双曲线经典例题讲解

第一部分 双曲线相关知识点讲解

一．双曲线的定义及双曲线的标准方程：

1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦

点．

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同.

当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.

2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，

其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部：

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的内部2200221x y a b ⇔->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<.

三.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x

轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质

22

a x －22b

y =1（a ＞0，b ＞0）

⑴范围：|x |≥a ，y ∈R

⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：

①若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x x a

b

y ±=

②若渐近线方程为x a b

y ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x

③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点

在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）

④与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22

22b

y a x )0(≠λ

⑤ 与双曲线122

22=-b

y a x 共焦点的双曲线系方程是1222

2=--+k b y k a x 六.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB 2121k x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝

212

1

1y y k -+

。 第二部分 典型例题分析

题型1：运用双曲线的定义

例1. 如图所示，F 为双曲线116

9:

2

2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，

则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27

[解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C

练习：设P 为双曲线112

2

2

=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ） A ．36 B ．12 C ．312 D ．24

解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①

又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF

,52||,52||||2212221==+F F PF PF

为21F PF ∴直角三角形，

.12462

1

||||212121=⨯⨯=⋅=

∴∆PF PF S F PF 故选B 。

题型2 求双曲线的标准方程

例2 已知双曲线C 与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双

曲线C 的方程．

解：设双曲线方程为22

a x －22b

y =1.由题意易求c =25.

又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －2

4

b =1.

又∵a 2

+b 2

=（25）2

，∴a 2

=12，b 2

=8.

故所求双曲线的方程为122

x －8

2y =1.

练习：1已知双曲线的渐近线方程是2

x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此

双曲线的方程为 ； 解：设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为

14

2

2

=-λ

λ

y x ，20104

52

=∴=∴λλ

， 当0<λ时，化为

14

2

2

=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205

x y -

=或12052

2=-x y 2.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为

A ．22

1(1)8y x x -=<- B ．22

1(1)8

y x x -=> C ．1822

=+y x （x > 0） D ．22

1(1)10

y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 题型3 与渐近线有关的问题 例3.焦点为（0，6），且与双曲线

12

22

=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是