．5 cm~1 74．5 cm 的人数有( )A．12 B．48 C．72 D．968．在样本的频数分布直方图中，有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他10 个小长方形面积之和的四分之一．且样本数据有160个．则中间一组的频数为( )A．0．2 B．32 C．0．25 D．40二、填空题(每题3分。
八年级数学角平分线、中点专题训练试题
A DBC八年级数学角平分线、中点专题训练试题【例题讲解】（一）过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ． 求证：︒=∠+∠180C A .2．已知：如图，在∆ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ． 3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF.求证：OB 平分AOC ∠.（二）有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点， 求证：DH=21（AB －AC ）． 5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE（三）有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。
（角平分线+平行线⇒三角形.）6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠∆中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠. （四）作斜边中线，利用斜边中线性质解题7.如图，在ABC Rt ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.M（五）有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题8.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点， 求证：FD BF ⊥.（六）有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形： 9．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.10.已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.11．已知：如图，ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.（七）有中点，造中位线12.如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠21，点E 为BC 的中点， 求证：AB=2DE.D13.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.（八）与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法14.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠，CM 平分DCB ∠.（2）BC CD AB =+.15.已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.AD FEBCB（1B（2GB（3B【随堂练习】1.如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．(1)求证：△ACD≌△CNBF；(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?证明你的结论．2、如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．例1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为．例2.△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：CO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?AD ，BE∥AC，DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.（1）求例3.如图，ABCD为平行四边形，a证：DF=FE；（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.例4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于E，CF∥AB交直线DF于F．设CD=x．（1）当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；（2）当x取何值时，四边形EACD的面积等于2？例5.阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．解答问题；(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S l、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图3把它画出来；(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出个，利用图4把它画出来；(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?【随堂练习】1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是C M2．(1)如图，已知矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ：∠BAE ＝3：1，则∠CAC ＝ ； (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为_______cm 2．3．如图，以△ABC 的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD 、 △BCE 、△ACF ．(1)四边形ADEF 是 ； (2)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 为矩形； (3)当△ABC 满足条件 时，四边形ADEF 不存在．4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+3，则这两边之积为 ．5．如图，ABCD 中，M 是AB 上的一点，连结CM 并延长交DA 的延长线于P ，交对角线BD 于N ，求证：NP MN CN ⋅=218．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD ⑴请再写出图中另外一对相等的角；⑵若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD 的中位线的长度。
中考数学八年级专题训练50题含答案
中考数学八年级专题训练50题含答案一、单选题1．不等式23x -<的解集是（ ）A ．23x <-B ．23x >-C ．32x <-D ．32x >- 2．下列各式中，一定是二次根式的是（）A ．BCD 3．下列各组数中，能组成勾股数的是（ ）A ．0.2，0.3，0.4B ．1，4，9C ．5，12，13D ．5，11，124．设a =a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )A ．-1和-2B ．-2和-3C ．-3和-4D ．-4和-5 5．从下列不等式中选择一个与x ＋1≥2组成不等式组，如果要使该不等式组的解集为x ≥1，那么可以选择的不等式是( )A ．x ＞－1B ．x ＞2C ．x ＜－1D ．x ＜26．如图，将△ABC 绕点B 顺时针旋转50°得△DBE ，点C 的对应点恰好落在AB 的延长线上，连接AD ，下列结论不一定成立的是（ ）A ．AB =DB B ．△CBD =80°C ．△ABD =△E D ．△ABC △△DBE 7．规定一种新的运算“JQx →+∞A B ”，其中A 和B 是关于x 的多项式．当A 的次数小于B 的次数时，JQx →+∞0A B =；当A 的次数等于B 的次数时，JQx →+∞A B的值为A 和B 的最高次项的系数的商；当A 的次数大于B 的次数时，JQx →+∞A B 不存在．例：JQx →+∞21x -＝0，JQx →+∞22212312x x x +=+-．若223615(2)11A x xB x x -=-÷--，则JQx →+∞A B的值为（ ）A ．0B ．12C ．13D ．不存在8．在227，π-，0，3.14，，0.333，0.1010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）中，无理数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＜﹣bB ．|a|＞|b|C ．|a|＜|b|D ．﹣a ＞b 10．下列说法中正确的是（ ）A ．若||a b >，则22a b >B ．若a ＞b ，则11a b <C ．若a b >，则22ac bc >D ．若,a b c d >>，则a c b d ->- 11．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．a b =- 12．如图，E ，F 分别是 □ABCD 的边AB ，CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有（ ）.A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个13．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ．ABC ∆的周长为19，ACE ∆的周长为13，则AB 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．1614．下列说法： △已知△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，则中线AD 的取值范围是1≤AD≤7；△两边和一角对应相等的两个三角形全等；△如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形；△一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3D ．4个15．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，5,3ED EC ==，则矩形的周长为（ ）A ．18B ．20C ．21D ．22 16．关于x 的方程32211x m x x --=++有增根，则m 的值为（ ） A ．2 B ．7- C ．5 D ．5-17．两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒，在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y （米）与乙出发的时间t （秒）之间的关系如图所示给出以下结论：△8a =；△72b =；△98c =．其中正确的是（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△D ．△△18．如图，ABC 是等边三角形，ABD △是等腰直角三角形，90BAD ∠=︒，AE BD ⊥于点E ，连接CD ，分别交、AE AB 于点F 、G ，过点A 作AH CD ⊥交BD 于点H ，1EH =，则下列结论：△15ACD =︒∠；△AFG 是等腰三角形；△ADF BAH △△≌；△2DF =．其中正确的有（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△19．正方形111A B C O 、2221A B C C 、3332A B C C …按如图所示的方式放置.点1A 、2A 、3A …和点1C 、2C 、3C …别在直线1y x =+和x 轴上，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()201820192,2B ．()2018201821,2-C ．()201920182,2D ．()2018201921,2-二、填空题20．如果等腰三角形腰上的高是腰长的一半，那么它顶角的度数是_____．21．“迎面穿梭接力”是北关中学历届校运动会最具吸引力的集体项目之一，单程100米，该比赛项目要求班级超过半数的学生参加，是衡量一个班级整体田径实力的重要项目，取胜的一个至关重要的因素是接力棒交接时不掉棒．今年运动会上，初二21班和初二22班两个班级在比赛中出现了惊心动魄的一幕，21班最后一个参赛同学甲在接棒时掉棒，掉棒的同时22班倒数第二位参赛同学乙距离下一个接棒同学丙还有一段距离，并随后顺利与丙交接棒（交接棒时间忽略不计），最后冲刺中丙反超甲赢得了比赛，在比赛过程中，甲乙丙均匀速前进，两个班跑步中的队员之间的距离y（米）与甲成功接棒后出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，则丙到达终点时，甲距终点的距离是______米．22．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝18，则△BOC的周长为_____．23a，小数部分为b，则2a b+_________．24．已知正方形的对角线长为______．1），则点25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点CA的坐标是______________．26．如图，将5个边长为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，……，An分别是正方形的中心，则5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为______．27．如图，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转30°后所得的图形，点C 恰好在AB 上，则△A 的度数为______．28．将矩形添加一个适当的条件：_____，能使其成为正方形．29．已知钝角三角形的三边分别为2，3，4，则该三角形的面积为__________． 30．如图，将ABC ∆沿BC 所在的直线平移得到DEF ∆．如果2GC =， 4.5DF =， 那么AG =____．31．一等腰三角形的一条边长为6,一个外角为120° , 则这个三角形的周长为_____. 32．已知直线y ＝kx ﹣3与y ＝（3k ﹣1）x +2互相平行，则直线y ＝kx ﹣3不经过第_____象限．33．菱形的周长是24，两邻角比为1﹕2，较短的对角线长为_________34．已知在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB ＝A 1B 1，△A ＝△A 1，要使△ABC △△A 1B 1C 1，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________．35．如图，直线4y x =+与y 轴交于1A ，按如图方式作正方形11122213332A B C O A B C C A B C C ⋯，，，，点123A A A ⋯，，在直线4y x =+上，点123C C C ⋯，，，在x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为123n S S S S ⋯，，，，则1S =_________，n S = __（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．36．已知关于x 的一元一次不等式组21x m n x m-≥⎧⎨-≤⎩的解集为35x ≤≤，则n m 的值是_____．37．若关于x 的方程3101ax x +-=-无解，则a 的值为__________． 38．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 、F 在BD 上，请你添加一个条件_____使四边形AECF 是平行四边形（填加一个即可）．39．如图，在正方形ABCD 中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 外的两点，且AE ＝FC ＝3， BE ＝DF ＝4，则EF 的长为_______．三、解答题40．已知2a ﹣1的平方为9，b ﹣1的算术平方根是2，c a ﹣b +c 的值．41．已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 的延长线上，且AD ＝BE ，联结DC 、AE ．(1)试说明△BCD △△ACE 的理由；(2)如果BE ＝2AB ，求△BAE 的度数．42小数部分我们不可能全部写出来，而12<<1分．请解答下列问题：（1__________，小数部分是__________；（2a b ，求a b +43．两张矩形纸片ABCD 和CEFG 完全相同，且AB=CE ，AD ＞AB ．操作发现：（1）如图1，点D 在GC 上，连接AC 、CF 、CG 、AG ，则AC 和CF 有何数量关系和位置关系？并说明理由．实践探究：（2）如图2，将图1中的纸片CEFG 以点C 为旋转中心逆时针旋转，当点D 落在GE 上时停止旋转，则AG 和GF 在同一条直线上吗？请判断，并说明理由．44．先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数a 、b 、c 的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M {a ，b ，c }表示a ，b ，c 这三个数的平均数，m i n {a ，b ，c }表示a ，b ，c 这三个数中最小的数，max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 这三个数中最大的数．例如：M {﹣1，2，3}＝123433-++=，m i n {﹣1，2，3}＝﹣1，max {﹣1，2，3}＝3；M {﹣1，2，a }＝12133a a -+++=，m i n {﹣1，2，a }＝()()111a a a ⎧≤-⎪⎨->-⎪⎩．（1）请填空：max{c﹣1，c，c＋1}＝；若m＜0，n＞0，m i n{3m，（n＋3）m，﹣mn}＝；（2）若m i n{2，2x＋2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；（3）若M{2，x＋1，2x}＝m i n{2，x＋1，2x}，求x的值．45．计算：（1（2）+46．如图，BAD是由BEC在平面内绕点B逆时针旋转60︒而得，且⊥=，，连接DE．求证：BDE≌BCE．AB BC BE CE47．（1）解方程（1）(x+5)=16 (2x-1)=64（2）解下列不等式，并将它解集在数轴上表示出来：48．如图，中，，是上一点，是延长线上一点，且，若与相交于，求证：．答案第1页，共26页 参考答案：1．D【分析】不等式的两边都除以2-，即可得到答案．【详解】解：23x -<，两边都除以2-得：32x >-，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“利用不等式的基本性质解一元一次不等式”是解本题的关键．2．D0a ≥，的式子称为二次根式，利用定义解题即可．【详解】解：A 中根号里面为负数，不是二次根式；B 中是三次根，不是二次根式；C 中未说明1a ≥，可能不是二次根式；D 中210a +>，故一定是二次根式．故选D ．【点睛】本题主要考查二次根式的定义，注意0a ≥的条件是否满足．3．C【分析】根据勾股数的定义进行分析，从而得到答案．【详解】A 、不是，因为它们不是正整数；B 、不是，12＋42≠92 ；C 、是，满足勾股数的定义；D 、不是，因为52＋112≠122；故选：C ．【点睛】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理和勾股数的定义，已知三角形ABC 的三边满足a 2＋b 2＝c 2，则三角形ABC 是直角三角形．4．D【分析】先确定19的大小，再根据算术平方根的定义、不等式的性质即可得到答案.【详解】△16<19<25,△45<，△54-<-，故选：D.【点睛】此题考查算术平方根的定义、不等式的性质、实数的大小比较.5．A【详解】试题分析：x+1≥2，解得：x≥1，根据大大取大可得另一个不等式的解集一定是x不大于1．故选A．考点：不等式的解集．6．C【分析】利用旋转的性质得△ABC△△DBE，BA=BD，BC=BE，△ABD=△CBE=50°，△C=△E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出△CBD=80°，由三角形外角性质判断出△ABD＞△E．【详解】解：△△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，△AB=DB，BC=BE，△ABD=△CBE=50°，△ABC△△DBE，故选项A、D一定成立；△点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，△△ABD+△CBE+△CBD =180°，.△△CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；又△ △ABD=△E+△BDE，△△ABD＞△E，故选项C错误，故选C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．7．C【分析】先对223615211A x xB x x-⎛⎫=-÷⎪--⎝⎭进行计算，然后再根据规定的新运算，解答即可．【详解】解：223615211A x xB x x-⎛⎫=-÷⎪--⎝⎭＝()()()325 25111x xxx x x--÷-+-＝()()()11251325x x x x x x +--⨯-- ＝13x x+， △A 的次数等于B 的次数，△JQx →+∞A B ＝13， 故选：C ．【点睛】本题考查了新定义，以及分式的混合运算，理解已知规定的新运算是解题的关键．8．C【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】解：在227，π-，0，3.14，，0.333，0.1010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）中，227，0，3.14，0.32-，33是有理数， π-， ，0.1010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，共3个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数、无理数的概念，求一个数的立方根．以下几类无理数应知道：π或含有π的式子；开不尽方的数以及它们与有理数的和、差、积、商也都是无理数；还有如0.070070007⋯（每两个7之间依次多一个0）这样的数也是无理数． 9．C【分析】根据绝对值的定义可求解．【详解】由图可得：﹣1＜a ＜0，1＜b ＜2△|a|＜|b|故选：C ．【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是熟练掌握绝对值的定义.10．A【分析】利用两个非负数的平方性质可判断A ，利用不等式性质可判断B ，C ，利用举反例可判断D ．【详解】解：A . 若||a b >，则22a b >，故选项A 正确；B . 若a ＞b ＞0，则11a b <；若0＞a ＞b ，则11a b <；若a ＞0＞b ，则11a b＞，故选项B 不正确；C . 若a b >，c≠0，则22ac bc >；若a b >，c=0则22=ac bc ,故选项C 不正确；D . 若,a b c d >>，例如0＞-2，-3＞-7，则0-（-3）＜-2-（-7），则a c b d ->-不一定成立，故选项D 不正确．故选择A ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质以及举反例方法是解题关键． 11．C【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可．【详解】ABC.根据数轴上点a 、b 的位置可知，0a ＜，0b ＞，△a b ＜，故AB 错误，C 正确；根据数轴上点a 、b 的位置可知，a b -＜，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．12．C【分析】首先根据四边形ABCD 是平行四边形，可得DC△AB ，DC=AB ，再根据E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，可得DF=FC=12DC ，AE=EB=12AB ，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DFBE 和CFAE 都是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得DE△FB ，AF△CE ，进而可证出四边形FHEG 是平行四边形．【详解】解：△四边形ABCD 是平行四边形， △DC△AB ，DC=AB ，△E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，△DF=FC=DC，AE=EB=AB，△DC=AB，△DF=FC=AE=EB，△四边形DFBE和CFAE都是平行四边形，△DE△FB，AF△CE，△四边形FHEG是平行四边形，故选C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的性质定理和判定定理．13．B【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】△AB的垂直平分线交AB于点D，△AE=BE，△△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19，△AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6，故答案为：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．14．B【分析】根据三角形的三边关系，全等三角形的判定，等边三角形的判定，轴对称的性质一一判断即可．【详解】解：△已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，则中线AD的取值范围是1≤AD≤7，错误，应该是中线AD的取值范围是1＜AD＜7．△两边和一角对应相等的两个三角形全等，错误，SSA不一定全等．△如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形，正确．△一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形是等边三角形，正确．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．D【分析】根据勾股定理求出DC=4；证明BE=AB=4，即可求出矩形的周长．【详解】解：△四边形ABCD 是矩形，△△C=90°，AB=CD ，AD△BC ，AD=BC ，△ED=5，EC=3，△DC 2=DE 2-CE 2=25-9=16，△DC=4，AB=4；△AD△BC ，△△AEB=△DAE ；△AE 平分△BAD ，△△BAE=△DAE ，△△BAE=△AEB ，△BE=AB=4，△BC=BE+EC=7，△矩形ABCD 的周长=2（4+7）=22．故选：D ．【点睛】该题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质和等腰三角形的判定．16．D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】分式方程去分母得：322(1)x m x --=+，解得，4x m =+，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=-1，△4+1m =-解得，m=-5；故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：△让最简公分母为0确定增根；△化分式方程为整式方程；△把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 17．B【分析】易得乙出发时，两人相距8m ，除以时间2即为甲的速度；由于出现两人距离为0的情况，那么乙的速度较快．乙80s 跑完总路程400可得乙的速度，进而求得80s 时两人相距的距离可得b 的值，同法求得两人距离为0时，相应的时间，让两人相距的距离除以甲的速度，减2即为c 的值．【详解】由函数图象可知，甲的速度为824÷=（米/秒），乙的速度为400805÷=（米/秒），8(54)8∴÷-=（秒），8a ∴=，故△正确；5804(802)400328b =⨯-⨯+=-72=（米）故△正确；4004298c =÷-=（秒）故△正确；∴正确的是△△△．故选B ．【点睛】本题考查了一次函数的应用，得到甲乙两人的速度是解决本题的突破点，得到相应行程的关系式是解决本题的关键．18．C【分析】△由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD 是等腰三角形且顶角△CAD =150°，据此可判断；△求出△AFG 和△F AG 度数，从而得出△AGF 度数，据此得出答案；△根据ASA 证明△ADF △△BAH 即可判断；△由△BAE =45°，△ADC =△BAH =15°，则△EAH =30°，DF =2EH 即可得出．【详解】解：△△ABC 为等边三角形，△ABD 为等腰直角三角形，△△BAC =60°，△BAD =90°，AC =AB =AD ，△ADB =△ABD =45°，△△CAD 是等腰三角形，且顶角△CAD =150°，△△ADC =15°，故△正确；△AE △BD ，即△AED =90°，△△DAE =45°，△△AFG =△ADC ＋△DAE =60°，△F AG =45°，△△AGF =75°，△△AFG 三个内角都不相等，△△AFG 不是等腰三角形，故△错误；由AH △CD 且△AFG =60°知△F AH =30°，则△BAH =△ADC =15°，在△ADF 和△BAH 中，△ADF =△BAH ，DA =AB ，△△ADF △△BAH （ASA ），故△正确；△△ABE =△EAB =45°，△ADF =△BAH =15°，△DAF =△ABH =45°，△△EAH =△EAB －△BAH =45°－15°=30°，△AH =2EH ，△EH =1，△ADF △△BAH （ASA ）△DF =AH ，△DF =AH =2EH =2，故△正确；故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质、等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点的应用．19．B【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点1234,,,B B B B 的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“点n B 的坐标为()n n-12-12，（n 为正整数）”，再代入n=2019即可得出n B 的坐标，然后再将其横坐标减去纵坐标得到n A 的横坐标，n A 和n B 的纵坐标相同．【详解】解：当0x=时，y=x+1=0+1=1，△点A 1的坐标为（0，1）．△四边形A 1B 1C 1O 为正方形，△点B 1的坐标为（1，1），点C 1的坐标为（1，0）．当x=1时，y=x+1=1+1=2，△点A 2的坐标为（1，2）．△A 2B 2C 2C 1为正方形，△点B 2的坐标为（3，2），点C 2的坐标为（3，0）．同理，可知：点B 3的坐标为（7，4），点B 4的坐标为（15，8），点B 5的坐标为（31，16），…，△点n B 的坐标为()n n-12-12，（n 为正整数）， △点2019B 的坐标为()2019201821,2- ，△点2019A 的坐标为()2019201820182-1-22，，即为()201820182-12， ． 故选B ．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律是解题的关键．20．30°或150°．【分析】利用等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，分三角形是锐角三角形和钝角三角形，两种情况，即可求解．【详解】解：△如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD △AB 且CD ＝12AB ， △△ABC 中，CD △AB 且CD ＝12AB ，AB ＝AC ， △CD ＝12AC ， △△A ＝30°．△如图，△ABC 中，AB ＝AC ，CD △BA 的延长线于点D ，且CD ＝12AB ， △△CDA ＝90°，CD ＝12AB ，AB ＝AC ， △CD ＝12AC ， △△DAC ＝30°，△△A ＝150°．故答案为30°或150°．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，注意要分三角形是锐角三角形和钝角三角形两种情况.21．10【分析】由图可知甲乙相距10m ，在1s 时两人相遇，当x=2.5s 时乙丙完成交接，然后x=15s时，丙到达终点，进而可根据此信息求出乙的速度，设甲的速度为am/s，然后可求解．【详解】解：由图可知：甲乙相距10m，在1s时两人相遇，当x=2.5s时乙丙完成交接，然后x=15s时，丙到达终点，△乙跑完10m用时2.5s，则速度为：10 2.54÷=m/s，设甲的速度为a m/s，则有：()4110a+⨯=，a=，故甲的速度为6m/s，解得：6-⨯=；则丙到达终点时，甲距终点的距离为：10061510m故答案为10．【点睛】本题主要考查函数图像，关键是根据函数图像得到相关信息，然后求解即可．22．15【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．【详解】解：△四边形ABCD是平行四边形，△AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，△AC＋BD＝18，△OB＋OC＝9，△△BOC的周长＝BC＋OB＋OC＝6＋9＝15．故答案为：15．【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．23．6【分析】根据题意表示出a和b的值，进而得出答案．【详解】解：3<13<4∴=，33ab=2∴+a b2=33=6故答案为：6．【点睛】本题考查了估计无理数的大小，代数式求值等知识点的应用，解题的关键是求出无理数的取值范围．24．25算出边长，从而求算面积．【详解】△正方形的对角线长为△正方形的边长为5=△正方形的面积为25故答案为：25是解题关键．25．(-【分析】分别过点A 作AD x ⊥轴于点,D CE x ⊥于点E ，由“一线三等角”证明()ADO OEC AAS ≅，结合正方形的性质解得1AD OE DO EC ====，由此解题．【详解】解：如图，分别过点A 作AD x ⊥轴于点,D CE x ⊥于点E ，90AOC ∠=︒90AOD COE ∴∠+∠=︒+90DAO AOD ∠∠=︒DAO COE ∴∠=∠在正方形AOCB 中，ADO OEC AO OC ∠=∠=，()ADO OEC AAS ∴≅,AD OE DO EC ∴== (3,1)C1AD OE DO EC ∴====(A ∴-故答案为：(-．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、坐标与象限等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．26．21cm【分析】过正方形ABCD 的中心O 作OM △CD 于M ，作ON △BC 于N ，则易证△OEM △△OFN ，根据已知可求得一个阴影部分的面积是正方形的面积的14，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n 个这样的正方形重叠部分即为n −1阴影部分的和，即可得出结果．【详解】解：如图，过正方形ABCD 的中心O 作OM △CD 于M ，作ON △BC 于N ，则△EOM ＝△FON ，OM ＝ON ，在△OEM 和△OFN 中，OME ONF OM ONEOM FON ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△OEM △△OFN （ASA ），则四边形OECF 的面积就等于正方形OMCN 的面积，如正方形ABCD 的边长是1，则OMCN 的面积是214cm ， △得阴影部分面积等于正方形面积的214cm ，△5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为21414cm ⨯=， 故答案为：21cm ． 【点睛】考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找到规律，难点是求得一个阴影部分的面积．27．75°【分析】由旋转的性质可得AO ＝CO ，△AOC ＝30°，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：△△COD 是△AOB 绕点O 顺时针方向旋转30°后所得的图形，△AO ＝CO ，△AOC ＝30°，△△A ＝△ACO ＝280013︒-︒＝75°， 故答案为：75°．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 28．邻边相等（或对角线互相垂直）【分析】根据正方形的性质及判定方法在矩形的基础上只要邻边相等或对角线互相垂直就可以．【详解】解：当邻边相等（或对角线互相垂直）时，矩形就是正方形．故答案为：邻边相等（或对角线互相垂直）．【点睛】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答的关键．29 【分析】首先利用勾股定理列方程求出AD 的长，再代入求BD ，进而利用三角形的面积公式即可．【详解】解：如图，2AB =，3BC =，4AC =，过点B 作BD AC ⊥于D ，设AD x =，4CD x =-，BD AC ⊥，90ADB BDC ︒∴∠=∠=，222223(4)x x ∴-=--，解得118x =， 118AD ∴=，BD ∴=11422S AC BD ∴=⨯=⨯=，． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是根据题意求出三角形的高．30．2.5【分析】根据平移的性质可得AC DF =，从而由AG AC GC =-求解即可．【详解】由平移的性质可得：45AC DF .==，△45225AG AC GC ..=-=-=，故答案为：2.5．【点睛】本题考查图形平移的性质，理解基本性质是解题关键．31．18【分析】由等腰三角形的一个外角为120°，则这个外角所对的内角为60°，即可判定这个等腰三角形是等边三角形，由此求得该三角形的周长即可.【详解】一个外角为120°，则这个外角所对的内角为60°，又因为是等腰三角形，所以这个三角形为等边三角形，所以周长为6×3=18.故答案为18.【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，证得这个三角形为等边三角形是解决问题的关键.32．二【分析】根据两直线平行一次项系数相等，可列出关于k 的方程，求出k ，即可判断y=kx-3经过的象限；【详解】△y=kx-3与y=（3k-1）x+2互相平行，△ k=3k-1，解得：k=12， △ y=kx-3=12x-3，经过一、三、四象限，不经过第二象限；故答案为：二．【点睛】本题考查了一次函数图象的性质与系数之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键；33．6【详解】画出图形如下所示：△菱形的周长为24，△菱形的边长为6，△两邻角之比为1:2，△较小角为60°，△△ABC=60°，AB=BC=6，△△ABC 是等边三角形，△AC=6，故答案为：6.34．AC=A 1C 1（或△B=△B 1，△C=△C 1，答案不唯一）.【分析】根据全等三角形的判定定理添加即可.【详解】添加AC=A 1C 1后可根据SAS 判定ABC△△A 1B 1C 1，添加△B=△B 1后可根据ASA 判定ABC△△A 1B 1C 1，添加△C=△C 1后可根据AAS 判定ABC△△A 1B 1C 1，故答案为：AC=A 1C 1（或△B=△B 1，△C=△C 1，答案不唯一）.【点睛】此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并运用解题是关键.35． 8 212n +【分析】设直线4y x =+与x 轴交于H ，求出14OA OH ==，得到145A HO =︒∠，则直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，再求出第n 个正方形的边长为12n +，再根据三角形面积公式进行求解即可．【详解】解：设直线4y x =+与x 轴交于H ，当0x =时，4y =，当0y =时，4x =-，△14OA OH ==，△145A HO =︒∠，△直线4y x =+与x 轴的夹角为45°，△直线与坐标轴相交构成的三角形是等腰直角三角形，△14OA =，即第一个正方形的边长为4，△114OC OA ==，△2118A C HC ==，即第二个正方形的边长8，同理可得3316A C =，即第三个正方形的边长为16，…，△可知第n 个正方形的边长为12n +， △41124422S =⨯⨯=， 62128822S =⨯⨯=， 8212161622S =⨯⨯=， …，2211211222222n n n n n S ++++=⨯⨯== 故答案为：8；212n +．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，根据直线解析式判断出等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．36．23-【分析】根据不等式组的解集情况列方程求,m n 的值，从而求解．【详解】解：21x m n x m -≥⎧⎨-≤⎩①②， 由△得x m n ≥+，由△得()112x m ≤+， 关于x 的一元一次不等式组21x m n x m -≥⎧⎨-≤⎩的解集为35x ≤≤， ()31152m n m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得96m n =⎧⎨=-⎩， 6293n m -∴==-． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．37．1或-3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】3101ax x +-=-， ()310ax x +-=﹣即：()14a x -=-△当1a =时，整式方程无解，分式方程无解；当1a ≠时，41x a -=- 1x =时，分式的分母为0，方程无解， 即411a --，解得：3a =-, 因此3a =-时，方程无解.故答案为：1或－3．【点睛】本题主要考查解分式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．38．BE ＝DF【分析】添加BE ＝DF ，证明四边形AECF 的对角线互相平分即可．【详解】添加BE ＝DF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AO ＝CO ，BO ＝DO ，△BE ＝DF ，△BO −BE ＝DO −DF ，△EO ＝FO ，△四边形AECF 是平行四边形．故答案为BE ＝DF .【点睛】本题考查的是平行四边形．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键. 39．【分析】延长EA 交FD 的延长线于点M ，可证明EMF 是等腰直角三角形，而EM=MF=AE+DF=7，所以利用勾股定理即可求出EF 的长．【详解】解：如图所示，延长EA 交FD 的延长线于点M ，△四边形ABCD 是正方形，△AB=BC=CD=AD=5，又△AE=FC=3，BE=DF=4，△222AE BE =AB +，222FC DF =CD +， △ABE 和CDF 皆是直角三角形， 在ABE 和CDF 中，AE=CF BE=DF AB=CD ⎧⎪⎨⎪⎩△ABE△CDF （SSS ），△△EAB=△FCD ，△EBA=△FDC ，△EAB+△EBA=90°，△CDF+△FDC=90°，△△EAB+△CDF=90°，△MAD+△MDA=90°，故△M=90°， △EMF 是直角三角形，△△EAB+△MAD=90°，△MAD +△MDA=90°，△△EAB=△MDA ，在ABE 和DMA 中，AEB=M=90EAB=MDA AB=DA ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△ABE△DMA （AAS ），△AM=BE=4，MD=AE=3，△EM=MF=7，△故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，证明出EMF 是等腰直角三角形是解题的关键．40．-3【分析】先依据平方根算术平方根的定义得到2a−1＝±3，b−1＝4小，于是可得到c 的值．【详解】2a ﹣1的平方为9，△2a ﹣1＝±3，解得：a ＝2或a ＝﹣1．△b ﹣1的算术平方根是2，△b ﹣1＝4，解得b ＝5．△c△c ＝3． 当a ＝2时，a ﹣b +c ＝2﹣5+3＝0；当a ＝﹣1时，ab +c ＝﹣1﹣5+3＝﹣3．【点睛】本题考查估算无理数的大小，求得a 、b 、c 的值是解题的关键．41．(1)见解析(2)90°【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB ＝BC ＝AC ，△ABC ＝△ACB ＝60°．可证明△BCD △△ACE ；（2）证得AC ＝CE ，得出△CAE ＝△E ，可求出△E ＝30°，由三角形的内角和定理可求出答案．(1)解：△△ABC 是等边三角形，△AB ＝BC ＝AC ，△ABC ＝△ACB ＝60°．△△DBC ＝△ECA =120°．△AD ＝BE ，△AD ﹣AB ＝BE ﹣BC ，即BD ＝CE ．在△BCD 和△ACE 中，BC CA DBC ECA BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△BCD △△ACE （SAS ）；(2)解△△BE ＝2BC ，△BC ＝CE ，△AC ＝BC ，△AC ＝CE ，△△CAE ＝△E ，△△ACB ＝△CAE +△E ＝60°，△△E ＝30°，△△ABE +△E +△BAE ＝180°，△ABE =60°，△△BAE ＝180°﹣△ABE ﹣△E ＝90°．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．42．（1）55；（2）0【分析】（1的取值范围进而得出答案；（2【详解】解：（1）<56∴<，55；故答案为：55；。
初二数学上册第七章测试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是等差数列的三项，且a+c=10，b=5，则b是等差数列的第（）项。
A. 3B. 4C. 5D. 62. 已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+2，则数列{an}是（）。
A. 等差数列B. 等比数列C. 指数数列D. 无规律数列3. 在数列{an}中，a1=2，an=an-1+3，则数列{an}的前10项和为（）。
A. 90B. 100C. 110D. 1204. 数列{an}的通项公式为an=3n-1，则数列{an}是（）。
A. 等差数列B. 等比数列C. 指数数列D. 无规律数列5. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则数列{an}的前n项和为（）。
A. n(n+3)B. n(n+1)C. n(n+2)D. n(n+4)6. 在数列{an}中，a1=3，an=an-1×2，则数列{an}是（）。
A. 等差数列B. 等比数列C. 指数数列D. 无规律数列7. 已知数列{an}的通项公式为an=3×2n-1，则数列{an}的前n项和为（）。
A. 3n×2n-1B. 3n-1×2nC. 3n×2n+1D. 3n+1×2n-18. 数列{an}的通项公式为an=2n-1，则数列{an}是（）。
A. 等差数列B. 等比数列C. 指数数列D. 无规律数列9. 在数列{an}中，a1=1，an=an-1×3，则数列{an}的前n项和为（）。
A. 3n-1B. 3nC. 3n+1D. 3n-210. 已知数列{an}的通项公式为an=3×3n-1，则数列{an}的前n项和为（）。
A. 3n×3n-1B. 3n-1×3nC. 3n×3n+1D. 3n+1×3n-1二、填空题（每题3分，共30分）11. 数列{an}的通项公式为an=2n-1，则a10=______。
八年级数学专项训练
八年级数学专项训练一、三角形。
1. 三角形的性质。
- 三角形内角和为180°。
例如，在△ABC中，∠A + ∠B+∠C = 180°。
- 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
如，若三角形三边为a、b、c（a>b>c），则a - b < c < a + b。
2. 等腰三角形。
- 性质：等腰三角形两腰相等，两底角相等（等边对等角）。
若AB = AC，则∠B=∠C。
- 判定：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。
3. 等边三角形。
- 性质：三边相等，三个内角都等于60°。
- 判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
二、全等三角形。
1. 全等三角形的性质。
- 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
若△ABC≌△DEF，则AB = DE，∠A=∠D等。
2. 全等三角形的判定。
- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- HL（直角、斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
三、轴对称。
1. 轴对称图形。
- 定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
例如，等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高（或顶角平分线或底边的中线）所在的直线。
2. 线段的垂直平分线。
- 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
- 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
四、整式的乘法与因式分解。
1. 整式的乘法。
- 同底数幂的乘法：a^m· a^n=a^m + n（m、n为正整数）。
八年级数学常考点 第07讲 勾股定理与几何最值问题突破技巧(学生版+解析版)
第07讲勾股定理与几何最值问题突破技巧（学生版）第一部分专题典例剖析及针对训练类型一立体图形表面的最短路线问题典例1：如图，正四棱柱的底面边长为1.5cm，侧棱长为4cm，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处的最短路程的长。
典例2 在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为（π取3）针对训练1：1.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？2．（2020秋•罗湖区校级期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．3．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么A1B1C1D1DA BC所用细线最短需要cm ．类型二将军“饮马问题”中的最短路线典例3 如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？类型三求一条线段的最小值典例4 （2020秋•遂宁期末）如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（）A．2B．3C．4D．5针对训练34．（2020秋•仪征市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，若P是AC上的一个动点，则AP+BP+CP的最小值是（）A．14.8B．15C．15.2D．16类型四利用配方法求最值典例5 （2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为．针对练习45．（2020秋•江都区期末）已知点P（3m，4﹣4m）为平面直角坐标系中一点，若O为原点，则线段PO 的最小值为（）AB小河东北牧童小屋A．2B．2.4C．2.5D．3第二部分专题培优训练1．（2021•柳南区校级模拟）如图，C是线段AB上一动点，△ACD，△CBE都是等边三角形，M，N分别是CD，BE的中点，若AB＝4，则线段MN的最小值为（）A．√32B．3√34C．√3D．3√322．（2021春•饶平县校级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（）A．12B．1C．√2D．√33．（2014•枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3√2+3√6）cm．4．（2021秋•青岛期末）如图，点M为线段AB上的一个动点，在AB同侧分别以AM和BM为边作等边△AMC 和等边△BMD，若AB＝12，则线段CD的最小值为．5．（2021秋•锦江区校级期末）如果一个直角三角形的两边长分别是3，4，那么这个直角三角形斜边上的高长最小值为．6．（2020秋•霸州市期末）如图，在△ABC中，BA＝BC，BH平分∠ABC，点P，D分别是BH和AB上的任意一点，设P A+PD＝m．（1）连接CD交BH于点E，则m CD（填表示相等或大小关系的符号）；（2）若BA＝BC＝5，AC＝6，BH＝4，则m的最小值是．7．（2021秋•大东区期中）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是．8．（2021•永嘉县校级模拟）如图，AB＝1，以AB为斜边作直角△ABC，以△ABC的各边为边分别向外作正方形，EM⊥KH于M，GN⊥KH于N，则图中阴影面积和的最大值为．9．（2021春•海淀区校级期末）A（0，a），B（3，5）是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为．10．如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）11．（2021秋•吉安期中）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式√x2+1+√(8−x)2+25的最小值．12．（2021秋•长丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BC＝12，AD＝3，若点P在BC上运动．（1）求线段DP的最小值；（2）当DP最小时，求△CDP的面积．第07讲 勾股定理与几何最值问题突破技巧（解析版）第一部分 专题典例剖析及针对训练类型一 立体图形表面的最短路线问题典例1：如图，正四棱柱的底面边长为1.5cm ，侧棱长为4cm ，求一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到C 1处的最短路程的长。
2022学年北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明》期末复习训练卷附答案
2022学年秋学期八年级数学上册第七章《平行线的证明》期末复习训练卷一、选择题（共15小题）1. 如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠5=∠BD. ∠B+∠BDC=180∘2. 如图中的同旁内角有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3. 如图，下列不能判定DE∥BC的条件是( )A. ∠AED=∠ACBB. ∠2=∠4C. ∠1=∠3D. ∠DFC+∠EDF=180∘4. 一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，已知：∠D=∠BAC=90∘，∠E=30∘，∠C=45∘，BC∥DA，那么∠ABF的度数为( )A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘5. 下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为( )A. 5B. 4C. 8D. 66. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i出现在书B j中时，元素a ij=1，否则a ij=0（i，j为正整数）．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14=1，否则a14=0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是( )A. 当a21+a51+a61=3时，选择B1这本书B. 当a22+a52+a62<3时，不选择B2这本书C. 当a2j，a5j，a6j全是1时，选择B j这本书D. 只有当a2j+a5j+a6j=0时，才不能选择B j这本书7. 下面是投影屏上出示的抢答一题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的是( )A. 代表∠FECB. @代表同位角C. ▲代表∠EFCD. ⋇代表AB8. 下列语句不是命题的是( )A. 两直线平行，同位角相等B. 锐角都相等C. 画直线AB平行于CDD. 所有质数都是奇数9. 下列命题中的真命题是( )A. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥cB. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cC. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥cD. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c10. 已知同一平面有三条直线a，b，c，且a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 不能确定11. 下列句子属于命题的是( )A. 正数大于一切负数吗?B. 将16开平方C. 钝角大于直角D. 作线段AB的中点12. 如图，直线a∥b，若∠1=40∘，∠2=55∘，则∠3等于( )A. 85∘B. 95∘C. 105∘D. 115∘13. 用三个不等式a>b，ab>0，1a <1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 314. 甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字( )时有必胜的策略．A. 10B. 9C. 8D. 615. 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=50∘，∠ABC=60∘，则∠EAD+∠ACD=( )A. 75∘B. 80∘C. 85∘D. 90∘二、填空题（共8小题）16. 如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相．17. 将命题“等角对等边”改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：．18. 如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110∘，第二次拐的角∠B=145∘，则第三次拐的角∠C=时，道路CE才能恰好与AD平行．19. 如图，（1）∠A与∠4是直线和直线被直线所截得的；（2）∠A与∠5是直线和直线被直线所截得的；（3）∠4与∠5是直线和直线被直线所截得的；（4）图中所有的同位角有对，它们是；（5）图中所有的内错角有对，它们是；（6）图中所有的同旁内角有对，它们是．20. 小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”．其中前5题是选择题，每题10分，每题有A，B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案的选项（A或者B）（按1∼5题的顺序排列）是．题号12345得分小聪B A A B A40小玲B A B A A40小红A B B B A3021. 已知直线a，b，c在同一平面内，且满足a∥b，b⊥c，那么直线a与c的位置关系是：a c．（从“∥”或“⊥”中选填）22. 用一组a，b的值说明命题“若a>b，则a2>b2 "是错误的，这组值可以是．（按顺序分别写出a，b的值）23. 如图，AD是△ABC的角平分线，△ABC的一个外角的平分线AE交边BC的延长线于点E，且∠BAD=20∘，∠E=30∘，则∠B的度数为．三、解答题（共7小题）24. 根据图形回答：（1）由∠1=∠A，可得∥，理由是．（2）由∠1=∠2，可得∥，理由是．（3）由∠2+∠ADO=180∘，可得∥，理由是．25. 已知：如图，AB，CD相交于点O，∠1=∠A，∠2=∠B．求证：AC∥BD．26. 如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，说明∠BAC=∠DAE的理由．27. 求证：如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．28. 砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，⋯，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，⋯，再把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎⋯⋯按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共多少个?29. 如图，AB∥CD，∠DCE的平分线CG的反向延长线和∠ABE的平分线BF交于点F，∠E−∠F=42∘，求∠E的度数．30. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一反例加以说明．（1）两个角的和是180∘，则这两个角是邻补角．（2）已知三条线段a，b，c，如果a+b>c，那么这三条线段一定能围成三角形．答案1. A2. D3. C4. A【解析】∵∠D=∠BAC=90∘，∠C=45∘，∠E=30∘，∴∠ABC=45∘，∠DFE=60∘，且BC∥AD，∴∠FAB=∠ABC=45∘，∴∠ABF=∠DFE−∠FAB=60∘−45∘=15∘．5. D【解析】因为6是偶数，符合命题的条件，但6不是4的倍数，不符合命题的结论，所以可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是6．6. D【解析】根据题意a ij的值要么为1，要么为0，a21+a51+a61=3，说明a21=1，a51=1，a61=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中，故读者去图书馆寻找同时有关键词“A2，A5，A6”的书可选B1这本书，故选项A表述正确；当a22+a52+a62<3时，则a22，a52，a62中必有值为0的，即关键词“A2，A5，A6”不同时具有，从而不选择B2这本书，故选项B表述正确；当a2j，a5j，a6j全是1时，即a2j=1，a5j=1，a6j=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B j中，则选择B j这本书，故选项C表述正确；根据前述分析可知，只有当a2j+a5j+a6j=3时，才能选择B j这本书，当a2j+a5j+a6j的值为0、1或2时，都不能选择B j这本书，故选项D表述错误．7. C 【解析】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC，故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选C．8. C9. C10. B【解析】同一平面有三条直线a，b，c，且a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是平行，原因是平行与同一条直线的两直线平行．11. C12. B13. D【解析】命题①，如果a>b，ab>0，那么1a <1b．∵a>b,ab>0，∴a−b>0．∴a−bab>0.整理得1a <1b．∴命题①是真命题．命题②，如果a>b，1a <1b，那么ab>0．∵1a <1b，∴1a−1b<0．∴b−aab<0．∵a>b，∴b−a<0，∴ab>0．∴命题②是真命题．命题③，如果ab>0，1a <1b，那么a>b．∵1a <1b，∴1a−1b<0．∴b−aab<0，∵ab>0，∴b−a<0，∴b<a．∴命题③为真命题．综上，真命题的个数为3．14. D 【解析】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3，4，6，7，8，9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6（连带3）或8（连带4），乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8（连带4）或6（连带3），剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；对于选项B：当甲写9后，乙可以写2，4，5，6，7，8，10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4，5，7，8，10这5个数中，无论甲写8（连带4）或10（连带5），乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10（连带5）或8（连带4），甲最后不能写，乙必胜；对于选项C：当甲写8时，乙可以写3，5，6，7，9，10，当乙写6（或10）时，甲就必须写10（或6），因为乙写6（或10）后，连带3（或5）也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；对于选项D：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4，5，7，8，9，10，把这6个数分成三组：(4,7)，(5,8)，(9,10)，当然也可(4,5)，(8,10)，(7,9)或(4,9)，(5,7)，(8,10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，综上可知，只有甲先写6，才能必胜，故选：D．15. A【解析】根据三角形内角和定理，得∠ACD=180∘−(∠BAC+∠ABC)=180∘−(50∘+60∘)=70∘，所以∠CAD=90∘−∠ACD=90∘−70∘=20∘．因为AE是∠BAC的平分线，所以∠CAE=12∠BAC=12×50∘=25∘．所以∠EAD=∠CAE−∠CAD=25∘−20∘=5∘．所以∠EAD+∠ACD=5∘+70∘=75∘．16. 平行17. 在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等18. 145∘【解析】如图所示，作BF∥AD．因为AD∥CE，所以BF∥CE．当AD∥BF时，∠1=∠A=110∘，得∠2=∠ABC−∠1=145∘−110∘=35∘．因为CE∥BF，所以∠C+∠2=180∘，得∠C=180∘−∠2=180∘−35∘=145∘．即第三次拐的角为145∘时，道路CE才能恰好与AD平行．19. AC，DE，AB，同位角，AB，DE，AC，同旁内角，AB，AC，DE，内错角，6，∠A与∠4，∠A与∠8，∠3与∠6，∠2与∠5，∠1与∠8，∠4与∠7，4，∠A与∠2，∠A与∠6，∠4与∠5，∠3与∠8，4，∠A与∠3，∠A与∠5，∠3与∠5，∠4与∠820. BABBA21. ⊥22. −1，−2（答案不唯一）【解析】当a=−1，b=−2时，满足a>b，但是a2<b2，所以命题“若a>b，则a2>b2 "是错误的．答案不唯一．23. 40∘【解析】∵AD 是 △ABC 的角平分线，∠BAD =20∘，∴∠BAC =40∘， ∴∠FAC =180∘−∠BAC =180∘−40∘=140∘．∵AE 平分 ∠CAF ， ∴∠CAE =70∘， ∴∠BAE =40∘+70∘=110∘．∵∠AED =30∘， ∴∠B =180∘−30∘−110∘=40∘．故答案为：40∘．24. （1） AC ；OD ；同位角相等，两直线平行（2） AB ；OE ；内错角相等，两直线平行（3） AB ；OE ；同旁内角互补，两直线平行25. 因为 ∠1=∠2（对顶角相等），∠1=∠A ，∠2=∠B （已知），所以 ∠A =∠B （等量代换）．所以 AC ∥BD （内错角相等，两直线平行）．26. 在 △ABC 和 △ADE 中， {AB =AD(已知),AC =AE(已知),BC =DE(已知),所以 △ABC ≌△ADE (SSS )．所以 ∠BAC =∠DAE （全等三角形对应角相等）．27. 已知：如图，OA ∥O ʹA ʹ，OB ∥O ʹB ʹ，求证：∠O =∠O ʹ．证明：∵OA ∥O ʹA ʹ， ∴∠O =∠A ʹCB ．∵OB ∥O ʹB ʹ， ∴∠A ʹCB =∠O ʹ． ∴∠O =∠O ʹ．已知：如图，OA ∥O ʹA ʹ，OB ∥O ʹB ʹ，求证：∠AOB +∠A ʹO ʹB ʹ=180∘．证明：∵OA ∥O ʹA ʹ，∴∠O =∠O ʹCB ．∵OB ∥O ʹB ʹ， ∴∠O ʹCB +∠O ʹ=180∘． ∴∠O +∠O ʹ=180∘．28. 210÷3=70，第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70；剩下210−70=140个金蛋，重新编号为1，2，3，⋯，140，140÷3=46⋯⋯2，第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46；剩下140−46=94个金蛋，重新编号为1，2，3，⋯，94，94÷3=31⋯⋯1，第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31；剩下94−31=63个金蛋，因为63<66，所以砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共3个．29. 如图，过点F作FH∥AB．因为AB∥CD，所以FH∥AB∥CD，因为∠DCE的平分线CG的反向延长线和∠ABE的平分线BF交于点F，所以设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，所以∠ECF=180∘−β，∠BFC=∠BFH−∠CFH=α−β，所以四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360∘−α−(180∘−β)=180∘−(α−β)=180∘−∠BFC，即∠E+2∠BFC=180∘，又因为∠E−∠BFC=42∘，所以∠BFC=∠E−42∘，所以∠E+2(∠E−42∘)=180∘，所以∠E=88∘．30. （1）假命题．如图所示，在等腰△ABC中，∠B=∠ACB，∠ACD+∠ACB=180∘，则∠B+∠ACD=180∘，但∠B与∠ACD不是邻补角．（2）假命题．例如a=9，b=1，c=8，9+1>8，但1+8=9，构不成三角形．。
八年级上册第七章数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）。
A. -2B. -1.5C. 0D. 1.52. 如果|a| = 5，那么a的值可能是（）。
A. 5B. -5C. 5或-5D. 03. 在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是2，那么AB之间的距离是（）。
A. 5B. 3C. 2D. 14. 下列关于有理数的说法，正确的是（）。
A. 有理数包括整数和分数B. 有理数包括正数、负数和0C. 有理数包括正数和负数D. 有理数包括整数和05. 下列各数中，正有理数是（）。
A. -3B. 1/2C. 0D. -1/36. 下列各数中，负整数是（）。
A. -2B. 2C. 0D. 1/27. 下列各数中，负有理数是（）。
A. -1B. 0C. 1/2D. 28. 下列各数中，整数是（）。
A. 1/2B. -1/3C. 0D. 2.59. 下列各数中，分数是（）。
A. 2B. -1/2C. 0D. 110. 下列各数中，正整数是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 1/2二、填空题（每题3分，共30分）11. 绝对值为3的数是_________。
12. 绝对值为0的数是_________。
13. 互为相反数的两个数相加的和是_________。
14. 一个正数和一个负数相加的和可能是_________。
15. 一个数加上它的相反数等于_________。
16. 两个负数相加的和是_________。
17. 一个正数和一个正数相加的和是_________。
18. 一个数减去它的相反数等于_________。
19. 一个数加上0等于_________。
20. 一个数减去0等于_________。
三、解答题（每题10分，共40分）21. 判断下列各数是有理数还是无理数，并说明理由。
（1）√4（2）π（3）1/3（4）√-122. 求下列各数的绝对值。
（1）-5（2）-√9（3）0（4）√1623. 计算下列各式的值。
(沪教版)八年级数学专题训练专题07 一次函数的规律探究性问题(解析版)
专题07 一次函数的规律探究性问题（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =+交x 轴于点A ,交y 轴于点1A ,2A ,3A ,…在直线l 上,点1B ,2B ,3B ,…在x 轴的正半轴上,若11AOB ,212A B B △,323A B B △,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第10个等腰直角三角形是10910A B B ,其点10B 的横坐标为（ ）A ．512B ．1023C ．2047D ．2048【标准答案】B 【思路指引】先求出B 1、B 2、B 3…的坐标,探究其规律,即可得到答案． 【详解详析】解：直线y ＝x ＋1与x 轴、y 轴的交点分别为（-1,0）,（0,1）, 由题意得OA =OA 1=1,∵1A OB ∆,212A B B ∆,323A B B ∆,…均为等腰直角三角形,∴OB 1=OA 1=1, ∴点B 1（1,0）, ∴B 1B 2=B 1A 2=1+1=2,∴OB2=OB1+B1B2=1+2=3,∴点B2（3,0）,∴B2A3=B2B3=3+1=4,∴OB3=OB2+B2B3=3+4=7,∴点B3（7,0）,∴B1（1,0）,B2（3,0）,B3（7,0）…,∵1=2-1,3=22-1,7=23-1,…,∴B n的横坐标为2n-1,∴当n=10时, 210-1=1024-1=1023故选择B．【名师指路】此题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题．2．如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为（4-,5）,点B坐标为（0,3）,点D在x轴上．若线段DB交直线12y x=-于点C,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,△ABC面积的变化趋势是（）A．先变大再变小B．先变小再变大C．无法确定D．保持不变【标准答案】D【思路指引】根据点A、点B坐标求出所在直线解析式为132y=x-+,当点D从点O向x轴负半轴方向运动时,点C始终在线段DB交直线12y x=-上,在△ABC中,始终以AB边为底边,过C点作直线AB的垂线为高,根据两直线斜率可得出平行关系,利用平行线间距离处处相等可知无论点D运动到哪一点高不变,因此△ABC面积保持不变．【详解详析】解：设直线AB 的解析式为y=kx b +, 将点A （4-,5）,点B （0,3）代入可得：5=4k b3=b -+⎧⎨⎩, 得出直线AB 的解析式为：132y=x -+,又∵点C 所在直线解析式为：12y x =-,∴//AB OC ,∵点C 始终在线段DB 交直线12y x =-上,在△ABC 中,以AB 边为底边, 则点D 运动过程中高不变, 故△ABC 面积保持不变． 故选：D ． 【名师指路】本题考查了求一次函数的解析式、斜率的性质、利用平行线间的距离解决问题等性质及定理,熟练运用以上性质定理是解题的关键．3．如图,在直角坐标系中,正方形111A B C O 、2221A B C C 、…、1n n n n A B C C -按如图所示的方式放置,其中点1A 、2A 、3A 、…、n A 均在一次函数1y x =+的图象上,点1C 、2C 、3C 、…、n C 均在x 轴上,则点2021A 的坐标为（ ）A ．()2021202121,2-B ．()2020202021,2-C ．()2021202021,2-D ．()2020202121,2-【标准答案】B 【思路指引】首先分别求得A 1,A 2,A 3,A 4…的坐标,由此得到一定的规律,据此求出点2021A 的坐标． 【详解详析】解：把x =0代入1y x =+得,y =1,∴A 1的纵坐标是：1＝20,A 1的横坐标是：0＝20﹣1, 把x =1代入1y x =+得,y =2,∴A 2的纵坐标是：1+1＝21,A 2的横坐标是：1＝21﹣1,同理,A 3的纵坐标是：2+2＝4＝22,A 3的横坐标是：1+2＝3＝22﹣1, ∴A 4的纵坐标是：4+4＝8＝23,A 4的横坐标是：1+2+4＝7＝23﹣1, 据此可以得到A n 的纵坐标是：2n ﹣1,横坐标是：2n ﹣1﹣1． 即点2021A 的坐标为()2020202021,2-．故选：B ． 【名师指路】此题主要考查了坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．4．如图所示,已知点1B ,2B ,3B ……在直线2y x =-+上,点1A ,2A ,3A ……在x 轴上,点1C ,2C ,3C ……分别在y 轴、11A B 、22A B 上,四边形111A B C O 、2221A B C A 、3332A B C A ……都是正方形,则下列说法：①点1B 的坐标是(1,1)；②11222A B A B =；③点n B 的横坐标是112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭；④正方形1n n n n A B C A -的边长是112n -⎛⎫⎪⎝⎭其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【标准答案】A 【思路指引】根据2y x =-+,求出(0,2),(2,0)E F ,然后利用已知结合一次函数及正方形的性质,推出1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,的规律,及推出正方形边长的规律111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,然后利用规律依次进行判断．【详解详析】 解：如图：2y x =-+,(0,2),(2,0)E F ∴,2OE OF ∴==,又90EOF ∠=︒, 45OEF OFE ∴∠=∠=︒,又四边形111OA B C 为正方形,1111111,90OC C B EC B B C O ∴=∠=∠=︒, 1145C B E OEF ∴∠=∠=︒, 111B C C E ∴=,1111OC C B ∴==,1(1,1)B ∴,故①正确； 又11//A B OE ,1145A B F OEF ∴∠=∠=︒,又四边形1222A A B C 为正方形,1222122122,90AC B C B C B AC B ∴=∠=∠=︒, 22121245C B B C B B ∴∠=∠=︒, 212221C B C B C A ∴==,2122111122C A C B A B ∴===, 11122222A B AC A B ∴==,故②正确；1(1,1)B 、211(1,)22B +、322111(1,)222B ++,,∴点n B 的横坐标是12111111++22222n n --⎛⎫++=- ⎪⎝⎭,故③错误；111A B =,2212A B =,33212A B =,,112n n n A B -⎛⎫= ⎪⎝⎭,故④正确； 综上所述：③错误, 故选：A ． 【名师指路】本题考查点的坐标规律,解题的关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特点,结合正方形的性质,寻找到点的坐标规律是解题的关键．5．如图所示,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,…都在x 轴上,点1B ,2B ,3B ,…都在直线y x=上,△11OA B ,△112B A A ,△212B B A ,△223B A A ,△323B B A ,…都是等腰直角三角形,如果11OA =,则点2021B 的坐标是（ ）A ．()2021202122，B ．()2020202022，C ．()2019201922，D ．()2018201822，【标准答案】B 【思路指引】利用直线y ＝x 上点的坐标特点及等腰直角三角形的性质,可分别求得B 1、B 2、B 3的坐标,由此归纳总结即可求得B 2021的坐标． 【详解详析】解：∵11OA B 是等腰直角三角形,11OA =, ∴A 1B 1＝OA 1＝1, ∴点B 1的坐标为（1,1）, ∵112B A A 是等腰直角三角形,∴A 1A 2＝A 1B 1＝1, 又∵212B B A 是等腰直角三角形,∴22OA B 是等腰直角三角形, ∴A 2B 2＝OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝2, ∴点B 2的坐标为（2,2）, ∵323B B A 是等腰直角三角形,∴33OA B 是等腰直角三角形, ∴A 3B 3＝OA 3＝OA 2＋A 2A 3＝22, ∴点B 3的坐标为（22,22）,同理可得：A 4B 4＝OA 4＝23,点B 4的坐标为（23,23）, A 5B 5＝OA 5＝24,点B 5的坐标为（24,24）, ……∴B 2021的坐标为（22020,22020）, 故选：B ． 【名师指路】本题主要考查一次函数图象上点的坐标,利用等腰直角三角形的性质求得B 1、B 2、B 3的坐标是解题的关键． 6．如图,正方形AOCD 、正方形111A CC D 、正方形2122A C C D 的顶点A 、1A 、2A 和O 、C 、1C 、2C 分别在一次函数1y x =+的图象和x 轴上,若正比例函数y kx =则过点5D ,则k 的值是（ ）A ．6332B ．3263C ．3116D ．1631【标准答案】B【思路指引】根据正方形的性质和一次函数图象上点的坐标特征求得点5D 的坐标,代入函数解析求得k 的值． 【详解详析】解：当0x =时,1y =,则(0,1)A ,1OC OA ∴==,则(0,1)C ,(1,1)D把1x =代入1y x =+知,2y =,则12A C =,则112CC AC ==． 此时1(12,12)D +⨯,即(3,2) 同理,2(124,22)D ++⨯,即(7,4)．3(1248,222)D +++⨯⨯,即(15,8)． 4(124816D ++++,42),即(31,16)． 5(12481632D +++++,52),即(63,32)．把5(63,32)D 代入y kx =, 得3263k =, 故选：B ． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的规律探究题、及正方形的性质,解题的关键是解答时按形成各点的形成顺序依次求出,从而找出规律．7．在平面直角坐标系中,直线:1l y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示,依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C ,、正方形1n n n n A B C C -,使得点123,,,A A A 在直线l 上,点123,,,C C C 在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标为（ ）A ．()201920202,21-B ．()202020202,2C ．()202020212,21-D ．()201920202,21+【标准答案】C 【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标的变化可找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论． 【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标为（22020,22021-1）． 故选：C ． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键． 8．如图,直线1:1l y x =+与直线211:22l y x =+相交于点()1,0P -．直线1l 与y 轴交于点A ．一动点C 从点A 出发,先沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点1B 处后,改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点1A 处后,再沿平行于x 轴的方向运动,到达直线2l 上的点2B 处后,又改为垂直于x 轴的方向运动,到达直线1l 上的点2A 处后,仍沿平行于x 轴的方向运动,…照此规律运动,动点C 依次经过点1B ,1A ,2B ,2A ,3B ,3A ,…,2014B ,2014A ,…则当动点C 到达2021A 处时,运动的总路径的长为（ ）A ．22021B ．202122-C ．202021+D ．202222-【标准答案】D 【思路指引】由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,则B 1纵坐标为1,代入直线l 2：y =12x +12中,得B 1（1,1）,又A 1、B 1横坐标相等,可得A 1（1,2）,则AB 1=1,A 1B 1=2-1=1,可判断△AA 1B 1为等腰直角三角形,利用平行线的性质,得△A 1A 2B 2、△A 2A 3B 3、…、都是等腰直角三角形,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式,分别求AB 1+A 1B 1,A 1B 2+A 2B 2的长,得出一般规律． 【详解详析】解：由直线l 1：y =x +1可知,A （0,1）,根据平行于x 轴的直线上两点纵坐标相等,平行于y 轴的直线上两点横坐标相等,及直线l 1、l 2的解析式可知,B 1（1,1）,AB 1=1, A 1（1,2）,A 1B 1=2-1=1,AB 1+A 1B 1=2,B 2（3,2）,A 2（3,4）,A 1B 2=3-1=2,A 2B 2=4-2=2,A 1B 2+A 2B 2=2+2=4=22, …,由此可得A n -1B n +A n B n =2n ,所以,当动点C 到达A n 处时,运动的总路径的长为2+22+23++2n =2n +1-2,所以,当动点C 到达A 2021处时,运动的总路径的长为22022-2, 故选：D ． 【名师指路】本题考查了一次函数的综合运用．关键是利用平行于x 轴的直线上点的纵坐标相等,平行于y 轴的直线上点的横坐标相等,得出点的坐标,判断等腰直角三角形,得出一般规律．9．如图,在平面直角坐标系中,四边形11112222333,,OA B C A A B C A A B C ,…都是菱形,点123,,A A A …都在x 轴上,点123,,C C C ,…都在直线3333y x =+上,且11212323160,1C OA C A A C A A OA ∠=∠=∠==︒=,则点n C 的横坐标是（ ）A ．2321n -⨯-B ．2321n -⨯+C ．1321n -⨯-D ．1321n -⨯+【标准答案】A【思路指引】分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D,利用勾股定理及根据菱形的边长求得1A 、2A 、3A ⋯的坐标然后分别表示出1C 、2C 、3C ⋯的坐标找出规律进而求得n C 的坐标． 【详解详析】解：分别过点123,,,...C C C 作x 轴的垂线,交于123,,,...D D D ,再连接112233,,,...C D C D C D 如下图：11OA =,11OC ∴=,1121232360C OA C A A C A A ∴∠=∠=∠=⋯=︒,在11Rt OC D 中,111122OD OC ==根据勾股定理得：2221111OD OC C D =-,即222111()2OD =-,解得：13OD =1C ∴3横坐标为12,11(2C ∴3),四边形111OA B C ,1222A A B C ,2333A A B C ,⋯都是菱形, 122A C ∴=,234A C =,348A C =,⋯,2C ∴的纵坐标为：22122122413A C D D AC =--代入3333y x =+,求得横坐标为2,2(2,3)C ∴,3C 的纵坐标为：2223233316423C D A A C D =-=-=,代入3333y x =+,求得横坐标为5, 3(5C ∴,23), 4(11C ∴,43),5(23C ,83), 6(47C ∴,163)；,⋯,2(321n n C -⨯-,223)n -则点n C 的横坐标是：2321n -⨯-, 故选：A ． 【名师指路】本题是对点的坐标变化规律的考查,主要利用了菱形的性质,解直角三角形,根据已知点的变化规律求出菱形的边长,得出系列C 点的坐标,找出规律是解题的关键． 10．如图所示,直线3333y x =+与y 轴相交于点D ,点1A 在直线3333y x =+上,点1B 在x 轴上,且11OA B 是等边三角形,记作第一个等边三角形；然后过1B 作121B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点2A ,点2B 在x 轴上,再以12B A 为边作等边三角形221A B B ,记作第二个等边三角形；同样过2B 作231B A OA ∥与直线3333y x =+相交于点3A ,点3B 在x 轴上,再以23B A 为边作等边三角形332A B B ,记作第三个等边三角形；…依此类推,则第n 个等边三角形的顶点n A 纵坐标为（ ）A ．12n -B ．22n -C ．123n -D ．223n -【标准答案】D 【思路指引】可设直线与x 轴相交于C 点．通过求交点C 、D 的坐标可求∠DCO =30°．根据题意得△COA 1、△CB 1A 2、△CB 2A 3…都是等腰三角形,且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解． 【详解详析】解：设直线与x 轴相交于C 点．分别过A 1、A 2、A 3作x 轴的垂线,垂足分别为E 、F 、G令x =0,则y = 3y =0,则x =-1． ∴OC =1,OD =3 ∴2222CD OC OD OC +== ∴∠DCO =30°． ∵△OA 1B 1是正三角形, ∴∠A 1OB 1=60°． ∴∠CA 1O =∠A 1CO =30°, ∴OA 1=OC =1． ∴OE =12OA 1=12． ∴13A E =即A 13同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2,23A F 即A 23 第三个正三角形的边长=1+1+2=4,323A G =即A 3纵坐标为23 ∴第n 个正三角形的边长=12n -,A n 纵坐标为223n - 故选：D ． 【名师指路】此题考查一次函数的应用及正三角形的有关计算,综合性强,难度大．二、填空题11．如图在平面直角坐标系中,△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形,其直角顶点P 1(3,3),P 2,P 3…均在直线143y x =-+上,则点P 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】202032【思路指引】过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,分别求出23P P 、两点的纵坐标,找出规律,即可求解． 【详解详析】解：过点123P P P 、、分别作112233PB x P B x P B x ⊥、⊥、⊥,如下图：△P 1OA 1,△P 2A 1A 2,△P 3A 2A 3…都是等腰直角三角形 则点123B B B 、、分别为线段11232OA A A A A 、、的中点,由直角三角形的性质可得1111PB A B =,221222P B A B A B ==,332333P B A B A B == 由()133P ，,则1B (30)，,1(6,0)A 设2(0)B a ，,则22126P B A B a ==-,2(,6)P a a - 又因为P 2,P 3…均在直线143y x =-+上所以1643a a -=-+,解得152a =,2153(,)22P同理可以求出3393(,)44P123P P P 、、的纵坐标分别为11332-=,2132-,3132- 可以得到n P 的纵坐标为132n -则点2021P 的纵坐标为202032故答案为202032【名师指路】此题考查了直角坐标系中点坐标规律的探索,涉及了等腰直角三角形的性质,一次函数的性质等,根据已知条件利用相关性质求出23P P 、的坐标,找到规律是解题的关键．12．正方形111A B C O ,2221A B C C ,3332A B C C ,…,按如图所示的方式放置,点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B ,则n B 的横坐标是_____．【标准答案】12n - 【思路指引】根据()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,……,即可归纳出n B 的横坐标． 【详解详析】解：∵点1A ,2A ,3A ,…和点1C ,2C ,3C ,…分别在直线1y x =+和x 轴上,已知点()11,1B ,()23,2B , ∴1A （0,1）,2A （1,2）,3A （3,4）,……, ∴()37,4B ,4A （7,8）,()415,8B ,∴()121,2n n n B --,故答案是：12n -． 【名师指路】本题主要考查一次函数图像和正方形的性质,根据点()11,1B ,()23,2B ,()37,4B ,()415,8B ,找出n B 横坐标的变化规律,是解题的关键．13．如图,在平面直角坐标系中,点123,,,A A A ,都在x 轴正半轴上,点123,,,B B B ,都在直线y kx=上,1130B OA ∠=︒,112223334,,,A B A A B A A B A ∆∆∆,都是等边三角形,且11OA =,则点6B 的横坐标是_______．【标准答案】48 【思路指引】设△1n n n B A A +的边长为n a ,根据直线的解析式得出30n n A OB ∠=︒,再结合等边三角形的性质及外角的性质即可得出30n n OB A ∠=︒,190n n OB A +∠=︒,从而得出13n n n B B a +=,由点1A 的坐标为(1,0),得到11a =,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯,12n na ,即可解决问题．【详解详析】解：过1B 作1B C x ⊥轴于C ,过2B 作2B D x ⊥轴于D ,过3B 作3B E x ⊥轴于E ,如图所示：设△1n n n B A A +的边长为n a ,则121212AC A C A A ==,232312A D A D A A ==,⋯, 113BC ∴,223B D ,333B E ,⋯, 13(2B ∴3),点1B ,2B ,3B ,⋯是直线y kx =上的第一象限内的点, 3k ∴=30n n A OB ∠=︒,又△1n n n A B A +为等边三角形,160n n n B A A +∴∠=︒,30n n OB A ∴∠=︒,190n n OB A +∠=︒,13n n n n B B OB a +∴==,11OA =,∴点1A 的坐标为(1,0),11a ∴=,2112a =+=,31214a a a =++=,412318a a a a =+++=,⋯, 12n na ,632a ∴=,∴点6B 的横坐标为633324822a =⨯=, 故答案为：48． 【名师指路】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、规律型、以及三角形外角的性质等,解题的关键是找出规律13n n n n B B OB a +==．14．如图,在平面直角坐标系中,直线l ：1y x =-与x 轴交于点1A ,如图所示依次作正方形111A B C O 、正方形2221A B C C 、…、正方形1n n n n A B C C -,使得点1A 、2A 、3A 、…在直线l 上,点1C 、2C 、3C 、…在y 轴正半轴上,则点2021B 的坐标是__________．【标准答案】（22020,22021-1） 【思路指引】根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质,可得出点A 1、B 1的坐标,同理可得出A 2、A 3、A 4、A 5、…及B 2、B 3、B 4、B 5、…的坐标,根据点的坐标变化可找出变化规律：“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”,依此规律即可得出结论． 【详解详析】解：当y =0时,有x -1=0, 解得：x =1,∴点A 1的坐标为（1,0）． ∵四边形A 1B 1C 1O 为正方形, ∴点B 1的坐标为（1,1）．同理,可得出：A 2（2,1）,A 3（4,3）,A 4（8,7）,A 5（16,15）,…, ∴B 2（2,3）,B 3（4,7）,B 4（8,15）,B 5（16,31）,…, ∴B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）, ∴点B 2021的坐标是（22020,22021-1）． 故答案为：（22020,22021-1）． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标,根据点的坐标的变化找出变化规律“B n （2n -1,2n -1）（n 为正整数）”是解题的关键．15．正方形111A B C O ,正方形2221A B C C ,正方形3332A B C C ,…按如图所示放置,点1A ,2A ,3A ,…在直线y kx b =+上,1C ,2C ,3C ,…在x 轴上,已知()11,1B ,()23,2B ,则n B 的坐标为______．【标准答案】()121,2n n -- 【思路指引】首先利用待定系数法求得直线A 1A 2的解析式,然后分别求得B 1,B 2,B 3...的坐标,可以得到规律：B n (2n -1,2n -1),据此即可求解. 【详解详析】B 1的坐标为(1,1),点B 2的坐标为(3,2),..正方形111A BC O 边长为1,正方形2221A B C C 边长为2,∴A 1的坐标是(0,1),A 2的坐标是 (1,2),代入y kx b =+得：12b k b =⎧⎨+=⎩,解得：11k b =⎧⎨=⎩, 则直线A 1A 2的解析式是：1y x =+, A 1B 1= 1,点B 2的坐标为(3,2),∴点A 3的坐标为(3,4), ∴A 3C 2= A 3 B 3 = B 3C 3= 4,∴点B 3的坐标为(7,4),∴B 1的纵坐标是：1=20,B 1的横坐标是：1 =21 -1, ∴B 2的纵坐标是：2=21,B 2的横坐标是：3 =22-1, ∴B 3的纵坐标是：4=22,B 3的横坐标是7 =23-1, ∴B n 的纵坐标是：2n -1,横坐标是：2n -1,则B n ：( 2n -1 ,2n -1), 故答案为：( 2n -1 ,2n -1) 【名师指路】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律． 此题难度较大,注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.16．如图,在平面直角坐标系中,点1A ,2A ,3A ,⋯和1B ,2B ,3B ,⋯分别在直线15y x b =+和x 轴上,△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,如果点1(1,1)A ,那么点2020A 的纵坐标是__．【标准答案】20193()2【思路指引】 由题意易得1455y x =+,设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y ,则有221455y x =+,331455y x =+,…..,202020201455y x =+,然后根据等腰直角三角形的性质可得2122x y y =+,312322x y y y =++,….,进而将点的坐标依此代入即可求解．【详解详析】解：1(1,1)A 在直线15y x b =+, 45b ∴=, 1455y x ∴=+, 设22(A x ,2)y ,33(A x ,3)y ,44(A x ,4)y ,⋯,20202020(A x ,2020)y , 则有221455y x =+,331455y x =+,⋯202020201455y x =+,又△11OA B ,△122B A B ,△233B A B ,⋯都是等腰直角三角形,2122x y y ∴=+, 312322x y y y =++,⋯2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++,将点坐标依次代入直线解析式得到：21112y y =+, 3121131222y y y =++= 2y , 432y = 3y , ⋯202032y =2019y , 又11y =,232y ∴=, 33(2y =2), 43(2y =3),⋯20203(2y =2019),故答案为：3(22019)． 【名师指路】本题主要考查一次函数的规律题,解题的关键是找到点的坐标规律．17．平面直角坐标系xOy 中,点A 1,A 2,A 3,……和B 1,B 2,B 3,……分别在直线y ＝13x +23和x 轴上,△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,……都是等腰直角三角形,如果A 1（1,1）,则点A 2021的纵坐标是 ___．【标准答案】22020 【思路指引】利用待定系数法可得A 1、A 2、A 3的坐标,进而得出各点的坐标的规律． 【详解详析】 解：∵A 1（1,1）,∵△OA 1B 1为等腰直角三角形 ∴点B 1 (0,2),∵直线OA 1,B 1A 2,B 2A 3互相平行,而已知直线OA 1的解析式为：y x = ∴直线12B A l 的解析式为：2y x =-, ∴设A 2（2+a ,a ）,则a =13（a +2）+23,解得a =2, ∴A 2（4,2）,∵△B 1A 2B 2为等腰直角三角形 ∴点B 2 (0,6),直线23B A l 的解析式为：6y x =- 设A 3（6+b ,b ）,则有b =13（6+b ）+23,解得b =4, ∴A 3（10,4）,由此发现点A n 的纵坐标为2n -1, 即点A 2021的纵坐标是22020,故答案为：22020． 【名师指路】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．18．如图,已知直线a ：y x =,直线b ：12y x =-和点()1,0P ,过点P 作y 轴的平行线交直线a 于点1P ,过点1P 作x 轴的平行线交直线b 于点2P ,过点2P 作y 轴的平行线交直线a 于点3P ,过点3P 作x 轴的平行线交直线b 于点4P ,…,按此作法进行下去,则点2021P 的横坐标为________．【标准答案】21010． 【思路指引】点P （1,0）,P 1在直线y =x 上,得到P 1（1,1）,求得P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,得到P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,求得242nn P =,于是得到结论． 【详解详析】解：∵点P （1,0）,P 1在直线y =x 上, ∴P 1（1,1）, ∵P 1P 2∥x 轴,∴P 2的纵坐标=P 1的纵坐标=1,∵P 2在直线12y x =-上,∴112x =-∴x =-2,∴P 2（-2,1）,即P 2的横坐标为-2=-21,同理,P 3的横坐标为-2=-21,P 4的横坐标为4=22,P 5=22,P 6=-23,P 7=-23,P 8=24…,∴242nn P =,∴P 2020的横坐标为1202022⨯=21010, ∴P 2021的横坐标为21010, 故答案为：21010． 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,规律型：点的坐标,正确的作出规律是解题的关键．19．如图,在平面直角坐标系中,点()11,1A 在直线y x =图象上,过1A 点作y 轴平行线,交直线y x =-于点1B ,以线段11A B 为边在右侧作正方形1111D C B A ,11C D 所在的直线交y x =的图象于点2A ,交y x =-的图象于点2B ,再以线段22A B 为边在右侧作正方形2222A B C D 依此类推,按照图中反应的规律,第2020个正方形的边长是_______．【标准答案】201923⨯ 【思路指引】通过计算可得第一个正方形的边长为2,第二个正方形的边长为6,……,通过探究规律,利用规律解决问题即可． 【详解详析】解：由题意,1(1,1)A ,1(1,1)B -,112A B ,∴第一个正方形的边长为2,112A D ∴=,2(3,3)A ∴,2(3,3)B -,2223=6A B ∴=⨯,∴第二个正方形的边长为6,226A D ∴=,3(9,9)A ∴,3(9,9)B -,即：232(3)3A ，, 223(33)B ，-,233=2318A B ∴⨯=,∴第三个正方形的边长为18,4(27,27)A ∴,4(27,27)B -,即：334(3)3A ，, 334(33)B ，-,434=2354A B ∴⨯=⋯,可得1(3n n A -,13)n -,1(3n n B -,13)n --,1=23n n n A B -⨯ 第2020个正方形的边长为201923⨯． 故答案为： 201923⨯． 【名师指路】本题考查一次函数图像上的点的特征,规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型． 20．如图,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,点B 1的横坐标为2,过点B 1作B 1A 1⊥l ,交x 轴于点A 1,以A 1B 1为边,向右作正方形A 1B 1B 2C 1,延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边,向右作正方形A 2B 2B 3C 2,延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边,向右作正方形A 3B 3B 4C 3,延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；照这个规律进行下去,则第n 个正方形A n B n B n +1C n 的边长为 ___（结果用含正整数n 的代数式表示）．5×（32）n -1 【思路指引】设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,由点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,可得OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +tan α＝1B H OH＝12,Rt △A 1B 1O 中,求得A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15,在Rt △A 2B 2O 中,求得第25×32,在Rt △A 3B 3O 中,求得第3个5×945×（32）2,在Rt △A 4B 4O 中,求得第45×2785×（32）3,......观察规律即可得：第n 个正方形边长是52×（32）n -1． 【详解详析】解：设直线y ＝12x 与x 轴夹角为α,过B 1作B 1H ⊥x 轴于H ,如图：∵点B 1的横坐标为2,点B 1在直线l ：y ＝12x 上,令x ＝2得y ＝1, ∴OH ＝2,B 1H ＝1,OB 12215OH B H +∴tan α＝1B H OH＝12, Rt △A 1B 1O 中,A 1B 1＝OB 1•tan α5,即第15, ∴OB 2＝OB 1＋B 1B 2555×3,Rt △A 2B 2O 中,A 2B 2＝OB 2•tan α5×3×125×32,即第25×32,∴OB 3＝OB 2＋B 2B 35×35×325×92,Rt △A 3B 3O 中,A 3B 3＝OB 3•tan α5×92×125×94,即第35×945×（32）2,∴OB 4＝OB 3＋B 3B 45×925×945×274,Rt △A 4B 4O 中,A 4B 4＝OB 4•tan α5×274×125×278,即第45×2785×（32）3,.....．根据规律可知：第n 5×（32）n -1, 5×（32）n -1． 【名师指路】本题考查一次函数图象上点的特征,涉及解直角三角形、规律探索等知识,解题的关键是tan α＝12的应用．三、解答题21．在学习了一次函数后,某校数学兴趣小组根据学习的经验,对函数y=-｜x ｜-2的图象和性质进行了探究,下面是该兴趣小组的探究过程,请补充完整:(1)自变量x 的取值范围是全体实数,x 与y 的几组对应值如表: x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y ...-5-4-3n-3-4-5...①n= ；②如图,在所给的平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象；(2)当一2＜x≤5时,y 的取值范围是 ； (3)根据所画的图象,请写出一条关于该函数图象的性质.【标准答案】（1）①-2,②见解析；（2）72y -≤≤-；（3）函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等. 【思路指引】（1）①把x=0代入函数表达式,即可得出n 的值；②把表格中7个点画在坐标系中,根据点的变化趋势,即可画出此函数的图象； （2）结合图象,当一2＜x≤5时,72y -≤≤-. （3）结合图象,可得当x=-2时,y=0. 【详解详析】解：（1）①把x=0代入y=-x-2,得y=-2 ②如图所示即为函数图象；（2）当一2＜x≤5时,从图像中可看出最高点纵坐标为-2,最低点纵坐标为-7, ∴72y -≤≤-.（3）结合图象,可得函数图象关于y 轴对称；顶点坐标为（0,-2）等等.【名师指路】本题主要考查一次函数的图象与性质,解题的关键是掌握函数自变量的取值范围、函数值的求法、列表描点画函数图象及一次函数的性质．22．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a 2±2ab+b 2＝（a±b ）2,222a ab b a b ±+=±,如何将双526±56±(22236232±=完全平方的形式,因()25263232±±材料二：在直角坐标系xOy 中,对于点P(x,y)和Q(x,y’)给出如下定义：若(0)y (0)y x y x ≥⎧=⎨-<'⎩则称点Q 为点P的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2),点(﹣2,5)的“横负纵变点”为(﹣2,﹣5)．问题： （1）点(2,3-的“横负纵变点”为 ,点()33,2--的“横负纵变点”为 ；（27210+；（3）已知a 为常数（1≤a≤2）,点M(-2是关于x 的函数12121y a a a a x=-+---图像上的一点,点M’是点M 的“横负纵变点”,求点M’的坐标． 【标准答案】（1）2-3，,()-332，；（2253）(22)【思路指引】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．（3）首先化简双重二次根式,再根据待定系数法,“横负纵变点”解决问题即可． 【详解详析】解：（1）根据题目意思,(0)(0)y x y y x ≥⎧=⎨-<'⎩0和0-<,点的“横负纵变点”为,点()2--的“横负纵变点”为()2，,故答案为：,()2；（2）∵257,2510+=⨯=（3）∵1(1)a a +-=,1(1)1a a -=- 112-11-y xx x⎛⎫=-==⎪⎝⎭∵点M(是关于x 的函数1y x=-图像上的一点,∴m =-即：M （,又∵点M’是点M 的“横负纵变点∴M′的坐标为（ 【名师指路】本题属于一次函数综合题,考查了待定系数法,横负纵变点”的定义,双重二次根式的化简等知识,解题的关键是理解题意,学会模仿解决问题,属于中考常考题型．23．小东同学根据函数的学习经验,对函数y =1x - +3x +进行了探究,下面是他的探究过程： （1）已知x ＝-3时3x += 0；x ＝1 时1x -= 0,化简： ①当x ＜-3时,y ＝ ； ②当-3≤x ≤1时,y ＝ ； ③当x ＞1时,y ＝ ．（2）在平面直角坐标系中画出y ＝|x ﹣1|+|x +3|的图象,根据图象,写出该函数的一条性质： ；【标准答案】（1）①﹣2﹣2x；②4；③2x+2；（2）画出图象见解析；函数图象不过原点．【思路指引】（1）根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；（2）画出函数图象,则易得一条函数性质；【详解详析】解：（1）∵x＝﹣3时|x+3|＝0；x＝1时|x﹣1|＝0∴当x＜﹣3时,y＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2﹣2x；②当﹣3≤x≤1时,y＝1﹣x+x+3＝4；③当x＞1时,y＝x﹣1+x+3＝2x+2；故答案为：﹣2﹣2x；4；2x+2．（2）在平面直角坐标系中画出y＝|x﹣1|+|x+3|的图象,如图所示：根据图象,该函数图象不过原点．故答案为：函数图象不过原点；【名师指路】本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算,数形结合是解题的关键．24．城关中学九（6）班的毕业复习资料复印业务原来由宏图复印社承接,其收费y 1（元）与复印页数x （页）的关系如下表：（1）y 1与x 的函数关系是否满足一次函数关系？（2）现在另一家复印社明晰复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费,则可按每页0.10元收费,请写出明晰复印社每月收费y 2（元）与复印页数x （页）的函数表达式； （3）你若是班级的学习委员,在复印资料时,选择哪家复印社比较优惠,说明理由．【标准答案】（1）y 1与x 的函数关系满足一次函数关系．（2）y 2=0.1x+200．（3）当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社；当复印量小于4000页时,选择宏图复印社． 【思路指引】（1）设y 1=kx+b,由题意找出满足两个量的函数关系式,即可得解． （2）由题中三个量的关系即可得出函数表达式．（3）由前两题的函数表达式,找出中间量,由此再得出一元一次不等式,即可得解． 【详解详析】解：（1）设y 1=kx+b,把（100,15）和（200,30）分别代入,得：1001520030k b k b +⎧⎨+⎩＝＝, 解得：0.150k b ⎧⎨⎩＝＝．∴函数的表达式可能为y 1=0.15x ；把（400,60）和（1000,150）分别代入,可得等式成立． ∴y 1与x 的函数关系满足一次函数关系． （2）由题意得,y 2=0.1x+200．（3）由0.150.1200y xy x ⎧⎨+⎩＝＝,解得： 4000600x y ⎧⎨⎩＝＝． 即当复印4000页是,两家收费均为600元；∴此时选择两家都可以．由0.15x＞0.1x+200,解得：x＞4000；∴当复印量大于4000页时,宏图复印社的收费大于明晰复印社,此时应选择明晰复印社．同理,当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．综上所述,当复印量等于4000时,选择两家均可；当复印量大于4000页时,选择明晰复印社．当复印量小于4000页时,选择宏图复印社．【名师指路】本题主要考查一元一次不等式和一次函数的应用,理解题中各个量的关系是解题的关键．25．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…按如图所示的方式放置点A1、A2、A3、…和点C1、C2、C3、…分别在直线y＝ka+b（k＞0）和x轴上,已知点B1(1,1),B2(3,2)．（1）求k、b的值；（2）填写下列各点的坐标：B3( , ),B n( , )．【标准答案】（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4；2n﹣1,2n﹣1【思路指引】（1）根据已知B1（1,1）,B2（3,2）,求出A1（0,1）,A2（1,2）,就可以确定一次函数的解析式；（2）根据图象能够求得B3（7,4）,通过观察图象可以得到B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n 的纵坐标；再通过A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）的规律,确定B n（2n﹣1,2n﹣1）的规律,进而求解本题．【详解详析】解：（1）∵点B1（1,1）,B2（3,2）,∴A1（0,1）,A2（1,2）,将点A1,A2代入直线y＝kx＋b（k＞0）得：12bk b=⎧⎨+=⎩,解得：11kb=⎧⎨=⎩；（2）通过观察图象可知B n的横坐标是A n＋1的横坐标,B n的纵坐标是A n的纵坐标, ∵A3（3,4）,A4（7,8）,∴A n（2n﹣1﹣1,2n﹣1）,∴B n（2n﹣1,2n﹣1）,∴B3（7,4）．故答案为：（1）11kb=⎧⎨=⎩；（2）7,4,2n﹣1,2n﹣1．【名师指路】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律,正确得到点的坐标的规律是解题的关键．26．平面直角坐标系中,设一次函数y＝（2a﹣1）x+3﹣b的图象是直线l1．（1）如果把l1向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,求a,b的值；（2）当直线l1过点(m,6﹣b)和点(m+3,4a﹣7)时,且﹣3＜b＜12,求a的取值范围；（3）点P(﹣2n+3,3n﹣1)在直线l2上运动,直线l2与直线l1无交点,求a、b所需满足的条件．【标准答案】（1）a的值为2,b的值为0；（2）﹣132＜a＜1；（3）1412ab⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩【思路指引】（1）根据一次函数平移的规律列方程组求解；（2）将两点坐标代入解析式得出方程组,求出a、b的等量关系式,再根据b的取值范围求出a的取值范围；（3）先设点P（x,y）,然后根据点P坐标找出x、y之间关系式,利用两直线无交点即平行（k相等,b不等）列出算式求解．【详解详析】解：（1）∵y＝（2a﹣1）x+3﹣b向下平移2个单位后得到直线y＝3x+1,∴213 321ab-=⎧⎨--=⎩,∴20 ab=⎧⎨=⎩,即a的值为2,b的值为0；（2）由题意知,代入点(m ,6﹣b )和点(m +3,4a ﹣7),得 ()()()2136213347a m b ba mb a ⎧-+-=-⎪⎨-++-=-⎪⎩, 两式相减得,b ＝2a +10, ∵﹣3＜b ＜12, ∴﹣3＜2a +10＜12, ∴﹣132＜a ＜1； （3）设点P 坐标为（x ,y ）,则2331n x n y -+=⎧⎨-=⎩①② , 由①知,n ＝12（3﹣x ）＝3-22x ,代入②得,3（3-22x）﹣1＝y ,∴y ＝3722x -+,∵直线l 2与直线l 1无交点, ∴3212732a b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-≠⎪⎩,解得1412a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩．【名师指路】本题考查一次函数的图象和性质,以及一次函数平移的规律,掌握基本的性质是解题的关键．27．一个水库的水位在最近5h 内持续上涨．表记录了这5h 内6个时间点的水位高度,其中t 表示时间,y 表示水位高度．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？（2）水位高度y 是否为时间t 的函数？如果是,试写出一个符合表中数据的函数解析式,并画出这个函数的图象．这个函数能表示水位的变化规律吗？（3）据估计这种上涨规律还会持续2h ,预测再过2h 水位高度将为多少米．【标准答案】（1）是,在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的；（2）0.3305()y t t =+≤≤,图见解析,可以近似地表示水位的变化规律；（3）5.1m 【思路指引】（1）根据题目要求描出表中数据对应的点,连接画出的点可得这些点是在一条直线上,继而根据一次函数的性质得出规律；（2）根据待定系数法求解析式,根据数形结合的思想画出函数图象,结合一次函数的性质即可求得水位的变化规律；（3）由题意可得再过2h ,即()527h t =+=,代入函数解析式即可求解． 【详解详析】解：（1）如图,描出表中数据对应的点可以看出,这6个点在一条直线上．再结合表中数据,可以发现每小时水位上升0.3m ．由此猜想,如果画出这5h 内其他时刻（如 2.5h t =等）及其水位高度所对应的点,它们可能也在这条直线上,即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的．（2）由于水位在最近5h 内持续上涨,对于时间t 的每一个确定的值,水位高度y 都有唯一的值与其对应,所以y 是t 的函数．开始时水位高度为3m ,以后每小时水位上升0.3m ．∴函数0.3305()y t t =+≤≤是符合表中数据的一个函数,它表示经过h t 水位上升0.3m t ,即水位y 为()0.33m t +．其图象是图中点()0,3A 和点()5,4.5B 之间的线段AB ．。
浙教版八年级数学上册期末专题复习课件全套
2．已知三角形的三边长分别为整数2，x，4，则共可作多少个不同 形状的三角形？当x为多少时，所作的三角形的周长最大？
6.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝63°，求∠DAC的度数．
解：设∠DAC＝x°，则∠1＝(63－x)°. ∵∠1＝∠2，∴∠3＝2∠1＝2(63－x)°. ∵∠3＝∠4，∴在△ABC中，4(63－x)＋x＝ 180，∴x＝24，∴∠DAC＝24°
四、利用三角形的内、外角性质进行证明 根据三角形的内角和定理及推论进行推理证明两角之间的数量关系时，
解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－ 70°－30°＝80°.∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝12∠BAC＝40°
(2)∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴BAD＝∠ADE
－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－ 20°＝20°
4．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，垂足为E，AD＝ AC，AF平分∠CAE交CE于点F，连结DF.求证：∠ADF＝∠B.
证明：∵AF平分∠CAE，∴∠CAF＝∠DAF.在 △CAF和△DAF中，∵AC＝AD，∠CAF＝∠DAF， AF＝AF，∴△CAF≌△DAF(SAS)，∴∠ACF＝ ∠ADF.∵CE⊥AB，∴∠ACF＋∠CAB＝ 90°.∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠CAB＝90°， ∴∠ACF＝∠B，∴∠ADF＝∠B
2020春人教版八年级数学下册同步测试：微专题七 以正方形为背景的证明与计算
微专题七__以正方形为背景的证明与计算__[学生用书A28](教材P69复习题18第14题)如图1，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE＝EF(提示：取AB的中点G，连接EG)．图1教材母题答图证明：如答图，取AB的中点G，连接EG.∵∠AEF＝90°，∴∠CEF＋∠AEB＝90°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠GEF＝∠CEF.∵E是BC的中点，G是AB的中点，∴BG＝BE，AG＝EC，∴∠BGE＝45°.∵CF是∠DCH的平分线，∴∠FCH＝45°，∴∠AGE ＝∠ECF ＝135°.在△AGE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠CEF ，AG ＝EC ，∠AGE ＝∠ECF ，∴△AGE ≌△ECF (ASA)，∴AE ＝EF .【思想方法】 (1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，正方形有四条对称轴；(2)正方形的对角线与边的夹角为45°，正方形的面积等于其对角线平方的一半；(3)证明一个四边形是正方形，往往先证明是矩形或菱形，再证明是正方形．数学活动：擦出智慧的火花——由特殊到一般的数学思想．数学课上，李老师出示了问题：如图2①，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上的点，过点E 作EF ⊥AE ，过点F 作FG ⊥BC 交BC 的延长线于点G .图2(1)求证：∠BAE ＝∠FEG ；(2)同学们很快做出了解答，之后李老师将题目修改成：如图②，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角∠DCG 的平分线于点F ，求证：AE ＝EF .经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF.请借助图②完成小明的证明；在(2)的基础上，同学们作了进一步的研究：(3)小聪提出：如图③，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B，C外)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小聪的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：(1)证明：∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEG＝90°，又∵Rt△ABE中，∠BAE＋∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG；变形1答图①(2)证明：如答图①，取AB的中点M，连接ME.∵正方形ABCD中，AB＝BC，又∵AM＝MB＝12AB，BE＝CE＝12BC，∴MB＝BE，∴△MBE是等腰直角三角形，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，又∵∠ECF＝180°－∠FCG＝180°－45°＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∴在△AME 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠FEC ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME ≌△ECF ，∴AE ＝EF ；变形1答图②(3)观点正确，理由：如答图②，在AB 上取一点M ，使AM ＝EC ，连接ME . ∴BM ＝BE ，∴∠BME ＝45°，∴∠AME ＝135°，∵CF 是外角平分线，∴∠DCF ＝45°，∴∠ECF ＝135°，∴∠AME ＝∠ECF ，∵∠AEB ＋∠BAE ＝90°，∠AEB ＋∠CEF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴在△AME 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠FEC ，AM ＝EC ，∠AME ＝∠ECF ，∴△AME≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF.已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.如图3，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG.图3证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD＝OC，∴∠DOG＝∠COE＝90°，∴∠OEC＋∠OCE＝90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC＋∠ODG＝90°，∴∠OCE＝∠ODG.∴△DOG≌△COE，∴OE＝OG.如图4，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？请说明理由．图4解：(1)证明：在正方形ABCD中，BC＝DC，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠CDF＝90°，∴∠B＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△BEC≌△DFC(SAS)，∴CE＝CF；(2)成立．理由：∵△BEC≌△DFC，∴∠BCE＝∠DCF.∵∠BCD＝90°，∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠DCG＝45°，∴∠DCF＋∠DCG＝45°，即∠GCF＝45°，∴∠GCE＝∠GCF.又∵EC＝FC，GC＝GC，∴△EGC≌△FGC(SAS)，∴EG＝FG.∵DF＝BE，∴FG＝DF＋GD＝BE＋GD，∴GE＝BE＋GD.如图5，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG 是否经过某一定点，并说明理由．图5变形4答图解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∵AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∴AH ＝BE ＝CF ＝DG ，在△AEH ，△BFE ，△CGF 和△DHG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ＝CG ＝DH ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ，AH ＝BE ＝CF ＝DG ，∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG (SAS)，∴EH ＝FE ＝GF ＝GH ，∠AEH ＝∠BFE ，∴四边形EFGH 是菱形，∵∠BEF ＋∠BFE ＝90°，∴∠BEF ＋∠AEH ＝90°，∴∠HEF ＝90°， ∴四边形EFGH 是正方形；(2)直线EG 经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC ，BD 的交点)．理由如下：如答图，连接AC ，EG ，交点为O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∴∠OAE ＝∠OCG ，在△AOE 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠OAE ＝∠OCG ，∠AOE ＝∠COG ，AE ＝CG ，∴△AOE ≌△COG (AAS)，∴OA ＝OC ，即O 为AC 的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O 为对角线AC ，BD 的交点，即O 为正方形的中心．在平面内，正方形ABCD 与正方形CEFH 如图6放置，连接DE ，BH 交于点M .求证：(1)BH ＝DE ；(2)BH ⊥DE .图6变形5答图证明：(1)∵四边形ABCD和四边形CEFH都是正方形，∴CB＝CD，CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCH＝90°＋∠DCH，∠DCE＝90°＋∠DCH，∴∠BCH＝∠DCE，∴△BCH≌△DCE(SAS)，∴BH＝DE；(2)如答图，BH交CD于点N，∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE.∵∠CBH＋∠BNC＝90°，∠BNC＝∠DNM，∴∠CDE＋∠DNM＝90°，∵∠CDE＋∠DNM＋∠DMN＝180°，∴∠DMN＝90°，∴BH⊥DE.如图7①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF 两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系．如图③，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．图7解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：∵△ABC是正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3.∴∠ABD ＝∠BCE ，又∵∠1＝∠2，∴△ABD ≌△BCE ；(2)△DEF 是正三角形．证明：∵△ABD ≌△BCE ≌△CAF ，∴∠ADB ＝∠BEC ＝∠CF A .∴∠FDE ＝∠DEF ＝∠EFD ，∴△DEF 是正三角形；变形6答图(3)如答图，作AG ⊥BD ，交BD 延长线于G .∵△DEF 是正三角形，∴∠ADG ＝60°，∴在Rt △ADG 中，DG ＝12b ，AG ＝32b ，在Rt △ABG 中，c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32b 2， ∴c 2＝a 2＋ab ＋b 2.[2019·宁波期末]已知，正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC (或它们的延长线)于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H .(1)如图8①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系：__AH ＝AB __；(2)如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，(1)中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；(3)如图③，已知∠MAN ＝45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH ＝2，NH ＝3，求AH 的长．(可利用(2)得到的结论)图8解：(2)数量关系成立．如答图①，延长CB 至E ，使BE ＝DN .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABE ＝90°，在Rt △AEB 和Rt △AND 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADN ，BE ＝DN ，∴Rt △AEB ≌Rt △AND ，∴AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD ，∵∠DAN ＋∠BAM ＝45°，∴∠EAB ＋∠BAM ＝45°，∴∠EAM ＝45°， ∴∠EAM ＝∠NAM ＝45°.在△AEM 和△ANM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AN ，∠EAM ＝∠NAM ，AM ＝AM ，∴△AEM ≌△ANM .∴S △AEM ＝S △ANM ，EM ＝MN ，∵AB ，AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，∴AB ＝AH ；变形7答图(3)如答图②分别沿AM ，AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ， ∴BM ＝2，DN ＝3，∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°.分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，由(2)可知，AH ＝AB ＝BC ＝CD ＝AD .设AH ＝x ，则MC ＝x －2，NC ＝x －3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2＝MC 2＋NC 2，∴52＝(x －2)2＋(x －3)2，解得x 1＝6，x 2＝－1(不符合题意，舍去)．∴AH ＝6.。