117斯托克斯公式

o
1y
1
x
Dxy
x
y
z
zxy
d y d z d zd x d x d y3Dxydxdy
3 2
利用轮换对称性
例2 计算(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,
其中 是用平 x面 yz3截立方 [0,1体 ][0,1][0,1] 2
的表面所得,若 的从 z截 轴痕 正向, 看 取去 逆时针 . 方
PdxQ dyR dz.
斯托克斯公式
便于记忆形式
dyddz zdxdxdy
x
y
z
PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
coscos cos
x
y
z
dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {, c c 中 , c o o } o s ss
斯托克斯公式的实质 表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的
例4. 验证曲线积分(y z )d x ( z x )d y ( x y )d z
与路径无关, 并求函数
u ( x ,y ,z ) ( ( 0 x , , 0 y , 0 , z ) ) ( y z ) d x ( z x ) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z , Q z x ,R x y
( R y Q z ) d y d z ( P z R x ) d z d x ( Q x P y ) d x d y
P dxQ dyR dz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo ,s cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c,c oo ,s cso ) s
2. 斯托克斯(stokes)公式
定理 1 设为分段光滑的闭 空曲 间 ,线 有 是向 以为边界的分片向 光曲 滑 ,面 的定 正向 与 侧符合右.手 函规 数 P(x则 ,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 在(连同边 )上 界具有一阶连,则 续有 偏导数
R y Q zdydz P z R xdzdx Q x P ydxdy
设某刚体绕定轴 l 转动,角速度为, M 为刚体上任一
点, 建立坐标系如图, 则
(0,0,),r(x,y,z)
z l M
x
在 上 xyz3, 2
n
y
43(xyz)dS
2 3dS
23 1zx 2z2 yd
Dxy
2 3 3d
Dxy
6(Dx的 y 面)积 92 .
y
1
xy1.5
0.5 D xy
xy0.5
O 0.5 1 x
练习. 为柱面 x2y22y 与平面 y = z 的交线,从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y 2 d x xd y xd z.
则斯托克斯公式可写为
R y Q z c o P z R x c s o Q x P y c s d S o (P c o Q s c o R s co )d ss
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
R y Q z, P z R x, Q x P y
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
cos0, cos
1, 2
cos 1
2
利用斯托克斯公式得
o
c oc so c so s x
2y
I
x
y2
y
xy
z
dS 12(yz)dS 0
xz
*二、空间曲线积分与 路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函P 数 ,Q ,R在 G 内
I y2dxxdyz2dz,
其中 是平y面 z2与柱x2面 y2 1的交,若 线 从z轴正向,看 取去 逆时针 . 方向 解 P y 2 ,Q x ,R z 2 , 为 yz2的上 所 侧围 被.的部分
D xy:x2y21
dydz
I
x
y2
dzdx
y x
dxdy
z
(12y)dxdy
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P dxQ dyR dz0 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , PdxQ dyRdz
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
P y Q x, Q z R y, R x P z
P1Q, Q1R, R 1 P y x z y x z
积分与路径无关, 因此
z
x
y
z
(x,y,z)
u(x,y,z) 0 d x x d y (x y) d z
0
0
0
O
x y (xy)z
(x,0,0)
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
z n
O
y
x
解 : x yz 3的
z
2
上侧被 所围的部. 分
111
O
n (1 ,1 ,1 )e ,n(3,
, 3
), 3
x
dydz
I
x
y2 z2
dzdx
y z2 x2
dxdy
z x2 y2
n
y
1
1
1
z
3
3
3
x
y
dS z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
O
43(xyz)dS
定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系. 是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格 林公式的推广.
若 R (x ,y,z)0 , 位 x于 O 面y取 ,则 上侧
Q x P y d x d yP d xQ d y.
格林公式
z
n
O
y
x
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
二、典型例题
例1 利用斯托克斯曲公线式积计分算
x
y
z
A记作 roAt
PQR
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
r A o n d t S A d s
或
(ro A )nd t S A d s ①
定义: P d x Q d y R d z A d s 称为向量场 A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的
旋度.
旋度的力学意义:
z2
(12y)dxdy
Dxy
2πd 1(12si)n rd r
0
0
π .
练习. 利用斯托克斯公式计算积分 zdxxdyydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形Байду номын сангаас整个
边界, 方向如图所示.
z
1
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
zdxxdyydz
dydz dzdx dxdy