第四讲椅子放稳模型.pdf
椅子放平稳问题-数学建模
椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题.问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1.模型假设 (文字转化为数学语言)(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；(2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.2.模型建立 （运用数学语言把条件和结论表现出来）设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。
因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。
由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。
则该问题归结为：已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得：0)()(00==θθg f3.模型求解 （找出0θ）证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2πθ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。
则有0)2(,0)2(>=ππg f定义：)()()(θθθg f H -=，所以0)]2()0([)2()0(<-=ππg f H H 根据连续函数解的存在性定理，得：存在)2,0(0πθ∈使得：0)()()(000=-=θθθg f H ； 又 0)()(00=θθg f 所以0)()(00==θθg f 即 当0θθ=时，四点均在同一平面上。
§1.3.1 椅子的摆放问题
1.3 一些基本的数学建模示例1.3.1椅子的摆放问题椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。
模型准备仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。
如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。
为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：模型假设1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。
（对地面的假设）3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）根据上述假设做本问题的模型构成：模型构成Array用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐标系如图1-1。
图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四只脚的对角线。
于是由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度θ来唯一表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为θ的函数。
注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地情况。
本题引入两个函数即可以描述椅子四个脚是否着地情况。
记函数f(θ)为椅脚A和C与地面的垂直距离之和。
函数g(θ)为椅脚B 和D与地面的垂直距离之和。
则显然有f(θ)≥0、g(θ)≥0，且它们都是θ的连续函数（假设2）。
由假设3，对任意的θ，有f(θ)、g(θ)至少有一个为0，不妨设当θ=0时，f(0)>0、g(0)=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：数学命题（问题1的数学模型）已知f(θ)、g(θ)都是θ的非负连续函数，对任意的θ，有f(θ) g(θ)=0，且f(0) >0、g(0)=0 ，则有存在θ0，使f(θ0)= g(θ0)=0。
生活中的若干建模实例3
p1 p2 这时不公平程度可用 来衡量。 n1 n2 如 p1 120, p2 100, n1 n2 10 p1 p2 则 2 n1 n2
又如 p1 1020, p2 1000, n1 n2 10
pபைடு நூலகம் p2 不妨设 > n1 n2
p1 p2 则 2 n1 n2
显然 p1 - p2 只是衡量的不公平的绝对程度，但是
Q1最大，于是这1席应分给甲系.
Q3最大，于是这1席应分给丙系.
评注
1.席位的分配应对各方都要公平 2.解决问题 的关键在于建立衡量公平程度既合 理又简明的数量指标。 这个模型提出的相对不公平值 它是确定分配方案的前提.
rA , rB
§3 双层玻璃窗的功效问题
我们注意到北方有些建筑物的窗户是双层的，即 窗户装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图所示 墙 墙
当总席位增加1席时,计算
Qi p i2 ni ( ni 1) , i =1,2， ，m
则增加的一席应分配给Q值大的一方. 这种席位分配的方法称为Q值法. 下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙 丙三系分配21个席位的问题.
先按照比例将整数部分的19 席分配完毕,有
n1 10，n2 6，n3 3
由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以 对于任意的θ， f ( ), g( ) 至少有一个为0.
当θ=0时，不妨设
g(0) 0, f (0) 0
这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结 为证明如下的数学命题：
已知f ( )和g ( )都是 的连续函数，对任意 ， f ( ) g ( ) 0且g ( 0) 0，f ( 0) 0，则存在 0使 f ( 0 ) g ( 0 ) 0
椅子能在不平的地面放稳的数学模型
椅子能在不平的地面放稳的数学模型下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗(谷风经验)
长方形椅子能否在不平的地面上放稳？一、问题提出在日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地，课本上已经证明了四条腿正方形连线的椅子能放平，现在建模说明长方形椅子的情况。
二、模型假设首先对椅子和地面做一些必要的假设（同正方形椅子一致）：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形；（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地；三、模型构成首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。
生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。
然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的，于是可将椅子就地旋转，并在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。
椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。
于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐标系来解决问题。
如下图1所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。
椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤2π）表示出椅子绕点O旋转θ后的椅子的位置。
图1 变量θ表示椅子的位置其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。
由上述假设可知，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。
由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。
而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。
2.2椅子放稳
π
π
π
π
π
由介值定理，有
θ 0 ∈ (0, ) ，使 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) 2
π
（1）
又对 θ , f (θ ) g (θ ) = 0, 且 f (θ ) 、 g (θ ) 至少一个为 0。 故 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) = 0 ，即经转动 θ 0 角度后椅子放稳了。 问题 1、对四只脚为长方形的椅子，结论是否成立？ 2、某人早 8 时从山下上山，于晚 5：00 到达山顶，次日上 午 8 时又从山顶下山，于晚 5：00 又回到山下，是否可认为他 在两天的同一时刻位于山上同一地点。
椅子放稳
一张正方形椅子，它的四任何位置都至少有三只脚同时着地。是否可以经过 稍挪动几下，就能四只脚同时着地？ 假设以椅子中心为原点 o ，椅子的挪动绕 o 旋转，则对角线 AC 与 x 轴夹角 θ 表示了椅子的位置。记： B B＇ A＇ f (θ ) ——A、C 两脚与地面距离之和， f (θ ) ≥ 0 。 θ C A g (θ ) ——B、D 两脚与地面距离之和， g (θ ) ≥ 0 。 C＇ 由于 θ 的连续变化， f (θ ) 、 g (θ ) 均为 θ 的连续 D＇ D h (θ ) = f (θ ) g (θ ) 。 函数，记 考虑 θ 从 0 → π 2 ， 对角线 AC 与 BD 互换， 不妨假设 f (0) = 0 ， g (0) > 0 ， 则 且
椅子放稳问题另解
ｏ ｈ ｈ ｉ ａ ｄｔ ｅ ｆ ｏ ｄ ｅｗｈ ｔ ｅ ｈ ｇ ｆ ｈ ｈ ｉ ｔ ｕ ｈ ｄｔ ｅｆ ｏ ．Ｉ ｉ ｐ ｐ ｒ ａ ｏ ｈ ｒｗ ｙｉ ｕ ｅ ｏｐ ｏ ｅｔ ａ ｈ ｈ ｉ ｆ ｅｃ ａｒ ｎ ｈ ｌ ｒｔ ｊ ｇ ｅ ｈ ｒ ｅｌ ｓｏ ｅｃ ａ ｃ ｅ ｈ ｌ ｒ ｎ ｔ ｓ ａ ｅ ， ｎ ｔ ｅ ａ ｓ ｓ ｄｔ ｒｖ ｈ ｔ ｅｃ ａｒ ｔ ｏ ｏｕ ｔ ｅ ｔ ｒｏ ｏ ｈ ｔ ｓａ ｄ ｔａ ｉ ｙ ｍｏ ｉｇ ａ ｉ ｌ ，ｗ ｉｈｉ ｔ ｓ ｅ ｎ ｌ ｅｗｅ ｎｔ ｅｌ ｓ ｆ ｈ ｈ ｉ ａ ｄｔ ｅ ｐ ｒｉｅ ｔ ｉ ｏ ａ ｔ ｄ ｅｗｈ ｔ ｅ ｈ ｇ ｔ ｎ ｓｓｅ ｄｌ ｂ ｖ ｔ ｅ ｈ ｃ ｏｕ ｅ ｈ ｇｅｂ ｔ ｅ ｈ ｇ ｅ ａｒ ｎ ｈ ｅ ｔ ｎ ａ ｎ ｌ ｏｊ ｇ ｅ ｈ ｒｔ ｅｌ ｓ ｙ ｎ ｌｔ ｓ ｔ ａ ｅ ｏｔ ｃ ｎ ｄｇ ｕ ｅ
ＣＨＥ Ｘｕ ．ｉ Ｎ ｅ １
（ ｅＭ ａｔ ｔｆ Ｒｏ ｍ ，Ｚｈ Ｊａ ｇ ｅ ｈ ｉａ Ｈｅ ，Ｐｏ ｔａ ｌｃ ｍ ｍｕ ｉａｉｎ Ｔｈ ｈＳａ ｏ ｅ ｉｎ Ｔ ｃ ｎ ｃｌＣｏ ｇｅＤ ｓ ｎｄ Ｔｅｅ ｏ ｎｃ ｔｏ ｓ。Ｓ ａ ｘ ｎ ３ ２ １ Ｃｈｎａ ｈ ｏ ｉｇ １ ０ ６， ｉ ）
ｏ ｈ ｈ ｉ ｏ ｃ ｈ ｌ ｏ ． ｆｔ ｅ ｃ ａ ｒ ｔ ｕ ｈ ｔ ｅ ｆｏ ｒ Ｋｅ ｒ ｓ ｈ ｉ ；ｔ ｕ ｈ ｔ ｅ ｆｏ ｒ ｙ ｗｏ ｄ ：ｃ ａｒ ｏ ｃ ｈ ｌ ｏ ；ｍｏ ｅ ；ｐ ｒ ｌ ｌ ｇ ａ ；ｃ ｎ ｉ ｕ ｕ ｕ ｃ ｉ ｎ ｄ ｌ ａ ａｌ ｏ ｒ ｍ ｅ ｏ ｔｎ ｏ ｓ ｆ ｎ ｔｏ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔｈｅ ｔ ｉ ｗｈ ｔ ｅ ｈ ｉ ｓｐ ｎ ｔ ｅ ｆ ｏ ｔ ａ ｉ ｆｅ ｅ ｔ ｌ ｅ ｂ ｕ ．Ｐｅ ｌ ｓ ｄ ｔ ｅ ｓ ｒ ｈ ｉｔ ｎ ｅｂ ｔ ｅ ｈ ｅ ｓ ｏｐ ｃ ｅ ｈ ｒａ ｃ ａｒ ｉ ｕｔ ｈ ｌ ｒ ｓ ｅ ｄ ｌ ｉ ｏ ｔ ｎ ｂ ａ ｋ ｄ ａ ｏ ｔ ｏ ｏ ｙｓ ｏｐ ｅ ｕ ｅ ｏ ｍ ａ ｕ ｅ ｔ ｅ ｄ ｓ ａ ｃ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｅ ｌｇ
00.3-方桌椅能在不平的地面上放稳吗
g f 0
综上论述，可知对于正方形桌椅只要旋转0º到 90º之间的一个角度就可以将其放稳。
2.长方形 顺时针转
4 3 2 1
4
D B′ C
2 4
3 2 1
A′
A
-4
-2 -1 -2 -3 -4
-4
-2 -1 -2
2
4
D′
B
C ′ -4
-3
0 0 时：设对角点A，C
顺时针转
4 3 2 1
D C
2 4
4
B′ 3
2 1 -4 -2 -1 -2
A′
A
-4
-2 -1 -2 -3 -4
2
4
B
C′
-3 -4
D′
0 0 时：设对角点，D的位 与地面距离大于零； 对角点B，D与地面 置；对角点B，D旋 距离等于零。 转到新的位置。 即 即g 0 0, f 0 0 0 F 0 g 0 f 0 0 g 1 f 0 0, f 1 0
这样方桌椅放不稳和放稳两种情形可以转换为至有一对对顶点与地面距离之和大于零和两对对顶点与地面距离之和等于零两个系统状态
方桌椅能在不平的 地面上放稳吗？
不稳的方桌椅
生活中常碰到，一个方形桌子或椅 子无法在地面上放稳的情况，但是经过 旋转或移动位置，多次重复后，桌子或 椅子就能放稳。这是个生活中的小事， 那么它有没有数学背景？数学在这个小 事中能不能起到作用？旋转的角度是多 少？需要旋转多少次？ 回答这些问题的过程就是一个运用 数学知识解决实际问题的建模过程。将 数学知识运用于这样一些小事中是学习 和掌握数学建模思想的一个途径，经常 这样的训练可以逐步学会 “用数学”。
椅子（四条腿的椅脚连线呈长方形）能在不平的地面上放稳吗？
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。
椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，当距离为0时，就是椅子四只脚着地，所以这个距离就是椅子位置变量θ的函数。
虽椅子有四只脚，四个距离，但由长方形是中心对称图形可用两个距离函数就行了。
A,C 两脚与地面的距离之和为()f θB,D 两脚与地面的距离之和为()g θ由假设2知道地面为连续曲面所以()f θ，()g θ是连续函数。
由假设3可得对于任意的θ，()f θ，()g θ至少一个为0。
可以假设(0)f =0，(0)g 〉0，而当椅子旋转180度后，对角线AC ，BD 互换，于是()f π〉0，()g π=0。
这样，改变椅子的位置使四只脚着地，就归结为证明如下的数学问题：已知()f θ，()g θ是θ的连续函数， 对任意的θ，()f θ*()g θ=0，而且()(0)0f g π==， (0)0,()0f g π>>。
证明存在0θ，使(0)(0)0f g θθ==。
五、模型求解（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）令()()()h f g θθθ=-，则(0)0h <和()0h π>。
由f 和g 的连续性知h 也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，比存在0(0)θθπ<<使得(0)0h θ=，即(0)(0)f g θθ=。
最后因为(0)*(0)0f g θθ=，所以(0)(0)0f g θθ==。
文案 编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
简单数学建模应用例子
5
建模实例
图中椅脚连线为正 方形ABCD，对角线 AC与x轴重合 椅子 绕中心点旋转角度 后，正方形ABCD转 至A`B`C`D`的位置， 所以对角线AC与x
2024/5/10
6
建模实例
轴的夹角 表示了椅子的位置。 其次要把椅子脚着地，用数学符号表示出 来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖 直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚 着地了，椅子在不同的位置椅脚与地面的 距离不同，所以这个距离就是位置变量 的 函数。
2024/5/10
27
建模实例
阻滞增长模型（Logistic模型）
将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按照前 面的分析，r(x)应是x的减函数。一个最简单的 假设是设 r(x)为x的线性函数， r(x)=r-sx, s>0, 这里r相当于x=0时的增长率，称为固有增长率， 它与指数模型中的增长率r不同，显然，对于 任意的x>0，增长率r(x)<r。为确定系数s的意 义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大 人口数量xm, 称为最大人口容量。
2024/5/10
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建模实例
安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合， 记作S，不难写出
S={（x,y）|x=0, y=0, 1, 2, 3; x=y=1,2} - (1)
记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk ,将 二维向量dk = (uk,vk)定义为决策，允许决集合 记作D，由小船的容量可知
2024/5/10
14
建模实例
用状态变量表示某一岸的人员状况，决策变量 表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变 化的规律。问题转化为在状态的充许变化范围 内，确定每一步的决策，达到渡河的目标 模型的过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk随从数为yk, k=1,2,……，xk , yk =0,1,2,3，将二维向量 sk=(xk,yk)定义为状态，
第四讲 椅子放稳模型
第四讲椅子放稳模型在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地,而使椅子不平稳。
但我们的祖先为什么把都把椅子做成四脚连线呈正方形，矩形或等腰梯形。
请你通过建立模型解释这一现象。
在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。
我们通过建立模型分别解决以下问题：1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。
稳。
假设2相当于给出了椅子能够放稳的必要条件，因为如果地面高度不连续（比如在有台阶或裂缝的地方）是无法使椅子四只脚同时着地。
假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。
这个距离是变量θ的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，即每一个椅脚和地面都有一个距离。
但由假设3以及正方形关于中心的对成性，只要设两个距离就可以了。
设A、C两脚与地面的距离之和为f(θ) ，B、D两脚与地面的距离之和为g(θ), 显然f(θ) 、g(θ) ≥0。
由假设2知f(θ) 、g(θ)都是连续函数。
在由假设3知，椅子在任何位置上至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，f(θ) 、g(θ)中至少有一个为零。
当θ= 0 时，不妨设f(θ) > 0、g(θ)=0。
另一方面，由对称性知道，旋转p/2的角度后，相当于AC和互换一个位置.故有f(p/2)=0，g(p/2)>0，这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下数学命题。
椅子在不平地面放稳问题
椅子在不平地面放稳问题
1、问题提出
有四条腿成长方形的椅子，往往不能一次就平稳的放在不平的地面上，有时甚至放很久也放不稳，只好在某一条腿下面垫一点东西。
因此就产生这样一个问题，四腿椅子是否一定能在地面上放稳？
2、模型假设
假设椅子四条腿一样长，且设地面光滑（即把地面看做一个光滑曲面），旋转椅子时，保持椅子中心不动。
设椅子的四条腿分别是D C B A 、、、四点，取对角线AC 为χ轴，AC 与BD 的交点为原点O 。
用θ表示AC 绕O 点转动后与χ轴的夹角，用ϕ（对每件椅子是常数）表示对角夹角中小于︒90的角，如图2
3、符号说明
设()θg 表示为C A 、两点与地面距离之和，()θf 表示为D B 、两点与地面距离之和。
因为地面光滑，椅子转动时，()θg 、()θf 均为转角的连续函数，而三条腿总能同时着地，则对任意θ，有()()0g =⋅θθf 。
4、建立模型
设0=θ时，()()0000g >=f ，，证明：存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，使()()0g 00==θθf 。
5、模型求解
证明：令()()()θθθf g h -=，显然它是连续函数，且()()()0<-=θθθf g h ，将椅子保持中心不动顺时针旋转ϕ（即将AC 换成BD ），可得()()0g 0>=ϕϕ，f 。
因而()()()0>-=ϕϕϕf g h ，由连续函数的介值定理知，必存在⎪⎭⎫ ⎝
⎛<<2000πθθ，
使得()()()0000=-=θθθf g h ，即()()00θθf g =。
又因为()()000=⋅θθg f ，所以()()000==θθf g。
四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗
问题：四脚连线呈长方形的椅子能在不平的地面上放稳吗（第1章习题4）模型假设对椅子和地面作如下假设：1．椅子四脚一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。
2．地面高度是连续变化的，即地面视为连续曲面。
3．对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚与地面同时着地。
模型构成首先用变量表示椅子的位置，以长方形一对角线AC为X轴，BD为Y。
设X 轴Y轴间夹角为θ。
当椅子绕中心O旋转角度θ’后。
长方形ABCD转至A‘B‘C’D‘的位置，所以对角线AC与X轴的夹角θ’表示了椅子的位置。
记A，C，两脚与地面的距离之和为f(θ’),B,D两脚与地面的距离之和为g (θ’)。
(f(θ’)，g (θ’)>=0)。
由假设2，f,g是连续函数。
由假设3，椅子在任何时候至少有三只脚着地，所以对任何θ’，f(θ’)和g(θ’)中至少有一个为0。
当θ’=0时不妨设f(θ’)=0，g(θ’)>0.这样，改变椅子位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下命题:已知f(θ’) 和g (θ’)是θ’的连续函数，对任意θ’，f(θ’) g(θ’)=0,且f(0)=0，g(0)>0.证明存在θ1，使f(θ1) =g(θ1)=0.模型求解将椅子旋转θ，对角线AC与BD互换。
由f(0)=0，g(0)>0知f(θ).>0,g(θ)=0。
令h(θ’)=f(θ’)-g(θ’),则h(0)<0,h(θ)>0。
由f,g的连续性知h也是连续函数。
根据连续函数的基本性质，必有θ1（0<θ1<θ）使h(θ1)=0,即f(θ1)=g(θ1)。
最后，因为f(θ1) g(θ1)=0,所以f(θ1)=g(θ1)=0.。
在不平的地面放稳椅子
在不平的地面放稳椅子摘要针对在不平的地面将椅子放平稳的问题，文章建立了三个模型来解决该问题。
将椅子的四脚连线看作特殊的四边形进行求解。
对于问题1，正方形是最简单也是最特殊的一种情况，我们用连续函数零点存在定理，证明出一定可以使椅子放稳。
对于问题2，我们采用和问题1相同的方法与过程，证明出可以放稳。
对于问题3，等腰梯形和正方形、长方形有一些区别，它更加一般化，旋转的区间范围更大，在]2,0[ 上进行旋转，也可以找出能放稳的点，方法与问题1、问题2相同。
文章在解决这些特殊化问题后，对一般性结论进行了猜想与论证，并最终得出结论，对一般的四边形，也能使它在不平的地面上放稳。
关键词：椅子；不平地面；放稳；数学模型；连续函数；零点存在1.问题的重述在不平的地面上，椅子通常只有三只脚着地，只需稍挪动几次，就能使四只脚同时着地，即放稳了。
问题1：椅子四脚连线呈正方形；问题2：椅子四脚连线呈长方形；问题3：椅子四脚连线呈等腰梯形。
2.问题的分析当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零），用连续函数的零点存在定理，找出在某一范围内一定存在的点，能让四条腿同时着地。
3．模型的假设与符号说明3．1 模型的假设（1）假设一：椅子的四条腿一样长，将椅子与地面的接触看作一个点。
（2）假设二：将不平的地面看作连续的曲面，没有间断点。
（3）假设三：椅子在任何位置至少有三脚着地，才能保证椅子能放平稳。
3．2 符号说明符号一：D C B A ,,,为四边形上四点，',',','D C B A 为旋转后四边形上四点。
符号二：O 为四边形的中心。
符号三：θ为旋转角度。
4．模型的准备连续函数零点存在定理：对)(x F ∀，若)(x F 在],[b a 上为连续函数，且0)()(≤⋅b F a F ，则],[b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF .5．模型的建立与求解5．1 问题1的模型建立与求解模型建立：1.正方形ABCD 为椅子四脚的连线，2.椅子中心为O 点，3.当椅子绕中心O 点旋转θ度后，椅子从正方形ABCD 变为正方 形''''D C B A ，旋转角度为θ.设椅脚C A ,与地面的距离之和为)(θf ，D B ,两脚与地面距离之和为)(θg ，其中)(θf 、)(θg ≥0。
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数学建模
第四讲椅子放稳模型在日常生活中，将一张
四条腿一样长的椅子放在不
平的地面上，通常只有三只
脚着地,而使椅子不平稳。
但
我们的祖先为什么把都把椅
子做成四脚连线呈正方形，
矩形或等腰梯形。
请你通过
建立模型解释这一现象。
在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。
我们通过建立模型分别解决以下问题：
1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；
2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？
3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；
2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；
4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。
稳。
假设2相当于给出了椅子能
够放稳的必要条件，因为如果地
面高度不连续（比如在有台阶或
裂缝的地方）是无法使椅子四只
脚同时着地。
假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变
化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。
子位置的改变，于是可以用旋转角x
O。