圆周运动的临界问题
圆周运动——临界问题
mg
F1
此时最低点的速度为：
问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？
F支=mg
此时最低点的速度为：
结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。
四、圆周运动的周期性 利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ） A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求： （1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力什么时候内外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。
它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。
圆周运动的临界问题
汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向
心力是由摩擦力提供的，A错误； 汽车转弯的速度为 20 m/s 时，根据 Fn＝mvR2，得所需的向心力为 1.0×104 N，没有超过最大静摩擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C 错误； 汽车安全转弯时的最大向心加速度为 am＝Fmf＝7.0 m/s2，D 正确.
ω越大时，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
√B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心 √C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 1.0 rad/s
D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23，则 ω 的最大值是 3 rad/s
当物体在最高点时，也可能受到重力、支持力与 摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿斜面 向上(即背离圆心)，也可能沿斜面向下(即指向圆 心)，摩擦力的方向沿斜面向上时，ω越大时，小物体在最高点处受 到的摩擦力越小，故A错误，B正确； 当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时 小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向 圆心的摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN＝mgcos 30°， 摩擦力Ff＝μFN＝μmgcos 30°，又μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2R，解 得ω＝1.0 rad/s，故C正确，D错误.
例2 (多选)如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在 水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘 间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从 静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大 静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是
竖直面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题(全)
圆周运动中的“临界问题”总结一、“绳”模型——“最高点处有临界，最低点时无选择”一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球“刚好”“恰好”过最高点的条件是：此时，只有小球的 提供向心力，即 ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度，vmin ＝ . V= 是“绳”模型中小球能否顺利通过最高点继续做圆周运动的临界速度。
类此模型：竖直平面内的内轨道巩固1：游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m =60kg ，由静止从斜轨顶端A 点开始下滑，恰好过半径为r=2.5m 的圆形轨道最高点B 。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
巩固2：杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．巩固3：公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时，常常要修建凹形桥，也叫“过水路面”。
如图所示，汽车通过凹形桥的最低点时A ．车的加速度为零，受力平衡B ．车对桥的压力比汽车的重力大C ．车处于超重状态D ．车的速度越大，车对桥面的压力越小二、“杆”模型————“最高点处有临界，最低点时无选择” 一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，注意v=0和v=gr 两个速度。
①当v ＝0时，杆对小球的支持力 小球的重力；②当0<v <gr 时，杆对小球产生 力，且该力 于小球的重力；③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零；④当v >gr 时，杆对小球产生 力。
V= 是“杆”模型中杆对小球是“推”“拉”的临界。
类此模型：竖直平面内的管轨道.巩固4：如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度要大于0C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力 三、“拱形桥”模型——“最高点处有临界”小球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点时，若小球与球面间弹力为零，则有 = ，v= 。
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
圆周运动中的临界问题
3 rad/s 1.0 rad/s
0.5 rad/s
• 在质量为M的电动机的飞轮上，固定 着一个质量为m的重物，重物到转轴 的距离为r，如图所示，为了使放在地 面上的电动机不会跳起，电动机飞轮 的角速度不能超过( )
A． C．
M m g mr M m g mr
B． D． Mg
mr
M m g mr
m R O
v0 N
M
如图所示，质量为m的物体随水平传送带 一起匀速运动,A为传送带的终端皮带轮， 皮带轮半径为r，要使物体通过终端时， 能水平抛出，皮带轮的转速至少为：（ ）
A
如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固 定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴 距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静 止。物体与盘面间的动摩擦因数为 /2（设最 大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的 夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是 A 5 rad/s B C D
gr
N=0
v2 mg m r
v gr
在最高点时速 度应不小于
gr
V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn V>=0 F向>=0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点速度 应大于等于0 在最高点速度 应大于等于0
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
3.如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径 为R，顶部有一个入口，在的正下方 处 有一个出口，一质量为 m的小球沿切线 方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从 B处飞出，小球射入入口的速度 满足什 么条件? 在运动过程中球对筒的压力 多大？
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
目录
研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
圆周运动临界问题
圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。
在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。
以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。
当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。
在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。
在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。
根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。
需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。
此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。
6.4.2专题圆周运动的临界问题课件-高一下学期物理人教版必修第二册
1静摩擦力提供向心力
例题1、小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图所示，物块 与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，设最大静摩擦力等于滑动摩 擦力，求当圆台角速度为多大时，小物块会发生相对滑动？
g
恰好滑动时临界角速度ω0=_____R ______,与质量无关 ❶动摩擦因数μ越大ω0越___大____即越不容易滑动。 ❷半径R越大ω0越___小____即越容易滑动。 特点:角速度增大的过程中，两物体先后达到最大静摩擦力，不是同时达 到，临界角速度ω0小的__先___滑动
）
v1 mg
4、在最高和最低点的FN－v2图线
1.最高点FN - v2图像 （1）表达式：mg±FN=mv2/R
以竖直向下为正方向，则 mg+FN=mv2/R， 得 FN=mv2/r - mg
（2）斜率k=__m__/r_, （3）横截距:v2=gr, 为弹力方向变化临界状态 （4）横截距:FN=-mg，为能否通过最高点临界状态 （5）规律：FN随速度的增大先减小后增大
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上， 由牛顿第二定律得：
故
由此可知：弹力FN的大小和方向随着经最高点时速度v的大小的 变化而变化。
(1) 临界条件：当 v＝0 时，FN＝mg(FN 为硬杆或管壁对小球的支持力)． 故小球过做最高点的条件为：在最高点的速度 v≥0
(2)当 0＜v＜ gr时， FN 表现为支持力，方向竖直向上，FN 随 v 增大而减小， 且 mg＞FN＞0．
FN=0时，横截距v2=gr,此时为临界状态
斜率k=__m__/r_,
v2=0，纵截距FN=mg, 此时为平衡状态
【例1】绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量 m=0.5kg，绳长L=60cm，求：（g=10m/s2）
圆周运动中的临界问题
高一物理组
三、离心运动
1．定义：做 圆周 运动的物体， 在合力 突然消失 或者 不足以 提供圆周 运动所需的向心力的情况下，就做逐 渐 远离 圆心的运动．
三、圆周运动的临界条件
3．如图4－3－1所示， F为实际提供的向心力，则 (1)当 F＝mω2r时，物 体做匀速圆周运动； (2)当 F＝0 时，物体沿 切线方向飞出； (3)当 F<mω2r 时，物 体逐渐远离圆心． (4)当 F>mω2r 时，物 体逐渐靠近圆心．
1、对物体进行受力分析
2、找到其中可以变化的力以及它的临界值 3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值 4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、 周期、半径等）的临界值
• （3）拱桥模型 • 如图所示，此模型与杆模型类似，但因可 以离开支持面，在最高点当物体速度达v=？ 时，物体将飞离最高点做平抛运动。若是 从半圆顶点飞出，则水平位移为s= ？ v= rg s=
四、实例分析
例4：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球， 上端接于天花板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向 夹角θ=60°。此时小球静止于光滑水平面上。 （1）当小球以ω= g 做圆锥摆运动时，绳子张力 L 多大？桌面支持力多大？ （2）当小球以做圆周运动时，地面的支持力为零时， 角速度为多少？
θ
四、实例分析 • 例5.如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的
细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ， 当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧 锥面．此时绳的张力是多少？若要小球离开锥 面，则小球的角速度至少为多少？
2R
二、水平面内的圆周运动
O
A
O’
水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转 轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物 块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求 转盘转动的最大角速度是多大？
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。
它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。
6.4圆周运动的临界问题人教版高中物理必修二PPT课件
（3）水平面内圆周运动临界问题的分析技巧
①在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω 变化时，物体有远
离或向着圆心运动的趋势（半径有变化）。这时要根据物体的受 力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别 是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
最高点：T mg m 条件是：FT＝0。
R 当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；
小球恰好过最高点的条件：T 0, v gr ②确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些0接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
（1）在最高点水不流出的最小速率为 6 m/s． （2）水对桶底的压力为2.5N．
如图所示，一质量为m的小球，用长为L轻杆固定住，使其在竖直面 内作圆周运动.(1)若小球恰好能通过最高点，则小球在最高点是多少？ 小球的受力情况如何？(2)若小球在最低点受到杆子的拉力为3mg，则小 球在最低点的速度是多少？
③当 v＝ gr时，FN＝0 ，mg＝mvr2
④当 v＞ gr时，FN＋mg＝mvr2，FN 指向圆心并随 v 的增大而增大
(2)最低点： F拉1-mg
m
v12 R
F拉 1
mg
m
v12 R
物理情景
细绳拉着小球 在竖直平面内
运动
小球在竖直放 置的光滑圆环
内侧运动
小球固定在轻 杆上在竖直面
圆周运动中的临界问题
(1)不滑动
质量为m的物体在水平面上做圆周运动或随圆盘一起转动(如图甲、乙所
示)时，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大值Ffm时，物体运动的速
度也达到最大，即Ffm＝m
vm2 r
，解得vm＝m
Ffm r m
。
• 这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。
圆周运动中的临界问题
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(2)绳子被拉断
创新微课 现在开始
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
当物体从某种特性变化为另一 种特性时，发生质的飞跃的转折状 态，通常叫做临界状态，出现临界 状态时，即可理解为“恰好出 现”，也可理解为“恰好不出现”
创新微课
圆周运动中的临界问题
创新微课
1．水平面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题
• 解析：设物体M和水平面保持相对静止，当ω具有最 小值时，M有向圆心运动的趋势。所以M受到的静摩 擦力方向沿半径向外，且等于最大静摩擦力，隔离 M分析受力有
• T－fm＝Mω2r，又T＝mg • 0．3×10－2＝0.6ω×0.2，ω1＝2.9rad/s • 当ω具有最大值，M有离开圆心趋势。M受的最大静
的来源。
圆周运动中的临界问题
用长L＝0.6m的绳系着装有m＝0.5kg水的小桶，在竖直平面内做 圆周运动，成为“水流星”。g＝10m/s2。求：
(1)最高点水不流出的最小速度为多少？ (2)若过最高点时速度为3m/s，此时水对桶底的压力多大？
创新微课
圆周运动中的临界问题
小
结
处理临界问题的解题步骤
摩擦力2N、指向圆心，隔离M受力分析有
• T＋fm＝Mω2r • 又T＝mg,0.3×10＋2＝0.6ω×0.2，ω2＝6.5rad/s • 所以ω的范围是2.9rad/s≤ω≤6.5rad/s。
圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题临界问题是高考考查的热点，特别是圆周运动中的临界问题，知识覆盖面广，题型多样，并且与生活实际息息相关，是同学们必须重点掌握的知识．1.圆周运动中的临界问题的分析方法首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．2.竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）绳模型如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点。
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=m v2/R→v临界=Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）②能过最高点的条件：v≥Rg，当v＞Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．③不能过最高点的条件：v＜v临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力（2）杆模型如图，球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：①当v＝0时，N＝mg（N为支持力）②当0＜v＜Rg时，N随v增大而减小，且mg＞N＞0，N为支持力．③当v=Rg时，N＝0④当v＞Rg时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N为拉力，方向指向圆心）注意：管壁支撑情况与杆一样。
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．（3）拱桥模型如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=rg 时，F N=0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s= 2R。
例1长度为L＝0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到（）A.6.0N的拉力B.6.0N的压力C.24N的拉力D.24N的压力解析小球在A点的速度大于gL时，杆受到拉力，小于gL时，杆受压力。
v0=gL=10×0.5 m/s＝ 5 m/s由于v＝2.0 m/s＜ 5 m/s，我们知道过最高点时，球对细杆产生压力。
专题七 圆周运动的临界问题
几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解，表示出物体做圆周运动时，外界所提供的向心力
条件分析
①绳的临界:张力 ;②接触面滑动的临界: ;③接触面分离的临界: .分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论.
C
A.小球通过最高点时的最小速度 B.小球通过最高点时的最小速度 C.小球在水平线 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 以上的最高点的速度可以为零，故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力 与小球重力在背离圆心方向的分力 的合力提供向心力，即 ，因此外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确;小球在水平线 以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，D错误.
考向二 “杆-球”模型
例4 如图甲所示，轻杆一端固定在 点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 ，小球在最高点的速度大小为 ，其 图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C. 时，在最高点杆对小球的弹力方向向上D. 时，在最高点杆对小球的弹力大小为
√
√
√
变式2 如图所示，相同的物块 、 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上.当圆盘绕转轴转动时，物块 、 始终相对圆盘静止.下列关于物块 所受的摩擦力 随圆盘角速度的平方 的变化关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 角速度慢慢增大，一定是长绳挂着的那个球先离开圆锥筒，选项A正确，B错误；设小球离开圆锥筒后，绳子的拉力为 ，绳子长度为 ，与竖直方向的夹角为 ，由 ， ，联立解得 ，而 ，为小球到圆锥筒顶点的高度，所以两个球都离开圆锥筒后，它们的高度一定相同，选项C正确；而细绳中拉力 ，即两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力不一定相同，选项D错误.
圆周运动的临界问题
平面内 做圆周运动通过最高点的情况
（ 图 １ ． 类 问 题 常 常 是 由绳 子 拉 如 ）此
， ， ， 、 Ｔ 、 、
、 、 、 ／
着小 球或 小球 沿竖直 平面 内 的光 滑轨
道（ 内轨 道） 动 的情 况・ 运
小 球在 最高 点 ｂ处 时 ， 对小 球 的作 用 力 有 杆 ３种情 况 ：（ ）杆 对小球 恰 好没有 作用 力 ， １ 这
２
ｍｇ － 得 。 虿．（）当小球在 ｂ ， ｉ －ｍ 一 ２ 点 速度 ＞
临
时 ， 对小 球 有 向下 的拉 力 ．（ ）当小 球 在 点 ， 杆 ３
速 度 Ｏ ＜ ＜ 临时 ， 对 小 球 有 向上 的拉 力．故 正 确 杆 答 案 为 ： Ｂ Ａ、 ． ２ 水 平面 内 圆周 运 动的 临界 问题 关 于水 平 面 内匀 速 圆周运 动 的 临界 问题 ， 非是 无
ｍ ｇ＞ ＦＮ ０ ＞ ．
③ 当口 ＞ 虿时， 或轨道） 棒（ 对小球施加 的是拉
◇ 山东 韩 翠 霞
力， 且拉 力 Ｆ—ｍｕ／ —ｍｇ， 时 力 Ｆ 的方 向 与 图 ３ 。ｒ 此
中的 Ｆ 反 向 ， 竖 直 向 下 ． 即
■ｒ —
圆周 运动 是一种 典型 的曲线 运 动 ， 无论 是 在 竖 直 平 面 内的圆周 运动 还是在 水 平 面 内 的圆周 运 动 ， 常 都 出现临界 问题 ． 现就 竖直 平 面 内和水 平 面 内的 圆周 运
持 力为 Ｆ ， 有 ： —ｍｇ 且 ＦＮ ．
② 当 ｏ ＜ ｉ时， 或轨道 ） ＜ 棒（ 对小球 的支持
力 满 足 ： ｇ Ｆ — ｍ７／ ， 得 ： — ｍｇ— ｍ＇ ／ ． ｍ — Ｎ ３ｒ即 ＦＮ ｕ ｒ
圆周运动中的临界问题
v2
vm
同样的道理可以推得车走内车道所用的总 时间为 r 2v m t1= g －（2－ 2） g 另一方面，对内车道和外车道所历路程的 直线部分进行比较，由图可见，车往内车 道多走了长度 ΔL＝ r2－ rl 同时，在直线道上车用于加速和减速的行 程中，车往内道也多走了长度 Δx=2x1－2x2= r2－ rl 由ΔL和Δx相等，可知车在内道多走得直线距离ΔL 即为加减速通过的距离，两车vm匀速行驶的距离的 距离相同．只需要比较t1和t2知道谁用时较少。显然， 车手应选择走外道，由此赢得的时间为 Δt=t1-t2= (2 ) r r
某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道,其中“2008” 四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成,固定在竖 直平面内（所有数字均由圆或半圆组成,圆半径比细管 的内径大得多）,底端与水平地面相切.弹射装置将一个 小物体（可视为质点）以va=5 m/s的水平初速度由a 点弹出,从b点进入轨道,依次经过“8002”后从p点水 平抛出.小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ =0.3,不 计其它机械能损失.已知ab段长L=1.5 m,数字“0”的 2.求: 半径R=0.2m,小物体质量m=0.01kg,g=10 m/s 0.8
h=1.5R
F (6 2 3)mg
N
如图，长r的细绳系一质量为m小球在竖直平 面内做圆周运动 （1）若加一竖直方向匀强电场E，小球带电 量+q，则小球要在竖直平面内做圆周运动， 其在最高点时的速度有什么要求？ （2）若将电场改成水平方向，情况又如何？
圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题⼀、⽔平⾯内圆周运动的临界问题关于⽔平⾯内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界⼒的问题，具体来说，主要是与绳的拉⼒、弹簧的弹⼒、接触⾯的弹⼒和摩擦⼒有关。
1、与绳的拉⼒有关的临界问题例1 如图1⽰，两绳系⼀质量为kg m 1.0=的⼩球，上⾯绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹⾓分别为o30与o45，问球的⾓速度在什么范围内，两绳始终张紧，当⾓速度为s rad /3时，上、下两绳拉⼒分别为多⼤？2、因静摩擦⼒存在最值⽽产⽣的临界问题例2 如图2所⽰，细绳⼀端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静⽌在⽔平⾯上，另⼀端通过光滑⼩孔吊着质量为kg m 3.0=的物体，M 的中⼼与圆孔距离为m 2.0并知M 与⽔平⾯间的最⼤静摩擦⼒为N 2，现让此平⾯绕中⼼轴匀速转动，问转动的⾓速度ω满⾜什么条件可让m 处于静⽌状态。
（2/10s m g =）3、因接触⾯弹⼒的有⽆⽽产⽣的临界问题⼆、竖直平⾯内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平⾯内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最⾼点C图1图2和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最⾼点如图所⽰，⽤轻绳系⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直平⾯内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于⽆⽀撑的类型。
临界条件：假设⼩球到达最⾼点时速度为0v ，此时绳⼦的拉⼒（轨道的弹⼒）刚好等于零，⼩球的重⼒单独提供其做圆周运动的向⼼⼒，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是⼩球过最⾼点的最⼩速度，即过最⾼点的临界速度。
（1）0v v = （刚好到最⾼点，轻绳⽆拉⼒）（2）0v v > （能过最⾼点，且轻绳产⽣拉⼒的作⽤）（3）0v v < （实际上⼩球还没有到最⾼点就已经脱离了轨道）例4、如图4所⽰，⼀根轻绳末端系⼀个质量为kg m 1=的⼩球，绳的长度m l 4.0=，轻绳能够承受的最⼤拉⼒为N F 100max =，现在最低点给⼩球⼀个⽔平初速度，让⼩球以轻绳的⼀端O 为圆⼼在竖直平⾯内做圆周运动，要让⼩球在竖直平⾯内做完整的圆周运动且轻绳不断，⼩球的初速度应满⾜什么条件？（2/10s m g =）2、轻杆模型过最⾼点如图所⽰，轻杆末端固定⼀⼩球在竖直平⾯内做圆周运动过最⾼点的情况，与⼩球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有⽀撑的类型。
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圆周运动的临界问题要点提示一.圆周运动中的临界问题的分析方法首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．二.竖直平面内作圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m R v 临界（2）小球能过最高点条件：v（当v（3）不能过最高点条件：v（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道） ２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）（2）当0< vF 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力）（3）当v时，F=0图6-11-2图6-11-1a b（4）当vF 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）注意：管壁支撑情况与杆一样。
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力． 由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论．（3）拱桥模型如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v =rg 时，F N =0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s = 2R 。
【典型题目】竖直平面内作圆周运动的临界问题 （1）绳模型 1、如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ）A ．是拉力B ．是推力C ．等于零D ．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零2、如图，质量为0.5kg 的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m ，小杯通过最高点的速度为4m/s ，g 取10m/s 2,求：(1) 在最高点时，绳的拉力？(2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?（2）杆模型1、长度为L ＝0.5 m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s ，g取10m/s 2，则此时细杆OA 受到（ ）A.6.02、如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有：A ．小球通过最高点的最小速度为B ．小球通过最高点的最小速度为零C ．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力D ．小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力3、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( )A ．g mr m M +B ．g mr m M +C ．g mrm M - D ．mr Mg （3）拱桥模型1、如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L 1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L 2，下列答案中正确的是( )A ．L 1＝L 2B ．L 1>L 2C ．L 1<L 2D ．前三种情况均有可能 2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。
今给小物体一个水平初速度0v = ）A.沿球面下滑至 M 点B.先沿球面下滑至某点Ｎ，然后便离开斜面做斜下抛运动Ｃ.按半径大于 R 的新的圆弧轨道做圆周运动D.立即离开半圆球做平抛运动3、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的34。
如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）A 、15 m ／sB 、20 m ／sC 、25 m ／sD 、30m ／s三.水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。
这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
【典型题目】1、火车转弯做圆周运动，如果外轨和内轨一样高，火车能匀速通过弯道做圆周运动，下列说法中正确的是( )A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力，所以内轨容易磨损C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力，所以内外轨道均不磨损D.以上三种说法都是错误的2、如图所示，光滑的水平圆盘中心O 处有一个小孔，用细绳穿过小孔，绳两端各系一个小球A 和B ，两球质量相等，圆盘上的A 球做半径为r=20cm 的匀速圆周运动，要使B 球保持静止状态，求A 球的角速度ω应是多大？B3、冰面对溜冰运动员的最大摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，若依靠摩擦力充当向心力，其安全速度为 （ ）A 、Rg k v =B 、kRg v ≤C 、kRg v 2≤D 、kRg v ≤ 4、如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴飞速转动，下列说法中正确的是( )A ．物块处于平衡状态B ．物块受三个力作用C ．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘D ．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘5、在一个水平转台上放有A 、B 、C 三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同．A 的质量为2m ，B 、C 各为m ．A 、B 离转轴均为r ，C 为2r ．则（ ）A ．若A 、B 、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，A 、C 的向心加速度比B 大B ．若A 、B 、C 三物体随转台一起转动未发生滑动，B 所受的静摩擦力最小C ．当转台转速增加时，C 最先发生滑动D ．当转台转速继续增加时，A 比B 先滑动6、如图所示，在水平转台上放有A 、B 两个小物块，它们距离轴心O 分别为rA=0.2m ，rB=0.3m ，（1角速度的范围；（27、如图所示，水平转盘上放有质量为m 刚好被拉直（绳上张力为零）⑴当转盘角速度ω1＝μg 2r 时，细绳的拉力T1。
⑵当转盘角速度ω2＝3μg 2r 时，细绳的拉力T28、一圆盘可以绕其竖直轴在图2R 。
甲、乙物体质量分别是M 和m （M>m ）大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为(L A. mL gm M )(-μ B. ML g m M )(-μC. ML gm M )(+μ D. mL g m M )(+μ9、用一根细绳，一端系住一个质量为m 的小球，另一端悬在光滑水平桌面上方h 处，绳长l 大于h ，使小球在桌面上做匀速圆周运动．求若使小球不离开桌面，其转速最大值是( )A ．h g π21B ．gh πC ．l g π21D ．g l π210、 如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L 的细线悬挂一质量为m 的小球，圆锥顶角为2θ，若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？11、如图所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad/s 时，上、下两绳拉力分别为多大？【强化训练】1、如图一个质量为M 的小球与一根质量为m 的弹簧相连，且以角速度ω、绕轴00’在光滑水平而上转动，此时，小球到转轴的距离为L 。
某时刻，在A 处剪断弹簧，则下列关于这一瞬间小球加速度的判断正确的是( )2、如图所示，木板B 托着木块A 一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a 到最低点b 的过程中（ ）A ．B 对A 的支持力越来越大B ．B 对A 的支持力越来越小C ．B 对A 的摩擦力越来越大D ．B 对A 的摩擦力越来越小 3、如右图所示光滑管形圆轨道半径为R (管径远小于R )，小球a 、b 大小相同，质量均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是( )A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5 mgB ．当v ＝5gR 时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力C ．速度v 至少为5gR ，才能使两球在管内做圆周运动D ．只要v ≥5gR ，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力都大6 mg4、如图所示，一个小球在竖直环内至少能做（1+n ）次完整的圆周运动，当它第（1-n ）次经过环的最低点时的速度大小为s m /7，第n 点时速度大小为s m /5，则小球第（1+n ）次经过环的最低点时的速度v 一定满足（ ）A ．等于s m /3B ．小于s m /1C ．等于s m /1D ．大于s m /15、质量为m 的小球用绳子系住在竖直平面内作圆周运动，则小球运动到最低点和最高点时绳子所受拉力大小之差为______.答案：6mg6、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点到斜面底边的距离S oc =L ，则小球通过最高点A 时的速度表达式v A＝ ；小球通过最低点B 时，细线对小球拉力表达式T B = ；若小球运动到A 点或B 点时剪断细线，小球滑落到斜面底边时到C 点的距离相等，则l 和L 应满足的关系式是 ．答案：A v ；6sinB T =mg θ；15L .l =．7、如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置两个用细线相连的质量均为m 的小物体A 、B ，它们到转轴的距离分别为r A ＝20 cm ，r B ＝30 cm ，A 、B 与盘面间最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0.(2)当A 开始滑动时，圆盘的角速度ω.(3)当A 即将滑动时，烧断细线，A 、B 运动状态如何？(g 取10 m/s 2)8、现有A 、B 两球质量分别为m 1与m 2，用一劲度系数为k 的弹簧相连，一长为l 1的细线与m 1相连，置于水平光滑桌面上，细线的另一端拴在竖直轴OO′ 上，如图所示。