2009第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答

第六届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2009年7月28日 上午8：00－12：00） 江西·南昌

1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。

2. 在凸五边形ABCDE 中，已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠，且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。

3. 设,,x y z R +∈，222(),

(),

()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证：

2222()a b c ab bc ca ++≥++。

4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。

第二天

（2009年7月29日 上午8：00－12：00） 江西·南昌

5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ∀∈，记

1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ∆的外接圆和内切圆。证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ∆的外接圆和内切圆。

7. 设(2)(2)(2)

(,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x

---=

++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且

1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。

8. 在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？

F

E

I

O B

C

A

D

答案

1. 设整数对(,)x y 满足方程

22212620090(1)x xy y -+-=

将其看作关于x 的一元二次方程，其判别式()22441262009y y ∆=-⨯- 22500(4)36y =-+的值应为一完全平方数； 若224y >，则0∆<； 若224y <，则2y 可取2220,1,2,3，相应的∆值分别为8036、7536、6036和3536，它们皆不为平方数；

因此，仅当224y =时，()2225004366y ∆=-+=为完全平方数。

若y = 4，方程(1)化为2870x x -+=， 解得x =1或x =7；

若4y =-，方程(1)化为 2870x x ++=，解得1x =-或7x =-。

综上可知，满足原方程的全部整数对为：()()()()(),1,4,7,4,1,4,7,4x y =----。 2. 必要性：若A 、B 、C 、D 共圆，则由AB =DE 、BC =EA ，得BAC EDA ∠=∠，ACB DAE ∠=∠，所以ABC DEA ∠=∠，故得AC =AD 。 充分性：记BCDE 所共的圆为O ，若AC =AD ，则圆

心O 在CD 的中垂线AH 上，设点B 关于AH 的对称点为F ，则F 在O 上，且因AB EA ≠，即DE DF ≠，所以E 、F 不共点，且AFD ABC ∆∆ ，又由AB =DE 、BC =EA ，知AED CBA ∆∆ ，因此，AED DFA ∆∆ ，故

由AED DFA ∠=∠，得AEFD 共圆，即点A 在DEF

上，也即点A 在O 上，从而A 、B 、C 、D 共圆。 3. 先证,,a b c 不能构成三角形的三边。因为

()()()

()()()()()()

b c a y z z x x y c a b z x x y y z a b c x y y z z x +-=-+--+-=-+--+-=-+-- 所以

[]2

()()()()()()()()()0

b c a c a b a b c y z z x x y y z z x x y +-+-+-=-+++---≤

于是

2222()()

()()()()0

ab bc ca a b c a b c b c a c a b a b c ++-++=+++-+-+-≤ 故2222()a b c ab bc ca ++≥++。

F

H B

A

C D

E

4. 设红点集为：{}1212,,,A A A A = ，过点1A 的弦有11条，而任一个含顶点1A 的三角形，恰含两条过点1A 的弦，故这11条过点1A 的弦，至少要分布于6个含顶点1A 的三角形中；

同理知，过点(2,3,,12)i A i = 的弦，也各要分布于6个含顶点i A 的三角形中，这样就需要12672⨯=个三角形，而每个三角形有三个顶点，故都被重

复计算了三次，因此至少需要72

243

=个三角形．

再说明，下界24可以被取到．不失一般性，考虑周长为

12的圆周，其十二等分点为红点，以红点为端点的弦共

有21266C =条．若某弦所对的劣弧长为k ，就称该弦的刻

度为k ；于是红端点的弦只有6种刻度，其中，刻度为1、2、…、5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；

如果刻度为a 、b 、c (a b c ≤≤)的弦构成三角形的三条边，则必满足以下两条件之一：或者a +b =c ；或者a +b +c =12；

于是红点三角形边长的刻度组(),,a b c 只有如下12种可能：(1, 1, 2)、(2, 2, 4)、(3, 3, 6)、(2, 5, 5)、(1, 2, 3)、(1, 3, 4)、(1, 4, 5)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)、(2, 4, 6)、(3, 4, 5)、(4, 4, 4)；

下面是刻度组的一种搭配：取(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型各六个，(4, 4, 4)型四个；这时恰好得到66条弦，且其中含刻度为1、2、…、5的弦各12条，刻度为6的弦共6条；

今构造如下：先作(1, 2, 3)、(1, 5, 6)、(2, 3, 5)型的三角形各六个，(4, 4, 4)型的三角形三个，再用三个(2, 4, 6)型的三角形来补充．

(1, 2, 3)型六个：其顶点标号为：{2, 3, 5}、{4, 5, 7}、{6, 7, 9}、{8, 9, 11}、{10 ,11, 1}、{12, 1, 3}；

(1, 5, 6)型六个：其顶点标号为：{1, 2, 7}、{3, 4, 9}、{5, 6, 11}、{7, 8, 1}、{9, 10 ,3}、{11, 12, 5}；

(2, 3, 5)型六个：其顶点标号为：{2, 4, 11}、{4, 6, 1}、{6, 8, 3}、{8, 10, 5}、{10 ,12, 7}、{12, 2, 9}；

(4, 4, 4)型三个：其顶点标号为：{1, 5, 9}、{2, 6, 10}、{3, 7, 11}； (2, 4, 6)型三个：其顶点标号为：{4, 6, 12}、{8, 10, 4}、{12, 2, 8}。

(每种情况下的其余三角形都可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得)。 这样共得到24个三角形，且满足本题条件，因此，n 的最小值为24。 5. 我们一般地证明，若4n ≥，对于前n 个正整数1、2、…、n 的所有排列12(,,,)n n X x x x = 构成的集合A ，若123()23n n f X x x x nx =++++ ，

{()}n M f X X A =∈，则36

6

n n n M -+=

。 下面用数学归纳法证明：

12111098

765

4

32

1