洛必达法则与泰勒公式
洛必达法则泰勒公式
洛必达法则泰勒公式一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此.在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和.由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难.今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理.定理1设（1）当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大.这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达（L' Hospita 1）法则.下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理.再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理.证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定.于是由条件（1）和（2）知，及在点的某一邻域内是连续的.设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式（在与之间）成立.对上式两端求时的极限，注意到时，贝叽又因为极限存在（或为无穷大），所以.故定理1成立.注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即.且这种情况可以继续依此类推.例1求.分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则.解、注最后一个求极限的函数在处是连续的.例2求.解、注例2中我们连续应用了两次洛必达法则.例3求.解、例4求、解、注（1）在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化.因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化.课后请同学们自己学习教材136页上的例10・（2）例4中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果.以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则.对于时的未定式有以下定理.定理2设（1）当时，函数及都趋于零；（2）当时，与都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.同样地, 对于（或）时的未定式，也有相应的洛必达法则.定理3设（1）当（或）时，函数及都趋于无穷大；（2）在点的某去心邻域内（或当时），及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.例5求、解、例6求、解、事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零.注由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是.除了和型未定式外，还有型的未定式.这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明.例7求.分析因为，，所以是型未定式.又因为，.而是型未定式，是型未定式，所以型未定式可以转化为或型未定式去计算.解、例8 求.分析因为，，所以是型未定式.又因为.而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算•解.注讨论型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论.例9求、分析这是一个幕指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解、例10求.分析由于，，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解、由于，所以.例11求、分析由于，，所以是一个型未定式.又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算.解.由于，所以、型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为：或；（或）；（或）；（或）・最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法.当定理的条件满足时，所求的极限当然存在（或为），但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在.也就是说，当不存在时(无穷大的情况除外)，仍可能存在，见下面的例题.例12 求、解这是一个型未定式，我们有.由于上式右端极限不存在，所以未定式的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限不存在.这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限・・由此可见极限是存在的.二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达.说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单.那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过.设函数在点的某个邻域内可导，且，则在该邻域内.用上述的一次多项式去近似表达函数存在两点不足：(1)精确度不高，它所产生的误差仅是比高阶的无穷小；(2)用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的.这时我们就想，是否可以找到一个关于的更高次多项式去近似地表达函数，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题.设函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，并设用于近似表达函数的多项式为、(1)既然我们要用去近似地表达，自然要求在处的函数值及它的直到阶的导数在处的值依次与，相等，即，，…，・这样我们就得到了如下个等式，，，・・・，，即，，，…，.将所求得的多项式的系数，，…，代入(1)式，得、(2)下面的泰勒(Taylor)中值定理告诉我们，多项式(2)就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数f(x),其误差的确变小了.泰勒中值定理若函数f(x)在含有x的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意x, 有f(x)二、(3)其中，(4)这里是在与之间的某个值.由(2)式和(3) 式知，，现在只要证明(介于与之间)即可•证由假设知，在内具有直到阶的导数，且、函数与在以及为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、同样，函数与在以及为端点的区间上也满足柯西中值定理的条件，故有(介于与之间)、继续对函数与在以及为端点的区间上应用柯西中值定理，如此做下去，经过次应用柯西中值定理后，得(介于与之间，因而也在与之间)、定理证毕.泰勒中值定理告诉我们，以多项式近似表达函数时，其误差为.如果对某个固定的，当时，，则有误差估计式，及.由此可见，当时，误差是比高阶的无穷小，即(5)上述结果表明，多项式的次数越大，越小，用去近似表达的误差就越小，是比高阶的无穷小，并且误差是可估计的.泰勒公式不仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重要的作用，同学们一定要深刻地理解它.到此我们所提出的问题就解决了.多项式(2)称为函数按的專展开的次泰勒多项式，公式(3)称为按的幕展开的带有拉格朗日型余项的阶泰勒公式，而的表达式(4)称为拉格朗日型余项.当时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式(介于与之间).因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.在不需要余项的精确表达式时，阶泰勒公式也可写成、(6 )的表达式(5)称为佩亚诺(Peano)型余项，公式(6)称为按的幕展开的带有佩亚诺型余项的阶泰勒公式.在泰勒公式(3)中，如果取，则在0与之间.因此可令，从而泰勒公式变成简单的形式，即所谓带有拉格朗日型余项的麦克劳林(Mac 1 aurin)公式、(7)在泰勒公式(6)中，若取，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式为、(8)由(7)和(8)可得近似公式、(9)误差估计式相应地变成、(10)例1写出函数的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.解因为，所以.把这些值代入公式(7),并注意到，便得、由这个公式可知，若把用它的次泰勒多项式近似地表达为，则所产生的误差为、如果取，则无理数的近似式为，其误差.当时，可算出，其误差不超过.例2求的带有拉格朗日型余项的阶麦克劳林公式.解因为，，，・・・，，所以，，，，・・・，它们顺序循环地取四个数，，，，于是令，按公式(7)得，其中.如果取，则得近似公式，这时误差为、如果分别取和，则可得的次和次近似和，其误差的绝对值依次不超过和.以上三个近似多项式及正弦函数的图形见图4.由图4可见，当时，近似多项式的次数越高，其向函数逼近的速度就越快，这就是泰勒公式的精髓.类似地，我们还可以求出函数和的带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式：其中；，其中；，其中.由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的得到相应地带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出来.以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以便在今后使用时方便.例3利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限.分析利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限，就是把极限中所涉及到的不是关于的多项式的函数，都用麦克劳林公式来表示，然后求其极限.在利用麦克劳林公式计算极限时，自变量的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函数的良好近似.在本问题中，由于分式的分母，因此我们只需要将分子中的和分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示即可，其中，.为什么和要展成三阶麦克劳林公式，而不展成其它阶的麦克劳林公式呢？这是因为用麦克劳林公式将分子展成关于的多项式后，分子分母中的最高次幕一定要相等，以便运算.这一点同学们今后一定要注意.解其中仍是比高阶的无穷小，因为.总结由于两个多项式之比的极限比较容易计算，所以人们经常利用泰勒公式把两个复杂函数之比的极限问题转化为多项式之比的极限问题.。
辽宁工业大学高数习题课(3)
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析 当 x 0 分子分母均趋近于0, 为 型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析 当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或
型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项 佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
高级数学公式
高级数学公式
高级数学公式有很多，以下列举一些常用的公式：
1.欧拉公式：e^(iπ) + 1 = 0，它将三角函数和复数、指数函数联系在一起。
2.洛必达法则：当x→a时，(f(x)/g(x))' = (f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x))/(g(x))^2。
它是求极限的重要工具之一。
3.泰勒公式：对于一个函数f(x)，在某点x=a处有无限多项展开式，可以将f(x)表示为一系列的多项式之和，即
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^(n)(a)(
x-a)^n/n!+...。
4.傅里叶变换：将一个函数表示为无穷多个简单正弦波的叠加，这些正弦波的频率、幅度和相位都不同。
5.拉普拉斯变换：将一个函数表示为无穷多个简单指数函数的叠加，这些指数函数的幅度和相位都不同。
6.麦克斯韦方程组：是电磁学的核心方程，它描述了电磁波的性质和行为。
7.哈密顿算子：是一个数学上的操作符，用于微分和积分运算，通常写作amiltonian或者。
在物理上，哈密顿算子通常用于描述粒子的动量和能量等性质。
这只是高级数学公式的一小部分，高等数学还有很多其他复杂的公式和定理。
这些公式在不同的数学领域和物理领域都有广泛的应用。
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式的区别与联系
洛必达法则和泰勒公式都是数学中的重要定理，用于求解函数的极限问题。
它们的区别和联系如下：
1. 区别：
- 洛必达法则（L'Hôpital's rule）用于解决形如"0/0"或者"∞/∞"的不定式极限问题。
它利用了两个函数在某个点处的导数的极限与函数值的极限之间的关系，从而求解极限。
洛必达法则适用的情况有限，只能用于求解特定类型的不定式极限问题。
- 泰勒公式（Taylor series）是一种用多项式逼近函数的方法。
它将一个光滑的函数表示为无限多个项相加的形式，每个项都是函数在某个点处的导数与对应的阶乘之积，从而近似表示函数在这个点附近的行为。
泰勒公式适用的范围更广，可以用于近似计算各种函数的值。
2. 联系：
- 虽然洛必达法则和泰勒公式解决的问题类型不同，但它们的原理都基于导数的性质。
洛必达法则依赖于函数的导数极限，而泰勒公式则利用了函数在某个点处的导数来近似该点附近的函数值。
- 在某些情况下，洛必达法则和泰勒公式可以结合使用。
例如，当计算某个函数在某个点处的极限时，可以先利用洛必达法则求出该点的导数极限，再利用泰勒公式对函数进行近似，从而求得极限值。
总之，洛必达法则和泰勒公式是数学中常用的工具，它们在求解函数的极限问题中有各自的用途和优势。
高等数学极限的公式总结
高等数学极限的公式总结在高等数学中，极限的公式是非常重要的概念，这些公式能够帮助我们理解函数的极限，并进行极限的运算。
以下是一些常见的高等数学极限的公式总结：1. 极限的四则运算性质：lim(a+b) = lim a + lim blim(a-b) = lim a - lim blim(ab) = lim a lim b (假设lim a 和 lim b都存在)lim(a/b) = lim a / lim b (假设lim b 不等于0)2. 极限的常数性质：lim a = a (当a是一个常数)3. 极限的单调性：lim(f(x0+delta x) - f(x0)) / delta x = f'(x0) (当delta x -> 0)4. 连续函数的性质：如果f(x)在x0处连续，那么lim f(x) = f(x0) 当 x -> x05. 无穷小量与无穷大量：当x -> 0时，x是无穷小量，1/x是无穷大量。
6. 洛必达法则：如果lim (f'(x)/g'(x))存在，那么lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)) (当x->a时)。
7. 泰勒公式：对于任何n阶可导函数f(x)，存在一个多项式Pn(x)，使得对于所有-∞ < x < ∞，有f(x) = Pn(x) + o(x^n)，其中o(x^n)是高阶无穷小。
8. 夹逼准则：如果存在一个区间或闭区间[a, b]，满足f(a) <= g(a), f(b) >= g(b)，并且lim f(x) = lim g(x)，则lim g(x)存在，并且lim g(x) = lim f(x)。
9. 无穷大与无穷小的关系：lim x -> ∞ f(x) = lim x -> ∞ f(x) （如果存在的话）lim x -> ∞ f(x) = 0 （如果lim x -> ∞ f(x)存在的话）10. 极限的唯一性：对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当x - x0 < δ时，有f(x) - A < ε。
函数极限的十种求法
函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。
函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。
一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。
例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。
当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。
当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。
对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。
例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。
四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。
对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。
如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。
例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。
罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用
内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
洛必达法则泰勒公式
洛必达法则泰勒公式f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是要计算的函数，a是展开点，f'(a)表示函数在a点的一阶导数，f''(a)表示函数在a点的二阶导数，以此类推。
通过使用洛必达法则，我们可以通过计算泰勒级数的前n项来近似计算函数在a点附近的值。
1.洛必达法则只适用于形如0/0或无穷大/无穷大形式的极限计算。
当计算极限时遇到这种情况，可以尝试使用洛必达法则来简化计算。
2.如果一个函数在特定点a处连续，并且它的导数在该点附近存在且有定义，那么这个函数在该点处的极限等于导数在该点的值。
也就是说，如果f(a)=g(a)=0，且f'(a)和g'(a)存在（有限或无穷大），那么f(x)/g(x)的极限为f'(a)/g'(a)。
3.洛必达法则可以迭代使用，即可以多次应用洛必达法则来计算复杂的极限。
如果一个极限形式无法直接应用洛必达法则，可以通过迭代运用洛必达法则来简化极限的计算。
4.使用洛必达法则需要注意，由于洛必达法则只是一种近似方法，所以在使用洛必达法则计算极限时，结果可能只是一个近似值，并不是一个准确的值。
因此，在进行极限计算时，需要将结果验证过程中的任何近似值与准确值进行比较。
洛必达法则的应用广泛，特别是在微积分和数学分析中。
通过洛必达法则，我们可以在计算函数的极限时，通过近似的方式得到一个接近准确值的结果。
因此，洛必达法则被认为是一种非常有用的数学工具，对于解决复杂的极限计算问题有着重要的作用。
洛必达法则与泰勒公式
洛必达法则与泰勒公式一、洛必达法则 定义：若函数和满足下列条件： ⑴，；⑵在点的某去心邻域内两者都可导，且；⑶（可为实数，也可为±∞或），则适用对象：，型未定式。
（其它类型未定式：，，，，等，可通过简单变换而转化为，型未定式。
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理（Stolz －Ces àrotheorem ）作为替代。
求极限. 1ln lim 1+--→x x x x x x求极限求极限求极限211)1(ln lim 111)1(ln lim 2211-=-++=--+=→→x xx x x xx x xx x x x 解：.1lim21100x x ex-→0!50lim 50lim lim lim ,1t t 49t 50t 50t 2=====+∞→=+∞→+∞→+∞→-+∞→t t t tee t e t e t x则原式可化为解：令.)4cos 2(sin lim x x xx +→∞2001)14cos 2(sin 010)1(2)4sin 42cos 2(lim 14cos 2sin lim lim )4cos 2(sin lim 13(,01e t tt t et t e u x t t t tt t t tt v u v ==-=-+=+==→=→→-+→→-故原式又因为原式种方法）得见求极限的则由公式解：令.cos sin 1lim 20x x xx -+→二、泰勒公式泰勒公式是求数学极限的重要技术性工具，我们要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心注：对以上公式进行处理，可得到一组“差函数”的等价无穷小替34cos 24lim sin 24lim cos 12lim cos sin 1cos sin 1lim0022020=+=+=-+=-+++=→→→→x x x xx x x x x x x x x x x x x x ）（解：原式)0(→x )(!2)1(1)1()(!31!211)(3121)1ln()(31arctan )(61arcsin )(31tan )(!41!211cos )(61sin 2233233233333344233x o x x x x o x x x e x o x x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x o x x x x+-++=+++++=++-=++-=++=++=++-=+-=αααα换式：如求极限 解：原式原式又即原式求极限. 解：等（，（同理有（，则如),061~arcsin )031~tan )061~sin )(61sin 33333→-→-→-+=-x x x x x x x x x x x x x o x x x .)1tan (lim 2n n nn →∞01,lim 1tanln 2→==∞→nt e nn n n 令3tan 21tan 2lim lim lim tan lnt t t t t teee n n t t tn --∞→∞→∞→===)(31tan 33t o t t t ++=31)(31lim tan lim 333=-++=-∞→∞→t tt o t t t t t n n 31=)]1ln()1([lim 220ax a xx a x +--→)()(21)1ln(2x o ax ax ax +-=+求极限 解令利用展开式可得故原式= 求极限 解：方法一；洛必达法则21)2121(lim ))]()(21)(1([lim )]1ln()1([lim 24302220220=-+=+---=+--=→→→x a a x a x o ax ax a x x a ax a x x a x x x 原式)(lim 656656x x x x x --++∞→故时，于是，当,0t x ,1+→+∞→=tx ])1()1[(t1)(6161656656t t x x x x --+=--+)(1)1(t o t t ++=+αα)(611)1(),(611)1(6161t o t t t o t t +-=-++=+31)(31lim ])1()1[(t 1lim 061610=+=--+==→→t t o t t t t t .)1ln(sin 1tan 1lim 20xx x xx x -++-+→方法二；泰勒公式2121lim )111(2lim ))1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 0020020-=-+=-+=-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→xx x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 原式21)(21(221lim))(21(221lim)(21)1ln())1(ln(221lim ))1(ln(2)cos tanx(1lim sin 1tan 11)1ln(sin tanx lim 222022202220020-=+-=-+-=+-=+-+=-+-=+++⋅-+-=→→→→→）原式得由原式x o x x x x o x x x x o x x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x上篇练习题答案讲解1、求极限 解：方法一；洛必达法则方法二；利用公式求极限 解求极限.,,2,1i ,0,)(lim i 21n a na a a xnx nx x n =>+++∞→其中nx nx x nxn x x n xn x x n xn x nx xn a a a a a a a a a a a a n na a a x n n a a a 212122112121}ln ln ln lim exp{)}ln(lim exp{)(lim =++++++⋅=+++=+++→∞→∞→∞型）∞-=1}()1ex p{(v u u v nn xn x x n x nxx n xn xnxx n a a a a a a x na a a xnn a a a n a a a 2121212121}exp{ln }lim exp{)1(lim exp{)(lim ==-+++=-+++=+++∞→∞→∞→.)111(lim 2nn nn ++∞→.)}1n 1(lim exp{原式＝2en n n =+⋅∞→.,,,,lim 1均为正整数其中q p n m xx x x qpn mx --→解：)()(11111111lim lim lim 111111111111111p q mn m n pq qp n m xq x p xn x m x x x x x x x x q p n m x qpnm x q p n mx --=--=--=--=------→→→。
第三章微分中值定理罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 (洛必达法则) 第三节泰勒公式 麦克劳林
第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 1、 费马定理：设)()(0f D x U ⊂,)()(0x f x f ≤[或)()(0x f x f ≥],)(0x U x ∈，若)()(0x D x f ∈，则0)(0='x f .证明：由于0)()(0≤-x f x f ,)(0x U x ∈，那么0)()(lim )(0000≥--='-→x x x f x f x f x x ,(因00<-x x )0)()(lim )(0000≥--='+→x x x f x f x f x x ,(因00>-x x ) , 所以 0)(0='x f .2、罗尔定理：设],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,且)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ,..t s 0)(='ξf . 证明：因],[)(b a C x f ∈,],[,b a x x M m ∈∃，..t s)}({min )(x f x f m bx a m ≤≤==, )}({max )(x f x f M bx a M ≤≤==.(1) 当M m =时,则],[,)(b a x M x f ∈≡,那么),(,0)(b a x x f ∈≡'.取 ),(2b a ba ∈+=ξ，有0)(='ξf . (2) 当M m <时, 因)()(b f a f =,),()(b a D x f ∈,① 若M a f <)(,有),(b a x M ∈, 取M x =ξ； ② 若M a f =)(,有),(b a x m ∈, 取m x =ξ；因),(b a ∈ξ,)()(ξD x f ∈,由费马定理知：0)(='ξf .3、几何意义x yO)(x f y =ξyC)(x f y =A Ba OxξyC)(x f y =A Ba Oxb曲线)(x f y =在两个端点等高，则曲线内必有一水平切线。
教师与学霸专用：高中数学洛必达法则与泰勒公式在解高考题中的应用
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题第一部分：历届导数高考压轴题(全国2理)设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．（全国1理）已知函数()11ax x f x e x-+=-.（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性；（Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.（全国1理）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（全国2理）设函数sin ()2cos x f x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．（辽宁理）设函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++.⑴求()f x 的单调区间和极值;⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式()f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值范围;若不存在,试说明理由.（新课标理）设函数)(x f =21x e x ax ---.（Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间;（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围.（新课标文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.（全国大纲理）设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.（新课标理）已知函数ln ()1a xbf x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1xkf x x x >+-，求k 的取值范围.例题：若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围第二部分：泰勒展开式1.2311,1!2!3!!(1)!n n xx x x x x x e e n n θ+=+++++++ 其中(01)θ<<；2.231ln(1)(1),2!3!!n n n x x x x x R n -+=-+-+-+ 其中111(1)()(1)!1n n n n x R n xθ++=-++；3.35211sin (1)3!5!(21)!k k n x x x x x R k --=-+-+-+- ，其中21(1)cos (21)!k k n x R x k θ+=-+；4.24221cos 1(1)2!4!(22)!k k n x x x x R k --=-+-+-+- ，其中2(1)cos (2)!k k n x R x k θ=-；第三部分：洛必达法则及其解法洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：（1）lim ()lim ()0x a x af xg x →→==；（2）在()U a 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；（3）()lim ()x a f x A g x →'='（A 可为实数，也可以是±∞）.则()()lim lim ()()x ax a f x f x A g x g x →→'=='.1.（新课标理）已知函数ln ()1a x b f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，求k 的取值范围.常规解法（Ⅰ）略解得1a =，1b =.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x=++，所以22ln 1(1)(1)()())11x k k x f x x x x x x ---+=+--.考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x --(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=.(i)当0k ≤时，由222(1)(1)'()k x x h x x+--=知，当1x ≠时，'()0h x <.因为(1)0h =，所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅>-；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得21()01h x x ⋅>-，从而当0x >且1x ≠时，ln ()()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x k f x x x >+-；（ii）当01k <<时，由于当1(1,)1x k ∈-时，2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，故当1(1,)1x k ∈-时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅<-，与题设矛盾.（iii）当1k ≥时，'()0h x >，而(1)0h =，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得21()01h x x ⋅<-，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为(0]-∞，.注：分三种情况讨论：①0k ≤；②01k <<；③1k ≥不易想到.尤其是②01k <<时，许多考生都停留在此层面，举反例1(1,)1x k∈-更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.洛必达法则解法当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-，即ln 1ln 11x x k x x x x +>++-，也即2ln 1ln 2ln 1111x x x x x x k x x x x <+-=++--，记22ln ()11x x g x x =+-，0x >，且1x ≠则2222222222(1)ln 2(1)2(1)1'()=(ln )(1)(1)1x x x x x g x x x x x ++-+-=+--+，记221()ln 1x h x x x -=++，则22222214(1)'()+=0(1+)(1+)x x h x x x x x --=>，从而()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0h =，因此当(0,1)x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >；当(0,1)x ∈时，'()0g x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.由洛必达法则有2211112ln 2ln 2ln 2lim ()lim(1)1lim 1lim 0112x x x x x x x x x g x x x x→→→→+=+=+=+=---，即当1x →时，()0g x →，即当0x >，且1x ≠时，()0g x >.因为()k g x <恒成立，所以0k ≤.综上所述，当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >+-成立，k 的取值范围为(0]-∞，.注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k 分离出来.然后对分离出来的函数22ln ()11x x g x x=+-求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当=1x 时，函数()g x 值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.2.（新课标理）设函数2()1x f x e x ax =---.（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，即21x e x ax --≥.①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，21x e x ax --≥等价于21x e x a x --≤.记21()x e x g x x --=(0+)x ∈∞，，则3(2)2'()x x e x g x x -++=.记()(2)2x h x x e x =-++(0+)x ∈∞，，则'()(1)1x h x x e =-+，当(0+)x ∈∞，时，''()0x h x xe =>，所以'()(1)1x h x x e =-+在(0+)∞，上单调递增，且'()'(0)0h x h >=，所以()(2)2x h x x e x =-++在(0+)∞，上单调递增，且()(0)0h x h >=，因此当(0+)x ∈∞，时，3()'()0h x g x x =>，从而21()x e x g x x --=在(0+)∞，上单调递增.由洛必达法则有，20000111lim ()lim lim lim 222x x x x x x x e x e e g x x x →→→→---====即当0x →时，1()2g x →，所以当(0+)x ∈∞，时，所以1()2g x >，因此12a ≤.综上所述，当12a ≤且0x ≥时，()0f x ≥成立.例题：若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立，求a 的取值范围.应用洛必达法则和导数当(0,2x π∈时，原不等式等价于3sin x x a x ->.记3sin ()x x f x x-=，则43sin cos 2'()x x x x f x x --=.记()3sin cos 2g x x x x x =--，则'()2cos sin 2g x x x x =+-.因为''()cos sin cos (tan )g x x x x x x x =-=-，'''()sin 0g x x x =-<，所以''()g x 在(0,2π上单调递减，且''()0g x <，所以'()g x 在(0,)2π上单调递减，且'()0g x <.因此()g x 在(0,)2π上单调递减，且()0g x <，故4()'()0g x f x x =<，因此3sin ()x x f x x -=在(0,)2π上单调递减.由洛必达法则有3200000sin 1cos sin cos 1lim ()lim lim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→--=====，即当0x →时，1()6g x →，即有1()6f x <.故16a ≥时，不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：1可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现“00”型式子.（海南宁夏文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数当0x ≥时，()0f x ≥，即2(1)x x e ax -≥.①当0x =时，a R ∈；②当0x >时，2(1)x x e ax -≥等价于1xe ax -≥，也即1x e a x -≤.记1()x e g x x -=，(0,)x ∈+∞，则(1)1'()x x e g x x-+=.记()(1)1x h x x e =-+，(0,)x ∈+∞，则'()0x h x xe =>，因此()(1)1x h x x e =-+在(0,)+∞上单调递增，且()(0)0h x h >=，所以()'()0h x g x x =>，从而1()x e g x x-=在(0,)+∞上单调递增.由洛必达法则有0001lim ()lim lim 11x x x x x e e g x x→→→-===，即当0x →时，()1g x →所以()1g x >，即有1a ≤.综上所述，当1a ≤，0x ≥时，()0f x ≥成立.（全国大纲理）设函数()1x f x e -=-.（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围.解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数由题设0x ≥，此时()0f x ≥.①当0a <时，若1x a >-，则01x ax <+，()1x f x ax ≤+不成立；②当0a ≥时，当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，即11x x e ax --≤+；若0x =，则a R ∈；若0x >，则11x x e ax --≤+等价于111x e x ax --≤+，即1x x x xe e a xe x-+≤-.记1()x x x xe e g x xe x -+=-，则2222221'()=2)()()x x x x x x x x e x e e e g x e x e xe x xe x ---+=--+--.记2()2x x h x e x e -=--+，则'()2x x h x e x e -=--，''()+20x x h x e e -=->.因此，'()2x x h x e x e -=--在(0)+∞，上单调递增，且'(0)0h =，所以'()0h x >，即()h x 在(0)+∞，上单调递增，且(0)0h =，所以()0h x >.因此2'()=()0()xx e g x h x xe x >-，所以()g x 在(0)+∞，上单调递增.由洛必达法则有000011lim ()lim lim lim 122x x x x x x x x x x x x x x xe e xe e xe g x xe x e xe e xe →→→→-++====-+-+，即当0x →时，1()2g x →，即有1()2g x >，所以12a ≤.综上所述，a 的取值范围是1(,]2-∞.（全国2理）设函数sin ()2cos x f x x=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++．当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>；当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<．因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数，()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）是减函数．解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数sin ()2cos x f x ax x=≤+若0x =，则a R ∈；若0x >，则sin 2cos x ax x ≤+等价于sin (2cos )x a x x ≥+，即sin ()(2cos )x g x x x =+则222cos 2sin sin cos '()(2cos )x x x x x x g x x x --+=+.记()2cos 2sin sin cos h x x x x x x x =--+，2'()2cos 2sin 2cos cos 212sin cos 212sin 2sin 2sin (sin )h x x x x x x x x x x x x x x x =---+=--+=-=-因此，当(0,)x π∈时，'()0h x <，()h x 在(0,)π上单调递减，且(0)0h =，故'()0g x <，所以()g x 在(0,)π上单调递减，而000sin cos 1lim ()lim lim (2cos )2+cos sin 3x x x x x g x x x x x x →→→===+-.另一方面，当[,)x π∈+∞时，sin 111()(2cos )3x g x x x x π=≤≤<+，因此13a ≥.。
第九周习题课(洛必达法则与泰勒公式)
x2 x4 x6 x 2n + o( x 2n+1 ) ； （3） cos x =1− + − +L+ ( −1)n 2! 4! 6! ( 2n)!
x2 x3 x4 xn （4） ln(1+ x )= x − + − +L+ ( −1) n−1 ） + o( x n ) ； 2 3 4 n
α(α −1) 2 α(α −1)L(α − n +1) n （5） (1+ x ) =1+ αx + x +L+ x + o( x n ) 。 2! n!
f (1) =1 ， f ′( 0)= 0 ，证明 ∃ξ∈( −1, 1) ，使得 f ′′′(ξ )= 3 。
6
5
四阶导数， 4．设 f 有四阶导数，且 f (0) = 0, f '(0) = −1, f ''(0) = 2 ，
f '''(0) = −3, f
(4)
f ( x) + x[1 − ln(1 + x)] (0) = 6 ，求 lim 。 4 x →0 x
上具有三阶连续导数， 5．设 f ( x ) 在 [−1, 1] 上具有三阶连续导数，且 f ( −1)= 0 ，
x→0
（B） a = 0, b = −2 ； ） （D） a =1, b = −2 。 ）
3
填空题 二、填空题
． 1． lim
= 3 x→0 ln(1+ 2 x ) arctan x − x
。
xln(1+ x ) − x n π 2 3. lim tan ( + )= 4 n n→∞
洛必达法则和泰勒公式
!
R2m1
(
x)
其中
R2m1(x)
(1)m1 cos( x)
(2m 2) !
x2m2
(0 1)
麦克劳林公式
f (0)
f
(0)x
f (0) x2
f
(n) (0) xn
2!
n!
(0 1)
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f (k) (x) ( 1)( k 1)(1 x)k
f (k) (0) ( 1)( k 1) (k 1,2,)
3 106
1) !
由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此
e 11 1 1 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
本例 e 11 1 1 2! 9!
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则
各项舍入误差之和不超过 7 0.5106, 总误差限为 7 0.5106 106 5106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 106.
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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洛必达法则与泰勒公式
洛必达法则与泰勒公式例1 设()f x 在(,)a b 内可导，且()f x '单调，求证：()f x '在(,)a b 内连续。
例2 （1）设()f x 在[,)a +∞上有界，()f x '存在，且lim ()x f x b →+∞'=，求证：0b =。
（2）设()f x 在[,)a +∞上有界，()f x '存在，且lim ()0x f x →+∞=，是否一定有lim ()0x f x →+∞'=。
如果是，证明你的结论，如果不是，举出反例。
例3 设()(,)f x C a b ∈，()f x '在(,)a b 内除点0x 外都存在，且0lim ()x x f x +→'存在，求证：0()f x +'存在，且00()lim ()x x f x f x ++→''=。
例4 求极限21lim (1)x xx e x-→+∞+例5 设()f x 一阶可导，且0()f x ''存在，求证：00002(2)2()()lim()h f x h f x h f x f x h→+-++''=例6 求132lim [()2x x x x x e →+∞-+例7 求证：（1）n N ∀∈，(0,1)n θ∃∈，使得11112!!(1)!ne e n n θ=++++++（2）e 是无理数例8 设()f x 在[0,1]上有二阶导数，|()|f x a ≤，|()|f x b ''≤，其中,a b 是非负数。
求证：对一切(0,1)c ∈，有|()|22bf c a '≤+例9 设()f x 在R 上二次可微，且x R ∀∈，有02|()|,|()|f x M f x M ''≤≤， （1）写出(),()f x h f x h +-关于h 的带拉格朗日余项的泰勒公式； （2）求证：0h ∀>，有02|()|2M hM f x h '≤+；（3）求证：|()|f x '≤习题1. 设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim [()()]x f x xf x l →+∞'+=，求证：lim ()x f x l →+∞=2. 设函数()f x 在闭区间[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0,(1)1,(0)0f f f '-===。
洛必达公式
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
中值定理
以 x=1 代入上式得
此级数收敛迅速,e 近似到小数点后 40 位的数值是
将指数函数 ex 扩大它的定义域到复数 z=x+yi 时,由
透过这个级数的计算,可得
由此,De Moivre 定理,三角函数的和差角公式等等都可以轻易地导出.譬如说,z1=x1+y1i, z2=x2+y2i,
差分算子的性质
(i) [合称线性]
(ii) (常数) [差分方程根本定理]
(iii)
其中 ,而 (n(k) 叫做排列数列.
(iv) 叫做自然等比数列.
(iv)' 一般的指数数列(几何数列)rn 之差分数列(即「导函数」)为 rn(r-1)
(乙).和分
类似地，可以展开y=cosx。
2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
注:(1)(2)两式虽是类推,但有一点点差异,即和分的上限要很小心!
上面定理1及定理3基本上都表述着差分与和分,微分与积分,是两个互逆的操作,就好像加法与减法,乘法与除法是互逆的操作一样.
我们都知道差分与微分的操作比和分与积分简单多了,而上面定理1及定理3告诉我们,要计算 (un) 的和分及 f 的积分,只要去找另一个 (vn) 及 g 满足 , g'=f (这是差分及微分的问题),那么对 vn 及 g 代入上下限就得到答案了.换句话说,我们可以用较简单的差分及微分操作来掌握较难的和分及积分操作,这就是"以简御繁"的精神.牛顿与莱布尼慈对微积分最大的贡献就在此.
罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用
内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
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11
给出误差的具体表达式。 ② 给出误差的具体表达式。
f ( x) ≈ a0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + ...+ an ( x − x0 )n = pn ( x) 假设 pn ( x ) 在 x 0 处的函数值及它的直到 n 阶导数在 x 0 处的
值依次满足
x →∞
条件（ ）不满足！ 条件（3 不满足！
f '( x) f ( x) lim 不存在， 不存在。 不存在，不能说明 lim 不存在。 F '( x) F ( x) 也许用其它方法能够求 出极限。 出极限。
9
（2）用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 用洛必达法则出现循环现象，及时改换别的方法。 ∞ ∞ ′ ∞ x2 +1 ∞ x2 +1 x x2 +1 lim = lim = lim = lim =L x → +∞ x → +∞ x → +∞ x x′ x x 2 + 1 x → +∞
1
第二节
0 ∞ 1.未定式 1.未定式： , 未定式： 0 ∞
洛必达法则
两个函数 f ( x )与 F ( x ) 都趋于零 若当 x → a (或x → ∞ )时， f ( x) 或都趋于无穷大， 或都趋于无穷大， 那么极限 xlim 可能存在、也可能不 可能存在、 →a F ( x) ( x→∞ ) 存在， 通常把这种极限叫做未定式。 未定式。 存在， 通常把这种极限叫做未定式
2
− cos x =0 − sin x
7
例8 求 lim x x
x → +0
解 设 y = x x , ln y = x ln x.
x →+0
lim ln y = lim x ln x = 0
x →+0
∴ lim x x = lim y = lim e ln y = e xlim0 ln y = 1 →+ x → +0 x → +0 x → +0
(
)
x2 +1 1 事实上， = lim 1 + 2 = 1 事实上， lim x → +∞ x → +∞ x2 x 哈哈！ 哈哈！洛必达先生 与其它求极限的方法综合运用，以简便为原则。 （3）与其它求极限的方法综合运用，以简便为原则。 在翻筋斗
x2 +1 = lim x → +∞ x
例9
0 0 tan x − x tan x − x 解 lim 2 = lim ( x → 0, sin x cos 3 x ~ x ) 3 x →0 x sin x cos 3 x x →0 x sec 2 x − 1 tan 2 x 1 = lim = lim = 2 x →0 3 x 2 x →0 3x 3
6x 3 = lim = x→1 6x − 2 2
5
π
例3
1 0 x 1 π − − arctan x 2 1 + x 2 = lim x 2 解 lim = lim =1 x→+∞ x → +∞ x→+∞ 1 + x 2 1 1 − 2 x x ∞ ln x 例4 求 xlim n (n > 0) →+∞ x ∞ 1 ln x 1 x 解 xlim n = lim = lim =0 →+∞ x n −1 x → +∞ nx n x → +∞ nx ∞ xn 例5 求 xlim e λ x (n 为正整数 , λ > 0 ) ∞ → +∞ xn nxn−1 n(n −1)xn−2 =L 解 xlim λx = xlim λx = lim λx → +∞ e →+∞ λe x→+∞ λ ⋅ λ ⋅ e n! n ⋅ L ⋅ 1 ⋅ x n− n = lim = lim n λx = 0 (n为正数 ? 如 n = 1.5 ) x →+∞ λ ⋅ L ⋅ λ ⋅ e λx x →+∞ λ e 6
( ξ 在 x 与 a 之间）， 之间），
f (x) f ′(ξ ) f ′(ξ ) 令ξ = x lim f ′( x ) ∴ lim = lim = lim x →a F ′( x ) x →a F ( x ) x → a F ′(ξ ) ξ → a F ′ (ξ )
f '( x) 0 仍属 型未定式， 若 型未定式， 且这时 f '( x) 及 F '( x) 能满足 F ' ( x) 0 定理中 f (x) 及 F(x) 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则， 所满足的条件， 可继续施用洛必达法则，
型各种未定式， 用洛必达法则求极限。 ∞ 0型各种未定式，也可以 用洛必达法则求极限。
3
3.洛必达法则的证明 3.洛必达法则的证明 证 由于 lim x→ a →
→
f ( x) f (a ) 及 F ( x) 与
无关， F(a) 无关，
δ
（
a ξ
δ
可以假定 f (a ) = F (a ) = 0,
x → +0 x → +0
或 lim x x = lim exp( x ln x ) = exp lim x ln x = 1
x → +0
(
)
ex
又记作 exp( x )
方法： 幂指函数求极限的基本 方法： 由对数基本公式和指数 函数的连续性 lim f ( x ) = lim exp[ln f ( x )] = exp lim [ln f ( x )]
10
tan x − x 求 lim 2 x → 0 x sin x cos 3 x
第三节
泰勒公式
用简单函数（多项式） 用简单函数（多项式）近似表示复杂函数 e x ≈ 1 + x , sin x ≈ x , ln(1 + x ) ≈ x 很小时， 如：当 x 很小时， “神州6号”若用此公式进行 神州6 用此公式进行 近似计算，费俊龙、 近似计算，费俊龙、聂海胜 还能回到地球吗？ 还能回到地球吗？ 精确度不高（仅仅是 x的等价无穷小） 不足之处 不能估算误差 问题： 问题： 设函数 f ( x ) 在含有 x 0 的开区间内具有直到 阶导数， 的开区间内具有直到(n+1) 阶导数， 次多项式 试找出一个关于( x − x 0 ) 的n次多项式
sin x 1 1 − cos x x − sinx = = lim = lim lim 2 3 x→0 6 x x →0 x→0 6 6x 3x 3x x
x3 − 3x + 2 0 求 lim 3 x →1 x − x 2 − x + 1 0
2
3x − 3 x 3 − 3x + 2 0 lim 3 = lim 2 解 x→1 2 x→1 3x − 2x − 1 x − x − x +1 0
4
即
f (x) f ′( x ) f "( x) lim = lim = lim x →a F ( x ) x → a F ′( x ) x →a F " ( x )
4.洛必达法则求极限举例： 4.洛必达法则求极限举例： 洛必达法则求极限举例 x − sin x 0 例1 求 lim x →0 x3 0 解 例2
x
）
由条件（ ）、（ ）、（2） 由条件（1）、（ ）知，f ( x )及 F(x) 在 a的某一邻域内 是这邻域内的一点， 是连续的。 是连续的。 设 x是这邻域内的一点， 则在 x 及 a 为端点的 区间上，柯西中值定理的条件均满足， 区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有
f ′(ξ ) f ( x ) f ( x ) − f (a ) = = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ )
x → +∞
求 lim 2
− arctan x 0
x → +∞时， y = e λx (λ > 0 ), y = x α (α > 0 ), y = ln x都是无穷大 , 但增大速度不同， e λx 最快， x α 次之， x与前两者比较最慢。 但增大速度不同， 最快， 次之， 与前两者比较最慢。 ln
f ( x 0 ) = p n ( x 0 ), f ′( x 0 ) = pn ′ ( x 0 ), f ′′( x 0 ) = p n ″ ( x 0 ),
L,
f (n ) ( x 0 ) = p n
(n )
2
(x0 )
n n −1
Q p n ( x ) = a 0 + a1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) + L + a n ( x − x 0 ) p n ' ( x ) = a 1 + 2a 2 ( x − x 0 ) + L + na n ( x − x 0 )
p n ( x ) = a 0 + a 1 ( x − x 0 ) + a 2 ( x − x 0 ) + L + a n ( x − x 0 ) （1） ）
2 n
f (0 ) = P (0 ), f ′(0 ) = P ′(0 )
要求： 来近似表达 f ( x ), 要求： f ( x ) − pn ( x ) = ο ( x − x 0 ) n ①
1 其它未定式: 0 ⋅ ∞、 ∞ − ∞、0 0 、 ∞ 、 ∞ 0 其它未定式
例6 求 lim x n ln x (n > 0) (0 ⋅ ∞ )
x→+0