微分方程数值解练习题课

微分方程

初值问题数值解

习题课

一、使用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分

2

x

t y e dt -=⎰

所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。 解：该积分问题等价于常微分方程初值问题

2

'(0)0x y e y -⎧=⎪⎨=⎪⎩

其中h=0.5。其向前欧拉格式为

2

()100ih i i y y he y -+⎧=+⎪⎨

=⎪⎩

改进欧拉格式为

22()2(1)10()20

ih i h i i h y y e

e y --++⎧

=++⎪⎨⎪=⎩

将两种计算格式所得结果列于下表

二、使用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题

'1(0)1y x y y =-+⎧⎨=⎩

00.6

x ≤≤ 取步长h=0.1.

解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。

本题的信息有：

步长h=0.1；结点0.1(0,1,

,6)i x ih i i ===；

0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==

经典的4阶龙格库塔公式为 11234(22)6

i i h

y y k k k k +=++++

1(,)1i i i i k f x y x y ==-+

121(,)0.05 1.0522

i i i i hk h

k f x y x y k =++=--+

232(,)0.05 1.0522

i i i i hk h

k f x y x y k =++=--+

433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+

算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y = 4阶4步阿达姆斯显格式

1123(5559379)

24i i i i i i h

y y f f f f +---=+-+-

1231

(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24

i i i i i y y y y y i ---=+-+++

由此算出

4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===

三、用Euler 方法求

()'1,0101

x y e y x x y =-++≤≤=

问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？

解：本题(),1x

f x y e y x =-++ (),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤ 本题的绝对稳定域为

111x h he λ+=-<

得02x he <<，故步长应满足

02,00.736he h <<<< 四、 求梯形方法

111[(,)(,)]2

k k k k k k h

y y f x y f x y +++=++

的绝对稳定域。

证明：将Euler 公式用于试验方程'y y λ=，得到

11[]2

k k k k h

y y y y λλ++=++

整理

11(1)22k k h h y y λλ+⎛⎫

-=+ ⎪⎝

⎭ 设计算k y 时有舍入误差,

0,1,2,

k k ε=，则有

11(1)22k k h h λλεε+⎛⎫-=+ ⎪⎝

⎭ 据稳定性定义，要想1k k εε+≤，只须

112

2

h h

λ

λ

+

≤-

因此方法绝对稳定域为复平面h λ的整个左半平面（？），是A-稳定的。 五、对初值问题

'(0)1y y y =-⎧⎨=⎩

01x ≤≤ 证明：用梯形公式

111[(,)(,)]2

n n n n n n h

y y f x y f x y +++=++

求得的数值解为

22n

n h y h -⎛⎫= ⎪+⎝⎭

并证明当步长0h →时，n y 收敛于该初值问题的精确

解x

n y e -=

证明：由梯形公式，有

1111[(,)(,)][]22

n n n n n n n n n h h

y y f x y f x y y y y ++++=++=+--

整理，得

122n n h y y h +-⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

由此递推公式和初值条件，有

02222n n

n h h y y h h --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

[0,1]x ∀∈，则有在区间[][]0,0,1x ⊆上有 n x x nh ==，步长x

h n

=，由前面结果有

02222022lim lim lim 1222lim 12x n

h

n n n h x

h

h h x

h h h y h h h e h →∞→∞→-++--→-⎛⎫⎛

⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭

⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-= ⎪⎢⎥+⎝⎭

⎣⎦

由x 的任意性，得所证。

六、对于微分方程'(,)y f x y =，已知在等距结点0123,,,x x x x 处的y 的值为0123,,,y y y y ，h 为步长。试建立求4y 的线性多步显格式与与隐格式。

解：取积分区间24[,]x x ，对'(,)y f x y =两端积分：

()()44

2

2

42(,)x x x x y x y x dy f x y dx -==⎰⎰

对右端(,)f x y 作123,,x x x 的二次插值并积分

4

2

4

2

021*********(,)[()(,)()(,)()(,)]x x x x f x y dx

l x f x y l x f x y l x f x y dx

≈++⎰

⎰

112233123

((,)(,)(,))337

h f x y f x y f x y =-+ 得到线性

4若对右端在34,x x 两点上作线性插值并积分，有