第六章 假设检验.

n 即 z A,没有落入拒绝域内 , 所以没有足够的理由 来拒绝原假设 H 0，该样本的信息说明生 产正常
检验统计量的 P 值为： P( Z 1.8) 1 - P( Z 1.8) 1 - 0.9281 0.0719 0.05 因此，拒绝原假设的证 据也不强。
2.单侧检验 对于单侧检验，以左侧检验为例，要检验的 假设： H0 : 0对H1 : 0 1）假定原假设 H 0 : 0成立, 并令
S是样本标准方差，即检验统计量服从自 由度为n-1的t分布，我们称之为t检验统 计量，n>30, 可用z检验代替
例6.6 解：根据问题的要求，确定原假设与备择假设
H0 : 1000 对H1 : 1000
这是一个双侧检验 , S 24 已知, 可用t检验。 x 986, 0.05, 查表，t / 2 (n 1) t / 2 (8) 2.306, 因此，拒绝域A {t ; t 2.306}, 计算t检验统计量的值
P( Z za）
2）通过查标准正态分布表求出临界值za.由此临界 值确定由检验统计量表示的拒绝域
A {z; z z / 2 }
3）对于样本 x ( x1 , x2 ,..., xn )计算检验统计量的值
n 不能拒绝原假设
z

x 0
, 若 z A，则拒绝原假设，否则
即 z A {z, z 1.645},落入拒绝域内 , 所以没有充分的理由 接受原假设H 0，接受备择假设，该样 本的数据支持该公司的 自我声称

三、正态总体方差的假设检验
2 2 设原假设H 0 : 2 0 , H1 : 2 0
检验统计量为
2
(n 1) S 2
2
2 ~ （ n 1 ）
根据给定的显著性水平 ，有
2 P[ 2 (n - 1)] 2 我们就可以得到临界值 (n - 1)作为我们判断
拒绝还是接受原假设的 依据
例6.9 解：首先可以求得样本方差 S 0.226 ，该假设检验的过程如 下
建立假设：原假设 H 0 : 2 0.04, H1 : 2 0.04； 计算检验统计量： (n 1) S 2
2
总体方差正常
第三节 非参数检验
一、非参数假设检验概述 二、总体分布的 检验 检验中的原假设和备择假设 （一） 原假设和备择假设分别为：
2
H 0 : F ( x) F0 ( x), H1 : F ( x) F0 ( x) 其中F ( x)表示总体的分布函数， F0 ( x)是某个已知的分布函数
H0 : 0.5对H1 : 0.5
由于X ~ N（， 0.0152） , 2 0.0152已知, 可用z检验。
0.05,1 0.95，查表，z / 2 1.96, 而检验统计量的值z 满足：
z


x
பைடு நூலகம்

9 (0.509 0.5) 1.8 1.96 0.015
并作出判断，根据资料 ，计算：
z
x


100(102 100) 2 1.645 10
n 由于样本统计量的值 z 2 1.645, 所以没有充分的理由 接受原假设H 0，说明该类型电子元件 的使用寿命确实 有明显提高。
（二）总体方差未知的情形
检验统计量服从t分布 X t ~ t (n 1) S n

t
x 9 (986 1000 ) 1.75 S 24 n

由于 t 2.306，即t A,没有落入拒绝域内 , 所以没有充分的理由 来拒绝原假设 H 0，该样本的数据说明生 产线的工作正常
例6.7 解：这是左单侧检验，根据问题的要求，确定 原假设与备择假设
H0 : 500对H1 : 500 由于是单侧检验 , 所以只有一个临界值， 已知n 10, 0.01, 查表，t (n 1) t (9) 2.821 ,
如果问题是离散型的， 则原假设为： H 0 : P ( X xi ) pi ( pi , i 1,2...是已知的分布列 ) 如果问题是连续型的， 则原假设为： H 0 : f ( x) f 0 ( x)( f 0 ( x)是已知的分布族 )
（二） 检验的步骤 1.建立假设：H0 : F ( x) F0 ( x), H1 : F ( x) F0 ( x) 2.将样本数据按区间进行适当的划分：分为m区间， xi 1 i m 1 各个区间的分界值为 ,其中 同时应保证各个区间互不相容。 3.计算在各个区间内的实际频数 f i (1 i m) 也即为样本数值落在各区间的样本个数 4.设原假设H0为真，然后计算总体X落在各个区间 的理论概率值： pi P( xi1 X xi ) F0 ( xi ) F0 ( xi1 ) 从而计算出各个区间的理论频数为npi,其中n为样 本量。
一、单侧检验与双侧检验 （一）适当的原假设与备选假设
例6.2
原假设，H 0 : 250 备择假设，H1 : 250
250可以认为不会出现
（二）假设检验的形式 1.双侧检验：如图6-1 2.左侧检验 3.右侧检验
二、总体均值的假设检验
（一）总体方差已知的情形 标准化变换： Z X ~ N (0,1)

n
1.双侧检验 给定显著性水平a,对于双侧检验，要检验的假设： H 0 : 0对H1 : 0 1）假定原假设 H 0 : 0成立
P( Z za / 2） 或P( Z za / 2） 1
2）通过查标准正态分布表求出临界值 z / 2 由此，再确定由检验统计量表示的拒绝域

2

2
2 ~ （ 5）
确定临界值，查表： 02.05 （5） 11.07 计算样本统计量及判断 ： (n 1) S 2 （6 1 ） 0.2262 2 5 . 108 （5） 11.07 0.05 2 0.04 所以，我们没有充分的 理由拒绝原假设，即认 为该日生产的螺钉
例6.5 解：根据题意，要检验的假设为右单侧检验
假设H 0 : 100,即平均使用寿命无提高 对H1 : 100 ，即平均使用寿命有明 显提高
已知x 102, n 100, 10，可用z检验。
0.05,1 2 0.9，查表，z 1.645, 计算样本统计量
计算样本均值和样本标 准差 x S

x 5007 500.7
n 10
( x x)
n 1
2

392.1 6.601 10 1
x 10(500.7 500) 0.335 S 6.601 n 由于贴t 0.335 t0.01 (9) 2.821 ，所以没有充分的理由 拒绝原假设H 0， t 该批产品显著的高于标 准，说明生产线出毛病 了
假设检验的基本程序 1.根据实际问题的需要提出合适的原假设H0和备选 假设H1 2.构造适当的(检验)统计量,并在H0为真的假定条件 下确定该统计量的抽样分布 3.根据实际问题的要求给定检验的显著性水平a,利 用检验统计量的抽样分布和显著性水平a求出相应 的临界值,从而划分出拒绝域和接受域 4.由样本观测值计算检验统计量的观测值以查看样 本(或检验统计量)的观测值是属于拒绝域还是接 受域,从而对假设作出拒绝或接受的决策
错误概率 第一类错误概率 PH (X A),A是拒绝域 第二类错误概率 PH (X A) 1 PH (X A) 如例6-1犯第一类错误概率
0
1
1
PH0 (X A) P 0 ( X 10 1.96)
皮尔逊原则： 显著性检验： 检验功效：1
第二节 总体参数检验

如果从P-值的大小来检验假设，则P-值的计算公式
P( Z z )

例6.4 解：根据题意，要检验的假设为左侧检验 H 0 : 5000 对H1 : 5000
已知x 4986,n 12, 1400, 可用z检验。

0.05,1 2 0.9，查表，z 1.645, 而检验统计量的值z 满足：
2
5.调整区间：由于该检验要求n足够大，以及 npi不能太小（根据经验，一般要求n≥50, npi >5） 如果npi≤5，则将理论频数npi≤5的区间合并 6.构造检验统计量：当原假设为真时，样本频数fi应该与理 论频数npi接近，即| fi- npi|不应太大，根据皮尔逊定理， 可以构造如下的检验统计量： 2 m ( f np ) 2 2
二、两种类型的错误与检验功能
1.原假设为真，决策结果接受原假设，因此决策正 确。 2.原假设为真，但决策结果拒绝原假设，因此决策 产生错误。这是一种“弃真错误”，也称作假设 检验的第一类错误，用a表示。 3.原假设不真，决策结果拒绝原假设，因此决策正 确。 4.原假设不真，决策结果接受原假设，因此决策产 生错误。这是一种“纳伪错误”，也称作假设检 验的第一类错误，用 表示。
A {z; z z / 2 }
3）对于样本 x ( x1 , x2 ,..., xn )计算检验统计量的值
z

x

, 若 z A，则拒绝原假设，否则

n 不能拒绝原假设
如果从P-值的大小来检验假设，则P-值的计算公式
P( Z z )

例6.3 解：根据题意，要检验的假设为双侧检验
z

x 0


12(4986 5000 ) 1.296 1.645 1400
n 即 z A {z, z z }, 没有落入拒绝域内 , 所以没有足够的理由 来拒绝原假设 H 0，即样本的信息支持该 批电子产品合格