一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

合集下载

关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系

1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数。

当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数。

二次函数与一元二次方程不等式

【练习2】(2017·咸宁)如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A( －1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n＞ax2＋bx＋c的解集是 _______x_＜__－__1_或__x_＞__4____．
| 练习 | 1. [2018·自贡]若函数y=x2+2x-m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为
-1 .
2. [2019·泰安]若二次函数y=x2+bx-5图象的对称 [答案] x1=2,x2=4
轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的 [解析]∵二次函数 y=x2+bx-5
(2)(2017·天水)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点是B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0) 与抛物线交于A，B两点，下列结论：①abc＞0；②方程ax2＋bx＋c＝3有
两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x＜ 4时，有y2＞y1；⑤x(ax＋b)≤a＋b，其中正确的结论是________②．⑤(只填写序号)
【例2】(1)(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜1
时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有（） B
A．1个 B．2个 C (2)点C(0，3)，点D(1，4)．
(3)设点P(x，y)(x＞0，y＞0)，S△COE＝12×1×3＝32，S△ABP＝12×4y＝2y，

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。

首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。

与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。

但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。

其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。

一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。

与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。

最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。

一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。

与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。

综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。

深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。

- 1 -。

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）一元二次不等式的概念. （2）三个二次的关系. （3）一元二次不等式的解法. 知识点拓展:（4）分式不等式的解法. （5）高次不等式的解法. 二、本节题型（1）解不含参数的一元二次不等式. （2）解含参数的一元二次不等式. （3）三个二次之间的关系.（4）简单高次不等式、分式不等式的解法. （5）不等式恒成立问题. （6）一元二次不等式的应用. 三、知识点讲解.知识点一元二次不等式的概念我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如02>++c bx ax （≥0）或02<++c bx ax （≤0）（其中0≠a ）的不等式叫做一元二次不等式.元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.注意一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 知识点三个二次的关系一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;①当0>∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴有两个不同的交点;②当0=∆时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.（2）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象与x 轴没有交点.具体关系见下页表（1）所示.一元二次不等式与二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的关系是:（1）一元二次不等式02>++c bx ax （≥0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴上方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围;（2）一元二次不等式02<++c bx ax （≤0）的解集就是二次函数()002≠=++=a c bx ax y 的图象位于x 轴下方（包括x 轴）的部分所对应的自变量的取值范围.由表可知一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解. 知识点一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤是:（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算ac b 42-=∆的值,并判断∆的符号; （3）当∆≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图;（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.注意一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.其中,①当0>∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;②当0=∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅;③当0<∆时,一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集为R ;一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集为∅.表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:一元二次不等式在R 上恒成立的问题（1）02>++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆>0402ac b a 或⎩⎨⎧>==00c b a ; （2）02<++c bx ax 在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a ;（3）一元二次不等式c bx ax ++2≥0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ; （4）一元二次不等式c bx ax ++2≤0在R 上恒成立,则有:⎩⎨⎧≤-=∆<0402ac b a . 补充概念二次函数的零点我们把使一元二次方程02=++c bx ax 的实数x 叫做二次函数c bx ax y ++=2的零点. 对零点的理解（1）二次函数的零点即相应一元二次方程02=++c bx ax 的实数根;（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;（3）并非所有的二次函数都有零点.当ac b 42-=∆≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.知识点分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式: ①0)()(>x g x f ; ②)()(x g x f ≥0; ③0)()(<x g x f ; ④)()(x g x f ≤0. 分式不等式的解法解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式. 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）0)()(>x g x f 与不等式组⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(>⋅x g x f 同解; （2）)()(x g x f ≥0与不等式组⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f 同解;（3）0)()(<x g x f 与不等式组⎩⎨⎧<>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧><0)(0)(x g x f 同解,与不等式0)()(<⋅x g x f 同解;（4）)()(x g x f ≤0与不等式组⎩⎨⎧≠≤⋅0)(0)()(x g x g x f .由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.知识点高次不等式的解法解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根; （3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.四、例题讲解例1. 解不等式0452>-+-x x .分析先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.解: 原不等式可化为:0452<+-x x .对于方程0452=+-x x ,∵()0941452>=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:4,121==x x . ∴不等式0452>-+-x x 的解集为{}41<<x x .点评在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.例2. 已知关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,求不等式022>-+-a x cx 的解集.分析先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出c a ,的值.注意一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根. 解: 由题意可知:0<a .∵关于x 的不等式022>++c x ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ∴21,3121=-=x x 是方程022=++c x ax 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-213121312a c a ,解之得:⎩⎨⎧=-=212c a . ∴022>-+-a x cx 即012222>++-x x ∴062<--x x ,解之得:32<<-x .∴不等式022>-+-a x cx 的解集为{}32<<-x x .例3. 一元二次不等式()()052>-+x x 的解集为【】（A ）{}52>-<x x x 或（B ）{}25>-<x x x 或（C ）{}52<<-x x （D ）{}25<<-x x分析本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.解: 原不等式可化为:()()052<-+x x .∵方程()()052=-+x x 的根为5,221=-=x x .∴不等式()()052<-+x x 的解集为{}52<<-x x ,即原不等式的解集. ∴选择答案【 C 】.例4. 已知不等式042<++ax x 的解集为空集,则实数a 的取值范围是【】（A ）{}44≤≤-a a （B ）{}44<<-a a （C ）{}44≥-≤a a a 或（D ）{}44>-<a a a 或分析本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.不等式042<++ax x 的解集为空集,即相应的二次函数42++=ax x y 的图象位于x 轴上及其上方,或者不等式42++ax x ≥0在R 上恒成立.解: ∵不等式042<++ax x 的解集为空集∴162-=∆a ≤0,解之得:4-≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是{}44≤≤-a a . ∴选择答案【 A 】.例5. 若关于x 的不等式()()021>--x mx 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ,则实数m 的取值范围是【】（A ）{}0>m m （B ）{}20<<m m（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21m m （D ）{}0<m m分析本题由题意可知:0<m . 解: ∵()()021>--x mx∴()02122>++-x m mx .∵其解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x m x ∴0<m .∴实数m 的取值范围是{}0>m m . ∴选择答案【 D 】.例6. 已知函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-,则实数a 的值为_________,实数b 的值为_________.解: ∵函数182++=bx ax y 的定义域为[]6,3-∴一元二次不等式182++bx ax ≥0的解集为[]6,3-. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=+-=-631863aab ,解之得:⎩⎨⎧=-=31b a . ∴实数a 的值为1-,实数b 的值为3. 例7. 已知函数m x x y +-=2.（1）当2-=m 时,求不等式0>y 的解集; （2）若0,0<>y m 的解集为{}b x a x <<,,求ba 41+的最小值. 解:（1）2-=m 时,22--=x x y .∵0>y ,∴()()02122>-+=--x x x x 解之得:1-<x 或2>x .∴不等式0>y 的解集为{}21>-<x x x 或;（2）∵02<+-=m x x y 的解集为{}21>-<x x x 或 ∴m ab b a ==+,1,且041>-=∆m ,解之得:41<m . ∵0>m ,∴0,0>>b a ,410<<m . ∴()a b b a b a b a b a ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+454141≥9425=⋅+a b b a . 当且仅当a b b a =4,即32,31==b a 时,等号成立.此时41923231<=⨯=m ,符合题意. ∴ba 41+的最小值为9. 例8. 解关于x 的不等式02>-x ax （0≠a ）.分析本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.解: ∵02>-x ax ,∴()01>-ax x∴01>⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x ax .∵0≠a ,∴分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或;②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x .另解: 解方程02=-x ax （0≠a ）得:ax x 1,121==. 分为两种情况:①当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或; ②当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 综上所述,当当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>01x a x x 或,当0<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<01x a x . 点评不等式02>-x ax （0≠a ）可化为01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x ax .当0>a 时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式01>⎪⎭⎫⎝⎛-a x x ;当0<a 时,原不等式同解于不等式01<⎪⎭⎫⎝⎛-a x x .例9. 若对于0>∀x ,132++x x x≤a 恒成立,则实数a 的取值范围是【】（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥31a a （B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>31a a （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>51a a （D ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a . 解: ∵132++x x x≤a 恒成立 ∴只需a ≥max213⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x 即可. ∵0>∀x ∴311132++=++x x x x x≤513121=+⋅xx . 当且仅当xx 1=,即1=x 时,等号成立. ∴5113max 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x . ∴a ≥51,即实数a 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥51a a .∴选择答案【 D 】.例10.（1）若关于x 的不等式0232>+-x ax （∈a R ）的解集为{}b x x x ><或1（∈b R ）,求b a ,的值;（2）解关于x 的不等式ax x ax ->+-5232（∈a R ）.解:（1）由题意可知:0>a .一元二次方程0232=+-x ax 的根为b x x ==21,1.由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=baba1213,解之得:⎩⎨⎧==21b a .∴a 的值为1,b 的值为2;（2）∵ax x ax ->+-5232（∈a R ） ∴()0332>--+x a ax .当0=a 时,原不等式为523>+-x ,解之得:1-<x . ∴原不等式的解集为{}1-<x x ;当0≠a 时,原不等式可化为()031>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x a . ①若0>a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或; ②若03<<-a 时,原不等式同解于()031<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x x ,且13-<a ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; ③若3-=a ,原不等式为()0132<+x ,其解集为∅;④若3-<a ,则13->a ,则原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 综上所述,当0=a 时, 原不等式的解集为{}1-<x x ;当0>a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>13x a x x 或;当03<<-a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<13x a x ; 当3-=a 时,原不等式的解集为∅; 当3-<a 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-a x x 31. 例11.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . （1）若不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-123x x ,求实数k 的值;（2）若不等式08322<-+kx kx 恒成立,求实数k 的取值范围. 解:（1）由题意可知:0>k .一元二次方程08322=-+kx kx 的根是1,2321=-=x x . 由根与系数的关系定理:123283⨯-=-k ,解之得:81=k .∴实数k 的值为81;（2）当0=k 时,083<-恒成立,符合题意;当0≠k 时,由题意可知:⎪⎩⎪⎨⎧<⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯-=∆<08324022k k k ,解之得:03<<-k . 综上所述,实数k 的取值范围为{}03≤<-k k .例12. 若∀1≤x ≤4,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.分析本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.解: ∵()422++-x a x ≥1--a∴()1-x a ≤522+-x x . ∵1≤x ≤4∴当1=x 时,显然0⨯a ≤4521=+-成立,∴∈a R ; 当x <1≤4时,01>-x∴a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.此时3=x []4,1∈,符合题意.∴a ≤4.综上所述,实数a 的取值范围是(]4,∞-. 例13. 已知不等式012<--mx mx .（1）当∈x R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）当∈x {}31≤≤x x 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.解:（1）当0=m 时,01<-恒成立,符合题意;当0≠m 时,则有⎩⎨⎧<+=∆<0402m m m ,解之得:04<<-m . 综上,实数m 的取值范围是(]0,4-;（2）当0=m 时,显然∈x {}31≤≤x x 时,01<-恒成立,符合题意; 当0≠m 时,()11<-x mx .若1=x ,显然10<恒成立,此时∈m R ; 若x <1≤3,则()01>-x x ∴()11-<x x m 恒成立,只需()min11⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m 即可. ∵()4121111122-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-x x x x x ≥614121312=-⎪⎭⎫ ⎝⎛- ∴()6111min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<x x m . 综上所述,实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛∞-61,.例14. 解关于x 的不等式()m x m mx --+122≥0.解: 当0=m 时,x -≥0,解之得:x ≤0.∴原不等式的解集为{}0≤x x ;当0≠m 时,原不等式可化为()()m x mx +-1≥0∴()[]m x m x m --⎪⎭⎫⎝⎛-1≥0.方程()m x m mx --+122的两个实数根分别为m x mx -==21,1. 当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1; 当0<m 时,原不等式同解于()[]m x m x --⎪⎭⎫ ⎝⎛-1≤0,且m m -<1. ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 综上所述,当0=m 时,原不等式的解集为{}0≤x x ;当0>m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≥m x m x x 或1;当0<m 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤m m m x 1. 例15. 已知关于x 的不等式222->-x kx kx . （1）当2=k 时,解不等式; （2）当∈k R 时,解不等式.解:（1）当2=k 时,2422->-x x x∴02522>+-x x ∴()()0212>--x x . 解之得:2>x 或21<x . ∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>212x x x 或;（2）原不等式可化为()02122>++-x k kx . 当0=k 时,02>+-x ,解之得:2<x . ∴原不等式的解集为{}2<x x ;当0≠k 时,原不等式可化为()()012>--kx x∴()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x k .方程222->-x kx kx 的根为kx x 1,221==. 当0<k 时,原不等式同解于()012<⎪⎭⎫ ⎝⎛--k x x ,且21<k .∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当0>k 时,原不等式同解于()012>⎪⎭⎫⎝⎛--k x x .①若21>k ,则21<k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或; ②若21=k ,则21=k,∴原不等式的解集为{}2≠x x ; ③若210<<k ,则21>k ,∴原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或.综上所述,当0=k 时,原不等式的解集为{}2<x x ;当0<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<21x k x ; 当210<<k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>21x k x x 或;当21=k 时,原不等式的解集为{}2≠x x ; 当21>k 时,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>k x x x 12或.例16. 已知关于x 的不等式0622<+-k x kx .（1）若不等式的解集为{}23->-<x x x 或,求实数k 的取值; （2）若不等式的解集为R ,求实数k 的取值范围.解:（1）由题意可知:0<k .一元二次方程0622=+-k x kx 的两个实数根分别为2,321-=-=x x .由根与系数的关系定理可得:232--=--k ,解之得:52-=k . ∴实数k 的值为52-;（2）当0=k 时,原不等式的解集为{}0>x x ,不符合题意;当0≠k 时,则有:⎩⎨⎧<-=∆<024402k k ,解之得:66-<k . 综上所述,实数k 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<66k k .例17. 已知122++ax ax ≥0恒成立,解关于x 的不等式022<+--a a x x .解:∵122++ax ax ≥0恒成立∴当0=a 时,1≥0恒成立,符合题意;当0≠a 时,则有:⎩⎨⎧≤-=∆>04402a a a ,解之得:a <0≤1. 综上,实数a 的取值范围是[]1,0. 对于不等式022<+--a a x x当0≤a ≤1时,原不等式可化为()()01<-+-a x a x∴()()[]01<---a x a x ,方程022=+--a a x x 的根为a x a x -==1,21.①若a <21≤1,则a a ->1,∴原不等式的解集为{}a x a x <<-1; ②若21=a ,则a a -=1,∴原不等式的解集为∅;③若210<<a ,则a a -<1,∴原不等式的解集为{}a x a x -<<1.综上所述,对于不等式022<+--a a x x :当a <21≤1时,不等式的解集为{}a x a x <<-1; 当21=a 时,不等式的解集为∅;当0≤21<a 时,不等式的解集为{}a x a x -<<1.例18. 不等式()()xa c xb x -++≤0的解集为{}321≥<≤-x x x 或,则=+c b 【】（A ）5- （B ）2- （C ）1 （D ）3解: 原不等式可化为()()ax c x b x -++≥0,同解于()()()⎩⎨⎧≠-≥++-00a x c xb x a x .方程()()0=-++ax c x b x 的解为c x b x -=-=21,.∵该不等式的解集为{}321≥<≤-x x x 或∴2=a ,⎩⎨⎧=--=-31c b 或⎩⎨⎧-=-=-13c b ,∴⎩⎨⎧-==31c b 或⎩⎨⎧=-=13c b .∴2-=+c b . ∴选择答案【 B 】.例19. 已知函数b ax x y +=2（b a ,为常数）,且方程012=+-x y 的两个根为31=x ,42=x .（1）求b a ,的值;（2）设1>k ,解关于x 的不等式()xkx k y --+<21.解:（1）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+-+0124416012339b a b a ,整理得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+142131ba ba ,解之得:⎩⎨⎧=-=21b a . ∴a 的值为1-,b 的值为2;（2）由（1）可知:xx y -=22.∵()x kx k y --+<21,∴()xkx k x x --+<-2122. ∴()()()021212<---=-++-xk x x x k x k x . 原不等式同解于()()()021>---k x x x .∵1>k∴当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或; 当2=k 时,()()0212>--x x ,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.综上所述,当21<<k 时,原不等式的解集为{}21><<x k x x 或;当2=k 时,原不等式的解集为{}21≠>x x x 且;当2>k 时,原不等式的解集为{}k x x x ><<或21.例20. 已知集合()()[]{}0132<+--=a x x x A ,()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=012a x a x x B . （1）当2=a 时,求B A ;（2）若A B ⊆,求实数a 的取值范围.解:（1）当2=a 时∵()(){}{}72072<<=<--=x x x x x A ,{}52052<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--=x x x x x B∴{}52<<=x x B A ;（2）∵∈∀a R ,恒有a a >+12,()()()[]{}010122<+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+--=a x a x x a x a x x B ∴{}12+<<=a x a x B . 当213>+a ,即31>a 时,{}132+<<=a x x A . ∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧+≤+≥13122a a a ,解之得: 2≤a ≤3.∴实数a 的取值范围是[]3,2;当213=+a ,即31=a 时,(){}∅=<-=022x x A ,显然不符合题意; 当213<+a ,即31<a 时,{}213<<+=x a x A .∵A B ⊆,∴⎩⎨⎧≤+≤+21132a aa ,解之得: 1-≤a ≤21-.∴实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1. 综上所述,实数a 的取值范围是[]3,221,1 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. 例21. 已知不等式442-+>+m x mx x .（1）若对任意实数x 不等式恒成立,求实数m 的取值范围; （2）若对于0≤m ≤4不等式恒成立,求实数x 的取值范围.解:（1）∵442-+>+m x mx x∴()0442>-+-+m x m x . ∵对任意实数x 不等式恒成立∴()()04442<---=∆m m ,解之得: 40<<m .∴实数m 的取值范围是()4,0; （2）∵442-+>+m x mx x ∴()04412>+-+-x x m x . ∵对[]4,0∈∀m ,不等式恒成立∴()()⎩⎨⎧>+-+⨯->+-+⨯-044410440122x x x x x x ,解之得:0≠x 且2≠x . ∴实数x 的取值范围是{}2200><<<x x x x 或或.点评解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.例22. 设()12--=mx mx x f ,求使()0<x f ,且m ≤1恒成立的x 的取值范围.解: ∵()0<x f ,m ≤1,∴012<--mx mx ,[]1,1-∈m .∴()012<--m x x 对[]1,1-∈m 恒成立. 设()()12--=m x x m g ,则有:()()()()()⎩⎨⎧<-⨯-=<--⨯-=-0111011122x x g x x g ,解之得:251251+<<-x .∴实数x 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-251,251.重要结论一次函数()b kx x f +=()0≠k 在区间[]n m ,上的恒成立问题:（1）若()0>x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧>>00n f m f ;（2）若()0<x f 恒成立,则()()⎩⎨⎧<<0n f m f .例23. 设函数()12--=mx mx x f ()0≠m ,若对于[]3,1∈x ,()5+-<m x f 恒成立,求m 的取值范围.解: ∵()5+-<m x f 在[]3,1∈x 上恒成立∴062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立. 令()62-+-=m mx mx x g ,只需()0max <x g 即可. 函数()x g 图象的对称轴为直线212=--=m m x . 当0>m 时,()x g 在[]3,1上单调递增 ∴()()0673max <-==m g x g ,解之得:76<m . ∴760<<m ; 当0<m 时,()x g 在[]3,1上单调递减 ∴()()061max <-==m g x g ,解之得:0<m .综上所述,m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或.另解: ∵062<-+-m mx mx 在[]3,1∈x 上恒成立∴()612<+-x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ∴162+-<x x m 在[]3,1∈x 上恒成立.只需761336162min 2=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<x x m 即可. ∵0≠m∴m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<7600m m m 或. 例24. 已知集合{}042≤-=t t A ,对于任意的A t ∈,使不等式122->-+x t tx x 恒成立的x 的取值范围是_____________.解: {}{}22042≤≤-=≤-=t t t t A .∵当A t ∈时,不等式122->-+x t tx x 恒成立 ∴()01212>+-+-x x t x 恒成立. 设()()1212+-+-=x x t x t f ,则有:()()⎩⎨⎧>-=>+-=-012034222x f x x f ,解之得:1-<x 或3>x . ∴x 的取值范围是{}31>-<x x x 或.例25. 对一切实数x ,不等式12++x a x ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是_____________.解: 当0=x 时,显然对∈∀a R 成立;当0≠x 时,a ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=--x x x x x x 1112,只需a ≥max 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 即可.∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x 1≤212-=⋅-x x∴21max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ,∴a ≥2-.∴实数a 的取值范围是[)+∞-,2.例26. 已知0,0>>y x ,且()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立,则实数m 的取值范围是_____________.解: ∵0,0>>y x ,∴0>+y x .∵()()()144152++--+y x m y x ≥0恒成立∴15-m ≤()y x y x yx y x +++=+++1441442恒成立,只需15-m ≤min144⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x 即可. ∵y x y x +++144≥()241442=+⋅+yx y x （当且仅当12=+y x 时,等号成立） ∴24144min =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++y x y x ,∴15-m ≤24,解之得:m ≤5.∴实数m 的取值范围是(]5,∞-. 例27. 已知61>k ,对任意正实数y x ,,不等式ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy 2恒成立,求实数k 的取值范围.解: ∵61>k ,∴0213>-k . ∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213≥xy k k ky x k ⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-213221322.当且仅当ky x k =⎪⎭⎫⎝⎛-213,即x kk y 213-=时,等号成立.∴ky x k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-213的最小值为xy k k ⎪⎭⎫⎝⎛-21322∵不等式ky x k +⎪⎭⎫⎝⎛-213≥xy 2恒成立∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21322≥xy 2∴xy k k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21342≥xy 2,解之得:k ≥21.∴实数k 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21.例28. 若关于x 的不等式()()0121122>+++-+-x x x k x k 的解集为R ,则实数k 的取值范围是_____________.解: ∵04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x 在R 上恒成立 ∴原不等式同解于不等式()()02112>+-+-x k x k ,其解集为R 当1=k 时,02> 在R 上恒成立,符合题意;当1≠k 时,则有:()()⎩⎨⎧<---=∆>-0181012k k k ,解之得:91<<k . 综上所述,实数k 的取值范围是[)9,1.例29.（1）解关于x 的不等式()422++-x a x ≤a 24-（∈a R ）;（2）若x <1≤4时,不等式()422++-x a x ≥1--a 恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）∵()422++-x a x ≤a 24-∴()()a x x --2≤0.当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2; 当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x .综上所述,当当2>a 时,原不等式的解集为{}a x x ≤≤2;当2=a 时,()22-x ≤0,原不等式的解集为{}2=x x ;当2<a 时,原不等式的解集为{}2≤≤x a x . （2）由题意可知,当(]4,1∈x 时,不等式()5212+---x x a x ≥0恒成立.∴当(]4,1∈x 时,a ≤1522-+-x x x 恒成立,只需a ≤min2152⎪⎭⎫⎝⎛-+-x x x 即可.∵(]4,1∈x ,∴()14114115222-+-=-+-=-+-x x x x x x x ≥()41412=-⋅-x x . 当且仅当141-=-x x ,即3=x 时,等号成立.∴4152min 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-x x x .∴a ≤4,即实数a 的取值范围为(]4,∞-.例30.（1）已知命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0,命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x ,若p 为真命题,q 为假命题,求实数a 的取值范围;（2）已知a ≥21,二次函数c ax x a y ++-=22,其中c a ,均为实数,证明对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.解:（1）∵命题∈∀x p :R ,a x x +-22≥0为真命题∴()a a 44422-=--=∆≤0,解之得: a ≥1.∵命题∈∃x q :R ,0122=-++a x x 为假命题 ∴⌝q :∈∀x R ,0122≠-++a x x 为真命题. ∴()01241<--=∆a ,解之得:85>a . ∴实数a 的取值范围是[)+∞,1;（2）证明: 二次函数c ax x a y ++-=22图象的对称轴为直线aa a x 2122=--=. ∵a ≥21,∴a210<≤1. ∵[]1,0∈∀x ,02<-a∴函数c ax x a y ++-=22的最大值在顶点处取得,即4144222max +=---=c a a c a y . 充分性: ∵c ≤43,∴41+c ≤14143=+,即max y ≤1. ∴y ≤1;必要性: ∵[]1,0∈∀x ,均有y ≤1成立. ∴max y ≤1,即41+c ≤1,解之得: c ≤43. 综上所述, 对任意x （0≤x ≤1）,均有y ≤1成立的充要条件是c ≤43.例31.已知关于x 的不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M . （1）当M 为空集时,求m 的取值范围;（2）在（1）的条件下,求1522+++m m m 的最小值;（3）当M 不为空集,且{}41≤≤⊆x x M 时,求实数m 的取值范围.解:（1）∵不等式222++-m mx x ≤0（∈m R ）的解集为M 为空集∴()()084424222<--=+--=∆m m m m ,解之得:21<<-m .∴m 的取值范围是{}21<<-m m ;（2）由（1）可知: 21<<-m ,∴310<+<m .∴()14114115222+++=+++=+++m m m m m m m ≥()41412=+⋅+m m . 当且仅当141+=+m m ,即1=m 时,等号成立. ∴1522+++m m m 的最小值为4;（3）由题意可知,方程0222=++-m mx x 的两个实数根均在[]4,1内设()222++-=m mx x x f ,则有:()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-=≥++-=≥+--=∆42210281640221102422m m m f m m f m m ,解之得: 2≤m ≤718. ∴实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡718,2. 例32. 当10<<x 时,若关于x 的二次方程m mx x 2122-=++有两个不相等的实数根,求实数m 的取值范围.分析本题考查的是一元二次方程的K 分布:两根均在()21,k k 内. 解: ∵m mx x 2122-=++∴01222=+++m mx x . 设()1222+++=m mx x x f .∵该方程在()1,0内有两个不相等的实数根∴()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+++=>+=<-<>+-=∆01221101201220012422m m f m f m m m ,解之得:2121-<<-m . ∴实数m 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,21.重要结论一元二次方程的实数根的K 分布:一元二次方程02=++c bx ax （0>a ）的两个实数根分别为21,x x ,且21x x <.（1）若k x x <<21,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆020k f k a b; （2）若21x x k <<,则有:()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆020k f k a b; （3）若21x k x <<,则有:()0<k f ;（4）若2211k x x k <<<,即两根21,x x 在()21,k k 内,则有:()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><-<>∆00202121k f k f k a b k（5）若11k x <,且22k x >（21k k <）,则有:()()⎩⎨⎧<<021k f k f ; （6）()()212211,,,k k x k k x ∈∈中只有一个成立,即方程只有一个实数根在()21,k k 内,则有:()()021<k f k f或⎪⎩⎪⎨⎧<-<=∆2120k ab k . 例33. 已知二次函数1222-+-=t tx x y （∈t R ）.（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点,解不等式1222-+-t tx x ≥0; （2）若关于x 的方程01222=-+-t tx x 的两个实数根均大于2-且小于4,求实数t 的取值范围.解:（1）∵二次函数1222-+-=t tx x y 有两个互为相反数的零点∴方程01222=-+-t tx x 有两个互为相反数的实数根,设为21,x x ,∴021=+x x . 由根与系数的关系定理可得:0221==+t x x ,解之得:0=t .∵1222-+-t tx x ≥0∴12-x ≥0,解之得:x ≥1或x ≤1-. ∴该不等式的解集为{}11-≤≥x x x 或;（2）∵()()044441422222>=+-=---=∆t t t t∴∈∀t R ,该方程总有两个不相等的实数根. ∵方程的两个实数根均大于2-且小于4∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-=>++=-<--<-015840342422222t t f t t f t ,解之得:31<<-t .∴实数t 的取值范围是()3,1-. 例34. 已知二次函数12+-=bx ax y .（1）是否存在实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ?若存在,求实数b a ,的值,若不存在,请说明理由;（2）若a 为整数,2+=a b ,且方程012=+-bx ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根,求a 的值.解:（1）假设存在这样的实数b a ,.∵不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ∴0<a ,方程012=+-bx ax 的两个实数根分别为2,1. 由根与系数的关系定理可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=+=--21121aa b ,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2321b a . ∵021>=a ,与0<a 矛盾 ∴不存在这样的实数b a ,,使不等式012>+-bx ax 的解集是{}21<<x x ; （2）∵2+=a b ∴()0122=++-x a ax .∵()[]()0314242222>+-=+-=-+-=∆a a a a a∴方程()0122=++-x a ax 总有两个不相等的实数根.∵方程()0122=++-x a ax 在{}12-<<-∈x x x 上恰有一个实数根 ∴()()[]()[]0121122222<+++-⨯⨯+++-⨯a a a a整理得:()()03256<++a a ,解之得:6523-<<-a . ∵a 为整数 ∴a 的值为1-.例35. 已知不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或. （1）求实数b a ,的值; （2）若10<<x ,()xbx a x f -+=1,求函数()x f 的最小值. 分析（1）一元二次不等式的解的结构与二次项系数的符号有关,且一元二次不等式解集的端点值就是其对应的一元二次方程的两个实数根;（2）注意到()11=-+x x ,且01,10>-<<x x ,考虑利用基本不等式求函数()x f 的最小值.解:（1）∵不等式052>+-b ax x 的解集为{}14<>x x x 或∴方程052=+-b ax x 的两个实数根分别4和1. 由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧⨯=+=14145b a ,解之得:⎩⎨⎧==41b a . ∴a 的值为1,b 的值为4; （2）由（1）可知:4,1==b a . ∴()xx x f -+=141. ∵10<<x ,∴01>-x . ∴()()[]x x x x x x x x x x x f -+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+=11451411141 ≥911425=-⋅-+xxx x . 当且仅当x x x x -=-114,即31=x 时,等号成立. ∴函数()x f 的最小值为9.。

一元二次不等式与二次函数

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程注意：（1）不等式解集规律：“>”取两边，”<”取中间，前提：0a >。

即c bx ax x f ++=2)(的图象与X 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点 ⇔02=++c bx ax 的二实根为21,x x⇔当0>a 时 02<++c bx ax 的解集为{}12x x x x <<02>++c bx ax 解集为{}12x x x x x <>或（2）解一元二次不等式步骤：1、把二次项的系数变为正的。

（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。

（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。

（根据一元二次方程的根及不等式的方向）练习：1、0652>++x x 2、0652≤--x x 3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x一．一元二次不等式解的端点值为对应一元二次方程的根Eg1．若不等式ax ２+5x+b ＞0的解集为｛x ｜31＜x ＜21}．则a, b 的值分别为（A ）A.－6，－１B.１，6C.－１，－6D.－１，－１Eg ．若不等式220ax bx ++>的解集为｛x ｜12-＜x ＜13}．则a= ，b = 。

二．恒成立问题1．一般地，()a f x >恒成立，()f x 的最大值为M ，则a M >；()a f x <恒成立，()f x 的最小值为m ，则a m <。

2．02>++c bx ax （)0≠a 恒成立 ⎩⎨⎧<∆>⇔00a)0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a注意: 要单独考虑0a =时的情况。

二次函数与一元二次不等式的关系

二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式都是数学中重要的概念。

它们在实际问题的建模和解决中经常被使用，并且彼此之间有着密切的联系。

本文将探讨二次函数与一元二次不等式之间的关系，并探讨如何使用二次函数的性质来解决一元二次不等式。

1. 二次函数的定义和性质二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数的图像为抛物线，开口的方向由a的正负确定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

二次函数还具有对称轴、顶点、零点等重要的性质。

2. 一元二次不等式的定义和解法一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或 < 0、≥ 0、≤ 0）的不等式，其中a、b、c为实数且a不等于0。

解一元二次不等式的关键是确定不等式的解集，即使不等式成立的x的取值范围。

3. 二次函数与一元二次不等式的关系二次函数和一元二次不等式之间存在密切的联系。

当二次函数的值大于0时，即f(x) > 0时，对应的区间可以表示为一元二次不等式的解集。

同样地，当二次函数的值小于0时，即f(x) < 0时，对应的区间也可以表示为一元二次不等式的解集。

4. 利用二次函数的性质解一元二次不等式利用二次函数的性质可以更方便地解一元二次不等式。

首先，找到二次函数的顶点，顶点的纵坐标即为二次函数的最值。

当一元二次不等式是大于或小于的形式时，可以通过比较函数值与最值的关系来确定解集。

当一元二次不等式是大于等于或小于等于的形式时，需要考虑函数值等于最值的情况。

5. 实际问题的应用二次函数与一元二次不等式的关系在实际问题的建模和解决中应用广泛。

例如，求解一个区间内的一元二次不等式可以通过对应的二次函数图像的查看得到。

又如，在优化问题中，构建二次函数模型后可以通过一元二次不等式的解集来确定最优解的取值范围。

总结：二次函数与一元二次不等式之间存在紧密的关系，二次函数可以通过其性质帮助我们解决一元二次不等式。

二次函数与一元二次方程及不等式(课件)

记忆口诀： (前提a>0). 大于取两边，小于取中间
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
随堂检测
(1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}.
(2) x2-3x+4≥0的解集是

R
.
(3) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2 } .
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
y=ax2+bx+c(a>0) 的图象
y
x1 x2
y
x
x1(x2) x
y x
⊿=b2-4ac
⊿>0
方程
ax2+bx+c=0 的根
有两个不等实根 x1,x2(x1<x2)
ax2+bx的+c解>0集（a>0）{x|x<x1或x>x2}
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
⊿=0 有两个相等实根x1=x2
高考见真章
（2014 课标卷理 2）设集合M={x∣x2-3x-4<0} ，N={x∣0≤x<5} ，则M∩N=（B ）.
A． (0,4] B． [0,4) C．[-1,0) D．(-1,0]
（2015 课标卷理 1）已知集合A={-2，-1,0,1,2} ，B={x∣（x-1）（x+2）<0} ，则
形缺数难入微，数缺形难直观。---华罗庚
感谢各位聆听
The best preparation for tomorrow is doing your best today.

二次函数与一元二次方程及不等式的关系探析

程 ax2+bx+c=0（a≠0）在实数范围内无解
（或称无实数根）。
二次函数是我们初中数学中的一个
难点，我们一定要掌握好二次函数与一元
二次方程的关系，使我们在面对二次函数
时，能够巧妙地结合方程来解决二次函数的相关问题。
四、进一步的拓展应用
在二次函数与一元二次方程关系的基础上，我们其实还可利用二次函数的图像去解一元二次不等式，我们可以结合二次函数图像与 x 轴交点的情况来判断一元二次不等式的解集；下面以 a>0 为例说明，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴无交点时，不等式 ax2+bx+c>0（或 <0）（a>0）的解集为全体实数或无解；抛物线
参考文献： [1]石慧英，秦继东.从“有形无图”到 “以形助数”— —— 一道中考题的解法与变式探究[J].中学数学，2020(14):67-69. [2]仓猛.复习课“三个关注”：目标、教材与“考向”———以“二次函数与一元二次方程”复习课为例[J].中学数学，2019(22): 41-42. [3]徐章韬.从二次函数到一元二次方程———教育数学研究之九[J].教育研究与评论(中学教育教学)，2019(08):43-46. [4]沈莉.基于机会的教学立意———以 “二次函数与方程、不等式的关系”教学为例[J].中学数学，2018(18):10-12. [5]陆炜锋.重新建构学材，提升学习能力—— —以“二次函数与一元二次方程” 教学为例[J].中学数学，2017(18):15-17.
2021·9
解：（1）①当 m=0 时，原方程可化为
x-2=0，解得 x=2；
②当 m≠0 时，方程为一元二次方程，

二次函数与一元二次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系

返回
双基讲解
解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像
返回
双基讲解
方程ax bx c , (其中a )
0
有两不相等实根 .设为x、x，且x x
计算判别式
求根
画图
写出不等式解集
ax bx c 的解集 , x x , ax2 bx c 0的解集 x1 , x2
一元二次方程二次函数一元=0
的解当Δ ＞0 时，有两个不相等的实数根
y =ax +bx+c
的图像
2
ax2+bx+c＞0
ax2+bx+c＜0
(x1，x2)
y x1 o y x2 x
x1， x2
当Δ =0 时，有两个相等的实数根 b
x1=x2=
o x1=x2
返回
示范例题
例4 解 (1) 图像如下图所示：
返回
示范例题
例5 对应的二次函数 y=8x²-2x-3 对应的一元二次方程 8x²-2x-3=0 y
x
返回
示范例题
例6
二次项系数为负
对应的二次函数 y=x²-2x+2
对应的一元二次方程 x²-2x+2=0
返回
示范例题
例7 对应的二次函数 y=x²-4x+4 对应的一元二次方程 x²-4x+4=0
返回
新课导入
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
任意一个一元二次不等式，都可以找到与它对应的二次函数和一元二次方程. 一般的，一元二次不等式ax²+bx+c＞0 （或＜0）对应的二次函数为 y= ax²+bx+c；对应的一元二次方程为 ax²+bx+c=0 例如：一元二次不等式 x²-2x-3＞0 对应的二次函数 y=x²-2x-3 对应的一元二次方程 x²-2x-3=0

一元二次不等式、方程和函数的关系

一元二次函数、方程和不等式一、定义1、等式的定义等式是数学中表示两个量或两个表达式之间相等关系的式子。

它由等号（=）连接，等号两边的数值或表达式在特定条件下是相等的。

换句话说，如果两个量或两个表达式用等号连接，那么这两个量或表达式就构成了等式。

2、不等式的定义不等式是数学中表示两个量或两个表达式之间大小关系的式子。

它不使用等号（=）连接，而是使用大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）或不等号（≠）这样的关系符号来连接两边的数值或表达式。

二、性质1、等式的性质：性质1：如果a=b ，那么b=a性质2：如果a=b ，b=c ，那么a=c性质3：如果a=b ，那么a±c=b±c性质4：如果a=b ，那么ac=bc 。

性质5：如果a=b ，c ≠0，那么c b c a =2、不等式的性质：性质1：如果a ＞b ，那么b ＜a;如果b ＜a ，那么a ＞b ．即：a ＞b ⇔b ＜a 。

性质2：如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c 。

即：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．性质3：如果a ＞b ，那么cb c a ++＞性质4：如果a ＞b ，c>0，那么ac ＞bc ；如果a>b ，c<0，那么ac<bc性质5：如果d c b a ＞，＞，那么db c a ++＞性质6：如果0d c 0b a ＞＞，＞＞，那么bdac >性质7：如果a ＞b ＞0，那么），（＞2n n b a nn ≥∈N三、基本不等式对于∀a ＞0，b ＞0，ab 2b a ≥+变形为2b a ab +≤①当且仅当a=b 时，等号成立．通常我们称不等式①为基本不等式。

其中2b a +叫做正数a ，b 的算术平方根，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四、用分析法证明基本不等式分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止要证明2b a ab +≤，只要证明b a ab 2+≤，要证明b a ab 2+≤，只要证明0b a ab 2≤--，要证明0b a ab 2≤--，只要证明0b a 2≤--）（，要证明0b a 2≤--）（，只要证明0b a 2≥-）（，很显然，平方恒大于等于0，0b a 2≥-）（成立，当且仅当a=b 时，0b a 2≥-）（中的等号成立。

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别

二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的
联系和区别
二次函数、一元二次不等式、一元二次方程都是关于二次方的数
学概念。

它们在形式和性质上各有不同，但都具有密切联系。

二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数。

其图像为一个开口向上或向下的抛物线，与x轴交点为其根。

一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数，x为未知数。

其解为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

这个方程的解
决了抛物线与x轴交点的问题。

一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数。

这个式子就是要解出抛物线的正负。

因此，从几何角度来看，二次函数和一元二次不等式都与抛物线
的开口方向和根相关。

一元二次方程和二次函数的解方程式中的x为
根有关。

而一元二次不等式则是解出某个范围内x的取值。

同时，这些概念还有着实际意义。

二次函数的图像在物理学中很
常见，比如抛物线运动。

而一元二次方程在物理学和工程学中也有广
泛的应用。

在学习过程中需要注意，这些概念虽然看似相似，但细节处的不同很重要。

需要分类讨论、注意符号、掌握解法等，才能真正理解这些概念并活用于实际问题中。

二次函数与一元二次方程、不等式

§2.3 二次函数与一元二次方程、不等式二次函数与一元二次方程、不等式学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．知识点一二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集 {x |x <x 1，或x >x 2}xx ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅ ∅思考一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？答案一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴上方的点的横坐标x 的集合；ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集就是一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象在x 轴下方的点的横坐标x 的集合．知识点二简单的分式不等式的解法分式不等式的解法：思考 x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0等价吗？答案x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价；x －3x ＋2≥0与(x －3)(x ＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2. 知识点三一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R 的情况，即ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔a >0，Δ<0；ax2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立⇔a <0，Δ<0.2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．1．不等式2x 2－x －1>0的解集是________．答案xx <－12或x >1解析 ∵2x 2－x －1＝(2x ＋1)(x －1)，∴由2x 2－x －1>0得(2x ＋1)(x －1)>0，解得x <－12或x >1， ∴不等式的解集为xx <－12或x >1. 2．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别为________．答案－2,3解析不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－2<x <3}，所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根分别－2,3. 3．不等式x －2x －1<0的解集为________．答案 {x |1<x <2}解析原不等式⇔(x －1)(x －2)<0，∴1<x <2. 4．不等式1x ≤1的解集为________．答案 {x |x ≥1或x <0}解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴x (x －1)≥0，x ≠0， ∴x ≥1或x <0.5．若方程x 2＋ax ＋1＝0的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．答案－2<a <2解析由题意可得a 2－4<0，所以－2<a <2.6．对∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 m >1解析由题意可得22－4m <0，所以m >1.一、一元二次不等式的解法例1 解下列不等式： (1)－2x 2＋x －6<0； (2)－x 2＋6x －9≥0； (3)x 2－2x －3>0.解 (1)原不等式可化为2x 2－x ＋6>0.因为方程2x 2－x ＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，所以函数y ＝2x 2－x ＋6的图象开口向上，与x 轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R .(2)原不等式可化为x 2－6x ＋9≤0，即(x －3)2≤0，函数y ＝(x －3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x |x ＝3}． (3)方程x 2－2x －3＝0的两根是x 1＝－1，x 2＝3.函数y ＝x 2－2x －3的图象是开口向上的抛物线，与x 轴有两个交点(－1,0)和(3,0)，如图所示．观察图象可得不等式的解集为{x |x <－1或x >3}．反思感悟解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)． (2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根． (3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x 轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0.解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x <－1或x >6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x <－3或x >2}．二、含参数的一元二次不等式的解法例2 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R )．解原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1；当2a <－1，即－2<a <0，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为xx ≥2a 或x ≤－1；当－a <0时，不等式的解集为x2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为x－1≤x ≤2a . 反思感悟解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0. 解原不等式可化为[x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0，讨论a ＋1与2(a －1)的大小．(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，不等式的解为x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，不等式的解为x ≠4.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，不等式的解为x >2(a －1)或x <a ＋1. 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x ≠4}，当a >3时，不等式的解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．三、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用例3 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系（韦达定理）可知b a ＝－5，ca ＝6. 由a <0知c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋ac >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为xx <13或x >12.延伸探究1．若本例中条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解由根与系数的关系知ba ＝－5，c a ＝6且a <0.∴c <0，bc ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0，即x 2－b c x ＋ac <0，即x 2＋56x ＋16<0. 解得－12<x <－13，故原不等式的解集为x－12<x <－13.2．若将本例中的条件“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}”变为“关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是x－13≤x ≤2”．求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．解方法一由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为x－13≤x ≤2知a <0.又－13×2＝ca <0，则c >0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53，∴b a ＝－53.又ca ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为－23a x 2＋－53a x ＋a <0，即2ax 2＋5ax －3a >0. 又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，故所求不等式的解集为x－3<x <12.方法二由已知得a <0 且－13＋2＝－b a ，－13×2＝ca 知c >0，设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ，其中a c ＝1－13×2＝－32，－bc ＝－ba c a ＝－13＋2－13×2＝－52， ∴x 1＝1－13＝－3，x 2＝12. ∴不等式cx 2＋bx ＋a <0(c >0)的解集为x－3<x <12.反思感悟已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c >0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式． (3)约去 a ，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．跟踪训练3 已知关于x 的不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，求关于x 的不等式bx 2＋ax ＋1>0的解集．解 ∵x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |1<x <2}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根为1,2.由根与系数的关系得－a ＝1＋2，b ＝1×2，得a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x 2－3x ＋1>0. 解得x <12或x >1. ∴bx 2＋ax ＋1>0的解集为xx <12或x >1. 四、简单的分式不等式的解法例4 解下列不等式： (1)x ＋12x －1<0； (2)1－x3x ＋5≥0； (3)x －1x ＋2>1. 解 (1)原不等式可化为(x ＋1)(2x －1)<0，∴－1<x <12，故原不等式的解集为x－1<x <12. (2)原不等式可化为x －13x ＋5≤0， ∴(x －1)(3x ＋5)≤0，3x ＋5≠0，∴－53≤x ≤1，x ≠－53，即－53<x ≤1. 故原不等式的解集为x－53<x ≤1. (3)原不等式可化为x －1x ＋2－1>0， ∴x －1－(x ＋2)x ＋2>0，－3x ＋2>0，则x <－2.故原不等式的解集为{x |x <－2}．反思感悟分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．跟踪训练4 解下列不等式： (1)x ＋1x －3≥0； (2)5x ＋1x ＋1<3. 解 (1)不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组(x ＋1)(x －3)≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3.即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2(x －1)x ＋1<0. 可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0，解得－1<x <1.所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．五、不等式的恒成立问题例5 对∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1<0，求m 的取值范围．解若m ＝0，显然－1<0恒成立；若m ≠0，则m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒解得－4<m <0. 综上，m 的取值范围为{m |－4<m ≤0}．延伸探究1．在本例中，是否存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0，若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．解显然m ＝0时不等式不成立；由题意可得m >0，Δ＝m 2＋4m <0，解得m ∈∅，所以不存在m ∈R ，使得∀x ∈R ，不等式mx 2－mx －1>0.2．在本例中，把条件“∀x ∈R ”改为“x ∈{x |2≤x ≤3}”，其余不变，求m 的取值范围．解由不等式mx 2－mx －1<0得m (x 2－x )<1，因为x ∈{x |2≤x ≤3}，所以x 2－x >0，所以m (x 2－x )<1可化为m <1x 2－x，因为x 2－x ＝x －122－14≤6，所以1x 2－x≥16，所以m <16. 即m 的取值范围是mm <16.反思感悟一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x 轴的交点问题，考虑两个方面：x 2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．跟踪训练5 若关于x 的不等式(k －1)x 2＋(k －1)x －1<0恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 {k |－3<k ≤1}解析当k ＝1时，－1<0恒成立；当k ≠1时，由题意得k －1<0，(k －1)2＋4(k －1)<0，解得－3<k <1，因此实数k 的取值范围为{k |－3<k ≤1}．1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.x－1<x <13 B.x13<x <1C ．∅ D ．R2．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A.xx >3或x <－12 C.xx ≥3或x ≤－12 B.x－12≤x ≤3 D ．R3．已知集合U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，∁U A 等于( ) A ．{x |1<x <3} B ．{x |x <1或x ≥3} C ．{x |x <－1或x ≥3}D ．{x |x <－1或x >3}4．若0<m <1，则不等式(x －m )x －1m <0的解集为( )A. x 1m <x <m C. x x >m 或x <1mB. x x >1m 或x <m D.x m <x <1m 5．不等式1＋x 1－x≥0的解集为( ) A ．{x |－1<x ≤1} B ．{x |－1≤x <1}C ．{x |－1≤x ≤1}D ．{x 1<x <1} 6．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝ x x －2x ≤0，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x <0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}7．已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，则不等式ax 2＋bx －1>0的解集为________．8．不等式x ＋1x ≥5的解集是________．9．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．【答案与解析】1、答案 D 解析因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .2、答案 C解析 3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12.3、答案 C解析 ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．4、答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m >1>m ，故原不等式的解集为x m <x <1m . 5、答案 B解析原不等式⇔(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.6、答案 B解析 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．7、答案x 12<x <1 解析 ∵方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系可得－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a ，∴a ＝－2，b ＝3， ax 2＋bx －1>0可变为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.8、答案x 0<x ≤14 解析原不等式⇔x ＋1x －5≥0⇔4x －1x ≤0⇔ x (4x －1)≤0，x ≠0，解得0<x ≤14. 9、答案 a >4或a <－4解析 ∵x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，∴Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.1．知识清单：(1) 二次函数与一元二次方程、不等式的关系及应用．(2) 简单的分式不等式的解法．(3) 不等式的恒成立问题．2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化、恒等变形．3．常见误区：(1) 解含参数的二次不等式时找不到分类讨论的标准．(2) 解分式不等式要等价变形．。

一元二次不等式与二次函数

一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系温馨提示：（1）不等式解集规律：“>”取两边，”<”取中间，前提：0a > 写一元二次不等式的解集时，一定要将图象的开口方向与判别式、不等号结合起来。

（1）c bx ax x f ++=2)(的图象与X 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点⇔02=++c bx ax 的二实根为21,x x⇔当0>a 时 02<++c bx ax 的解集为{}12x x x x <<02>++c bx ax 解集为{}12x x x x x <>或典型问题：一．一元二次不等式解的端点值．．．为对应一元二次方程的根．例1．（1）若不等式ax ２+5x +b ＞0的解集为｛x ｜31＜x ＜21}．则a , b 的值分别为（）AA.－6，－１B.１，6C.－１，－6D.－１，－１练习:1．若不等式220ax bx ++>的解集为｛x ｜12-＜x ＜13}．则a =____________ b=__________ －12；－2二．恒成立问题：1．一般地，()a f x >恒成立，()f x 的最大值为M ，则a M >；()a f x <恒成立，()f x 的最小值为m ，则a m <.2．02>++c bx ax （)0≠a 恒成立 ⎩⎨⎧<∆>⇔00a )0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a 注意: 要单独考虑0a =时的情况.例2 关于x 的不等式24x x m -≥对任意(0,1]x ∈恒成立，则有（ A ）A 3m ≤-B 3m ≥-C 30m -≤<D 4m ≥-例3．已知关于x 的不等式(k 2＋4k －5)x 2＋4(1－k)x ＋3>0对任何实数x 都成立，求实数k 的取值范围。