双曲线经典例题讲解

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专题10双曲线问题(解答题)

专题10双曲线问题（解答题）一、解答题1．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.3．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b -=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=u u u r u u u u r ，求b 的取值范围． 4．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN P ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ V 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ V 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10． (1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点为). (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线2y x =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，求AB . 7．已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点． (1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92． (1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．9．过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN =l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．10．已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =． (1)求双曲线E 的标准方程；(2)设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．12．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,,F F C 的离心率为2，直线l 过2F 与C 交于,M N 两点，当2OM OF =时，12MF F △的面积为3.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知,M N 都在C 的右支上，设l 的斜率为m .①求实数m 的取值范围；②是否存在实数m ，使得MON ∠为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且经过点. (1)求C 的方程：(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，求AB 的取值范围：(3)已知点P是C上的动点，是否存在定圆222:()0O x y r r+=>，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足PM PN=？若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由.15．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点与椭圆2215xy+=的焦点重合，其渐近线方程为y=. (1)求双曲线C的方程；(2)若,A B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x=过AB的中点，求直线AB的斜率.。

高考数学专题复习：双曲线(含解析)

高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。

修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。

2.理解数形结合的思想。

3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。

一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。

点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。

2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。

$1$B。

$\frac{1}{2}$C。

$\frac{1}{3}$D。

$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。

点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。

双曲线的通径为 $2a$。

3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。

双曲线专题复习考点技巧归纳+经典例题+变式训练+综合练习

双曲线专题复习讲义题型一双曲线定义的应用例题1已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=，则该双曲线的离心率为( )A B ．2 C D 【答案】C【解析】由N 为2F M 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故01260F MF ∠=， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a ∴-=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，由224a b =可得222244()a b c a ==-，即c =，故双曲线的离心率为e =，故选C ．例题2已知点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为△12PF F 的内心，若121213IPF IPF IF F S S S =+成立，则双曲线的离心率为( )A ．3BCD ．4【答案】A【解析】设△12PF F 的内切圆的半径为r ．I 为△12PF F 的内心，由121213IPF IPF IF F SS S =+成立，可得121111||||22232PF r PF r c r ⋅=⋅+⨯⨯⋅．∴又12||||2PF PF a -=，1223a c ∴=⋅．232ce a∴==．故选A ．【解题技巧提炼】双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形.令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有(1)定义：|r 1－r 2|＝2a . (2)余弦公式：.(3)面积公式：一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.题型二与双曲线有关的轨迹问题例题1（2021•重庆质检）在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），则点P 的轨迹方程为( )A ．221(4)169x y x -=>B ．221(4)169x y x -=<-C ．221(4)2516x y x +=>D ．221(4)2516x y x +=<-【答案】A【解析】由题意，在平面直角坐标系中，一动圆C 与x 轴切于点(4,0)A ，圆的圆心在4x =上，分别过点(5,0)M -、(5,0)N 作圆C 的切线并交于点P （点P 不在x 轴上），与圆交于S ，T ，所以||||MA MS =，||||NA NT =，||||PS PT =，所以||||||||54(54)8PM PN AM AN -=-=+--=，P 满足双曲线的定义，是双曲线的右支，除去A 点，故选A ．【解题技巧提炼】求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，双曲线的定义，得出对应的方程．求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：(1)双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支；(3)求出方程后要注意满足方程的解的坐标的点，是否都在所求曲线上．题型三由双曲线的标准方程求其简单的几何性质例题1（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．【解题技巧提炼】由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤1把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键. 2由标准方程确定焦点位置，确定a 、b 的值.3由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质.题型四利用几何性质求双曲线的标准方程例题1（2020•新疆模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为2y x =，且经过点(4,43)，则该双曲线的标准方程为( )A ．221416x y -=B ．221164y x -=C ．22128x y -=D ．22144176y x -=【答案】A【解析】1：根据题意知，2443⨯>(4,3)在渐近线方程2y x =的右下方，所以该双曲线的焦点在x 轴上，设标准方程为22221x y a b-=，且0a >，0b >；又2ba=，所以2b a =；又2216481a b -=，即2221648414a a a -==，解得24a =，216b =，所以双曲线的标准方程是221416x y -=．解法2：根据渐近线方程设双曲线的标准方程是22(0)4y x k k -=≠，代入点(4，43)，计算得481644k =-=，所以双曲线的标准方程为2244y x -=，即221416x y -=．故选A ．例题2 （2020秋•胶州市期末）与双曲线22:12x C y -=共渐近线，且经过10)点的双曲线的标准方程是()A ．22142x y -=B ．22124x y -=C ．22142y x -=D ．22124y x -=【答案】A【解析】根据题意，要求双曲线与双曲线22:12x C y -=共渐近线，设要求的双曲线为222x y t -=，(0)t ≠，又由双曲线经过点10，则有91024t -=，解可得2t =，则要求双曲线的标准方程为22142x y -=；故选A ．【解题技巧提炼】求双曲线的标准方程的方法与技巧(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)利用渐近线与双曲线的位置关系，设有公共渐近线的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，这样可避免分类讨论，从而减少运算量，提高解题速度与准确性．拓展延伸：巧设双曲线的六种方法与技巧(1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2＜λ＜a 2)．(4)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(5)渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (6)渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．题型五求双曲线的离心率例题1（2021秋•镇海区校级期中）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b-=->>的离心率为2e ，则221211e e +的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．4【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为1e ，22221(0,0)x y a b a b -=->>的离心率为2e =2222222222122211111a b a b a b e e a b a b ++=+==+++．故选A ．例题2 （2021秋•遵义月考）已知曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>其中一条渐近线与直线:22l x y +=平行，则此双曲线的离心率是( ) ABC ．32D【解析】根据题意，双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则其渐近线方程为by x a=±，又由其一条渐近线与直线:22l x y +=平行，有12b a =，即12b a =，则c =，则其离心率c e a =B ．【解题技巧提炼】求离心率的方法与技巧(1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件建立参数a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解，另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba 后利用e ＝1＋b 2a2求离心率． (2)求离心率的范围一般是根据条件建立a ，b ，c 的不等式，通过解不等式得c a 或ba 的范围，再求得离心率的范围．题型六与渐进线有关的问题例题1（2021秋•洛阳期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，若点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3y x =±B ．y =C ．13y x =±D ．y = 【答案】B【解析】依题意，要使点(,0)A a -，(,0)B a ，C ，)b 是等腰三角形的三个顶点，则必有2AB BC a ==，2a ，整理可得2220c ac a --=，解得2c a =，即可得2224a a b =+，ba=所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=，故选B ．例题2 （2021秋•南湖区月考）已知双曲线221169x y -=的右支上一点P 到其渐近线的距离为d ，F 为双曲线的左焦点，则||PF d +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由双曲线的方程可得216a =，29b =，所以22225c a b =+=，可得5c =，设双曲线的右焦点(5,0)F '，渐近线的方程为：043x y±=，即340x y ±=，所以右焦点F '到渐近线的距离||3DF '==，由双曲线的性质可得右支上的点P 到右焦点的距离||||2PF PF a '=-，||||2||2PF d PF a d DF a ''+=+++，当且仅当F '，P ，垂足三点共线，其值最小，所以||PF d +的最小值为：2324311a +=⨯+=，故选C ．【解题技巧提炼】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ab x ，两者容易记混，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程．2．若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程，双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一：分两种情况设出方程进行讨论．方法二：依据渐近线方程，设出双曲线方程m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可．显然方法二较好，避免了讨论． 3．有共同渐近线的双曲线的方程．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．若λ＞0，则实轴在x 轴上；若λ＜0，则实轴在y 轴上，再依据题设条件可确定λ．题型一双曲线定义的应用1．已知1F 、2F 分别是双曲线22124y x -=的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且12||||48PF PF ⋅=．则△12F PF 的面积为( )A ．8B ．16C ．24 D．【答案】C 【解析】P 是双曲线左支上的点，21||||2PF PF ∴-=，12||10F F =，在△12PF F 中，由余弦定理得222221212211212121212||||||(||||)2||||||4248100cos 02||||2||||248PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-+⨯-∠====⨯，1290F PF ∴∠=︒，即12PF PF ⊥，∴△12F PF 的面积为1211||||482422PF PF ⋅=⨯=，故选C ． 2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若1||||AB AF =，且双曲线C 的离心率为2．则cos (θ=) A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】由双曲线的定义知，12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，221||||||AF BF AF ∴+=，即122||||||2AF AF BF a -==，12||||24BF BF a a ∴=+=，在△12BF F 中，由余弦定理知，2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅，∴2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--==⋅⋅，2c e a ==，∴431cos 44θ-==，故选A ．题型二与双曲线有关的轨迹问题1．（2021秋•海曙区校级期中）与圆22(2)2x y ++=外切，且与圆2240x y x +-=内切的圆的圆心在( ) A ．抛物线上 B ．圆上C ．双曲线的一支上D ．椭圆上【答案】C【解析】由题设，22(2)2x y ++=的圆心为(2,0)A -2240x y x +-=的圆心为(2,0)B ，半径为2，∴若所求圆的圆心为C ，半径为r ，由图及已知条件易得2r >，∴|||2AC r BC r =+=-，则||||2AC BC -=，由双曲线定义知：圆心C 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上．故选C ．题型三由双曲线的标准方程求其简单的几何性质1．（2021秋•福建期中）双曲线2214y x -=的右顶点到渐近线的距离为( )ABC ．1D ．2【答案】B【解析】由双曲线2214y x -=，得1a =，2b =，可得右顶点为(1,0)，一条渐近线方程为2y x =，即为20x y -=，可得右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为d =．故选B ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，若214OQ OF =，则双曲线的离心率取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,4) C． D．【答案】B【解析】由214OQ OF =，知Q 在线段2OF 上，且234QF c =，又12F PF ∠的平分线与x 轴交于Q ，所以1122554334c PF QF PF QF c ===，所以1253PF PF =，又122PF PF a -=，所以2223PF a =，又点P 为双曲线C 中第一象限上的一点，所以2PF c a >-，所以226c a a -<，所以4ce a=<，又1e >，故14e <<．故选B ．题型四利用几何性质求双曲线的标准方程1．（2019秋•荔湾区期末）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为8，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A ．221204x y -= B ．221412x y -= C ．2211648x y -=D ．2216416x y -=【答案】B【解析】由题意可设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，因为双曲线的焦距为8，则28c =，所以4c =，又双曲线的离心率为2ca=，所以2a =，则22216412b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为221412x y -=，故选B ．2．（2020•梅州二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =±，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．221916x y -=B ．221169x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】由双曲线的方程及渐近线的方程可得：34b a =，即34a b =，又由题意可得5c =，且222c a b =+，所以解得216a =，29b =，所以双曲线的方程为：221169x y -=，故选B ．题型五求双曲线的离心率1．（2021秋•河北期中）已知双曲线22:14x y C m -=(m = )A ．2B ．4C ．8D ．12【答案】B【解析】双曲线22:14x y C m -=，∴c a ==4m =．故选B ．题型六与渐进线有关的问题1．（2021秋•温州期中）已知双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±【答案】C【解析】双曲线222:19x y C b-=的焦距为10，210c ∴=，5c =，3a =，22925916b c ∴=-=-=，4b ∴=，∴双曲线C 的浙近线方程为43b y x x a =±=±．故选C ．2．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．1．（2021秋•福州期中）已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】A【解析】F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x轴．若AB 的斜率为3，可得23b a c a =-，可得223()c a c a a-=-，解得2c a =，即2224a b a +=，所以ba=C 的渐近线方程为：y =．故选A ．2．（2021秋•沙坪坝区校级期中）若双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．)+∞D ．【答案】D【解析】依题意双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>经过一、三象限的渐近线斜率为k ，当k >时，可知a b >，则离心率c e a ==．故选D ．3．（2021秋•北海月考）已知双曲线22:1412x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 在C 的一条渐近线上，若2||||OP PF =，则△12PF F 的面积为( ) A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知1(4,0)F -，2(4,0)F，渐近线的方程为y =，因为2||||OP PF =，故点P 在线段2OF 的中垂线2x =上，故0||y = 所以△12PF F的面积为1201||||2F F y ⋅=．故选D ．4．（2021秋•河南期中）如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．若1||||AB AF =，且△1~F AB △21F F B ，则双曲线C 的离心率为()A ．2 BC ．32D ．4【答案】A【解析】由过点2F 作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点．所以12||||2AF AF a -=，1||||AB AF =，所以，2||||2AB AF a -=，所以2||2BF a =，又12||||2BF BF a -=，所以1||4BF a =，因为△1~F AB △21F F B ，所以1121AF F F ABF B=，又1||||AB AF =，所以112||||BF F F =，所以42a c =，所以离心率2ce a==，故选A ． 5．（2021秋•福建期中）双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，直线y kx =与曲线C交于A ，B 两点，11||3||AF BF =，且1260F AF ∠=︒，则双曲线C 的离心率是．【解析】设1||BF t =，因为11||3||AF BF =，则1||3AF t =，2||AF t =，所以212||||32a BF BF t t t =-=-=，2||AF a =，1||3AF a =，在三角形12AF F 中，由余弦定理可得：22212941cos 232a a c AF F a a +-∠==⨯⨯，整理可得：2c =，所以离心率e =．6．（2021秋•沙坪坝区校级期中）已知点P 在双曲线22:1169x y C -=左支上，1F ，2F 是其左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，1211||||PF PF -= ．【答案】29【解析】设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可知8n m -=，在△12PF F 中，由余弦定理可得22100cos602m n mn+-︒=，22100m n mn ∴+-=，2()2100n m mn mn ∴-+-=，即36mn =， ∴211212||||1182||||||||369PF PF n m PF PF PF PF mn ---====，故答案为：29．。

双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳考点一双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称关于x 轴，y 轴和原点对称顶点（-a ，0）。

（a ，0）（0，-a ）（0，a ）轴实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大）准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线（2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二双曲线标准方程一求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

高中数学双曲线经典考点及例题讲解

双曲线考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题．[基础梳理]1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距．(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；③当2a>|F1F2|时，M点不存在．2．双曲线的标准方程与几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为( )A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45答案：C2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案：B3.x 22＋m －y 2m ＋1＝－1表示双曲线，则m 的范围为________．答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为________．答案：y ＝±3x考点一双曲线定义及应用|易错突破[例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( )A ．x ＝0 B.x 22－y 214＝1(x ≥2) C.x 22－y 214＝1 D.x 22－y 214＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，求△F 1PF 2的面积．[解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2.故得|MC 1|－|MC 2|＝22；在④的情况下，同理得|MC 2|－|MC 1|＝2 2. 由③④得|MC 1|－|MC 2|＝±2 2.已知|C 1C 2|＝8，根据双曲线定义，可知点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线，且a ＝2，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝14，其方程为x 22－y 214＝1.(2)由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，故三角形PF 1F 2为直角三角形，因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.[答案] (1)D[易错提醒][纠错训练]1．(2018·陕西师大附中模拟)设过双曲线x 2－y 2＝9右焦点F 2的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．50解析：如图，由双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2|－|PF 1|＝2a ， ①|QF 2|－|QF 1|＝2a ， ②①＋②得|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝4a ， ∴△F 2PQ 的周长为|PF 2|＋|QF 2|＋|PQ | ＝4a ＋|PQ |＋|PQ |＝4×3＋2×7＝26.答案：B2．已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，求|AP |＋|AF 2|的最小值．解析：由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.考点二双曲线的方程及性质|方法突破命题点1 求双曲线的方程[例2] (1)已知焦点在y 轴上的双曲线C 的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，且C 的一个焦点到l 的距离为3，则双曲线C 的标准方程为( )A.y 29－x 23＝1 B.x 29－y 23＝1 C.y 24－x 26＝1 D.x 24－y 26＝1 (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的方程是________。

高二数学双曲线知识点及经典例题分析

高二数学双曲线知识点及经典例题分析1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 24. 双曲线的几何性质：（）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：11002222x x a y ba b -=>>()<>≤-≥1范围：，或x a x a<2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。

<3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0）线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。

<>=>41离心率：e ca e () e 越大，双曲线的开口就越开阔。

<>±5渐近线：y bax =<>=±62准线方程：x a c5．若双曲线的渐近线方程为：x ab y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(2222≠=-λλby a x【典型例题】例1. 选择题。

121122.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）x m y m m +-+=A mB m m ..-<<-<->-2121或C m mD m R ..≠-≠-∈21且2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件322.s i n s i n cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（）ααααx y -=A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在y 轴上的双曲线D. 焦点在x 轴上的双曲线416913221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π 则△F 1PF 2的面积为（） A B C D (963)3393例2. ()已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-⎛⎝ ⎫⎭⎪例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且sin sin sin B C A -=35，求顶点A 的轨迹方程。

高考数学双曲线性质典型例题

（二）双曲线性质典型例题例1 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率．．例2 求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．例3 已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，求双曲线标准方程．例4 中心在原点，一个焦点为()01，F 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程．例5 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．例6 已知点()03，A ，()02，F ，在双曲线1322=-y x 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小．例7 已知：()11y x M ，是双曲线12222=-by a x 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离．例9 如图所示，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 满足EC AE λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率的取值范围．例10 设双曲线12222=-by a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离为c 43，求双曲线的离心率．例11 在双曲线1131222=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差． (1)求31y y +； (2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．例12 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ．(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ，又离心率为2．例13 已知双曲线12222=-by a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？例14 直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点，设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．例15 已知1l ，2l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且1l ，2l 与双曲线122=-x y 各有1A ，1B 和2A ，2B 两个交点． (1)求1l 的斜率1k 的取值范围；(2)若22115B A B A =，求1l ，2l 的方程； (3)若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22B A 的值．例16 已知双曲线的渐近线方程是043=+y x ，043=-y x ，求双曲线的离心率．例17 已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称，设直线l 过点A ，斜率为k ．(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时，在双曲线S 的上支求点B ，使其与直线l 的距离为2；(3)当10<≤k 时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及点B 的坐标．例18 如右图，给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l ：， B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系\例19 已知双曲线C 的实轴在直线2=x 上，由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中心M ．若4=PQ ，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为98，求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程．。

双曲线知识点归纳与例题分析

双曲线知识点归纳与例题分析双曲线是解析几何中重要的曲线之一，它有着许多特殊的性质和应用。

本文将对双曲线的知识点进行归纳，并结合例题进行分析，帮助读者更好地理解和应用双曲线的相关概念。

一、基本概念双曲线是平面上满足特定几何性质的曲线，由平面上到两个给定的点的距离之差等于一个常数构成。

常见的双曲线方程有两种形式：椭圆型和双曲型。

椭圆型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$，而双曲型的方程形如：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$。

其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

二、性质与特点1. 焦点和准线：双曲线的焦点是曲线上到两个定点的距离之和等于常数的点，而准线是指到两个定点的距离之差等于常数的直线。

在椭圆型的双曲线中，焦点和准线位于曲线的长轴上，而在双曲型双曲线中，焦点和准线位于曲线的短轴上。

2. 渐近线：双曲线的两条渐近线是曲线的一种特殊性质。

渐近线与曲线的距离趋于无穷远，但始终不与曲线相交。

在双曲型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负短轴与长轴之比。

而在椭圆型的双曲线中，渐近线的斜率等于正负长轴与短轴之比。

3. 对称性：双曲线具有关于x轴、y轴和原点的对称性。

即在曲线上一点(x, y)处，如果(x, -y)也在曲线上，那么曲线关于x轴对称；如果(-x, y)也在曲线上，那么曲线关于y轴对称；如果(-x, -y)也在曲线上，那么曲线关于原点对称。

三、例题分析下面通过几个例题来加深对双曲线的理解：例题1：已知双曲线的焦点为(2, 0)，离心率为2，求该双曲线的方程。

解析：根据离心率的定义可知，双曲线的离心率e满足$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$$，其中a和b分别为双曲线椭圆型方程中长轴和短轴的长度。

因此，代入题目中的离心率2，可以得到2=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}。

解方程可得a=\sqrt{5}，再根据焦点所在的位置可知，椭圆型方程的焦点是位于横轴上的。

双曲线性质总结及经典例题

双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为（）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PFPF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ，当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是（）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()121PF PF ∴+=()122PF PF ∴-=±()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小.在127922=-y x 中，令3y =，得212xx x =⇒=±∴0，取x =XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32所求P点的坐标为（）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-b y a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。

双曲线的经典例题讲解

双曲线的经典例题讲解双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径。

已知点P(x 0，y 0)在双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)上，F 1， F 2分别为双曲线的左、右焦点。

若点P 在右半支上，则| PF 1| =e x 0+ a ，| PF 2| =e x 0－a ；若点P 在左半支上，则| PF 1| =－(e x 0+ a) ，| PF 2| =－(e x 0－a)．利用焦半径公式解题，可使解题过程简单明了，下面列举几例，供参考。

一、求双曲线的标准方程例1、设F 1、F 2是双曲线22a x －22by = 1 (a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，l 为左准线，离心率e=23，P(－328,m)是左支上一点，P 到l 的距离为d ，且d ，| PF 1|，| PF 2|成等差数列，求此双曲线方程。

二、求值例2 双曲线92x －162y =1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若P F 1⊥P F 2，则点P 到x 轴的距离为_____________.三、求范围例3 如图，已知梯形ABCD 中，|AB| = 2|CD|，点E 分有向线段−→−AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当32≤λ≤43时，求双曲线离心率e 的取值范围．四、其他问题例4 在双曲线122y －132x =1的上支上有三点A(x 1，y 1),B(26,6),C(x 3,y 3)与F(0，5)的距离成等差数列。

求证：AC 的垂直平分线经过某一定点。

例5 已知双曲线252x －1442y = 1的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ．能否在双曲线的左支上找到一点P，使| PF|是P到l的距离与| PF2|的等比中项？若能，试求出点1坐标；若不能，请说明理由．。

双曲线知识点总结例题

（二）双曲线知识点及巩固复习1. 双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F i，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PF i|-|PF2||=2a①0<2a<|F 1F2I则动点P的轨迹是 _______________________________②2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是________________________________③2a=0则动点P的轨迹是_________________________________⑵若|P F i|-|PF2|=2a① ______________________________________________________ 0<2a<|F i F2|则动点P的轨迹是_______________________________________________② ____________________________________________________ 2a=|F 1F2I则动点P的轨迹是_________________________________________________③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点__________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心实半轴的长 ____________ 虚半轴的长__________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线渐近线焦半径公式|PF i|= |PF2|= ________________ (F l，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的(1)焦点在y轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y的范围 __________________________________顶点 __________ 焦点________________ 对称轴_______________ 对称中心_____ 实半轴的长 ____________ 虚半轴的长_________________ 焦距 _______________ 离心率e= _____ 范围_____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越 ________准线 _________________ 渐近线______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ (F i，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1. 等轴双曲线：®特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直'丄；③离心率为 _____2. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(1)共焦点的双曲线的方程为2,c为半焦距)(2)共渐近线的双曲线的方程为例题在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支考点1、双曲线定义例1、已知动圆M与圆C1 : (x + 4)2 + y2= 2外切,内切，求动圆圆心M的轨迹方程与圆C2: (x - 4)2 + y2 = 2= l(m> 0)与双曲线a白F2, P是两条曲线的一个交点,则|PF i| |PF2|的值是A.m-aS °)有相同的焦点F i,)J±=l例3】已知双曲线与点M (5 , 3)F为右焦点，若双曲线上有一点最小，则P点的坐标为考点2、求双曲线的方程求双曲线标准方程的方法1.定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程.2 •待定系数法(2)待定系数法求双曲线方程的常用方法一x2 y2 x2 y2①与双曲线a2 —b2 = 1有共同渐近线的双曲线方程可表示为a2 —b2 = t(t工0)；②若双曲线的渐近线方程是y=±a x,则双曲线的方程可表示为a2—y2=t(t却)；一x2 y2 x2 y2③与双曲线a2 —b2 = 1共焦点的方程可表示为a2- k—b2 + k = 1(—b2V k V a2);一x2 y2④过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为m + n = 1(mn V0);一x2 y2 x2 y2⑤与椭圆a2 + b2 = 1(a > b > 0)有共同焦点的双曲线方程可表示为a2 -入+ b2 -U1(b2v 入V a2).例4、求下列条件下的双曲线的标准方程.x2 y2(1)与双曲线9 —16 = 1有共同的渐近线，且过点(一3，2);(2)与双曲线16 — 4 = 1有公共焦点,且过点(3, 2).1•在双曲线的标准方程中，若x2的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，那么焦点在y轴上，且对于双曲线，a不一定大于b.2. 若不能确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：mx2 + ny2 = 1(mn v 0)，以避免分类讨论.考点3、双曲线的几何性质双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切，解题时要深刻理解确定双曲线的形状、大小的几个主要特征量，如a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程x2例5、(12分)双曲线C: a2 —y2b2 = 1(a >0，b >0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P，AP PQ使T f=0，求此双曲线离心率的取值范围.x2例6、活学活用】3.（2012北京期末检测）若双曲线a2的两个焦点分别为F i 、F 2, P 为双曲线上一点，且|PF i |二3|PF 2|,则该双曲线的离心率e 的取值范围是 _________的右焦点，斜率k =2.若'与双曲线的两个交点分别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是评注】解题中发现△ PF 1F 2是直角三角形，是事前不曾想到的吧？可是，这一美妙的结果不是每个考生都能临场发现的.将最美的结果隐藏在解题过程之中以鉴别考生的思维=1(a >0, b > 0)例7】直线！过双曲线口' 沪 B.1<e < 门C.1< e < 乓^-―=1p 卩例8】设尸为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点，若I 叭I I 布」° ,则“陋的面积为（C.】2人D. 24能力，这正是命题人的高明之处. 渐近线一一双曲线与直线相约天涯对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有.双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开 .双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中设而不求一一与借舟弃舟同理减少解析几何计算量的有效方法之一便是设而不求请看下例：设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.但是，设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：例9】过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.共轭双曲线一一虚、实易位的孪生弟兄—2 --j —1将双曲线 ' 的实、虚轴互易，所得双曲线方程为 .这两个双曲线就是互相共轭的双曲线.它们有相同的焦距而焦点的位置不同一样；它们的许多奇妙性质在解题中都有广泛的应用；它们又有共同的渐近线而为渐近线所界定的范围不例10】两共轭双曲线的离心率分别为证明：例11】双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为评注】在双曲线即为其渐近线.根据这一点，可-1例12】在双曲线- 上,是否存在被点M （1，1 ）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.如果不问情由地利用设而不求”的手段，会有如下解法练习1. （2011安徽高考）双曲线2X2—y2= 8的实轴长是（）A. 2B. 2C. 4D. 4x2 y2 o o2. （2011山东高考）已知双曲线a2 —b2 = 1（a> 0, b > 0）的两条渐近线均和圆C: x2+ y2—6X+ 5 = 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2A. 5 —4 = 1B.4 —5 = 1C.3 —6 = 1D. 6 —3 = 1x23. （2012嘉兴测试）如图，P是双曲线4 —y2= 1右支（在第一象限内）上的任意一点，A，A2分别是左、右顶点，O是坐标原点，直线PA1，PO，PA>的斜率分别为k1, k2，k3,则斜率之积k j k2k3的取值范围是（）1 1 1A. （0,1）B. （0，8）C. （0，4）D. （0，2）4. （金榜预测）在平面直角坐标系xOy中，已知△ ABC的顶点A（—5,0）和C（5,0），顶点Bx2 y2 sin B在双曲线16 —9 = 1上，则|sin A —sin C|为（）3 2 5 4A.2B.3C.4D.5x2 y25. P为双曲线9 —16 = 1的右支上一点，M、N分别是圆（X+ 5）2+ y2= 4和（X—5）2+ y2=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）A. 6B. 7C. 8D. 96 . （2012南宁模拟）已知点F i, F2分别是双曲线的两个焦点，P为该曲线上一点，若厶PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（）A. + 1B.+ 1C. 2D. 2x2 y27.方程2 —m + |m| —3 = 1表示双曲线.那么m的取值范围是& （2012大连测试）在双曲线4x2—y2= 1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA| OB|= 15,其中0为双曲线的中心，则AB中点的轨迹方程是______________x2 y2 b2 + 19.双曲线a2 —b2 = 1(a> 0 , b >0)的离心率是2,贝U 3a的最小值是_____________10（2012肇庆模拟）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（—3,0）, 一条渐近线的方程是x—2y= 0.（1）求双曲线C的方程；⑵若以k（k丸）为斜率的直线I与双曲线C相交于两个不同的点M , N ,且线段MN的一81垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求k的取值范围.11.(文用)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).⑴求双曲线C的方程；(2)若直线：y= kx+ m(k丸,m丸)与双曲线C交于不同的两点M、N ,且线段MN的垂直平分线过点A(0，- 1),求实数m的取值范围.12已知中心在原点，顶点A i、A2在x轴上，离心率e=' 的双曲线过点P(6 , 6) (1)求双曲线方程.(2)动直线丨经过△ A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线I,使G平分线段MN ,证明你的结论■13 .已知双曲线，问过点A （1 , 1）能否作直线*，使'与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线I的方程，若不存在，说明理由di14已知点N （1，2），过点N的直线交双曲线工于A、B两点，求直线AB的方程；（2）若过N的直线丨交双曲线于C、D两点，且⑵ D四点是否共圆？为什么？（二）双曲线知识点及巩固复习1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，⑴若||PR|-|PF2||=2a①______________________________________________________ 0<2a<|F1F2I则动点P的轨迹是___________________________________________② 2a=|F 则动点P 的轨迹是 ___________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是 _________________________________ ⑵若 |P F i |-|PF 2|=2a①0<2a<|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 _________________________________ ②2a=|F 1F 2I 则动点P 的轨迹是 ________________________________ ③ 2a=0则动点P 的轨迹是3. 双曲线的性质（1）焦点在x 轴上的双曲线标准方程 ________________________x,y 的范围 ___________________________________顶点 ___________ 焦点 _______________ 对称轴 ________________ 对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= _____ 范围 ____________ e 越大双曲线的开口越 ____ e 越小双曲线[PF 2F ___________________________ （F i ，F 2分别为双曲线的左右两焦点，P 为椭圆上的2.双曲线的标准方程焦半径公式|PF i |=渐近线（2）焦点在y轴上的双曲线标准方程________________________x,y的范围___________________________________顶点___________ 焦点 ________________ 对称轴 _______________ 对称中心_____ 实半轴的长_____________ 虚半轴的长 ________________ 焦距________________ 离心率e= _____ 范围 ____________ e越大双曲线的开口越____ e越小双曲线的开口越_________准线__________________ 渐近线 ______________________ 焦半径公式|PF i|= [PF2|= _______________________ （F i, F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点）3. 等轴双曲线：° V-WF特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直F一'*③离心率为 _____4. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线的共轭双曲线是6.双曲线系(3)共焦点的双曲线的方程为（0<k<c 2,c为半焦距）y3(4) 共渐近线的双曲线的方程为考点1。

双曲线高中数学精讲(试题版)

专业专心专注第02讲双曲线(重点题型方法与技巧)题型一:双曲线的定义及辨析1设F 1，F 2分别是双曲线x 2-y 29=1的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1 =3，则PF 2 =( )A.5 B.1 C.3 D.1或52已知双曲线C ：x 29-y 25=1的左右焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线C 的右支上，点P 关于原点的对称点为Q ，则PF 1 -QF 1 =( )A.4B.25C.6D.2133如图，F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i i =1,2,3 关于y 轴对称，则P 1F +P 2F +P 3F -P 4F -P 5F -P 6F =______．OxyP 1P 2P 3P 4P 5P64已知双曲线C :x 2a2-y 227=1a >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线倾斜角为π3，若点P 在双曲线上，且PF 1 =7，则PF 2 =．5已知双曲线C :x 24-y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知点P 在双曲线右支上且在第一象限，点M 2,1 为三角形PF 1F 2的内心，则S △PMF 1-S △PMF 2=.题型二:双曲线的标准方程1x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为( )A.x 24-y 25=1(x ≤-2) B.x 24-y 25=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2) D.y 24-x 25=1(y ≥2)2若方程x 2m 2+1-y 2m 2-3=1表示双曲线，则实数m 满足( )A.m ≠1且m ≠-3 B.m >1C.m <-3或m >3D.-3<m <13已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的焦距为25，点P 2,1 在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )第1页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发A.x 24-y 2=1B.x 2-y 24=1 C.x 220-y 25=1D.x 25-y 220=14南非双曲线大教堂由伦敦著名的建筑事务所完成．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线过点1,-2 ，离心率为62，则此双曲线的方程为( )A.y 22-x 2=1B.y 22-x 23=1C.y 22-x 24=1D.y 23-x 23=15已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点与抛物线y 2=2px p >0 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为-2,1 ，则双曲线的方程为( )A.x 236-y 29=1 B.x 23-y 22=1C.x 24-y 2=1D.x 24-y 22=16一动圆P 过定点M -4,0 ，且与已知圆N ：x -4 2+y 2=16相切，则动圆P 的轨迹方程是()A.x 24-y 212=1(x ≥2)B.x 24-y 212=1(x ≤2)C.y 24-x 212=1D.x 24-y 212=17已知m ∈R ，则“m >4”是“方程x 24-m +y 2m -3=1表示双曲线”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件8已知动圆M 与圆C 1:x +2 2+y 2=1，圆C 2:x -2 2+y 2=4都外切，则动圆M 的圆心轨迹方程是；9求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a =4，经过点A 1,4103；(2)焦点y 轴上，且过点3,-42 ，94,5 .题型三:双曲线中的焦点三角形问题1角度：焦点三角形的边长或周长问题1已知F 为双曲线C :x 29-y 216=1的左焦点，P ，Q 为双曲线C 右支上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A 5,0 在线段PQ 上，则△PFQ 的周长为( )A.28B.36C.44D.48第2页共14页专业专心专注2设点P 在双曲线x 29-y 216=1上，若F 1､F 2为双曲线的两个焦点，且PF 1: PF 2 =1:3，则△F 1PF 2的周长等于( )A.22B.16C.14D.123已知双曲线y 2m -x 22=1m >0 ，直线l 过其上焦点F 2，交双曲线上支于A ，B 两点，且AB =4，F 1为双曲线下焦点，△ABF 1的周长为18，则m 值为( )A.8B.9C.10D.2544已知F 1，F 2分别为双曲线x 24-y 2=1的左右焦点，过F 2作一条直线l 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，若PQ =2，则△PF 1Q 的周长为()A.8B.10C.12D.145已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，线段AB 的长为5，若2a =8，那么△ABF 2的周长是()A.16B.18C.21D.266已知F 1,F 2是离心率等于133的双曲线C :x 2m -y 24=1的左右焦点，过焦点F 2的直线l 与双曲线C 的右支相交于A ，B 两点，若△ABF 1的周长20，则|AB |等于()A.10B.8C.6D.42角度：焦点三角形的面积1设F 1-2,0 ，F 22,0 ，M x ,y 满足MF 1 -MF 2 =2，且x 2+y 2=4，则△F 1F 2M 的面积为( )A.3B.32C.9D.922已知P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1 ⋅PF 2=0，若△PF 1F 2的面积为9，则a +b 的值为__________.3已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216-y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为________．4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为3，焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线C 上．若△AF 1F 2的周长为14a ，则△AF 1F 2的面积是.5已知F 1，F 2为双曲线x 24-y 28=1的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足PF 1=2PF 2，则△PF 1F 2的面积为．6已知F 1(-4,0)､F 2(4,0)是双曲线C :x 2m-y 24=1m >0 的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且∠F 1MF 2=60°，求△F 1MF 2的面积.3角度：焦点三角形的其他问题第3页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，C 的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 的右支上，PF 1的中点N 在圆O ：x 2+y 2=c 2上，其中c 为半焦距，则sin ∠F 1PF 2=( )A.74B.32C.34D.182已知双曲线C ：x 2-y 22=1的左右焦点分别为F 1，F 2，点G 位于第一象限的双曲线C 上，∠F 1GF 2的角平分线GP 与x 轴的交点为P 33,0 ，则∠F 1GF 2=( )A.π6B.π4C.π3D.π23已知点P 是双曲线C :x 24-y 25=1右支上一点，F 1、F 2为双曲线C 的左、右焦点，若△PF 1F 2的周长为16，点O 为坐标原点，则PO ⋅F 1F 2=()A.20B.-20C.40D.-404已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2-y 2=2的左､右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=.题型四:双曲线中线段和、差最值1已知双曲线x 2m -y 25=1(m >0)的一条渐近线方程为5x +2y =0，左焦点为F ，点P 在双曲线右支上运动，点Q 在圆x 2+(y -4)2=1上运动，则|PQ |+|PF |的最小值为( )A.22+4B.8C.22+5D.92已知F 是双曲线x 24-y 212=1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |+|PA |的最小值为( )A.9B.8C.7D.63双曲线C 的渐进线方程为y =±233x ，一个焦点为F (0,-7)，点A (2,0)，点P 为双曲线的第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△PAF 周长的最小值为( )A.6B.10C.4+37D.3+374已知F 1,F 2双曲线C :x 2a2-y 216=1a >0 的左右焦点，点A 在双曲线的右支上，点P 7,2 是平面内一定点，若对任何实数m ，直线4x +3y +m =0与双曲线C 至多有一个公共点，则AP +AF 2 的最小值()A.237-6B.10-35C.8-37D.25-25已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆G :x 2+(y +2)2=1上一动点，则|PQ |+PF 2 的最小值为()A.6B.7C.3+5D.56已知双曲线x 23-y 2=1的左右焦点分别为F 1､F 2，P 为双曲线右支上一点，点Q 的坐标为第4页共14页专业专心专注-2,3 ，则PQ +PF 1 的最小值为.7已知双曲线的方程为x 2-y 24=1，如图所示，点A -5,0 ，B 是圆x 2+y -5 2=1上的点，点C 为其圆心，点M 在双曲线的右支上，则MA +MB 的最小值为Oxy AMBC题型五:与双曲线有关的轨迹问题1动圆M 与圆C 1：x +4 2+y 2=1，圆C 2：x 2+y 2-8x +7=0，都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 215+y 2=1B.x 2-y 215=1C.x 2-y 215=1x ≥1 D.x 2-y 215=1x ≤-1 2x 2+(y -3)2-x 2+(y +3)2=4表示的曲线方程为A.x 24-y 25=1(x ≤-2)B.x 25-y 24=1(x ≥2)C.y 24-x 25=1(y ≤-2)D.y 24-x 25=1(y ≥2)3一个动圆P 与两个定圆O 1:x 2+y 2=1，O 2:x -4 2+y 2=9均内切，那么动圆P 的圆心的轨迹方程是______.4已知F 1-3,0 ，F 23,0 ，若点P x ,y 满足PF 1 -PF 2 =m m ≥0 ，则P 点的轨迹是什么，并求点P 的轨迹方程.5如图所示，已知定圆F 1：x +5 2+y 2=1，定圆F 2：x -5 2+y 2=16，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．第5页共14页自律自信自强博观而约取厚积而薄发6设A 0,-4 ，B 0,4 ，PB -PA =2，则动点P 的轨迹方程为，P 到坐标原点的距离的最小值为．题型六:双曲线的离心率问题1角度：求双曲线的离心率或离心率取值范围1中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A.6B.5C.62D.522若双曲线x 2-y 2b 2=1的一个焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为( )A.12B.22C.2D.23已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在直线x =c 上运动，若∠A 1PA 2的最大值为π3，则双曲线的离心率为( )A.233B.322C.2D.34已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若PF 12PF 2 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A.1,2B.1,3C.1,3D.2,45已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，A 1，A 2是实轴顶点，F 是右焦点，B (0,b )是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i =1,2)，使得△P i A 1A 2(i =1,2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( )．A.2,6+12B.2,5+12C.1,5+12D.5+12,+∞6已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点F (c ,0)到C 的一条渐近线的距离为27c ，则C 的离心率为()A.11215B.335C.7515D.16157已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若PF 22PF 1 的最小值为8a ，则双曲线离心率e 的取值范围是()A.1,+∞B.2,3C.1,3D.1,28已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,F 1F 2 =4，若线段x -y +4=0-2≤x ≤8 上存在点M ，使得线段MF 2与E 的一条渐近线的交点N 满足：F 2N =14F 2M ，则E 的离第6页共14页专业专心专注心率的取值范围是.2角度：由双曲线的离心率求参数的取值范围1已知圆锥曲线mx 2+y 2=-1的离心率为2，则实数m 的值为( )A.-3B.-13C.13D.32已知双曲线C 1:y 2a 2-x 2b 2=1及双曲线C 2:x 2b 2-y 2a2=1a >0,b >0 ，且C 1的离心率为5，若直线y =kx k >0 与双曲线C 1、C 2都无交点，则k 的值是( )A.2B.12C.5D.13平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A 1，0 ，B 0，-2 ，点C 满足：OC =mOA +nOB其中m ,n ∈R ，且m -2n =1. 已知点C 的轨迹与双曲线x 2a2-y 2b 2=1(a >0,b >0,a ≠b )交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆过原点，若双曲线的离心率不大于3，则双曲线实轴长的取值范围为( )A.0，22B.0，33C.0，32D.0，14已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为__________．5双曲线x 2m -y 24=1的离心率为3，则实数m 的值为()A.±2B.2C.2D.36双曲线x 29-y 2k =1的离心率的取值范围为2,3 ，则实数k 的取值范围为()A.k >1B.k <9C.9<k <18D.1<k <97已知点F 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ，若△OAF (点O 为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率e ∈17,65 ，则a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.24,1D.22,18已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，点O 为坐标原点，且OM =5ON，则双曲线C 的离心率为．题型七:双曲线渐近线问题1若直线x =4y +7与双曲线C ：ax 2-y 2=1a >0 的一条渐近线平行；则a 的值为( )A.116B.14C.4D.162实轴在x 轴上，实轴长为12，一条渐近线的方程为x3+y 2=0的双曲线方程为______．第7页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发3已知双曲线Γ:y 2a 2-x 2b 2=1a >b >0 的上焦点为F (0,c )(c >0)，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆x 2+y 2-2c 3y +a 29=0相切于点D ，且MF =3DF ，则双曲线Γ的渐近线方程为_________.4以椭圆x 213+y 23=1的焦点为焦点，以直线y =±12x 为渐近线的双曲线方程为．5已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，点P 在双曲线上，若F 1F 2 =2OP ，PF 2 =2PF 1 ，则此双曲线的渐近线方程为.6椭圆C 1：x 24+y 23=1与双曲线C 2：x 2a 2-y 2b2=1的离心率之积为1，则双曲线C 2的两条渐近线的倾斜角分别为，.题型八:双曲线中的弦长问题1角度：求双曲线中的弦长1已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y =x +2与双曲线交于A ，B 两点，求弦长|AB |．2已知曲线C ：x 22+m -y 2m +1=1.(1)若曲线C 是双曲线，求m 的取值范围；(2)设m =0，已知过曲线C 的右焦点F ，倾斜角为π4的直线l 交曲线C于A ，B 两点，求AB .3已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e =62，且双曲线C 过点P 2,1 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx -1与双曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为-2，求线段AB 的长．4已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与双曲线y 26-x 22=1的渐近线相同，且经过点2,3 ．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，直线l 经过F 2，斜率为-1，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，求AB 的值．5已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3，点3,0 是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．2角度：根据弦长求参数1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1过点2,3 ，给出以下2个条件：①离心率为2，②与双曲线y 23-x 2=1有相同的渐近线．(1)选一个条件，求出双曲线的方程．第8页共14页专业专心专注(2)直线l 与直线4x -2y -1=0平行，l 被C 截得的弦长为45，求直线l 的方程．2已知双曲线Γ:x 2-y 2b2=1b >0 ，直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)若点3,0 是双曲线Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；(2)若点P 的坐标为-1,0 ，直线l 的斜率等于1，且PQ =823，求双曲线Γ的离心率．3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为23，一个焦点的坐标为(-5,0).(1)求双曲线的方程；(2)若斜率为2的直线l 交双曲线C 交于A ,B 两点，且AB =4，求直线l 的方程.4已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)与双曲线x 216-y 24=1有相同的渐近线，且双曲线C 过点4,3 ．(1)若双曲线C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 上有一点P ，使得∠F 1PF 2=60°，求△F 1PF 2的面积；(2)过双曲线C 的右焦点F 2作直线l 与双曲线右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周长是403，求直线l 的方程．题型九:双曲线中三角形(四边形)面积问题1角度：定值问题1已知过点M (2,23)的直线l 与双曲线E :x 24-y 23=1交于A ,B .(1)求与双曲线E :x 24-y 23=1共渐近线且过点M 的双曲线的方程；(2)若线段AB 的中点为M ，求直线l 的方程和三角形AOB 面积.2已知曲线C ：x 2-y 2=1及直线l ：y =kx -1．且直线l 与双曲线C 有两个不同的交点A ，B ．(1)求实数k 的取值范围；(2)O 是坐标原点，且ΔAOB 的面积为2，求实数k 的值．3设P 是双曲线C :x 24-y 216=1右支上任意一点，O 为坐标原点．(1)过点P 分别做两条渐近线的垂线，垂足分别是E 、F ，求|PE ⋅ PF |的值；(2)过点P 的直线与两条渐近线分别交于A 、B 两点，且满足AP =2PB，求△AOB 的面积．2角度：最值问题1设双曲线C :x 23-y 2=1，其右焦点为F ，过F 的直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点．(1)求直线l 倾斜角θ的取值范围；(2)直线AO (O 为坐标原点)与曲线C 的另一个交点为D ，求△ABD 面积的最小值，并求此时l 的方程．2已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为22，F 为右焦点，M 0,1 ，N 0,-1 ，且△MNF 为等边三角形.(1)求双曲线E 的方程；(2)过点M 的直线l 与E 的左右两支分别交于P 、Q 两点，求△PQN 面积的取值范围.第9页共14页自信自强博观而约取厚积而薄发3在一张纸上有一圆C ：x +5 2+y 2=64，定点M 5,0 ，折叠纸片使圆C 上某一点M 1恰好与点M 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ ，设折痕PQ 与直线M 1C 的交点为T .(1)求点T 的轨迹C 方程；(2)曲线C 上一点N ，点A 、B 分别为直线l 1：y =34x 在第一象限上的点与l 2：y =-34x 在第四象限上的点，若AN =λNB ，λ∈13,2，求△AOB 面积的取值范围.题型十:双曲线中的中点弦问题1角度：点差法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2，直线l 与C 交于P ,Q 两点，D 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则l 与OD 的斜率的乘积为( )A.2B.3C.4D.62如图，双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0，b >0 ，AB 是圆M :(x +2)2+(y -1)2=52的一条直径，若双曲线C 过A ，B 两点，且离心率为2，则直线AB 的方程为( )A.3x +y +7=0B.4x +y +6=0C.x +y +5=0D.2x +y +3=03已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M 1,3 ，则C 的离心率是______．4双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C 所截得的弦长为12.(1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为M 5,3 ，求直线AB 的方程.第10页共14页5不垂直于坐标轴的直线l 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的渐近线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为M ，AB 和OM 的斜率满足k AB ⋅k OM =2，则顶点在坐标原点O ，焦点在x 轴上，且经过点P (a ,b )的抛物线方程是()A.y 2=4x B.y 2=2xC.y 2=2xD.y 2=22x 6已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)，直线l 交双曲线两条渐近线于点A 、B ，M 为线段AB 的中点，设直线l 、OM 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=32，则渐近线方程为．7设直线2x -y +1=0与椭圆x 23+y 24=1相交于A ､B 两点.(1)求弦长AB ；(2)已知椭圆具有性质：设A ､B 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1上任意两点，M 是线段AB 的中点，若直线AB ､OM 的斜率都存在，并记为k AB ､k OM ，则k AB ⋅k OM 为定值.试对双曲线x 2a 2-y 2b2=1写出具有类似特征的性质，并加以证明.2角度：韦达定理法1已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的实轴长为2，一条渐近线方程为2x -y =0(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．2已知双曲线x 24-y 2=1，求过点A (3,-1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.3已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的两条渐近线所成的锐角为60°且点2,3 是E 上一点．(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若过点P 1,1 的直线l 与E 交于A ，B 两点，点P 能否为线段AB 的中点？并说明理由．4已知a >b >0，如图，曲线Γ由曲线C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(y ≤0)和曲线C 2:x 2a 2-y 2b2=1(y >0)组成，其中点F 1，F 2为曲线C 1所在圆锥曲线的焦点，点F 3，F 4为曲线C 2所在圆锥曲线的焦点，F 2(2，0)，F 4(6，0).Oxy F 1F 2F 3F 4A B (1)求曲线Γ的方程；(2)如图，作直线l 平行于曲线C 2的渐近线，交曲线C 1于点A ，B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线C 2的博观而约取厚积而薄发另一条渐近线上.题型十一:双曲线中定点问题1已知F 2(1,0)为椭圆C 1的右焦点且F 为双曲线C 2的右顶点，椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是M 233,33．若点P 是双曲线右支上的动点，直线PF 2交y 轴于点Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否恒过定点？证明你的结论．2在平面直角坐标系中，动点M x ,y 与定点F 5,0 的距离和M 到定直线l :x =165的距离的比是常数54，设动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设P 2,0 ，垂直于x 轴的直线与曲线C 相交于A ,B 两点，直线AP 和曲线C 交于另一点D ，求证：直线BD 过定点.题型十二:双曲线中定值问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点2,2 ，且渐近线方程为y =±2x .直线l 过点0,1 ，且与C 交于M ，N 两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)在y 轴上是否存在定点Q ，使得QM ⋅QN 为定值？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由.2如图，在平面直角坐标系中，F 1,F 2分别为双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，双曲线离心率为2，若点A 为双曲线右支上一点，且AF 1 -AF 2 =22，直线AF 2交双曲线于B 点，点D 为线段F 1O 的中点，延长AD ,BD ，分别与双曲线Γ交于P ,Q 两点.(1)若A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，求证：x 1y 2-x 2y 1=2y 2-y 1 ；(2)若直线AB ,PQ 的斜率都存在，且依次设为k 1,k 2.试判断k 2k 1是否为定值，如果是，请求出k 2k 1的值；如果不是，请说明理由.3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线C 右支上一动点P x 0,y 0 到两条渐近线l 1，l 2的距离之积为4b 25．(1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 是曲线C 在点P x 0,y 0 处的切线，且l 分别交两条渐近线l 1，l 2于M 、N 两点，O 为坐标原点，证明：△MON 面积为定值，并求出该定值．4已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A 1-1,0 、A 21,0 ，离心率为2，过点F 2,0 斜率不为0的直线l 与Γ交于P 、Q 两点．(1)求双曲线Γ的渐近线方程；(2)记直线A 1P 、A 2Q 的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1k 2为定值．5已知椭圆C 1：x 2a2+y 26=1a >6 ，C 1的左右焦点F 1，F 2是双曲线C 2的左右顶点，C 1的离心率为63，C 2的离心率为2，点E 在C 2上，过点E 和F 1，F 2分别作直线交椭圆C 1于F ，G 和M ，N 点，如图.O x yF 1F 2FM E GN (1)求C 1，C 2的方程；(2)求证：直线EF 1和EF 2的斜率之积为定值；(3)求证：1FG +1MN为定值.6已知双曲线C 1的离心率e =3，虚轴在y 轴上且长为2．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若斜率为1的直线m 交C 1于A 、B 两点，且直线m 与圆x 2+y 2=1相切，求证：OA ⊥OB ；(3)已知椭圆C 2:4x 2+y 2=1，若P 、Q 分别是C 1、C 2上的动点，且OP ⊥OQ ，探究点O 到直线PQ 的距离d 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．题型十三:双曲线中定直线问题1已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，F 为双曲线C 的右焦点，(2，3)是双曲线C 上的一个点.(1)求双曲线C 的方程；(2)若过F 且不与渐近线平行的直线l (斜率不为0)与双曲线C 的两个交点分别为M ，N ，记双曲线C 在点M ，N 处的切线分别为l 1，l 2，点P 为直线l 1与直线l 2的交点，试判断点P 是否在一条定直线上，若是，求出定直线的方程；若不是，请说明理由.(注：若双曲线方程为x 2a2-y 2b 2=1，则该双曲线在点x 0,y 0 处博观而约取厚积而薄发的切线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1)2已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)过点4,13 ，离心率为14，直线l :x =9交x 轴于点A ，过点A 作直线交双曲线Γ于M ,N 两点.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)设P ,Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.题型十四:双曲线中向量问题1已知双曲线C 的方程为2y 2a2-2x 2=1(a >0)，离心率为2.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过E (0,1)的直线l 交曲线C 于M 、N 两点，求EM ⋅EN 的取值范围.2已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y =33x -2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM +ON =tOD (O 为坐标原点)，求t 的值及点D 的坐标．。

(完整版)双曲线知识点归纳总结例题分析

双曲线基本知识点直线和双曲线的位置双曲线12222=-byax与直线y kx b=+的位置关系：利用22221x ya by kx b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩转化为一元二次方程用判别式确定。

二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。

相交弦AB的弦长2212121()4AB k x x x x=++-通径：21AB y y=-补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）；（2）其标准方程为x^2-y^2=C，其中C≠0；（3）离心率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。

所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。

例题分析：例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．221169x y -+=Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．221(3)169x y y -+=-≤同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为（）Ａ．53Ｂ．54Ｃ．53或54例2、已知双曲线2214x y k+=的离心率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<<Ｄ．120k -<<同步练习二:双曲线22221x y a b-=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为．例3、设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程为。