甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题
甘肃省兰州市兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
甘肃省兰州市兰州新区第一高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（）A ．1x ∃≤，20x x ->B ．1x ∀>，20x x -≤C ．1x ∃>，20x x -≤D ．1x ∀≤，20x x ->2．已知集合{}1,0,1,2,{11}A B x x =-=-<≤∣，则A B = （）A ．{}0,1B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．设12,x x 是方程22430x x +-=的两根，那么12(1)(1)x x ++的值是（）A ．32B ．12C ．52-D ．-64．“220x y +=”是“0xy =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．设,a b 都是正实数，则411b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是（）A ．4B ．8C ．7D ．96．若函数()2212f x x x +=-，则()5f 等于（）A ．-1B ．0C ．1D ．37．若a ，b ，R c ∈，且0a b <<，则下列结论正确的是（）A ．22ac bc <B ．11a b <C ．b aa b >D ．22a ab b >>8．不等式20cx ax b ++>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，则函数2y ax bx c =--的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．已知2{1,0,2}x x ∈，则关于实数x 的取值正确的是（）A ．0B ．1C ．1-D ．210．下列命题是真命题的是（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．函数()1f x x=的单调递减区间是()(),00,-∞+∞ C ．若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(],0-∞上单调递增，则()f x 在R 上单调递增D ．偶函数的图象必有对称轴11．下列函数中，表示同一个函数的是（）A ．(5)(5)5x x y x +-=-与5y x =+B ．||y x =与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩C ．2y x =与4y =D ．2()f xx =与()g x =三、填空题12．不等式201x x -<-的解集为.13．比较大小：()()13a a --()223a a -+.（填“>”“<”“≥”“≤”或“=”）14．若函数()21f x x ax =--在区间[)1,+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知集合{}35A x x =-≤≤，{}211B x m x m =-<<+.(1)当3m =-时，求A B ；(2)若A B B = ，求实数m 的取值范围.16．求下列不等式的解集.(1)23520x x +-->；(2)221x x <-；(3)2440x x -+>.17．已知函数1()2f x x x=-.（1）求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）判断函数()f x 在(0,+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明.18．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，满足()()(),(1) 4.f x y f x f y f +=+=(1)求(0)f 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性并证明；(3)若(23)()8f x f x +-<，求x 的取值范围.19．求解下列各题：(1)求()23402x x y x x++=<的最大值.(2)求()2811x y x x +=>-的最小值.(3)已知0x >，0y >且4x y xy +=，若28x y m m +>+恒成立，求实数m 的取值范围.。
甘肃省兰州第一中学2020学年高一数学上学期期中试题
兰州一中2020-1学期高一年级期中考试试题数 学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{0,1,2,3}，B ＝{3,4,5}，则(∁U A )∩B 等于A ．{3}B ．{4,5}C ．{4,5,6}D ．{0,1,2}2.函数y ＝x －1＋lg(2－x )的定义域是A ．(1,2)B ．[1,4]C ．[1,2)D ．(1,2]3.若集合A ＝{y |y ＝2x，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ．AB ⊆B ．A B ⊇C ．A B =D ．A B =∅I4.三个数a ＝0.22，b ＝log 20.2，c ＝20.2之间的大小关系是A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<5.函数f (x )＝log 3x －8＋2x 的零点一定位于区间A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(2,3)D ．(1,2)6.设25a b m ==，且112a b+=，则m 等于 A ．10B ．10C ．20D ．1007.直线y ＝a 与曲线y ＝x 2－||x 有四个交点，则a 的取值范围为A ．1,+∞（-）B ．1,0（-）C ．1,+4∞（-） D ．1,04（-）8.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数2,[1,2]y x x =∈与函数2,[2,1]y x x =∈--即为“同族函数”．请你找出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是 A ．y ＝xB ．y ＝|x －3|C ．y ＝2xD ．y ＝12log x9.定义运算：,,a a b a b b a b≤⎧*=⎨>⎩，则函数()22x x f x -=*的值域为A ．RB ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(0，1]10.若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b 的值是A ．12B ．1C ．－12D ．－111.已知2()x f x a-=，()=log a g x x (a >0且a ≠1)，若(4)(4)0f g -<，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是12.设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幂函数()f x 的图象过点4(3,27)，则()f x 的解析式是______________．14.函数22()log (3+2)f x x x =-的单调递减区间是______________．15.函数2()=2f x x x a ++，若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，则实数a 的取值范围是______________．16.已知下表中的对数值有且只有一个是错误的．x 1.5 3 5 6 8 9lg x 4a －2b ＋c 2a －b a ＋c 1＋a －b －c 3[1－(a ＋c )] 2(2a －b )其中错误的对数值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知函数12()=log (1)f x x -的定义域为集合A ，函数2()31m x g x -=-的值域为集合B ，且A∪B ＝B ，求实数m 的取值范围．18.(本小题满分12分)计算：(1)7log 3231lg25lg2ln log 27log 272e ++-⨯- ；(2)2210.533234122(3)+(5)(0.008)()89505----÷⨯ ．19.(本小题满分12分) 已知不等式21014124xx -+≤的解集为D ． (1)求集合D ； (2)设函数22()log )(log )24x xf x =⋅（，x D ∈．求函数()f x 的值域．20.(本小题满分12分)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)． (1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．21.(本小题满分12分)已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()1xf x a =-．其中0a >且1a ≠．(1)求()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式(1)2f x -<，结果用集合或区间表示．22.(本小题满分12分)已知函数()y f x =的定义域为D ，且()f x 同时满足以下条件： ① ()f x 在D 上是单调递增或单调递减函数；② 存在闭区间[,]a b ⊆D (其中a b <)，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值集合也是[,]a b ．那么，我们称函数()y f x = (x D ∈)是闭函数．(1)判断3()=f x x -是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若()=f x k +k 的取值范围．（注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可）兰州一中2020-1学期高一年级期中试题答案数 学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．34y x = 14．(,1)-∞ 15．(3,)a ∈-+∞ 16. lg1.5三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：由题意得A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝(－1，－1＋3m]．由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，即－1＋3m≥2，即3m≥3，所以m ≥1. .………10分18．解：(1)原式=92-. .………6分(2)原式=221328491()+()2795--（）47257+25293599=-=-= .………12分19．解：(1)原不等式等价于210160x x -+≤，解得[2,8]x ∈. .………6分(2) 22()(log 1)(log 2)f x x x =--2281log 3x x ≤≤∴≤≤Q当23log ,2x x ==时，()f x 取最小值14-， 当2log 3,8x x ==时，()f x 取最大值2，∴该函数的值域是1[,2]4-. .………12分20．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24. .………3分(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150，t ∈10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈20，35]..………8分(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650.∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30，所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城． .………12分 21. 解：(1)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝a －x－1.由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x－1， ∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)．∴所求的解析式为1(0)()=1(0)x x a x f x a x -⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩. .………6分(2)（法一）不等式等价于+110+12x x a --<⎧⎨-<⎩或11012x x a --≥⎧⎨-<⎩，即+1101x x a--<⎧⎨>-⎩或113x x a -≥⎧⎨<⎩.当a >1时，有1x <或11log 3a x ≤<+，可得此时不等式的解集为,1log 3)a -∞+（. 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R .综上所述，当a >1时，不等式的解集为,1log 3)a -∞+（；当0<a <1时，不等式的解集为R . .………12分 （法二）图象求解也可. 22．解：(1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[,]a b ，f (x )的取值集合也是[,]a b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝b－b 3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1，所以存在区间[－1,1]满足②， .………5分 使得f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数.(2) （法一）f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数， 由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[,]a b 满足②即：⎩⎨⎧k ＋a ＋2＝ak ＋b ＋2＝b.即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，令t =220t t k ---=，该方程存在两相异实根12,t t 满足120t t ≤<，01020k ∆>⎧⎪∴>⎨⎪--≥⎩，解得924k -<≤-，所以实数k 的取值范围是9(,2]4-. .………12分 （法二）图象求解也可.。
甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题高一数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 4个D. 8个【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．{}{}A 12A B 123=⋃=，，，，，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个． 考点：并集及其运算．2.对于映射{}(|)f A B A B x y x y →∈R ：，＝＝，，，且()()f x y x y x y →-+：，，，则与B 中的元素()31-，对应的A 中的元素为（ ） A. ()1,2﹣ B. ()1,3C. ()4,2﹣﹣ D. ()3,1﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知中映射()():,f x y x y x y →-+，，得到3,1x y x y -=-+=，即可求解． 【详解】由题意，:f A B →，且映射()():,f x y x y x y →-+，，令31x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得1,2x y =-=，所以与B 中的元素()3,1-对应的A 中的元素为()1,2-． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了映射的定义及应用，其中解答中熟记映射的概念与对应关系，列出方程组是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题． 3. 下列函数中表示同一函数的是（ ） A. ()44y x y x ==与B. 233x y x y x==与 C. 21y x x y x x =+=⋅+与D. 21y y x x==与 【答案】D 【解析】 试题分析：的定义域为R ，的定义域是，故A 不正确；的定义是R ，的定义域是，故B 不正确；的定义域是，解得，的定义域是，解得，所以两个函数的定义域不同，故C 不正确；和的定义域都是，并且化简后就是，故D 正确．考点：函数的定义【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素，属于基础题型，函数的三个要素包含定义域，对应关系和值域，只有两个函数的定义域相同，对应法则也相同，才是同一函数，当两个函数的定义域相同时，再看两个函数能否变形为同一个函数解析式． 4.函数()()0231log 32y x x =-+- （ ）A. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：要使函数()1y x =-有意义，需满足223310{log 1log (32)0x x -≠=-≥，即1{321320x x x ≠-≤->，解得213x <<，所以函数()01y x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，应选D ．考点：求函数的定义域．【方法点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、对数式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性，特别是解对数不等式时，注意真数一定大于0，这时易错点，解决此类问题应从以下几个方面入手1、真数大于0；2、分母不为0；3、被开方数有意义；4、()01x -有意义．5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +＝，若()32f -=，则()7f 等于（ ） A. 2019 B. 2-C. 2020D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据()()4f x f x +=，求得函数的周期，再利用函数的周期性和奇偶性，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，则(7)(421)(1)f f f =⨯-=-，又由函数()f x 上在R 上的奇函数，且()32f -=，所以(1)(1)(413)(3)2f f f f -=-=-⨯-=--=-，即(7)2f =-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的周期性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性和周期性，合理利用奇偶性和周期性转化求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 6.已知函数22xxy b a +=+（,a b 是常数，且01a <<）在区间3[,0]2-上有最大值3，最小值52，则ab 的值是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】通过换元令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，然后由u y b a =+单调递减，结合u 的范围可列方程解得,a b .【详解】令2232(1)1,[,0]2u x x x x =+=+-∈-，最大值为0，最小值为1-. 则[],1,0uy b a u =+∈-当01a <<时，uy b a =+单调递减.所以10352b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有1ab =， 故选A.【点睛】本题主要考查了指数型复合函数的最值问题，通常的解题的方法为换元，解题时注意新变元的范围，属于常考题型.7.若32232(),,log 3xa b x c x ===，当x ＞1时，,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D.a cb <<【答案】B 【解析】解：因为3223 2(),,log3xa b x c x===，那么当x>1时，则利用指数函数和对数函数的值域可知，0<a<1,b>1,c<0,因此选B8.已知函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝,且()3f a＝-，则()6f a-＝（）A.74- B.54- C.34- D.14-【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式，求得7a=，进而可求解(6)f a-的值，得到答案．【详解】由题意，函数()()1222,1log1,1x xf xx x-⎧-≤⎪⎨-+>⎪⎩＝，当1a≤时，令1223a--=-，即121a-=-，此时不成立；当1a>时，令()2log13a+=--，解得7a=，所以117(6)(1)224f a f---=-=-=-．故选：A．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答涉及到对数的运算性质和指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．9.若函数()()logaf x x b=+的大致图象如图，其中,a b为常数，则函数()xg x a b=+的大致图像是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()xg x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.若函数()()0,1xf x a a a ≠＝＞且在[]1,2-上的最大值为4，最小值m ，且函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，则a ＝（ ）A.12 B. 12-C.14D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用()f x 在[]1,2﹣上的最大值为4，先确定a 的值，再利用函数()(14g x m x -＝[)0+∞，上是增函数，即可求得实数a 的值，得到答案． 【详解】由题意，当1a >时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递增函数，所以()24f =，即24a =，解得2a =，此时最小值11(1)22m f -=-==； 当01a <<时，函数()xf x a =在[1,2]-为单调递减函数，所以()14f -=，即14a -=，解得14a =，此时最小值211(2)()416m f ===，又由函数()(14g x m -＝[)0+∞，上是增函数，则140m ->，解答14m <， 综上可得14a =，116m =．故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和幂函数的性质，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及计算能力，属于基础题．11.函数()f x =()()221(01xx ax x a a x ⎧+-≤⎪>⎨->⎪⎩且1a ≠),在()0,∞+上是增函数,则实数a 的取值范围是A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】因为()f x 在()0,∞+上是增函数,即当01x <≤时,()f x =22x ax +-单增,即02a-<,解得0a >;当1x >时,()xf x a =-单增,即01,a <<且212a a +-≤-,解得12a ≤;所以102a <≤,即实数a 的取值范围是10,2⎛⎤⎥⎝⎦.选C. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.12.若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数()λλ∈R 使得()()0f x f x λλ++＝对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为（ ）①()0f x ＝是常数函数中唯一的“λ～特征函数”； ②()21f x x +＝不是“λ～特征函数”； ③“13λ～特征函数”至少有一个零点；④()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】利用新定义“λ～特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．【详解】对于①中，设()f x C =，当1λ=-时，函数()f x C =是一个“λ～特征函数”， 所以()0f x =不是唯一的一个常值的“λ～特征函数”，所以①不正确； 对于②中，函数()21f x x +＝，则()()2()1(21)0f x f x x x λλλλ++=++++=，即2(221)x λλ=-+-， 当1λ=-时，()()20f x f x λλ++=-≠，当1λ≠-时，方程2(221)x λλ=-+-由唯一的解，所以不存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立， 所以函数()21f x x +＝不是“λ～特征函数”，所以②正确．对于③中，令0x =，可得11()(0)033f f +=，所以11()(0)33f f =-， 若(0)0f =，显然()0f x =有实数根，若(0)0f ≠，211()(0)[(0)]033f f f ⋅=-<，又因为()f x 的函数图象是连续的，所以()f x 在1(0,)3上必由实数根，因此任意的“λ～特征函数”必有实根，即任意“13λ～特征函数”至少有一个零点，所以③是正确；对于④中，假设()xf x e ＝是一个“λ～特征函数”，则0x x e e λλ++=对任意的实数x 成立，则有0e λλ+=，而此式有解，所以()xf x e ＝是“λ～特征函数”，所以④正确的，所以正确命题共有②③④． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及其应用，其中解答中熟记函数的零点，以及正确理解“λ～特征函数”，合理判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二．填空题（共3小题）13.如果11x f x x⎛⎫⎪-⎝⎭＝，则当0x ≠且1x ≠时，()f x ＝_____．【答案】1()1f x x =- 【解析】 【分析】 根据函数()1xf x x=-，利用换元法，即可求得函数的解析式，得到答案． 【详解】由题意，令1t x =，则1x t=且0t ≠， 因为()1x f x x =-，所以11()111t f t t t==--，其中0t ≠且1t ≠，所以1()1f x x =-． 故答案为：1()1f x x =-．【点睛】本题主要考查了函数的解析式的求解，其中解答中熟练应用换元法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.若函数()23xf x x --+=的零点为0x ，满足()01x k k ∈+，且k ∈Z ，则k ＝_____．【答案】3【解析】 【分析】根据题意，得到函数()f x 为减函数，进而求得()()3,4f f 的值，利用零点的存在定理，即可求解．【详解】由题意，函数()23xf x x --+=，分析可得函数()f x 为减函数，又由()31323308f -=+=>-，()4154243016f --=+=-<， 则()()340f f ⋅<，根据零点的存在定理，可得函数()f x 的零点在区间()3,4上， 所以3k =． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记函数零点的概念，以及熟练应用零点的存在定理进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．15.设函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩,2()(1)g x x f x =-，则函数()g x 的递减区间是________．【答案】[)0,1 【解析】()22,10,1,1x x g x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩,如图所示，其递减区间是[)0,1．16.下列几个命题： ①函数2211y x x =--偶函数，但不是奇函数；②方程()230x a x a +-+＝的有一个正实根，一个负实根，0a ＜；③()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ＜时，()221f x x x =+-，则0x ≥ 时，()221f x x x ++=-④函数3222xx y -=+的值域是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．其中正确命题的序号是_____（把所有正确命题的序号都写上）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】①中，函数()f x 既是奇函数又是偶函数，即可判定；②中，方程有一个正实根，一个负实根，得到0a ∆>⎧⎨<⎩，即可判定；③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，即可判定；④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++，即可判定，得到答案．【详解】由题意，对于①中，函数()f x =的定义域为{}1,1-，即()0f x =，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数，所以不正确；对于②中，方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则满足2(3)40a a ∆=-->且120x x a =<，解得0a <，所以是正确的；对于③中，()f x 是定义在R 上的奇函数，则必有()00f =，而当0x =时，()20200110f =⨯++=≠-，所以不正确；对于④中，令2(0)xt t =>，原函数可化为35122t y t t -==-+++， 因为22t +>，所以531122t -<-+<+，即原函数的值域为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以是正确的． 综上，正确命题的序号为②④． 故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，以及一元二次方程的性质，指数函数的性质和函数的值域的求解等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．三．解答题（共6小题）17.计算下列各式的值：（1）()()2234116 4.3238⎛⎫++-- ⎪⎝⎭；（2）32221ln lg0.01log 20log 16log 5e ++-+ 【答案】（1）354-； （2）1-. 【解析】 【分析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质和对数的运算公式，即可求解． 【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质， 可得：()()221123402433441113516() 4.32316()1122()1128224⨯⨯++--=++-=++-=-．（2）根据对数的运算性质，可得32222211ln lg0.01log 20log 16log 32log 204log 55e ++-+=-+-+ 22213(log 20log )3log 43215=-++=-+=-+=-．【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答中熟记指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．18.己知集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|116B x x x =-或 （1）若A 为非空集合，求实数a 的取值范围； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）[]6,+∞；（2）()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）若A ≠∅，那么2135a a +≤-，求解； （2）若A B ⊆，分，或是两种情况讨论．当时，即，当时，即351{2135a a a -<-+≤-或2116{2135a a a +>+≤-，求解． 试题解析：解：（1）作出数轴可知若A ≠∅则有2135a a +≤-，解得：6a ≥可得实数a 的取值范围为[]6,+∞ （2）A B ⊆则有如下三种情况：1）A =∅，即3521a a -<+，解得：6a <；2）A ≠∅，(],1A ⊆-∞-，则有351{2135a a a -<-+≤-解得：a 无解；3）A ≠∅，(]16,A ⊆+∞，则有2116{2135a a a +>+≤-解得：152a >．综上可得A B ⊆时实数a 的取值范围为()15,6,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭考点：集合的关系运算【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，(],1A ⊆-∞-或(]16,A ⊆+∞是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集． 19.已知幂函数()()22122m f x m m x+=+-在（0，＋∞）上是增函数（1）求()f x 的解析式 （2）若(21fa fa -<-，求4a 的取值范围【答案】（1）()3f x x =；（2）(]8,16 【解析】 【分析】(1)由幂函数的性质可得，2221m m +-=，再由()f x 在()0,+∞上为增函数，则2m+1＞0，然后，根据以上条件，求解即可.(2)由()f x 为R 上的增函数，可得201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩，求出a 的范围，然后根据4a 单调递增的特性，即可求出4a 的取值范围.【详解】（1）因为()()22122m f x m m x+=+-是幂函数，所以2221m m +-=即32m =-或1m = 因为()f x 在()0,+∞上是增函数，所以2m+1＞0，即m ＞-12，则m=1 故()f x =3x .（2）因为()f x 为R 上的增函数.所以201021a a a a -≥⎧⎪-≥⎨⎪-<-⎩， 解得322a <≤. 故4a 的取值范围为(]8,16.【点睛】本题考查幂函数的性质和单调性，注意幂函数的系数为1，难点在于利用函数的单调性转化成不等式求解，属于中等题. 20.函数f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1． （1）求a ，b 的值；（2）判断并用定义证明f （x ）在（1,2+∞）的单调性． 【答案】（1）a=5，b=0； （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数为奇函数，可利用f （1）=1和f （-1）=-1，解方程组可得a 、b 值，然后进行验证即可；（2）根据函数单调性定义利用作差法进行证明． 【详解】（1）根据题意，f （x ）=2ax b4x 1++是定义在R 上的奇函数，且f （1）=1，则f （-1）=-f （1）=-1，则有a b15a b 55+⎧=⎪⎪⎨-+⎪=-⎪⎩，解可得a=5，b=0；经检验，满足题意.（2）由（1）的结论，f （x ）=25x4x 1+，设12＜x 1＜x 2， f （x 1）-f （x 2）=1215x 4x 1+-2225x 4x 1+=()()()()12122212514x x x x 4x 14x 1--++， 又由12＜x 1＜x 2，则（1-4x 1x 2）＜0，（x 1-x 2）＜0， 则f （x 1）-f （x 2）＞0， 则函数f （x ）在（12，+∞）上单调递减． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于基础题． 21.已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3(0,1)(1,)2U ； （2）不存在. 【解析】 【分析】（1）结合题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式，即可求解，得到答案； （2）由题意结合对数函数的图象与性质，即可求得是否存在满足题意的实数a 的值，得到答案．【详解】（1）由题意，函数()()log 3 (0a f x ax a =->且1)a ≠，设()3g x ax =-， 因为当[]0,2x ∈时，函数()f x 恒有意义，即30ax ->对任意[]0,2x ∈时恒成立， 又由0a >，可得函数()3g x ax =-在[]0,2上为单调递减函数， 则满足()2320g a =->，解得32a <， 所以实数a 的取值范围是3(0,1)(1,)2U ． （2）不存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1，可得()11f =，即log (3)1a a -=，即3a a -=，解得32a =，即()323log (3) 2f x x =-， 又由当2x =时，33332022x -=-⨯=，此时函数()f x 为意义， 所以这样的实数a 不存在．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及复数函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理求解函数的最值，列出方程求解是解答的关键，着重考查了对基础概念的理解和计算能力，属于中档试题． 22.已知指数函数()y g x =满足()327g =，定义域为R 的函数()()()3n g x f x m g x -=+是奇函数.（1）求函数()(),y g x y f x ==的解析式；（2）若函数()()h x kx g x =-在()0,1上有零点，求k 的取值范围；（3）若对任意的()1,4t ∈，不等式()()230f t f t k -+->恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()3xg x =，113()33xx f x +-=+；（Ⅱ）（3，+∞）；（Ⅲ） [9，+∞）．【解析】试题分析：（1）根据指数函数利用待定系数法求()g x ，利用奇函数用特值法求m,n ，可得到()f x 解析式；（2）根据函数零点的存在性定理求k 的取值范围；（3）分析函数()f x 的单调性，转化为关于t 恒成立问题，利用分离参数法求k 的取值范围． 试题解析： （Ⅰ）设()xg x a=()01a a >≠且,则327a =，∴a=3, ∴()3x g x =，∴()133x x n f x m +-=+， 因为()f x 是奇函数，所以(0)0f =，即1012n n m-=⇒=+ , ∴()1133xx f x m+-=+，又()(1)1f f -=-，11133=319m m m --∴-⇒=++；∴()11333x x f x +-=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：()3xg x =，又因()()h x kx g x =-在（0，1）上有零点，从而(0)(1)0h h ⋅<，即(01)(3)0k -⋅-<，∴30k ->， ∴3k >，∴k 的取值范围为(3,)+∞．（Ⅲ）由（Ⅰ）知()113131121··333313331x x x x x f x +--==-=-++++， ∴()f x 在R 上减函数（不证明不扣分）．又因()f x 是奇函数，()()230f t f t k -+->所以()()23f t f t k ->--=()f k t -，因为()f x 减函数，由上式得：23t k t -<-, 即对一切(1,4)t ∈，有33t k -<恒成立，令m(x)=33t -,[1,4]t ∈,易知m(x)在[1,4]上递增，所以max 3439y =⨯-=， ∴9k ≥，即实数k 的取值范围为[)9,+∞．点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题．。
2024-2025学年兰州市高一数学上学期期中考试卷附答案解析
2024-2025学年兰州市高一数学上学期期中考试卷试题满分：150分，答题时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A x x B x x =>=-<<∣∣，若A B = （）A.{2}xx <∣ B.{02}xx <<∣C {12}xx <<∣ D.{12}xx -<<∣2.命题“20,12a a ∃>+<”的否定为（）A.20,12a a ∃>+≥ B.20,12a a ∃≤+≥ C.20,12a a ∀>+≥ D.20,12a a ∀≤+≥3.下列图象中，能表示定义域和值域均为[]0,2的函数图象的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.函数()f x =的定义域为（）A.[]1,2- B.()1,2- C.(]1,2- D.[)1,2-5.“2a >且2b >”是“4ab >”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知,0x y >，且51x y +=，则54x y+的最小值为（）A .45B.42C.40D.387.已知20.3a =，0.12b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c<< B.a b c<< C.<<b c aD.c b a<<8.若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.1,+∞B.()1,8 C.()4,8 D.[)4,8二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列命题为真命题的是（）．A.若22a b c c >，则a b > B.若0b a >>，0m <，则a m ab m b+>+C.若a b >，c d <，则a c b d->- D.若22a b >，0ab >，则11a b<10.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x =-+ B.2y x = C.3y x =- D.y x x=-11.已知函数()2(0)f x x mx n m =++>有且只有一个零点，则下列结论正确的是（）A.224m n -≤B.2104m n<+<C.不等式20x mx n ++<的解集为∅D.若不等式24x mx n ++<的解集为()12,x x ，则124x x -=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则a =______.13.当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点___________14.若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小；（2）已知0,0a b c >><，求证：c c a b>.16.已知函数2()f x x ax b =++.（1）若()0f x <的解集为(3,1)-，求a ，b ；（2）若(1)2f =，a ，(0,)b ∈+∞，求14a b+的最小值.17.已知函数()()11f x x x x =-++∈R .（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；（2）写出函数的值域.18.已知集合()(){}{}|280,36A x x x B xx =+-≥=-≤≤∣.（1）求()R A Bð（2）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.19.已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意1x ，2x 都有f(1x ·2x )＝f(1x )＋f(2x )，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f (x)是偶函数；(2)证明：f (x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f (22x －1)<2.20.ETC 是“电子不停车收费系统”的简称.汽车分别通过ETC 通道和人工收费通道的流程如图所示.假设汽车以115m /s v =朝收费站正常沿直线行驶，如果走ETC 通道，需要在到达收费站中心线前10m d =处正好匀减速至25m /s v =，匀速通过“匀速行驶区间”后，再加速至1v 后正常行驶；如果走人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s 缴费成功后，再启动汽车匀加速至1v 正常行驶.设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为21m /s .求：（1）汽车走人工收费通道时，开始减速的位置距离收费站中心线是多远；（2）汽车走ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；（3）汽车走ETC 通道时，由于缴费耽误的时间是多2024-2025学年兰州市高一数学上学期期中考试卷试题满分：150分，答题时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{12}A xx B x x =>=-<<∣∣，若A B = （）A.{2}xx <∣ B.{02}x x <<∣ C.{12}x x <<∣ D.{12}x x -<<∣【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为{0}{12}A xx B x x =>=-<<∣，∣，则{02}A B xx =<< ∣.故选：B.2.命题“20,12a a ∃>+<”的否定为（）A.20,12a a ∃>+≥B.20,12a a ∃≤+≥ C.20,12a a ∀>+≥ D.20,12a a ∀≤+≥【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.【详解】因为“20,12a a ∃>+<”的否定是“20,12a a ∀>+≥”.故选：C3.下列图象中，能表示定义域和值域均为[]0,2的函数图象的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义及给定的定义域和值域，结合各图象即可得答案.【详解】由函数定义：任意自变量有且仅有一个函数值与之对应，排除第三个图；第一个图中定义域不为[]0,2，第二个图值域不为[]0,2，所以，只有最后一个图满足题设.故选：B4.函数()f x =的定义域为（）A.[]1,2- B.()1,2- C.(]1,2- D.[)1,2-【答案】C 【解析】【分析】根据分母不为零和偶次方根的被开方数非负得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为()f x =，所以2010x x -≥⎧⎨+>⎩，解得12x -<≤，即函数的定义域为(]1,2-.故选：C5.“2a >且2b >”是“4ab >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的基本性质与特殊值法判断即可.【详解】由“2a >且2b >”能推出“4ab >”，因此条件充分；取8a =，1b =时，“4ab >”推不出“2a >且2b >”，因此条件不必要．故选：A ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于基础题.6.已知,0x y >，且51x y +=，则54x y+的最小值为（）A.45B.42C.40D.38【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用，即可求解.【详解】由题意得()54542545252545y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当254y x x y =，即2253x y ==时，等号成立．故选：A7.已知20.3a =，0.12b =，0.23c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.b a c <<B.a b c<< C.<<b c aD.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断.【详解】因为0.3x y =在R 内单调递减，则2000.30.31<<=，即01a <<；且2x y =在R 内单调递增，则00.10.2222<<，0.212b <<；且0.2y x =在()0,∞+内单调递增，0.20.223<，即0.22c <；综上所述：a b c <<.故选：B.8.若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.1,+∞B.()1,8 C.()4,8 D.[)4,8【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数的单调性即可求解.【详解】 函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，1402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得48a ≤<.故选：D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列命题为真命题的是（）．A.若22a bc c >，则a b > B.若0b a >>，0m <，则a m ab m b+>+C.若a b >，c d <，则a c b d ->- D.若22a b >，0ab >，则11a b<【答案】AC 【解析】【分析】AC 选项用不等式的基本性质进行证明；B 选项，用作差法比较大小；D 选项，举出反例.【详解】因为22a b c c>，且20c >，不等式两边同乘以2c 得：a b >；A 正确；()()b a m a m a b m b b b m -+-=++，由于0b a >>，0m <，而b m +可能大于0，也可能小于0，故B 选项错误；由cd <，则c d ->-，由不等式的基本性质得：a c b d ->-，C 正确；当2,1a b =-=-时，满足22a b >，0ab >，但11a b>，D 错误.故选：AC10.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）A.1y x =-+ B.2y x =C.3y x =- D.y x x=-【答案】CD 【解析】【分析】通过判断具体函数的奇偶性和单调性即可.【详解】A.1y x =-+（x ∈R ），则()1f x x -=+，因为()()f x f x -≠-，故函数不是奇函数，错误；B.2y x =（x ∈R ），()()f x f x -=，函数是偶函数，不是奇函数，错误；C.3y x =-（x ∈R ），函数为奇函数，根据幂函数的性质可知函数为减函数，正确；D.y x x =-，则()()f x x x x x f x -=-==-，故函数为奇函数，又22,0,0x x y x x ⎧≤=⎨->⎩，如图：根据图象函数为减函数，正确.故选：CD11.已知函数()2(0)f x x mx n m =++>有且只有一个零点，则下列结论正确的是（）A.224m n -≤B.2104m n<+<C.不等式20x mx n ++<的解集为∅D.若不等式24x mx n ++<的解集为()12,x x ，则124x x -=【答案】ACD 【解析】【分析】先根据题意得出240m n =>；再由二次函数的最值的求法可判断选项A ，根据基本不等式可判断选项B ，由三个二次之间的关系可判断选项C ，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D.【详解】因为()2(0)f x x mx n m =++>有且只有一个零点，所以2Δ40m n =-=，即240m n =>.对于选项A ，因为()222244204m n n n n -=---=-≤-，所以224m n -≤，故选项A 正确；对于选项B ，因为21144m n n n +=+≥=，当且仅当1,2n m ==B 错误；对于选项C ，因为2Δ40m n =-=，所以不等式20x mx n ++<的解集为∅，故选项C 正确；对于选项D ，因为不等式24x mx n ++<的解集为()12,x x ，所以方程240x mx n ++-=的两根为12,x x ，且1212,4x x m x x n +=-=-，所以124x x -=====，故选项D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则a =______.【答案】1【解析】【分析】根据包含关系分20a -=和220a -=两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为A B ⊆，则有：若20a -=，解得2a =，此时{}0,2A =-，{}1,0,2B =，不符合题意；若220a -=，解得1a =，此时{}0,1A =-，{}1,1,0B =-，符合题意；综上所述：1a =.故答案为：1.13.当0a >且1a ≠时，函数24x y a -=+的图象一定经过定点___________【答案】()2,5【解析】【分析】令20x -=可求出定点.【详解】令20x -=，可得当2x =时，5y =，所以图象一定经过定点()2,5.故答案为：()2,5.14.若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【答案】3+【解析】【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-+--33≥+=+，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小；（2）已知0,0a b c >><，求证：c ca b>.【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）根据0a b >>，得到110b a >>，再由0c <，根据不等式的性质可得c ca b>，从而得证.【详解】（1）因为()()()()3524a a a a +--+-()222152870a a a a =-----=-<，所以()()()()3524a a a a +-<+-；（2）因为0a b >>，所以110b a>>，又0c <，所以c ca b>，得证.16.已知函数2()f x x ax b =++.（1）若()0f x <的解集为(3,1)-，求a ，b ；（2）若(1)2f =，a ，(0,)b ∈+∞，求14a b+的最小值.【答案】（1）2a =，3b =-（2）9【解析】【分析】（1）根据题意可知3-，1是方程20x ax b ++=的两根，利用韦达定理运算求解；（2）由题意可得1a b +=，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为()0f x <的解集为(3,1)-，可知3-，1是方程20x ax b ++=的两根，则3131a b -+=-⎧⎨-⨯=⎩，解得2a =，3b =-.【小问2详解】因为(1)12f a b =++=，即1a b +=，且a ，(0,)b ∈+∞，则14144()145459a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥=+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a bb a =，即223b a ==时，等号成立，所以当13a =，23b =时，14a b +的最小值为9.17.已知函数()()11f x x x x =-++∈R.（1）利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图象；（2）写出函数的值域.【答案】（1）()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，图象见解析（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据绝对值定义将函数分成三段，通过描点画函数图象；（2）根据函调图象可得函数最小值，无最大值，即得函数值域.【小问1详解】当1x <-时，()2f x x =-；当11x -≤≤时，()2f x =；当1x >时，()2f x x =，∴op =−2s <−12,−1≤≤12s>1，()f x 的图象如图所示．【小问2详解】由函数图象知，函数的值域为[)2,+∞．18.已知集合()(){}{}|280,36A x x x B x x =+-≥=-≤≤∣.（1）求()R A B ð（2）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{32}x x x <-≥-∣或（2）7|2m m ⎧⎫≤⎨⎩⎭【解析】【分析】（1）先化简集合A ，然后根据补集运算求出R B ð，最后再求()R A B ð.（2）由题意可知21216m m -≤+≤-≤或121m m +>-，解不等式即可.【小问1详解】解：()(){}{}28028A x x x x x =+-≥=-≤≤∣∣，{}|36B x x x =<->R 或ð，则(){32}A B xx x ⋃=<-≥-R ∣或ð.【小问2详解】 集合{}28A x x =-≤≤∣，{}36B x x =-≤≤∣，∴{}26A B x x ⋂=-≤≤∣.若C =∅，则121m m +>-，即2m <；若C ≠∅则121,12,216,m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得722m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为7|2m m ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭.19.已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意1x ，2x 都有f(1x ·2x )＝f(1x )＋f(2x )，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f (x)是偶函数；(2)证明：f (x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f (22x －1)<2.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）,222222⎛⎛⎛-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭⎭-【解析】【分析】（1）令121x x ==，求得()10f =，再由121x x ==-，求得()10f -=，进而得出()()f x f x -=-，即可得到证明；（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数；（3）由（1）（2）可把不等式2(21)2f x -<转化为()2(21)4f x f -<，进而得2214x -<，结合2210x -≠，即可求解.【详解】(1)证明令x 1＝x 2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．(2)证明设x 2>x 1>0，则f(x 2)－f(x 1)＝f(x 1·)－f(x 1)＝f(x 1)＋f()－f(x 1)＝f()，∵x 2>x 1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x 2)－f(x 1)>0.∴f(x 2)>f(x 1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)解∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.又∵f(x)是偶函数，∴不等式f(2x 2－1)<2可化为f(|2x 2－1|)<f(4)．又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x 2－1|<4.解得－102<x<102，又2210x -≠，解得：22x ≠±即不等式的解集为10222210,222222⎛⎛⎛-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝-⎭⎭-．【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的定义法证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的定义，合理运算、化简是解答的关键，同时考查了转化思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.20.ETC 是“电子不停车收费系统”的简称.汽车分别通过ETC 通道和人工收费通道的流程如图所示.假设汽车以115m /s v =朝收费站正常沿直线行驶，如果走ETC 通道，需要在到达收费站中心线前10m d =处正好匀减速至25m /s v =，匀速通过“匀速行驶区间”后，再加速至1v 后正常行驶；如果走人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过20s 缴费成功后，再启动汽车匀加速至1v 正常行驶.设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为21m /s .求：（1）汽车走人工收费通道时，开始减速的位置距离收费站中心线是多远；（2）汽车走ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；（3）汽车走ETC 通道时，由于缴费耽误的时间是多少?【答案】（1）112.5m ；（2）210m ；（3）8s .【解析】【分析】（1）根据减速过程的加速度计算即可；（2）分两段匀加速运动与匀减速运动的位移计算即可；（3）计算走ETC 通道用时，与不减速直接通过用时即可.【小问1详解】由题意可知减速过程中的加速度大小为21m /s ，而汽车初始速度为115m /s v =，所以至速度为0m /s 时，需要1015s 1v t -==，产生的位移是()15015112.5m 2S +⨯==；【小问2详解】汽车走ETC 通道时，匀减速直线运动的位移22121100m 21v vS -==⨯，匀加速直线运动的位移22122100m 21v v S -==⨯，所以汽车走ETC 通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小10010100210m ++=；【小问3详解】汽车走ETC 通道用时122222s 1v v dv -⨯+=，而不减速通过用时21014s 15=，所以耽误22148s-=。
【完美排版】甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题【含答案】
2) ,
(x 4)
(x
4)
，则
f
(log 1
2
3)
的值为
.
16.函数 f (x) 对 x 0 有意义，且满足 f (2) 1， f (mn) f (m) f (n) , f (x) 为增函数．如果
f (x) f (x 3) 2 ，则实数 x 的取值范围是
.
2
三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共 48 分.）
一、选择题：（本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分）
题号
123456789
10 11 12
答案
D C B C A D B C A DCA
二、填空题 ：(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)
13. [1,)
14. (1, 1 ] 2
64
15.
3
三、解答题：（共 48 分）17. (本小题 8 分)（1）解:19
B. {a} M
C. a M
1
2.下列各函数图象中，表示函数 y x 3 的是
D. {a} M （）
3.已知集合 A [0,4]， B [0,2]，下列从 A 到 B 的对应关系 f ， x A ， y B ,不是从 A 到
B 的映射的是
A. f : x y x
C.
f
:x
y
1 x
2
21. (本小题 12 分)已知函数 f (x) loga (a a x ) . (1) 当 a 1 时，求 f (x) 的定义域、值域. (2) 当 a 1 时，判断 f (x) 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式 f (x2 2) f (x) .
甘肃省兰州高一数学上册期中考试题
兰州一中高一年级期中考试试题数学说明:本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卡上,交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）。
1.设集合{}1>∈=x N x A ，则（ ）A. A ∉φB. A ∉1C. A ∈1D. {}A ⊆1 2.已知函数23)12(+=+x x f 且2)(=a f ，则a 的值等于（ ） A. -1 B. 5 C. 1 D. 8 3.三个数0.76，60.7，0.7log 6的大小顺序是( )A ．60.70.70.7log 66<< B ．60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<< D ．60.70.7log 60.76<<4.若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，且)(x f y =图像经过点)a ，则=)(x f ( )A ．2log xB ．12log x C ．12xD ．2x 5.函数y =log 21(x 2-3x +2)的递增区间是 （ ）A ．（-∞,1）B ．（2,+∞）C ．（-∞,23） D ．( 23, +∞)6.已知y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，当x<0时，f (x )等于（ ） A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )7.已知函数8)(35+++=cx bx ax x f ，且10)2(=-f ，则函数)2(f 的值是（ ） A.2- B.6- C.6 D.8 8.1(0,1)xy a a a a=-≠≠函数且的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ．2.05.0A. a c b >>B. c a b >>C. c b a >>D. a b c >> 10.设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是( )A.)52(，B.)02(，-C.[)52()25，，-- D .(](2,0)2,5-第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）. 11.函数2()2(1)2f x x a x =+--在区间[)4+∞，上单调递增,则实数a 的取值范围是 (用区间表示);12.函数12()log f x x =在区间[]2,8上的最大值为 ;13.若方程0x a x a --= (a >0，且a ≠1)有两个实根，则实数a 的取值范围是 ; 14.若14log 3=x ，则xx-+44= .兰州一中2016-2017-1学期高一年级期中考试试题数学答题卡一、选择题（本大题共1个题，共40分）11. ； 12. ; 13. ; 14. .三、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．,把答案填在答题．．．．．．．卷．相应位置．．．．(本 大题共5小题，共44分)15.（本题满分8分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,221,1,2)(2x x x x x x x f ,(Ⅰ)求f (f (－2))；(Ⅱ)画出函数f (x )的图象,根据图象写出函数的单调增区间并求出函数f (x )在区间(－4,0)上的值域．16.（本题满分8分）已知函数()()110212xf x x x ⎛⎫=+≠⎪-⎝⎭， (Ⅰ)判断函数()f x 的奇偶性； (Ⅱ)证明()0f x >.17.(本题满分8分)已知函数f (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1在区间上恒为正，求实数a 的取值范围．18.(本题满分10分)已知－3≤log 12 x ≤－12，求函数f (x )＝(log 2x 2)(log 2x4)的最大值和最小值，并求出对应的x 的值．19.（本题满分10分）设函数()y f x =且lg(lg )lg3lg(3)y x x =+-. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及定义域； (Ⅱ)求函数()f x 的值域； (Ⅲ)讨论函数()f x 的单调性.数学答题卡一、选择题（本大题共1个题，共40分）11. (],5-∞； 12. -1 ; 13. ),1(+∞; 14. 310. 三、 解答题：在相应位置．．．．．解答．．(本大题共5小题，共44分) 15.（本题满分8分）解:（Ⅰ）(2)220f -=-+=((2))(0)02f f f ∴-==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 (Ⅱ)图略 ………………………4分单调增区间为),0(),1,(+∞--∞（开区间，闭区间都给分 …………………………6分 由图可知： (4)2f -=- (1)1f -= ()f x ∴的值域为(2,1]-. …………8分 16.（本题满分8分）解：（Ⅰ）1121()()212221x x x x f x x +=+=⋅-- 2121()()221221x x x x x x f x f x --++-=-⋅=⋅=--，为偶函数...................4分（Ⅱ）21()221x x x f x +=⋅-，当0x >，则210x->，即()0f x >；当0x <，则210x-<，即()0f x >， ∴()0f x > .................8分17.(本题满分8分)解：当a >1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1是减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2·2＋1>1，则a <12，矛盾． ……………………………………4分当0<a <1时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1<1，设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－2x ＋1，分类讨论1a －2的取值，得12<a <23. …………………………………8分18.(本题满分10分)解：∵log 12 (12)－3≤log 12 x ≤log 12(12)－12， ∴log 12 8≤log 12 x ≤log 122，∴2≤x ≤8. ………………………………………………………3分 又f (x )＝(log 2x 2)(log 2x4)＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2＋2－94＝(log 2x －32)2－14.∵log 2x ∈， ∴log 2x ∈[12，3]．令log 2x ＝t ，则f (x )＝(t －32)2－14，t ∈[12，3]． ……………………………6分∴f (x )min ＝－14，此时t ＝32，即log 2x ＝32，∴x ＝2 32＝22； ………………………………………………8分f (x )max ＝(3－32)2－14＝2，此时t ＝3，即log 2x ＝3，∴x ＝8. …………………………………10分19.（本题满分10分）解:(Ⅰ)由已知得lg(lg )lg[3(3)]y x x =-，所以lg 3(3)y x x =-， 即3(3)10x x y -= ……………………………………………………2分要使函数有意义，则300330x x x >⎧⇒<<⎨->⎩.所以函数的定义域为(0,3) …………………………………………4分(Ⅱ)令23273(3)3()24u x x x =-=--+. ∵03x <<，∴2704u <≤， ∴27041010y <≤，即274110y <≤ …………………………………7分 33∵10uy =在274(1,10)上是增函数，∴3(3)10x x y -=在3(0,)2上是增函数，在3[,3)2上是减函数. ……10分。
2020-2021学年甘肃省兰州市第一中学高一上学期期中考试数学试题
甘肃省兰州市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设U={0,1,2,3,4}，A={0,1,2,4}，B={2,3,4},则(C u A) (C u B)等于( )A. {1}B. {0,1,3}C. {0,1}D. {0,1,2,3,4} 2．今有一组实验数据如下表所示：则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )A．123ty=⋅B．2logy t=C．12y t=D．212y t=3．已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-(n∈Z)在(0,+∞)上是增函数，则n的值为( )A．-1B．1C．-3D．1和3-4. 已知11)232f x x-=+（且f(m)=6，则m的值为( )A. 14 B.14-C.32-D.325．函数f(x)=ln x+3x-4的零点所在的区间为( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(2,4)6．函数f(x)＝a x-b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0C ．0＜a ＜1，b ＜0D ．0＜a ＜1，b ＞07．实数a＝b＝0.3， c＝的大小关系正确的是( )A ．a <c <bB ．c <b <aC ．b <a <cD ．c <a <b 8. 函数y =f (x )是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，f (-2)=0，则()f x x >的解集为( )A. (2,2)-B. (2,0)(2,)-+∞C. (,2)(0,2)-∞- D. (,2)(2,)-∞-+∞9．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A. 2B.12 C ．4 D ．1410. 已知函数20()210x xx f x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数g (x )=f (x )-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是( ) A. 0<b <1B. b<0C. -1<b <0D. -2<b <011. 若函数f (x )对任意实数a ，b 都有f (a +b )=f (a )f (b ),且f (1)=12,则(2)(4)(6)(2020)...(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f ++++=( )A. 2020B. 1515C.1010D. 50512．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，(),()()(),(())()f x g x f x x x f x x g F g <≥⎧=⎨⎩, 则F (x )的最值是( )A ．最大值为7－27，无最小值B ．最大值为3，最小值－1C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数()ln f x x =的定义域为 .14. 已知函数()8log 3+9a y x =+ (a >0，a ≠1) 的图像恒过定点A ，若点A 也在函数()3-x f x b =的图象上，则b = .15. 已知函数2(1),1()1log ,12x a x x f x x -≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为 .16．给出下列结论，其中正确的序号是 （写出所有正确．．结论的序号）. ①已知集合P ={a ,b },Q ={0,1}, 则映射f :P Q 中满足f (b )=0的映射共有1个； ②函数f (x )=e x 的图象关于直线y =x 对称的函数解析式为y =ln x ； ③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是(-1,1)；④已知函数()1xx xf x e e -=++的最大值为M ，最小值为m ，则M +m =2.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分)已知集合A ={x |a -1<x <2a }，B ={x |0<x +1<2}. （1）若1a =，求A (C R B )； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.18. (12分)计算：（1）7log 20log lg25lg47(9.8)+++-； （2）14030.753370.0642]168-----+-+（）（）[(）.19. (12分)设()log (1)log (3)a a f x x x =++-(a >0，a ≠1)，且f (1)=2. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间5[0,]2上的值域.20．(12分) 已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求a 的取值范围．21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且f (1)=0.（1）求f (0)的值； （2）求f (x )的解析式； （3）已知∈a R ，若函数()()g x f x ax=-在[]22-,上是单调函数.求a 的取值范围.22. (12分)已知函数()22x x f x -=-.（1）判断函数f (x )的奇偶性与单调性（直接写出结果，不需证明）；（2）若对任意实数[1,2]t ∈-，有()2(2)0f t t m f t --+>成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数12()(2)()2xg x f x mf x -=-+在[0,)x ∈+∞上的最小值为-5，求实数m 的值.——★ 参*考*答*案 ★——说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．{x ｜0＜x ≤2} 14. 7-9 15. 112a ≤< 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分)已知集合A ={x |a -1<x <2a }，B ={x |0<x +1<2}. （1）若1a =，求A (C R B )； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围. 【解】 （1）当1a =时，{}|02A x x =<<，{}|11B x x =-<<，{|1R C B x x =≥或}1x ≤-， 可得(){}|12R AC B x x =≤<. ----------------4分（2）①当21a a ≤-时，1a ≤-，此时A =∅，A B ⊆成立；②当1a >-时，若A B ⊆，有1121a a -≥-⎧⎨≤⎩，得102a ≤≤， 由上知，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为(]1,10,2⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. ----------------10分18. (12分)计算：（1）7log 20log lg25lg47(9.8)+++-；（2）14030.753370.0642]168-----+-+（）（）[(）.【解】()()70log 23231log lg25lg479.8103log 32lg 2lg 2321lg 22lg 2322313522+++-=+++=+-++=+=（）------------------------------6分（2）()()40130.753370.0642168---⎛⎫⎡⎤--+-+ ⎪⎣⎦⎝⎭()136343441(210)1((2))2---=⋅-++2341210122--=⋅-++1011271=416816=-++ ------------------------------12分19. (12分)设()log (1)log (3)a a f x x x =++-(a >0，a ≠1)，且f (1)=2. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间5[0,]2上的值域.【解】（1）∵()12f =，∴log 42a =，∴2a =，则由1030x x +>⎧⎨->⎩，解得13x ， 即(1,3)x ∈-，所以()f x 的定义域为(1,3)- ------------------------------5分（2）2222()log (1)log (3)log (1)4f x x x x ⎡⎤=++-=--+⎣⎦，设2(1)4t x =--+，则()2log f t t =，50,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x =时，max 4t =， 而(0)3t =，5724t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴min 74t =，744t ≤≤，()227log log ,24f t t ⎡⎤∴=∈⎢⎥⎣⎦ 所以()f x 在区间50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为27log ,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ------------------------------12分 20．(12分) 已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求a 的取值范围． 【解】(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1. 令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0， 解得2x ＝1或2x ＝－12(舍去)．∴x ＝0.∴函数f (x )的零点为x ＝0. ------------------------------6分 (2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解， 于是2a ＝2x ＋14x ＝(12)x ＋(14)x＝[(12)x ＋12]2－14.∵(12)x >0，∴2a >14－14＝0，即a >0. ------------------------------12分 21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立，且f (1)=0.（1）求f (0)的值； （2）求f (x )的解析式； （3）已知a R ∈，若函数()()g x f x ax=-在[]22-,上是单调函数.求a 的取值范围.【解】（1）令1x =-，1y =，则由已知得，()()()011121f f -=-⨯-++，()10f =，()02f ∴=- ------------------------------3分（2）令0y =，则()()()01f x f x x -=+，又()02f =-，()22f x x x ∴=+-； ------------------------------7分（3）()()22212g x x x ax x a x =+--=+--，又()g x 在[]22-,上是单调函数，故有122a -≤-，或122a -≥，35a a ∴≤-≥或. ------------------------------12分22. (12分)已知函数()22x xf x -=-.（1）判断函数f (x )的奇偶性与单调性（直接写出结果，不需证明）；（2）若对任意实数[1,2]t ∈-，有()2(2)0f t t m f t --+>成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数12()(2)()2xg x f x mf x -=-+在[0,)x ∈+∞上的最小值为-5，求实数m 的值.【解】（1）∵()f x 的定义域为R ,()()2222()x x x x f x f x ---=-=--=-,∴()f x 是奇函数. ∵1()22x x f x =-在R 上是增函数, ------------------------------2分（2）由（1）得()2(2)0f t t m f t --+>化为()2(2)(2)f t t m f t f t -->-=-.∴22t t m t -->-, ∴2m t t <+. ∵[1,2]t ∈-,∴12t =-时,()2min 111424t t +=-=-. ∴14m <-,即m 的取值范围是1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. ------------------------------7分 （3）22()22,(2)22x x x xf x f x --=-=-,()()1222222()(2)()22222222222x x x x x x x x x x g x f x mf x m m ------=-+=---+⨯=+--()()222222222()()2()224xx xxm m m f x mf x f x --⎡⎤=-+--=-+=--+⎢⎥⎣⎦.∵[0,),(0)0,()x f f x ∈+∞=增函数, ∴()[0,)f x ∈+∞.∴0m 时,()g x 最小值为2.0m >时,()g x 最小值为224m -,由225,04m m -=->得m = ------------------------------12分。
甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题
甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题一、选择题：（本大题共 12 小题 , 每题 3 分 , 共 36 分 . 在每题给出的 4 个选项中只有一项为哪一项切合题目要求的 , 请将正确答案的序号填入答题卡的表格中. ）（交卷只交答题卡）1.设会合 M{ x R x3} ，a 3 ,则以下选项正确的选项是（）A. a MB.{ a}MC.a MD.{ a}M12.以下各函数图象中，表示函数y x 3的是（）3. 已知会合A[0,4]， B[0,2]，以下从 A 到 B 的对应关系f， x A ，y B ,不是从 A 到 B 的映照的是（）A. f : x y xB. f : x y 2 x3C. f : x y 1 xD. f : x y 1 x2284.某种细菌在培育过程中，每 15min 分裂一次（由 1 个分裂成 2 个），这类细菌由 1 个分裂成 4096 个需要经过（）A.12hB.4hC.3hD. 2h5.定义在R 上的奇函数 f ( x)在(0,) 上的表达式为 f ( x) xx ,则 f (x)在 (,0)上的表达式为（）A.x xB.x xC.x xD.x x6.log 4 25 2 log 4 10 log 4 5log 5 16 的值是（）A. 2B.－1C. －2D.17.已知函数y log a x(a0, a1)与其反函数的图象有交点, 设交点的横坐标为x 0 ，则（ ）A.a1且 x 01B.且 10 a 1 0 x 0 C.a1且 0 x 0 1D.且10 a 1 x 0118. 已知 alog 2 0.1, b 22 , c 1.8 3 则 a,b, c 的大小关系是（） A. a b cB. c a bC. a c bD. b c a9. 设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数， 它在 [0,) 上为增函数， 且 f (1) 0 ，则不等3 式 f (log 1 x)0 的解集为（）8A.(0, 1) (2, )B. ( 2,)2C. ( 1,1) (2, ) D. (0, 1 )2 1210. 设函数 f ( x) ln x( x 0), 则函数 yf ( x)（）x31A. 在区间 ( ,1), (1,e) 内均有零点B. 在区间 (1,1), (1,e) 内均无零点 eC. 在区间 (1,1) 内有零点，在区间 (1, e) 内无零点 e D. 在区间 (1,1) 内无零点，在区间 (1, e) 内有零点 e11. 已知 f ( x) log a (2 ax) 在 [ 0,1] 上为减函数，则 a 的取值范围为（）A.（0，1）B. （0，2）C. （1，2）D. [2,)12. 设奇函数 f (x) 在 [1,1] 上是增函数，且 f ( 1) 1 ，若对全部的 x [ 1,1] 及任意的 a[ 1,1]都知足 f (x) t 2 2at 1 ，则 t 的取值范围是（）A. t 2或 t 2或t 0B. t 1 或 t 1 02 或 tC.1 12D. 2 t22t2二、填空题 ：( 本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分)13. 函数 y32x 11 的定义域是.2714. 函数 y log 1 (2x x 2 ) 的单一递减区间是.315.若函数 f ( x) 2 x ,2) ,( x4)，则 f (log 1 3) 的值为.f ( x( x4)216.函数 f ( x) 对x0 存心义，且知足 f (2)1， f (mn) f (m) f (n) , f ( x) 为增函数．假如 f (x) f ( x3) 2 ，则实数 x 的取值范围是.三、解答题：（写出必需的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共48分 . ）11)2317.( 本小题 8 分) （1）(4 分) 求值0.0273(256 4 3 1171x（ 2） (4 分 ) 设 0 x 2 ，求函数y42 2 x 1 5 的最大值和最小值.18. (本小题 8 分)务实数m的取值范围，使对于x的方程x22( m 1)x 2m 6 0（1）有两个实根，且都大于 1.（ 2）有两个实根、，且知足014.19.( 本小题 10 分) 设 A x | x 24x 0 , B x | x22( a 1)x a2 1 0 ,（1）若 A U B B ，求a的值 .（2）若 A I B B ，求a的值 .20. ( 本小题 10 分) 已知函数 f (x) lg( ax22x 1) .(1) 若f ( x)的定义域为 R ，务实数a的范围 .(2) 若f ( x)的值域为 R ，务实数a的范围 .21. ( 本小题 12 分) 已知函数 f (x)log a (a a x ) .(1)当 a 1 时，求f ( x)的定义域、值域 .(2)当 a 1 时，判断 f ( x)的单一性 , 并用定义证明 .（3）解不等式 f ( x22) f ( x) .兰州一中 2012 — 2013—1 学 期高一年级数学期中试卷答案一、选择题：（本大题共 12 小题 , 每题 3分,共 36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DCBCADBCADCA二、填空题 ： ( 本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分)13. [ 1,)14. ( 1, 1 ]15.64 16.(3,4]23三、解答题：（共 48 分） 17. ( 本小题 8 分 ) （1）解 :1918. ( 本小题 8 分 ) （ 1） Qf (1)5 m 12(m 1)42 1f (0)5 （ 2） Q f (1)7m4f (4) 5（2）由AIB B B A ，又A 0, 4，故①当 B 时，4( a 1) 2 4(a 2 1) 0，解得 a 1 ； ②当 B0 或4 时，4(a 1)24(a 2 1) 0 ，解得 a1 ，此时B 0，知足BA ；4(a1)24(a 21)0解得 a 1 .③当B0, 4时，2(a1)4，a2 10综上所述，实数 a 的取值范围是a 1或许 a 1 .20. (本小题10 分)解：(1)若 f ( x)的定义域为R，则对于 x 的不等式 ax2＋2x＋1＞0的解集为 R，即a0，解得 a＞1 44a0(2)若 f ( x)的值域为R，则 ax2＋2x＋1能取全部正数a 0∴ a＝0或，解得0≤ a≤14 4a0log a 1 =0,即f(x1)＞f(x2).∴f(x)为减函数.(3)当 a 1 时，x2－2＜x,即x2－x－2＜0,解得－1＜x＜2.又函数 f(x)定义域为 ( －∞ ,1),x1故所求不等式的解为－1＜ x＜ 1.即2x 21当 0 a 1时，log a (a a x22 ) ＞log a( a a x) ,∴ a x22＞ a , ∴ x－ 2＜ x，解得－ 1＜ xx2＜2.又函数 f(x)的定义域为 (1 ， +∞ ) ，即x1故所求不等式的解为3 x 2x221综上，当 a 1 时，所求不等式的解集为{ x1x1}当 0a1时，所求不等式的解集为{ x3x2}。
2010-2023历年甘肃省兰州一中高一第一学期期中考试数学试卷
2010-2023历年甘肃省兰州一中高一第一学期期中考试数学试卷第1卷一.参考题库(共20题)1.(本小题8分)已知集合A=｛x｜1-a<x<1+a｝,B=｛x｜-1<x<7｝,若A∩B=A,求a的取值范围.2.(本小题8分)设函数f(x)=x2-2x+2 ,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值g(t)的表达式.3.(本小题12分)已知,(1)判断的奇偶性并用定义证明；(2)当时，总有成立，求的取值范围.4.方程的实数解所在的区间是 ( )B. C. D.5.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与.①②①③ C.③④ D.①④6.下列几个命题，正确的有____________.（填序号）①方程有一个正实根，一个负实根，则；②若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m的取值范围为③若为偶函数，则有；④函数的图像可由函数向右平移1个单位得到.7.全集U＝｛0,1,3,5,6,8｝,集合A＝{ 1，5, 8 },B={2},则集合（）{0,2,3,6} { 0,3,6,} C. {2,1,5,8,} D.8.已知，则的值为（）0 2 19.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（）A B C D10.已知,且,则的值为____________.11.设（）2e 2C.12.函数在上是增函数，则实数的范围是≥≥C.≤D.≤13.若二次函数满足,则b的值为（）－1 B．1 C．2 D．－214.设，，，则的大小顺序为B. C. D.15.函数的图象一定过定点P，则P点的坐标是 .16.已知为上的奇函数，当时，，则当时，____________________.17.y=的单调减区间为（）C．D．18.等于 ( )-4 C． D．419.(本小题8分)设函数是定义域在的函数，且，对于任意的实数，都有，当>0时，.(1)求的值；(2)判断函数在的单调性并用定义证明；(3)若，解不等式.20.函数的定义域是（）C.D.第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：2.参考答案：3.参考答案：(1) 奇函数(2)4.参考答案：C5.参考答案：C6.参考答案：.①④7.参考答案：A8.参考答案：A9.参考答案：C10.参考答案：11.参考答案：C12.参考答案：B13.参考答案：C14.参考答案：B15.参考答案：(1,4)16.参考答案：17.参考答案：C18.参考答案：D19.参考答案：(1) (2) 是上是增函数. (3)20.参考答案：A。
甘肃省兰州一中—学高一数学上学期期中试题
甘肃兰州一中2014—2015学年度上学期期中考试高一数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.）1．已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x = （ C ） A.0 B.4- C.0或4- D.0或4±2．函数232--=x x y 的定义域是 （ B ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23 B ．()+∞⎪⎭⎫⎢⎣⎡,22,23Y C ．()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,22,23Y D ．(,2)(2,)-∞+∞∪3．点),(y x 在映射B A f →：作用下的象是),(y x y x -+，则点(3,1)在f 的作用下的原象是 （ A ） A ．()2,1 B ．()4,2 C ．()1,2 D ．()4,2-4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是 （ A ）.(),()A f x x g x ==2.()()B f x g x ==21.(),()11x C f x g x x x -==+-.()()D f x g x ==5．幂函数)(x f y =的图像经过点)81,2(--，则满足27)(=x f 的x 的值为 （ D ） A.3 B.271 C.27 D.316．已知函数1)1f x +=+，则函数f(x)的解析式为 （ C ）A ．f(x)=x2B ．f(x)=x2＋1(x≥1)C ．f(x)=x2－2x ＋2 (x≥1)D ．f(x)=x2－2x(x≥1)7．设322555223(),(),()555a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 （ C ） A. a b c >> B. c a b >> C. a b c << D. b c a >>8．若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，且在),0(+∞内是增函数，又0)2(=f ，则不等式0)(<x xf 的解集为 （ B ）A ．()()2,02,-+∞UB ．()()2,00,2-UC ．()(),22,-∞-+∞U D ．()(),20,2-∞-U9．函数xx x f 243)(-⋅=在[)∞+∈，0x 上的最小值是 （ C ） A. 112-B .0 C.2 D.1010．设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的取值范围是 （ D ） A.]2,1[- B.]2,0[ C.),1[+∞ D.),0[+∞11．设,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的两个实根,则(x -1)2+(y -1)2的最小值是 （ B ）A ．． 1241B ．8C ．18D ．4312．设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x －2)＝f(x ＋2)，且当[]2,0x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f(x)－loga(x ＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 ( D )A ．(1,2)B ．()2,+∞ C．( D．)2二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.13．函数)45(log )(22+-=x x x f 的单调递减区间是 . )1,(-∞ 14．函数y ＝12x ＋1的值域是___________【答案】 (0，1)15．已知函数122)(+-=x xb x f 为定义在区间[]13,2--a a 上的奇函数，则=+b a ________【答案】 216．定义在R 上的函数)1(,0)()2(:)(+=++x f x f x f x f 且函数满足为奇函数，对于下列命题：①函数)(x f 满足)()4(x f x f =+； ②函数)(x f 图象关于点（1，0）对称；③函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称； ④函数)(x f 的最大值为)2(f ；⑤0)2009(=f ．其中正确的序号为________．【答案】①②③⑤三、解答题：（本大题共5小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分6分） 设集合{}|11A x a x a =-≤≤+，集合{}|15B x x =-≤≤，（1）若5a =，求A B I ； （2）若A B B =U ，求实数a 的取值范围. 【答案】 （1）[]4,5A B =I(2) 04a ≤≤18.（本大题共2个小题，每小题4分，共10分）（1）若0,0a b >>，化简：211133221566(2)(6)(41)3a b a b a a b⋅----（2）若2log 3a=，5log 2b=，试用,a b 表示2log 45【答案】（1）212111113332232215156666(2)(6)2(6)(41)(41)33a b a b aba a a ba b++⋅-⨯-⋅--=⋅----756615664(41)4(41)1a b a a a a b=⋅--=--=（2）∵222222log 45log (59)log 5log 9log 52log 3=⨯=+=+而5log 2b=，则21log 5b =，∴2121log 452ab a b b +=+=.19. （本小题满分10分）已知x x x f +-=11log )(2.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在定义域上的单调性并用单调性的定义证明．【答案】：解：（1）若()21log 1x f x x -=+有意义，则101xx ->+，解得定义域为（-1,1），关于原点对称.又因为()()2211log log 11x x f x f x x x +--==-=--+所以()f x 为奇函数.（2）函数()f x 在定义域（-1,1）上单调递减.证明：任取()1212,1,1x x x x ∈-<且，()()()()()()()()()()12122212122122121211log log 1111log 1111log 11x x f x f x x x x x x x x x x x ---=-++-+=+-+-=+-因为()1212,1,1x x x x ∈-<且，所以()()()()2121121211111,1,11111x x x x x x x x +-+->>>+-+-即()()120f x f x ->所以()f x 在区间（-1,1）上为减函数.20. （本小题满分10分）已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=． （1）写出函数R x x f ∈),(的解析式；（2）若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ，求函数)(x g 的最小值()h a . 【答案】（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩ （2）①当11a +≤时，即0a ≤min ()(1)12g x g a==-②当112a <+<时，即01a <<2min ()(1)21g x g a a a =+=--+③当12a +≥时，即1a ≥min ()(2)22g x g a==-综上：212,0()21,0124,1a a h a a a a a a -≤⎧⎪=--+<<⎨⎪-≥⎩21. （本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1x y ∈-,0x y +≠ 有[]()()()0x y f x f y +⋅+>.(1)判断()f x 的单调性,并加以证明;(2)解不等式1()(12)2f x f x +<-;(3)若2()21f x m am ≤-+对所有]1,1[-∈x ,[]1,1a ∈-恒成立,求实数m 的取值范围. (1)证:任取]1,1[,21-∈x x ,且21x x <,则012>-x x 由题意0)]()()[(1212>-+-x f x f x x因为()f x 为奇函数,所以0)]()()[(1212>--x f x f x x 所以0)()(12>-x f x f ,即)()(12x f x f >所以()f x 在]1,1[-上单增 …………4分(2)由题意,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-xx x x 212112111211所以,610<≤x …………8分(3)由()f x 在]1,1[-上单增,1)1()(max ==f x f由题意,1212+-≤am m ,即022≥-am m 对任意[]1,1a ∈-恒成立令22)(m ma a g +-=,[]1,1a ∈-⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥+=-02)1(02)1(22m m g m m g所以0=m 或2-≤m 或2≥m综上所述,∈m 0|{=m m 或2-≤m 或}2≥m …………12分。
甘肃省兰州市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(无答案)
2024—2025学年度第一学期高一年级数学期中试题一、单选题（每小题6分，共40分.）1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.已知命题：，，命题：，.则（）A.和都是真命题B.和都是真命题C.和都是真命题D.和都是真命题3.地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了.平流层是指地面以上到的区域，下述不等式中，能表示平流层高度的是（ ）A. B. C. D.4.已知函数，且，则（ ）A.1B.2C.3D.65.已知正数、满足，不等式恒成立.则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.7.世界上海拔最高的天然“心形湖”位于四川省康定县的情歌木格措景区，被誉为藏在川西的“天空之心”.这个湖泊位于青藏高原，呈现出明亮的蓝绿色，水质清澈宛如明镜.湖泊周围环抱着雪山和梅花峰，景色优美迷人.下图1是这个“心形湖”的轮廓，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）{}11A x x =-<<{}02B x x =≤≤A B = {}12x x -<<{}12x x -<≤{}01x x ≤<{}02x x ≤≤p x ∀∈R 20x >q 0x ∃>3x x =p q p ⌝q p q -p ⌝q ⌝1000km 10km 50km x 3020x -<3020x +<1050x +<1050x -<()21,21,237,3x f x x x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩()02f x =0x =x y()()122x y --=32x y m +>m (,4-∞+()6++∞(,7-∞+()8++∞()25,1,1x ax x f x a x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩12x x ≠()()()21210x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦a (]0,3[)2,+∞()0,+∞[]2,3x图1 图2A. B. C. D.8.定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）A. B.C. D.二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得分.）9.下列四个图形各表示两个变量，的对应关系，其中表示是的函数关系的是（ ）A. B.C.D.10.下列说法正确的是（ ）A.已知，，则；B.命题“，”的否定是“，或”C.函数的定义域为，则函数的定义域为yy =y =y =R ()f x ()0,+∞103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()202f x x ≤-)13⎛⎤-+∞⎥⎝⎦(11,,033⎡⎫⎡-∞-⎪⎢⎢⎣⎭⎣ {})103⎛⎤-+∞⎥⎝⎦ (11,,033⎡⎤⎡-∞-⎢⎥⎢⎣⎦⎣ x yyx 11x y -≤+≤13x y ≤-≤2328x y ≤-≤x ∃∈R ()12f x <≤x ∀∈R ()1f x ≤()2f x >()1f x -()1,2-()2f x +()3,0-D.若，，则11.已知函数的定义域为，，且当时，，则下列说法正确的处（ ）A.是奇函数B.为增函数C.若实数满足不等式，则的取值范围为D.三、填空题（每小题6分，共15分.）12.函数的定义域是______.13.已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数的范围是______.14.俄国数学家切比雪夫是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数（，），切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.若（），，则函数与的“偏差”取得最小值时，的值为______.四、解答题（本题共5小题，共77分.）15.（13分）已知全集，集合，.（I ）当时，求，；（2）若，求的取值范围.（3）若是的______条件，求实数的取值集合.请从下面两个条件中选择一个，填在上面横线中，使得的取值集合非空.①必要不充分②充分不必要16.（15分）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.0a b >>0c >b c ba c a+<+()f x ()1.1-()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭(]0,1x ∈()0f x >()f x ()f x a ()()210f a f a +->a1,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭111236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()043f x x =--()221420x m x m +-+-=m I ()f x ()g x kx m =+k m ∈R ()()y f x g x =-x I ∈()f x ()g x ()2f x x =[]0,4x ∈()4g x x m =+()f x ()g x m UR =502x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭{}11,B x a x a a =-<<+∈R 2a =U A ðU A B ðA B =∅ ax A ∈x B ∈aayx21200800002y x x =-+（1）该单位每月处理盘为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？17.（15分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（l ）当时，求的解析式；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）若对于恒成立，求的取值范围.18.（17分）已知函数，.（1）若函数在上单调递减，求的取值范围.（2）讨论函数的零点个数.（3）解关于的不等式.19.（17分）已知函数的图象过点，且满足.（l ）求函数的解析式；（2）求函数在上的最大值：（3）若满足，则称为函数的不动点.若函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值.()f x R 0x ≥()23xf x x =+0x <()f x ()f x [)0,+∞()()2120f x f ax +++≥[]2,3x ∀∈a()()2213f x mx m x =-++m ∈R ()f x ()0,+∞m ()f x x()f x mx ≤()22f x x mx n =++()0,1-()()12f f -=()f x ()f x [],2a a +()h a 0x ()00x x ϕ=0x ()y x ϕ=()()g x f x tx t =-+1x 2x 10x >20x >1221x x x x +。
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量检测数学试卷
甘肃省兰州第一中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量检测数学试卷一、单选题1．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，，2．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．83．不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，则函数2y ax x c =++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为A ．B ．8C ．9D ．105．以下函数在R 上是减函数的是（）A ．2y x =-B ．12log y x=C ．1y x=D ．1()2xy =6．2()log 5f x x x =+-的零点所在区间为（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,57．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用1S ，2S 分别表示乌龟和兔子所行的路程(t 为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A ．B ．C ．D ．8．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（）A ．1665B ．5665C ．865D ．47659．已知当x ∈(1，+∞)时，函数y =x α的图象恒在直线y =x 的下方，则α的取值范围是（）A ．0<α<1B ．α<0C ．α<1D ．α>1二、多选题10．21x ≤的一个充分不必要条件是（）A ．10x -≤<B ．1x ≥C ．01x <≤D ．11x -≤≤11．已知正数a ，b ，则下列不等式中恒成立的是（）A ．a b++B ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C 22≥D ．2aba b>+12．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（）A ．0B ．1C ．32D ．313．下列函数中，既是偶函数又在(0,3)上是递减的函数是（）A ．21y x =-+B ．3y x =C ．||1y x =-+D ．y =三、填空题14．不等式2450x x --+≤的解集为．（用区间表示）15．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B ⋃=R ，则实数a 的取值范围是______________________.16．定义在()(),00,-∞+∞ 上的奇函数op 若函数op 在()0,+¥上为增函数，且()10f =则不等式()0f x x<的解集为．17．若关于x 的不等式2log 0a x x -<在(0,2内恒成立，则a 的取值范围是．四、解答题18．设集合{|25}A x x =-≤≤,{|121}B x m x m =-≤≤+.（1）若A B =∅ ，求m 的范围；（2）若A B A = ，求m 的范围.19．（1）设12tan α=-，求2212sin sin cos cos αααα--的值；（2）已知cos （75°+α）13=，且﹣180°＜α＜﹣90°，求cos （15°﹣α）的值．20．设集合{}2320A xx x =-+=∣，集合(){}22150B x x a x a =+-+-=∣．(1)若{}2A B = ，求实数a 的值；(2)若A B A = ，求实数a 的取值范围．21．已知函数()211x f x x -=+.(1)求函数的定义域；(2)试判断函数在()1,∞-+上的单调性；(3)试判断函数在[]3,5x ∈的最大值和最小值.22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数（1）求a 的值（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性（3）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．23．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求,a b 的值；(2)若(1)2f =，①0,0a b >>，求14a b+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．。
甘肃省兰州一中高一数学上学期期中试题.doc
甘肃兰州一中-1高一期中考试数学试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在试卷的答题卡中.） 1.如果=⋂===B A C B A U U )(},5,4,2{},4,3,1{},5,4,3,2,1{那么( )A ．φB ．{1，3}C ．{2，5}D ．{4}2.已知==)(,)(2x f x f 则π( )A ．2π B ．π C ．π D ．不确定3.如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，那么函数f (x 2－1)的定义域是（ ）A ．[0，2]B ．[－1,1]C ．[－2，2]D ．[－2，2]4．已知集合}1,log |{3>==x x y y A ，}0,3|{>==x y y B x，则=⋂B A ( )A ．}310|{<<y yB ．}0|{>y yC ．}131|{<<y y D ．}1|{>y y 5.设{}06A x x =≤≤，{}02B y y =≤≤,从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）A ．1:3f x y x →=B .1:2f x y x →= C ．1:4f x y x →= D ．1:6f x y x →=6．函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数33)(3--=x x x f 有零点的区间是（ ）A ．（- 1 ，0）B .（0，1）C .（1，2）D .（2，3）8.若函数()log (01)a f x x a =<<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A ．42 B ． 22 C ． 41 D ． 219.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,0,)21()(21x x x x f x，若)(a f >1，则a 的取值范围是（ ）A ．(－1,1)B ． ),1(+∞-C ． ),0()2,(+∞⋃--∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞10．函数f (x )=51log (x 2－3x +2)的单调增区间为（ ）A .（－∞，1） B.（2，+∞） C .（－∞，23） D.（23，+∞） 11．已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ）A .25a ≤B. 0a ≤ C .25a ≥或0a = D . 25a ≥ 12．若11|log |log 44aa =，且|log |logb b a a =-，则,a b 满足的关系式是（ ） A ．1,1a b >>且 B ．1,01a b ><<且 C ．1,01b a ><<且 D ．01,01a b <<<<且二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2021-2022学年甘肃省兰州一中高一上学期期中数学复习卷(含解析)
2021-2022学年甘肃省兰州一中高一上学期期中数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知⌀表示空集，N 表示自然数集，则下列关系式中，正确的是( )A. 0∈⌀B. ⌀⊆NC. 0⊆ND. ⌀∈N 2. 设，，则从到的映射有( )A. 7个B. 8个C. 9个D. 10个 3. 已知集合A ={x|3x 2−4x +1≤0}，B ={x|y =√4x −3}，则A ∩B =( )A. [34,+∞)B. [34,1]C. [13,1]D. [0,1] 4. 函数y =lg(1−x)+√−x 2+x +2的定义域是( )A. [−2,1]B. [−1,1)C. [−1,2]D. (1,2] 5. 设a ∈{−1,1，13，23}，则使函数y =x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为( )A. −1,13B. 1,23C. 1,13D. 1,23 6. 已知指数函数y =a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则实数a 的值为( )A. 14B. 12C. 2D. 4 7. 设a =(12)log 312，b =2log 1323，c =2log √343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <b <cB. c <b <aC. b <a <cD. b <c <a 8. 已知函数f(x)=2x ，等差数列{a n }的公差为2.若f(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4，则log 2[f(a 1)⋅f(a 2)⋅f(a 3)⋅…⋅f(a 10)]=( )A. 8B. 4C. −6D. 14 9. 若不等式log a (ax 2−2x +1)>0(a >0，且a ≠1)在x ∈[1,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (0,1)∪(2,+∞)D. (0,12) 10. 函数f(x)=x 2+|x|( )A. 是偶函数，在(−∞,+∞)上是增函数B. 是偶函数，在(−∞,+∞)上是减函数C. 不是偶函数，在(−∞,+∞)上是增函数D. 是偶函数，且在(0,+∞)是增函数11. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )A. y =lnxB. y =xC. y =−x 3D. y =e x +e −x12. 下列有关命题的说法正确的是( )A. 若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题．B. 命题“若x =y ，则sinx =siny ”的逆否命题为假命题．C. 命题p ：∃x >0，sinx >2x −1，则￢p 为：∀x >0，sinx ≤2x −1．D. 命题“若x 2−x =0，则x =0或x =1”的否命题为“若x 2−x ≠0，则x ≠0或x ≠1”．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)满足2f(x−1x )+f(x+1x )=1+x ，其中x ∈R 且x ≠0，则函数f(x)的解析式为______ ．14. 若关于x 的方程x 2+2(a −1)x +2a +6=0有一正一负两实数根，则实数a 的取值范围______ ．15. 函数f(x)=log a (x 2−x)在[2,4]上是增函数，则实数a 的取值范围是______ ．16. 对于定义在R 上的函数f(x)，有以下说法：①直线x =a 与y =f(x)的图象必有公共点；②若f(x)在(−∞,1)是增函数，在[1,+∞)也是增函数，则函数f(x)在R 一定是增函数；③若f(x)为奇函数，则一定有f(0)=0；④若f(−1)≠f(1)，则函数f(x)一定不是偶函数．上述说法正确的是______.(请写出所有正确的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)求值：lg2lg50+lg5lg20−log 34log 23lg2lg5；(2)已知log 56=a ，log 54=b.用a ，b 表示log 2512．18. 已知集合A ={x|2≤x ≤6}，集合B ={x|x ≥3}．(1)求C R (A ∩B)；(2)若C ={x|x ≤a}，且A ⊆C ，求实数a 的取值范围．19. 已知集合A 是满足下列条件的函数f(x)的全体：在定义域内存在实数x 0，使得f(x 0+1)+f(x 0)=f(1)成立．(1)判断幂函数f(x)=x −1是否属于集合A ？并说明理由；(2)设g(x)=lg 2x +a b ，x ∈(−∞,2)，①当b=1时，若g(x)∈A，求a的取值范围；②若对任意的a∈(0,2)，都有g(x)∈A，求b的取值范围．20.已知函数f(x)=x+2x(1)判断函数的奇偶性；(2)试用定义判断f(x)在(0,+∞)上的单调性．(3)当x∈[1,3]时，求f(x)的取值范围．21.已知函数f(x)=lg2xax+b ，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)−f(1x)=lg x．(1)若不等式f(x)≤lg t的解集为A，且A⊆(0,4]，求实数t的取值范围；(3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为⌀，求实数m的取值范围．22.设函数f(x)=1−x1+x．(Ⅰ)若f(a)=−13，求实数a的值；(Ⅱ)求证：f(1x)=−f(x)(x≠0且x≠−1)；(Ⅲ)求f(12012)+f(12011)+⋯+f(12)+f(1)+f(2)+⋯+f(2011)+f(2012)的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵空集是任何集合的子集，∴⌀⊆N ．故选：B ．利用空集是任何集合的子集，即可得出结论．本题考查集合的关系，比较基础．2.答案：C解析：试题分析：解：由映射的定义知A 中1在集合B 中有1或0与2对应，有三种选择，同理集合A 中00也有三种选择，由乘法原理得从到的不同映射共有3×3=9个故选C考点：映射的概念点评：本题考查映射的概念、乘法原理，正确把握映射的定义是解题的关键，注意从B 到A 的映射和从A 到B 的映射是不同的映射．3.答案：B解析：分别求出集合A ，B ，利用交集定义能出A ∩B.本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．解：∵集合A ={x|3x 2−4x +1≤0}={x|13≤x ≤1}，B ={x|y =√4x −3}={x|x ≥34}，∴A ∩B ={x|34≤x ≤1}=[34,1]. 故选B ． 4.答案：B解析：解：要使原函数有意义，则：{1−x >0−x 2+x +2≥0； 解得−1≤x <1；∴原函数的定义域是：[−1,1)．故选：B ．可看出，要使得原函数有意义，则需满足{1−x >0−x 2+x +2≥0，解出x 的范围即可． 本题考查函数定义域的求法，属于基础题．5.答案：C解析：解：当a=−1时函数y=x−1的定义域为{x|x≠0}，不满足条件．定义域是R，当a=1时函数y=x的定义域为R，是奇函数，满足条件．当a=13时函数y=x 13=3x的定义域为R，函数是奇函数，满足条件．，当a=23时函数y=x 23=3x2的定义域为R，函数为偶函数，不满足条件故满足条件的a=1或13，故选：C分别根据幂函数的想结合定义域和奇偶性进行排除判断即可．本题主要考查幂函数的性质，根据函数奇偶性和定义域的性质分别进行判断是解决本题的关键．6.答案：C解析：解：由题意，指数函数y=a x在[0,1]上是单调函数，故函数的最值在区间的两个端点处取到，又指数函数y=a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，∴a+1=3，解得a=2．故选C．由于指数函数y=a x在[0,1]上是一个单调函数，故函数在这个区间上的最值一定在端点处取到，由此知，求出两个函数端点处的函数值，由它们的和是3建立关于参数a的方程解出答案，再选出正确选项．本题考查指数函数单调性的应用，熟练掌握指数函数单调性，由性质判断出最值在何处取到是解题的关键，由指数函数的单调性判断出函数最值在区间的两个端点处取到是解题的难点、重点．7.答案：D解析：解：a=(12)log312=2log32b=2log1323=2log332，c=2log√343=2log3169，∵对数函数y=log3x在(0,+∞)上单调递增，且32<169<2，∴log332<log3169<log32，又∵指数函数y=2x在R上单调递增，∴2log332<2log3169<2log32。
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甘肃省兰州一中高一上学期期中考试数学试题
一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的4个选项
中只有一项是符合题目要求的,请将正确答案的序号填入答题卡的表格中.）（交卷只交答题卡） 1.设集合}3{<∈=x R x M ，3=a ,则下列选项正确的是 （ ） A. M a ∉ B. M a ∈}{ C. M a ⊆ D. M a ⊆}{ 2.下列各函数图象中，表示函数3
1
-=x y 的是 （ ）
3.已知集合]4,0[=A ，]2,0[=B ，下列从A 到B 的对应关系f ，A x ∈，B y ∈,不是从A 到B 的映射的是 （ ）
A.x y x f =→:
B. x y x f 3
2
:=→
C. x y x f 21:=→
D. 28
1
:x y x f =→
4.某种细菌在培养过程中，每15min 分裂一次（由1个分裂成2个），这种细菌由1个分裂成4096个需要经过 （ ） A.12h B.4h C.3h D. 2h
5.定义在R 上的奇函数在)(x f ),0(+∞上的表达式为,)(x x x f +=
上的在则)0,()(-∞x f 表达式为 （ ） A. x x -- B. x x +- C. x x -+- D. x x --- 6. 16log 5log 10log 225log 5444⋅+-的值是 （ ） A. 2 B.－1 C. －2 D. 1
7.已知函数)1,0(log ≠>=a a x y a 与其反函数的图象有交点,设交点的横坐标为
0x ，则 （ ）
A. 110>>x a 且
B. 10100<<<<x a 且
C. 1010<<>x a 且
D. 1100><<x a 且
8.已知3
12
128.1,2,1.0log ===c b a 则,,a b c 的大小关系是 （ ）
A. a b c <<
B. c a b <<
C. a c b <<
D. b c a <<
9.设)(x f 是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上为增函数，且0)3
1
(=f ，则不等
式0)(log 8
1>x f 的解集为 （ ）
A. ),2()21
,0(+∞⋃ B. ),2(+∞
C. ),2()1,2
1(+∞⋃ D. )21
,0(
10.设函数),0(ln 31
)(>-=x x x x f 则函数)(x f y = （ ）
A.在区间),1(),1,1
(e e 内均有零点
B.在区间),1(),1,1
(e e 内均无零点
C.在区间)1,1
(e 内有零点，在区间),1(e 内无零点
D.在区间)1,1
(e 内无零点，在区间),1(e 内有零点
11.已知)2(log )(ax x f a -=在]1,0[上为减函数，则a 的取值范围为（ ）
A.（0，1）
B. （0，2）
C. （1，2）
D. ),2[+∞
12.设奇函数)(x f 在]1,1[-上是增函数，且1)1(-=-f ，若对所有的]1,1[-∈x 及任
意的]1,1[-∈a 都满足12)(2+-≤at t x f ，则t 的取值范围是（ ）
A. 022=-≤≥t t t 或或
B.02
1
21=-≤≥t t t 或或
C. 2
121≤≤-t D. 22≤≤-t
二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13.函数27
1
312-
=-x y 的定义域是 . 14.函数)2(log 23
1x x y -+=的单调递减区间是 .
15.若函数⎩⎨⎧<+≥=)4(,)2()
4(,2)(x x f x x f x ，则)3(log 21f 的值为 .
16.函数)(x f 对0>x 有意义，且满足1)2(=f ，)()()(n f m f mn f +=,)(x f 为增函数．如果2)3()(≤-+x f x f ，则实数x 的取值范围是 .
三、解答题：（写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共48分.）
17.(本小题8分)（1）(4分)求值1
3256)71
(027.0143
23
1+-+-----
（2）(4分) 设20≤≤x ，求函数524121+-=+-x x y 的最大值和最小值.
18. (本小题8分)求实数m 的取值范围，使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++= （1）有两个实根，且都大于1.
（2）有两个实根α、β，且满足014αβ<<<<.
19.(本小题10分)设=A {}{}222|40,|2(1)10,x x x B x x a x a +==+++-= （1）若A B B =，求 a 的值. （2）若A B B =，求 a 的值.
20. (本小题10分)已知函数)12lg()(2++=x ax x f .
(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的范围.
(2)若)(x f 的值域为R ，求实数a 的范围.
21. (本小题12分)已知函数)(log )(x a a a x f -=. (1) 当1>a 时，求)(x f 的定义域、值域. (2) 当1>a 时，判断)(x f 的单调性,并用定义证明. （3）解不等式)()2(2x f x f >-.
兰州一中2012—2013—1学期高一年级数学期中试卷答案
一、选择题：（本大题共12小题,每小题3分,共36分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
C
B
C
A
D
B
C
A
D
C
A
二、填空题 ：(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 13. ),1[+∞- 14. ]21
,1(- 15.
3
64
16. ]4,3( 三、解答题：（共48分）17. (本小题8分)（1）解:19
18. (本小题8分)（1）0(1)02(1)
1
2f m ⎧
⎪∆≥⎪>⎨⎪-⎪->⎩
5
14m ∴-<≤-
（2）(0)0
(1)0(4)0
f f f >⎧⎪
<⎨⎪>⎩
7554m ∴-<<-
（2）由A B B B A =⇔⊆，又{}0,4A =-，故
①当B =∅时，2
2
4(1)4(1)0a a ∆=+--<， 解得1a <-； ②当{}{}04B =-或时， 224(1)4(1)0a a ∆=+--=，解得1a =-， 此时{}0B =，满足B A ⊆；
③当{}0,4B =-时，2224(1)4(1)0
2(1)4
10a a a a ⎧∆=+-->⎪-+=-⎨⎪-=⎩
， 解得1a =. 综上所述，实数a 的取值范围是1a =或者1a ≤-.
20. (本小题10分)解：(1)若f (x )的定义域为R ，则关于x 的不等式ax 2
＋2x ＋1＞0的解集为R ，即
⎩⎨
⎧<-=>0
440
a Δa ，解得a ＞1
(2)若f (x )的值域为R ，则ax 2
＋2x ＋1能取一切正数
∴a ＝0或⎩
⎨⎧≥-=>0440
a Δa ，解得0≤a ≤1
1log a =0,即f(x 1)＞f(x 2).∴f(x)为减函数.
(3) 当1>a 时，x 2
－2＜x,即 x 2
－x －2＜0,解得－1＜x ＜2.
又函数f(x)定义域为(－∞,1),即⎩
⎨⎧<-<121
2x x 故所求不等式的解为－1＜x ＜1.
当10<<a 时， )(log 2
2
--x
a a a ＞)(log x a a a -,∴2
2
-x
a ＞a x ,∴x 2
－2＜x ，解得－1＜x
＜2. 又函数f(x)的定义域为(1，+∞)，即⎩⎨
⎧>->1
21
2
x x 故所求不等式的解为23<<x 综上，当1>a 时，所求不等式的解集为}11{<<-x x
当10<<a 时，所求不等式的解集为}23{<<x x。