中考数学-切割线定理

切割线定理公式及证明

切割线定理公式及证明
切割线定理是几何学中一种重要的定理，它是于1733年由英国数学家乔治华莱士提出的。

根据切割线定理，由一条直线和一个多边形组成的图形，如果任何一条直线穿过此图形，则这条直线必将穿过多边形的边的一半数量的次数，也就是该直线穿过多边形的总边数的一半，不管该多边形的形状与大小如何。

从表面上看，这个定理很简单，但要证明它本来是一个非常困难的任务。

以下是切割线定理的一般公式：
设N为n边形，M为n条直线，即N∩M = n/2
若M穿过N，则N与M的交点数目是n/2
既然有了一般公式，就可以利用证明定理的原则来推导出该定理的证明。

首先，假设N与M的交点数为x，此时可以得出结论：x = n/2。

为了证明这一结论，可以从多种可能中求解出更多的可行解，即如果M不穿过N，M同N的交点数将小于或大于n/2。

首先，假设M不穿过N，由于N的边缘被M分割，M与N的交点数取决于M的弧形长度与N边缘之间的交叉点，因此在这种情况下，N与M的交点数必定小于n/2。

其次，假设M穿过N，即M同N的交点数大于等于n/2时，由于M穿过N，可以把N看作一个圆，此时M与N的交点数取决于M的弧形长度与N边缘之间的交叉点，因此在这种情况下，N与M的交点数必定大于等于n/2。

根据以上求解过程，可以得出M与N的交点数将等于n/2，即该定理正确。

综上所述，切割线定理是指不管一条直线穿过的多边形的形状与大小如何，总能穿过多边形的边数的一半。

因此，这个定理同时也揭示了自然数学中的一条重要原理。

该定理公式及证明完成了，它可以用来解决对几何图形的研究，有助于更深入地理解几何学中的一些概念及原理。

切割线定理课件

推论三：切线和切平面的性质
总结词
切线和切平面的性质
详细描述
切线和切平面的性质是切割线定理的最后一个重要推论。这个定理指出，过圆外一点作圆的切线，则该点和圆心的连线与切点的连线垂直于过该点和圆心的平面。这个性质在三维几何中尤其重要，因为它涉及到平面和空间的关系。
04 切割线定理的应用实例
应用实例一：求圆的切线方程
证明方法三：利用向量积的性质
总结词
通过向量运算和向量的外积性质，证明切割线定理。
详细描述
第三种证明方法是利用向量运算和向量的外积性质。首先，我们需要理解向量的外积性质，即两个向量的外积等于它们所夹的平行四边形的面积的两倍。在切割线定理的情境中，我们可以将切割线视为一个向量，并利用向量的外积性质来计算它与半径之间的比例关系。通过适当的数学推导，我们可以证明切割线定理。这种方法基于向量运算和向量的外积性质，通过向量运算来证明定理。
范围，我们可以发现更多有趣的应用场景。
对切割线定理的进一步研究与探索
深入研究切割线定理的细节
虽然我们已经对切割线定理有了基本的理解，但还有很多细节值得深入研究。例如，我们可以探索不同条件下切割线定理的表现形式，或者研究这个定理在其他几何图形中的应用。通过深入研究，我们可以更深入地理解这个定理的本质。
切割线定理的几何意义
证明相似三角形
通过切割线定理，可以证明两个三角形相似，从而用于解决几何问题。
Hale Waihona Puke 计算线段长度利用切割线定理，可以计算出给定条件下某条线段的长度。
切割线定理的应用场景
建筑设计
在建筑设计领域，切割线定理常被用于确定建筑物的位置和尺寸，以确保建筑物的外观和结构符合设计要求。

初中切割线定理

初中切割线定理
切割线定理是初中数学中的一种几何定理，主要用于解决与三角形有关的问题。

它的表述如下：若一直线割一三角形之两边（或延长线）而交其他两边（或其延长线）于两点，则此直线截得的三角形面积等于被割去的两部分面积和的一半。

例如，在一个三角形ABC中，如果有一条直线DE从A点出发，经过BC边上的点D，然后到达AC边上的点E，那么根据切割线定理，我们就可以得出：三角形ADE的面积等于三角形ABD的面积加上三角形ACE的面积的一半。

这个定理在解题中非常有用，可以帮助我们快速计算出一些难以直接测量的面积，或者用来证明两个三角形的面积相等。

在学习和应用切割线定理时，我们需要理解其背后的逻辑，并熟练掌握相关的几何知识。

2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

初中数学什么是切割定理

初中数学什么是切割定理
在初中数学中，切割定理是一个重要的概念，它涉及到圆的切线与割线的关系。

下面我将详细介绍切割定理的定义、性质和相关概念。

1. 切割定理的定义：
-切割定理：在一个圆上，从圆外一点引出一条割线与圆相交于点A，再从点A引出一条切线与圆相切于点B，那么割线与切线所截取的弧的度数相等。

2. 切割定理的性质：
-定理性质1：在一个圆上，割线与切线所截取的弧的度数相等。

即弧AB的度数等于割线所截取的弧ACB的度数。

-定理性质2：切割定理适用于任何圆，无论圆的半径大小。

3. 切割定理的应用：
-弧度的计算：根据切割定理的性质，我们可以利用已知的割线与切线所截取的弧的度数相等的关系，来计算割线和切线所截取的弧的度数。

-问题求解：切割定理可以帮助我们解决与圆相关的问题，如求解割线和切线所截取的弧的度数、判断割线和切线的位置关系等。

切割定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。

在运用切割定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对切割定理的了解。

2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)

《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。

切割线定理及推论

切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幕定理的一种。

几何语言：••• PT切O O于点T, PBA是O O的割线••• PT A2=PA- PB （切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：•/ PT是O O切线，PBA , PDC是O O的割线• PD・PC=PA PB （切割线定理推论）（割线定理）由上可知:PT A 2 （平方）=PA・PB=PC PD证明切割线定理证明：T,贝U PTA2=PA PB设ABP是O O的一条割线，PT是O O的一条切线，切点为证明：连接AT, BT•••/ PTB= / PAT（弦切角定理）切割线定理的证明/ P= / P（公共角）•••△ PBTPTA（两角对应相等，两三角形相似）贝U PB : PT=PT:AP即：PT2=PB-PA比较相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及他们的推论统称为圆幕定理。

一般用于求线段长度。

练：如图，O O的两条弦AB CD相交于点E, AC和DB的延长线交于点P, 下列结论成立的是（）.A.PC- CA=PB BDB.CE • AE=B E EDC.CE • CD=BE BAD.PD • PD=PC PA例1.如图,O O的割线PAB交圆O于点A和B,PA=6,AB=8,PO=10求OO的半径。

例2.如图：自圆外一点P作直线PA切O O于A,过PA中点M作割线交O O于B、C.求证：/ MPB h MCP例3.如图，C,D是O O的弦AB的三等分点，弦EF过点C,弦GH过点D。

求证：FC- CE=HD DG。

初中数学重点梳理：切线和割线

切线和割线知识定位切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖，灵活多变，学生往往甚感困难。

因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。

知识梳理知识梳理1：切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的之一。

几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)知识梳理2：割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD例题精讲【试题来源】【题目】如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。

已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.【答案】21【解析】2由切割线定理可知16：4又AH AG AF,AHAC AG=•=∴==2又99故5则25又7，9，AC AG GF FCAB ACBHBD BE BHCE CD CF CG BC AC=++=∴===•==•=•===【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证:2PN MN NQ=⋅.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点，并交ST于点C,求证:1111()2PC PA PB=+.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。

切割线定理的证明

切割线定理的证明引言切割线定理是数学中的一个重要定理，它在几何学和分析学中有广泛的应用。

本文将详细探讨切割线定理的证明过程，以及其在不同领域中的应用。

切割线定理的定义在数学中，切割线定理是指：对于任意一个凸多边形，存在一条直线，将该多边形分割成两个面积相等的部分。

证明过程证明切割线定理的过程如下：步骤一：连接多边形的两个不相邻的顶点首先，我们连接多边形的两个不相邻的顶点，得到一条直线。

步骤二：计算两边的面积我们计算连接线两边的面积。

设连接线两边的长度分别为a和b，相应的面积分别为S1和S2。

步骤三：判断面积大小判断S1和S2的大小。

如果S1等于S2，则证明切割线定理成立。

如果S1不等于S2，则我们需要调整连接线的位置。

步骤四：调整连接线的位置调整连接线的位置，使得S1和S2的面积尽可能接近。

我们可以通过改变连接线的倾斜角度或者位置来实现。

步骤五：重新计算面积重新计算连接线两边的面积，并判断它们是否相等。

如果相等，则证明切割线定理成立。

如果不相等，则继续调整连接线的位置，重复步骤四和步骤五，直到找到满足条件的连接线。

切割线定理的应用切割线定理在几何学和分析学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：圆的切割线在圆的几何中，切割线定理可以用来证明圆内任意两点之间连线的长度小于等于圆的直径。

多边形的分割切割线定理可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。

这在计算几何学中有重要的应用，例如计算多边形的重心或者质心。

积分的应用在分析学中，切割线定理可以用来证明积分的性质。

通过将函数曲线分割成两个等面积的部分，可以推导出积分的对称性和平均值定理等重要结论。

优化问题切割线定理可以用来解决一些优化问题。

例如，在给定一定面积的情况下，如何找到一个凸多边形使得周长最小，或者如何找到一个凸多边形使得某个属性的值最大化。

总结切割线定理是数学中的一个重要定理，它可以用来将一个凸多边形分割成两个面积相等的部分。

本文通过详细的证明过程和应用场景的介绍，希望读者对切割线定理有更深入的理解。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与母子型相似：切割线定理反A模型压轴题专题(含解析)

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—圆与母子型相似：切割线定理反A模型压轴题专题（含解析）切割线定理：反A模型1．（北雅）如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA ＝∠CBD ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC ＝6，tan ∠CDA＝，求BE的长．【解答】（1）证明：连OD ，OE ，如图，∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO +∠1＝90°，又∵∠CDA ＝∠CBD ，而∠CBD ＝∠1，∴∠1＝∠CDA ，∴∠CDA +∠ADO ＝90°，即∠CDO ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵EB 为⊙O 的切线，∴ED ＝EB ，OE ⊥DB ，∴∠ABD +∠DBE ＝90°，∠OEB +∠DBE ＝90°，图形相似的证明结论因为⎩⎨⎧∠=∠∠=∠DACDCB D D ∴DCB ∆∽DAC ∆①DA DB DC ⋅=2;②相似比=∠=∠DCB A tan tan∴∠ABD＝∠OEB，∴∠CDA＝∠OEB．而tan∠CDA＝，∴tan∠OEB＝＝，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴＝＝＝，∴CD＝×6＝4，在Rt△CBE中，设BE＝x，∴（x+4）2＝x2+62，解得x＝．2．（南雅）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2＝CA•CB．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝10，，求BE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵CD2＝CA•CB，∴，∵∠C＝∠C，∴△DCA∽△BCD，∴∠ADC＝∠DBC，∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠DBO，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∴∠BDO+∠ODA＝∠CDA+∠ODA＝90°，∴OD⊥CD，∴CD为O0的切线；（2）∵BE、CE是⊙O的切线，∴ED＝EB，∵△DCA∽△BCD，∴∠DBA＝∠CDA，∴＝tan∠DBA＝tan∠CDA＝，∴CD＝BC＝6，设BE＝x，则DE＝x，CE＝x+6．在Rt△CBE中，（x+6）2＝x2+102，解得：x＝，∴BE＝．3.（长郡）已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．（1）求证：PD是⊙O的切线．（2）求证：2PD PB PA=⋅．（3）若4PD=，1tan2CDB∠=，求直径AB的长．【解答】（1）证明：连接OD，OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO＝90°，∵AB⊥CD，AB是直径，∴弧BD＝弧BC，∴∠DOP＝∠COP，在△DOP和△COP中，，∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠PDO＝∠PCO＝90°，∵D在⊙O上，∴PD是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠PDO＝90°，∴∠ADO＝∠PDB＝90°﹣∠BDO，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∴∠A＝∠PDB，∵∠BPD＝∠BPD，∴△PDB∽△PAD，∴，∴PD2＝PA•PB；（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB＝∠DMB＝90°，∴∠A+∠DBM＝90°，∠CDB+∠DBM＝90°，∴∠A＝∠CDB，∵tan∠CDB＝，∴tan A＝＝，∵△PDB∽△PAD，∴＝＝＝∵PD＝4，∴PB＝2，PA＝8，∴AB＝8﹣2＝6．4．（明德）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC 平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若EB＝2，EC＝4，求⊙O的半径及AC、AD的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）连接OC；∵AD⊥DC，∴∠DAC+∠ACD＝90°；又∵AC平分∠DAB，OA＝OC，∴∠DAC＝∠CAO，∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠ACD+∠ACO＝90°，即OC⊥DC，∴直线DE与⊙O相切．（2）∵EC是⊙O的切线，∴EC2＝EB•EA，而EC＝4，EB＝2，∴EA＝8，AB＝8﹣2＝6；∴⊙O的半径为3．∵AC平分∠DAE，∴，∴，∴AD＝2DC（设为x）；∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF；在△ADC与△AFC中，，∴△ADC≌△AFC（HL），∴AF＝AD＝2x，BF＝6﹣2x；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°；由射影定理得：CF2＝AF•BF，即x2＝2x（6﹣2x），解得：x＝，∴AD＝；由勾股定理得：，∴AC＝，即⊙O的半径及AC、AD的长分别为3，，．（3）∵，，∴．5．（雅礼）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF＝ED．（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若tan A＝，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF＝1，求⊙O的半径和CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC+∠EDF＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解；线段AB、BE之间的数量关系为：AB＝3BE．证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＝∠BDE，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，而∠BED＝∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴，∵Rt△ABD中，tan A＝＝，∴＝，∴AE＝2DE，DE＝2BE，∴AE＝4BE，∴AB＝3BE；（3）解：设BE＝x，则DE＝EF＝2x，AB＝3x，半径OD＝x，∵OF＝1，∴OE＝1+2x，在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（x）2+（2x）2＝（1+2x）2，∴x＝﹣（舍）或x＝2，∴AB＝3x＝6，∴圆O的半径为3．过点O作OH⊥CD，∵OC＝OD，∴CD＝2CH，在Rt△OCF中，CF＝＝，OH＝＝，在Rt△OCH中，tan∠OCH＝＝＝，∴CH＝3OH＝，∴CD＝2CH＝．6．（青竹湖）如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）求证：DE2＝EB•EA；（3）若BE＝1，，求线段AD的长度．【解答】解：（1）∵BD∥OC，∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠ODB，∴∠COA＝∠COD，在△COA和△COD中，，∴△COA≌△COD（SAS），∴∠CAO＝∠CDO，∵AC是⊙O的切线，∴∠CAO＝90°＝∠CDO，即OD⊥EC，∵OD是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；（2）∵EC是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，即∠EDB+∠ODB＝90°，又∴AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠ODB＝∠OBD，∴∠EDB＝∠EAD，又∵∠E＝∠E，∴△EBD∽△EDA，∴＝，即DE2＝AE•BE；（3）∵∠ACO+∠COA＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，而∠OBD＝∠ODB＝∠COD＝∠COA，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ACO，由△EBD∽△EDA，∴＝＝tan∠BAD＝，∵BE＝1，∴DE＝2，由DE2＝AE•BE得，22＝1×AE，∴AE＝4，∴AB＝4﹣1＝3，设BD＝a，则AD＝2a，由勾股定理得，BD2+AD2＝AB2，即a2+（2a）2＝32，解得a＝，∴AD＝2a＝．7．（北雅）如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．（1）求证：BC∥FG；（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；（3）当图①中的FE＝AB时，如图②，若FB＝3，CG＝2，求AG的长．【解答】（1）证明：连接BE，∵点P是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD．又∵FG切⊙O于E，∴∠BEF＝∠BAD．又∵∠DBE＝∠CAD，∴∠BEF＝∠DBE．∴BC∥FG．（2）解：连接BP，则∠ABP＝∠CBP．∵∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝∠PBC+∠EBD，∴∠BPE＝∠PBE．∴BE＝PE．在△ABE和△BDE中，∠BAE＝∠EBD，∠BED＝∠AEB，∴△ABE∽△BDE．∴＝．∴BE2＝AE•DE．∴PE2＝AE•DE．（3）解：∵FE2＝FB•FA＝FB（FB+AB），而FE＝AB，∴AB2＝3（3+AB）．设AB＝x，则x2﹣3x﹣9＝0，解之得x＝．∴AB＝（取正值）．由（1）在△AFG中，BC∥FG，∴．∴AC＝＝×＝1+．∴AG＝AC+CG＝3+．8．（青竹湖）如图，⊙O经过△ABC的顶点A、C，并与AB边相交于点D，过点D作DF∥BC，交AC于点E，交⊙O于点F，连接DC，点C为弧DF的中点．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，DF＝4，求CE•CA的值；（3）在（2）的条件下，连接AF，若BD＝AF，求AD的长．【解答】（1）证明：连接CO并延长交⊙O于G，连接DG，如图：∵CG为直径，∴∠GDC＝90°，∴∠DCG+∠DGC＝90°，∵∠DGC＝∠BAC，点C为弧DF的中点，∴∠CDF＝∠BAC，∴∠DGC＝∠CDF，∴∠DCG+∠CDF＝90°，∵DF∥BC，∴∠CDF＝∠DCB，∴∠DCG+∠DCB＝90°，∴OC⊥BC，又∵OC是⊙O的半径，∴BC为⊙O的切线；（2）解：连接OC交DF于M，∵C为弧DF的中，∴OC⊥DF，∴DM＝MF＝DF＝2，∵⊙O的半径为3，∴OM＝＝＝1，∴CM＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，∴DC2＝DM2+CM2＝＝12，∵，∴∠DAC＝∠CAF，∵∠CDF＝∠CAF，∴∠CDF＝∠DAC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴，∴CD2＝CE•CA，∴CE•CA＝12；（3）解：连接CF，∵四边形ADCF内接于⊙O，∴∠ADC+∠AFC＝180°，又∵∠BDC+∠CDA＝180°，∴∠AFC＝∠BDC，∵，∴CD＝CF＝2，又∵BD＝AF，∴△BDC≌△AFC（SAS），∴BC＝AC，∠BCD＝∠ACF，∵∠ACF＝∠ADF，∴∠BCD＝∠ADF，∵DF∥BC，∴∠CDF＝∠BCD，∴∠CDF＝∠ADF，∴AF＝CF，∴，BD＝CF＝2，∴，∴AC＝DF＝4＝BC，∵∠BCD＝∠CDF＝∠CAF＝∠DAC，∠DBC＝∠ABC，∴△DBC∽△CBA，∴，∴BC2＝BD•AB，∴•AB，∴AB＝，∴AD＝AB﹣BD＝＝．9．（麓山国际）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：PC＝PF；（3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长．【解答】（1）证明：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC．∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD＝90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠PCB+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB．又∵∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；（3）解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴＝．又∵tan∠ABC＝，∴，∴，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，∵PC2+OC2＝OP2，∴（4k）2+72＝（3k+7）2，∴k＝6（k＝0不合题意，舍去）．∴PC＝4k＝4×6＝24．10．（青竹湖）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，sin B＝，求CD和AD的长；（3）在（2）的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，求CF的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°，又∵OC是半径，∴DC为⊙O的切线；（2）解：Rt△ACB中，AB＝10，sin B＝＝，∴AC＝6，∴BC＝＝8，∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，∴△CAD∽△BCD，∴，设AD＝3x，CD＝4x，则OD＝5+3x，Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，∴52+（4x）2＝（5+3x）2，∴x＝0（舍）或x＝，∴AD＝，CD＝；（3）解：∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，∴CE＝CF，设CF＝a，∵∠CEF＝∠ACD+∠CDE，∠CFE＝∠B+∠BDF，∴∠CDE＝∠BDF，∵∠ACD＝∠B，∴△CED∽△BFD，∴，∴＝，∴a＝，∴CF＝．。

中考数学切割线定理

是的外接圆，的平分线交于，交于，的切线交的延长线于。求证：。
【课堂练习】
1．已知、分别切于、，是劣弧上任意一点，过作的切线和、分别交于、，若，半径为，则的周长为（）
A． B． C． D．不确定
3．弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。
4．弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角；
5．切割线定理：已知中，切于，割线交于，则有。证明方法：连结、，证：
6．切割线定理推论：已知、为的两条割线，交于、，则有，证明方法：过作切于，用两次切割线定理。
【经典例题】
【例1】已知：如图，切圆于，为圆直径，，，。求的长。
【例2】如图所示，中，，以为直径的交于点，切线交于。求证：。
【例3】如图所示，、是的切线，、为切点，于，交于，求证：。
【例4】已知，为的直径，过点作的切线，交于点，的延长线交于。
9．已知：如图，与切于，为直径，，为一弦。求与的度数。
10.已知：，与分别切于、两点，延长到，使，求证：。
【课外练习】
1．切于，是过点的割线,且，则的度数为（）
A． B． C． D．
2．过外一点引圆的两切线、，、是切点，，，则半径的长为（）
5．、分别切于、，交于，连结、，则圆中的直角三角形共有（）个
A．3B．4C．5D．6
6．已知：如图1，直线切于点，，，那么 ____．
7．已知：如图2，直线与相切于点，为直径，于，，则 ____．

《切割线定理》课件

VSΒιβλιοθήκη 详细描述切线经过切点，并且仅经过该点。这是切线定义的基本性质，也是切割线定理的重要推论之一。这个性质说明了切点是唯一一个点，使得经过该点的切线与圆相切。
05
切割线定理的应用练习
练习一：求切线的长度
01
02
03
总结词
利用切割线定理计算切线的长度
详细描述
通过已知的圆心到切点的距离和切割线与半径的夹角，利用切割线定理计算切线的长度。
总结词
利用切割线定理计算切线的斜率
详细描述
通过已知的圆心到切点的距离和切割线与半径的夹角，利用切割
线定理计算切线的斜率。
公式
切线斜率 = (圆心到切点的距离 / 半径) × cos(切割线与半径的夹
角)
06
总结与回顾
本节课的重点与难点
重点
理解切割线定理的推导过程和实际应用。
难点
掌握如何运用切割线定理解决实际问题，特别是涉及到几何图形的问题。
03
切割线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过比较三角形之间的边长和角度关系，证明切割线定理。
详细描述
首先，根据题目已知信息，画出两个相似三角形。然后，根据相似三角形的性质，证明切割线与两条割线之间的角度相等，从而得出切割线定理的结论。
证明方法二：通过面积关系证明
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系描述了切线和半径之间的角度关系。
详细描述
根据切线的性质，切线和经过切点的半径是垂直的。这意味着切线和半径之间的角度是90度。这个关系是几何学中一个重要的基础概念，用于证明和解决各种几何问题。

中考数学切割线定理

（1）求证：；
（2）若，求、的长。
【例5】如图所示，是的外接圆，的平分线交于，交于，的切线交的延长线于。求证：。
【课堂练习】
1．已知、分别切于、，是劣弧上任意一点，过作的切线和、分别交于、，若，半径为，则的周长为（）
A． B． C． D．不确定
6．已知：如图4，圆为外接圆，为直径，切于点，，那么 ____．
7．已知：如图，已知：如图，、分别切于、，为割线交于、，若，，，求的长。
9．已知：如图，是半径，是延长线上一点，切于，于。求证：平分．
A． B． C． D．
3．是的直径，是延长线上一点，且，是的切线，且，则半径为（）
A． B． C． D．
4．是的直径，是延长线上一点，且，是的切线，且，则半径为( )
A． B． C． D．
5．已知：如图3，的，内切圆与的三边分别切于、、三点，，那么 ____．
2．圆外切四边形一组对边和为12，圆的半径为2，则这个四边形的面积为（）
A．6B．12C．24D．48
3．外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是（）
A．任意三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
4．、分别切圆于、，、两点分圆所得两弧比为，则的度数为（）
A． B． C． D．
5．、分别切于、，交于，连结、，则圆中的直角三角形共有（）个
A．3B．4C．5D．6
6．已知：如图1，直线切于点，，，那么 ____．
7．已知：如图2，直线与相切于点，为直径，于，，则 ____．

切割线定理·中考培优必不可少

切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的之一。

切割线定理示意图几何语言：∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC（切割线定理）[1]推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD弦切角定理顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

如图所示，，线段PT所在的直线切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

上图弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

等于它所夹的弧的圆周角度数。

定理：以三角形任意一条边为邻边，在三角形外部作一个角等于该边的对角，那么所作角的另一边与三角形外接圆相切，切点为所作角的顶点。

几何描述：设△ABP的外接圆为⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，则AC切⊙O 于A。

注意定理的描述，所作角必须在三角形的外部，且该角与三角形有公共的边。

该定理的等价描述为：角的度数等于所夹弧所对圆周角的角为弦切角。

几何描述：设直线AC与圆相交于A，AB是圆的一条弦，P是圆上与A,B不重合的点。

若∠BAC=∠BPA，则∠BAC是弦切角，即AC与圆相切于A。

推论：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等。

例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交于点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：∵AC、BC是⊙O的两条切线，∴AC=BC（切线长定理）。

∴∠CAB=∠CBA。

（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的圆与BC相切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.求证：EF//BC.证明：连接DF∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD∵∠EFD=∠BAD∴∠EFD=∠CAD∵⊙O切BC于D∴∠FDC=∠CAD∴∠EFD=∠FDC∴EF∥BC例3:如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD. 证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90∵CD⊥AB∴∠A+∠B=∠A+∠DCA∴∠ACD=∠B，∵MN切⊙O于C∴∠MCA=∠B，∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。

人教版九年级数学课件：切割线定理

作
业
PT2 =PA· PB 切割线定理

PT =PB· BA × PA· = PD· AB CD
2
PC· =PA· PD PB
切割推线定论理
×
作业 P132
11 ， P133 12 ，13．
PT2 =PA· PB
PC· =PA· PD PB
练习二：
1.
过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6．则CD= ? CD = 4.4 2．
已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？
PB = 4

法二：连接CD ,射影定理． A D •O
BC2=BD•BA
Rt△ABC中 AC=3; BC=4. BD=3.2 (cm) AB=5 BC=4
B
C
提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是
PA的中点，DC交圆O于E．求证：1）PD2=DE•DC；2） ∠1= ∠C．
分析： 1. PD=DA
PA· = PM· PB PN
P
PM· =PC2 PN
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上．过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作圆O2的切线PD切圆O2于D．求证：PC =PD．
B o1 • A C
o2
•
D
P
提示：PC = PD = PE …
B o1 • A D E P o2 • o3•
P P
D 1
E
A
且DA2=DE • DC 2. PD:DE=DC:PD ∠ PDE= ∠ CDP 则: △PDE∽ △CDP 从而: ∠ 1= ∠ C

初中数学课件《切割线定理》

切割线定理的相关概念介绍
为了帮助大家更好地理解切割线定理，我们在这里先来介绍一下它的相关概念。
扇形
扇形是圆心角对应的圆弧及其圆心所组成的图形，它是切割线重要概念。
弓形
弓形指的是圆上一个扇形所截下来的圆弧部分，是能够帮助我们理解切割线定理的重要概念。
弦长
弦是连接圆上两点的线段，弦长是线段长度，是切割线定理中常用的量。
解决切割线定理中的常见错误和误区
学习切割线定理的时候，常见错误和误区包括对图形理解不够溜，计算公式没有掌握好，套路不熟练等等，下面是一些错误率较高的问题。
• 画图不规范，不能很好地说明切线、割线、交点的位置关系 • 公式记忆不清，导致计算错误 • 理解不深刻，只会套用公式，难以发挥应有的思考能力
切割线定理在各国数学教育中的地位
切割线定理作为数学中非常重要的一个知识点，它在不同国家的数学教育中都占据着重要地位，是不容忽视的。下面介绍几个国家中切割线定理的教学情况。
• 中国：在初中阶段的几何课程中必须学习切割线定理。 • 美国：在高中阶段的几何学里也会涉及切割线定理的知识点。 • 日本：从小学到高中，切割线定理都是几何学习的重点。
具体表述
具体来说，若AB与CD是两条割线，交于点E，那么∠AEB=∠CED，∠BEC=1/2∠BAD。
套路示范
判断两条线段是否相互垂直的时候，可以用切割线定理进行证明。
切割线定理的含义和意义
切割线定理是数学中一条很重要的定理。它在几何解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理解和应用各种几何概念。
切割线定理的进阶应用
掌握好了切割线定理的基础知识之后，还可以进一步拓展应用，例如： • 推导出更复杂的几何公式 • 应用切割线定理解决更高级的几何问题 • 将切割线定理与其他定理的知识点相关联，挖掘其更多潜力

切割线定理公式及证明

切割线定理公式及证明【公式】切割线定理可以表示为以下比例关系：设有两条平行线L和M，一条切割线N与这两条平行线相交，相交点分别为A、B、C。

那么，切割线N所生成的线段AB与AC的长度之比等于线段BC与AC的长度之比，即：AB/AC=BC/AC【证明】为了证明切割线定理，我们可以通过几何方法或代数方法来进行证明。

下面将给出一种几何方法证明的详细步骤。

1.设有两条平行线L和M，一条切割线N与这两条平行线相交，相交点分别为A、B、C。

2.连接线段AC和BC，使得△ABC成为一个三角形。

3.观察△ABC，我们可以发现该三角形有两个平行边AB和MN，因此，在△ABC中可以使用平行线性质来进行推导证明。

4.运用同位角性质，我们可以得到角ABN=ABC，角BCA=ACN，并且这两个角是同位角。

5.根据相交线与平行线的同位角性质，我们可以得到三角形△ABN和△ACN的两个角是对应角，即角ABN=ANB，角ACN=ANC。

6.观察△ABN和△ACN，我们可以得出结论，这两个三角形相似（AA相似性质），因为它们有一个对应角相等，且由于线段AB和AC平行，所以角BAN=CAN。

7.根据相似三角形的性质，我们可以得到△ABN和△ACN的边长之比等于对应边长之比，即AB/AC=AN/AN。

8.由于AN=AC+CN，可将上式作进一步化简，得到AB/AC=AC/AC+CN/AC。

9.同理，通过相似三角形的性质，我们可以得到△BCN和△ACN的边长之比等于对应边长之比，即BC/AC=CN/AC。

10.把式子10代入式子9中，我们可以得到AB/AC=BC/AC+111.化简以上等式，得到AB/AC-BC/AC=112.进一步化简可得到AB/AC=BC/AC，即切割线定理的公式。

通过以上证明，我们可以看到切割线定理的正确性。

根据这个定理，我们可以在平面几何问题中应用切割线定理来解决一些相关的比例问题，特别是在梯形、三角形和平行四边形等图形的相似性问题中，起到重要的指导作用。

初中数学切割线定理知识点总结

初中数学切割线定理知识点总结关于初中数学切割线定理知识点总结切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135 ①两圆外离d>R+r ②两圆外切d=R+r ③两圆相交 R-rr)④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含dr)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形上面的内容是初中数学知识点总结之切割线定理，同学们都已经掌握要领了吧。

接下来还有更多更全的初中数学知识讯息尽在。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的.数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

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切割线定理：已知O中，PT切O于T，割线交O于A，则有PTB PAT
∆
切割线定理推论：已知PB、为O的两条割线，交O于A、
切O于T，用两次切割线定理。

T
O B O
O交BC O的切线，
为O的直径，过点作O的切线交O于点E
如图所示，O是∆ABC O于E，O的切线。

求证：2
AE=
O于A、O的切线和O半径为3，则∆
B．8 C
．圆外切四边形一组对边和为12，圆的半径为）
B．12 C
．外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是（E
B D O
O 于B 、
C ，直线BC 切O 于B 点，O 相切于点O 直径，O 切于B 点，割线O 交于C 和PT 与O 切于C ，为直径，60BAC ∠=O 一弦。

求O 分别切于O 于B ，A
D
C
O 图
O 外一点O 半径的长为（
B B
C 是O 的直径，O 的切线，3=，则O 半径为
B ．．O 是AB
C ∆的直径，O 的切线，
3=，则O 半径为 ( ) ．40︒
B ．．已知：如图3，AB
C ∆的三边分别切于
D 、56DF
E ∠=B ∠=____O 于C 点，O 于A ，O 于B 、平分APC ∠O 于A 、O 于C 、
O半径，O于C，。

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