高考数学二轮讲义：解析几何
2022年高考数学二轮复习《解析几何》讲座
解析几何对学生良好的学习习惯的养成提出较高要求，对自觉地运用数学思想 方法进行分析、推理、运算的能力也提出较高要求．
考试范围与要求
一、直线与方程 1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直 ． 4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两
点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系． 5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间
高考真题
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解析几何难在哪？
解析几何试题综合性强、应用面广，有些题目对运算求解能力要求高、有些题 目对推理论证能力要求高，虽然解析几何中有一些基本问题，但有不少题目，所给 的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，需要考虑对条件进行适当的转化．
考试范围与要求
四、圆锥曲线（文科） 1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范
围、对称性、顶点、离心率）． 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单
的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）． 3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何
高考总复习二轮数学精品课件 专题6 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
3
a
在双曲线 C 上,若△AF1F2 的周长为 10,则△AF1F2 的面积为(
)
A. 15
B.2 15
C.15
D.30
(2)已知|z+ 5i|+|z- 5i|=6,则复数 z 在复平面内所对应的点 P(x,y)的轨迹方程
是椭圆的右焦点,若 AF⊥BF,则 a=
答案 3+ 3
.
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形 AF1BF
π
为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
为
.
(3)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x
Hale Waihona Puke 轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程
为
答案 (1)A
.
2
(2)
9
2
+ =1
4
3
(3)x=2
解析 (1)由题意得
e=
所以双曲线方程为
=
2
1 + 2
=
3
1 + 2=2,所以 a2=1.
2
即 x±2y=0,故 B 正确;
2 5
5
e1·
e2= 5 × 2 =1,所以 C1 与 C2 的离心率互为倒数,故 C
高考数学二轮复习指导系列-解析几何.doc
高考数学二轮复习指导系列-解析几何绪言：解析儿何的本质是用代数的方法研究儿何问题，其中蕴含丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.因此，要注意数学思想方法在问题解决过程中的核心地位.近几年解析几何内容考查的题型归纳与分析如下:建议对以上儿类问题进行整理，讲关键处、讲重点、讲难点、讲思想、讲规律、讲方法，讲存在的主要问题和相应的解决方法与策略：1.重视圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征解题；2.掌握基本量计算：如眩长，中点眩问题，梳理定点、定值问题的基本思路以及有关面积的处理思路；3.圆锥曲线问题的计算，首先是耐心演算，其次是算法、算理、算式的分析、渗透与强化，提高运算的准确性；4.读题、审题，加强数学阅读理解的指导，加强数学表达的规范训练.一、存在的问题及原因分析：(一)缺乏科学规范的作图意识，识图、用图能力待提高科学规范地画出图形是研究几何问题的基础，作图的过程也是问题条件的理解与解题思路的探究过程.【例1】(2016全国I卷理20)设圆x2+ y2+2x-\5 = 0的圆心为A,直线/过点B (1, 0)且与x轴不重合，/交圆人于两点，过B作AC的平行线交AD于点E.⑴证明|创+ |皿为定值，并写出点E的轨迹方程.评析：由于作图潦草、没有使用尺规作图、不够精确，导致难以发现关键的几何特征信息.识图、用图能力差，没有从图形中发现AC = AD t以及BE = DE・究其原因在于课堂教学作图环节缺失，教师多用手工绘制草图、缺乏刈•图形中几何特征与数量关系的细致量化分析.建议教师注意使用尺规规范作图，示范指导，并要求学生当堂作图练习.所给的练习，不给图形，要求学生通过审题自己作图，结合图形从整体角度理解题意寻找解题思路.(二)缺乏利用圆锥曲线的定义研究相关问题的意识与模式习惯定义是数学问题研究的起点.圆锥曲线的定义蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义.【例2】(2016全国I卷理20)设圆x2 + y2+2x-\5 =0的圆心为A,直线/过点B (1, 0)且与x轴不重合,/交圆A于C,D两点，过B作4C的平行线交AD于点E.⑴证明|创+ |比为定值，并写出点E的轨迹方程.解答：圆的方程可化为(^ + 1)2 + /=16的圆心为4(70),半径为4；动点C, D落在圆上，满足|AC| = |AD| = 4;(点在圆上，根据圆的定义有\AC\ = \AD\ = 4)等腰三角形AACD 中，BE//AC=>\BE\ = \DE\;・•. AE| + |ED|=|AE| + |BE| = 4；由题设得A(-l,0) , B(l,0), | AB |=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：手+斗"(〉'工°)・(|個+岡二4根据定义知点E的轨迹是椭圆)评析：未能从动点与定点的位置关系角度理解问题，去探究目标“证明\AE\ + \EB\为定值” 的证明思路，未能结合定义预判可能的轨迹类型，从而没能联系已有的几何条件寻找突破口.究其原因在于研究求轨迹方程这类问题时，没有养成优先站在“观察发现动点运动变化 过程中不变的儿何关系”的角度探究问题的意识；没有养成“定义”的应用意识，未能从圆 锥曲线的定义审视动点满足的不变的几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化.建议复习教学中凡涉及轨迹问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化 方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何 性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析.（三）缺乏对几何条件代数化（坐标化）方法策略的深入研究解析几何就是用代数的方法研究几何问题.那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐 标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化.点，分别为「的左、右顶点，P 为「上一点，且PF 丄x 轴，过点A 的直线/与线段"交 于点M ,与轴交于点E ,直线与『轴交于点N ,若\OE\ = 2\ON\ ,则「的离心率为（）3 4A. 3B. 2C. -D.- 2 3解答：从试题中的关键条件\OE\ = 2\ON\出发，因为三点均在y 轴上，从坐标关系角度加以理解，从而引入关联参数实现几何条件代数化：设点2V （O,r ）E （O,-2r ）,则直线/疔+士 = 1,直线B 陀+沪，联立即可得：M （-3d,4f ）, ・・・_c=-3a,答案：A【例3］（唐山2017）已知O 为坐标原点, F 是双曲线r:罕-* = 1（。
高考理科数学大二轮复习课件专题六解析几何
双曲线中参数范围求解
参数范围求解方法
在解决与双曲线相关的问题时，经常需要求 解参数的范围。可以通过分析双曲线的性质 、结合题目给出的条件，列出关于参数的不 等式或方程，进而求解参数的范围。
注意事项
在求解参数范围时，需要注意参数的取值范 围是否符合双曲线的定义和性质，以及是否 满足题目的要求。同时，还需要注意参数的 实际意义和应用背景，避免求解出不符合实 际情况的参数范围。
焦点弦和准线应用
焦点弦定义
过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，这两 点之间的线段称为焦点弦。
焦点弦性质
对于同一抛物线，所有焦点弦的中点都在抛物线 的准线上。
准线应用
利用准线和焦点弦的性质，可以解决与抛物线相 关的距离、角度等问题。
抛物线中参数范围求解
参数方程
抛物线的参数方程为 $left{begin{array}{l}x=2pt^2y=2pt end{array}right.$（$t$为参数），表 示抛物线上任意一点的坐标。
直线解，即判别式$Delta > 0$。
直线与圆相切
直线方程与圆方程联立后，有唯一实数解，即判别式 $Delta = 0$。
直线与圆相离
直线方程与圆方程联立后，无实数解，即判别式$Delta < 0$。
注意
以上内容仅供参考，具体解析几何的知识点和解题方法可 能因教材和考试要求而有所不同。在复习过程中，请务必 以教材和考试要求为准。
点的坐标
在平面直角坐标系中，任意一点P都可以用一对有序实数(x,y)来表示，这一对有序实数称 为点P的坐标。
坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系
在平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的一个坐标与之对应；反过来，对于任意一个坐 标(x,y)，在坐标平面内都有唯一的一个点与之对应。
2022年高考数学二轮考点复习专题四 解析几何第2课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定值问题 【典例 2】(16 分)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1(－ 17 ， 0)，F2( 17 ，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2，记 M 的轨迹为 C. (1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝21 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且 |TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
＝（n2＋1k212）－（116＋k21 ） ，……10 分
设 PQ：y－n＝k2x－12 ， 同理|TP|·|TQ|＝（n2＋1k222）－（116＋k22 ） ，
因为|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，
所以k112＋－k1216
＝k122＋－k2216
，1＋k21
17 －16
＝1＋k22
17 －16
所以 Δ＝(4kt)2－8(2k2＋1)(t2－2)＝8[2(2k2＋1)－t2]＞0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x1＋x2＝－2k42＋kt 1
2（t2－2） ，x1x2＝ 2k2＋1
，
所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝2k22＋t 1 .
因为四边形 OAPB 是平行四边形， 所以O→P ＝O→A ＋O→B ＝(x1＋x2，y1＋y2)＝(－2k42k＋t 1 ，2k22＋t 1 )，则 P(－2k42k＋t 1 ，
第2课时 圆锥曲线中的定点、定值问题
圆锥曲线中的定点问题 【典例 1】(2021·滨州一模)已知点 A(0，－1)，B(0，1)，动点 P 满足|P→B ||A→B |＝P→A ·B→A . 记点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程； (2)设 D 为直线 y＝－2 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别是 E，F.证明：直 线 EF 过定点．
高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题课件理
切入点：(1)直接套用斜率公式，并借助－12＜x＜32求其范围； (2)先分别计算|PA|、|PQ|的长，再建立|PA|·|PQ|的函数，进而借 助导数求其最值．
[解](1)设直线AP的斜率为k，k＝xx2＋－1214＝x－12， 因为－12<x<32， 所以－1＜x－12＜1， 即直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．
(与向量交汇直线过定点问题)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动 点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2 P→N ＝ 3 M→N ，动点P的轨迹 为E.
(1)求E的方程； (2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两 点(A，B不是左、右顶点)，且满足| D→A ＋ D→B |＝| D→A － D→B |，求证：直 线l恒过定点，并求出该定点的坐标．
第二部分 讲练篇
专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的综合问题
研考题 举题固法
求圆锥曲线中的最值范围问题(5年2考) 考向1 构造不等式求最值或范围
[高考解读] 以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，融函数与 方程，均值不等式、导数于一体，重在考查学生的数学建模、数学 运算能力和逻辑推理及等价转化能力.
[解](1)设点M(x0，y0)，P(x，y)，由题意可知N(x0,0)， ∵2P→N＝ 3M→N，∴2(x0－x，－y)＝ 3(0，－y0)， 即x0＝x，y0＝ 23y， 又点M在圆C：x2＋y2＝4上，∴x20＋y20＝4， 将x0＝x，y0＝ 23y代入得x42＋y32＝1， 即轨迹E的方程为x42＋y32＝1.
设C(p，q)，由2qpp＝＋q21，－2＝0
得p＝q＝2，所以C(2,2)．
高考数学学科二轮备考关键问题指导系列一(解析几何存在问题及应对策略)
福建省2024届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列一解析几何存在问题及应对策略（福建省高三毕业班复习教学指导组余小萍执笔整理）新高考的背景下，解析几何知识板块试题分值高，在全卷中占比高，但整体得分低，得分率最低，对全卷影响重大，新高考解析几何如何提分，值得研究.解析几何高考试题以核心素养为导向，突出了学科素养、关键能力的考查，有以下特点：1．突显解析思想，考查全面解析思想解题主要包含两个方面．其一，在坐标系下，每个几何对象均可被数（坐标、方程等）所完全表达，并通过代数（或向量）方法来解决；其二，特定的代数语言有了几何解释，从而使代数语言有了直观意义，人们能从中得到启发，进而解决问题或提出新的结论．解析几何问题考查模式可以用下图的框架体现：2．突出直观想象，强调算理解析法是通过坐标系实现“点与坐标互化”、“曲线与方程互化”、“几何关系代数化”，从而达到用代数方法解决几何问题，其思维模式可以用下图的框架体现：这是平面解析几何复习教学可以遵循的思维模式，通过它，帮助厘清知识，构建方法体系，回到基础，落实对知识与方法的深刻理解，让解析法升华为一种认识论与方法论.3．突破题型套路，鼓励创新新高考试卷持续推进题型和结构的创新，在解析几何试题的设计上，最大的变化就是突破题型套路，有多选题、多空题和条件开放或结论开放试题，在难度层次上也有所变化，从情境选择、设问方式到解题方法，鼓励创新求解的意识，培养学生探究能力．下面就具体的平面解析几何复习教学的相关问题探讨如下.一、存在的问题及原因分析（一）作图意识薄弱，以形助思待提高规范作图是认识问题、研究问题的基础，将图形特征转化、合理代数化的过程是问题条件的理解与解题思路的探究过程．【例1】过点(0,2)-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=( )A. 1B.4C.4D. 4【解析】圆22410x y x +--=化简，得22(2)5x y -+=，故圆心(2,0)B，记(0,2)A -，设切点为M ，.N AB =BM =，故AM sinsin MAB 24BM ABα=∠==，coscos M B 2A AM ABα=∠==，sin 2sincos22ααα==B. 【评析】本题考查直线与圆的位置关系、二倍角公式，属于基础题．利用切线构造直角三角形，由三角函数定义求出sin2α，cos2α，再利用二倍角正弦公式即可求解．本题中切线的运用很多学生能想到，但学生不易想到角度关系MAB 2α=∠，究其原因在于作图意识薄弱，对题中的几何关系挖掘不够，缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致分析，难以借助图形分析思考问题.【例2】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在C 上，点B 在y轴上，11F A F B ⊥，222=3F A F B -，则C 的离心率为__________.【解析】依题意222=3F A F B -，设22||2,||3(0)F A t F B t t ==>，||5.AB t ∴=由对称性知21|||| 3.F B F B t ==又11F A F B ⊥，故1||4F A t =，4cos .5A = 由双曲线的定义知，12||||2F A F A a -=，故.t a =在12F AF 中，22216444cos 2425a a c A a a +-==⋅⋅，解得：29()5c a =，故C 的离心率为5【评析】本题考查双曲线的定义及性质、余弦定理、向量共线的充要条件等，属于中档题. 根据向量的关系设参数t ，得到||AB ，2||F B ，1||F B 的关系，勾股定理得到1||4F A t =.由双曲线的定义得到t a =，在1Rt F AB △和12F AF △中通过对cos A 算两次得到a 与c 的关系.学生若作图潦草，难以发现关键的几何特征信息，导致对图中几何关系的提取错误或者不完整，思路受阻．本题中222=3F A F B -，不仅有数量特征，还具有位置关系．【建议】课堂教学中教师能使用尺规规范作图，起到示范指导，并要求学生当堂作图练习．布置不给图形的解几练习，要求学生通过审题自己作图.教师对图形中几何特征与数量关系进行细致分析，结合图形从整体角度理解题意、寻找解题思路．（二）概念思维淡漠，核心观点需增强定义是数学问题研究的起点．曲线方程的概念蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义．【例3】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12，过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE △的周长是__________.【解析】由椭圆离心率为12，可得2a c =，则b ==则椭圆C ：2222143x y c c +=，)A ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，易得ED l ：()3y x c =+，由2211||||||2AF AF F F c ===，故过1F 且垂直于2AF 的直线DE 垂直平分2AF ，即2||||EA EF =，2||||DA DF =，又2222143)x y c c y x c =⎧+=⎪⎨+⎪⎪⎪⎩，得22138320x cx c +-=，故28133213D E D Ec x x x c x =⎧+=-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩， 213||||6()4278D E D E D E DE x x x x x x c ∴=-=⇒+-=⇒=，所以ADE △的周长2211||||||||||||||4813DA EA DE DF EF DF EF a c ++=+++===.【评析】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用、椭圆的定义以及椭圆中的弦长问题，考查了运算求解能力，属于中档题.部分学生不能从离心率、椭圆定义角度去分析几何特征解决问题，而是先求点M 坐标，再求点D 、E 的坐标，利用两点间的距离公式，绕了一大圈才得出周长，没能活用定义轻松得到解题的突破口．究其原因在于没有养成优先站在“定义”的角度探究问题和解决问题意识，未能从圆锥曲线的定义审视几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化．【建议】复习教学中凡涉及圆锥曲线的最值问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析． （三）欠缺条件思辨，代数方法要选择解析几何就是用代数的方法研究几何问题．那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化．【例4】写出与圆221x y +=和圆22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程__________. 【解法一】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为0x by c ++=，1=化简得221c b =+①，4.=化简得，|34||4|b c c ++=，故344b c c ++=或344b c c ++=-，再结合①解得01b c =⎧⎨=⎩或247257b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或4353b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可) 【解法二】设圆221x y +=的圆心(0,0)O ，半径为11r =， 圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心(3,4)C ，半径24r =， 则12||5OC r r ==+，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然10x +=符合题意； 又由方程22(3)(4)16x y -+-=和221x y +=相减可得方程3450x y +-=，即为过两圆公共切点的切线方程；又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为430x y -=，直线OC 与直线10x +=的交点为4(1,)3--，设过该点的直线为4(1)3y k x +=+1=，解得724k =，从而该切线的方程为724250x y --=； 所以直线方程有三条，分别为10x +=，724250x y --=，3450.(x y +-=填一条即可)【评析】本题是一道开放题，代数法设切线方程通过解方程组能解决问题，也可以利用几何特征快速写出公切线10x +=，发现题中两圆的位置关系是快速破题的关键．本题若改为写出所有公切线方程学生失分率将更高，两种方法计算量也相差无几，代数法中方程组的求解是学生的失分点，其中直线方程的设法涉及简便、减少运算量，几何法通过先求直线OC 与直线10x +=的交点，再求过该点且与圆221x y +=相切的直线即可得到公切线724250x y --=也是利用几何特征简便、减少运算量.【例5】已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴y 轴分别相交于M ，N 两点，且||||MA NB =，||MN =l 的方程为__________.【解析】取AB 的中点为E ，因为||||MA NB =，所以||||ME NE =，设11(,)A x y ，22(,)B x y 可得1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-，即1.2OE AB k k =-⋅ 设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，则(0,)M m ，(,0)mN k-， 所以(,)22m m E k -，所以212m k k m k⨯=-=--，k =又||MN =22212m m +=，故2m =，所以直线:22AB y x =-+，即0.x -= 【评析】本题考查椭圆的中点弦问题，属于偏难题.条件 ||||MA NB = 的转化应用是解本题快速与否的关键，取AB 的中点为E ，将中点E 纵横坐标比转化为中点与原点连线的斜率，利用点差法及点坐标就能快速找到一个,k m 的关系式.学生若能依题构图，结合图形联想第三定义推论，就能将条件 ||||MA NB = 转化为简洁的代数形式，从而达到解决问题的目的.【建议】复习教学中重视引导学生依题构图，结合圆锥曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算．（四）缺乏算法算理，运算求解须考究解析几何问题常常都有计算量大的特点，如何进行有效运算、简便运算，寻找化简方向是我们必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程，回归定义，以简驭繁；设而不求，整体运算；充分运用图形几何性质，简化计算；利用根与系数关系化繁为简；选用方程适当形式，减少运算量等，这些方法一定要结合具体问题进行训练.【例6】已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥．若||6FQ =，则C 的准线方程为 ．【解法一】解直角三角形法：如图，依题意得,2p P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭且OPF PQF ∠=∠，所以tan tan OPF PQF ∠=∠，所以2,6pOF PF p PF FQ p =∴=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-.【解法二】射影定理应用法依题意得,2p P p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2,PF OF FQ =⋅262p p ∴=⨯，解得3p =或0p =（舍去），所以C 的准线方程为32x =-.【解法三】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，所以直线OP 的斜率22OP pk p ==，因为PQ OP ⊥，所以12PQ k =-，所以PQ 的方程为1()22p y p x -=--，即524px y =-+.令0y =时，52p x =，因为||6FQ =，所以5622p p -=，解得3p =，所以C 的准线方程为32x =-． 【解法四】由题意，不妨设P 在第一象限，则(2p P ，)p ，(6,0)2pQ +，所以(6,)PQ p =-， 因为PQ OP ⊥，所以0PQ OP ⋅=，所以602pPQ p p =⨯-⨯=，所以()30p p -=，因为0p >，所以3p =，所以C 的准线方程为32x =-．【评析】破解本题的关键是对PQ OP ⊥进行转化，可以从解直角三角形的角度，也可以从斜率角度，还可以从向量的角度，甚至可以利用射影定理的角度去进行转化，显见不同的思路其解题的长度不一样.因此，需强化的解题训练形成套路化、模式化，就能根据问题特点灵活处理.【例7】在平面直角坐标系xOy中，已知点1(F，2F ，12||||2MF MF -=，点M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】（1）因为12122MF MF F F -=<=C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则22a =，可得1a =，4b ==，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥. （2）设点1,2T t ⎛⎫⎪⎝⎭，若过点T 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C 无公共点，不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1112y k x t k =+-，联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩，消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则112x >且212x >．由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-，211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 所以，()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+=⎪-⎝⎭， 设直线PQ 的斜率为2k ，同理可得()()2222212116tk TP TQ k ++⋅=-，因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--，整理可得2212k k =，即()()12120k k k k -+=，显然120k k -≠，故120k k +=． 因此，直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0．【评析】TA TB ⋅与TP TQ ⋅从弦长公式到韦达定理代入化简是破解本题的关键，从设直线方程到联立消元再到弦长公式的应用，有明晰的解题方向，形成套路化、模式化的解题训练有助于学生根据问题特点灵活处理.【建议】课堂教学时不能只是谈思路方法，应合理利用几何特征设参，分析算式结构，合理消参、降次，通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导．在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换的结果中的参数即可．（五）只求题型模仿，解析思想欠领悟高中解析几何既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学方法，其核心是“数形结合”的思想方法.由于解析几何内容的综合性，在解决问题的过程中，充满着探究性、创新性，对能力有较高的要求.解题中必然要用到思想方法引领，如函数与方程、特殊与一般、分类与整合的思想，以及待定系数法、换元法等等.【例8】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，点．若，则________．【解析】设弦AB 的中点为P ,综合题目的几何特征，直观猜测，PM 平行于x 轴，故由点差法可得124=2k y y =+，快速地给出答案为2． 【评析】本题是典型的直线与抛物线的位置关系问题，常规的解法是设方程、联立方程、用韦达定理求解套路，这势必费力费时且会算错．由于问题的特殊性，焦点弦张角为直角，借助数形结合，动中求不变解析思考，斜率为k 的平行弦的不变性，以及焦点弦张角的不变性，就能抓住问题的本质，既解决了问题，又提升了对抛物线的认识．【例9】已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 方程；(2)证明：直线CD 过定点．【解析】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，∴(),1AG a =，(),1GB a =-， ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =，∴椭圆方程为：2219x y +=.()11M -，24C y x =：C k C A B 90AMB =︒∠k =的的（2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+，将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+， 所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭． 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭， 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭，故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 【评析】解决本题的关键是借助数形结合，由椭圆的对称性可知定点应在x 轴上，明晰计算化简的方向．【建议】教学中要让学生意识到变化是理解解析几何问题的切入点，不变是解决解析几何问题的落脚点，对于它的探究过程主要集中在数学观察、联想、类比、猜测、抽象、概括等思维过程．解决解几具体问题时常常需要用到“数形结合”的思想方法.在解决问题的过程中，针对具体问题具体分析，跳出套路，数形结合找到解题方向.二、解决问题的思考与对策（一）回归基础，揭示本质，返璞归真解析几何思想的数学结构是由核心概念、基本方法、数学原理3个层次构成.核心概念是曲线与方程，基本方法是几何问题代数化和代数问题几何化，数学原理是映射原理(或化归原则)，其中几何问题代数化的途径是坐标法，是笛卡尔“方法论”的观念表现．【例10】若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______，_____．【解析】正方形OABC 中，对角线OB 所在直线的斜率为2，建立如图直角坐标系， 设对角线OB 所在直线的倾斜角为θ，则tan 2θ=，由正方形性质可知，直线OA 的倾斜角为45θ-︒，直线OB 的倾斜角为45θ+︒，故()tan tan 45211tan 451tan tan 45123OA k θθθ-︒-=-︒===+︒+，()tan tan 4521tan 4531tan tan 4512OB k θθθ+︒+=+︒===--︒-.故答案为：13；3-.【评析】本题以简单的多空形式呈现，以正方形、直线与直线的位置关系为载体，考查坐标法的基本 应用.考点虽然稍冷，却有着浓浓的解析味.解决问题的关键在于，合理建立坐标系，恰当地表征几何对象，如倾斜角的引进，以及与斜率的互化，体现了基础性、综合性和应用性.【例11】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A. 若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B. 若m =n >0，则CC. 若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D. 若m =0，n >0，则C 是两条直线 【解析】ACD【评析】曲线方程的特征及区别是求解的关键，是解析几何的基本工具，一定要熟知．【例12】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213xy +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>， 当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212,324x x x x +=⋅=，所以MN ==所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx t kt =+<即0kx y t -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得1=，所以221t k =+，联立2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x ktx t +++-=， 所以2121222633,1313kt t x x x x k k-+=-⋅=++，所以MN ==213k=+= 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N，F 三点共线的充要条件是||MN =【评析】问题归结——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义；策略突破——利用椭圆焦距的定义和椭圆离心率的定义，构建方程，转化为求2,2a c 的值或齐次方程，从而求椭圆的方程．【建议】教学中要回归基础，即是回到知识的联系、回到思想方法、回到定义和基本性质中去．对于圆锥曲线而言，即是回到定义、方程、性质去，也是解决问题的认知基础．归纳：1．定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的．对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的．2．求圆锥曲线方程常用的方法有直接法、定义法、待定系数法、参数法等．用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”．所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴，抛物线的焦点是在x 轴的正半轴、负半轴，还是y 轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指运用方程思想、利用待定系数法求出方程中的a 2、b 2、p 的值（基本量法），最后代入椭圆、双曲线、抛物线的标准方程．3．求椭圆或双曲线的离心率时，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a 、c 的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）．4.证明充要条件的问题，不要只证明充分性，或只证明必要性，需注意：既要证明其充分性，又要证明其必要性.（二）弄清几何问题，选择代数方法，合理转化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题→代数问题→代数结论→几何结论．所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论．【例13】设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1) 当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2) 设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1x =．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-．所以AM 的方程为2y x =-+2y x = （2）本题目标要研究的几何对象为角，这需要在图形中挖掘这两个角的几何特征或这个角的等价几何关系．特例情况当l 与x 轴重合时．①0OMA OMB ∠=∠=︒；②当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，将OMA OMB ∠=∠代数化，即角相等的证明可以有两个思路，即从 数量关系或几何关系来思考．为此，不妨设1221(,),(,)A y x y x B ．思路1：从图形中直线的倾斜角直接切入，由位置特征，可以将问题转化为0MA MB k k +=； 思路2：从数量关系角度看，通过向量运算去获取，淡化几何特征，直接采取坐标运算，即证；思路3：从几何角度看，问题可以转化为运用角平分线定理，现坐标化，即证11AF y AM BFy BM==；思路4:从几何角度看，在坐标几何中，构造直角三角形相似来证． 思路5：从几何角度看，视为角平分线，用点到两边的距离进行代数化． 思路6：角平分线具有对称性，故可证明点A 关于x 轴的对称点在直线BM 上． 这么多的思路，如何代数化，要不要求坐标？程序化（算术化）：即设直线方程，遵循不断求出的思路进行运算，求出点A ，B 坐标，后再计算； 结构化（关系化）：即设直线方程，找出A ，B 坐标关系（这里的策略就是通常所说的“设而不求”， 再对要证的结构关系进行推演．事实上，程序化和结构化的代数思维没有特别的优劣，它都是代数思维的重要特征，它是一个不断螺旋上升的过程，只是大家目前都喜欢用结构化的思维，忽视程序化的思维，这是不对的，对结构化思维的形成与培养也不利．另外，即便用结构化思维进行推演，在设方程上也有此许的差别，如设l 的方程为(1)y k x =-或设x my t =+，还是有讲究的．【评析】解析法的过程，充满着概念与思辩，需要大家细细品味！绝不是机械模仿能达到的． 【建议】课堂中怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化．（三）增强几何意识，配合解析工具，巧妙转化解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量．数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解．【例14】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则PQ 的取值范围为．分析：问题归结——定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破——首先要明确目标PQ 垂径定理，在等腰PCQ △与Rt PCB △中，PC 形，问题溯源，选定较为直观的几何变量AC ，构建PQ 式：2PQ PB PCA ==∠==围，计算求解，又3AC ≥，所以21109AC <≤，因此PQ 的取值范围为． 【建议】直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离．解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．提高学生等价转化的能力——实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化．例如：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找等量关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位．【例15】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线2y x =交于A 、B 线OA 和OB 分别和圆22(2)4x y -+=交于D 、E 两点，若OABODES S λ∆∆=，则λ等于A ．12B ．13C ．14D ．15【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由2,(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得222(21)0k x k x k -++=，即121x x ⋅=．又11222,y x ⎪⎨=⎪⎩所以12120x x y y ⋅+⋅=，即OA OB ⊥．设直线OA ：1y k x =，直线OB ：2y k x =，则121k k ⋅=-．由21,y x y k x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21111(,)A k k ，同理22211(,)B k k ．由221(2)4,x y y k x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得1221144(,)11k D k k ++，同理2222244(,)11k E k k ++． 所以OA =OB =OD =，OE ． x所以221122*********(1)(1)2(1)(1)12116161642OAB ODEk k OA OBS k k k k S OD OE ∆∆++++++====≥．【建议】1．解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2．在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题．其中，解三角形的画图用图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想．（四）重视平面解析几何中代数方法的思维训练代数的思维特征，可以概括为程序化：即有点类似于解应用题的算术思维，遵循不断求出的计算，即便引进参数，也当成假设已知，参与运算；构造性的：即有点类似于解应用题的方程思维，注重寻找关系，“设而不求”，推演求解．复习教学中，要通过恰当的事例，训练学生的代数思维，这使得解析几何的代数方法不是一招一式的技巧，而是有着行动指南的思维模式.【例16】已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．【解析】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =. （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=，同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=.由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=，所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=. 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB===点P到直线AB的距离为d=，所以，()3220011422PABS AB d x y=⋅==-△，()()2222000000041441215621x y y y y y y-=-+-=---=-++，由已知可得53y-≤≤-，所以，当5y=-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=．【评析】运算繁杂是解析几何最突出的特点．首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点．运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能收到较好的效果．其次，要培养学生运算的求简意识，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用．【例17】过抛物线24y x=的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为1A，1B两点，以线段1A1B为直径的圆C过点(2,3)-，则圆C的方程为A．22(1)(2)2x y++-=B．22(1)(1)5x y++-=C．22(1)(1)17x y+++=D．22(1)(2)26x y+++=分析一：问题归结——确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标()()1122,,,A x yB x y；策略突破——圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量——斜率的倒数t，可设直线AB：1x ty=+；；求解过程分析：联立方程组21,4,x tyy x=+⎧⎨=⎩消元得到2440y ty--=；由韦达定理得12124,4y y t y y+==-，则()1,2C t-，直径()()2221112161A B y y t=-=+；求半径()2212-3MC t=+，由22114A B MC=得方程()()()22161412-3t t+=+，则1=2t.回归圆：圆心(1,1)C-，半径的平方25MC=，答案选B．。
解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量AB 的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。
高三数学第二轮复习解析几何
高三第二轮综合复习 解析几何综合题圆锥曲线知识梳理与解题方法 1.定义法（1）椭圆的定义（2）双曲线定义（3）抛物线定义2.直线与圆锥曲线的位置关系首先.设直线方程：讨论斜率是否存在,斜率存在时常用一下直线： （1）斜截式 （2）点斜式 （3）横截距式联立直线与圆锥曲线，得一元二次方程，要写出:∆及韦达定理21x x +与21x x ⋅ 然后坐标运算（设而不解）3.注意参数方程： （1）直线的参数方程（2）椭圆参数方程（3）双曲线的参数方程（2017年16）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个4.求轨迹方程（1）直接法：设动点坐标),(y x （2）定义法（3）代入法：设动点坐标),(y x ，已知曲线上的点),(00y x ，用代入法消去已知点的坐标，得到0=),(y x f （4）参数法：难点是消参数5.向量知识在解析几何中的运用。
坐标法6.综合问题：直线与圆锥曲线的位置关系；弦长与面积问题；距离问题；定点定之问题；参数范围与最值问题；向量与曲线的坐标运算；探究型问题（是否存在）1.（1）抛物线x y C 42=:上的一点P 到点),(243A 与到准线的距离之和最小，则点P 的坐标为（2）抛物线x y C 42=:上一点Q 到点),(14B 与到焦点F 的距离之和最小，则Q 的坐标为2. F 是椭圆13422=+y x 的右焦点，),(11A 为椭圆内的一定点，P 为椭圆上的一动点，则||||PF PA + 的范围是3.已知双曲线1322=-y x ，F 是右焦点，M 是右支上的一个动点，点),(13A ，则||||MF MA +的最小值是4.在ABC ∆中，),(),,(0505C B -且A B C sin sin sin 53=-，求点A 的轨迹方程。
高考总复习二轮数学精品课件 专题5 解析几何 培优拓展(九) 圆锥曲线的常用二级结论及其应用
依题意得,
1
2
= 4,
解得 a=1.
2 + 2 = 4 2 ,
- = 2,
(方法二)△1 2 =
2
2
2
=
=b
=4,Байду номын сангаас
π
∠12
tan
tan
4
2
又
2
4
2
e =1+ 2 =5,可得 2 =4,所以
a=1.
2
(2)已知椭圆25
2
π
+ 16 =1 的两个焦点是 F1,F2,M 是此椭圆上一点,且∠F1MF2=3 ,
故选 A.
对点训练
已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线
l1交抛物线于A,B两点,直线l2交抛物线于C,D两点,且|AB||CD|的最小值是64,
y2=4x
则抛物线的方程为__________.
解析 设直线 l1 的倾斜角为
则直线 l2 的倾斜角为
所以 16p2=64,所以 p=2,所以抛物线的方程为 y2=4x.
本 课 结 束
2
2
2
1
2
由结论 x1x2= ,得 kAkB==- =-1,所以 QA⊥QB,故 A 正确;
4
1 2
2
4
S△AOB=2sin =
=2 2,故 B 错误;
π
2sin
1
||
1
+
||
4
=
1-cos
1+cos
+
高考数学二轮复习课件：解析几何2.7.2
【解析】(1)选C.设AB 中点为D,则OD⊥AB
因为直线x+y-k=0(k>0) 与圆x2 +y 2 =4 交于不同的
两点
A,B,所以| 2|<4,
所以1≤| 2|<4,
所以1≤
<4,
因为k>0, 所以 ≤k<2 .
(2)选C.抛物线的标准方程为x2 =4y, 则抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1, 过P 作准线的垂线,垂足为N, 则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|, 因为|PF|=m|PA|, 所以|PN|=m|PA|, 则 =m,
【解析】选A.设M(x 0 ,y0 ),由题意x0 + 则x0 = ,从而 =3p 2 , 则M 又F 则,k MF =± .
=2p,
2.已知双曲线
(b>0), 以原点为圆心,双曲线的
实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于
A,B,C,D 四点,四边形的ABCD 的面积为2b,则双曲线的
方
2.焦点三角形的作用 在焦点三角形中,可以将圆锥曲线的定义,三角形中边 角关系,如正余弦定理、勾股定理结合起来.
【考向精练】 1.如图,已知线段AB 上有一动点D(D 异于A,B),线段 CD⊥AB, 且满足CD 2 =λAD·BD(λ 是大于0 且不等于 1 的常数),则点C 的运动轨迹为 ( )
【解析】选A.a>b>0, 椭圆C 1 的方程为 心率为: 双曲线C 2的方程为 C 2的离心率为: 因为C 1与C 2的离心率之积为 ,
,C1 的离
所以 ·
=,
所以
C 2 的渐近线方程为:y=± x, 即x± y=0.
【加练备选】 1.已知抛物线y2 =2px(p>0) 上一点M 到焦点F的距离 等于2p,则直线MF 的斜率为 ( )
新高考数学二轮复习课件：解答题精讲5 解析几何
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Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)＞0 ⇒m2－t2＋4＞0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝m－22＋m4t，y1y2＝mt22－＋44， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝m28＋t 4.
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①
∴Pm24＋t 4，m－2＋mt4. ∵k1k2＝－14，∴yx11yx22＝－14， 即 4y1y2＋x1x2＝0， ∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0， ∴t2－4＋－4＋2mm22t2＋t2＝0，
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∴2t2＝m2＋4，则 t2≥2， 由①②可得 t2≥2 恒成立， |OP|2＝16mt22＋＋m422t2＝16t22＋t2m2 2t2 ＝164＋t2m2＝16＋42tt22－4
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第 5 步：求解
故直线CD的方程为x＝my＋32，即直线CD过定点32，0. 10分
解等量关系得出 待求结果，注意结
←若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点32，0.
11分
果的完备性.
综上所述，直线CD过定点32，0.
12分
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第(1)问得分点及说明： 1.求出 a 的值得 1 分. 2.写出 E 的方程得 1 分.
的斜率分别为 k1，k2(O 为坐标原点)，且 k1k2＝－14，求|OP|的取值范
围．
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[解] (1)由题知，△MF1F2 的周长为 2a＋2c＝4＋2 3，且12·2c·b ＝ 3，
【南方凤凰台】2022届高考数学(江苏专用)二轮复习 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆 (文科)
第1讲 直线与圆【自主学习】第1讲 直线与圆(本讲对应同学用书第43~46页)自主学习 回归教材1. (必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y =-2x +3 的斜率相等，则该直线的方程为 . 【答案】y =-2x +4【解析】设直线方程为y =-2x +b ，代入点P(1，2)，得b =4，所以所求直线的方程为y =-2x +4.2. (必修2 P111练习8改编)若方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0 表示圆，则实数m 的取值范围为 . 【答案】(-1，+∞)【解析】由方程x 2+y 2+4mx -2y +4m 2-m =0，可得(x +2m )2+(y -1)2=m +1， 所以方程要表示圆，即有m +1>0，所以m >-1.3. (必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x -2)2+(y -3)2=1 的切线l ，则切线l 的方程为 .【答案】y =4或3x +4y -13=0【解析】当直线l 垂直于x 轴时，直线l ：x =-1与圆相离，不满足条件.当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y -4=k (x +1)，由于直线与圆相切，所以21+k =1，解得k =0，k =-34，因此，所求的方程为y =4或3x +4y -13=0.4. (必修2 P117习题10改编)圆x 2+y 2=9与圆x 2+y 2-4x +2y -3=0的公共弦的长为 .【答案】125【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x -y -3=0，原点到公共弦的距离d =5，所以公共弦长为2239-5⎛⎫ ⎪⎝⎭=125.5. (必修2 P117习题11改编)已知圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，若圆C 上存在一点M(x 0，y 0)，则经过点M(x 0，y 0)的切线方程为 . 【答案】x 0x +y 0y =r 2【解析】当点M(x 0，y 0)不在坐标轴上时，过点M 的切线的斜率存在且不为0.由于圆的切线垂直于过切点的半径，故所求切线的斜率为-00x y ，从而过点M 的切线方程为y -y 0=-00x y (x -x 0)，整理得x 0x +y 0y =20x +20y ，又由于点M(x 0，y 0)在圆上，所以所求的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.【要点导学】要点导学 各个击破直线、圆的方程例1 如图，在R t △ABC中，∠A为直角，AB 边所在直线的方程为x -3y -6=0，点T(-1，1)在直线AC 上，斜边中点为M(2，0).(例1)(1) 求BC边所在直线的方程；(2) 若动圆P过点N(-2，0)，且与R t△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.【分析】第一小问中先依据直线lAB 表示出直线lAC，再利用直线方程设出B，C两点的坐标，利用中点M，求出B，C两点的坐标，从而确定直线BC的方程.其次问先设出点P的坐标，并用其表示圆P的方程，再利用公共弦长为4，求出横纵坐标之间的关系，最终求出半径的最小值，即可得到所求圆的方程.【解答】(1) 由于AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0.设C为(x0，-3x0-2)，由于M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-45，所以C42-55⎛⎫⎪⎝⎭，.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2) 由于R t△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为R t△ABC外接圆的圆心.又AM=22，从而R t△ABC 外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，由于动圆P过点N，所以该圆的半径r=22(2)++a b，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.由于公共弦长为4，r=22，所以M(2，0)到直线m的距离d=2，即22222|2(4-2)-4|(4-2)(2)++++a ab ra b=2，化简得b2=3a2-4a，所以r=22(2)++a b=244+a.当a=0时，r取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x2+y2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都接受待定系数法，即依据所给条件特征恰当的选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可.变式已知以点P为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C 和D，且CD=410.(1) 求直线CD的方程；(2) 求圆P的方程.【解答】(1) 由于直线AB的斜率k=1，AB的中点坐标为(1，2).所以直线CD的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.(2) 设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a+b-3=0. ①又由于直径CD=410，所以PA=210.所以(a+1)2+b2=40. ②由①②解得-356-2.==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩a ab b，，或所以圆心P(-3，6)或P(5，-2)，所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2021·曲塘中学)已知圆心为C的圆满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为3C的面积小于13.(1) 求圆C的标准方程.(2) 设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行?若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【分析】(1) 依据圆心C位于x轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2) 假设存在这样的直线方程，则斜率必需满足相应的条件，依据平行四边形法则，可得出D点坐标与A，B两点坐标间的关系，从而通过OD与MC平行建立起关于斜率k的方程，从而求出斜率k的值.【解答】(1) 设圆C：(x-a)2+y2=r2(a>0)，由题意知222|37|343+⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ara r，，解得a=1或a=138，又由于S=πr2<13，所以a=1.所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2) 当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又由于l与圆C相交于不同的两点，联立223(-1)4=+⎧⎨+=⎩y kxx y，，消去y，得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0，解得k<1-263或k>1+263，且x1+x2=-26-21+kk，y1+y2=k(x1+x2)+6=2261++kk，又OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，解得k=34，由于34∉2613⎛⎫-∞-⎪⎪⎝⎭，∪2613⎛⎫++∞⎪⎪⎝⎭，，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.【点评】推断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.变式(2021·天一中学)已知A(-2，0)，B(2，0)，C(m，n).(1) 若m=1，n=3，求△ABC的外接圆的方程；(2) 若以线段AB为直径的圆O过点C(异于点A，B)，直线x=2交直线AC于点R，线段BR的中点为D，试推断直线CD与圆O的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要推断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行推断.【解答】(1) 设所求圆的方程为x2+y2+D x+E y+F=0，由题意可得4-204201330⎧+=⎪++=⎨⎪++++=⎩D FD FD E F，，，解得D=E=0，F=-4，所以△ABC的外接圆方程为x2+y2-4=0，即x2+y2=4.(2) 由题意可知以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，设点R的坐标为(2，t)，由于A，C，R三点共线，所以AC∥AR.而AC=(m+2，n)，AR=(4，t)，则4n=t(m+2)，所以t=42+nm，所以点R的坐标为422⎛⎫⎪+⎝⎭nm，，点D的坐标为222⎛⎫⎪+⎝⎭nm，，所以直线CD的斜率为k=2-2-2+nnmm=2(2)-2-4+m n nm=2-4mnm.而m2+n2=4，所以m2-4=-n2，所以k=2-mnn=-mn，所以直线CD的方程为y-n=-mn(x-m)，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O到直线CD的距离d=22+m n=4=2=r，所以直线CD与圆O相切.与圆相关的定点、定值问题例3 在平面直角坐标系x O y中，已知圆C：x2+y2=r2和直线l：x=4(其中r为常数，且0<r<4)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为点P，Q.(1) 若r=2，点M的坐标为(4，2)，求直线PQ的方程；(2) 求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标.【分析】第(1)小问只需要依据M，A1，A2这三点的坐标，求出P，Q两点的坐标即可.第(2)小问先设点M的坐标，再依据M，A1，A2这三点的坐标，求出P，Q两点的坐标得到直线PQ，再证明该直线过定点.【解答】(1) 当r =2，M(4，2)时， 则A 1(-2，0)，A 2(2，0). 直线MA 1的方程为x -3y +2=0，联立224-320⎧+=⎨+=⎩x y x y ，，解得P 8655⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 直线MA 2的方程为x -y -2=0，联立224--20⎧+=⎨=⎩x y x y ，，解得Q(0，-2). 由两点坐标得直线PQ 的方程为2x -y -2=0.(2) 由题设得A 1(-r ，0)，A 2(r ，0).设M(4，t )，则直线MA 1的方程为y =4+tr (x +r )，直线MA 2的方程为y =4-tr (x -r )，联立222()4⎧+=⎪⎨=+⎪+⎩x y r t y x r r ，，解得P 222222(4)-2(4)(4)(4)⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭r r rt tr r r t r t ，.联立222(-)4-⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y r t y x r r ，，解得Q ()22222224(4)(4)(4)⎡⎤----⎢⎥-+-+⎣⎦tr r rt r r r t r t ，. 于是直线PQ 的斜率k PQ =22816--tt r ，直线PQ 的方程为y -222(4)(4)+++tr r r t =2222228(4)16--(4)⎡⎤+--⎢⎥++⎣⎦t r r rt x t r r t .由对称性可得，定点肯定在x 轴上.令y =0，得x =24r ，是一个与t 无关的常数，故直线PQ 过定点204⎛⎫ ⎪⎝⎭r ，. 【点评】直线过定点问题的处理方法有两种：一是先求出直线的方程，然后再推断定点的位置，最终依据点的位置求出定点坐标，难度在于依据点的坐标表示直线方程时，带了较多的参数，对含字母的等式的化简有较高要求.二是先特殊，即依据特殊的直线，求出定点的坐标，再用三点共线证明两个动点的直线也过该点，其次种方法运算量较小.变式 (2021·苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A(-3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC=BD.(变式)(1) 若AC=4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O). 【解答】(1) 由于A(-3，4)，所以22(-3)4+=5.又由于AC=4，所以OC=1，所以C 34-55⎛⎫⎪⎝⎭，.由BD=4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率k =40-535--5⎛⎫ ⎪⎝⎭=-17，所以直线CD 的方程为y =-17(x -5)，即x +7y -5=0.(2) 方法一：设C(-3m ，4m )(0<m ≤1)，则OC=5m ，所以AC=OA-OC=5-5m . 由于AC=BD ，所以OD=OB-BD=5m +4， 所以点D 的坐标为(5m +4，0).又设△OCD的外接圆的方程为x 2+y 2+D x +E y +F=0，则有2220916-340(54)(54)0=⎧⎪+++=⎨⎪++++=⎩F m m mD mE F m m D F ，，，解得D=-(5m +4)，F=0，E=-10m -3，所以△OCD的外接圆的方程为x 2+y 2-(5m +4)x -(10m +3)y =0，整理得x 2+y 2-4x -3y -5m (x +2y )=0，令22-4-3020⎧+=⎨+=⎩x y x y x y ，，所以=⎧⎨=⎩xy，(舍去)或2-1.=⎧⎨=⎩xy，所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1).方法二：设C(-3m，4m)(0<m≤1)，则OC=5m，所以AC=OA-OC=5-5m. 由于AC=BD，所以OD=OB-BD=5m+4，所以点D的坐标为(5m+4，0).由于OC的中点为3-22⎛⎫⎪⎝⎭m m，，直线OC的斜率kOC=-43，所以线段OC的垂直平分线方程为y-2m=3342⎛⎫+⎪⎝⎭x m，即y=34x+258m.又由于线段OD的垂直平分线的方程为x=542+m，联立325544821035422+⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⎨⎨++⎪⎪==⎪⎪⎩⎩my x m xmmyx，，得，，所以△OCD的外接圆的圆心坐标为5410322++⎛⎫⎪⎝⎭m m，，则半径r=225410322++⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m m，从而△OCD外接圆的标准方程为542+⎛⎫-⎪⎝⎭mx2+2103-2+⎛⎫⎪⎝⎭my=2542+⎛⎫⎪⎝⎭m+21032+⎛⎫⎪⎝⎭m，整理得x2+y2-(5m+4)x-(10m+3)y=0，即x2+y2-4x-3y-5m(x+2y)=0.令22-4-3020⎧+=⎨+=⎩x y x yx y，，所以=⎧⎨=⎩xy，(舍去)或2-1=⎧⎨=⎩xy，，所以△OCD的外接圆恒过定点(2，-1).1. (2021·宿迁一模)已知光线通过点M(-3，4)，被直线l：x-y+3=0反射，反射光线通过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程是.【答案】y=6x-6【解析】由题意得反射光线经过点M(-3，4)关于直线l的对称点Q(x，y)与点N(2，6)，由-4-113-34-3022⎧=⎪=⎧⎪+⎨⎨=+⎩⎪+=⎪⎩yxxyx y，，解得，，所以Q(1，0)，所以反射光线所在直线的方程为-0-1yx=6-02-1，即y=6x-6.2. (2021·无锡期末)已知点A(0，2)为圆M：x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT=45°，则实数a的取值范围是.【答案】3，1)【解析】圆M的方程可化为(x-a)2+(y-a)2=2a2，圆心为M(a，a)2a.当A，M，T三点共线时，∠MAT=0°最小，当AT与圆M相切时，∠MAT最大.圆M上存在点T，使得∠MAT=45°，只需要当∠MAT最大时，满足45°≤∠MAT<90°即可22(-0)(-2)+a a22-44+a a AT与圆M相切，所以sin∠MAT=MTMA222-44+aa a.由于45°≤∠MAT<90°，所以2≤sin∠MAT<1，所以22222-44+aa a<131≤a<1.3. (2021·南京三模)在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9，直线l：y=kx+3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，若以M为圆心、2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为.【答案】3-4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，【解析】由题意得MC≥1对于任意的点M恒成立，由图形的对称性可知，只需点M位于AB的中点时存在即可.由点C(1，1)到直线l的距离得d21+k≥1，解得k≥-34.4. 如图，已知圆O ：x 2+y 2=1与x 轴交于A ，B 两点，直线l ：x =2，C 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，直线AC 交l 于点D ，直线CB 交l 于点E ，摸索究以DE 为直径的圆M 是否经过某定点(与点C 的位置无关)?请证明你的结论.(第4题)【解答】由已知得A(-1，0)，B(1，0)， 由于AB 为圆O 的直径，所以AC⊥CB. 设直线AC 的斜率为k (k ≠0)，则直线CB 的斜率为-1k ，于是直线AC 的方程为y =k (x +1)，直线CB 的方程为y =-1k (x -1)，分别与直线l ：x =2联立方程组，解得D(2，3k )，E 12-⎛⎫ ⎪⎝⎭k ，.设圆M 上任意一点P(x ，y )，则DP =(x -2，y -3k )，EP =1-2⎛⎫+ ⎪⎝⎭x y k ，，由DP ·EP =0，得圆M 的方程为(x -2)2+(y -3k )1⎛⎫+ ⎪⎝⎭y k =0， 即x 2-4x +1+y 2+1-3⎛⎫ ⎪⎝⎭k k y =0， 由于取任意不为0的实数k ，上式恒成立，所以2023-4100⎧=⎧=±⎪⎨⎨+==⎪⎩⎩y x x x y ，，解得，， 即无论点C 如何变化，圆M 始终过定点(2+3，0)和(2-3，0).【融会贯穿】完善提高 融会贯穿典例 已知点O(0，0)，点M 是圆(x +1)2+y 2=4上任意一点，问：x 轴上是否存在点A ，使得MO MA =12?若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.【思维引导】【规范解答】假设存在符合题意的点A(x 0，0)，设M(x ，y )，则(x +1)2+y 2=4， 所以x 2+y 2=3-2x .由MO MA =12，得MA 2=4MO 2，所以(x -x 0)2+y 2=4(x 2+y 2)，………………………………4分即3(x 2+y 2)+2x 0x -2x =0，所以3(3-2x )+2x 0x -20x =0，即(2x 0-6)x -(20x -9)=0……………………………………6分由于点M(x ，y )是圆上任意一点，所以0202-60-90.=⎧⎨=⎩x x ，…………8分所以x 0=3，………………………………………………………………………………9分所以存在点A(3，0)，使得MO MA =12.………………………………………………10分变式1 如图，已知点M(x，y)与两定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系?(变式1)【解答】由题意得，MOMA=12，所以MA2=4MO2，所以(x-3)2+y2=4(x2+y2)，即(x+1)2+y2=4.变式2 已知点O(0，0)，A(3，0)，点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：是否存在这样的常数λ，使得MOMA=λ?若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在符合题意的常数λ，设M(x，y)，22MOMA=2222(-3)++x yx y=2222-69+++x yx y x，又(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.所以22MOMA=3-2(3-2)-69+xx x=3-212-8xx=14，所以MOMA=12，即λ=12.所以存在常数λ=12，使得MOMA=12.变式3 已知点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在两个定点P，Q，使得MP MQ=12?若存在，求出两个定点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在符合题意的定点P(x1，0)，Q(x2，0)，设M(x，y)，则(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.由MPMQ=12，得MQ2=4MP2，所以(x-x2)2+y2=4[(x-x1)2+y2]，即3(x2+y2)+(2x2-8x1)x+421x-22x=0，所以3(3-2x)+(2x2-8x1)x+421x-22x=0，即(2x2-8x1-6)x+421x-22x+9=0.由于点M(x，y)是圆上任意一点，所以21112212222-8-600-24-903-5.===⎧⎧⎧⎨⎨⎨+===⎩⎩⎩x x x xx x x x，，，解得或，所以存在点P(0，0)，Q(3，0)或P(-2，0)，Q(-5，0) ，使得MPMQ=12.变式4 已知点O(0，0)，点M是圆(x+1)2+y2=4上任意一点，问：在x轴上是否存在不同于点O的定点A，使得MOMA为常数λ?若存在，求出点A的坐标及常数λ的值；若不存在，请说明理由.【解答】假设存在定点A(x0，0)，使得MOMA=λ，设M(x，y)，则(x+1)2+y2=4，所以x2+y2=3-2x.由MOMA=λ，得MO2=λ2MA2，所以x2+y2=λ2[(x-x0)2+y2]，即(λ2-1)(x2+y2)-2λ2x0x+λ22x=0，所以(λ2-1)(3-2x)-2λ2x0x+λ22x=0，即2(λ2-1+λ2x0)x-3(λ2-1)-λ22x=0.由于点M(x，y)是圆上任意一点，所以222222(-1)0-3(-1)-0λλλλ⎧+=⎨=⎩xx，，由于x0≠0，所以31.2λ=⎧⎪⎨=⎪⎩x，所以存在点A(3，0)，使得MOMA=12(常数).【点评】在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足PAPB=λ.当λ>0且λ≠1时，点P的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”.(λ=1时，点P的轨迹是线段AB的垂直平分线)温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第27-28页.【课后检测】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1. (2022·镇江期末)“a=1”是“直线ax-y+2a=0与直线(2a-1)x+ay+a=0相互垂直”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)2. (2022·淮安、宿迁摸底)已知过点(2，5)的直线l被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4，则直线l的方程为.3. (2021·苏州调研)已知圆C：(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为.4. (2021·苏州期末)已知圆M：(x-1)2+(y-1)2=4，直线l：x+y-6=0，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，则点A的横坐标的取值范围是.5. (2022·安徽模拟)已知圆C1：(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2：(x+b)2+(y+2)2=1相外切，则ab的最大值为.6. (2021·盐城三模)已知动直线y=k(x)与曲线yA，B两点，O为坐标原点，则当△AOB的面积取得最大值时，k的值为. 7. (2021·南通、扬州、泰州三调)在平面直角坐标系x O y中，过点P(-5，a)作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且2121--y yx x+1212-2++x xy y=0，则实数a的值为.8. 在平面直角坐标系x O y中，已知点P(3，0)在圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为.二、解答题9. (2022·扬州期中)在平面直角坐标系x O y中，已知圆M：x2+y2-8x+6=0，过点P(0，2)且斜率为k 的直线与圆M相交于不同的两点A，B，线段AB的中点为N.(1) 求斜率k的取值范围；(2) 若ON∥MP，求k的值.10. 在平面直角坐标系中，已知圆C1：x2+y2-2mxmy+3m2=0，圆C2：x2+y2+4m x-3m=0，其中m∈R，m≠0.(1) 当两圆的圆心距最小时，试推断两圆的位置关系.(2) 是否存在定直线与圆C1总相切?若存在，求出全部定直线的方程；若不存在，请说明理由. 11. 在平面直角坐标系x O y中，直线x-y+1=0截以原点O.(1) 求圆O的方程.(2) 若直线l与圆O相切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l的方程.(3) 设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点(m，0)和(n，0)，问：mn是否为定值?若是，恳求出该定值；若不是，请说明理由.【课后检测答案】专题五解析几何第1讲直线与圆1. 充分不必要【解析】由于两直线相互垂直，所以a·(2a-1)+(-1)·a=0，所以2a2-2a=0，所以a=0或1.2. x-2=0或4x-3y+7=0 【解析】x2+y2-2x-4y=0化成标准式为(x-1)2+(y-2)2=5.由于截得弦长为4小于直径，故该直线必有两条且圆心到直线的距离为d当斜率不存在时，l：x=2，明显符合要求；当斜率存在时，l：y-5=k(x-2)，d，解得k=43，故直线l的方程为4x-3y+7=0.3. 【解析】由于△CPQ的面积等于12sin∠PCQ，所以当∠PCQ=90°时，△CPQ的面积最大，此时圆心到直线y=3x的距离为，因此a=.4. [1，5] 【解析】首先，直线l与圆M相离，所以点A在圆M外.设AP，AQ分别与圆M相切于点P，Q，则∠PAQ≥∠BAC=60°，从而∠MAQ≥30°.由于MQ=2，所以MA≤4.设A(x0，6-x0)，则MA2=(x0-1)2+(6-x0-1)2≤16，解得1≤x0≤5.5. 94【解析】由两圆外切时圆心距等于半径之和，得|a+b|=3，所以ab≤22+⎛⎫⎪⎝⎭a b=2||4+a b=94.6. -【解析】由于yx2+y2=1(y≥0)，而S△AOB=12×12×sin∠AOB≤12，所以(S△AOB)max=12，此时△AOB为等腰直角三角形，从而点O到直线AB的距离为k=±(正值不合题意，舍去).7. 3或-2 【解析】方法一：由2121--y yx x+1212-2++x xy y=0，得2121--y yx x·12122-12++y yx x=-1，所以点(1，0)在直线PC上，其中C是圆心，所以2-2a+2×51++aa=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.方法二：221111222222-22-10-22-10⎧++=⎨++=⎩x y ax yx y ax y，，两式相减，得(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)-2a(x1-x2)+2(y1-y2)=0，x1+x2+1212--y yx x(y1+y2)-2a+2×1212--y yx x=0，由2121--y yx x+1212-2++x xy y=0得2121--y yx x(y1+y2)=-(x1+x2-2)，代入上式得2-2a+2×1212--y yx x=0.又1212--y yx x=51++aa，代入上式，得2-2a+2×51++aa=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P在圆外，符合条件.，)【解析】圆C的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32，圆心为C(m，2)，半径为当△ABC的面积的最大值为16时，∠ACB=90°，此时点C到AB的距离为4，，即16≤(m-3)2+(0-2)2<32，解得m，即m∈(3，9. (1) 方法一：圆的方程可化为(x-4)2+y2=10，直线可设为y=kx+2，即kx-y+2=0.圆心M到直线的距离d，依题意得d，即(4k+2)2<10(k2+1)，解得-3<k<1 3，所以斜率k的取值范围是1-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.方法二：由22-8602⎧++=⎨=+⎩x y xy kx，，得(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0，依题意Δ=[4(k-2)]2-40(k2+1)>0，解得-3<k<1 3，所以斜率k的取值范围是1-33⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(2) 方法一：由于ON∥MP，且直线MP的斜率为-12，故直线ON：y=-12x.由1-22⎧=⎪⎨⎪=+⎩y xy kx，，得N42-2121⎛⎫⎪++⎝⎭k k，.又N是AB中点，所以MN⊥AB，即2214--421++kk=-1k，解得k=-4 3.方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则N121222++⎛⎫⎪⎝⎭x x y y，.由22-8602⎧++=⎨=+⎩x y xy kx，，得(k2+1)x2+4(k-2)x+10=0，所以x1+x2=-24(-2)1+kk.又ON∥MP，且直线MP的斜率为-12，所以121222++y yx x=-12，即1212++y yx x=-12，即1212()4+++k x xx x=-12，所以224(-2)-414(-2)-1⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦+kkkkk=-12，解得k=-43.方法三：点N的坐标同时满足21-21--4⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩y kxy xyx k，，，解此方程组，消去x，y，得k=-43.10. (1) 由题意知，C1(mm)，C22-0⎛⎫⎪⎝⎭m，.圆心距d由于4m2+24m，当且仅当4m2=24m，即m=±1时，取等号.所以当m=±1时，圆心距d的最小值为当m=1时，此时圆C1的半径r1=1，圆C2的半径r2，所以圆心距|r 1-r 2|<d <r 1+r 2，两圆相交；当m =-1时，此时圆C 1的半径r 1=1，圆C 2的半径r 2=1， 所以圆心距d >r 1+r 2，两圆相离.(2) ①当直线的斜率不存在时，所求定直线方程为x =0； ②当直线的斜率存在时，设该定直线的方程为y =kx +b ， 由题意得，圆心C 1(m)到直线kx -y +b =0的距离等于|m |，=|m |恒成立，整理得(km +b =0恒成立， 所以k，且b =0，解得k=，所求定直线方程为y=x . 综上，存在直线x =0和y=3x 与动圆C 1总相切.11. (1) 由于点O 到直线x -y +1=0的距离dO故圆O 的方程为x 2+y 2=2.(2) 设直线l 的方程为x a +yb =1(a >0，b >0)，即bx +ay -ab =0. 由直线l 与圆O21a +21b =12.DE 2=a 2+b 2=2(a 2+b 2)2211⎛⎫+ ⎪⎝⎭a b ≥8，当且仅当a =b =2时取等号，此时直线l 的方程为x +y -2=0. 所以当DE 长最小时，直线l 的方程为x +y -2=0.(3) 设点M(x 1，y 1)，P(x 2，y 2)，则N(x 1，-y 1)，21x +21y =2，22x +22y =2，直线MP 与x 轴交点为122121-,0-⎛⎫ ⎪⎝⎭x y x y y y ，则m =122121--x y x y y y ， 直线NP 与x 轴交点为122121,0⎛⎫+ ⎪+⎝⎭x y x y y y ，则n =122121++x y x y y y ， 所以mn =122121--x y x y y y ·122121++x y x y y y=222212212221--x y x y y y=222212212221(2-)-(2-)-y y y y y y =2，故mn 为定值2.。
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解析几何常考要点与核心内容 一 直线与圆要求：熟练掌握基础知识—直线与方程，圆与方程，倾角，斜率，两直线平行与垂直的判定，圆的几何性质，点到直线距离公式等这一内容的相关题目一考查基础知识，基本技能为主 复习时注意：熟练掌握直线方程的求法， 注意点到直线距离公式的应用.注意利用圆的几何性质解决与圆有关的问题(提示：垂径定理，相交弦定理，切割线定理等).对称问题中点P 与'P 关于直线l 对称的充要条件是：'PP 中点在l 上且'PP 与l 垂直. 注意数形结合思想的应用. 二 圆锥曲线曲线与方程：会利用已知条件求解曲线方程，求解时注意讨论取值范围. 椭圆与双曲线：注意：椭圆与双曲线几何性质的异同.往往处理问题的方式是一样的.相关定义，如实轴，虚轴，实半轴，虚半轴，长轴，短轴，长半轴，短半轴，离心率等. 注意相关几何性质：第一定义，第二定义，对称性等. 要求：会求解相关方程(这类题目在高考中常见). 会求双曲线渐进线.注意求解离心率与离心率取值范围的题目(这类题目在高考中常见). 解决焦点三角形相关问题时，利用好第一定义，余弦定理和面积公式. P S ：设圆锥曲线上有一点P ，圆锥曲线焦点分别为F 1，F 2，对于△F 1PF 2 注意以下三个式子：()⎪⎩⎪⎨⎧角的正弦值一倍的两边长积乘以夹三角形面积等于二分之面积公式余弦定理定义式的平方抛物线：注意：定义及方程形式，注意与二次函数y ＝ax 2的区别与联系.当圆锥曲线方程确定时，焦半径长由焦点及焦半径与x 轴所成角唯一确定.特别的：设P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为焦点，θ为PF 与x 轴正方向所成的角，则有：θcos 1-=pPF .三 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线相切：主要考察抛物线的切线，要求会求切线(一般利用求导的方法). 注①：抛物线x 2＝2py (p ＞0)中，过定点(m ，0)(m ＞0)的直线交抛物线于A ，B 两点.过A ，B 做抛物线的切线，交于点C ．则点C 过定直线. 注②：圆锥曲线切线的一些性质：P 为椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上一点，F 1，F 2为椭圆焦点，则过P 点的切线的法线平分21PF F ∠(即切线平分21PF F ∠的外角)P 为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 上一点，F 1，F 为其焦点，则过P 点的切线平分∠F 1PF 2P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为其焦点，则过P 点的切线的法线平分PF 与水平线(这里指与x 轴平行的直线)的夹角.光学性质：抛物面镜，可将焦点处电光源发射的光反射成平行光.直线与圆锥曲线有两个交点：直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点，题目主要以解答题形式出现.常见的有求弦长，焦点弦长，弦中点问题，取值范围最值等问题.希望同学们在解决问题时注意利用一元二次方程相关结论(判别式，韦达定理)，函数的性质(主要是单调性)，不等式，平面向量等知识. 这类题目重在考察学生基本的数学素质与数学能力，难度多为中等偏难题，运算量思维量大，综合性较强. 注：常见问题的解决方法(这里设直线l 截圆锥曲线F (x ，y )＝0，交F (x ，y )＝0于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).) ①韦达定理②弦长公式221221111ABAB k y y k x x AB +-=+-= ③中点弦，弦中点AB 中点M (x 0，y 0)与AB 斜率的关系将A ，B 坐标代入圆锥曲线方程，这里以双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 为例，代入A ，B 坐标后得到二等式：12222=-by a x ()0,0>>b a1222222=-by a x ()0,0>>b a二式相减，得02222122221=---b y y a x x利用平方差公式，化简后得到等式：2121222121y y x x b a x x y y ++=-- 从而有022y x b a k AB= ④焦半径与焦点弦 焦半径公式对于圆锥曲线C ，P 为C 上一点，F 为C 的焦点，l 为F 相应准线.过F 作FG ⊥l 于G ，设p 为F 到l 的距离，θ为GF 到的角.e 为离心率，则PF 的长满足θcos 1e epPF -=推导还是比较简单的，这里以抛物线(抛物线的离心率e ＝1)为例如图，设P 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为焦点，θ为PF 与x 轴正方向(也就是GF )所成的角，过P 作PM ⊥x 轴于M ，PP 1⊥准线l 于P 1.则|FG |＝p (焦点到准线的距离是p ).|PP 1|＝|PF |(抛物线定义)，|PP 1|＝|GM |(垂直) 所以|PF |＝|GM |＝|GF |＋|FM | 在Rt △FMP 中，|FM |＝|FP |cos θ， 从而有|PF |＝p ＋|PF |cos θ， 化简后即可得到θcos 1-=pPF当然，这只是θ∈(0，π)时的情况，其他情况通过分类讨论也是容易得到的. 焦点弦长公式由上面的公式，易知，若'PP 为焦点弦，则PF F P PP +='' 从而利用上面的焦点弦长公式，可得到 ()θθθ22cos 12πcos 1cos 1'e epe ep e ep PP -=+-+-=公式特点：这一公式刻画了焦点弦长与所在直线倾角之间的关系. 焦点弦与第二定义圆锥曲线C ，F 为C 的焦点，l 为F 相应准线.交x 轴于M ，弦AB 过F . 如图，过A ，B 作'AA ⊥l 于'A ，'BB ⊥l 于'B .设e 为C 的离心率此时，梯形''ABB A 为直角梯形. 所以，由第二定义：''BB BFe AA AF == 从而MB MA BF AF BB AA ''''== 所以'MAA ∆∽'MBB ∆由相似，我们可以得到MF 平分∠AMB .当然，利用梯形的几何性质，我们还可以得到更多的结论，有兴趣的同学可以去研究一下.这里只给出这一简单的几何性质，目的是提示同学们注意这一以焦点弦为一腰的直角梯形.⑤不一定经过焦点的弦 ⎩⎨⎧定比分点公式韦达定理椭圆与双曲线抛物线(1)注意直线与抛物线联立的特点设抛物线y 2＝2px (p ＞0)与直线l ：my ＝x －t 交于A ，B 两点.l 交x 轴于(t ，0) 直线方程my ＝x －t (注意这样设直线的好处)与抛物线y 2＝2px 联立后 利用韦达定理可以得到x 1x 2＝t 2，y 1y 2＝－2pt这时x 1x 2和y 1y 2由t 决定，注意t 的几何意义(直线my ＝x ＋n 与x 轴交点的横坐标)若t 一定，则x 1x 2和y 1y 2为定值.(2)直线AB 的方程可以直接利用AB 的坐标表示.(利用两点式或点斜式设出直线方程代入A ，B 点坐标，注意A ，B 都在抛物线上，从而可以将直线方程化简) 化简结果AB ：()px y y y y y 22121=-+ 四 综合问题圆锥曲线有关的最值，定值，参数的取值范围取值范围问题注意：根据已知条件利用韦达定理，将几何问题转化为解含参数的不等式问题或不等式恒成立问题.过定点，有定向问题：利用韦达定理，积累二级定理公式 这里提供一个定理，有兴趣的同学可以自己证明并将其推广：设P 为圆锥曲线上一点，过P 作圆锥曲线的两条弦P A ，PB ，交圆锥曲线于A ，B 两点当K P A ＋K PB 为定值或K P A K PB 为定值时，弦AB 过定点或有定向.(同学们可以先证明这一定理在抛物线中的情况，然后尝试推广到椭圆和双曲线)在复习解析几何时希望同学们注意选择适合自己的复习策略.在练习时注意要多练多算，解题时一定要动笔算，不能想出思路后就过了.记住，运算出错是因为你算的不够多，该犯的错误还没有犯够，解析几何中尤其要注意练习运算能力.基础篇10课标 (15)过点A (4，1)的圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为()2322=+-y x考点：直线与圆的方程 规律方法：圆的几何性质解析：设圆心坐标为()b a C ,，由圆的几何性质，CB 与直线y ＝x －1垂直且交y ＝x －1于B .同时，圆心在AB 垂直平分线上，故圆心横坐标为3，即a ＝3.CB 斜率1231-=--b 即0=b ，所以圆心坐标为C (3，0).2==CB r ，所以圆C 的方程为()2322=+-y x答案：()2322=+-y x(14)直线052=+-y x 与圆822=+y x 相交于A 、B 两点，则=AB ________.考点：直线与圆的方程规律方法：圆的几何性质点到直线距离公式 解析：圆心为(0，0)，半径为22 圆心到直线052=+-y x 的距离为()52150022=-+++=d故()()2222252=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛AB得|AB |＝32 答案：32 10广东12．已知圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线02=+y x 相切，则圆O 的方程是___________．考点：直线与圆的方程规律方法：圆的几何性质，点到直线的距离公式 解析：设圆心为()()00,<a a ，则5210222=+⨯+=a r ，解得5-=a ．答案：()5522=++y x ．10江西8．直线3+=kx y 与圆()()42322=-+-y x 相交于M ，N 两点，若32≥MN ，则k 的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43B ．[]+∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞-,043,C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-33,33D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,32考点：直线与圆的位置关系、点到直线距离公式， 规律方法：数形结合的运用.，解析：圆心的坐标为(3，2)，且圆与y 轴相切.当32=MN 时， 利用垂径定理的图形，可得：弦心距2＋半弦长2＝r 2.从而可知 弦心距2≤1所以0≤弦心距≤1再由点到直线距离公式，解得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43； 答案：A10上海 3．动点P 到点()0,2F 的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则P 的轨迹方程为______．考点：考查抛物线定义及标准方程解析：定义知P 的轨迹是以()0,2F 为焦点的抛物线，p ＝2所以其方程为y 2＝8x2x =-，求得y 2＝8x 答案：x y 82=10福建 2．以抛物线x y 42=的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．0222=++x y xB ．022=++x y x C ．022=-+x y xD ．0222=-+x y x考点：本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为1=r ，故所求圆的方程为()1122=+-y x ，即0222=+-y x x ，选D ．答案：D10陕西 8．已知抛物线()022>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为A ．12B ．1C ．2D ．4考点：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为2px -=，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，所以423=+p，2=p 答案：C10北京 13．已知双曲线12222=-b y a x 的离心率为2，焦点与椭圆192522=+y x 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______. 考点：椭圆与双曲线焦点坐标的求法以及双曲线的渐近线解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为()0,4±，又双曲线离心率为2，即2=ac，4=c ，故2=a ，32=b ，渐近线为x x aby 3±=±=答案：()0,4±，x y 3±=10全国 II (12)已知椭圆C ：12222=+by a x ()0>>b a 的离心率为23，过右焦点F 且斜率为()0>k k 的直线与C 相交于A 、B 两点．若3=，则=k A ．1 B ．2C ．3D ．2考点：本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.解析：设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，eAF AA =1，eBF BB =1，由3=，得eBF AA 31=，所以|AB |＝4|BF |∴21cos 423BFAE e BAE B B F A e ∠====，36sin =∠∴BAE ，2tan =∠∴BAE 即2=k ，故选B . （将AB 念成AE ）答案：B10全国 II (15)已知抛物线C ：px y 22=()0>p 的准线为l ，过()0,1M 且斜率为3的直线与l 相交于点A ，l 与C 的一个交点为B ．若MB AM =，则=p _________．考点：本题主要考查抛物线的定义与性质.解析：过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵=，∴M 为中点，∴AB BM 21=，又斜率为3，︒=∠30BAE ，∴AB BE 21=，∴BE BM =，∴M 为抛物线的焦点，∴=p 2.本题亦可以利用定比分点公式，设出A ，B 坐标⎪⎭⎫⎝⎛--0,2y p A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020,2y p y B .利用题目条件可列出方程22220=+-py p ，3120=+p y即可求得结果p=2. 答案：210课标 (12)已知双曲线E 的中心为原点，()0,3F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为()15,12--N ，则E 的方程式为A ．16322=-y xB ．15422=-y x C ．13622=-y xD ．14522=-y x 考点：利用点差法处理弦中点与斜率问题解析：设双曲线方程为12222=-by a x ，即222222b a y a x b =-，()11,y x A ，()22,y x B由22212212b a y a x b =-，22222222b a y a x b =-得()()()()02121212212=--+-+x x y y y y ax x b又中点()15,12--N ，1123150=++==FN AB k k ，0151222=+-∴a b 即2254a b =，922=+a b所以42=a ，52=b ，选B 答案：B10浙江 (8)设1F 、2F 分别为双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212F F PF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x考点： 本题主要考察三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，2122PF F F c ==，122PF PF a -=，过2F 做2F E 垂直于直线1PF ，垂足为E ，2F E =2a ，根据等腰三角形性质，E 为1PF 中点。