数学归纳法论文
谈谈数学归纳法 本科论文
本科生毕业论文（设计）册作者姓名：指导教师：所在学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级（届）：2014届2班二〇一四年五月十日学位论文原创性声明本人所提交的学位论文《谈谈数学归纳法》，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。
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（保密的学位论文在年解密后适用本授权书）论文作者（签名）：指导教师（签名）：年月日年月日河北师范大学汇华学院本科毕业论文（设计）任务书编号：2014230302099学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级： 2014届2班学生姓名：学号： 2010511882 指导教师：张硕职称：副教授1、论文（设计）研究目标及主要任务通过对数学归纳法定义、理论依据、基本形式等深入的学习，灵活的运用数学归纳法,分析其易错点和解题技巧，并给出自己的建议与思考.2、论文（设计）的主要内容（1）数学归纳法的定义、数学归纳法的理论依据、数学归纳法的基本类型；（2）研究数学归纳法解决的常见题型；（3）剖析使用数学归纳法解决应用问题时易出现的错误和解题技巧；（4）数学归纳法的推广应用.3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：学校拥有大型图书馆和校园网，到学校图书馆查找资料或者上网检索收集大量相关的最新资料，在写作的过程中有指导老师的指导.研究路线：通过对数学归纳法基本内容的学习研究，归纳总结其在解决问题中的应用方法，并从中分析出解题的误区和一些做题的技巧，提出自己的思考建议．4、主要参考文献[1]张莉,贺贤孝.数学归纳法的历史[J].辽宁师范大学学报(自然科学版),1999,(2):102-106.[2]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京大学出版社,1997:37-38．[3]余元希等.初等代数研究（上册）[M].高等教育出版社,2010:8-11．[4]李明振、齐建华、王跃进等. 数学方法与解题研究[M].上海科技教育出版社,2014:183-201[5]吴志翔著.证明不等式[M]．河北人民出版社，1982:56-59．指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）开题报告书河北师范大学汇华学院本科生毕业论文（设计）文献综述本科生毕业论文设计谈谈数学归纳法学部：信息工程学部专业：数学与应用数学班级：2010级2班学生：指导教师：张硕论文编号：2014230302099目录中文摘要、关键词 ........................................................................................................ 错误!未定义书签。
毕业论文：数学归纳法及其应用论文
数学归纳法及其应用数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在进一步学习及研究高等数学时,也是一种非常重要的方法．数学归纳法在证明与正整数有关的命题时有其独特之处．对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是掌握这种证明方法的关键．要熟练的掌握及应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中,运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出结论最为重要．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等．n时表示一个命题，正整数是无穷的．一个与正整数N有关的命题，当1n时又表示一个命题，如此等等，无穷无尽．因此，一个与正整数N有关当2的命题本质上包含了无穷多个命题．假如我们对于这无穷多个命题，按部就班地一个一个去证，那么不管我们的证题速度有多快，也是今生今世都证不完的．在一个与正整数N有关的命题面前，作为万物之灵的人，发明了一种方法，叫做“数学归纳法”．人们运用此法，只需寥寥几步，像变戏法似的，便把无穷多个命题一个不剩的全证完了[1]．数学归纳法是数学论证的一个基本工具，是一种非常重要的数学证明方法，它典型地用于确定一个表达式在所有正整数范围内是成立的，或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的．最简单和最常见的数学归纳法证明是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成，第一步是递推的基础: 证明当1n时表达式成立．第二步是递推的依据: 证明如果当n k时成立，那么当1n k时同样成立．(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设．不要把整个第二步称为归纳假设．) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的．如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中．1数学归纳法的概述1．1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，数学中研究问题的方法一般有以下分类：1．1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法．1．1．2 归纳推理——由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳推理，它又称归纳法．根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，归纳法又可分为不完全归纳法和完全归纳法．不完全归纳法是根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法．不完全归纳法所得到的命题并不一定成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法．但是，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段．在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想．因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高数学能力十分重要．完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法．与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的．通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法[2]．1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念:数学归纳法是数学上证明与正整数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题．1.3 数学归纳法的逻辑基础意大利有一个数学家，名叫皮亚诺（G．Peano,1858-1932），他总结了自然数的有关性质，并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理，后人称之为“皮亚诺公理”．皮亚诺公理的内容如下：任何一个满足下列条件的非空集合N的元素叫做自然数．在这个集合中，某些元素之间存在着一种基本关系——“随从”关系（或者叫做“直接后继”关系）并且满足以下五条公理：Ⅰ．0N（即“0是自然数”）．Ⅱ．对于N的每一个元素a,在N中都有一个确定的随从'a（我们用符号'a 表示a的随从，以下类同）．Ⅲ． 0不是N中任何一个元素的随从．a b可以推出a b（这就是说，N中的每个元素只能是某一个元Ⅳ．由''素的随从，或者根本不是随从）．Ⅴ．设M是自然数的集合，若它具有下列性质：（1）自然数0属于M；（2）如果自然数a属于M，那么它的随从'a也属于M；则集合M包含一切自然数[1]．自然数就是满足上述皮亚诺公理的集合N中的元素.关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论.由皮亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起n n，…，则始元素，如果记'01，'12，'23，…，'1{0,1,2,,,}N n皮亚诺公理与最小数原理是等价的，我们可以用皮亚诺公理来证明最小数原理.定理1 （最小数原理） 自然数集N 的任意非空子集A 都有最小数. 证 设M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合，即{|,}Mn nN nm mA 且对任意由于A 非空，至少有一自然数a A ,而1()a a 不在M 中，所以M N .从而必存在自然数0m M ，且01m M .因为若不然，就有（1）0M (0不大于任一自然数）； （2）若m M ，则1m M .根据归纳原理，集合M 包含一切自然数．此与M 是不大于A 中任何数的所有自然数的集合矛盾.这个自然数0m 就是集合A 的最小数，因为对任何aA ，都有0m a ；而且0m A .事实上，若0m A ，则有01m a ，对任意a A ，于是01m M ，这又与0m 的选取相矛盾.下面我们用最小数原理来证明数学归纳法原理.定理2 （数学归纳法原理）一个与自然数有相关的命题()T n ，如果（1）00()(0)T n n 为真；（2）假设0()()T n nn 为真，则可以推出(1)T n 也为真.那么，对所有大于等于0n 的正整数n ，命题()T n 为真.证 用反证法.若命题()T n 不是对所有的自然数n 为真，则0{|,()}Mm mN mn T m 且不真非空.根据定理1，M 中有最小数0m .由（1），00m n ，从而001m n 且0(1)T m 为真.由（2），取01nm 即知0()T m 为真.此与0()T m 不真相矛盾.从而证明了定理2[4].因而从理论上讲，皮亚诺公理中的第五条公理正是数学归纳法的依据，因此，第五条公理也称做数学归纳法原理。
关于数学归纳法的论文
数学归纳法在问题求解中的应用作者：管国策指导老师：张胜摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，在不少数学问题的证明中，它都有着其他方法所不能替代的作用.甚至在物理、生物等方面都有着广泛的前景，本文首先阐述数学归纳法的理论依据以及表现形式，然后通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学以及中学数学竞赛中的应用，最后详细叙述对数学归纳法的认识和使用中应该注意的问题.关键词数学归纳法数列行列式离散数学树数学竞赛1、数学归纳法的理论依据归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现规律，不适用于数学严谨证明.数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列归纳公理：（1）存在一个自然数0∈N.（2）每一个自然数a有一个后继元素'a，如果'a是a的后继元素，则a叫做'a的生成元素.（3）自然数0无生成元素.（4）如果'a='b，则a=b.（5）（归纳公理）自然数N的每个子集M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M=N.自然数就是满足上述公理的集合N中的元素，关于自然数的所有性质都是这些公理的直接理论.由以上公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素.如果记'0=1，'1=2，'2=3，…，'n=n+1，…，则N={0,1,2，…，n，…}.由以上公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数在本质上是一致的.20世纪90年代以前的中学数学教材将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集.现在已统一采用上面的证法，即将0作为第1个自然数.为了阐述数学归纳法，我们首先介绍一下正整数集的最小数原理.最小数原理：正整数集中≤，的任意一个非空子集必含有一个最小数.也就是说，存在数a∈S，对于∀x∈S都有a x最小数原理也就是数学归纳法的理论依据.2、数学归纳法的表现形式2.1.第一数学归纳法在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k +1时命题也成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠∅.于是由最小数原理，S 中有最小数a .因为命题对于n =1时成立，所以1a ≠， a >1.从而a -1是个正整数.又由于条件（3），当n =a 时命题也成立.因此a S ∉，导致矛盾.因此该命题对于一切正整数都成立.定理证毕.在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将n =1换成n =c 即可.第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c 时命题成立（2）归纳假设：假设n =k 时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.2.2.第二数学归纳法第二数学归纳法与第一归纳法是等价的.在有些情况下，由归纳法“假设n =k 时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立，不仅依赖()P k 成立，而且依赖于前面各步成立，这时一般要选用第二数学归纳法.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时（3）若能证明n =k +1时命题也成立.则这个命题对于一切正整数n 都成立.其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方不再赘述.第二数学归纳法可概括为一下几个三步：（1）归纳基础：证明n =1时命题成立（2）归纳假设：假设n k ≤时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.2.3.反向归纳法反向数学归纳法是数学家柯西最先使用的，下面我们就来介绍一下.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）命题()P n 对于无限多个正整数n 成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k -1时命题也成立，则这个命题对一切正整数n 都成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令A 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么A ≠∅.任取a A ∈，由条件（1）知必有正整数b >a ,使()P b 成立.令这样的正整数b 组成的集合为B .因为集合B ≠∅，故必有最小数，设这个最小数为m ，显然m >1,由条件（3）知：(1)P m -成立，由a 的取法知：3、数学归纳法的应用数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数n 有关的初等代数问题，在高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、计算机等方面的应用也相当突出.在用数学归纳法解决以上问题时，不仅思路清晰、大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常有效.下面重点谈谈它在初等代数、高等数学、离散数学以及数学竞赛中的应用. 3.1.数学归纳法在初等代数中的应用数学归纳法在恒等式问题、整除问题、三角函数问题、数列问题以及不等式问题中均有着广泛的应用.例1.求证：3n +5n （n N +∈）能被6整除证明：（1）当n =1时，31+51⨯=6能被6整除，命题成立（2）假设n =k 时，命题成立，即3k +5k 能被6整除当n =k +1时，有3(1)k ++5(1)k +=（3k +32k +3k +1）+（5k +5） =（35k k +）+3(1)k k ++6 因为两个连续的正整数的乘积(1)k k +是偶数，所以3(1)k k +能被6整除 则（35k k +）+3(1)k k ++6能被6整除，即当n =k +1时命题也成立 综上所述，对一切正整数n 命题都成立.例2.已知在各项均为正整数的数列{}n a 中，它的前n 项和n S 满足n S =11()2n na a +，试猜想数列{}n a 的通项公式，并有数学归纳法证明你的猜想. 解：1S =1111()2a a + 21a ∴=1n a >0 1a ∴=12S =1a +2a =2211()2a a +即22a +22a -1=0又n a >0 ∴2a-13S =1a +2a +3a=1+(1+3a =331()a a +即23a+3a -1=0 又n a >0 ∴3a…猜想：n an N +∈）下面用数学归纳法证明这个猜想（1）当n =1时，1a=1，命题成立（2）假设n k =（1k ≥）时，k a1n k =+时，有：1k a +=1k S +-k S =1111()2k k a a +++-11()2k ka a +，即1k a +=1111()2k k a a +++-12=1111()2k k a a +++21k a +∴1k a +-1=0又n a >0 1k a +∴∴当1n k =+时，命题也成立.由(1)(2)可知：当n N +∈时，n a 例3：已知数列{}n b 是等差数列， 1b =1，1b +2b +…10b =145 （1）求数列{}n b 的通项公式n b （2）设数列{}n a 的通项n a =1log(1)nb +(a >0且1a ≠)，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，试比较n S 与11log 3a nb +的大小并证明你的结论. 解：（1）设数列{}n b 的公差为d 由题意知：1b =1；1b +10(101)2d -=145 解得：d =3 ∴n b =3n -2（2）由n b =3n -2知：n S =log (11)a ++1log (1)4a ++ (1)log (1)32a n +- =1log [(11)(1)4a ++ (1)(1)]32n +-而11log 3a nb +=log an S 与11log 3a nb +的大小，就是要比较1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-的大小取n =1，有（1+1）取n =2，有1(11)(1)4++推测：1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-()* （1）当n =1时，已验证()*式成立（2）假设n k =（k >1且k N +∈）时()*式成立.即1(11)(1)4++ (1)(1)32k +-则当1n k =+时，1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)3(1)2k ++-1(1)31k ++=3231k k +-33332(31k k +-+=322(32)(34)(31)(31)k k k k +-+++=294(31)k k ++>0从而1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)31k ++即当n =1k +时()*式也成立由(1)(2)知：()*式对任意正整数n 都成立于是当a >1时，n S >11log 3a n b +；当0<a <1时，n S <11log 3a nb +3.2.数学归纳法在高等数学中的应用证明是高等数学的一个重要的组成部分，它的重要性，不仅表现在数学命题需要严格的推理证明，才能确定其真实性，更重要的还在于通过数学证明有助于学生弄清命题的条件与结论之间的本质联系，加强对数学问题的认识，有助于学生深刻理解数学本质，养成严谨的思考问题的习惯，从而自觉掌握数学规律，从根本上提高分析问题和解决问题的能力.例4：如果对一切实数x 和y ，等式()f x y +=()f x +()f y 成立，试证对一切有理数r ，有()f rx =()rf x证：令x =y ，则由已知条件有： (2)f x =()f x +()f x =2()f x (3)f x =()f x +(2)f x =3()f x用数学归纳法可证，对一切自然数n 有()f nx =()nf x另外，对正分数p q （,p q 互质且q >1）有：()pf x =()f px =()p f q x q =()p qf x q()p f x q ∴=()()pf x q令x =y =0，有(0)f =2(0)f ∴(0)f =0接着令y =x -，有()f x +()f x -=0 ∴()f x -=-()f x 同理，对负数p q -（,p q 互质且p >0, q >1）有：()p f x q-=pq -()f x因此，可知对一切有理数r 命题成立. 例5.证明211arctan2n n ∞=⋅∑收敛 证：令n a =21arctan2n ⋅ 求出该数列的部分和n S 1S =1arctan22S =1arctan 2+21arctan 22⋅=2211222arctan111222+⋅-⋅⋅=2arctan 3 3S =1a +2a +3a =2S +3a =2arctan 3+21arctan 23⋅=3arctan 4猜想：n S =arctan 1nn +下面用数学归纳法证明： 假设1k S -=1arctank k-，将上式两边同时加上k a ，得： k S =1k S -+k a =1arctan k k -+21arctan 2k ⋅=23(221)arctan 21k k k k k -+-+=arctan 1k k + 证出等式在n =k 时成立. 因此n S =arctan1nn + 又lim 1n n n →∞+=1，arctan1=4π，证得级数211arctan 2n n ∞=⋅∑收敛 S =4π例6：证明：n D =cos 10012cos 100012cos 012cos aa aa=cos na证：对n 施第二数学归纳法 （1）当n =2时，cos 112cos a a=22cos a -1=cos2a（2）假设<n 时结论成立，则当n 时n D =cos 1012cos 10012cos 001aa a -+21cos n aD - =2n D --+12cos n aD -=cos(2)n a --+2cos cos(1)a n a ⋅- =cos(2)n a --+2cos[(2)]cos n a a a -+⋅=cos(2)n a --+2[cos(2)cos sin(2)sin ]cos n a a n a a a -⋅--⋅ =cos(2)n a --+22cos(2)cos 2sin(2)cos sin n a a n a a a -⋅--⋅⋅=2cos(2)(2cos 1)sin(2)sin 2n a a n a -⋅---⋅ =cos(2)cos 2sin(2)sin 2n a a n a a -⋅--⋅ =cos[(2)2]n a a -+=cos na3.3.数学归纳法在离散数学中的应用随着计算机科学的发展，离散数学在计算机的研究中的作用越来越大，而离散数学中（特别是图论中）的许多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效的方法.例7.设R 是集合X 上的关系，则()t R =1i i R ∞==R ⋃2R ⋃3R ⋃…证明：用第一归纳法先证明1i i R ∞=⊆()t R ；（1）当n =1时，根据传递闭包定义R ⊆()t R ； （2）假设1n ≥时，nR ⊆()t R .设(,)x y ⊆1n R+，因为1n R+⊆n R ⋃R ，故必有某个c x ∈，使(,)x c ∈n R ，(,)c y ∈R由归纳假设，有(,)x c ∈()t R ，(,)c y ∈()t R ，即(,)x y ∈()t R 1n R+∴⊆()t R故对任意的自然数n ，有nR ⊆()t R ，因而1i i R ∞=⊆()t R再证()t R ⊆1i i R ∞=设(,)x y ∈1ii R ∞=，(,)y z ∈1i i R ∞=，则必存在整数,s t ，使得(,)x y ∈s R ，(,)y z ∈t R这样(,)x z ∈s R ⋃tR ，即(,)x z ∈1i i R ∞=∴1i i R ∞=是传递的由传递闭包的定义可知：()t R =1i i R ∞=例8：设T 为任意一颗完全二元树，m 为边数，t 为树叶数，试证明m =22t -，这里2t ≥证明：对树叶数t 进行证明当t =2时，结点树为3，边数m =2，故m =22t -成立假设t =k (2)k ≥时，结论成立，下面证明t =1k +时结论也成立由于T 为二元数，因此T 中一定存在都是兄弟结点12,v v ，设v 是12,v v 的父亲，在T中删除12,v v ，得到'T ,'T 仍为二元完全树，这时结点v 成为树叶，树叶数't =21t -+=11k +-=k ，边数'm =2m -由归纳假设知：'m ='22t -所以2m -=2(21)2t -+-，故m =22t -3.4.数学归纳法在中学竞赛中的应用我们知道中学数学竞赛里有的知识解决需要用的数学归纳法，它方便了我们的解题，下面举几个例子看看它在数学竞赛里是如何运用的.例9.数列{}n a 中有1a =2a =1，1n a +=1n a -+n a (2)n ≥，请你证明：n a =]n n -（这个数列叫做斐波那契数列，它的前12项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144）证明：（1）当1n =时，11522--=5(1)T ∴成立当2n =时，2211(]522+-=33(544+--=5(2)T ∴成立（2）假设n k =和1n k =+时，()T k ，(1)T k +都成立即k a ]k k -且1k a +11]k k ++- 则当2n k =+时，2k a +=k a +1k a +]k k -11]k k ++-(1(1k k +-+k k=221111[(()((]52222k k ⋅-⋅=2211[()(]522k k ++- (2)T k ∴+也成立.由(1)(2)可知：对一切正整数，n a =11()]522n n--恒成立. 例10.设x +1x =2cos θ（其中x 为复数），请用θ的三角函数式表示nx +1n x（n 是正整数），并用数学归纳法证明你的结论.解：（1）当1n =时，x +1x=2cos θ 当2n =时，2x +21x=21()2x x +-=22(2cos 1)θ-∴2x +21x=2cos2θ当3n =时，3x +31x =22111()()()x x x x x x++-+=2cos 2cos22cos θθθ⋅-=2cos32cos 2cos θθθ+- =2cos3θ 猜想：nx +1n x=2cos n θ （2）假设1n k =-时，1k x -+11k x -=2cos(1)k θ-n k =时，kx +1k x=2cos (2)k k θ≥ 那么1n k =+时，1k x ++11k x+=11111()()()k k k k x x x x x x --++-+=2cos 2cos 2cos(1)k k θθθ⋅--=2cos(1)2cos(1)2cos(1)k k k θθθ++--- =2cos(1)k θ+ (1)T k ∴+成立由(1)(2)知，对一切n 恒有nx +1n x=2cos n θ（其中n 为正整数） 4、对数学归纳法的认识数学归纳法有时也叫逐次归纳法或者完全归纳法.前面两种叫法最早见于英国数学家德摩根1838年所写的《小百科全书》的引言中.因为在使用这个方法论证的时候，有一个形式上的归纳步骤，即确证命题对于第一项为真时，并由此归纳得出命题对于第n 项为真，“这个和通常的归纳程序有极其相似之处”.所以德摩根赋予它“逐次归纳法”的名称.也许是由于这种方法主要被用来数学中的证明的缘故.在《引言》的结尾处，德摩根又提出“数学归纳法”这个名称.比起逐次归纳法，人们似乎更喜欢数学归纳法，因为后者更能表明它论证的可靠性.此后，1887年，德国数学家戴德金又称此法为“完全归纳法”.有一个时期，这个叫法在德国很流行，后来由于逻辑学上完全归纳法专指“从列举对应的一切特殊的前提中，推出关于全部对象的一般结论的一种推理方法”，所以与“数学归纳法”不完全等价了.虽然数学归纳法和普通归纳法有着相似之处，但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的.在这种方法里，它的前提只是已被考察过的部分对象的属性，而结论却是关于同类对象全体的.因此，由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如，从1到40个自然数中，归纳出素数公式是“n 2-n+41”，这个公式对于n=1,2,…,40是正确的，可是当n=41时，得出的412确不是素数，看来归纳法不能用来作为严格的、科学的证明，仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性.然而，数学归纳法则不同，它的基础是递归推理原理，隐含着推向无穷的可能.由于数学归纳法包括着一串有穷多个三段论，每一个三段论自身都是一致的，所以从一定意义上说它又是古典演绎逻辑的一种发展了的形式，其严密性与演绎推理相同.庞加莱很彻底地指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别.他说：“我们必须承认，这（数学归纳法）和通常的归纳法程序有极其相似的不同，归纳法，当其应用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普通顺序，一种在我们之外的顺序.相反，数学归纳法，即递归证法，把自身视为一种必然，因为它不过是心灵本身的一种性质……”庞加莱十分推崇数学归纳法，称它“是数学中全部优点的根源”，“我们只能循着数学归纳法前进，只有它能交给我们新的东西.如果没有这种与自然（普通）归纳法不同但却同样极为有用的归纳法的帮助，演绎法是无法去创造出一种科学来的."应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了，它在数学中的地位已经完全确立.其实不然，仔细想来，数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的.数学归纳法是说“一个对1真的命题，如果它对任一数为真的，对其后继数也为真，则这个命题对于一切数都是真的.”人们不禁要问，何以断定每一个数都有后继数呢？这个问题不解决，自然也就谈不到数学归纳法的可靠性，所以归纳法的逻辑基础问题，与自然数理论密切联系.有趣的是，数的推展是由自然数向着有理数、实数、复数的方向进行的；然而，数的逻辑基础的奠定却循着一个相反的方向.自然数理论建立以后，与有理数数论一起建立起来的.1889年，意大利数学家皮亚诺发表《算数原理新方法》，他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发，建立起关于自然数的五条公理，即：（1）1是自然数;（2）1不是任何自然数的后继者;（3）每一个自然数a 都是一个后继者;（4）若a 和b 的后继者相等，则a 和b 也相等;（5）（归纳公理）若有一个由自然数组成的集合S 含有1，又若当S 中含有一个数a 时，它一定也含有a 的后继者，则S 就含有全部自然数.这样，皮亚诺不仅以公理的形式保证了一个数的后继者的存在，而且为用数学归纳法推证的结果对全体自然数的有效性作了保证.皮亚诺把数学归纳法原理奠基在下述事实的基础上：在任一整数a 之后接着便有下一个a+1，从而从整数1出发，通过有限次这种步骤，便能达到选定的整数n.自然数理论的简历，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也是严格意义下的数学归纳法的进一步明确.对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用.例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可以用数学归纳法来证明.比如等差数列、等比数列的通项公式以及二项式定理.当然，我们在重视它的应用的同时，也不要忘记它的审美价值和哲学价值.数学是自然界中所有美的集合，也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分.5.数学归纳法在应用中要注意的问题5.1在应用第一数学归纳法时，只有第2步而无第1步的证明可能导致错误.例11.设n =k ，等式2+4+…+2n =2n +n +1成立，即：2+4+…+2k =2k +k +1（1）两边同时加上2(1)k +，则有：2+4+…+2(1)k +=2(1)k ++(1)k ++1成立，即：如果n =k 时，等式（1）成立，则n =k +1时，等式也成立.由此得出结论：对于一切自然数n ，等式（1）是成立，这是错误的.因为n =1时，有2=3的错误. 5.2在应用第一数学归纳法时，只第1步骤而无第2步骤的归纳证明可能导致错误的结论.例12.在函数()f n =2n +n +17中，由(1)f =19，(2)f =23，(3)f =29，…，(15)f =257等都是质数，便说：“n 为任何自然数时()f n =2n +n +17的值都是质数”便是错误的.因为：(16)f =216+16+17=16（16+1）+17=17（16+1）=217=289就不是质数如果缺少了第2步，则不论对于多少个自然数来验证命题()T n 的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确.例如：歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第2步归纳递推，所以仍只停留在归纳的第1步，至今只是个猜想而已.第2步在证明(1)T n +为真时，一定要用到归纳假设，即要由()T n 为真，推出(1)T n +为真；或由“0()T n ，0(1)T n +，…，(1)T k -为真，推出()T k 为真”的实质蕴含真正体现出来，否则不是数学归纳法证明.5.3并不是凡与自然数相关的命题()T n 都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的.结 束 语数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到，而反向归纳法在数学的证明中不是很常见.通过数学归纳法去证明与自然数有关的命题，可降低证明过程中的复杂性，使推理过程简单、清晰、也保证了推理的严谨性.正如华罗庚先生在《数学归纳法》一书中提到的：“数学归纳法整数体现了人的认识从有限到无限的飞跃.”参考文献[1]吉米多维奇,数学分析习题集题解[M],济南,山东科学技术出版社,1983.[2]王仁发,代数与解析几何[M],长春,东北师范大学出版社,1999年9月第一版.[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,《高等代数》（第三版）.高等教育出版社.[4]左孝凌等《离散数学》[M],上海科学技术文献出版社,1982.[5]卢开澄,卢明华,图论及其应用[M],北京,清华大学出版社1995.[6]KAWAHIGASHIY.Generalized Longo-Rehren subfactors and A-induction[J],Comm Math Phys,2002,26(2),269-287[7]苏淳《数学奥赛辅导丛书,漫谈数学归纳法》[M],中国科学技术大学出版社,2009.4Mathematical induction application in problem solvingAuthor: Guan guoce Supervisor: Zhang ShengAbstract Mathematical induction is a kind of common methods of proof.In the proof of many mathematics problems ,it has the function which cannot be replaced by other methods,it has broad prospects even in physics,biology and so on.This paper firstly state the theoretical basis of Mathematical induction and its form of expression,then mainly discuss the Mathematical induction in elementary mathematics,higher mathematics,discrete mathematics and the application of mathematical contest through some representatively typical examples.Finally give an account of the cognition to Mathematicalinduction in detail and the problem when using it.Keywords Mathematical induction sequence determinant discrete mathematics tree mathematical contest。
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。
一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。
例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36.下面用数学归纳法证明：（1）当n =1时，显然成立.（2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1），由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k －1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除.由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36.二、用数学归纳法证明恒等式问题对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性．例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12)1()1(32212222c bn an n n n n +++=+•++•+•对一切自然数n 成立？并证明你的结论．解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立：)10113(12)1()1(32212222+++=+•++•+•n n n n n n 令222)1(3221+•++•+•=n n S n假设k n =时上式成立，即)10113(12)1(2+++=k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12)1(++++++=k k k k k k2)2)(1()53)(2(12)1(++++++=k k k k k k )101253(12)2)(1(2+++++=k k k k k ]10)1(11)1(3[12)2)(1(2++++++=k k k k 这就是说，等式当1+=k n 时也成立．综上所述，当10,11,3===c b a 时，题设的等式对一切自然数n 都成立． 三、用数学归纳法证明不等式问题用数学归纳法证明一些与n 有关的不等式时，推导“n ＝k ＋1”时成立，有时要进行一些简单的放缩，有时还要用到一些其他的证明不等式的方法，如比较法、综合法、分析法、反证法等等．例3．已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n n n b ； （Ⅱ）证明.332<n S 证明：解：（Ⅰ）证明：当.1121)(,0≥++=≥x x f x 时 因为a 1=1，所以*).(1N n a n ∈≥下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1--≤n nn b （1）当n=1时，b 1=13-，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1--≤k kk b 那么 kk k k a a a b +--=-=+-1|3|)13(|3|11.2)13(2131k k k b +-≤-≤ 所以，当n=k+1时，不等也成立。
数学归纳法论文
xxxxxxx毕业论文数学归纳法在恒等式中的应用xxx0xxxxxxxxxxxxxx学校代码 xxxx 学号 xxxxxxx毕业论文数学归纳法在恒等式中的应用xxx指导教师 xxx专业 xxxx班级 xxx论文提交日期 xxxx目录摘要 (1)1.数学归纳法的定义概述 (2)1.1常用数学证明方法 (2)1.2数学归纳法的定义 (3)2.数学归纳法的步骤 (4)3.易错分析 (5)3.1弄不清n k=+时的式子变化 (5)=到1n k3.2运用数学归纳法时忽略了n k=时的假设条件 (5)4.运用数学归纳法的典型例题 (5)5.中学数学中关于数学归纳法的用途 (6)参考文献 (6)致谢 (6)数学归纳法在恒等式中的应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。
数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
【关键词】归纳法猜想恒等式证明方法【ABSTRACT】Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction in the proof of identity has its very clever side, especially in the proof and nature of the proposition when there is unique. To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - that" this discovery to explore ways of thinking.【KEY-WORDS】Induction; Suspicion; Identical equation; Proof1数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题摘要在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题.关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。
是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。
数学归纳法一般分为以下几种常见的方式：（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n），（1）验证n=n0时P(n）成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立，（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
浅谈数学归纳法的应用数学毕业论文
I浅谈数学归纳法的应用摘要数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。
数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学以及在高等数学中的应用。
要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其原理和意义以及熟练地掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明一些数学问题的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
关键词：归纳法，数学归纳法，证明II the Application of Mathematical InductionABSTRACTMathematical induction is a very important mathematical method, it not only of the middle school mathematics learning has the very big help to us, but in the higher mathematics study and research is also a kind of important method, mathematical induction test the correctness of the formulas is also has a lot of applications. Mathematical induction is a bridge to infinite into a limited, mainly discusses about the relevant propositions or identities of natural number set mathematical induction method in middle school mathematics problem of divisible identities are proved, axiom proves that the permutation and combination, geometric field, has a wide range of applications, here we mainly combined with junior high school textbooks to detailed mathematical induction method in middle school mathematics and application in advanced mathematics. To use mathematical induction accurate, it must first be accurately understand its principle and the significance as well as expertly grasp the problem solving steps, and in three steps, it is important to use inductive hypothesis, using the induction hypothesis launch a guess that the most important. Finally we through use mathematical induction to prove some math problems in the process of, can be more profound understanding and mastering "induction - guess - proof" theIII discovery of thinking method.KEY WORDS: induction method, mathematical induction, proof目录1 绪论 (1)1.1 引言 (2)1.2 数学归纳法的来源 (2)2 数学归纳法的概述 (4)2.1 常用数学证明方法 (4)2.1.1 演绎法 (4)2.1.2 归纳法 (4)2.2 数学归纳法基本原理及其其它形式 (5)2.2.1 数学归纳法概念 (5)2.2.2 数学归纳法的基本原理 (5)2.2.3 数学归纳法的其它形式 (7)3 数学归纳法的步骤 (9)3.1 数学归纳法的步骤 (9)3.2 三个步骤缺一不可 (10)4 数学归纳法的典型应用 (13)4.1证明恒等式 (13)4．2 证明不等式 (15)4．3 证明整除问题 (18)IV4.4 证明几何问题 (19)4.5 行列式与矩阵的证明 (19)5运用数学归纳法时容易出现的错误分析 (22)5.1 忽略了归纳奠定基础的必要性 (23)5.3 在第二步证明中没有利用归纳假设 (24)6 应用数学归纳法时的一些技巧 (25)6.1 灵活选取“起点” (25)6.2 恰当选取“跨度” (26)6.3 选取合适的假设方式 (27)6.3.1 以“假设n k=时成立” (27)£时成立”代替“假设n k6.3.2 以“假设n k=+时成立”代替“假设n k=时成立”28n k=，17 数学归纳法的地位和作用 (30)致谢 (31)参考文献 (33)浅谈数学归纳法的应用11 绪论在高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“k时命题成立，那么1+k时命题也成立”的证明方法。
第一数学归纳法及其应用 毕业论文
2012届本科毕业论文第一数学归纳法及其应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名学号指导教师完成时间2012.5第一数学归纳法及其应用摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧.关键词：归纳法第一数学归纳法不等式数列1 引言对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法, 并证明了2135(21)+++++=, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如n n经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯卡第一次用数学归纳法证明了指数为正整数时的二项式()n展开式的系数公式,a b从而得到有名的帕斯卡三角阵.继帕斯卡之后, 数学归纳法就成为数学家们手中得心应手的工具, 如在费马（1601-1665）、伯努力（1654-1705）、欧拉（1707-1783）这些大数学家们的出色工作中, 都可以找到数学归纳法的例子, 1889年意大利数学家皮亚诺(C·Peano, 1858～1932, 意大利)发表《算术原理新方法》, 给出自然数的公里体系, 使数学归纳法有了一个准确、合理的理论基础．现在开始我们重新认识一下数学归纳法.2 数学归纳法的原理2.1 归纳法在现实中的一些运用先从少数的事例中摸索出规律来, 再从理论上来证明这一规律的一般性, 这是人们认识客观世界的方法之一. 不论在数学上, 或在其他场合, 从对一系列具体事物的考察中引出一般性结论的推理方法或过程, 叫做归纳法. 人们从有限的经验中得出经验性的结论是屡见不鲜的, 在这个过程中人们自觉或不自觉地运用了归纳法. 许多闪烁着人类思想光芒的谚语、成语、格言等, 都是应用归纳法的产物. 如“兵贵神速”、“骄兵必败”, 都是对战争的胜负规律的一种认识, 同样“滴水石穿”、“有志竟成”是人们考察了古往今来许多有成就者的经历后得出的.2.2 数学归纳法的本原理解了归纳法我们再具体到数学中来, 以识数为例. 小孩子识数, 先学会数1个、2个、3个, 过些时候, 能够数到10了, 又过些时候, 会数到20, 30, …100了, 但后来, 就不再是这样一段段地增长了, 而是飞越前进. 倒了某个时候, 他领悟了, 就什么数都会数了, 这一飞跃, 竟是从有限到无穷!怎样会有这种方式呢? 首先, 他知道从头数; 其次, 他知道一个一个按次序数, 而且不愁数了一个以后, 下一个不会数, 也就是领悟了下一个数的表达方式, 可以由上一个数来决定, 于是, 他也就会数任何数了. 解释这个飞跃的原理就是, 正是运用了数学归纳法的思想, 数学归纳法大大地帮助我们认识客观事物, 由简到繁, 由有限到无穷.1979年6月9日, 在英国伦敦, 一群记者和上千名观众静静注视着一个人,急切的等待着一项基尼斯世界纪录的诞生. 这个人就是迈克·凯尼, 他用13天的时间, 用了169713块骨牌搭出一个长达6900米的多米诺牌阵, 当迈克·凯尼走到第一块骨牌前, 用手轻轻推到它时, 奇迹出现了——将近17万张骨牌组成的长达6900米的多米诺阵在半小时内统统颠覆. 这就是神奇的多米诺现象, 在这个过程中要使所有的骨牌倒下必须满足两个条件, （1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌, 只要前一块倒下, 后一块必定倒下. 这样我们就会发现这与数学中一个极其重要的证明方法——数学归纳法如出一辙. 并且摆多米诺阵的人应该注意的关键问题竟然也和使用数学归纳法的人应该注意的关键问题神似韵合. 2.3 命题的长蛇阵在前面我们屡次提到数学归纳法, 那么究竟什么是数学归纳法？我们现在先看一个命题.试证：在一个正方形的纸上有n个点, 已知这n个点连同正方形的4个顶点, 其中任意3点都不共线．试证：至多可以剪得顶点属于上述4n+个点的三角形纸片22n+个．我们可以把这个命题看成是无穷多个命题组合而成, 这无穷多个命题列举如下：命题1：在一个正方形纸上有1个点, 已知这5个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5个点的三角形4个.命题2：在一个正方形纸上有2个点, 已知这6个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉6个点的三角形6个.命题3：在一个正方形纸上有3个点, 已知这7个点中任意3点都不共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉7个点的三角形8个.……命题k：在一个正方形纸上有k个点, 已知这4k+个点中任意3点都不共线证明：至多可以剪得顶点属于上诉4k+个.k+个点的三角形22命题1k+个点中任意3点都不k+个点, 已知这5k+:在一个正方形纸上有1共线, 证明：至多可以剪得顶点属于上诉5k++个.k+个点的三角形2(1)2上述无穷多个命题排成了一个命题的长蛇阵, 它像无穷多个骨牌, 一个接着一个的摆放在那里. 如何证明这无穷多个命题呢？命题1的证明：当正方形内有一点, 且五点不共线, 则可以如图1所示, 得到4个三角形. 命题1得证.命题2的证明：根据命题1, 当正方形中有2点, 则另外一点一定在上题所分的4个三角行中任一个中, 假设如图2所示, 则可看作这一点把其中一个分成3个, 即多了2个, 有6个, 命题2得证.命题3的证明：根据命题2, 当正方形中有3点, 则另外一点一定在上题所分6个三角形中任一个中, 假设如图3所示, 则可看作是这一点把其中一个分成了3个, 即多了2个, 共有8个, 命题3得证.继续这个过程, 我们可以依次证明命题4、命题5、……. 也就是说, 我们可以证明这一系列命题中的任何一个命题. 因此, 一开始给出的命题, 当n是任意自然数时都是正确的.（图1）（图2）（图3）2.4 什么是数学归纳法在上一部分, 我们把一个与自然数有关的命题写成一个命题长蛇阵, 然后依次来证明, 这种方法显然给人一种繁琐的感觉. 但是我们可以看到, 从命题2开始, 命题长蛇阵中的每一个命题都是在前一个命题成立的基础上被证明的, 并且证明的方式很类似. 也就是说, 命题1k+是在命题k成立的基础上被证明的. 因此我们处理长蛇阵的方法可以改用以下两步：1.证明命题1成立;2.根据命题k成立, 推出命题1k+成立. 这样根据第二步可知以后每个命题都成立. 可见, 有这两步已经足够了. 如果把命题长蛇阵里的一个命题比作一块骨牌, 那么第二步就像把这些骨牌统统摆到了能产生“多米诺”现象的位置, 第一步恰如用手指轻轻地推倒了第一块骨牌. 仅用这两步就可以使命题长蛇阵中的每一个命题一个接一个的自动证明.一般来说, 一个与自然数n有关的命题可以看成是一个命题长蛇阵. 1n=时为命题1, 2n=时为命题2, 依次类推. 因此, 在证明一个与自然数有关的命题时, 可以采用以下两步：()1证明1n=时命题成立；()2证明：如果n k=时命题成立, 那么1n k=+时命题也成立.这种证明方法就叫做数学归纳法. 这种方法也可以概括为：“1对；假设n对, 那么1n+也对”. 这种概括是著名数学家华罗庚提出来的.2.5 数学归纳法的历史与原理在前面的论述中我们从游戏入手已经基本理解了数学归纳法的基本思想和主要步骤, 那么什么事保证数学归纳法的正确性呢？数学归纳法的背景是什么呢？在这里我们简要地介绍一下数学归纳法的理论背景.意大利有一个数学家, 名叫皮亚诺(C·Peano, 1858～1932, 意大利), 他总结了自然数的有关性质, 并在关于自然数的理论中提出了关于自然数的五条公理, 后人称为“皮亚诺公理”.()1 1是一个自然数；()2 1不是任何其他自然数的后继；()3每个自然数的后继是自然数；()4若两个自然数的后继相等, 则这两个自然数也相等；()5（归纳公理）自然数的某个集合若含有1, 而且如果含一个自然数就一定含有这个自然数的后继, 那么这个集合含全体自然数.其中公理5被称为归纳公理, 是数学归纳法的逻辑基础．自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性, 所以也可以把数学归纳法当作公理来看待. 所谓公理不是已知数学理论的逻辑推理的产物, 而是未经证明的产物, 其承认的的根据是生活实践.3 第一数学归纳法第一步：当1n =时, 等式成立;第二步：假设当n k =时, 这个等式是成立；也就是假设3.1 第一数学归纳法的步骤及其误区下面我们具体论述第一数学归纳法的步骤.设()P n 是一个含有自然数n 的命题, 利用第一数学归纳法的证明步骤是： 验证00(1)n n n =≥时()P n 成立;假设0()n k k n =≥时()P k 成立, 能推出1n k =+时(1)P k +也成立.根据（1）、（2）知, 对一切自然数0()n n n ≥,()P n 成立.第一数学归纳法的第一个步骤是奠基, 是命题论证的基础；第二个步骤是归纳, 是命题的正确性能够由特殊递推到一般的依据. 这两个步骤密切相关, 缺一不可. 如果只有奠基步骤而没有归纳步骤则属于不完全归纳法, 因而论断的普遍性是不可靠的. 如果只有归纳步骤而没有奠基步骤, 则归纳的假设就失去了依据, 从而是归纳法步骤的证明失去意义. 甚至会导致一些错误. 下面我们来看几个例子.误区一：忽略了归纳奠基的必要性.例1 试证明(1)12312n n n +++++=+. 错证：假设n k =时等式成立, 即(1)12312k k k +++++=+, 当1n k =+时.1231k k ++++++(1)112k k k +=+++(1)(2)12k k ++=+ 则1n k =+时等式成立. 根据数学归纳法原理可知, 当n 是任意自然数时, 等式都成立.事实上我们知道这个题目本身就是错的, 但是我们竟然把错误的结论“证明”出来了, 此种怪现象出现的原因, 就是缺乏归纳奠基这一步.切莫以为归纳基础这一步就是“当1n =时命题正确”这么一句话, 似乎无关紧要, 可有可无. 从上例可以看出, 不去认真的验证这一步, 或者根本没有这一步, 都可能陷入错误之中.误区二：忽略了归纳递推的必要性例2 求证:22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ 错证：当1n =时, 得21112316=⨯⨯⨯=；这时等式成立. 假设n k =时, 这个等式成立；也就是说假设22221123(1)(21)6k k k k ++++=++. 当1n k =+时, 222221123(1)(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k ++++++=+++++ 而 11(1)[(1)1][2(1)1](1)(2)(23)66k k k k k k +++++=+++ 所以222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++ 也就是说, 当1n k =+时, 这个等式也是成立的.归纳步骤完成, 结论成立. 乍看起来, 上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤, 特别是也有了第二个步骤, 但事实上, 在证明等式222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++ 的过程中根本没有用到22221123(1)(21)6k k k k ++++=++这个式子. 所谓从“k ”到“1k +”的过程, 意思是必须把“n k =”时的命题, 当作已经给定的条件（假设）, 在这个基础上来证明“1n k =+”时的命题.上面这个证明的过程中, 只不过是把要证明的公式加以“注解”而已, 等于什么也没有做.正确的证法应该是：22221123(1)(21)6k k k k ++++=++ 在这个等式两边都加上2(1)k +,得2222221123(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=+++ 而 21(1)(21)(1)6k k k k ++++ 1(1)[(21)(1)]6k k k k =++++ 21(1)[266]6k k k k =++++ 21(1)[276]6k k k =+++ 1(1)(2)(23)6k k k =+++. 所以 222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++. 这就是说, 当1n k =+时, 这个等式是成立的.归纳步骤完成, 就可以断定, 对于任何自然数n , 这个等式都能成立. 误区三：忽略了归纳递推与归纳奠基之间的协同配合例3 试证任何n 个人都一样高.错证：当1n =时, 命题变成“任何一个人都一样高”, 结论显然成立. 设n k =时, 结论成立, 即“任何k 个人都一样高”, 那么, 当1n k =+时将1k +个人记为121,,,k k A A A A +,由归纳假设, 12,,,k A A A 都一样高, 而23,,A A 1,k k A A +也都一样高,故121,,,k k A A A A +都一样高. 根据数学归纳法原理, 任何人都一样高.显然, 例题3的题目是错误的, 但是错证中数学归纳法的步骤齐全, 这次的问题出在什么地方呢？我们注意到在上述归纳推理步骤中, 有一个步骤是这样的：“由归纳假设, 12,,,k A A A 都一样高, 而231,,,k k A A A A +也都一样高,故121,,,k k A A A A +都一样高. ”仔细推敲, 不难发现, 这个推理只有在2k ≥时才能成立, 而在1k =时不成立. 这就是说, 尽管由2n k =≥时命题成立, 可以推出1n k =+时命题也成立, 但是由1n =时命题成立, 不可能推倒出2n =时命题成立. 此例中显然还需要“2n =时命题成立”作为它的归纳奠基, 这显然是不会成立的. 这道题问题就出在归纳递推步骤与归纳奠基的协同配合.上面举的几类错误地应用数学归纳法的例子, 实际上通过这些例子说明了应用数学归纳法应当注意的地方. 让大家明白数学归纳法的两个步骤是密切联系、缺一不可的.3.2 数学归纳法的应用在上一部分我们说明了数学归纳法的步骤及误区, 并且我们可以知道数学归纳法是一些涉及自然数的论断, 我们可能会这样问：“是不是涉及自然数的论断都可以用数学归纳法呢？或者什么时候用数学归纳法呢？”这个问题较难回答, 主要是决定于问题的具体情况.例如, 要证明对于任意自然数n , 等式2(3)(1)23n n n n +-=+-成立. 我们可以直接计算左边式子而得到证明. 又如, 如果a b <,,a b 都是自然数, 要证明对于任意自然数n , 有a a n b b n+<+. 这里, 我们可以利用分数的基本性质, 通过计算来证明这个不等式成立. 像这类问题就不必用数学归纳法.但是对于那些无法直接计算而必须按从小到大的顺序逐步计算的式子, 要证明这些论断的正确性, 一般需要应用数学归纳法. 运用数学归纳法, 可以证明下列问题：与自然数n 有关的恒等式、代数不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等.下面说明数学归纳法在一些数学问题中的应用3.2.1 用归纳法证明代数恒等式例4 (全国高考试题)证明下列恒等式Ⅲ：()()()()()()22222212233445212221143n n n n n n n ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--+=-++⎣⎦证明：当1n =时, 左边=22122341814⨯-⨯=-=-；右边()()11141314=-+⨯+=-. 等式成立.假设当n k =时等式成立, 即()()()()()()22222212233445212221143k k k k k k k ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--+=-++⎣⎦当1n k =+时,()()()()()()()()222222221223344521222121222223k k k k k k k k ⎡⎤⨯-⨯+⨯-⨯++--++⎣⎦⎡⎤++-++⎣⎦()()()()()()2214321222223k k k k k k k ⎡⎤=-+++++-++⎣⎦()()()()()()214321221123k k k k k k k ⎡⎤=-++++++-+⎣⎦()()()()1432167k k k k k =-++-++()()2141514k k k =-+++ ()()()1247k k k =-+++()()()111413k k k =-+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦说明当1n k =+时等式也成立, 恒等式对任何正整数n 都成立.3.2.2 用归纳法证明不等式例5 设01n a <<, 用数学归纳法证：()()()12121111n n a a a a a a --->----证明：当1,2n =时, 101a <<, 201a <<, ()()121212111a a a a a a --=---, 所以()()1212111a a a a -->--,假设n k =时, ()()()12121111k k a a a a a a --->----成立．证明1n k =+时, ()()()()()()()12112112112112111111111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++---->-----=-----++++>----- 也成立. 所以原命题成立.3.2.3 用数学归纳法解决整除问题运用数学归纳法来证明整除问题, 是充分运用整除的性质, 即：/,/h f h g 则/h f g +.例6 证明22633n n n +++能被11整除.证明：当n=l 时, 22633n n n +++=2363366++=能被ll 整除.假设n k =时, 22633k k k +++能被ll 整除.则当1n k =+时,()()()()2112122222226333663333366363333363333366333333k k k k k kk k k k k k k k k k ++++++++++=⨯+⨯+⨯=⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=++-+由于22633k k k +++能被1l 整除, ()23333k k ++能整除ll,所以()()222366333333k k k k k ++++-+能整除ll .即当1n k =+时命题也成立. 根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切n N *∈成立.3.2.4 运用数学归纳法证明与数列有关的命题例7 设数列{}n a 的前n 项和为nS , 若对于所有的自然数n , 都有()12n n n a a S +=, 证明：{}n a 是等差数列.分析：要证明{}n a 是等差数列, 可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式, 即证：()11n a a n d =+-. 命题与n 有关, 考虑是否可以用数学归纳法进行证明.证明：设21a a d -=, 猜测()11n a a n d =+-.当1n =时, 1n a a =, 当1n =时猜测正确.当2n =时, ()11221a d a d a +-=+=,当2n =时猜测正确假设当()2n k k =≥()2n k k =≥时, 猜测正确, 即：()11k a a k d =+-.当1n k =+时,()()()11111122k k k k k k a a k a a a S S ++++++=-=- 将()11k a a k d =+-代入上式, 得()()()11112121k k a k a a ka k k d ++=++---整理得()()()11111k k a k a k k d +-=-+-因为2k ≥, 所以11k a a kd +=+, 即1n k =+时猜测正确.综上所述, 对所有的自然数n , 都有()11n a a n d =+-,从而{}n a 是等差数列. 评注：将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n 成立的问题.在证明过程中a 的得出是本题解答的关键. 利用已知的等式()12n n n a a S +=,数列中通项与前n 项和的关系11k k k a S S ++=-建立含a 的方程, 代人假设成立的式子()11k a a k d =+-解出1k a +. 另外, 不能忽视验证1n =、2n =的正确性,本题 用数学归纳法证明时递推的基础是2n =时等式成立,因为()()1111k k a k a +-=-+ ()1k k d -得到11k a a kd +=+的条件是2k ≥.3.2.5 用数学归纳法证明几何问题例8 平面内有n 个圆, 其中每两个圆都相交于两点, 且每三个圆都不相交于同一点. 求证：这n 个圆把平面分成22n n -+个部分.证明：当1n =时, 一个圆把平面分成两部分, 21122-+=, 命题成立. 假设当n k = 时命题成立, 即k 个圆把平面分成22k k -+.当1n k =+时．这1k +个圆中的k 个圆把平面分成22k k -+个部分, 第1k +个圆被前k 个圆分成2k 条弧, 每条弧把它所在部分分成了两个部分, 这时共增加了2k 个部分．即1k +个圆把平面分成()()()2222112k k k k k -++=+-++ 即命题也成立.根据数学归纳法第一步与第二步可知, 等式对一切n N *∈成立.从上面的一些例子可以看到, 数学归纳法在代数、几何等方面都有很广泛的应用, 当然这些例子只是九牛一毛, 例如运用数学归纳法证明三角函数的求和公式, 证明组合里的一些公式, 证明函数的各种性质, 以及在微积分行列式一些证明中的应用等等. 总之, 遇到一个涉及自然数的问题的时候, 首先我们要考虑的是, 有没有简单直接的方法来把它算出来. 如果没有简单直接的方法, 就可以用数学归纳法来试试, 至于那些从对1,2,3n =等情况递推而归纳出的结果, 它的正确性, 一般要用数学归纳法来证明.4 第一数学归纳法的技巧应用数学归纳法证题, 易陷入困境的常在第二步, 解决这个问题并无万能方法, 应该遵循的基本原则：积极创造条件, 有效利用归纳假设, 巧妙变形过渡,4.1 欲进先退若在由()P k 到()1P k +的推导过程中陷入困境, 不妨先由()1P k + 退到()P k , 然后用归纳假设再进回到()1P k +. 退的技巧有很多, 常用的有撤出、合并等.4.1.1 撤出例9 有()21n n N +∈个飞机场, 每个飞机场都有一架飞机, 各个飞机场之间的距离互不相等. 现让所有的飞机一起起飞, 飞向最近的机场降落, 求证必存在一个机场没有飞机降落.证明：当1n =时, 设3个飞机场为,,,A B C 其中BC⎪⎪<⎪AB⎪,BC AC ⎪⎪<⎪⎪,则,B C 间的飞机必定对飞. 而不管A 机场的飞机飞向B 还是飞向C , 都使A 机场无飞机降落.现假设n k =时命题成立, 当1n k =+时, 由于机场之间的距离两两不等, 必有两处机场的距离是最近的, 这两处的飞机会对飞, 不会影响其他机场. 我们将这两个机场先撤出, 由归纳假设, 剩下的21k +个机场中, 存在一个机场P 没有飞机降落, 再把撤走的机场放回, 则P 仍无飞机降落, 从而可知当1n k =+时命题成立.4.1.2 合并例10 设有2n 个球分成了许多堆, 我们可以任意选甲, 乙两堆来按照以下规则挪动：若甲堆的球数p 不少于乙堆的球数q , 则从甲堆拿q 个球放到乙堆去, 这样算挪动一次, 求证:可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆.证明：当1n =时, 共有2个球, 若已成一堆, 则不必挪动；若分成两堆, 则挪动一次便可成功.假设n k =时命题成立, 当1n k =+时,对于12k +个球, 若将2个粘合成1个便退到2k 个球的情况, 这种粘合要求每堆球的个数为偶数, 可讨论如下：若每堆球的个数为偶数, 则每挪动一次都挪动了偶数个球, 这样的任意一次挪动与将球两两粘合在一起挪动无本质区别, 从而等价与2k 个球的挪动, 根据归纳假设, 这是可以做到的.若存在球数为奇数的堆, 则由总球数为偶数知, 有奇数的堆数为偶数, 将它们配对先挪动一次, 于是每堆球数都为偶数, 问题可以解决.4.2 构造在用数学归纳法证明某些问题时, 从n k =到1n k =+的证明中有时需要巧妙构造.例11 对每个2n ≥, 求证存在n 个互不相等的正整数12,,n a a a ,使得()()i j i ja a a a -|+,对任意的{},1,2,,i j n i j ∈≠成立. 证明：当2n =时, 取121,2a a ==, 命题显然成立.假设n k =时命题成立, 即存在12,,k a a a 满足()()i j i j a a a a -|+,记b 为12,,k a a a 及它们每两数之差的最小公倍数,则1k +个数b ,12,,k a b a b a b +++也满足()()t t a b b a b b +-|++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,()1,2,t k =,()()()()i j i j a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤+-+⎪+++⎣⎦⎣⎦,(),1,2,i j k i j =≠,即命题对1n k =+时成立, 由数学归纳法知命题得证.上例证明中从n k =到1n k =+的过渡用到了较高的构造技巧.4.3 凑配有些问题从n k =到1n k =+证明过程中需要凑配出一些特定形式.例12 设数列n n a n =, 求证：当3n ≥时, 1n n a a +<.证明：显然, 题设数列是正数列当3n =时, 4264428a ===, 而36339a ====, 所以43a a <,原不等式成立.假设3n k =≥时, 有11k k k ++<,即 ()11k k k k ++<, ()1当1n k =+时,要证2121k k k +++<+, 即要证()()1221k k k k +++<+, ()2 由()1式两边分别乘以()12k k ++, 从而()()()()11121221k k k k k k k k k +++⎡⎤++<+<+⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 两边消去()1k k +, 得()()1221k k k k +++<+.两边开()()12k k ++次方即得2121k k k +++<+.即当1n k =+时, 原式成立.综上, 证得原命题成立.上例证明第二步若要直接将()1代入()2是困难的, 因此用凑配法, 先在()1的两边乘以()12k k ++, 问题就迎刃而解了.4.4 先猜后证有些题目的结论是不容易以下求得的, 根据特殊到一般的规律, 先从符合题意的最小基数0n n =入手, 探索0n n =, 01n n =+, …等个别特例的结果, 发现、总结其规律性. 对一般的自然数n 给出一个猜想, 再用数学归纳法论证这个猜想的正确性. 即先猜后证.例13 设列{}n a 的通项公式为()()12131,2n n a n n -=+=求数列的前n 项和的公式.解：因为 ()111121133S a -==⨯+⨯=,()212212322131823S S a -=+=+⨯+⨯==⨯,()231233222323139333S S a -=+=⨯+⨯+⨯=⨯=⨯,()3413443433241312343S S a -=+=⨯+⨯+⨯=⨯=⨯,至此, 可以猜测数列的前n 项和公式是()31,2,n n S n n == ()3下面用数学归纳法证明. 当1n =时由上述计算可知公式()3是正确的.设公式当()4n k k =≥时正确, 当1n k =+时,因为()()()111321333313k k k k k k k S S a k k k k +++=+=++=+=+⎡⎤⎣⎦故公式()3当1n k =+时也是正确的.因此, 公式()3对一切自然数n 都成立. 即()3是数列｛｝前n 项和公式. 这种求和方法——观察-归纳-证明, 实质上是一种由不完全归纳到完全归纳的方法. 由于这种方法中, n S 的形式要从1S , 2S , 3S , 4S 等几个数值中看出来, 因而对1S , 2S , 3S , 4S 等几个数值的化简式变形就成了关键, 只有待其体现了某种规律时, 才有可能猜想出n S 的形式.4.5 顺势分流假如要做一件事, 一下子做不了, 我们不妨把其中能做的那一部分分出来先做了, 然后再去做剩下的一部分. 假如用数学归纳法证题, 一下子证不出来, 我们不妨把其中能用数学归纳法的证明的那一部分分出来先证, 然后再去证明剩下的那一部分, 我们把这种方法叫做顺势分流, 即顺着数学归纳法之势, 将能做的与不能做的分开处理.例14 试证：对于一切自然数n , 都有222n n +>.分析：当1n =时结论显然成立, 设n k =时结论成立, 即222k k +>,当1n k =+时,()()()()212222212222322331k k k k k k k k k k ++-+=+---≥---=-+ 此时发现, 仅当3k ≥时,才有()212210k k ++-+≥. 这就是说, 仅当3k ≥时, 命题n=k+1成立.因此我们不得不将3n ≥的情况与2n ≤的情况分开来处理, 具体的说, 我们可以采用以下的方式证题：①直接验证2n ≤时不等式成立, 即验证1,2n n ==时不等式成立；②用数学归纳法证明3n ≥时不等式成立, 即验证“3n =时对, 假设3n k =≥时对, 推证1n k =+时成立”.命题即可得证, 证明从略.通过上述论证可以看出, 数学归纳法的论证十分的灵活多变, 要完全掌握这一方法单靠死记硬背是行不通的, 关键是要培养自己的逻辑思维能力, 把握住归纳奠基与归纳递推所展示的逻辑链, 而逻辑思维能力是一个需要毕生精力不断苦练的功夫.5 小结通过上述论证可以看出, 数学归纳法是十分有效的方法, 也是一种认识可数无限集合性质的重要方法. 使用数学归纳法进行论证, 将会更深刻的理解所 要论证的命题, 实现由有限到无限的飞跃.当然, 并非一切与自然数有关的命题的证明都一定要采用数学归纳法, 有些命题虽与自然数有关, 但不用数学归纳法也可以证明. 另外, 对于有些问题运用数学归纳法比较简便, 而另一些问题则以不用数学归纳法较为方便. 因此在具体。
浅谈数学归纳法
浅谈“数学归纳法”论文摘要：“观察—归纳—猜想—论证”的思想方法，既能发现问题，又能证明结论，还能激发学习兴趣，它是由揭露个别事物或某一对象的部分属性过渡到一般或整体的思维形式。
由于归纳推理的过程和人类认识进程的一致性，因而这种推理方法显得非常自然，容易被人接受，是认识数学真理的一个重要手段，其地位越来越重要，数学归纳法正是应用这一思想方法来证明某些与自然数n有关的数学命题的一种方法。
本文简单总结了一下它的基本依据和证明过程，以及它两个条件的内在联系，然后回顾了一下数学归纳法的各种其他形式，在原来的基础上拓宽了对数学归纳法的认识。
最后举例说明数学归纳法的应用，其中有代数、不等式方面的证明，也有几何方面的典型例子，从中可以窥见数学归纳法的强大功能。
正文：已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。
Maurolico利用递推关系巧妙的证明出证明了前n个奇数的总和是n^2，由此揭开了数学归纳法之谜。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有正整数时一个表达式成立，这种方法是由下面两步组成：（1）递推的基础：证明当n=1时表达式成立。
（2）递推的依据：证明如果当n=m时成立，那么当n=m+1时同样成立。
这种方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。
如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
或许想成多米诺效应更容易理解一些，如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么如果你可以确定：第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与之相邻的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。
这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。
数学归纳法在中学数学证明中的应用本科毕业论文(可编辑)
摘要数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,同时也是数学命题证明的一种数学思想.针对与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明,在中学数学课堂教学及证明中具有广泛的运用,本文对它在中学数学不同类型证明中作简要分析,目的在于培养学生观察能力、逻辑思维能力、形象思维以及解决整体性问题的能力.数学归纳法作为由特殊概括出一般的一种思维方法,具有两种基本意义,首先数学归纳法是一种推理方法,称为归纳推理,它可以为我们提出猜想,为论证提供基础和依据.其次归纳是一种研究方法,归纳是一种又创造性的探索式思维方法,能开发智力,拓宽思路,引出猜想,它在发现问题和探索解题途径的过程中起着重要作用.数学归纳法可按照它的概括事物是否完全分为两种基本形式??不完全归纳和完全归纳.本文还介绍了在数学解题过程中归纳发现的思考方法:利用归纳法发现和提出数学猜想,利用归纳法发现问题的结论,运用归纳法发现解题途径等.关键词:数学归纳法;不完全归纳法;完全归纳法;中学数学;应用AbstractMathematical induction is a kind of reasoning methods, which is used to prove some propositions related mathematical natural number, it is also a kind of mathematical proposition proof mathematical thoughts. According to the concerned with natural number , algebraic inequalities identities, triangular, inequality series problem, geometry problems, division of sexual problems ,it has widely applied to the classroom teaching and proof in high school. As different mathematical inductions have different types of proof in middle school, this paper makes a brief analysis aims to cultivate the students' observation, logical thinking ability, visual thinking and solving integrity question ability. Mathematical induction, as summarized by the general as a special way of thinking, has two basic meanings, the first mathematical induction is a kind of reasoning, known as inductive reasoning, it can bring up us suppose ,Provide the basis and foundation for the argument. Second, induction is a research method, induction is a creative exploration of another type of thinking, can develop intelligence, broaden thinking,leads to speculation, it plays an important role in finding the problem and ways to explore the process of problem solving. Mathematical induction, in accordance with its general matter is completely divided into two basic forms - incomplete induction and complete induction. This article also describes the process of mathematics problem solving way of inductive methods of discovery: using mathematical induction to find and put forward mathematical suppose, using induction to find conclusions of the problems, using induction to find problem-solving approach.Keywords: mathematical induction;mathematics of middle school;application目录第1章绪论 1第2章数学归纳法的概述 12.1 数学归纳法的来源12.2 数学归纳法原理 22.3 数学归纳思想??从特殊到一般 22.4 数学归纳思想??递推思想 22.4.1 什么叫推理? 22.4.2 推理的形成 32.4.3 数学归纳法的形式 3第3章数学归纳法应注意的几个问题33.1 应认真领会数学归纳法的实质 43.2 与自然数有关的具体命题内容的理解 43.3 对数学归纳法原理的理解 4第4章数学归纳法在几种命题中的应用举例 54.1 运用数学归纳法证明数列问题 54.2 运用数学归纳法证明不等式问题 54.3运用数学归纳法证明几何问题 64.4运用数学归纳法证明整除性问题74.5运用数学归纳法证明三角恒等式问题8第5章数学归纳法在中学数学中的地位和作用8第6章结束语9致谢9参考文献9第1章绪论数学归纳法是数学中一种重要的证明方法,用于证明与自然数有关的命题.一旦涉及无穷,总会花费人们大量的时间与精力,去研究它的真正意义.数学归纳法这个涉及“无穷”而无法直观感觉的概念,自然也需要一个漫长的认识过程.一般认为,归纳推理可以追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯时代.毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的.他由有限个特殊情况而作出一般结论,具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理.完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明.其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理.16世纪中叶,意大利数学家莫罗利科F?Maurolycus对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究.莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,那不是严格意义上的数学证明,要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的[1],因为自然数有无穷多个.那么对于这类问题该如何解决呢?1575年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法.法国数学家B?帕斯卡Pascal对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬.在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”--项展开式系数表,中国称为“贾宪i角性”或“杨辉三角形”等命题.“数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家A.德?摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中.德?摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”,故赋予它“逐次归纳法”的名称.由于这种方法主要应用于数学命题的证明,德?摩根又提出了“数学归纳法”这个名称.虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了,一直以来它的逻辑基础都是不明确的.1889年意大利数学家皮亚诺G.Peano 建立了自然数的序数理论,将“后继”作为一种不加定义的基本关系,列举了自然数不加证明的五条基本性质,其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础.至此,数学归纳法有了严格的逻辑基础,并逐渐演变为一种常用的数学方法.我国著名的数学家华罗庚曾说:“把数学归纳法学好了,对进一步学好高等数学有帮助,甚至对认识数学的性质,也会有所裨益.”数学归纳法是数学中一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法,已知最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico 的Arithmeticorum libri duo 1575年[2].Maurolico 证明了前个奇数的总和是,最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当属于所有自然数时一个表达式成立.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在或时成立,这是递推的基础;第二步是假设在时命题成立,再证明时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限.这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或且)结论都正确[2].宏观来看,数学归纳法看似单一,可看作一个公式来证明命题,实则不然,它要求学生掌握必备的知识与技能,同时还要有一定的逻辑思维能力等.最后我们通过运用数学归纳法的了解和运用数学归纳法解决一些与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等的证明,最终熟练掌握“归纳??猜想??证明[2]”这一思维方法,这也是中学数学课堂教学的一项重要内容.第2章数学归纳法的概述数学归纳法作为数学命题证明中的一种重要方法,有其独特的历史来源、基本原理、推理思想以及固定模式.2.1 数学归纳法的来源数学归纳法来源于皮亚诺(peano)自然公理[4],其用非形式化的方法叙述如下:(1)1是自然数;(2)每一个确定的自然数都有一个确定的后继数,记作或,也是自然数;(3)如果、都是自然数,那么 ;(4)1不是任何自然数的后继数;(5)如果一些自然数的集合S具有性质:11在中;2若在中,则也在中.那么公理中(5)就为数学归纳法提供了依据,保证了数学归纳法的正确性,从而被称为归纳法原理.2.2 数学归纳法原理不同的领域数学归纳法有不同的形式,在中学数学中,数学归纳法原理有以下两种基本形式[4]:1)第一数学归纳法设是一个关于正整数的命题,如果(1)成立奠基;(2)假设成立,可以推出成立归纳;那么,对一切大于等于的自然数都成立.2)第二数学归纳法设是关于自然数的命题,若(1),()成立奠基;(2)假设 ,成立,则成立归纳;那么,,成立.两种数学归纳法都是分两步完成,第一步是推理的过程,第二步是递推的依据.也就相当于是对一切自然数,命题成立的话,那么后面的一个自然数都满足命题成立[4].即在前一个命题成立的前提下,后一个命题就一定成立.这样依次递推下去就有了命题对任意(,成立.这也就将有限的问题转化为无限次的验证过程了,体现了数学归纳法由无限到有限的转化.2.3 数学归纳思想??从特殊到一般“从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律,而在人类探索世界奥秘的奋斗中诞生和发展起来的任何一门学科,都将受到这一规律的制约.数学当然也不例外,同样要被纳入这一规律的模式之中.由于事物的特殊性中包括着普遍性,即所谓共性存在于个性之中,而相对于“一般”而言,特殊的事物往往显得简单、直观和具体,并为人们所熟知.另一方面,由于“一般”概括了“特殊”,“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质,因而当我们在处理问题的时候,若能置待解决的问题于更为普遍的情形中,进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形的思考方式,不仅是可行的,而且是必要的.正因为如此,实践和归纳成了数学家寻找真理和发现真理的主要手段.如勾股定理,多面体的面顶棱公式,前个自然数的立方和公式,二项展开式和杨辉三角形等,无一不是观察、实验和归纳的结果.伟大的数学家欧拉曾说“数学这门科学,同样需要观察、实验”.无独有偶,大数学家高斯也曾说过,他的许多定理都是靠归纳法发现的,证明只是一个补行的手续.纵观古今,科学的发展史其实也是一部观察史、一部猜想史,更是一部论证史.数学的发展更是这样的.科学结论的得到大致包含以下几个阶段:观察、实践→推广→猜测一般性结论→论证结论.而数学归纳法恰恰是论证结论的最佳方法.这与数学大师所说的“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上论证这一规律的一般性,这是人们认识自然的客观法则之一”的观点大致相同.2.4 数学归纳思想??递推思想[5]数学归纳法独到之处便是解决了有限与无限这一矛盾,即运用了有限个步骤解决无限多种数学情况,实现这一目的的工具就是递推思想.递推也就存在推理,既然是推理的过程,那就为数学归纳法奠定了基础,那推理是如何体现数学归纳法的呢?2.3.1 什么叫推理?由旧知识通过实践、推理、验证,得出新知识的过程就叫推理[5].2.3.2 推理的形成:1°大前提:认可一些事理2°小前提:和大前提相关的一些特殊事实3°结论:依据大小前提做出判断以上就是我们所说的三段论法,就推理思维方式的不同得出归纳法的定义,也就是有特殊到一般的推理就是数学归纳法.2.3.3 数学归纳法的形式对可数的事物要证其具有某种共有的性质,不可能一一加以证明,这时就需要用数学归纳法.原理[5]:将可数事物按自然数的系列排列为:,,若 1°具有性质;2°在该系列中有遗传性,即:当有性质时,必有性质,则自以后的都具有性质.步骤[6]:1°将研究对象按自然数系列对应的顺序排列;2°证明命题对系列的首项来说为真;3°假定命题对系列中任意指定项都为真;4°证明其后一项也为真;5°作出判断,得出结论.数学归纳法就推理证明的过程是很简单明了的,只要涉及与自然数有关的命题证明,很容易反应到数学归纳法的思想,可推理和证明的三段式理论真正掌握,还得有其独特的推理过程及逻辑结构.它要求学生掌握必备的知识与技能,在利用数学归纳法证题时,就存在各种技巧上的应用,同时数学归纳法的难点还是在于运用这种整体思想来穿插于其他不同类型的证明方法上[7].因此我们对于数学归纳法的理解和应用上还得给予足够的重视,证法单一,运用却十分广泛.第3章数学归纳法应注意的几个问题数学归纳法是中学数学中的一种重要的证明方法,它在中学数学中占有很重要的地位.对于初学者来说这部分内容学起来虽困难不大,它呈现出固定的程式,人们一般容易简单模仿,而在具体问题的运用中就会出现力不从心,错误百出,在应用数学归纳法证明题目时,就容易出现许多问题,值得注意.3.1 应认真领会数学归纳法的实质数学归纳法由“奠基”和“归纳”两步组成,在归纳过程中必须用到“归纳假设”.对数学归纳法递推思想证明与自然数有关的数学问题时,不仅要掌握一定的知识背景,同时还应具备一定的转化和技巧性[8],比如常用到得数学思想:放缩法、解析法等.现概括出数学归纳法推证步骤程序图[8]如图3-1:3.2 与自然数有关的具体命题内容的理解利用数学归纳法可以证明一类与自然数有关的数学命题,但不是只要与自然数有关的命题都可用数学归纳法求证,有时就具有可靠性的,“哥德巴赫猜想”的证明除我国数学家陈景润得以证明外,至今就没有哪位能用数学归纳法加以证明.同时,不是一切与自然数有关的命题用数学归纳法证就是最简捷,同样存在一定的局限性.图3-1 数学归纳法推证步骤程序图3.3 对数学归纳法原理的理解数学归纳法证明的第一步中的取值应该和题目条件确定的第一个自然数取值开始,有时不一定就是自然数1,还有情况下可能不只取一个,在一般的情况下,只要建立起递推的关系即可[11].在第二步中由归纳假设到推理的下一步是关键,这里我们需要注意的地方有两点:1°必须要用到归纳假设;2°在已有的归纳假设结论的基础上,根据具体问题和已有的知识链合理选取与问题相关的定理、公理、性质等加以论证.利用数学归纳法证明时,两个步骤缺一不可,即有第一步没有第二步或是只有第二步没有第一步的过程,对要验证的结论都不一定可靠,递推思想,先从一般开始入手,然后对有限的结论作假设,再推广到无限的假设进行验证,得出结论[6].形成以验证、假设、证明的过程,这样的推理验证才具有一定的可靠性.第4章数学归纳法在几种命题中的应用举例4.1 运用数学归纳法证明数列问题中学我们在学习数列时就与自然数有直接的关系,因此在求解数列问题的证明中就常常用到数学归纳法来证明.例1[9] 已知数列的通项公式,数列的通项满足,用数学归纳法证明.证明(1)当时,成立;(2)假设,则.即时命题成立.由(1)(2)得得证.例2 试证明:等差数列的前项和由下列公式表示:=+.证明:1、当时,公式是正确的,=.2、假设当时公式正确,即=+,当时,= .因此,对一切自然数的值,前项和公式都是成立的.点评在做此类型的题时容易出错的是:既然是任意的自然数,就是正确的,那么也是正确的,这很容易理解.可是一旦第二步假定出来,它就是一个固定的自然数了,所以说由的假设后,必须验证时命题也正确才可作出结论,这也就出现了数学归纳法问题的跨越,发生质的转变,也正是数学归纳法的精髓所在.4.2 运用数学归纳法证明不等式问题利用数学归纳法证明一些不等式的情形,常常需要我们利用一些等量转化或放大(缩小)不等式的方法来解决.例3 设=++…+ ,证明:.分析与自然数有关,考虑用数学归纳法证明.时容易证得,时,因为,所以在假设成立得到的不等式中同时加上,再与目标比较而进行适当的放缩求解.证明 (1)当时,=,+1=,=2 ,∴时不等式成立.(2)假设当时不等式成立,即:,当时,++,++= ,+=+++=.所以,即时不等式也成立.由(1)(2)得对所有的,不等式恒成立.例4[10] 设和.(n1)求证:证明:1、当时,因,,所以,即 ,命题显然成立.当时,由.可知命题也成立.2、假设当的时候命题成立,则当时, ,即,可以推出,故当时,命题成立,于是对于任意大于1的自然数,原不等式成立.点评用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,注意适当选用放缩法.本题中分别将缩小成k+1、将放大成+的两步放缩是证时不等式成立的关键.为什么这样放缩,而不放大成+2,这是与目标比较后的要求,也是遵循放缩要适当的原则.4.3运用数学归纳法证明几何问题例 4[11] 平面内有条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,求证:这条直线把平面分成个部分.证明 (1当=1时,一条直线将平面分成两个部分,而,∴命题成立.2假设当时,命题成立,即条直线把平面分成个部分,当时,即增加一条直线,因为任何两条直线不平行∴与条直线都相交有个交点;又因为任何三条不共点,所以这个交点不同于条直线的交点,且个交点也互不相同.如此这个交点把直线分成段,每一段把它所在的平面区域分为两部分,故新增加的平面分为.∴时命题成立.由(1),2)可知,当时,命题成立.4.4运用数学归纳法证明整除性问题例5[12] 当,求证:能被整除证明 1当时,能被整除,命题成立2假设时,命题成立,即能被整除当时,根据归纳假设,能被整除,又能被整除.∴ 11k+1+122k+1-1能被整除,即时,命题成立.由1,2命题时都成立.点评用数学归纳法证明有关数或式的整除问题时,要充分利用整除的性质,若干个数(或整式)都能被某一个数(或整式)整除,则其和、差、积也能被这个数(或整式)整除.在由时命题成立,证明命题也成立时.要注意设法化去增加的项,通常要用到拆项、结合、添项、减项、分解、化简等技巧4.5运用数学归纳法证明三角恒等式问题例6[13] 用数学归纳法证明:,分析本题第一步的验证要取,在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式证明 1当时,右边左边,等式成立2假设当时,等式成立,就是.点评本题在第2步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式,即1,因此在用数学归纳法证明三角命题时,应针对时命题的特征,合理地选择和使用三角公式.证明三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式及三角的变换法.4.6运用数学归纳法证明函数迭代问题一些比较简单的函数,它的n次迭代表达式,可以根据定义直接代入计算,归纳出一般规律后,再用数学归纳法予以证明.所以,直接求法的本质,就是数学归纳法.其中,关键是通过不完全归纳法,找出的一般表达式.例7 ,求.解:由定义,.,.一般地,由不完全归纳可猜测, .事实上,因为假定上式成立,则有,.所以,由数学归纳法知,对所有的自然数n都成立.例8 ,求.解:由定义,,,,一般地,可猜得,.假定上式成立,则有.由数学归纳法知,对所有自然数n都成立.第5章数学归纳法在中学数学中的地位和作用数学归纳法作为一种证明与自然数相关的论证方法,通常用来证明数学上的一些猜想,而这些猜想正式我们通过某种归纳方法所获得的.在中学数学证明中,它的地位和作用可从以下四个方面体现:1°从数学归纳法在教材中地位来看,教科书中多结论、公式、定理都可用数学归纳法来得到验证,如等比数列、等差数列以及求和公式,二项式定理的证明.一般与自然数有关的数学命题大多都可用数学归纳法来证.2°从给学生开阔视野的角度,在中学数学,数学归纳法主要用于证明题,给学生提供一个新的解题思路.3°从应试角度,数学归纳法是中学数学的必修课,也是考试必考的知识点,也是比较好拿分的知识点,还可以运用数学归纳法证明许多数学问题.4°从未来应用的角度,将来会涉及到计算机编程,数学归纳法是递归循环的简单形式,有利于学生今后理工科知识的理解和学习,为以后的高等代数等的学习打下良好基础.第6章结束语数学归纳法主要是针对一些与自然数的相关命题,所以在证明和自然数有关的命题中有着不可替代的作用,对于一些和自然数有关的长式子、繁式子都有化长为短、化繁为简的功效.用数学归纳法证明数学问题时,要注意它的两个步骤缺一不可,第一步是命题递推的基础,第二步是命题递推的依据,也是证明的关键和难点,两个步骤各司其职,互相配合,同时,数学归纳法的证明步骤与格式的规范是数学归纳法的特征,如时的假设是第二步证明的“已知”步,证明时一定要用到它,否则就不是数学归纳法,证三角恒等式时,常动用有关三角知识、三角公式以及三角的变换法.通过这些变换可以更容易的让命题得证.在证明时命题成立,要用到一些技巧,如:一凑假设,二凑结论,加减项、拆项、不等式的放缩、等价转化等,这些解题的技巧要在实践中不断总结和积累,总之要记住:“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写时莫忘掉”,这样我们才可以更好的运用数学归纳法.数学归纳法是一种重要的数学方法,也是中学数学的重难点之一,它在对于开阔眼界,训练推理能力等方面都有很大的帮助.在中学数学中,数学归纳法对于许多重要的结论,如等差数列、等比数列的通项公式与前项和公式,二项公式定理等都可以用数学归纳法进行证明,进而可以加深对教材以及知识的理解.当然不仅在中学数学中,在进一步学习高等数学的过程中,数学归纳法也是一种不可或缺的方法.致谢首先,要感谢我的指导老师何方国.在毕业论文和设计的完成过程中,何老师在百忙之中查阅和修改本论文,给予了很多悉心的指导,对论文的修改建议很细致,给予了很多完善论文的启发.通过与何老师问题的交流和整个论文的完成实现的过程,我在各个方面都得到了很大的提高,在这里,学生真诚地对何老师表示深深的感激与谢意.其次,还要感谢我的那帮可爱的同学们,在设计过程他们也给予了很多帮助,给予了我很多新奇的创意和开阔的思路,在此向她们表示感谢.参考文献[1]CajoriF.Orionof the Name“MathematicalInduction”[J].American Mathematical Monthly,1918,255:197,200.[2]史久一,朱梧?著.化归与归纳?类比?猜想.大连理工大学出版社,2008.[3]BusseyWH.The Ofin of Mathematical Induction[J].AmericanMathematicalMonthly,1917,245:200?202.[4] 蒋文蔚.数学归纳法[M].北京:科学出版社,2002:12-25.[5] 张奠宙.中国数学双基教学[M].上海:教育出版社,2006:15-36.[6] 吴谦.中学数学中常用的思想方法[J].内蒙古电大学刊,2008,34: 94-95.[7] 张黎明.数学归纳法的应用与技巧[J].民族师范学院学报,2001,51:44-46.[8] 吴厚荣.中学阶段《数学归纳法》的理解[J].文化与教育技术,2010,96:247-249.[9] 张玉芹.数学归纳法教学的几点思考[J].中学理科教学,1999,33:36-36[10]吴志翔著.证明不等式.河北人民出版社,1982[11] 郭兆高.数学归纳法在中学数学解题中的妙用[J].科技信息,2009,84:219-219.[12] 夏兴国.数学归纳法纵横法[J].科学技术出版社,2004,62:3-13.[13] 刘金山.数学归纳法证题时应注意的几个问题[J].数学教学研,1999,71:8-10。
数学归纳法原理(本科论文)
目录中文摘要英文摘要1 引言 (1)2 数学归纳法原理 (1)2.1 良序原理 (1)2.2 数学归纳法 (2)2.3 第二数学归纳法 (3)2.4 数学归纳法的有效性 (4)3 数学归纳法应用举例 (4)3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用 (4)3.2 数学归纳法在递归定义上的应用 (10)3.3 数学归纳法在递归算法上的应用 (13)参考文献 (17)数学归纳法原理及其应用举例摘要：数学归纳法原理是一种有效的证明方法.本文将介绍数学归纳法及其等价形式，并证明为什么它们是有效的.特别地，我们将用大量各种不同类型的例子来说明其应用。
这些例子有的来自于集合论，数论，有的来自于计算机科学等.关键词：良序原理，数学归纳法，第二数学归纳法，递归算法.Abstract: The principles of mathematical induction provide effective ways for valid arguments in mathematical proofs. This thesis will present these principles and their other equivalent forms, and will show why they work and particularly will show how they work by examples from diversified settings or areas of mathematics, e.g. set theory, number theory, computer algorithm, and so on.Key words:The well-ordering principle, the first principle of mathematical induction, the second principle of mathematical induction, recursive algorithm.1 引言首先使用数学归纳法的是意大利数学家和工程师马奥罗修勒斯（Francesco Maurocyulus ，1494-1575），他在1575年的著作《算术》（Arithmetica ）中，用数学归纳法证明了前n 个正奇数之和是2n .帕斯卡（Blaise Pascal,1623-1662）在他关于算术三角形（现在称为帕斯卡三角形）的著作中使用了归纳法.在他1653年的著作《论算术三角形》（Traite du triangle arithmetique ）中，在证明用来定义他的三角形的基本性质时，帕斯卡清晰地解释了归纳法.德摩根在1838年的一篇关于证明方法的论文中，把这个原理命名为“数学归纳法”.前n 个正奇数之和的公式是什么？对1n =，2，3，4，5来说前n 个正奇数之和是11=，134+=，1359++=， 135716+++=，1357925++++=根据这些值，有理由猜测前n 个正奇数之和是2n .假如事实上这个猜测是正确的，我们就需要一种方法来证明这个猜测是正确的.数学归纳法是证明这种类型的断言的极为重要的证明技术.2 数学归纳法原理2.1 良序原理所有数学都始于计数，计数就是把要计数的对象集合与几个起始自然数（或计算值）：1,2,3,4,5...一一对应的过程.我们用N 表示自然数这个无限集合，这里值得注意的是关于N 的定义并未达成共识，有些数学家把0也归入N .但这两种不同定义并不会引起太大的冲突，哪一种使用方便即可选择哪一种.自然数N 的一个基本性质是良序性，下面将对自然数的良序性进行形式化的论述，并且把它作为一个关于N 的公理.对于任何系统，公理是无需证明即为真的命题.为了对一个系统（这里指自然数）进行推理，首先需要对该系统做一些假设.尽管这些基本的假设常常不容易一眼就看出，但它应该是“合理的”和“显而易见为真的”.良序原理：自然数集N 的每个非空子集都有一个最小元素.显而易见，自然数N 的任何子集都可以通过列出实际元素的方式给定，即使对于不易直接定义的集合，该定理依然有效.例如，当x 和y 可取任意整数时，考虑1228x y +所表示的所有自然数集合.从定义看该集合的范围并不明显，但是根据良序原理，由于该集合非空（注意这很重要），集合中必有一个通过该方式表示的最小自然数.（当然，求具体的最小自然数的值是另外一回事.注意良序原理保证有一个最小数存在，但绝对没说如何去计算它.）例2.1.1 用良序原理证明算法的正确性.整除算法说：若a 是整数而且d 是正整数，则存在唯一的整数q 和r 满足0r d ≤<和a dq r =+.证明 设S 是形如a dq -的非负整数的集合，其中q 是整数.这个集合非空，因为dq -可以任意大（取q 是绝对值很大的负整数）.根据良序性，S 有最小元0r a dq =-.整数r 非负而且r d <.若不是这样，则S 里存在更小的非负整数，即0(1)a d q -+.为了看出这一点，假设r d ≥.因为0a dq r =+，所以00(1)0a d q a dq d r d -+=--=-≥.因此，存在满足0r d ≤<的整数r 和q .证明q 和r 都是唯一的，此处略.良序原理允许我们证明最有效的一个证明方法，即数学归纳法定理. 2.2 数学归纳法 对任何正整数n ，215811...(32)(37)2n n n +++++=+因为存在无限多个正整数，所以，在证明这个断言时，不能通过对n 的每个值逐一验证等式是否成立.有一种规范的方法可用来证明命题对所有的正整数都成立，这种方法称为数学归纳法原理.定理 2.2.1 假设要证明的命题能写成0()n n P n ∀≥，其中0n 是某个固定整数，即：假设希望证明对所有整数0n n ≥都有()P n 为真，那么如下方法可以说明如何做到这一点.假设（a ）0()P n 为真,和(b)如果对任一0k n ≥只要()P k 为真，那么(1)P k +也一定为真.于是对所有0n n ≥，()P n 为真.这种方法称作数学归纳法原理.因此，用数学归纳法原理证明命题：0()n n P n ∀≥为真，必须首先用直接法证明第一个命题0()P n 为真，称其为归纳法的基础步骤，并且通常来讲该步是非常容易的.然后必须证明对0n n ≥的任何选择，()(1)P k P k ⇒+是一个重言式.因为一个蕴涵为假的惟一情况是如果前提为真而结论为假，做这一步通常是证明如果()P k 为真，那么(1)P k +也一定为真.注意，它同假设对某个k 值()P k 为真不一样.这一步称作归纳步骤，并且某些工作通常要求证明蕴涵恒为真.2.3 第二数学归纳法与上述数学归纳法略有不同的形式在某些证明当中更易于使用.第二数学归纳法或强归纳法中，其归纳步骤是证明000()(()(1)(2)...())(1)k P n P n P n P k P k ∀∧+∧+∧∧⇒+是一个重言式.同前面一样，需要检验的唯一情况是如果每个()P j ，0,...,j n k =为真，那么(1)P k +为真.强归纳法与数学归纳法是等价的，在一个证明中使用哪一个取决于方便性.例 2.3.1 证明：每个正整数1n >能惟一地写成1212...s a a a s p p p ，其中i p 是素数且12...s p p p <<<.证明（用强归纳法）基础步骤 这里02n =，显然(2)P 为真，因为2是素数.归纳步骤 使用(2)P ，(3)P ，…，()P k 证明(1)P k +：1k +能惟一地写成1212...s a a a s p p p ，其中i p 是素数且12...s p p p <<<.需要考虑两种情况：若1k +是一个素数，则(1)P k +为真.若1k +不是素数，则1k lm +=，2l k ≤≤，2m k ≤≤.利用()P l 和()P m ，得1k +=lm =121212121212.........s u s b c a b b c c a a s u s q q q r r r p p p =，其中每个i j p q =或k r ，12...s p p p <<<.若i k j p r q ==，则i j k a b c =+，否则i j p q =且i j a b =或者i k p r =且i k a c =.因为l 和m 的因子分解是惟一的，所以1k +的因子分解也是唯一的.2.4数学归纳法的有效性为什么数学归纳法是一种有效的证明方法？原因在于良序原理.假定知道(1)P 为真，而且对所有正整数n 来说命题()(1)P n P n →+为真.为了证明对所有正整数来说()P n 都为真，假定至少存在一个()P n 为假的正整数.那么使()P n 为假的正整数S 非空.因此，根据良序性，S 有一个最小元，把它表示成k .可以知道k 不是1，因为(1)P 为真.因为k 是正的而且大于1，所以1k -是一个正整数.另外，因为1k -小于k ，它不属于S ，所以(1)P k -必然为真.因为蕴涵式(1)()P k P k -→也为真，所以实际情况必然是()P k 为真.这与对k 的选择相矛盾.因此对每个正整数n 来说()P n 必然为真.3 数学归纳法应用举例3.1 数学归纳法在解题和证明中的一些应用定理3.1.1 每一个大于1的整数要么是素数，要么是若干素数的乘积.证明：设n 为大于1的整数.证明将采用强数学归纳法原理，对n 作归纳.因为2是一个素数，所以命题对2n =是正确的.假设对某个整数1k >，当2,3,...,n k =时，命题为真.下面要证明1k +要么是素数，要么是若干素数的乘积.如果1k +是素数，那么证明已经完成.所以，假设1k +不是素数.于是，存在一个既不是1也不是1k +的正整数p ，p 整除1k +.所以，1k q p+=是整数，且1q ≠（否则1p k =+），1q k ≠+（否则1p =）.因此，p 和q 都是2到k 之间的整数（含2和k ）.所以可以对p 和q 运用归纳假设，即p 和q 不是素数就是若干素数的乘积，从而1k pq +=是若干素数的乘积.这就完成了归纳步骤，因此完成了定理的证明.注意，定理3.1.1虽然说明了大于1的正整数不是素数就是素数的乘积，但这个定理并不能帮助判断是两种情形中的哪一种.特别地，定理3.1.1也不能实际地找到特定的正整数的素数因子.例3.1.1 实验室里有容积相同的量杯盛着各种不同的液体，此外还有一只容积相同的空杯.证明：可以通过有限次混合手续，使它们成为成份相同的溶液，此外还余一个空量杯.分析：表面上看本题与数学归纳法没有联系，但若我们引入一个整数参数（原有溶液的杯数），我们就可以考虑应用数学归纳法.事实上，不妨设有n 杯各种不同的溶液，显然1n =时命题成.立假设n k =时命题成立,即k 杯溶液可以通过有限次混合手续，使它们成为成份相同的溶液.此外还有一个空杯，于是当再增加一杯时，我们只需把k 杯已混合好的溶液各倒11k +杯到空杯中，最后拿增加的那杯溶液去把上述1k +杯液体满，这样我们便得到1k +杯成份相同的液体，此外还有一个空杯，也就是说1n k =+时命题也成立.上面的分析告诉我们，很多与自然数n 有关的问题都可采用数学归纳法，而一个具体的问题能否用数学归纳法，以及取什么做n ，则取决于能否递推.只要有递推的希望，就不妨一试.例3.1.2 设1A ，2A ，3A ，…，n A 是任意n 个集合，用数学归纳法证明11n ni i i i A A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭（这是德•摩根定律的推广形式.）设()P n 是谓词：对任意n 个集合等式成立.用数学归纳法需证明，对所有1n ≥，()P n 为真.证明 基础步骤 (1)P 是命题11A A =，这显然成立. 归纳步骤 用()P k 去证明(1)P k +.(1)P k +的左边是1211...n i k k i A A A A A +=⎛⎫= ⎪⎝⎭121(...)k k A A A A += 的结合性质121(...)k k A A A A += 两个集合的德•摩根定律11k i k i A A +=⎛⎫= ⎪⎝⎭用()P k11k i i A +==(1)P k +的右边因此，蕴涵()(1)P k P k ⇒+的一个重言式，由数学归纳法原理可知对所有1n ≥，()P n 为真.例3.1.3 本例将要证明：对于任何正整数n ，如果从22n n ⨯的棋盘（每行和每列有2n 个方格）中移去任何一个方格，则剩下的方格可以用若干个L 形构件覆盖，每个L 形构件覆盖3个方格，如图1所示.图一证明 如图2所示，每个1122⨯的棋盘移去一个方格后，可被一个L 型构件覆盖.因此，结论对于1n =是正确的.现在假设对于某个正整数k 结论是正确的，即每个22k k ⨯的棋盘移去一个方格后，可用若干个L 形构件覆盖.下面要证明：任何一个1122k k ++⨯的棋盘移去一个方格后，可用L 形构件覆盖.如果1122k k ++⨯的棋盘在横向和纵向上都平分为两部分，就得到4个22k k ⨯的棋盘.其中的一个22k k ⨯被移去了一个方格，而另外3个是完整的，如图所示.从每个完整的22k k ⨯的棋盘中移去那个位于原1122k k ++⨯的棋盘中心位置的方格，如图3所示.由归纳假设知道，图4所示的所有4个移去了一个方格的22k k ⨯的棋盘都可以被L 形构件覆盖.因此，再用一个L 形构件覆盖原1122k k ++⨯的棋盘中央的3个方格，就可以用L 形构件覆盖原来的移去了一个方格的1122k k ++⨯的棋盘.这就证明了1k +的情况.根据数学归纳法原理，对每一个正整数n ，任何去掉了一个方格的22n n ⨯的棋盘都可以用L 形构件覆盖.图二图三 图四定理 3.1.2 设S 是有n 个元素的集合，其中n 是非负整数.如果r 是一个整数，0r n ≤≤，那么恰好含有r 个元素的S 的子集的数目是!!()!n r n r -.证明 证明将采用归纳法，对n 作归纳，并从0n =开始.如果0n =，那么S 是空集，并且r 必定是0.而φ有且仅有一个含0个元素的子集，即它本身，而且，因为0!1=，所以!0!1!()!0!0!n r n r ==-.所以公式对0n =是成立的.现在假设公式对某个整数0k ≥是成立的.设S 是含有1k +个元素的集合，比如说121{,,...,,}k k S a a a a +=.现在要统计S 恰好含有r 个元素的子集的数目，这里01r k ≤≤+.显然，含有0个元素的S 的子集只有Φ.类似地，也只有一个S 的子集含有1k +个元素，即S 本身.对这两种情况，公式都给出了正确的值，因为(1)!10!(10)!k k +=+-，(1)!1(1)![1(1)]!k k k k +=++-+.设R 是S 的恰好包含r 个元素的任意子集，这里1r k ≤≤.有两种情况需要考虑. 第一种情况：1k a R +∉.这时R 是12{,,...,}k a a a 的有r 个元素的子集.根据归纳假设，这样的子集有!!()!k r k r -个.第二种情况：1k a R +∈.在这种情况下，如果从R 中拿掉1k a +，就得到12{,,...,}k a a a 的含有1r -个元素的子集.根据归纳假设，这样的子集有!(1)![(1)]!k r k r ---个.把这两种情况合起来，看到S 共有!!!()!(1)!(1)!k k r k r r k r +---+个含有r 个元素的子集.而这个值等于!(1)!!()!(1)(1)!(1)!k k r k rr k r k r r r k r -++--+--+!(1)!!(1)!!(1)!k k r k rr k r r k r -+=+-+-+!(1)!(1)!k k r r r k r -++=-+(1)!!(1)!k r k r +=-+在公式中，用1k +替换n 就得到这个数，因此公式对于1n k =+是正确的.所以，根据数学归纳法原理，公式对所有的非负整数n 都是正确的.例3.1.4 证明：可以仅用4分和5分的邮票来组成等于或超过12分的每种邮资. 证明 将要用数学归纳法原理来证明这个结果.然后给出用数学归纳法第二原理的证明.设()P n 是命题：可以用4分和5分的邮票来组成n 分邮资.首先使用数学归纳法原理.基础步骤：可以用3个4分邮票来组成12分邮资.归纳步骤：假定()P n 为真，所以可以用4分和5分邮票来组成n 分邮资.若至少用了一个4分邮票，则用一个5分邮票代替它，就组成1n +分邮资.若没有用任何4分邮票，则仅用了5分的邮票来组成n 分邮资.因为12n ≥，所以至少用了3个5分邮票.所以4个4分邮票来代替3个5分邮票，就组成了1n +分邮资.这完成了归纳步骤以及根据数学归纳法原理的证明.其次，将要使用数学归纳法的第二原理.将要证明可以组成12，13，14和15分邮资，然后证明如何对15n ≥来说从3n -分邮资得出1n +分邮资.基础步骤：可以分别用3个4分邮票，2个4分邮票和1个5分邮票，1个4分邮票和2个5分邮票，以及3个5分邮票，来组成12,13,14和15分邮资.归纳步骤：设15n ≥.假定可以组成k 分邮资，其中12k n ≤≤.为了组成1n +分邮资，用组成3n -分邮资的邮票加上一个4分邮票.这完成了归纳步骤以及根据数学归纳法第二原理的证明.注意 例3.1.4说明如何让数学归纳法第二原理适应于处理某些情形，其中仅对充分大的n 值来说归纳步骤才是有效的.具体说来为了证明对,1,2,...n k k k =++来说()P n 为真，其中k 是整数，首先证明(),(1),(2),...,()P k P k P k P l ++都为真（基础步骤），然后证明对每个整数1n ≥来说[()(1)(2)...()](1)P k P k P k P n P n ∧+∧+∧∧→+为真（归纳步骤）.例如，例3.1.4解答里的第二个证明的基础步骤证明(12),(13),(14)P P P 和(15)P 都为真.需要分别地证明这些情形，因为归纳步骤证明[(12)(13)...()](1)P P P n P n ∧∧∧→+，它仅当15n ≥时才成立.在下面将要讨论数学归纳法的另外两个重要应用.第一个应用涉及到定义序列而不给出明确的项公式.第二个应用涉及到证明计算机程序是正确的.3.2 数学归纳法在递归定义上的应用3.2.1 引言定义3.2.1 有时难以用明确的方式来定义一个对象.不过，用这个对象来定义它自身，这也许是容易的.这种过程称为递归.可以用递归来定义序列、函数和集合.例如，对0,1,2,...n =来说用2n n a =来给出2的幂的序列.不过通过给出这个序列的第一项，即01a =，以及从该序列前面一项来求当前项的规则，即对0,1,2,...n =来说12n n a a +=，也可以定义这个序列.3.2.2 递归地定义函数定义3.2.2 为了定义以非负整数集合作为其定义域的函数，就要(1)规定这个函数在0下处的值.(2)给出从较小的整数处的值来求出当前的值的规则.这样的定义称为递归定义或归纳定义.许多函数都可以利用它们的递归定义来研究.阶乘函数就是一个这样的例子.例3.2.1 给出阶乘函数()!F n n =的归纳定义.解 可以通过规定阶乘函数的初值，即(0)1F =，并且给出从()F n 求出(1)F n +的规则，来定义这个函数.要得出这个结果，注意通过乘以1n +就从!n 计算出(1)!n +.因此，所需要的规则是(1)(1)()F n n F n +=+.为了从在例7中求出的递归定义来确定阶乘函数的一个值，比如(5)5!F =，有必要多次使用说明如何用()F n 表示(1)F n +的规则：(5)5(4)54(3)543(2)5432(1)F F F F F ==⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅54321(0)54321120F =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=一旦(0)F 是出现的唯一的函数值，就不需要任何更多的归约.剩下来要做的唯一事情是把(0)F 的值插入到公式里.递归地定义的函数是严格定义的.这是数学归纳法原理的一个后果.例3.2.2 给出0nk k a =∑的递归定义.解 这个递归定义的第一步是 000k k a a ==∑,第二步是 1100n nk k n k k a a a ++===+∑∑.在函数的某些递归定义里，规定了函数在前k 个正整数处的值，而且给出了从一个较大的整数之前的部分或全部k 个整数处的函数值来确定在该整数处的函数值的规则.从数学归纳法第二原理可以得出结论说这样的定义产生严格定义的函数.例3.2.3 斐波那契数012,,,...f f f 是用等式00f =，11f =，以及对2,3,4,...n =来说 12n n n f f f --=+来定义的.斐波那契数2f ，3f ，4f ，5f ，6f 是什么？解 因为这个定义的第一部分说00f =和11f =，所以从这个定义的第二部分得出210101f f f =+=+=321112f f f =+=+=432213f f f =+=+=543325f f f =+=+=654538f f f =+=+=可以用斐波那契数的递归定义来证明这些数的许多性质.在下一个例子里给出一个这样的性质.例3.2.4 证明：每当3n ≥时就有2n n f α->，其中(1/2α=.证明 可以用数学归纳法第二原理来证明这个不等式.设()P n 是命题：2n n f α->.想要证明每当n 是大于或等于3的整数时就有()P n 为真.首先，注意到32f α<=，24(3/23f α=<=所以(3)P 和(4)P 都为真.现在假定()P k 为真，即对所有满足3k n ≤≤的整数k 来说有2k k f α->，其中4n ≥.必须证明(1)P n +为真，即11n n f α-+>.因为α是210x x --=的解（二次方程求根公式说明这一点），所以得出21αα=+.因此，12333323(1)1n n n n n n n αααααααααα-------=⋅=+⋅=⋅+⋅=+根据归纳假设，若5n ≥，则得出31n n f α-->，2n n f α->因此就有23111n n n n n n f f f ααα---+-=+>+=由此得出(1)P n +为真，证毕.注意 归纳步骤证明了每当4n ≥时，从对3k n ≤≤来说()P k 为真的假定就得出(1)P n +.因此，归纳步骤没有证明(3)(4)P P →.所以，不得不单独证明(4)P 为真.3.2.3 递归地定义集合递归定义常常用来定义集合.当这样做时，给出初始的一些元素.然后给出用来从已知属于集合的元素来构造集合的其他元素的规则.以这种方式描述的集合是严格定义的，用它们的递归定义可以证明关于它们的定理.下面是集合的递归定义的一些例子.例3.2.5 设S 是用3S ∈ ；若x S ∈且y S ∈，则x y S +∈来递归地定义的.证明：S 是被3整除的正整数集合.（注意在这个定义里隐含着假定：所有属于S 的东西都是用S 的递归定义里的两个命题来生成的.）证明 设A 是被3整除的所有正整数的集合.为了证明A S =，必须证明A 是S 的子集而且S 是A 的子集.为了证明A 是S 的子集，必须证明被3整除的每个正整数都属于S .将要用数学归纳法来证明它.设()P n 是命题：3n 属于S .基础步骤成立，因为根据S 的递归定义的第一部分，313⨯=是属于S 的.为了证明归纳步骤，假定()P n 为真，即3n 属于S .因为3n 属于S 而且因为3属于S ，所以从S 的递归定义的第二部分得出333(1)n n +=+也属于S .为了证明S 是A 的子集，使用S 的递归定义.首先，该定义的基础步骤规定3属于S .因为331=⨯，所以所有在这个步骤里被规定属于S 的元素都被3整除.为了完成这个证明，必须证明所有用该递归定义的第二部分所生成的属于S 的元素都属于A .这包括证明每当x 和y 都是S 中的元素并且假定它们都属于A 时，就有x y +属于A .现在若x 和y 都属于A ，则可以得出3|x 和3|y .由整数的可数性的性质，得出3|()x y +，证毕.在上例里集合的递归定义是典型的.首先，给出一组初始元素.其次，给出从已知属于集合的元素来生成新元素的规则.在定义里隐含着只有在初始元素中列出的元素，或者可以用构造新元素的规则来生成的那些元素才属于这个集合.3.3 数学归纳法在递归算法上的应用3.3.1 引言有时可以把带有具体的一组输入的问题的解归约到带更小的一组输入的相同问题的解.例如，求两个正整数a 和b 的最大公因子的问题，其中b a >，就可以归约到求一对更小的整数（即mod b a 和a ）的最大公因子的问题，因为gcd(mod ,)gcd(,)b a a a b =.当可以实现这样的归约时，就可以用一系列归约来求出原问题的解，直到把问题归约到解是已知的某种情形为止.例如，对求最大公因子来说，归约持续到两个数中较小的一个为零，因为当0a >时，gcd(,0)a a =.定义3.3.1 若一个算法通过把问题归约到带更小的输入的相同问题的实例，来解决原来的问题，则这个算法称为递归的.例3.3.1 把线性搜索算法表达成递归过程.解 为了在搜索序列12,,...,n a a a 里搜索x ，在算法的第i 步比较x 与i a .若x 等于i a ，则i 是x 的位置.否则，对x 的搜索就归约到在少了一个元素的序列（即序列1,...,i n a a +）里的搜索.现在给出递归过程.设(,,)search i j x 是在序列1,,...,i i j a a a +里搜索x 的过程.过程的输入包括三元组(1,,)n x .若剩余序列的第一项是x ，或者若序列只有一项并且它不是x ，则过程在这一步终止.若x 不是这一项而且存在其他的项，则执行同样的过程，但是搜索序列减少一项，它是通过删除搜索序列的第一项而获得的.递归顺序搜索算法procedure search (,,)i j xif i a x = thenLocation:=ielse if i j = thenlocation:=0elsesearch (1,,)i j x +3.3.2 递归与迭代递归定义把在正整数处的函数值表达成在更小的整数处的函数值.这意味着可以设计递归算法来求出递归地定义的函数在正整数处的值.例3.3.2 下面给出阶乘的递归算法.阶乘的递归过程procedure factorial(n :正整数)if 1n = thenfactorial(n ):=1elsefactorial(n ):=n *factorial(1n -)存在另外一种方式，从阶乘函数的递归定义求它在整数处的值.代替连续地把计算归纳到在更小的整数处来求函数的值，可以从在1处的函数值开始，连续地应用递归定义来求出在更大的整数处的函数值.这样的过程称为迭代.换句话说，为了用迭代过程求出!n ，从1（即在1处的阶乘函数值）开始，连续地乘以每个小于或等于n 的正整数.对递归地定义的序列求值的迭代方法，比起使用递归的过程来，常常要求较少量的计算机（除非使用专门的递归机器）.用求第n 个斐波那契数的迭代的递归过程来说这一点.首先给出递归过程.斐波那契数的递归算法procedure fibonacci(n :非负整数)if 0n =then fibonacci(0):=0else if 1n =then fibonacci(1):=1else fibonacci(n ):= fibonacci(1n -)+fibonacci(2n -)当使用递归算法求n f 时，首先把n f 表示成12n n f f --+.然后把这两个斐波那契数都换成两个前面的斐波那契数之和.当0f 或1f 出现时，就直接换成它的值.注意，在递归的每个阶段，直到获得1f 或0f 为止，需要求值的斐波那契数的个数都一直翻倍.例如，当使用这个递归算法求出4f 时，就必须完成图五里树形图所说明的全部计算机.这个树包括用4f 标记的根，以及从根到用 图五两个斐波那契数3f 和2f 标记的顶点的分支，它们出现在4f 的计算的归约里.每个后续的归约都产生树里的两个分支.当遇到0f 和1f 时，这种分支结束.现在考虑用下面的迭代过程来求出n f 所需要的计算量.计算斐波那契数的迭代算法procedure iterative fibonacci(n :非负整数)if 0n = then y :=0elsebeginx :=0y :=1for i :=1 to 1n -beginz :=x y +x :=yy :=zendend{y 是第n 个斐波那契数}这个过程把x 初始化成00f =，把y 初始化成11f =.当经过循环时，把x 和y 之和赋给辅助变量z .然后把x 赋成y 的值，而把y 赋成辅助变量z 的值.因此，在经过第一次循环之后得出x 等于1f 而y 等于012f f f +=.另外，在经过1n -次循环之后x 等于1n f -而且y 等于n f .当1n >时，用这个迭代方法求出n f 仅仅使用了1n -次加法.因此，这个算法比递归算法需要少得多的计算.参考文献[1] 华罗庚. 数学归纳法[M].北京：科学出版社，2002.[2] 屈婉玲. 离散数学[M].北京：清华大学出版社，2005.[3] 邓辉文. 离散数学[M].北京：清华大学出版社，2006.[4] 邵学才. 离散数学[M].北京：清华大学出版社，2006.[5] 魏献祝. 高等代数[M].上海：华东师范大学出版社，1990.[6] 霍元极. 高等代数[M].北京：北京师范大学出版社，1990.[7] 多西. 离散数学：第4版[M].北京：清华大学出版社，2005.[8] 左孝凌. 离散数学[M].上海：上海科学技术文献出版社，1982.[9] 约翰索鲍. 离散数学：第5版[M].北京：人民邮电出版社, 2003.[10]费尔，克朗. 离散数学：双语版[M].北京：清华大学出版社，2005.[11] Kenneth H.Rosen. 离散数学及其应用：原书第4版[M].北京：机械工业出版社，2002.[12] 科尔曼，巴斯比，罗斯. 离散数学结构：第5版翻译版[M].北京：高等教育出版社，2005.[13] Susanna. Discrete Mathematics with Applications：第3版[M].北京：高等教育出版社，2005.[14] J. R. Monk. Introduction to Set Theory[M].NewYork：McGrawHill，1969.[15] E. Mendelson. Introduction to Mathematical Logic [M].New York：Van NostrandReinhold， 1964.。
数学怎么总结归纳解题方法800字(通用范文8篇)
数学怎么总结归纳解题方法800字(通用范文8篇)关于数学怎么总结归纳解题方法，精选5篇通用范文，字数为800字。
数学是一门严谨而抽象的科学，它以逻辑严密的推理和严格的证明为基础。
而数学的归纳总结作为数学思维和方法的重要组成部分，是解决问题、发现规律和推导结论的重要手段。
数学怎么总结归纳解题方法(通用范文)：1数学是一门严谨而抽象的科学，它以逻辑严密的推理和严格的证明为基础。
而数学的归纳总结作为数学思维和方法的重要组成部分，是解决问题、发现规律和推导结论的重要手段。
归纳总结在数学中的基本思路是从已知的特殊情况出发，通过观察和分析，总结出普遍情况下的规律和性质。
归纳总结可以帮助我们了解问题的本质，找到问题的共性，并进一步应用于更复杂的数学问题。
首先，在进行归纳总结时，我们需要通过观察已知的特殊情况，发现其中的共同点和规律。
例如，在学习数列时，我们可以通过计算前几项的值，并观察它们之间的关系，从而猜测数列的通项公式。
这个猜测就是通过归纳总结得到的。
其次，在进行归纳总结时，我们需要进行证明，以确保规律的正确性。
数学归纳法是归纳总结中常用的证明方法之一。
它的基本思路是：首先证明当问题成立时某个特殊情况成立，然后证明当问题成立时，下一个情况也成立。
通过这样的推理，可以得出问题在所有情况下都成立的结论。
最后，在进行归纳总结时，我们需要进行扩展和推广。
数学中的某些规律和性质并不仅限于已知的特殊情况，而是具有更普遍的适用性。
通过归纳总结，我们可以找到特殊情况与普遍情况之间的联系，从而推广已有的知识和方法。
总而言之，数学归纳总结是一种重要的数学思维和方法，它能够帮助我们从已知的特殊情况出发，发现问题的规律和性质，并通过严密的证明得出普遍情况下的结论。
通过归纳总结，我们可以更好地理解和应用数学知识，进一步拓展数学思维的边界。
无论是在解决问题、发现规律还是推导结论上，数学归纳总结都起着重要的作用。
数学怎么总结归纳解题方法(通用范文)：2在数学中，等量代换是一种常用的解题方法。
数学归纳法在中学数学教学中的应用（精选五篇）
数学归纳法在中学数学教学中的应用（精选五篇）第一篇：数学归纳法在中学数学教学中的应用浅谈数学归纳法在中学数学教学中的应用摘要：数学归纳法是一种十分重要的数学论证方法，常用于与正整数有关命题的证明。
本文是从数学归纳法的概念、正确的应用数学归纳法、灵活的应用数学归纳法来说明数学归纳法在中学数学教学中的应用。
关键字：数学归纳法；正确、灵活的应用引言数学归纳法是一种十分重要的证明方法，在数学学习中的应用十分广泛，而首先使用数学归纳法的是意大利数学家马奥罗修勒斯，他在1575年的著作《算术》中，用数学归纳法证明了前n个正奇数之和是2n。
正是有了这个方法，我们在中学的数学学习中，数学归纳法被广泛用来解决一些数列、不等式、整除等问题。
一、数学归纳法的概念在介绍什么是数学归纳法的之前，我们先来看看我国著名数学家华罗庚是这样评价数学归纳法的：“把数学归纳法学好了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。
[1]”由此可见数学归纳法是多么重要，那么究竟什么是数学归纳法呢？数学归纳法就是数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要是从特殊到一般的思想，它使我们能够在一些个别事例的基础上，对某个普遍规律做出判断，作为证明某些与自然数有关的命题的一种推论方法，在解数学题中有着广泛的应用。
在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
那么用数学归纳法论证的一般步骤是什么呢？第一步是证明命题n=n0时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据。
而数学归纳法所依据的数学公理是意大利数学家皮亚诺提出的皮亚诺自然数公理的的第五条（归纳公理）：任意一个自然数集合N，1属于N；假定N包含n，N也一定包含后继数n'，则N包含所有自然数。
[2] 归纳公理用准确的逻辑术语表达了自然数的性质，这是数学归纳原理的数学依据。
从1开始，一个一个地选取可以达到任意自然数。
谈谈数学归纳法 毕业论文
谈谈数学归纳法毕业论文数学归纳法是一种证明数学命题的常见方法，它通常用于证明关于自然数的命题。
本文将从数学归纳法的定义、应用原理、常见例题等方面进行阐述，旨在深入了解并掌握这一重要的数学工具。
一、数学归纳法的定义数学归纳法是由法国数学家Blaise Pascal于17世纪发明的一种证明方法。
它的基本思想是从一个已知的命题开始，利用数学归纳原理逐步推导出所有相似的命题的正确性。
具体的数学归纳法可以分为强归纳法和弱归纳法，这里我们先从弱归纳法的定义入手。
弱归纳法：设$P(n)$是关于自然数n的命题，如果$P(1)$成立，且对于任意正整数$k$，$P(k)$成立时$P(k+1)$也成立，则可以得出结论：对于任意自然数$n$，命题$P(n)$都成立。
弱归纳法主要考虑了$P(1)$成立的时候，能否通过任意的$k$将$P(n)$扩展到任意自然数$n$上去。
而强归纳法则更强一些，它关注的不仅是$k$,而是任意的$k' <k$范围内的所有$P(k')$是否满足，只有所有的$P(k')$都成立时才能推导出$P(k)$。
二、数学归纳法的应用原理数学归纳法是一种非常强大的证明方法，它的应用原理可以归纳如下：1. 证明基础部分：首先要证明归纳的基础部分即$P(1)$成立；2. 归纳假设：假设对于任意正整数$k$，都有$P(k)$成立；3. 归纳步骤：接下来证明当$k=n$时，$P(n+1)$也成立。
利用归纳假设，我们可以假设$P(n)$成立，则接下来考虑$P(n+1)$是否成立，如果成立则可以得出：对于任意自然数$n$，命题$P(n)$都成立。
三、数学归纳法的例题下面来看几个关于数学归纳法的例题，帮助大家更好地理解它的运用：1. 证明$1 + 2 + … + n = (1+n)n/2$。
（1）证明基础部分：$n=1$时，$1=（1+1）/2$成立；（2）归纳假设：假设对于任意正整数$k$，都有$1+2+…+k = (1+k)k/2$成立；（3）归纳步骤：现在考虑证明$1+2+…+k+(k+1) = (1+k+1)(k+1)/2$成立。
数学归纳法论文文献综述
本科毕业论文文献综述题目数学归纳法及其在数列中的应用学院数学与信息科学专业数学与应用数学班级11数本一学号*********** 学生姓名夏博指导教师何文明温州大学教务处制数学归纳法及其在数列中的应用文献综述摘要：数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自然数集相关的命题．但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义．普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”，自然也需要一个漫长的认识过程。
在中学中，数学归纳法是解决数列问题的一种重要手段，只有在理解了数学归纳法的数学思想，理解了数学归纳法的原理和实质，掌握数学归纳法的步骤才能更为有效的解决数列问题。
关键字：数学归纳法；数列§1、前言一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥拉斯时代。
毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的。
他由有限个特殊情况而作出一般结论, 具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理。
完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前 3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明。
其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理。
16 纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究。
莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,是严格意义上的数学证明, 要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的,因为自然数有无穷多个。
那么对于这类问题该如何解决呢?1575 年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法。
法国数学家 B·帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。
在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表,中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题。
第一数学归纳法及其应用 毕业论文
第一数学归纳法及其应用毕业论文第一数学归纳法及其应用摘要数学归纳法是数学中一种重要的证明方法。
本文主要研究了第一数学归纳法及其应用。
首先，介绍了第一数学归纳法的定义和基本原理。
其次，介绍了第一数学归纳法的证明方法。
然后，针对具体应用问题，分别展示了第一数学归纳法的应用。
最后，总结了本文的研究成果。
关键词：数学归纳法；第一数学归纳法；证明方法；应用AbstractMathematical induction is an important method of proof in mathematics. This paper mainly studies the first mathematical induction and its application. Firstly, the definition and basic principle of the first mathematical induction are introduced. Secondly, the proof method of the first mathematical induction is introduced. Then, for specific application problems, the application of the first mathematical induction is demonstrated respectively. Finally, the research results of this paper are summarized.Keywords: mathematical induction; first mathematical induction; proof method; application一、引言数学归纳法是数学中一种非常重要的证明方法，它经常用于证明一些关于自然数的命题。
初中数学学习中的归纳学习方法的论文
Only in boiling water, tea can develop the rich aroma of life.整合汇编简单易用（页眉可删）初中数学学习中的归纳学习方法的论文数学是一门思维性、逻辑性、连贯性很强的学科，它是符号、数字、推理与运算、图形的结合，学生在学习中注意力往往容易分散，教师如果不注意对学生兴趣的培养，则极容易使学生觉得枯燥无味，产生厌学情绪，兴趣是最好的老师，是行为的原动力，托尔斯泰曾说：成功的教学需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。
“一个人对学习有了兴趣，就能全身心的投入学习中，一定要注意采用多种教学手段去培养和激发学生的兴趣”。
其中学习方法的掌握，也能促进学生学习的兴趣。
古人云“学而时习之”“温故而知新”对今天的学生来说仍是很有用的学习方法，复习时，归纳总结我认为是其中重点之一，掌握归纳的内容是关键，及时的.归纳能使学习效果显著，事半功倍。
归纳的内容包括以下几种：一、归纳知识尤其是数学知识前后联系紧密，且知识呈现一种上升趋势，若能归纳好，有关知识就能熟练应用。
例如：函数内容，八年级内容中，先讲函数定义，然后学习正比例函数，一次函数，进而研究函数的图像与性质，点坐标与解析式的关系，确定解析式的方法，为九年级学习的反比例函数，二次函数提供了研究的方法。
二、归纳解题方法解题方法虽然很多，但总有一些常用方法，例如：证明“线段相等”是很常见的题型，常见方法有：中点定义，等量代换，等量加减，全等三角形对应边相等，等角对等边，轴对称性质，中心对称性质，平行四边形的对边相等，矩形对角线相等，等腰梯形对角线相等，角平分线性质，线段垂直平分线性质等，然后总结常见方法有：全等三角形对应边相等，平行四边形对边相等，矩形对角线相等，等角对等边，线段垂直平分线性质等，这样做题中就会比较容易确定解题方法。
三、归纳几何内容分析问题的方法数学问题的解决，分析问题最关键，综合法最常用，另外还有根据经验猜测法，例如：“五角星形状图形五个内角之和是180度”，则从三角形内角和是180度考虑，把五个内角之和转化为某一个三角形的内角和。
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xxxxxxx毕业论文数学归纳法在恒等式中的应用xxx0xxxxxxxxxxxxxx学校代码 xxxx 学号 xxxxxxx毕业论文数学归纳法在恒等式中的应用xxx指导教师 xxx专业 xxxx班级 xxx论文提交日期 xxxx目录摘要 (1)1.数学归纳法的定义概述 (2)1.1常用数学证明方法 (2)1.2数学归纳法的定义 (3)2.数学归纳法的步骤 (4)3.易错分析 (5)3.1弄不清n k=+时的式子变化 (5)=到1n k3.2运用数学归纳法时忽略了n k=时的假设条件 (5)4.运用数学归纳法的典型例题 (5)5.中学数学中关于数学归纳法的用途 (6)参考文献 (6)致谢 (6)数学归纳法在恒等式中的应用【摘要】数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法。
数学归纳法在恒等式的证明中有着其非常巧妙的一面,尤其是在证明与自然数有关的命题时更是有其独特之处.要熟练的应用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。
最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
【关键词】归纳法猜想恒等式证明方法【ABSTRACT】Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction in the proof of identity has its very clever side, especially in the proof and nature of the proposition when there is unique. To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - that" this discovery to explore ways of thinking.【KEY-WORDS】Induction; Suspicion; Identical equation; Proof1数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。
已知最早的使用数学归纳法的证明出现于 Francesco Maurolico 的Arithmeticorum libri duo (1575年)。
Maurolico 证明了前 n 个奇数的总和是2n。
最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。
递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。
(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。
不要把整个第二步称为归纳假设。
) 这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。
如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。
1 数学归纳法的概述1.1 常用数学证明方法数学是一门非常注重学习方法的学科,而数学恒等式的证明更是将这些方法体现的淋漓尽致，常用的数学方法大致有以下几种：1.1.1 演绎推理——从一般到特殊的推理叫做演绎推理，它又称演绎法。
1.1.2 归纳推理——由特殊到一般的推理叫做归纳推理，它又称归纳法。
归纳推理分为完全归纳法不完全归纳法两种。
1.1.3 不完全归纳法——根据某类事物中一些事物具有某种属性，推出该类事物全体都有这种属性的归纳推理，叫做不完全归纳法。
1.1.4 完全归纳法——在研究了事物的所有（有限）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。
(完全归纳法得出的结论是可靠的)。
1.1.5 数学归纳法——数学归纳法是证明与自然数n相关命题的一种方法。
1.2 数学归纳法的定义数学归纳法概念: 数学归纳法是一种先得出首个例子的正确性,而后通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法. 常用来证明与自然数n有关的相关命题2 数学归纳法的步骤数学归纳法步骤严谨,如果把要证明的命题记作P(n),那么数学归纳法的步骤为: (1) 证明当n取对命题适用的第一个自然数n1时,p(n1)正确。
2(2)假设n=k(*且k大于等于零)时,命题成立,即p(k)正确.证明当n=k+1时命k N题成立。
(3)根据(1) 、(2) 当k 大于等于零 且 *k N ∈ 时 ,即p(n)正确。
运用数学归纳法证题时, 以上三个步骤缺一不可, 步骤(1)时 正确的奠基步骤,称之为归纳基础, 步骤(2)反应了无限递推关系,即命题的正确性具有传递性,若只有步骤(1), 而无步骤(2),只是证明了命题在特殊情况下的正确性是不完全归纳法,若只有步骤(2),而没有步骤1,那么假设n=k 成立,就时没有根据的,缺少递推的基础,也无法进行递推,有了步骤(1)和步骤(2)使递推成为了可能,步骤(3)是将步骤(1)步骤(2)结合完成数学归纳法中递推的全过程,因此三个步骤缺一不可。
3 易错分析刚刚接触数学归纳法时容易出现对步骤把握不清的现象，下面针对几种常见错误进行分析3.1 弄不清n k =到1n k =+时的式子变化例1 用数学归纳法证明: (1)(2)(n+n)=213(21)n n n n ++⋅⋅- ,从“k ”到“1k +”左端需增乘的代数式为：A .2(21)k + B.2(1)k + C.211k k ++ D.231k k ++ 错误解法：n k =时，式子左端为(1)(2)()(1)(2)(3)2k k k k k k k k +++=+++ ，1n k =+时，式子左端为(1)(2)(11)k k k k +++++ 故选B 。
分析：1n k =+时，左端第一个因式也有所变化，不能简单地看后面的因式。
正确解法：当n k =时，左端为(1)(2)2k k k ++ 为从1k +到2k 连续整数的乘积。
3.2 运用数学归纳法时忽略了n k =时的假设条件。
例2 用数学归纳法证明：*n N ∈时，1111335(21)(21)21n n n n +++=⨯⨯-⨯++ 错误解法： (1)当n=1时，左边=11133=⨯， 右边=13,等式成立。
(2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立。
即1111335(21)(21)21k k k k +++=⨯⨯-⨯++ 则当1n k =+时， 311111335(21)(21)(21)(23)k k k k ++++⨯⨯-⨯++⨯+=11111111(1233521212123k k k k -+-++-+--+++ ) =11(1)223k -+=12(1)1k k +++ 所以1n k =+时，等式成立综上所述 当*n N ∈时，1111335(21)(21)21n n n n +++=⨯⨯-⨯++ 成立 分析：在证明1n k =+等式成立时，没有用到归纳假设正确解法：(1)当1n =时，左边=113⨯=13=右边，等式成立。
(2)假设(1n k k =≥，*k N ∈)时，等式成立，121(21)(23)k k k k ++++=(23)1(21)(23)k k k k ++++=2231(21)(23)k k k k ++++=123k k ++=12(1)1k k +++ 所以1n k =+时，等式也成立综上所述，对一切*n N ∈，1111335(21)(21)21n n n n +++=⨯⨯-⨯++ 都成立。
数学归纳法要运用“归纳假设”，没有“归纳假设”的证明不是数学归纳法。
4 运用数学归纳法的典型例题例3 用数学归纳法证明：tan tan 2tan 2tan3tan(1)tan()n n αααααα+++- =*tan()(tann n n N α-∈，2)n ≥ 分析：本题第一步的验证要取2n =，在第二步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的和角公式证明：(1)当2n =时，右边=tan 22tan αα-=2221tan α--=222tan 1tan αα- =tan tan 2αα =左边，等式成立(2)假设当n k =时，等式成立，就是tan tan 2tan 2tan 3αααα++tan(1)tan()k k αα+- =tan()tan k k αα-. =tan()tan k αα+[]tan(1)tan()(1)tan (1)k k k k k αααα+--++-=tan(1)(1)tan k k αα+-+ 4点评：本题在第(2)步的证明过程中使用了正切和差角的变形形式，即1tan(1)tan()k k αα++ =[]tan(1)tan()tan (1)k k k k αααα+-+-。
因此在用数学归纳法证明三角命题时，应针对1n k =+时命题的特征，合理地选择和使用三角公式。