同角三角函数的基本关系及变形
高中数学-同角三角函数基本关系式及诱导公式
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公sin αcos α式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：＝tan α.sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z)2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α－απ2＋απ2正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝恒成立．( × )sin αcos α(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(4)若sin ＝，则cos α＝－.( √ )(3π2－α)1313教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为．55答案 －255解析 ∵sin α＝，α是第二象限角，55∴cos α＝－＝－.1－sin2α2552．已知＝－5，那么tan α的值为．sin α－2cos α3sin α＋5cos α答案 －2316解析 由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，sin α－2cos α3sin α＋5cos α可得＝－5，解得tan α＝－.tan α－23tan α＋523163．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．cos (α－π2)sin (5π2＋α)答案 －sin 2α解析 原式＝·(－sin α)·cos αsin αcos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .513答案 0解析 ∵cos α＝－<0且cos α≠－1，513∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sin α＝＝＝，1－cos2α1－(－513)21213∴tan α＝＝＝－.sin αcos α1213－513125此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.1213(－125)②若α是第三象限角，则sin α＝－＝－1－cos2α1－(－513)2＝－，1213∴tan α＝＝＝，sin αcos α－1213－513125此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.(－1213)125综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝，则＝ ；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.12sin α－3cos αsin α＋cos α答案 － 53135解析 已知tan α＝，12所以＝＝－.sin α－3cos αsin α＋cos αtan α－3tan α＋153sin 2α＋sin αcos α＋2＝＋2sin2α＋sin αcos αsin2α＋cos2α＝＋2tan2α＋tan αtan2α＋1＝＋2＝.(12)2＋12(12)2＋1135(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝.713答案 －125解析 由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，71360169因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝＝，1－2sin θcos θ1713联立Error!解得Error!所以tan θ＝－.125教师备选1．(2022·锦州联考)已知＝5，则cos 2α＋sin 2α等于( )sin α＋3cos α3cos α－sin α12A. B ．－3535C ．－3D ．3答案 A解析 由＝5，得＝5，sin α＋3cos α3cos α－sin αtan α＋33－tan α可得tan α＝2，则cos 2α＋sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α12＝＝cos2α＋sin αcos αcos2α＋sin2α1＋tan α1＋tan2α＝.352．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为( )23A. B ．－2323C. D ．－4343答案 C解析 由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，23所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，29则2sin αcos α＝－<0，79因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，169所以sin α－cos α＝.43思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于( )sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θA ．－ B ．－ C. D.65252565答案 C解析 方法一 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以Error!或Error!所以＝sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θsin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θ＝－＝.452525方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，所以sin θ(1＋sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝＝＝.tan2θ＋tan θ1＋tan2θ4－21＋425(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为．13答案 －105解析 由tan α＝－，得sin α＝－cos α，1313将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得cos 2α＝1，109所以cos 2α＝，易知cos α<0，910所以cos α＝－，sin α＝，310101010故sin α＋cos α＝－.105题型二 诱导公式例2 (1)已知sin ＝，则cos 的值为( )(α－π4)13(π4＋α)A. B ．－223223C. D ．－1313答案 D解析 cos ＝cos (π4＋α)[π2＋(α－π4)]＝－sin＝－.(α－π4)13延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin＝，则tan ＝.(θ＋π4)45(θ－π4)答案 34解析 ∵θ是第二象限角，且sin＝，(θ＋π4)45∴θ＋为第二象限角，π4∴cos＝－，(θ＋π4)35∴tan＝(θ－π4)sin (θ－π4)cos (θ－π4)＝sin [(θ＋π4)－π2]cos [(θ＋π4)－π2]＝－cos (θ＋π4)sin (θ＋π4)＝＝.－(－35)4534(2)的值为( )tan (π－α)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－α－π)sin (－π－α)A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 B解析 原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·[－sin (π＋α)]＝tan α·cos2α－cos α·sin α＝－·＝－1.sin αcos αcos αsin α教师备选1．已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则等于( )cos(11π2－α)sin(9π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin (－π－α)A. B ．－2323C. D ．－3232答案 B解析 易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)，故tan α＝，则32cos(11π2－α)sin (9π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin (－π－α)＝cos (3π2－α)sin (π2＋α)＋sin 2αcos (π2＋α)sin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－＝－.1tan α232．若sin x ＝3sin ，则cos x ·cos 等于( )(x －π2)(x ＋π2)A. B ．－310310C. D ．－3434答案 A解析 易知sin x ＝3sin ＝－3cos x ，(x －π2)所以tan x ＝－3，所以cos x cos(x ＋π2)＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin2x ＋cos2x ＝＝.－tan x tan2x ＋1310思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的――――――→利用诱导公式三或一――――――→利用诱导公式一三角函数锐角三角函数．――――――→利用诱导公式二或四或五或六跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .13答案 0解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，13sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝.13所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.1313(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝.sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos (α－112π)＋sin(9π2＋α)答案 3解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，sin (－3π＋α)＋cos (α－π)cos (α－112π)＋sin(9π2＋α)＝sin (π＋α)＋cos (π－α)cos (α＋π2)＋sin (π2＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝＝3.tan α＋1tan α－1题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝.sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－π－α)sin (－π－α)(1)化简f (α)；(2)若α＝－，求f (α)的值；31π3(3)若cos＝，α∈，求f (α)的值．(－α－π2)15[π，3π2]解 (1)f (α)＝sin (α－3π)cos (2π－α)sin (－α＋3π2)cos (－π－α)sin (－π－α)＝－sin α×cos α×(－cos α)－cos α×sin α＝－cos α.(2)若α＝－，31π3则f (α)＝－cos＝－cos ＝－.(－31π3)π312(3)由cos＝，(－α－π2)15可得sin α＝－，15因为α∈，[π，3π2]所以cos α＝－，265所以f (α)＝－cos α＝.265教师备选设f (α)＝(1＋2sin α≠0)．2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin2α＋cos(3π2＋α)－sin2(π2＋α)(1)化简f (α)；(2)若α＝－，求f (α)的值．23π6解 (1)f (α)＝(－2sin α)·(－cos α)－(－cos α)1＋sin2α＋sin α－cos2α＝2sin αcos α＋cos α2sin2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝＝.cos αsin α1tan α(2)当α＝－时，23π6f (α)＝f ＝(－23π6)1tan (－23π6)＝1tan (－4π＋π6)＝1tan π6＝＝.1333思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ＋5＝0，tan(π＋α)(π2＋β)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )A. B. C. D.3553773101013答案 C解析 由已知得Error!消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝，则sin α＝(α为锐角)．91031010(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－，则＝.15sin 2x ＋2sin2x 1－tan x答案 －24175解析 由已知，得sin x ＋cos x ＝，15两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝，125整理得2sin x cos x ＝－.2425∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，4925由－π<x <0知，sin x <0，又sin x cos x ＝－<0，1225∴cos x >0，∴sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－.75∴＝sin 2x ＋2sin2x 1－tan x2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x ＝＝－.－2425×157524175课时精练1．cos等于( )(－19π3)A ．－B ．－3212C.D.1232答案 C解析 cos＝cos (－19π3)19π3＝cos＝cos ＝.(6π＋π3)π3122．若cos 165°＝a ，则tan 195°等于( )A.B.1－a 21－a 2aC ．－D ．－1－a 2aa1－a 2答案 C解析 若cos 165°＝a ，则cos 15°＝cos(180°－165°)＝－cos 165°＝－a ，sin 15°＝，1－a 2所以tan 195°＝tan(180°＋15°)＝tan 15°＝sin 15°cos 15°＝－.1－a 2a3．若cos ＝，则sin 等于( )(α－π5)513(7π10－α)A ．－ B ．－5131213C. D.1213513答案 D解析 因为－α＋＝，7π10(α－π5)π2所以－α＝－，7π10π2(α－π5)所以sin ＝cos ＝.(7π10－α)(α－π5)5134．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于( )21tan αA ．2 B. C ．－2 D ．－1212答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2，∴sin αcos α＝，12∴tan α＋＝＋1tan αsin αcos αcos αsin α＝＝＝2.sin2α＋cos2αsin αcos α1125．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( )A ．sin(A ＋B )＝sin CB ．sin ＝cos B ＋C2A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C (C ≠π2)D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确．sin ＝sin ＝cos ，B 正确．B ＋C 2(π2－A 2)A2tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C，(C ≠π2)C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则( )15A.<α<ππ2B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案 ABD解析 ∵sin α＋cos α＝，15等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，125解得sin αcos α＝－，故B 正确；1225∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，1225∴α∈，故A 正确；(π2，π)cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，(－1225)4925解得cos α－sin α＝－，故D 正确．757．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .答案 0解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°＝cos 90°＝0.8．设f (θ)＝，则f ＝.2cos2θ＋sin2(2π－θ)＋sin (π2＋θ)－32＋2cos2(π＋θ)＋cos (－θ)(17π3)答案 －512解析 ∵f (θ)＝2cos2θ＋sin2θ＋cos θ－32＋2cos2θ＋cos θ＝，cos2θ＋cos θ－22cos2θ＋cos θ＋2又cos ＝cos17π3(6π－π3)＝cos ＝，π312∴f ＝＝－.(17π3)14＋12－212＋12＋25129．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求的值；sin (－α＋3π2)cos(3π2＋α)tan2(π－α)cos (π2＋α)sin (π2－α)(2)已知sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．713解 (1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－，23又α是第三象限角，所以cos α＝－，23所以sin α＝－，tan α＝.5352所以原式＝＝tan 2α＝.－cos αsin αtan2α－sin αcos α54(2)∵sin x ＋cos x ＝－(0<x <π)，713∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0，把sin x ＋cos x ＝－，713两边平方得1＋2sin x cos x ＝，49169即2sin x cos x ＝－，120169∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝，289169即sin x －cos x ＝，1713联立Error!解得sin x ＝，cos x ＝－，5131213∴cos x －2sin x ＝－.221310．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)．(1)求的值；sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)(2)若α是第二象限角，求sin 2＋sin(π－α)cos α－cos 的值．(α＋3π2)(π2＋α)解 (1)∵m ≠0，∴cos α≠0，即sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝.－tan α－11＋2tan α又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)，∴tan α＝＝－2，－6m3m 故sin (α＋π)＋cos (α－π)sin (α＋π2)＋2cos (α－π2)＝－tan α－11＋2tan α＝＝－.2－11＋2×(－2)13(2)∵α是第二象限角，∴m <0，则sin α＝－6m(3m )2＋(－6m )2＝－6m 35|m |＝，255cos α＝3m(3m )2＋(－6m )2＝3m 35|m |＝－，55∴sin 2＋sin(π－α)cos α－cos (α＋3π2)(π2＋α)＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α＝2＋×＋(－55)255(－55)255＝.－1＋25511．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k ∈Z )的取值可能sin (α＋k π)sin αcos (α＋k π)cos α为( )A ．－2 B ．－1或1C ．2 D ．－2或2或0答案 AC解析 当k 为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；－sin αsin α－cos αcos α当k 为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.sin αsin αcos αcos α∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则等于( )sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)A. B. C. D.35534554答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－，x 2＝2，则sin α＝－.3535原式＝＝－＝.cos α(－cos α)tan2αsin α(－sin α)(－sin α)1sin α5313．曲线y ＝e x ＋x 2－x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin＝.23(2α＋π2)答案 45解析 由题意得y ′＝f ′(x )＝e x ＋2x －，23所以f ′(0)＝e 0－＝，2313所以tan α＝，13所以α∈，(0，π2)所以cos α＝，310所以sin(2α＋π2)＝cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝.9104514．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝.答案 75解析 由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝，12所以3sin 2α＋2sin αcos α＝3sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋2tan α1＋tan2α＝3×14＋2×121＋14＝.7515．(多选)已知f (α)＝，则下列说法正确的是( )2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1(0≤α≤π2)A ．f (α)的最小值为－2B ．f (α)的最小值为－1C ．f (α)的最大值为－12D ．f (α)的最大值为1－2答案 BD解析 设t ＝sin α＋cos α＝sin，2(α＋π4)由0≤α≤，π2得≤α＋≤，π4π43π4则1≤t ≤，2又由(sin α＋cos α)2＝t 2，得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝＝t －1－，t 2－1－2t ＋12t ＋1又因为函数y ＝t －1和y ＝－在[1，]上单调递增，2t ＋12所以g (t )＝t －1－在[1，]上单调递增，2t ＋12g (t )min ＝g (1)＝－1，g (t )max ＝g ()＝1－.2216．已知关于x 的方程2x 2－(＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：3(1)＋的值；sin2θsin θ－cos θcos θ1－tan θ(2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝＋sin2θsin θ－cos θcos θ1－sin θcos θ＝＋sin2θsin θ－cos θcos2θcos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ.由已知得sin θ＋cos θ＝，3＋12所以＋＝.sin2θsin θ－cos θcos θ1－tan θ3＋12(2)由已知得sin θcos θ＝，m2因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，所以1＋m ＝2，(3＋12)解得m ＝.32(3)联立Error!解得Error!或Error!因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或.π3π6。
同角三角函数的基本关系式课件
行化简。
转换函数形式
通过同角三角函数的关系式，可 以实现三角函数的转换，如正弦 与余弦、正切与余切之间的转换。
证明恒等式
利用同角三角函数的基本关系式， 可以证明各种三角恒等式。
在解决实际问题中的应用
物理问题求解
在物理问题中，经常需要用到三角函数的知识，同角三角函数的 基本关系式是解决这类问题的重要工具。
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换， 利用已知的三角恒等式推 导出同角三角函数的基本 关系式。
几何证明法
利用单位圆的性质和三角 形的相似性质，通过几何 图形和角度关系证明同角 三角函数的基本关系式。
向量证明法
利用向量的数量积和向量 模的性质，通过向量的运 算证明同角三角函数的基 本关系式。
证明过程
证明结果
同角三角函数的基本关系式
sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = cosθ/sinθ等。
证明结果的应用
同角三角函数的基本关系式在解三角形、求三角函数的值、 判断三角函数的单调性等方面有广泛的应用。
பைடு நூலகம்
04
同角三角函数的基本关系式应用
在解三角形中的应用
代数证明过程
通过三角恒等式的变换，将同角 三角函数的基本关系式化简为已 知的三角恒等式或基本的代数恒
等式。
几何证明过程
利用单位圆的性质，将三角函数的 角度转化为单位圆上的弧长，再利 用三角形相似性质推导出同角三角 函数的基本关系式。
向量证明过程
利用向量的数量积和向量模的性质， 将同角三角函数的基本关系式转化 为向量的运算，通过向量的运算证 明。
新教材人教A版必修第一册 5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件(29张)
跟踪训练 3 求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α.
证明：左边＝tan2α－sin2α＝csoins22αα－sin2α ＝sin2α－cosisn2α2αcos2α＝sin2αc1o－s2αcos2α ＝sin2α·csoins22αα＝tan2α·sin2α＝右边 ∴原式成立．
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 ——微点探究 微点 1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值 例 1 (1)已知 sin α＝－15，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的 值；
(2)已知 cos α＝－35，求 sin α，tan α 的值．
状元随笔 在使用开平方关系 sin α＝± 1 －cos2α和 cos α＝
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss
130°|＝sin 130°| sin
130°－cos 130°－cos
113300°°＝1.
(2)原式＝sin2α·csoins
αα＋2sin
αcos
α＋cos2α·csoins
α α
＝sin4α＋2ssiinn2ααccooss2αα＋cos4α＝sinsi2nα＋αccoossα2α2
)
A．－4
B．－14
1 C.4
D．4
解析：(2)ssiinnθθ－＋2ccoossθθ＝ttaann θθ＋ －12＝21，解得 tan θ＝－4. 答案： A
(3)已知 sin θ＋cos θ＝15，且 0<θ<π，则 sin θ－cos θ＝________.
解析：∵sin θ＋cos θ＝15，∴(sin θ＋cos θ)2＝215，
化，利用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
同角三角函数的基本关系式_基础
同角三角函数基本关系【要点梳理】要点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：22sincos 1αα+= (2)商数关系：sin tan cos ααα= (3)倒数关系：tan cot 1⋅=αα，sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=要点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)2sin α是2(sin )α的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。
要点二：同角三角函数基本关系式的变形1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±⋅=±2．商数关系式的变形sin sin cos tan cos tan αααααα=⋅=，。
【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例1．若4sin 5α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。
【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。
在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。
举一反三：【变式1】已知3sin 5α=-，求cos α，tan α的值。
类型二：利用同角关系求值例2．已知：tan cot 2,θθ+=求：（1）sin cos ⋅θθ的值；（2）sin cos θθ+的值；（3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值【变式1】已知sin cos αα-=（1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。
例3．已知：1tan 2θ=-，求： （1）sin cos sin 3cos θθθθ+-； （2）2212sin cos sin cos θθθθ+-； （3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。
三角函数及变形公式
三角函数及变形公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。
二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。
商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =。
平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。
三、诱导公式⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ+2、απ-2、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。
（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
课堂互动讲练
考点一
诱导公式的应用
应用诱导公式进行化简或证明时， 首先根据题意选准公式再用，一般是负 变正、大变小的思想．
在使用诱导公式时，α可为任意角， 并不一定要为锐角，只不过是在运用的 过程中把它“看作”是锐角而已．“奇 变偶不变，符号看象限”同样适用于正 切和余切．如tan(270°－α)＝cotα等．
cos2x－1 sin2x＝
cos2x＋sin2x cos2x－sin2x
，想法
使分
子分
母都出现 tanx 即可．
课堂互动讲练
【解】 (1)法一：联立方程：
sinx＋cosx＝15， sin2x＋cos2x＝1.
① 2分
②
①式两边平方得：sin2x＋cos2x＋2sinxcosx
＝215，
∴2sinxcosx＝－2245.4 分 ∵－π2<x<0，∴sinx<0，cosx>0. ∴sinx－cosx＝－ sin2x－2sinxcosx＋cos2x
三基能力强化
5．已知scions2θθ＋＋14＝2，那么(cosθ ＋ 3)(sinθ＋1)的值为________．
解析：∵scions2θθ＋＋14＝2，∴sin2θ＋4＝ 2cosθ＋2，
∴cos2θ＋2cosθ－3＝0，解得 cosθ＝ 1 或 cosθ＝－3(舍去)，由 cosθ＝1 得 sinθ ＝0，∴(cosθ＋3)(sinθ＋1)＝4.
规律方法总结
公式中 k·π2＋α 的整数 k 来讲的．“象
限”指在 k·π2＋α 中，将 α 看作锐角时 k·π2＋
α
所在的象限，如将
cos(32π＋α)写成
π cos(3·2
同角三角函数间的基本关系-高中数学知识点讲解
同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．푠푖푛훼（2）商数关系：푐표푠훼= tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．휋휋公式五：sin（2―α）＝cosα，cos（2―α）＝sinα．휋휋公式六：sin（2+α）＝cosα，cos（2+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=푡푎푛훼+푡푎푛훽1―푡푎푛훼푡푎푛훽．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=푡푎푛훼―푡푎푛훽1+푡푎푛훼푡푎푛훽．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；1/ 2（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α=2푡푎푛훼1―푡푎푛2훼．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：푘휋对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇2数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．2/ 2。
高三第一轮复习--同角三角函数的关系式及诱导公式
4 sin sin 4 2 1 sin 8 . （ 2 ）灵活运用平方关系是化简的重 1 1 sin 8 ； n z
要手段之一。
例2、已知 tan 2 。
4 sin 2 cos （1）求 的值； 5 sin 3 cos
符 号 看 象 限 。
函 数 名 改 变 ，
以上九组公式称为诱导公式，其规 律可总结为：
奇变偶不变，
符号看象限。
例1、化简下列各式： sin k cos[(k 1) ] 1 . k Z sin[(k 1) ] cos(k ) 练习 练习 6 6 （1）分清 k 的奇偶，决定函数值符号 1 4sin cos n 1 4 n 1 化简下列各式： 2 sin . 2 是关键； 化简 4 cos
+ cotα + cosα
- sinα - cotα
tan(90°+α) =
sin(2700-α)
=
- cosα
cos(2700- α) = - sinα
tan(2700- α) = + cotα sin(270° +α) = - cosα cos(270° + α) = + sinα tan(270° + α) = - cotα
桂林装修 桂林装饰好啊，请各位稍等片刻！”说着一转身迈开大步直冲正面中间的一间房子去了。随着伙计的身影，耿正看到在这间房子的门口挂着写有 “柜房”的大木牌。只听伙计一边进门一边大声说：“耿掌柜，快去看，有一挂用红布蒙了的大骡车进咱们店了，一共三个人呢，说是 要见你！”话音刚落，那个让耿正兄妹三人经常回忆起来的，并且由于回忆而越来越熟悉的大哥快步走出来了。七年半过去了，昔日的 那个年轻大哥如今已经变成了一个结实的壮年汉子，但依然还是一脸的善良和慈祥模样。看着眼前这面带欣喜且激动不已的三个年青人， 耿大业一时间愣在了那里。略停顿一下，他试探着问：“请问，你们是？”耿正顺手将大白骡的缰绳递给那位报信的伙计。兄妹三人一 起上前眼含热泪给大哥深深施礼，耿正声音哽咽地说：“大哥，您可记得七年半之前的夏天，山那边发生溃坝的当晚，您和大嫂曾经挽 留落难的仨兄妹在您的小饭店里住了一夜，还„„”耿大业傻傻地张大嘴巴：“啊！你们是„„”“是我们！我们要回老家去了，特地 来看望您和大嫂的„„”“快请进屋说话！这骡车怎么„„”“咱们慢慢细说！”耿大业吩咐伙计将骡车赶进靠里边的大车棚内，将骡 子卸了喂上草料。伙计牵起大白骡进车棚去了。耿大业伸出有力的大手抓住耿正的双肩晃一晃，激动地大声说：“好兄弟，好兄弟啊！” 再转过来抓住耿直的双肩晃一晃，高兴地说：“小兄弟，你长大了，个头比你哥哥当年还高呢，长得也真像啊！”再仔细地端详耿英， 拍一拍她的肩膀，说：“好妹子，了不起啊！”他激动得不知道说什么好了：“七年多了，我和你们大嫂经常想起你们来，老惦念呢！ 咱们到家里说话，你们大嫂又快生娃了，在家里歇着呢。”说着朝大院的西北方向扬扬头，说：“喏，就在大院儿里„„”当他领着耿 正兄妹仨往家里走去时，一个胖墩墩的小男娃儿忽然从靠北边的屋子里跑了出来，口里还欢叫着：“爹，我在屋里就能听见是你回来 了！”一边说着，一边就高兴地向耿大业扑来。耿正和耿英同时蹲下身来准备抱他，小家伙却像泥鳅一样“哧溜”一下就窜到了耿大业 的身后。耿大业把小家伙拉到身前来，挨个儿指着耿正、耿直和耿英对他说：“小铁蛋儿，这是大叔叔、这是二叔叔、这是姑姑，快叫 啊！”小家伙眨巴着小眼睛看看三人，再抬头看看爹爹。耿大业再说一遍：“叫大叔叔、二叔叔、姑姑！”这一回，小家伙亮着小嗓子 叫了。耿英高兴地答应着将小家伙抱起来，欣喜地说：“你叫小铁蛋儿，好一个可爱的小铁蛋儿啊！”这边正高兴着呢，耿大嫂听着外 面热闹的说话声也出来了。她已经怀孕八个多月了，笨拙地挺着大肚子一边往前走一边问：“他爹，这是„„”耿英一看见大嫂如此模 样，赶快将小铁蛋儿递到耿
同角三角函数的基本关系 课件
若设 sin α－cos α＝t，则 sin3α－cos3α＝ 2 .
探究点一 三角函数式的化简 三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其 基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽 量化为同角且同名的三角函数等．三角函数式的化简实质上是 一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学 解题原则．它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需 要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式．同时，这类问题还具 有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要 求，因此在平常学习时要注意经验的积累． 化简三角函数式时，在题设的要求下，应合理利用有关公式， 常见的化简方法：异次化同次、高次化低次、切化弦、特殊角 的三角函数与特殊值互化等．
请按照上述标准化简下列三角函数式：
已知 α 是第三象限角，化简：
1＋sin 1－sin
α－ α
1－sin α 1＋sin α.
答 原式＝
1＋sin α2 1－sin α1＋sin
α－
1－sin α2 1＋sin α1－sin α
＝
1＋cossi2nαα2－
1－sin α2 cos2α
＝1|＋cossinα|α－1|－cossinα|α＝|2csoisn αα|.
x2 x＋cos
x
＝sin sin
x－cos x＋cos
x＝tan x tan
xx－＋11＝右边．
∴原式成立． sin 方法二 ∵右边＝csoins
cos
xxxx－ ＋11＝ssiinn
x－cos x＋cos
x； x
左边＝1s－in22xsi－n cxocso2sxx＝ssiinn2xx－－ccooss2xx2
第二节 同角三角函数的基本关系式
5.求下列函数的定义域 (1)y=tanx+cotx; (2)y= sinx +tanx. 求下列函数的定义域: 求下列函数的定义域 ≠ ∈ 解: (1)使 tanx 有意义的 x 的取值集合是 {x | x≠kπ+ π , k∈Z}, 使 2 使 cotx 有意义的 x 的取值集合是 {x | x≠kπ, k∈Z}, ≠ ∈ 故所求函数的定义域是: 故所求函数的定义域是 {x | x≠kπ+ π , k∈Z}∩{x | x≠kπ, k∈Z} ={x | x≠ kπ , k∈Z}; ≠ ∈ ≠ ≠ ∈ 2 ∈ ∩ 2 sinx≥0, (2)要使原函数有意义 则 x≠kπ+ π , k∈Z. 要使原函数有意义, 要使原函数有意义 ≠ ∈ 2 2kπ≤x≤2kπ+π, k∈Z, ∈ 即 x≠kπ+ π , k∈Z. ≠ ∈ 2 故原函数定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+π, 且 x≠2kπ+ π , k∈Z}. 故原函数定义域为 ≠ 2 ∈
6.设 α 是第二象限的角 试问 -α, π-α, π+α 分别是第几象限 设 是第二象限的角, 试问: 的角? 的角 ∈ 是第二象限的角, 解: ∵α 是第二象限的角 ∴2kπ+ π <α<2kπ+π, k∈Z. 2 ∴ -2kπ-π<-α<-2kπ- π , k∈Z, -2kπ<π-α<-2kπ+ π , k∈Z, - 2 ∈ 2 ∈ 3π π 2kπ+ 2 <π+α<2kπ+2π, k∈Z. ∈ 是第一象限角, 是第三象限角, 是第四象限角. ∴-α 是第三象限角 π-α 是第一象限角 π+α 是第四象限角
同角三角函数关系式
cos(α＋β)－cosγ＝－2cosγ，∴(3)式不是常数；
又tan(α＋β)＝tan(π－γ)＝－tanγ，∴(4)式不是常数， ∴(1)，(2)，(5)式为常数，共4个． 答案：3
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
方法技巧：
1 在△ABC
（1）若△ABC
(2)若△ABC为直角三角形（∠C cosB. (3)若△ABC为钝角三角形（∠C cosB.
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
方法技巧：1. 化简是一种不指定结果的恒等变形，
其结果要求：项数尽可能少、次数尽可能低、尽量使根 号内或分母中不含三角函数（式），能求值的尽量求值.
2. 化简前，注意分析角及式子的结构特点，选择恰
当的公式和化简顺序.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
综合应用
【思路点拨】 先利用诱导公式，将条件化简，再利用平方
关系，消去A（或B）得到B（或A）的某一三角函数值，进
而求出A，B，C.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
知识要点
双基巩固
典型例题
，则sin(B
知识要点
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典型例题
易错辨析
提升训练
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知识要点
《同角三角函数的基本关系》三角函数PPT优秀课件
9
4
2
2
=
+ 2
9
4
都成立.( ×
2
√
)
)
= 1，所以2 + 2 = 1成立，其中、为任意角.( × )
(4)对任意角， = ∙ 都成立.(
×
)
新知探索
辨析2:(1)已知 ∈
A.
B.−
(0, ),
(
2
∈ )时，有：
= .
这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
新知探索
同角三角函数的基本关系
平方关系
sin cos 1
2
2
sin
商数关系
tan
cos
sin 2 是（sin ) 2的简写
k ( k Z )
2
所以，原式成立.
=
=
(1+ )
1−2
1+
=右边.
今后，除特殊注明外，
我们假定三角恒等式是
在使两边都有意义的情
况下的恒等式.
等式左边
恒等变形
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
例2.求证：
−
=
+
.
例析
题型二：应用同角三角函数关系式化简与证明
+
例2.求证：
=
.
−
证法1：由 ≠ 0，知 ≠ −1，所以1 + ≠ 0，
三角函数之间的关系公式
三角函数之间的关系公式1. 同角三角函数的基本关系：倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=12. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）3. 锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边4. 二倍角公式正弦sin2A=2sinA•cosA余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)3.Cos2a=2Cos^2(a)-1正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）5. 三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)6. n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1）7. 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))8. 和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)9. 两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ10. 积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/211. 双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tan αcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tan αcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sin αcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tan αcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tan αcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot （π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan （π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos （3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tan αsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z) A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = √{(A²+B²+2ABcos(θ-φ)} •sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容12. 诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (-α)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限13. 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]14. 其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1(2)1+(tanα)²=(secα)²(3)1+(cotα)²=(cscα)²证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可.(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) = 1/cos(a)15. 两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)。
高中数学 同角三角函数的基本关系、诱导公式及恒等变换
同角三角函数的基本关系、诱导公式及恒等变换一、基础知识1． 同角三角函数的基本关系 =1 =αtan配1 已知54cos -=α，且α为第三象限角，求ααtan ,sin 的值配2 α是第四象限角，tan α=512-，则sin α= 2. 诱导公式： 公式一 公式四公式二 公式五公式三 公式六配3 利用公式求下列三角函数值（1）︒225cos （2）311sin π （3）)316sin(π- （4）)2040cos(︒- 配4 化简)2cos()2sin()25sin()2cos(αππααππα-⋅-⋅+-3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式配5 已知的值。
是第四象限，求)4tan(),4cos(),4sin(,53sin πααπαπαα-+--= 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式配6 求下列各式的值。
（1）、sin15cos15︒︒ （2）、22cossin 88ππ-（3）、2tan 22.51tan 22.5︒-︒ （4）、22cos 22.51︒-（5）(cos sin )(cos sin )12121212ππππ-+二、典例与变式：考点一： 同角三角函数的基本关系的应用例1. 已知1sin ,cos ,tan 3x x x =-求的值。
变式：已知13tan ,sin 22πααπα=∈=且（，），则 （ ）A.考点二 ：诱导公式的应用例2.化简：（1）cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)αααα+⋅+--⋅--变式： 2sin ()cos()cos(3)sin(5)sin(6)απαπαπαπα-++⋅+++++考点三：两角和与差及倍角公式的应用例3、已知12cos(),sin(),2923βααβ-=--=且,022ππαπβ<<<<，求cos 2αβ+变式：若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为（ ）（A ）2- （B ） 12- （C ） 12 （D ）2考点四： 恒等变形证明问题例4、证明下列恒等式（1）sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+；（2）2212sincos 1tan cos sin 1tan αααααα--=-+变式：21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、巩固练习：1、0sin 210=（ ）A 2B 2-C 12 D 12-2、sin(1071)sin189sin(171)sin(351)-⋅+-⋅3、已知sin()πα+=35，且α是第四象限角，那么cos(2)απ-的值是（ ） A 45 B 45- C 45-或45 D 354、已知60sin()cos(8)169παπα-⋅--=，且(,)42ππα∈，求sin α与cos α的值。