整数的分拆

第4讲整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

数学中的整数分拆

数学中的整数分拆在数学中，整数分拆是一个有趣且重要的概念。

它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。

整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。

本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。

一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。

例如，对于整数4，可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。

整数分拆的方式可以具有不同的顺序，但只要拆分的数目相同，就属于同一种拆分方式。

通常，我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数，P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。

二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。

下面以组合数学为例，介绍一些具体的应用场景。

1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币，例如1元、2元、5元等，我们需要凑出一个特定金额的零钱。

这个问题可以转化为整数分拆的问题。

例如，我们要凑齐10元，可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。

2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和，并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。

例如，将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。

整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用，例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。

三、性质整数分拆具有很多有趣的性质，下面介绍其中的一些。

1. 奇偶性对于正整数n，其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。

当n为奇数时，P(n)为奇数；当n为偶数时，P(n)为偶数。

这个结论可以通过归纳法证明。

2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。

具体地，对于正整数m，其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。

例如，P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。

3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。

小学五年级奥数题经典题：整数分拆

小学五年级奥数题经典题：整数分拆整数分拆整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。

所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。

整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和，并使这些自然数的积(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等等。

下面举例作出剖析。

例1 将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，应该如何分拆?分析与解不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。

经计算，容易得知，将14分拆成7+ 7时，有积7×7=49。

例2 将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积，如何分拆?分析与解不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。

显见，将15分拆成7+8时，有积7×8=56。

注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有积m×m=m2;如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+(m+1)时，有积m×(m+1)。

例3 将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积，如何分拆?分析与解显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1)，这样得到的积才。

这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有积4×5×5=100。

例4 将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积，如何分拆?分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。

首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。

其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。

比如5=2+3，但5比2×3=6小。

又因为4=2×2，所以，能够考虑将14分拆成若干个2或3了。

4.2整数的分拆(教案教学设计导学案)

2、整数的分拆教学目标:1、让学生经历整数分拆的过程，引导学生探索两个整数的和一定，相差越小，积越大的规律；两个整数的积一定，相差越小，和越小的规律。

2、让学生自主探究把一个整数分拆成几个数，乘积最大。

教学重点:1、掌握整数分拆的方法，把一个整数分拆成两个数的和，这两个数相差最小时，它们的积最大。

2、把一个整数分拆成两个数的积，这两个数相差最小时，它们的和最小。

教学难点：由一个数分拆成两个数扩展到一个数分拆成几个数，乘积最大。

一、情境体验张大爷今天买回了3只小羊羔，于是他准备在院子的角落里利用院子的两堵墙做一个饲养场，张大爷家里刚好有10 米长的竹篱笆，他想用这10米长的篱笆围成的饲养场面积最大，可以怎样围呢？师：围成的饲养场是什么形状呢？生：可能是长方形，也可以是正方形。

师：无论是长方形还是正方形，都有4条边，现在张大爷已经利用了院子的两堵墙，他还需要围几条边？生：只需要围一条长边和一条宽边。

师：要使得围成的饲养场面积最大，长边是几米，宽边是几米呢？生：10米长的竹篱笆围一条长边和一条宽边，有很多种情况。

师：为了解决这个问题，我们先观察下表，看看能发现什么。

生：表中的甲数可以看成是长边，乙数可以看成是宽边，积可以看成是饲养场的面积。

师：大家还能发现什么？生：面积最大的时候，长边和宽边相等。

二、思维探索（建立知识模型）例1：两个整数的和是10，这两个数的积最大是多少？生：和为10的两个整数很多啊，两个整数相乘，积最大的是哪个呢？生：把和为10的两个整数分别列举出来，算出两个整数的积，再进行比较。

生：这和我们刚才的表是一样的，我发现当这两个数相等时，它们的乘积最大。

师：我们如何用算式来解答呢？生：10÷2=5 5×5=25小结：把一个整数分成2个加数，当2个加数相差最小时，它们的积最大。

三、思维拓展（知识模型的拓展）例2：一个周长为58米的长方形，这个长方形的面积最大是多少平方米？师：求长方形的面积，就得知道长和宽，我们能把58直接拆成长+宽吗？生：不能，58是两个长与两个宽的和。

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。

也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。

2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。

3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。

4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。

如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。

5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。

6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。

我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。

典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。

【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。

2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。

则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。

选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
（最新版）
目录
1.整数分拆的定义和意义
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和强化练习
正文
一、整数分拆的定义和意义
整数分拆是奥数中的一个重要概念，它指的是将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是正数、负数或零。

整数分拆在数学问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们简化问题，提高解题效率。

通过学习整数分拆，我们可以培养自己的逻辑思维能力和数学运算技巧。

二、整数分拆的方法和技巧
1.直接分拆法：根据题目要求，直接将整数拆分成若干个整数的和。

这种方法适用于较简单的问题，需要我们熟练掌握整数的加减法。

2.差分法：通过计算两个整数的差，然后逐步逼近目标整数。

这种方法适用于较难直接分拆的问题，需要我们具备较强的观察能力和计算能力。

3.代换法：将题目中的整数用变量表示，通过代数运算求解。

这种方法适用于含有较多未知数的问题，需要我们具备较强的代数运算能力。

4.构造法：通过构造特殊的数列或数组，找到整数的分拆方式。

这种方法适用于题目中存在一定规律性的问题，需要我们具备较强的创新思维和构造能力。

三、整数分拆的实际应用和强化练习
为了更好地掌握整数分拆的方法和技巧，我们需要进行大量的练习。

可以从简单的题目开始，逐步提高难度，巩固所学知识。

在实际应用中，我们要注意观察题目的特点，灵活运用各种方法，以求达到最佳的解题效果。

总之，整数分拆是奥数中一个重要的概念，通过学习整数分拆，我们可以提高自己的数学运算能力和解题技巧。

小学三年级奥数第44讲：整数的分拆

【本讲总结】一、概念整数的拆分：把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式核心思想：有序、全面二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1．和一定，差小积大
2．积一定，差小和小
六、拆成多个数，乘积最大
1．相同：多3，少2，无1
2．不相同：
2
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14，这两个数分别是多少时，它们的积最大？最大是多少？ ⑵两个自然数的积为40，这两个数分别为多少时，它们的和最小？最小为多少？这两个数分别为多时，它们的和最大，最大是多少？
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
整数的分拆
整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。核心思想：有序、全面
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种不同分拆方式，请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子中取梨，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆整数的分拆是数学中一个重要的概念，也是三年级奥数春季班的一部分内容。

所谓整数的分拆，就是把一个整数表示为若干个正整数的和的形式。

首先，我们来看一个例子。

假设我们要把整数5分拆成若干个正整数的和。

从1开始，我们可以找到一组分拆方式：5=1+1+1+1+1。

这就是把整数5分拆成5个1的和。

同样，我们还可以找到其他的分拆方式，如：5=2+2+1或者5=3+1+1。

这里需要注意的是，分拆的方式可以有很多种，但是分拆的正整数的个数是有限的。

那么如何确定一个整数的所有分拆方式呢？我们可以利用递归的方法来求解。

假设n是一个正整数，我们要求n的所有分拆方式。

如果n等于1，那么分拆方式只有一种，即n=1。

如果n大于1，那么我们可以将n分拆成两部分。

第一部分是一个正整数i，i可以从1取到n-1。

第二部分是n-i。

例如，当n=5时，我们可以将5分拆成1和4、2和3等。

然后，我们可以递归地求解这两部分的所有分拆方式，最后将它们合并在一起，就得到了n的所有分拆方式。

这个方法可以表示为如下的递归公式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+...+f(1)其中f(n)表示n的分拆数。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设我们要求整数5的所有分拆方式。

根据递归公式，我们可以先求解f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，然后将它们相加，即f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)。

由于f(1)等于1，那么我们可以依次求解f(2)、f(3)、f(4)的值。

f(2)=f(1)+f(0)=1+1=2f(3)=f(2)+f(1)=2+1=3f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=3+2+1=6所以，f(5)=f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=6+3+2+1=12。

这就是整数5的所有分拆方式的个数。

通过上面的例子，我们可以看出，求解整数的分拆方式主要是利用了递归的思想。

递归的过程就是不断地将原问题转化为更小的子问题，直到子问题的规模足够小，可以直接求解。

初中数学竞赛：整数的分拆(含例题练习及答案)

初中数学竞赛：整数的分拆整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一个分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其中最著名的是哥德巴赫猜想。

在国内外数学竞赛中，整数分拆的问题常常以各种形式出现，如，存在性问题、计数问题、最优化问题等。

例1 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？分析与解：由于希望播出的天数尽可能地多，所以，在每天播出的集数互不相等的条件下，每天播放的集数应尽可能地少。

我们知道，1+2+3+4+5+6+7=28。

如果各天播出的集数分别为1，2，3，4，5，6，7时，那么七天共可播出28集，还剩2集未播出。

由于已有过一天播出2集的情形，因此，这余下的2集不能再单独于一天播出，而只好把它们分到以前的日子，通过改动某一天或某二天播出的集数，来解决这个问题。

例如，各天播出的集数安排为1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

说明：本题实际上是问，把正整数30分拆成互不相等的正整数之和时，最多能写成几项之和？也可以问，把一个正整数拆成若干个整数之和时，有多少种分拆的办法？例如：5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，=1+2+2 =1+1+3=2+3 =1+4，共有6种分拆法（不计分成的整数相加的顺序）。

例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚，用它们去支付2角3分。

问：有多少种不同的支付方法？分析与解：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分币。

因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币。

当使用3枚5分币时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23=15+（2+2+2+2），23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3种支付方法。

当使用4枚5分币时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分币，或不使用，从而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2种支付方法。

第九讲整数的分拆与最值问题

整数的分拆与最值问题知识要点引言：整数的分拆，就是把一个正整数表示成若干个正整数的和的形式，每一种表示方法，就是正整数的一种分拆。

整数的分拆是古老而又有趣的问题，其最著名的要推“哥德巴赫猜想”：所有大于2的偶数，都可以表示为两个素数之和。

1、引入：数：两个数的和为10，这两个数的乘积最大是几？最小是几？形：在周长一定的长方形中，以正方形的面积为最大。

问题：（1）把2006分拆成2个正整数之和，使这2个正整数的积有最大值；（2）把2006分拆成3个正整数之和，使这3个正整数的积有最大值、最小值；（3）把2006分拆成若干个互不相同的正整数的和，使这若干个正整数的积有最大值。

例题精讲例1 电视台要播放一部30集电视剧，如果要求每天播出的集数互不相等，该电视剧最多可以播几天？例2 有面值1角、2角、5角的硬币各4枚，用它们去支付2元3角。

问：有多少种不同的支付方法？例3 把37拆分成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘，得到的积中，哪个最小？例4 将一块长18厘米、宽6厘米的长方形铁皮剪裁、焊接做成一个无盖的长方体盒子，要使其容积尽可能大，应如何设计？请画出示意图并计算其容积。

例5 5个连续正整数，其中最大的一个是10，这5个数按任意次序写在一个圆周上，每相邻两个数相乘并将所得的积相加，那么所得的和最小值是多少？例6 ABCD 表示一个四位数，EFG 表示一个三位数，A B C D E F G 、、、、、、代表1—9中的不同数字。

已知1993ABCD EFG +=。

问ABCD EFG ⨯的最大值与最小值的差是多少？例7求满足下列条件的最小的正整数：它既可以表示为9个连续正整数的和，又可以表示为10个连续正整数的和，还可以表示为11个连续正整数的和。

例8 若干个同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些小盒子里然后外出，小明从每只盒子里取出一个球，然后把这些小球再放到小球最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。

小升初数学之整数的分拆

小六数学资料（教师用卷）第十一讲整数的分拆知识要点：整数的拆分，就是把一个自然数表示成若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，就是自然数的一种分拆。

1、要求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆的过程按一定的顺序进行。

2、特殊要求的分拆有特殊的解题方法。

比如分成两个自然数的和，然后要使乘积最大，就必须使这两个数的差最小。

如果分成若干个自然数的和并使其积最大，就要充分考虑分成3或2，并且2的个数不多于2个。

（因为3个2相乘小于2个3相乘）这也是著名的哥德巴赫猜想。

例题1、两个小朋友用玩具枪打靶。

他们每人打了两发子弹，靶子上有1到6环。

甲一共打中6环，乙一共打中5环。

如果没有哪两发子弹是打在同一个环带内，并且弹无虚发，你知道他们俩打中的分别是哪几环吗？解析：已知汤姆两发子弹打中6环，要求每次打中的环数，可将6分拆6=1+5=2+4；同理，要求吉米每次打中的环数，可将5分拆5=1+4=2+3。

由于题意得，没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：甲打中的是1和5环，乙打中的是2和3环。

例题2、小明用身上的1分、2分、5分的硬币各4枚，想买2角3分的一件商品，他应该如何付款？共有多少种不同的支付方法？解析：要付2角3分钱，最多只能使用4枚5分。

因为全部1分和2分都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分。

当使用3枚5分时，5×3=15，23-15=8，所以使用2分最多4枚，最少2枚，可有23=15+(2+2+2+2) 23=15+（2+2+2+1+1）23=15+（2+2+1+1+1+1）共3种支付方法。

当使用4枚5分时，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分，或者不使用。

从而有23=20+(2+1) 23=20+（1+1+1）共2种支付方法。

所以一共有3+2=5种支付方法。

例题3、试把1999分拆成8个自然数的和，使其乘积最大。

解析：要使分拆的8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两数相等或差数为1.因为1999=8×249+7，由上述分析，拆法应是1个249，7个250，其乘积249×2507为最大。

第七讲整数的分拆

第七讲整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。

即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。

对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。

自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。

其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。

(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。

(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。

(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。

(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。

〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。

例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。

60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。

三年级下册数学讲义奥数强化训练：整数的分拆人教版

知识要点屋1．整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式。

2．每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。

比如，①将10拆成2个数相加的形式有_____种方法。

②将10块糖果分给2个小朋友有_____种方法。

小明，爸爸两人练习射击，他们每人打了两发子弹，均击中了靶子。

小明两发共打了12环，小明爸爸两发共打了8环。

已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环？(靶子上只有2、4、6、8、10环)两个海盗分20枚金币。

请问：⑴如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？⑵如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个。

小王一共有____种不同的放法。

过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层至少要放5个，这时有_____种不同的放法。

小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。

冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？【铺垫】(★★★)将8拆成几个数的和，这些自然数可以相同，那么，这些自然数的乘积最大是________。

(★★)(★★★)(★★★★)(★★★)(★★★★)将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得这些自然数的乘积达到最大，这个乘积是什么？【超常大挑战】(★★★★)两个自然数的和为10这两个数分别为_____和_____时，它们的乘积最大，最大是______。

【知识大总结】整数的分拆1．顺序：分拆时候，由大到小，①拆成两个数时，无前后顺序之分，②拆给两个人时，有前后顺序之分。

2．限定条件：拆偶数；至少有5个金币。

3．拆成多个数(积最大)：多拆3，少拆2，坚决不拆1。

4．拆成2个数：两数和一定，差小积大。

【今日讲题】例1，例3，例4，例5【讲题心得】___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________ _______________________________________。

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆

三年级奥数春季班第10讲整数的分拆【实用版】目录1.整数的分拆概念介绍2.整数的分拆方法讲解3.整数的分拆练习题及解答4.总结与展望正文【整数的分拆概念介绍】整数的分拆，是指将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是任意整数，包括正整数、负整数和零。

整数的分拆在奥数中是一个重要的知识点，可以帮助孩子们提高逻辑思维能力和计算能力。

【整数的分拆方法讲解】整数的分拆方法主要有以下几种：1.直接拆分法：将整数直接拆分成若干个整数的和，这种方法适用于较小的整数。

2.借位拆分法：当整数的位数较大时，可以采用借位的方法进行拆分。

例如，将一个五位数拆分成若干个整数的和，可以先借一位，将五位数变成四位数，然后再进行拆分。

3.补数拆分法：对于一个较大的整数，可以先找到其补数，然后将补数拆分成若干个整数的和，再将补数的每一位取相反数，得到的结果即为原整数的分拆结果。

【整数的分拆练习题及解答】例题 1：将整数 36 拆分成若干个整数的和。

解答：36 可以拆分成 1+2+3+4+5+6+7+8+9，即36=1+2+3+4+5+6+7+8+9。

例题 2：将整数 12345 拆分成若干个整数的和。

解答：12345 可以拆分成 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15，即 12345=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15。

【总结与展望】整数的分拆是奥数中的一个基本知识点，掌握了整数的分拆方法，可以帮助孩子们更好地解决奥数问题。

在实际应用中，整数的分拆可以用于解决各种数学问题，如数论问题、组合问题等。

组合数学-第七节：整数的分拆

组合数学-第七节：整数的分拆2.6 正整数的分拆粗略地说，正整数的分拆就是将⼀个正整数分成⼏个正整数的和。

在本章的前⼏节中已经看到，某些重要和式的求和范围都与正整数的分拆有联系，在2.7节中我们将说明有⼀类分配问题就是“分拆问题”。

分拆问题也是组合论的重要内容之⼀，本节我们将介绍正整数的分拆的概念及其⼀些最基本的性质，在2.7节中再将本节的⼀些结果应⽤到⼀类分配问题。

定义2.6.1正整数n 的⼀个k 分拆是把n 表⽰成k 个正整数的和()121k n n n n k =+++≥ （2.6.1）的⼀种表⽰法，其中()01i n i k >≤≤i n 叫做该分拆的分部量。

如果表达式（2.6.1）是⽆序的，也就是说，对诸i n 任意换位后的表⽰法都只视为⼀种表⽰法，这样的分拆叫做⽆序分拆，或简称为分拆。

反之，若表达式（2.6.1）是有序的，即表达式（2.6.1）右边的和不仅与各项的数值有关，⽽且与各项的次序有关，不同的次序认为是不同的表⽰法，这样的分拆叫做有序分拆。

这时，i n 叫做该有序分拆的第i 个分部量。

n 的k 分拆的个数称为n 的k 分拆数，n 的所有分拆（k 取遍所有可能的值）的个数称为n 的分拆数。

例如：4211121112=++=++=++是4的所有3个有序3分拆。

在4的第⼀个有序3分拆中，第1个分部量为2，第2个和第3个分部量均匀为1。

⽽：4211=++ 是4的唯⼀⼀个3分拆。

2.6.1 有序分拆在这⼀⼩节中，我们介绍n 的有序分拆的计数公式，以及在⼏类限定条件下n 的有序分拆的计数公式。

定理2.6.1 正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -??-。

证明正整数n 分成k 个分部量的⼀个有序分拆：12k n n n n =+++ ，等价于⽅程：12k x x x n +++= 。

的正整数解()12,k n n n ，由2.3节定理2.3.4的证明知，正整数n 的有序k 分拆的个数为11n k -?? ?-??。

第七讲整数的分拆

第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法。

4年级整数的分拆

4年级整数的分拆《4 年级整数的分拆》在 4 年级的数学学习中，整数的分拆是一个很有趣也很重要的知识点。

它就像是一个神奇的魔法，能把一个整数变成不同的组合，帮助我们更好地理解数字之间的关系。

整数分拆，简单来说，就是把一个整数写成几个整数相加的形式。

比如说，把 5 这个整数进行分拆，可以写成 1 ＋ 4、2 ＋ 3、1 ＋ 1 ＋ 3、1 ＋ 2 ＋ 2 等等。

为什么要学习整数分拆呢？这可有着不少用处呢！首先，它能帮助我们锻炼思维能力，让我们学会从不同的角度去看待一个数字。

其次，在解决一些实际问题的时候，比如计算组合的可能性，整数分拆就派上大用场啦。

那我们来看看整数分拆有哪些方法和技巧。

一种常见的方法是从最小的数开始逐步增加。

就拿 6 来举例吧，如果从 1 开始，我们可以得到 1 ＋ 5、2 ＋ 4、3 ＋ 3。

然后再考虑包含两个以上数字相加的情况，比如 1 ＋ 1 ＋ 4、1 ＋ 2 ＋ 3、2 ＋ 2 ＋ 2 等等。

还有一种方法是按照一定的顺序来分拆。

比如说，我们可以先把整数平均分成两份，如果能整除，那就得到一种分拆。

如果不能整除，就把余数依次加到其中一份上，这样也能得到不同的分拆方式。

在进行整数分拆的时候，我们要注意一些问题。

首先，要确保分拆的结果都是整数，不能有小数或者分数。

其次，每个分拆的数字都不能重复。

下面我们通过一些具体的例子来加深对整数分拆的理解。

假设我们要把 8 进行分拆。

按照从小到大的顺序，我们可以得到 1＋ 7、2 ＋ 6、3 ＋ 5、4 ＋ 4。

然后再考虑三个数字相加的情况，有 1＋ 1 ＋ 6、1 ＋ 2 ＋ 5、1 ＋ 3 ＋ 4、2 ＋ 2 ＋ 4、2 ＋ 3 ＋ 3 。

再比如把 10 进行分拆，我们能得到 1 ＋ 9、2 ＋ 8、3 ＋ 7、4 ＋ 6、5 ＋ 5 。

三个数字相加的有 1 ＋ 1 ＋ 8、1 ＋ 2 ＋ 7、1 ＋ 3 ＋ 6、1 ＋4 ＋ 5、2 ＋ 2 ＋ 6、2 ＋ 3 ＋ 5、2 ＋ 4 ＋ 4、3 ＋ 3 ＋ 4 。

第四讲整数的拆分

第四讲整数的拆分笔记总结整数的拆分：把自然数分成为若干个自然数之和，每一种表示方法就是一种拆分。

【要求】1.拆成的数的和必须等于这个数n。

2.不允许重复（排列顺序不一样的重复也不可以）：例如：3=2+1.3=1+2只能算一种拆分。

【要点】1.被拆的数 2.拆成多少个数 3.特殊要求一、整数分拆中的计数问题（几种、多少个这样的问题称为计数问题）例1有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？（不加限制条件的分拆，称为无限制分拆）分类(枚举)法：只能拆成2个至6个数的和。

2个数：6=5+1=4+2=3+3 3个数：6=4+1+1=3+2+1=2+2+24个数：6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；5个数：6=2+1+1＋1＋1 6个数：6＝1+1+1+1+1+1因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法。

例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法：采用枚举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1992+2=…=998＋996=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.【拆成2个数规律】：n是双数，有n÷2种拆分；n是单数，有（n-1）÷2种拆分.二、整数分拆中的最值问题（最大和最小的两种极端情况，称为最值问题）例3 50最多能拆成多少个不同的正整数之和？拆“50”没有个数限制，但要求拆成的数个数最多-------也就是尽量拆的最小50=1+2+3+4+5+6+7+8+9+5 最多拆成9个。

例4 试把14分拆为两个自然数之和，使它们的乘积最大14=1＋13，1×13＝13；14=2+12，2×12=24；14=3＋11，3×11=33；14=4＋10，4×10=40；14=5＋9，5×9=45；14=6+8，6×8=48；14=7+7，7×7=49. [结论] 拆成两个数，差越小时，乘积越大；差越大时，乘积越大。

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆-

小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数的分拆例题1：整数4有多少种不同的分拆方式？分析解答：枚举4=1+1+1+1=1+2+1=2+2=1+3一共有4种。

例题2：从1—9九个数中选取，将11写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法？分析解答：11=2+9=3+8=4+7=5+6，一共有4种。

例题3：把整数10分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方法？分析解答：10=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+3+5一共有4种。

例题4：将12分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出。

分析解答：12=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+3+7=2+4+6=3+4+5一共有7种。

例题5：某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各1枚，如果他想买一件7分钱的商品，他应如何付款？买9分、10分、13分、14分、15分的商品呢？他又该如何付款？分析解答：7=1+2+4，9=1+8，10=2+8，13=1+4+8；14=2+4+8；15=1+2+4+8。

例题6：（1，1，8）是一个和为10的三元自然数组，如果不考虑顺序，那么和为10的三元自然数组有多少个？【注意：“不考虑顺序”的意思是指如（1，1，8）与（1，8，1）是相同的三元自然数组】分析解答：10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4一共有8种。

例题7：有人以为8是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好，现有200块糖要分发给5个人，请你帮助想一个吉利的分糖方案。

分析解答：200=88+88+8+8+8这样就可以表示成都是8的数了。

例题8：七只箱子分别放有1个，2个，4个，8个，16个，32个，64个苹果，现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法?分析解答：87=64+16+4+2+1事实上，每一个数都可以用1，2，4，8……这样一组数列组合而成。

整数的分拆