初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第9讲 坐标平面上的直线
最新华师版初中数学九年级下册第9讲 平面直角坐标系与函数
（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：
①关于轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；
③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．
（5）点M（,y）平移的坐标特征：
M（,y）M1(+a,y)
M2(+a,y+b)
平行于轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等
知识点二：函数
4函数的相关概念
（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量和y，对于的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称是自变量，y是的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法
读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于轴的线段
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向
（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t（或线段长为），找因变量与t(或)之间存在的函数关系，用含t(或)的式子表示，再找相应的函数图象要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围
第9讲平面直角坐标系与函数
一、知识清单梳理
知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应举例
1相关概念
（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．
2020年初中数学竞赛讲义：第09讲-坐标平面上的直线
2020年初中数学竞赛讲义 第九讲 坐标平面上的直线一般地，若b kx y += (k 、b 是常数，0≠k )，则y 叫做x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式b kx y += 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。
如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 的一个二元一次方程0=+-b y kx ；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bc x ba y --= (0≠b )的函数形式。
坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。
【例题求解】【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111b x k y +=，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。
思路点拨 解题的关键是求出P 点坐标，只需运用几何知识建立OP 的等式即可。
【例2】 设直线2)1(=++y n nx(n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S(n ＝1，2，…2000)，则S 1+S 2+…+S 2000的值为( ) A ．1 B ．20001999 C ．20012000 D ．20022001思路点拨 求出直线与x 轴、y 轴交点坐标，从一般形式入手，把n S 用含n 的代数式表示。
【例3】 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨，加油飞机的加．油油箱．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q 1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式； (3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由． 思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。
坐标平面上的直线的知识点及部分例题
坐标平面上的直线的知识点及部分例题1、已知直线上一点()00,y x P ，方向向量()v u d ,=→，法向量()b a n ,=→则直线的点方向式方程为vy y u x x 00-=- 0,0≠≠v u ； 直线的点法向式方程为 ()()000=-+-y y b x x a ； 直线的点斜式方程为 (00x x bay y --=- 0≠b ； 直线的斜截式方程为 00y x bax b a y ++-= 0≠b ； 直线的一般式方程为 ()000=+-+by ax by ax ；2、直线的倾斜角的定义是 设直线l 与x 轴交于点M ，将x 轴绕点M 按逆时针方向旋转至与直线l 重合时所成的最小正角α叫做直线l 的倾斜角。
； 直线的倾斜角的范围是 [)π,0 ； 直线的斜率的定义是 2πα≠时，αtan =k 叫做直线l 的斜率 ；已知直线的斜率k ，则直线的倾斜角α为 ⎩⎨⎧+=<=≥k k k k a r c t an ,0a r c t an ,0παα ；3、已知直线1l ：0111=++c y b x a ；直线2l ：0222=++c y b x a （1）如何判定两条直线位置关系？ 判定方程组⎩⎨⎧=++=++0222111c y b x a c y b x a 解的情况 ；（2）1l //2l ⇔ 1221b a b a =，12211221c b c b c a c a ≠≠或 ； （3）求1l 与2l 的夹角α的公式：222221212121cos b a b a b b a a +++=α；角α的范围： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π；（4）⇔⊥21l l 02121=+b b a a ；4、已知直线l ：0=++c by ax ，点()00,y x P 是直线l 外一点，则点P 到直线l 的距离公式为d =5、已知直线1l ：01=++c by ax ；直线2l ：02=++c by ax ，则1l // 或重合 2l ，且1l 与2l 之间的距离公式为d =6、如何判定点与直线的位置关系： 有向距离 ； 习题1、已知ABC ∆中，90=∠BAC ，点B 、C 的坐标分别为()2,4，()8,2，向量()2,3=→d 且→d 与AC 边平行，求ABC ∆的两条直角边所在直线的方程。
人教版七年级数学下册第七章《平面直角坐标系》知识梳理、考点精讲精练、课堂小测、课后作业第9讲有答案
第9讲平面直角坐标系1、有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。
（1）记作（a ，b）；（2）注意：a、b的先后顺序对位置的影响。
a,）（3）、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b 一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；（4）、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限；2、平面直角坐标系平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
构成坐标系的各种名称：水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点第一象限：（＋，＋）点P（x，y），则x＞0，y＞0；第二象限：（－，＋）点P（x，y），则x＜0，y＞0；第三象限：（－，－）点P（x，y），则x＜0，y＜0；第四象限：（＋，－）点P（x，y），则x＞0，y＜0；四个象限的特点：第一象限（正，正），第二象限（负，正），第三象限（负，负），第四象限（正，负）横坐标轴上的点：（x ，0）纵坐标轴上的点：（0，y ）1、平行于x 轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；2、平行于y 轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。
3、第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；4、第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。
（1）在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等； 点A 、B 的纵坐标都等于m ；（2）在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； 点C 、D 的横坐标都等于n ；（3）各象限的角平分线上的点的坐标特点：若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x 轴、y 轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。
泉州五中初二下奥数讲座(8) —— 坐标平面上的直线提高
泉州五中初二下奥数讲座（8）——坐标平面上的直线提高班 号 姓名 供稿人：李锦扬例题与求解 【例1】（1）如图，已知A 点坐标为(5,0)，直线(0)y x b b =+>与y 轴交于点B ，连接AB ，75α∠=︒，则b = . （2）一次函数y ax b =+的图象l 1关于直线y x =-轴对称的图象l 2的函数解析式是 .（太原市竞赛试题） 【例2】已知0abc ≠，并且a b b c c ap c a b+++===，则直线y px p =+一定通过（ ）A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限 （全国初中数学竞赛试题）解题思路：求出p 的值，大致画出函数图象位置，从而作出判断.【例3】如图，△AOB 为正三角形，点B 的坐标为(2,0)，过点C (2,0)-作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且使△ADE 和△DCO 的面积相等，求直线l 的函数解析式.（太原市竞赛试题）【例4】已知长方形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为(8,6)，A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上的动点，设PC m =，已知点D 在第一象限且是直线26y x =+上的一点，若△APD 是等腰直角三角形. （1）求点D 的坐标；（2）直线26y x =+向右平移6个单位后，在该直线上是否存在点D ，使△APD 是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点讨论，这是解本题的关键.例4颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题，探索过程是尝试画图，找到可能存在的点，再计算验证. 综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识，渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.【例5】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）. 现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：乙甲（1）图2中折线ABC 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE 表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选塡“甲”或“乙”）， 点B 的纵坐标表示的实际意义是 ； （2）注水多久，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ （3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）αB A yxO能力训练B 级1．如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点(3,0)A 、(2,7)B ，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111y k x b =+，过A 、P 两点的直线为222y k x b =+，且BP AP ⊥，则1212()k k k k += ．2．设直线(1)1(kx k y k ++=为自然数）与两坐标轴所围成的图形的面积为(1k S k =，2，3，⋯，2000)． 则1232000S S S S +++⋯+= ． 3．如图所示，直线210y x =-+与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，把ABO ∆沿直线AB 翻折，点O 落在C 处，则点C 的坐标是 ．4．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15,6)，直线13y x b =+恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b = ．5．在平面直角坐标系中，已知(0,4)A ，(4,2)B ，在x 轴上找一点P ，使PA PB +的长度最短，求出点P 的坐标及PA PB +的最短长度 ．6．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量()x kg 与其运费y （元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量( )A ．20kgB ．25kgC ．28kgD ．30kg 7．一个一次函数图象与直线59544y x =+平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(1,20)--，则在线段AB 上（包括端点A 、)B ，横、纵坐标都是整数的点有 个．8．设b a >，将一次函数y bx a =+与y ax b =+的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a ，b 的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是( )A B C D9．求证：不论k 为何值，一次函数(21)(3)(11)0k x k y k --+--=的图象恒过一定点．10．给出四条直线：3y kx =-、1y =-、3y =和1x =，已知它们围成的四边形的面积为12，求k 的值．11．在直角坐标系中，一次函数2(0)y kx b k =++≠的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得OAB ∆的面积值等于||||3OA OB ++． （1）用b 表示k ；（2）求OAB ∆面积的最小值．。
第九讲坐标平面上的直线(初中数学培优提高)
第九讲坐标平面上的直线(初中数学培优提高)部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第九讲坐标平面上的直线一般地,若 (,是常数,>,则叫做的一次函数,它的图象是一条直线,函数解读式 6中的系数符号,决定图象的大致位置及单调性(随的变化情况>.如图所示:一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系,任意一个一次函数都可看作是关于、的一个二元一次方程。
任意一个关于、的二元一次方程,可化为形如 (>的函数形式.坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程,而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系,求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解读式联立的方程组.b5E2RGbCAP【例题求解】【例1】如图,在直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0>.B(2,7>,P为线段OC上一点,若过B、P两点的直线为,过A、P 两点的直线为,且BP⊥AP,则=.p1EanqFDPw思路点拨解题的关键是求出P点坐标,只需运用几何知识建立OP的等式即可.【例2】设直线 (为自然数>与两坐标轴围成的三角形面积为(＝1,2,…2000>,则S1+S2+…+S2000的值为( > DXDiTa9E3dA.1B.C.D.思路点拨求出直线与轴、轴交点坐标,从一般形式入手,把用含的代数式表示.【例3】某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油过程中,设运输飞机的油箱余油量为Q1吨,加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨,加油时间为分钟,Q1、Q2与之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:RTCrpUDGiT(1>加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟?(2>求加油过程中,运输飞机的余油量Q1 (吨>与时间 (分钟>的函数关系式。
(3>运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需10小时到达目的地,油料是否够用?说明理由.思路点拨对于(3>,解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量.注:(1>当自变量受限制时,一次函数图象可能是射线、线段、折线或点,一次函数当自变量取值受限制时,存在最大值与最小值,根据图象求最值直观明了.5PCzVD7HxA(2>当一次函数图象与两坐标轴有交点时,就与直角三角形联系在一起,求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.jLBHrnAILg【例4】如图,直线与轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC＝90°,如果在第二象限内有一点P(,>,且△ABP的面积与△A ABC的面积相等,求的值.xHAQX74J0X思路点拨利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程,解题的关键是把S△ABP表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差.LDAYtRyKfE注:解函数图象与面积结合的问题,关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面积来表示,这样面积与坐标就建立了联系.Zzz6ZB2Ltk【例5】在直角坐标系中,有以A(一1,一1>,B(1,一1>,C(1,1>,D(一1,1>为顶点的正方形,设它在折线上侧部分的面积为S,试求S关于的函数关系式,并画出它们的图象.dvzfvkwMI1思路点拨先画出符合题意的图形,然后对不确定折线及其中的字母的取值范围进行分类讨论,的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状.rqyn14ZNXI注:我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数.去掉绝对值符号,把绝对值函数化为分段函数,这是解绝对值的一般思路.EmxvxOtOco学历训练1.一次函数的自变量的取值范围是-3≤≤6,相应函数值的取值范围是-5≤≤-2,则这个函数的解读式为.SixE2yXPq52.已知,且,则关于自变量的一次函数的图象一定经过第象限.3.一家小型放影厅的盈利额(元>与售票数之间的关系如图所示,其中超过150人时,要缴纳公安消防保险费50元.试根据关系图回答下列问题:6ewMyirQFL(1>当售票数满足0<≤150时,盈利额 (元>与之间的函数关系式是.(2>当售票数满足150<x≤200时,盈利额(元>与之间的函数关系式是.(3>当售票数为时,不赔不赚。
坐标平面上的直线知识点归纳
坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o0，所以直线的倾斜角α的范oo（2）直线的斜率：倾斜角不是o90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于o90的直线对于x 轴的倾斜程度的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
③斜率计算公式：`设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =o二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；②k x x y y =--0表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； #注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--；注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
【北师大】七年级上册数学 第09讲 线段、射线和直线的概念及其性质 讲义(含答案)
教师讲义 年 级： 辅导科目： 课时数：
课 题 线段、射线和直线的概念及其性质
教学目的
1、 理解并掌握线段、射线、直线的定义和表示方法
2、 灵活运用直线、线段的性质，掌握相关概念
教学内容
一、日校回忆
二、上节课知识点回忆
三、知识梳理
1、线段、射线、直线的定义
〔1〕线段：线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。
线段可以量出长度。
〔2〕射线：将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有一个端点。
射线无法量出长度。
〔3〕直线：将线段向两个方向无限延伸就形成了直线，直线没有端点。
直线无法量出长度。
2、线段、射线、直线的表示方法
〔1〕线段的表示方法有两种：一是用两个端点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
〔2〕射线的表示方法只有一种：用端点和射线上的另一个点来表示，端点要写在前面。
〔3〕直线的表示方法有两种：一是用直线上的两个点来表示，二是用一个小写的英文字母来表示。
3、直线公理：过两点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
4、线段的比拟
〔1〕叠合比拟法；
〔2〕度量比拟法。
5、线段公理：“两点之间，线段最短〞。
连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。
6、线段的中点：如果线段上有一点，把线段分成相等的两条线段，这个点叫这条线段的中点。
假设M 是线段AB 的中点，那么：AM=BM=2
1AB 或AB=2AM=2BM 。
坐标平面上的直线知识点归纳
坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o0，所以直线的倾斜角α的范o o（2）直线的斜率：倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于o 90的直线对于x 轴的倾斜程度的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
③斜率计算公式：设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =o 二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =； ②k x x y y =--00表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
坐标平面上的直线的知识点及拓展
坐标平面上的直线的知识点及拓展在我们的数学世界中，坐标平面上的直线是一个基础且重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在物理、工程等其他领域发挥着关键作用。
接下来，让我们一起深入了解坐标平面上直线的相关知识，并进行一些拓展和延伸。
首先，我们来谈谈直线的方程表示形式。
最常见的是点斜式方程，形如$y y_1 ＝ k(x x_1)＄，其中$（x_1, y_1)＄是直线上的一个已知点，＄k$是直线的斜率。
斜率是直线倾斜程度的度量，它等于直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
如果直线平行于$x$轴，斜率为$0$；如果直线平行于$y$轴，斜率不存在。
另一种常见的形式是斜截式方程$y ＝ kx ＋ b$，其中$k$仍然是斜率，＄b$是直线在$y$轴上的截距，也就是直线与$y$轴交点的纵坐标。
通过给定斜率和截距，我们就能迅速确定这条直线的位置和走向。
还有一般式方程$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$，其中$A$、＄B$不同时为$0$。
这种形式在解决一些综合性问题时非常有用，比如判断直线之间的位置关系。
两条直线的位置关系也是一个重要的知识点。
如果两条直线的斜率相等，那么它们平行；如果两条直线的斜率乘积为$－1$，那么它们垂直。
对于平行的直线，它们的一般式方程中，＄A$和$B$的比值相同，但$C$的值不同。
对于垂直的直线，＄A_1A_2 ＋ B_1B_2 ＝ 0$。
直线的交点问题也值得我们关注。
要找到两条直线的交点，我们可以将它们的方程联立，求解方程组。
比如，对于直线$y ＝ k_1x ＋b_1$和$y ＝ k_2x ＋ b_2$，令$k_1x ＋ b_1 ＝ k_2x ＋ b_2$，解出$x$的值，再代入其中一个方程求出$y$的值，就得到了交点的坐标。
在实际应用中，直线常常用于解决距离问题。
比如点到直线的距离公式，设点$P(x_0, y_0)＄，直线$Ax ＋ By ＋ C ＝ 0$，则点$P$到直线的距离为$d ＝＼frac{｜Ax_0 ＋ By_0 ＋ C|｝｛＼sqrt{A^2 ＋ B^2}｝＄。
湘教版初中数学九年级下册第9讲 平面直角坐标系与函数
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第9讲平面直角坐标系与函数一、知识清单梳理
M1(x+a,y)
（2
）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：
①设时间为t （或线段长为x ），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.
越大，图象越陡峭；③当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x 轴的线段.
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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第9讲 坐标平面上的直线
第九讲 坐标平面上的直线一般地，若b kx y += (k 、b 是常数，0≠k )，则y 叫做x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式b kx y += 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。
如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 的一个二元一次方程0=+-b y kx ；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bcx b a y --= (0≠b )的函数形式。
坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。
【例题求解】【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111b x k y +=，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。
思路点拨 解题的关键是求出P 点坐标，只需运用几何知识建立OP 的等式即可。
【例2】 设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n ＝1，2，…2000)，则S 1+S 2+…+S 2000的值为( ) A ．1 B ．20001999 C ．20012000 D ．20022001思路点拨 求出直线与x 轴、y 轴交点坐标，从一般形式入手，把n S 用含n 的代数式表示。
【例3】 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨，加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q 1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由． 思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。
人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题(包含答案)
人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值.【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变C.等分DB⌒ D.随C 点的移动而移动【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.P AB CDAPB【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（图1）（图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.【能力训练】1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则BOACE HG D A=+21S S _______.（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ） A ．在平分AB 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动（第5题图） （第6题图） 6.如图，A ，B 是函数xky =图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.A ABCDEFAB'（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.⑥⑤④③②①P(B )A PB9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值； （2）2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.P D CB A A折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋ ）A. ∠1＋∠2＝900°－2α B. ∠1＋∠2＝1080°－2α C. ∠1＋∠2＝720°－α D. ∠1＋∠2＝360°－21α（第3题图） （第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （ ）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A.5B.6C.7D.8（第5题图） 12GF EDCHBAB6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（第7题图） （第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.NKMB AC HCBA（第9题图） （第10题图） 10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变. 参考答案例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = .∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×()23＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP •2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP •2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a ＋2a )，从而21AP BPCP DP+=-+为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PMEC PC=，即()2112x x EC--=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989)⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥P A ，故只要QC ＝P A 185． ⑶即可，而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝244414255=．∴t ＝ 4145－2． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224．由于224≈15，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝4145－2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角2第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手3第一讲走进追问求根公式形如a某2b某c0（a0）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式某1,2bb24ac内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了2a一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足(n2n1)n21的整数n有个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设某1、某2是二次方程某2某30的两个根，那么某134某2219的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路点拨：求出某1、某2的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如某123某1，某223某2。
坐标平面上直线知识点归纳
坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和x 轴平行或重合时，其倾斜角为o0，所以直线的倾斜角α的范o o （2）直线的斜率：倾斜角不是o 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，①斜率是用来表示倾斜角不等于o90的直线对于x 轴的倾斜程度的。
②每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x 轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。
③斜率计算公式：设经过),(11y x A 和),(22y x B 两点的直线的斜率为k ， 则当21x x ≠时，2121tan x x y y k --==α；当21x x =o 二、直线方程的几种形式：（1）点斜式：过已知点),(00y x ，且斜率为k 的直线方程：)(00x x k y y -=-； 注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =；②k x x y y =--00表示：)(00x x k y y -=-直线上除去),(00y x 的图形 。
（2）斜截式：若已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程：b kx y +=； 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过),(11y x 和),(22y x 两点，且（2121,y y x x ≠≠），则直线的方程：121121x x x x y y y y --=--； 注意：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式0))(())((=-----x x y y y y x x 时，方程可以适应在于任何一条直线。
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坐标平面上的直线知识点归纳一、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把工轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为a,那么a就叫做直线的倾斜角。
注意：规定当直线和尤轴平行或重合时其倾斜角为（T,所以直线的倾斜角。
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%1每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于工轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况,否则会产生漏解。
%1斜率计算公式：设经过A（x}, /）和B（X2 , y2）两点的直线的斜率为k ,则当X] x2时，A = tana = ~ ；当x} - x2时，a -90° ；斜率不存在；~ %, — x2二、直线方程的儿种形式：（1）点斜式：过已知点（工0，%），且斜率为A的直线方程：）：一光=奴＞一工0）；注意：①当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x = x（）；②nX-X Q=灯工一工0）直线上除去（工0,%）的图（2）斜截式：若已知直线在》轴上的截距为b ,斜率为k,则直线方程：y = kx + b；注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。
（3）两点式：若已知直线经过3],凹）和（工2，光）两点，且（玉。
工2，、1。
力），则直线的方程：旦W =二；力一口工2一羽注意：①不能表示与工轴和轴垂直的直线；②当两点式方程写成如下形式g—M）（y一名）—（光―乂）3—玉）=°时，点％4对应的参数为"，则哗1= J。
？+/x = x(} +t cosa （，为参数）其中方向向量为（cosa,sina）,[的儿何意方程可以适应在于任何一条直线。
八年级数学竞赛例题坐标平面上的直线专题讲解【DOC范文整理】
八年级数学竞赛例题坐标平面上的直线专题讲解专题10坐标平面上的直线阅读与思考我们知道，任意一个一次函数的图象都是平面上的一条直线，那么，是不是平面上的任意一条直线都是某个一次函数的图象呢？请读者思考.一次函数、二元一次方程、直线三者有着紧密的联系，我们既可以用函数的方法来处理方程的问题，也可以从方程的观点来讨论函数；既可以用坐标平面上的直线来表示一次函数与二元一次方程，也可以用方程和函数的思想来研究直线的性质，以及直线与直线之间的关系.数形结合是解函数问题的重要思想方法，它包括两方面内容：由数定形即通过函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置.由形导数即从给定的函数图象上获得解的信息，如图象的大致位置；确定解析式中系数符号；图象上的点的坐标等.一次函数的图象是一条直线，对于实际问题，由于自变量的取值范围受实际意义的限制，因此，作出的函数图象是常见直线的一部分，相应函数值就有最大值或最小值.一次函数是表示日常生活中匀速变化的两个变量之间关系的数学模型，是最基本的函数，有着广泛的应用价值.运用一次函数解题时应注意：一次函数的图象是一条直线.函数解析式中的系数符号，确定图象的大致位置及y随x变化的性质.3.确定一次函数解析式，通常需要两个独立的条件.一次函数与二元一次方程有着密切的联系，任意一个一次函数都可以看做是一个关于x，y的二元一次方程；反过来，任意一个二元一次方程，当时，可化为形如的函数形式.例题与求解【例1】如图，已知A点坐标为，直线与y轴交于点B，连接AB，，则.一次函数的图象l1关于直线轴对称的图象l2的函数解析式是.解题思路：对于，先求出相应函数解析式；对于，l1与x轴、y轴交点的坐标分别为，，求出A，B两点分别关于直线对称点的坐标，这是解题的关键.【例2】已知，并且，则直线一定通过A.、二象限B.第二、三象限c.第三、四象限D.、四象限解题思路：求出p的值，大致画出函数图象位置，从而作出判断.【例3】如图，△AoB为正三角形，点B的坐标为，过点c作直线l交Ao于D，交AB于E，且使△ADE和△Dco的面积相等，求直线l的函数解析式.解题思路：由得，设法求出E点的坐标.【例4】某科技公司在甲地、乙地分别生产了17台、15台同一种型号的检测设备，全部运往大运会赛场A，B两馆，其中运往A馆18台、运往B馆14台.运往A，B两馆的运费如下表：出发地目的地甲地乙地A馆800元/台700元/台B馆500元/台600元/台设甲地运往的设备有x台，请填写下表，并求出总运费y与x的函数关系式；出发地目的地甲地乙地A馆xB馆要使总运费不高于20200元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；当x为多少时，总运费最小，最小值是多少？解题思路：将设计方案转化为求不等式组的整数解，为此需求出自变量的取值范围.当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起.求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础.当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点.当一次函数自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了.【例5】已知长方形ABco，o为坐标原点，B的坐标为，A，c分别在坐标轴上，P是线段Bc上的动点，设，已知点D 在象限且是直线上的一点，若△APD是等腰直角三角形.求点D的坐标；直线向右平移6个单位后，在该直线上是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由.解题思路：构造全等三角形，注重坐标与线段的转化，并由动点讨论，这是解本题的关键.例5颠覆了传统意义上的动点问题与存在性问题，探索过程是尝试画图，找到可能存在的点，再计算验证.综合了坐标、方程、函数、矩形、特殊三角形、全等三角形等丰富的知识，渗透了分类讨论、数形结合等思想方法.【例6】如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中.现将甲槽中的水匀速注人乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y与注水时间x之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：图2中折线ABc表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，点B 的纵坐标表示的实际意义是；注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？若乙槽底面积为36平方厘米，求乙槽中铁块的体积；若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积．解题思路：观察乙槽的特征可知，水面上升速度应是先快后慢，图象的“转折点”即对应容器的“水面刚好漫过铁块”这个时刻，由此确定，图象与器具的对应关系.对于、，根据注水时间与注水速度求解，而解题的关键是挖掘出隐含信息.例6是图象信息题.函数图象以直观、形象的特征融合了显性与隐性的信息，解题的关键是获取数据、数量关系信息，并能整合信息，还原到问题的情境之中.能力训练A级已知，且，则关于自变量x的一次函数的图象一定经过第象限.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，其图象如图所示，旅客最多可免费携带行李千克.如图，一次函数的图象经过A，B两点，则△Aoc的面积为.如图，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，直线Bc与直线AB垂直，垂足为B，则直线Bc所对应的函数解析式为.某市为了鼓励节约用水，按以下规定收取水费：每户每月用水量不超过203，则每立方米水费1.2元；每户每月用水量超过203，则超过的部分每立方米水费2元.设某户一个月所交水费为y，用水量为x，则y与x的函数关系用图象表示为ABcD下列图象中，不可能是关于x的一次函数的图象是如图，点A，B，c在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是A.1B.3c.D.点，是坐标平面上两定点，c是的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABc可以画出A.1个B.2个c.3个D.4个随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势.试用你学过的函数知识解决下列问题：xXXXXXX…入学儿童人数y252023302140…求入学儿童人数y与年份x的函数关系式；利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人.0.已知直线和，若它们的交点在第四象限.求的取值范围；若为非整数，点A的坐标为，点P在直线上，求使△PAo 为等腰三角形的点P的坐标.1.如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线经过点，且把△AoB分成两部分.若△AoB被分成的两部分面积相等，求和b的值；若△AoB被分成的两部分的面积比为，求和b的值.某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票.经调查统计发现，每天开始售票时，约有300名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数y与售票时间x的函数关系如图1所示；每个售票窗口票数y与售票时间x的函数关系如图2所示.某天售票厅排队等候购票的人数y与售票时间x的函数关系如图3所示.已知售票的前a分钟开放了两个售票窗口，求：图1图2图3a的值；售票到第60分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数；该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着“以人为本，方便旅客”的宗旨，决定增设售票窗口.若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？3.XX年4月28日，以“天人长安，创意自然——城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园.这次园艺会的门票分为个人票、团体票两大类，其中个人票设置有三种：票的种类夜票平日普通票指定日普通票单价60100150某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购A种票张数为x，c种票张数为y.写出y与x之间的函数关系式；设购票总费用为元，求出与x之间的函数关系式；若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，c三种票的张数.B级如图，在直角坐标系中，直角梯形oABc的顶点，，P为线段oc上一点，若过B，P两点的直线为，过A，P两点的直线为，且BP⊥AP，则.设直线与两坐标轴围成的图形的面积为S1，S2，…，SXX，则.如图，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，把△AoB 沿AB翻折，点o落在c处，则点c的坐标是.如图，在直角坐标系中，矩形oABc的顶点B的坐标为，直线恰好将矩形oABc分成面积相等的两部分，那么.在直角坐标系中，有两点和，是x轴上任意点，则的长度的最小值是A.B.4c.D.3某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x与其运费y由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为A.20gB.25gc.28gD.30g一个一次函数的图象与直线平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点，则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点有A.4个B.5个c.6个D.7个设，将一次函数与的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a，b的取值，使得下列4幅图中正确的是ABcD求证：不论为何值，一次函数的图象恒过一定点.0.已知四条直线，，和所围成的四边形面积是12，求的值.1.在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于点A，B，且使得.用b表示；求△AoB面积的最小值.如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为直角边在象限内作Rt△ABc，且使∠ABc=30°.求△ABc的面积；如果在第二象限内有一点，试用含的代数式表示四边形AoPB的面积，并求出当△ABP与△ABc的面积相等时的值；是否存在使△QAB为等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由.。
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第九讲 坐标平面上的直线一般地，若b kx y += (k 、b 是常数，0≠k )，则y 叫做x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式b kx y += 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。
如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 的一个二元一次方程0=+-b y kx ；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bcx b a y --= (0≠b )的函数形式。
坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。
【例题求解】【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111b x k y +=，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。
思路点拨 解题的关键是求出P 点坐标，只需运用几何知识建立OP 的等式即可。
【例2】 设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n ＝1，2，…2000)，则S 1+S 2+…+S 2000的值为( ) A ．1 B ．20001999 C ．20012000 D ．20022001思路点拨 求出直线与x 轴、y 轴交点坐标，从一般形式入手，把n S 用含n 的代数式表示。
【例3】 某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q 1吨，加油飞机的加油油箱．．．．余油量为Q 2吨，加油时间为t 分钟，Q 1、Q 2与t 之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中，运输飞机的余油量Q 1 (吨)与时间t (分钟)的函数关系式；(3)运输飞机加完油后，以原速继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用?说明理由．思路点拨 对于(3)，解题的关键是先求出运输飞机每小时耗油量。
注：（1）当自变量受限制时，一次函数图象可能是射线、线段、折线或点，一次函数当自变量取值受限制时，存在最大值与最小值，根据图象求最值直观明了。
（2）当一次函数图象与两坐标轴有交点时，就与直角三角形联系在一起，求两交点坐标并能发掘隐含条件是解相关综合题的基础。
【例4】 如图，直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P(a ，21)，且△ABP 的面积与△A ABC 的面积相等，求a 的值．思路点拨 利用S △ABP ＝S △ABC 建立含a 的方程，解题的关键是把S △ABP 表示成有边落在坐标轴上的三角形面积和、差。
注：解函数图象与面积结合的问题，关键是把相关三角形用边落在坐标轴的其他三角形面 积来表示，这样面积与坐标就建立了联系．【例5】 在直角坐标系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)为顶点的正方形，设它在折线a a x y +-=上侧部分的面积为S ，试求S 关于的函数关系式，并画出它们的图象。
思路点拨 先画出符合题意的图形，然后对不确定折线a a x y +-=及其中的字母a 的取值范围进行分类讨论，a 的取值决定了正方形在折线上侧部分的图形的形状。
注：我们把有自变量或关于自变量的代数式包含在绝对值符号在内的一类函数称为绝对值函数．去掉绝对值符号，把绝对值函数化为分段函数，这是解绝对值的一般思路。
学历训练1．一次函数的自变量的取值范围是-3≤x ≤6，相应函数值的取值范围是-5≤y ≤-2，则这个函数的解析式为 ． 2．已知acb a bc b a c c b a k ++-=+-=-+=，且n n m 6952=++-，则关于自变量x 的一次函数b kx y +=的图象一定经过第 象限．3．一家小型放影厅的盈利额(元)与售票数x 之间的关系如图所示，其中超过150人时，要缴纳公安消防保险费50元．试根据关系图回答下列问题：(1)当售票数满足0<x ≤150时，盈利额y (元)与之间的函数关系式是 。
(2)当售票数满足150<x ≤200时，盈利额y (元)与x 之间的函数关系式是 。
(3)当售票数为 时，不赔不赚；当售票数x 满足 时，放影厅要赔本；若放影厅要获得最大利润200元，此时售票数x 应为 (4)当售票数x 满足 时，此时利润比x ＝150时多．4．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ＝4，BD ＝6，P 是BD 上的任一点，过P 作EF ∥AC ，与平行四边形的两条边分别交于点E ，F ，设BP=x ，EF=，则能反映y 与x 之间关系的图象是( )5．下列图象中，不可能是关于x的一次函数)3pxy的图象是( )-=p(-6．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间关系如图所示，那么小李赚了( )A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元7．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量 (微克)随时间x(小时)的变化如图所示，当成人按规定剂量服用后。
(1)分别求出x≤2和x≥2时y与x之间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长?8．如图，正方形ABCD 的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系x O y 中，使AB 在x 轴的正半轴上，A 点的坐标是(1，0)(1)经过C 点的直线3834-=x y 与x 轴交于点E ，求四边形AECD 的面积；(2)若直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的方程，并在坐标系中画出直线l ． 9．如图，已知点A 与B 的坐标分别为(4，0)，(0，2) (1)求直线AB 的解析式。
(2)过点C(2，0)的直线(与x 轴不重合)与△AOB 的另一边相交于点P ，若截得的三角形与△AOB 相似，求点P 的坐标．10．如图，直线62+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是 ．11．在直角坐标系x O y 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P(5，5)、Q(2，1)的距离分别为MP 和MQ ，那么，当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标为 。
12．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为(15，6)，直线b x y +=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b ＝ 。
13．如果—条直线l 经过不同的三点A(a ，b)，B(b ，a)，C(a-b ，b-a)，那么，直线l 经过( )象限。
A ．二、四B ．—、三C ．二、三、四D ．一、三、四 14．一个一次函数的图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(一l ，—25)，则在线段AB(包括端点A 、B)上，横、纵坐标都是整数的的点有（ ） A ．4个 B ．5个 C ． 6个 D ．7个15．点A(一4，0)，B(2，0)是坐标平面上两定点，C 是221+-=x y 的图象上的动点，则满足上述条件的直角△ABC 可以画出( )A ． 1个B ． 2个C ．3个D ．4个16．有—个附有进、出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的，设从某时刻开始5分钟内只进不出水，在随后的15分钟内既进水又出水，得到时间x (分)与水量y (升)之间的关系如下图．若20分钟后只出水不进水，求这时(即x ≥20)y 与x 之间的函数关系式。
17．如图，△AOB为正三角形，点B坐标为(2，0)，过点C(一2，0)作直线交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等，求直线l的函数解析式。
18．在直角坐标系中，有四个点A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，n)，D(m，0)，当四边形m的值．ABCD的周长最短时，求n19．转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气，某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染，该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关．现经过试验得到下列数据：通过电流强度（单位A）1 1.7 1.9 2.1 2.4氧化铁回收率（%）7579888778如图建立直角坐标系，用横坐标表示通过的电流强度，纵坐标表示氧化铁回收率。
（1）将试验所得数据在右图所给的直角坐标系中用点表示（注：该图中坐标轴的交点代表点（1，70）；（2）用线段将题（1）所画的点从左到右顺次连接，若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系，试写出该函数在 1.7≤x≤2.4 时的表达式；（3）利用题（2）所得函数关系，求氧化铁回收率大于85%时，该装置通过的电流应该控制的范围（精确到0.1A）。
20．如图，直线OC、BC的函数关系式分别为xy=和6=xy，动点P(x，0)在OB上移动-2+(0<x<3)，过点P作直线l与x轴垂直。
(1)求点C的坐标；(2)设△OBC中位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与x之间的函数关系式；(3)在直角坐标系中画出(2)中的函数的图象；(4)当x为何值时，直线l平分△OBC的面积?参考答案精品文档实用文档。